ebax

Extrakapitel für M3
1. Integration durch Substitution
(Umkehrung der Kettenregel)
Beispiel 1:
Berechnen Sie das Integral
I = ∫ 4 + 5 x ⋅ dx
Lösung:
a) Da die Wurzel eine innere Funktion hat, substituieren wir diese und leiten dann ab ...
z = 4 + 5x
dz
(= z ' ) = 5
dx
dz = 5 * dx
dz
dx =
5
| * dx
|: 5
b) Damit setzen wir das Integral neu an:
dz
I = ∫ 4 + 5 x dx = ∫ z ⋅
5
c) und integrieren nach der neuen Variablen z nach dem Vorziehen von 1/5:
3
2
1
2
1 2 3
2
1z
=
⋅
z =
z3
3
5 3
15
5
2
d) dann kann wieder rücksubstituiert werden und C dazugeschrieben werden:
2
2
(4 + 5 x )3 + C
I=
z3 =
15
15
Übungen zur Substitution:
I =∫ z⋅
1
⋅ z dz =
5 ∫
dz
=
5
1
⋅ z dz =
5 ∫
1b)
3a)
∫ (1 + x) dx
∫ x (3x − 1) dx
−2
∫ (7 − 71x ) dx
4a)
∫
4b)
∫
5a)
∫ 2x
5b)
∫x
6a)
∫ (5 x − 12)
dx
6b)
∫
7a)
∫ 5 + x dx
8a)
∫5− x
9a)
∫ sin(3x − 1) ⋅ dx
9b)
∫ cos(2 x − 1) ⋅ dx
1a)
2a)
4
2
2
2 x − 2 dx
x ² − 5 dx
−1
2
1
2 x³
4
dx
2b)
∫ (3 x − 2) dx
∫ x(5 − 7 x ² )² dx
3
x2
3b) ∫
dx
(5 − 4 x 3 ) 3
3
(3 − 2 x)² dx
x ² + 5 dx
2 x²
dx
3
1 − x³
x
7b) ∫ 2
dx
x +1
4 x³ + 8 x
8b) ∫
dx
( x ² + 2)²
1c)
2c)
3c)
∫ (2 − x) dx
∫ x(3 − 2 x² ) dx
3
4 x − 14
∫ ( x² − 7 x + 6)
4
dx
1
x( − 5) dx
x
5c) ∫ − x x ² − 1 dx
4c)
∫
6c)
∫
9c)
∫e
5
x
dx
x² − 1
x
7c) ∫
dx
1 − x²
x ⋅ ( x ² − 3)
8c)*) ∫
dx
(3 − x ²)²
3x
⋅ dx
*) zuerst kürzen!
Dr. Manfred Gurtner 2009
VHS Floridsdorf
Integrationsmethoden
1
2. Integration durch partielle Integration
(Umkehrung der Produktregel)
Beispiel 2:
Berechnen Sie das Integral
I = ∫ x ⋅ e x dx
Lösung:
Die Umkehrung der Produktregel ergibt folgende Integrationsregel:
∫ u ⋅ v' = u ⋅ v − ∫ u ' ⋅ v
Schritt 1: Bestimmen, was u und was v’ sein sollen (x soll abgeleitet werden, ist also u)
I = ∫ x ⋅ e x dx = ∫ u ⋅ v ' dx
u = x v = ex
Schritt 2: Tabelle zur Bestimmung der Ableitungen und Integrale:
u’ = 1 v’ = ex
Schritt 3: Anwenden der Integrationsregel:
u ⋅ v’
u⋅v
u’ ⋅ v
x
x
= x ⋅ e − ∫ 1 ⋅ e x dx
I = ∫ x ⋅ e dx
Schritt 4 :Nun kann das Restintegral integriert werden – und wir sind fertig!
