Baumdiagramm,, Vierfeldertafel, umgekehrtes Baumdiagramm

Übung zum Lehrerweiterbildungskurs ’Stochastik’
WiSe 2012/2013 und SoSe 2013
Aufgabe 9 (Baumdiagramm,, Vierfeldertafel, umgekehrtes Baumdiagramm)
Man geht aktuell davon aus, dass 0,1% der deutschen Bevölkerung HIVinfiziert ist.
Der heutige HIV-Schnelltest besitzt eine hohe Sensitivität: Die Wahrscheinlichkeit für eine positive Testreaktion bei Infizierten wird mit 0,999 angegeben. Auch die Zuverlässigkeit ist hoch: Nur 0,3% der Nichtinfizieten wird
irrtümlich positiv getestet.
1. Zeigen Sie mit Hilfe von Baumdiagramm, Vierfeldertafel und umgekehrtem Baumdiagramm: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Proband infiziert
ist, wenn er positiv getestet wurde, beträgt 0,25.
2. Erklären Sie dieses zunächst verblüffende Ergebnis!
3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Patient infiziert, wenn er zweimal
postiv getestet wurde?
Lösungsskizze
1. Die Vorgaben und die 1. Pfadregel führen zu folgendem
Baumdiagramm :
0, 001 · 0, 999
0, 001 · 0, 001
0, 999 · 0, 003
0, 999 · 0, 997
Die Wahrscheinlichkeit der Pfade (des Aufretens beider Merkmalausprägungen)
liefern die Einträge in die
Vierfeldertafel:
infiziert
nicht inf.
gesamt
+
0,000999 0,000001
0,002997 0,996003
0,003996 0,996004
gesamt
0,001
0,999
1
Zur Erstellung des umgekehrten Baumdiagramms gehen wir wie folgt
vor:
Die Teilwahrscheinlichkeiten der ersten Stufe erhalten wir aus der “gesamt”Zeile der Vierfeldtafel. Die Pfadwahrscheinlichkeiten sind die des ursprünglichen Baumdiagramms. Die Wahrscheinlichkeiten der 2.Stufe
sind die Quotienten aus den Wahrscheinlichkeiten des entsprechenden
Pfades und denen der ersten Stufe.
Somit erhält man als umgekehrtes Baumdiagramm:
0, 000999
0, 002997
0, 000001
0, 996003
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit, dass ein positiv getesteter Patient
HIV hat, ist dann gleich
0, 000999
= 0, 25.
0, 003996
2. Der Test macht nur in 0,3% der Fälle den Fehler, einen Nicht-Infizierten
positiv zu testen, aber es gibt prozentual eine so große Zahl von NichtInfizierten, dass diese kleine Wahrscheinlichkeit eine große Auswirkung
hat.
3. Durch Ergänzung des umgekehrten Baumdiagramms um eine weitere
Stufe sieht man, dass es zwei Pfade mit zweifach positivem Test gibt,
wovon ein Infizierter mit Wahrscheinlichkeit
p1 = 0, 00396 · 0, 25 · 0, 999 = 0, 000998001
und ein Nicht-Infizierter mit Wahrscheinlichkeit
p2 = 0, 003996 · 0, 75 · 0, 003 = 0, 000008991
2
zu berücksichtigen ist.
Die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal positiv Geteste auch infiziert sind,
bezogen auf die zweimal positiv Getesteten, ist daher gleich
P (infiz. und + +)
p1
=
P (++)
p1 + p2
0, 000998001
≈ 0, 991.
=
0, 00099801 + 0, 000008991
P (infiz.| + +) = =
Der Anteil der doppelt positiv getesteten Nicht-Infizierten ist damit
nur ungefähr gleich 0,9%.
3