Rayleigh-Quotient
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Rayleigh-Quotient
Rayleigh-Quotient Für eine hermitesche positiv definite Matrix S sind die Extremwerte des sogenannten Rayleigh-Quotienten rS (x) = x ∗ Sx , x ∗x x 6= 0 , der kleinste und größte Eigenwert von S. Rayleigh-Quotient 1-1 Rayleigh-Quotient Für eine hermitesche positiv definite Matrix S sind die Extremwerte des sogenannten Rayleigh-Quotienten rS (x) = x ∗ Sx , x ∗x x 6= 0 , der kleinste und größte Eigenwert von S. Insbesondere gilt für die der euklidischen Norm zugeordneten Matrix-Norm kSk = max rS (x) = λmax , x kS −1 k−1 = min rS (x) = λmin . x Rayleigh-Quotient 1-2 Beweis: Transformation auf Diagonalform mit unitärer Matrix U = (u1 , · · · , un ) aus Eigenvektoren: Rayleigh-Quotient 2-1 Beweis: Transformation auf Diagonalform mit unitärer Matrix U = (u1 , · · · , un ) aus Eigenvektoren: U ∗ SU = D, D = diag(λ1 , . . . , λn ), Sui = λi ui mit λi ∈ R S positiv definit =⇒ Rayleigh-Quotient 2-2 Beweis: Transformation auf Diagonalform mit unitärer Matrix U = (u1 , · · · , un ) aus Eigenvektoren: U ∗ SU = D, D = diag(λ1 , . . . , λn ), Sui = λi ui mit λi ∈ R S positiv definit =⇒ λi = ui∗ Sui ui∗ λui = >0 ui∗ ui ui∗ ui Rayleigh-Quotient 2-3 Beweis: Transformation auf Diagonalform mit unitärer Matrix U = (u1 , · · · , un ) aus Eigenvektoren: U ∗ SU = D, D = diag(λ1 , . . . , λn ), Sui = λi ui mit λi ∈ R S positiv definit =⇒ λi = ui∗ Sui ui∗ λui = >0 ui∗ ui ui∗ ui und o.B.d.A. λ1 ≥ · · · ≥ λn Rayleigh-Quotient 2-4 Beweis: Transformation auf Diagonalform mit unitärer Matrix U = (u1 , · · · , un ) aus Eigenvektoren: U ∗ SU = D, D = diag(λ1 , . . . , λn ), Sui = λi ui mit λi ∈ R S positiv definit =⇒ λi = ui∗ Sui ui∗ λui = >0 ui∗ ui ui∗ ui und o.B.d.A. λ1 ≥ · · · ≥ λn Substitution von S = UDU ∗ und x = Uy Rayleigh-Quotient 2-5 Beweis: Transformation auf Diagonalform mit unitärer Matrix U = (u1 , · · · , un ) aus Eigenvektoren: U ∗ SU = D, D = diag(λ1 , . . . , λn ), Sui = λi ui mit λi ∈ R S positiv definit =⇒ λi = ui∗ Sui ui∗ λui = >0 ui∗ ui ui∗ ui und o.B.d.A. λ1 ≥ · · · ≥ λn Substitution von S = UDU ∗ und x = Uy P λi |yi |2 y ∗ Dy rS (y ) = ∗ ∗ = Pi 2 y (U U)y i |yi | Rayleigh-Quotient 2-6 Beweis: Transformation auf Diagonalform mit unitärer Matrix U = (u1 , · · · , un ) aus Eigenvektoren: U ∗ SU = D, D = diag(λ1 , . . . , λn ), Sui = λi ui mit λi ∈ R S positiv definit =⇒ λi = ui∗ Sui ui∗ λui = >0 ui∗ ui ui∗ ui und o.B.d.A. λ1 ≥ · · · ≥ λn Substitution von S = UDU ∗ und x = Uy P λi |yi |2 y ∗ Dy rS (y ) = ∗ ∗ = Pi 2 y (U U)y i |yi | λi > 0 =⇒ λmin ≤ rS (y ) ≤ λmax Rayleigh-Quotient 2-7 Beweis: Transformation auf Diagonalform mit unitärer Matrix U = (u1 , · · · , un ) aus Eigenvektoren: U ∗ SU = D, D = diag(λ1 , . . . , λn ), Sui = λi ui mit λi ∈ R S positiv definit =⇒ λi = ui∗ Sui ui∗ λui = >0 ui∗ ui ui∗ ui und o.B.d.A. λ1 ≥ · · · ≥ λn Substitution von S = UDU ∗ und x = Uy P λi |yi |2 y ∗ Dy rS (y ) = ∗ ∗ = Pi 2 y (U U)y i |yi | λi > 0 =⇒ λmin ≤ rS (y ) ≤ λmax mit Gleichheit für y = en und y = e1 Rayleigh-Quotient 2-8 Beispel: S= 3 2 2 3 Rayleigh-Quotient 3-1 Beispel: S= 3 2 2 3 Invariant des Rayleigh-Quotienten rs (x) unter Skalierung x → λx o.B.d.A. x = (cos t, sin t)t Rayleigh-Quotient 3-2 Beispel: S= 3 2 2 3 Invariant des Rayleigh-Quotienten rs (x) unter Skalierung x → λx o.B.d.A. x = (cos t, sin t)t r (x) = 3 cos2 t + 4 cos t sin t + 3 sin2 t = 3 + 2 sin(2t) Rayleigh-Quotient 3-3 Beispel: S= 3 2 2 3 Invariant des Rayleigh-Quotienten rs (x) unter Skalierung x → λx o.B.d.A. x = (cos t, sin t)t r (x) = 3 cos2 t + 4 cos t sin t + 3 sin2 t = 3 + 2 sin(2t) Extrema ! 0 = 4 cos(2t) =⇒ t=± π 4 Rayleigh-Quotient 3-4 Beispel: S= 3 2 2 3 Invariant des Rayleigh-Quotienten rs (x) unter Skalierung x → λx o.B.d.A. x = (cos t, sin t)t r (x) = 3 cos2 t + 4 cos t sin t + 3 sin2 t = 3 + 2 sin(2t) Extrema ! 0 = 4 cos(2t) =⇒ t=± π 4 kleinster und größer Eigenwert λ± = 3 + 2 sin(±π/2), d.h. λ+ = 5, λ− = 1 Rayleigh-Quotient 3-5 Beispel: S= 3 2 2 3 Invariant des Rayleigh-Quotienten rs (x) unter Skalierung x → λx o.B.d.A. x = (cos t, sin t)t r (x) = 3 cos2 t + 4 cos t sin t + 3 sin2 t = 3 + 2 sin(2t) Extrema ! 0 = 4 cos(2t) =⇒ t=± π 4 kleinster und größer Eigenwert λ± = 3 + 2 sin(±π/2), d.h. λ+ = 5, λ− = 1 zur Kontrolle: det S = 9 − 4 = 5 · 1, Spur S = 3 + 3 = 5 + 1 Rayleigh-Quotient 3-6