I = x ⋅ e x − ∫ e x ⋅ 1 dx = x ⋅ e x − e x + C
Beispiel 3:
Mehrfache partielle Integration
∫ x² ⋅ sin x dx
Lösung:
u ⋅ v’
u ⋅ v
u’ ⋅ v
u ⋅ v’
1. partielle Integration: ∫ x ² ⋅ sin x dx = x ² ⋅ ( − cos x ) − ∫ 2 x ⋅ ( − cos x ) dx = − x ² cos x + 2 ∫ x ⋅ cos x dx
u⋅v
[
u’⋅⋅ v
2. partielle Integration: = − x ² cos x + 2 ⋅ x ⋅ sin x − ∫ 1 ⋅ sin x dx
]
= − x ² cos x + 2 ⋅ [x ⋅ sin x − (− cos x)] + C =
= − x ² cos x + 2 ⋅ x ⋅ sin x + 2 cos x + C
3. und Integration des Restintegrals ergibt :
Beispiel 4:
Integration führt zum Ausgangsintegral: I = ∫ sin x ⋅ e x dx
Lösung:
u ⋅ v’
u’ ⋅ v
u ⋅ v’
x
x
1. partielle Integration: I = ∫ sin x ⋅ e dx = sin x ⋅ e − ∫ cos x ⋅ e x dx
2. partielle Integration:
u ⋅ v
u ⋅ v
u’ ⋅ v
x
= sin x ⋅ e − cos x ⋅ e − ∫ ( − sin x ) ⋅ e x dx
x
3: durch Vereinfachung ergibt sich:
[
= sin x ⋅ e x − cos x ⋅ e x −
∫ sin x ⋅ e
x
]
dx
4: wir haben wieder das Ausgangsintegral bekommen, das wir mit I anschreiben:
I = sin x ⋅ e x − cos x ⋅ e x − I
|+I
5. durch Gleichungsumformung bringen wir das I auf die linke Seite und es ergibt sich:
2 ⋅ I = sin x ⋅ e x − cos x ⋅ e x
|:2
I=
sin x ⋅ e x − cos x ⋅ e x
+C
2
Dr. Manfred Gurtner 2009
VHS Floridsdorf
Integrationsmethoden
2
allgemeine Integrationsregeln:
Funktion
Integral = Stammfunktion
f(x) = k
F(x) = k·x + C
∫ (ax+b) = a
x n +1
+C
n +1
(ax + b) n +1
∫ (ax+b) =
+C
a ⋅ (n + 1)
f(x) = 1 = x −1
F(x) = ln |x| + C
∫
f(x) = sin x
F(x) = – cos x + C
∫ sin (ax+b) =
− cos(ax + b)
+C
a
f(x) = cos x
F(x) = sin x + C
∫ cos (ax+b) =
sin( ax + b)
+C
a
f(x) = ex
F(x) = ex + C
∫ eax+b =
f(x) = ax
F(x) = ax / lna + C
∫ 10ax+b =
f(x) = x
n
(n ≠ − 1)
x
Konstante mal Regel
Integral mit Schnellsubstitution
x²
+ b ⋅x + C
2
n
1
ln (| ax + b |)
= ∫ (ax + b)–1 =
+C
ax + b
a
e ax+b
+C
a
10 ax+b
+C
a * ln 10
∫ k· f(x) = k· ∫ f(x)
∫ f(x) + g(x) = ∫ f(x) + ∫ g(x)
Summenregel
Übungen zur partiellen Integration:
∫ x ⋅ e dx
11a) ∫ x ⋅ e dx
12a) ∫ x ⋅ ln x dx
13a) ∫ x ⋅ cos x dx
14a*) ∫ sin ² x dx
15a*) ∫ sin x ⋅ cos x dx
10a)
x
10b)
−x
11b)
∫ x²e
x
dx
(ln x)²
∫ x dx
12b) ∫ x ² ⋅ ln x dx
13b) ∫ x ⋅ cos 2 x dx
14b*) ∫ cos ² x dx
15b) ∫ x ⋅ sin 2 x dx
∫ x ³ ⋅ e dx
11c) ∫ ln x dx
12c) ∫ x ⋅ sin x dx
13c) ∫ x ² ⋅ cos 3 x dx
14c*) ∫ sin x ⋅ e dx
15c) ∫ x ⋅ (1 − x) dx
10c)
x
x
10
*) die partielle Integration führt zum Ausgangsintegral Integralgleichung ( I = ....–I 2⋅I = ...)
