Varianz von Linearkombinationen

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Berechnung
der Varianz einer Linearkombination
zweier Zufallsvariablen
Fachbereich 1 (Rechts-und Wirtschaftswissenschaften)
Stichworte: Varianz, Korrelationskoeffizient
Problembeschreibung
Im Rahmen einer Fallstudie wird der Einsatz von Immobilienindex-Derivaten exemplarisch dargestellt:

NBS
,
T R t = r t,p + r t,GER All Property − r t,UK Retail − KS ·
GK
wobei
• r t,p : Total Return des Portfolios in Periode t
• r t,GER All Property : Total Return des IPD GER All Property-Index in Periode t
• r t,UK Retail : Total Return des IPD UK-Retail-Index in Periode t
• GK: Gebundes Kapital
• NBS: Nominalbetrag der Swap-Transaktion
• KS: Gebühr der Swap-Transaktion.
Diese Formel gibt den Total Return an, der sich aus der Kombination eines physischen Büroimmobilienportfolios und einer
Swap-Transaktion ergibt. Durch den Immobilienindex-Swap verpflichtet sich der Immobilieninvestor zum Zeitpunkt t den
Total Return des IPD UK Retail-Index (dieser Index korreliert am stärksten mit dem Bestandsportfolio) bezogen auf einen
vorher festgelegten Nominalbetrag an die entsprechende Bank zu zahlen. Im Gegenzug erhält der Bestandshalter den
Total Return des IPD German All Property-Index im Rahmen der Swap-Transaktion. Je nach Marktentwicklung erhält
oder verrichtet der Immobilieninvestor so eine Kompensationszahlung, die sich aus der Differenz der beiden Indexstände
zum Zeitpunkt t, multipliziert mit dem Nominalbetrag, ergibt.
Das Problem bestand in der Herleitung der Varianz der Zufallsvariable

NBS
Z := r t,GER All Property − r t,UK Retail − KS ·
,
GK
die eine Linearkombination der beiden abhängigen Zufallsvariablen r t,GER All Property und r t,UK Retail ist. Desweiteren sollte die
Standardabweichung in Abhängigkeit des Korrelationskoeffizienten dargestellt werden.
Lösungsvorschlag
Allgemein gilt für reellwertige Zufallsvariablen X , X 1 , . . . , X n
Var
n
X
!
αi X i
=
i=1
n
X
i=1
α2i · Var(X i ) + 2
n−1 X
n
X
αi α j · Cov(X i , X j )
i=1 j=i+1
und
Var αX + β = α2 · Var(X ),
wobei α1 , . . . , αn und α, β reelle Zahlen sind.
1
Für obiges Beispiel erhält man damit:
Var (Z)
NBS
r t,GER All Property − r t,UK Retail − KS ·
GK
2

NBS
· Var r t,GER All Property − r t,UK Retail − KS
GK

NBS 2
· Var r t,GER All Property − Var r t,UK Retail − 2 Cov r t,GER All Property , r t,UK Retail .
GK
=
Var
=
=

Möchte man nun die Standardabweichung σ(Z) :=
p
Var(Z) in Abhängigkeit des Korrelationskoeffizienten
R X ,Y := p
Cov (X , Y )
p
Var (X ) Var (Y )
darstellen, so muss man in obiger Formel auf beiden Seiten die Wurzel ziehen und die rechte Seite erweitern:
σ(Z)
=
NBS
GK

· Var r t,GER All Property − Var r t,UK Retail
−2 ·
p
Var(r t,GER All Property ) ·
p
Var(r t,UK Retail ) · R r t,GER All Property ,r t,UK Retail
1
2
2