oder man ersetzt den Integranden durch eine andere Winkelfunktion laut folgender Tabelle:
sin 2 x
2
cos²x = 1 – sin²x
cos² x = (cos 2x + 1) / 2
Regeln für SIN/COS: sin x⋅ cos x =
sin²x + cos²x =1
cos 2x = cos² x – sin² x
Dr. Manfred Gurtner 2009
VHS Floridsdorf
und
und
sin²x = 1 – cos²x
sin² x = (1– cos 2x) / 2
Integrationsmethoden
3
3. Integration durch Partialbruchzerlegung
Integrale, die komplizierte Brüche enthalten, lassen sich in Teilbrüche zerlegen, die integrierbar sind
Beispiel 5:
Lösen Sie das Integral
∫
2 x² − 5
⋅ dx
x² − 4
Lösung:
Dieser Bruch lässt sich zerlegen.
1. durch Polynomdivision, wenn der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad ist:
(2x² – 5) : (x² – 4) = 2
–(2x² – 8)
/
+3 Rest
2 x² − 5
3
= 2+
daraus ergibt sich folgende Zerlegung:
x² − 4
x² − 4
2. der Restbruch wird weiter zerlegt, indem zuerst die Nullstellen des Nenners gesucht werden:
x² – 4 =0 x1,2 = {2,–2}
und mit dem Satz von Vietá zerlegt man den Nenner als Produkt (x–Nullstelle)*(x–Nullstelle):
x² – 4 = (x–2)⋅(x+2)
3. Damit kann man nun den unbestimmten Ansatz für den Restbruch machen:
3
3
A
B
=
=
+
x ² − 4 ( x − 2)( x + 2) ( x − 2) ( x + 2)
4. Diese Gleichung multipliziert man mit dem Nenner (x–2)⋅(x+2):
3 = A ⋅ ( x + 2) + B ⋅ ( x − 2)
und durch Einsetzen der Nullstellen erhält man die Variablen A und B:
x=2
3 = A⋅(2+2) + B⋅(2–2)
3 = 4⋅A A = 3/4 = 0,75
x = –2 3 = A⋅(–2+2) + B⋅(–2–2) 3 = –4⋅B B = –3/4 = –0,75
5. damit kann man nun das Integral lösen:
2x² − 5
0,75
0,75
∫ x² − 4 ⋅ dx = ∫ 2 + ( x − 2) − ( x + 2) dx = 2 x + 0,75 ⋅ ln | x − 2 | − 0,75 ⋅ ln | x + 2 | +C
Regeln für die Partialbruchzerlegung:
1. wenn Zählergrad >= Nennergrad Polynomdivision
2. Nullstellen des Nenners suchen und Nenner damit zerlegen
2x − 5
A
B
=
+
x ² − 4 ( x − 2) ( x + 2)
4. mit Nenner multiplizieren und die Nullstellen einsetzen liefert A und B
5. Integration der Partialbrüche (werden meist Logarithmen!)
3. unbestimmter Ansatz des Restbruchs, analog zum Beispiel:
Übungen zur Partialbruchzerlegung:
2 x² + x
dx
x
5
dx
17a) ∫
x−5
1
dx
18a) ∫
x² − 9
x²
19a) ∫
dx
x² − 4
16a)
∫
Dr. Manfred Gurtner 2009
x² − 4 x + 4
dx
x−2
4x
dx
17b) ∫
x−2
x+5
18b) ∫
dx
x² + x
x² − x
19b) ∫
dx
x ² − 10 x + 25
16b)
∫
VHS Floridsdorf
x² − 4
dx
x+2
3x²
dx
17c) ∫
x+4
5x − 8
18c) ∫
dx
x² − 5 x
2
19c) ∫
dx
x² + x − 6
16c)
∫
Integrationsmethoden
4
Lösungen: (ohne „+C“)
5
1a) (1 + x )
−1
71 ⋅ (71x − 7)
4a)
2 ( 2 x − 2)
3
3b)
3
− (3 − 2 x ²)²
2c)
8
−2
3c)
1
24(5 − 4 x 3 ) 2
3
4b) 3 ⋅ (2 x − 3)
3( x ² − 7 x + 6)³
1
4c) − ⋅ 5 (5 x − 1) 6
6
5
10
( x ² + 5)³
3
6b) − 3 ( x ³ − 1)²
2
5a) 2 (x − 5)
3
3
5c) − ( x ² − 1)
5b)
3
6a)
4
12
3
2b) − (5 − 7 x ²)
42
5
2
3
2a) (3x − 1)
18
3a)
4
1c) − ( x − 2)
4
1b) (3 x − 2)
+C
2 5 x − 12
5
7a) ln (|x+5|)
3
6c)
x² − 1
7b) ln(| x ² + 1 |)
7c) −
ln(| x ² − 1 |)
2
8b) 2⋅ln(x²+2)
8c) ln(| x ² − 3 |)
2
4
8a) − ln(| x − 5 |)
2
- cos(3x - 1)
3
10a) (x–1)⋅ex
2
3x
e
3
10c) (x³–3x²+6x–6)⋅ex
sin( 2 x − 1)
2
9a)
9b)
11a) (-x-1)⋅e–x
10b) (x²–2x+2)⋅ex
(ln x) 3
11c) x⋅ ln x – x
11b)
3
12b) x ³(3 ln x − 1) 12c) sin x – x⋅ cos x
12a) x ² ⋅ ln x − x ²
2
9c)
9
4
13a) cos x + x⋅ sin x
13b) cos 2 x + x sin 2 x 13c) 2 x ⋅ cos(3 x) + ( x ² − 2 ) ⋅ sin(3 x)
9
4
2
∫ sin ² x = ∫ sin x ⋅ sin x = − cos x ⋅ sin x − ∫ − cos x ⋅ cos x
= − cos x ⋅ sin x + ∫ 1 − sin ² x
14a)
= − cos x ⋅ sin x + x − ∫ sin ² x
2 * ∫ sin ² x = − cos x ⋅ sin x + x
∫ sin ² x =
14b)
| + ∫ sin ² x
3
27
sin x ⋅ cos x x sin 2 x x
+ =
+
2
2
4
2
|: 2
− cos x ⋅ sin x + x
2
14c) ex⋅(sin x – cos x)/2
15a) − cos ² x = − cos 2 x + C
4
2
15b) sin( 2 x) − 2 x ⋅ cos(2 x)
4
11
12
15c) − x ⋅ (1 − x) − (1 − x )
11
132
x²
x²
16a) x² + x
16b)
− 2x
16c)
− 2x
2
2
17a) 5⋅ln(|x–5|)
17b) 4⋅(2⋅ln(|x–2|) + x)
17c) 1,5⋅(32 ⋅ln(|x+4|) + x⋅(x-8))
ln(|
x
+
3
|)
+
ln(|
x
−
3
|)
18a)
18b) 5⋅ln(|x|) – 4⋅ln(|x-+1|) 18c) 8 ⋅ ln(| x |) + 17 ⋅ ln(| x − 5 |)
6
19a) ln(|x-2|) + ln(|x+2|) + x
5
20
19b) 9⋅ln(|x-5|) –
+x
x−5
19c) − 2 ⋅ (ln(|| x + 3) − ln(| x − 2 |) )
5
LINKS:
Substitution:
http://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/4/substitutions.3/
http://brinkmann-du.de/mathe/gost/diff_int_01_04.htm
http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration
partielle Integration:
Partialbruchzerlegung: http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung
Integrationsmaschine (Mathematica) http://www.mathe-online.at/Mathematica/
allgemeines: http://www.mathematik.net/Integ-1/ia-001.htm
Dr. Manfred Gurtner 2009
VHS Floridsdorf
Integrationsmethoden
5