Die Verbindung von Arithmetik und Geometrie

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Die Verbindung von Arithmetik
und Geometrie
Chance für einen kindorientierten
Mathematikunterricht
Klaus-Peter Eichler
PH Schwäbisch Gmünd
1
Schulanfänger ...
Kinder in Klasse 4, nach 3 Jahren
Mathematikunterricht ...
2
Die Welt, die Mathematik und das Kind
3
Kernthese
Mathematische Bildung muss aus der
Kindperspektive aufgebaut sein
und dabei
die Fachsystematik im Auge behalten.
4
Warum über die Funktion des
Faches nachdenken?
5
Die Funktion des Mathematikunterrichts in
der Grundschule - materiale Seite
Der Mathematikunterricht in der Grundschule
• befähigt die Kinder zur Beantwortung
elementarster mathematischer Fragen aus
ihrer Umwelt und der Mathematik
• schafft zugleich eine tragfähige Basis für
erfolgreiches Lernen den nachfolgenden
Klassenstufen (dort nicht nur bezogen auf das
Fach Mathematik).
6
Die Funktion des Mathematikunterrichts in
der Grundschule - formale Seite
Mathematische Aktivitäten besitzen wesentliche Potenzen für
die harmonische Entwicklung des Kindes. Das betrifft
insbesondere
• das Wecken von Neugier, Interesse und Freude an
mathematischen Aktivitäten und Fragestellungen speziell
und am Lernen generell,
• die Förderung von Fantasie und Kreativität,
• die Denk-, Gedächtnis- und Sprachentwicklung,
• die Befähigung zu und die allmähliche Gewöhnung an
ausdauernde, konzentrierte Lernarbeit,
• die Erziehung zu Genauigkeit, Sorgfalt und
Eigenverantwortung und nicht zuletzt
• die Entwicklung sozialer Verhaltensweisen.
7
Freude, Neugier und Interesse
wecken, vermuten, Fragen stellen,
probieren,
... Regeln
Zeichnen nach
5
1
4
2
3
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...
1
2
3
8
Aufgabe gelöst ...
realisierbare Ziele?
Mögliche Weiterführungen?
Möglichkeiten für differenzierendes
Arbeiten?
9
Kernthese
Lernen von Mathematik ist
- Prozess aktiver eigener Sinnkonstruktion
- sozialer Prozess aus der Sache heraus
- Prozess, der einer gezielten, geleiteten
Auseinandersetzung bedarf (im Gegensatz zur
Aneignung der Muttersprache!)
10
aktive eigene Sinnkonstruktion
11
Verstehen ermöglichen - „einsehen“
25 • 36
100 • 9 = 900
Ist es der Lehrer, der hier den
„Trick“ zeigt, ihn ERLAUBT
oder
kann das Kind auch sehen
warum das so ist?
12
halb so hoch ist doppelt so breit
3 • 86 • 4
13
Fundamentale Ideen
• Die Idee der räumlichen Strukturierung
Ar
it h
Ge
om
etr
ie
• Die Idee der Teil – Ganzes – Beziehung
• Die Idee der Zahl
m
eti
• Die Idee des Messens
• Die Idee der Gesetzmäßigkeiten und Muster k
• Die Idee der Form
• Die Idee der funktionalen Abhängigkeit
• Die Idee der Symmetrie
Größen
14
Beispiel: Muster am Zehnerkreis
15
Zur Unterrichtsgestaltung
Abermals: Aufgabe gelöst
realisierbare Ziele?
Mögliche Weiterführungen?
Möglichkeiten zu differenzierendem
Arbeiten?
(Muster an der Uhr, Muster an der
Hundertertafel, am Kalender ...)
16
Muster an der Hundertertafel
17
Muster und Strukturen am Kalender
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Lerntätigkeit
Lösen der Aufgabe 6 • 8
Prozess
Resultat
Lösungsweg
5•8+8
D (3 • 8)
8+8+8+8+8+8
Lösung
6 • 8 = 48
Verfestigung Generalisierung Verallgemeinerung •
•
•
•
Fähigkeiten
Verfahrensk.
Gewohnheiten
Einstellungen
• Kenntnisse
der GAG
„Inneres Bild“ vom Mathematikunterricht
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Ein moderner Mathematikunterricht
verbindet Arithmetik und Geometrie
• Arithmetische Sachverhalte mit
geometrische Aktivitäten verdeutlichen
(z.B. dass die Summe zweier gerader
Zahlen gerade ist)
• Geometrische Sachverhalte als
Ausgangspunkt für arithmetischen
Fragestellungen nutzen (z.B. die
gezeichneten „Multiplikationsblumen“)
20
Anschauung im Unterricht
Unterricht wird nicht dadurch anschaulich,
dass genau die in den Sachverhalten
benutzten Dinge vorhanden sind,
sondern vielmehr dadurch
dass die Kinder grundlegende Erfahrungen
besitzen, prinzipielle Mittel und Methoden
des Veranschaulichens kennen und diese
und ihre produktive Phantasie nutzen.
21
(vgl. Elefant)
Nehmen wir ...
... ebene Objekte,
also Plättchen ... ?
22
Nehmen wir ...
... runde Objekte?
23
Nehmen wir ...
...WÜRFEL !
die Bausteine der Raumgeometrie
24
Für ein lernendes Kind sind Holzwürfel
in der einen Situation Bausteine,
in einer anderen Situation Goldstücke
zum Bezahlen und
eine Stunde später Pflaumen, Äpfel
usw. verkörpern.
25
Räumliche Objekte und Prozesse veranschaulichen
• Zahlen,
• Zahlbeziehungen und
• Operationen
Die Arbeit mit ihnen trägt zur kontinuierlichen
Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens
der Kinder bei.
26
Bauen mit Würfeln und Vorstellen
1. Vorstellen von Objekten
als Repräsentanten von Zahlen
4
8
9
als Repräsentanten von
Rechenoperationen (statisch)
4+6
6+3
2. Vorstellen von Prozessen
als Repräsentanten von Rechenoperationen (dynamisch)
7+2
27
Formen und Anzahlen erfassen
28
Anzahlen erfassen und mehr ...
29
Anzahlen erfassen und mehr ...
30
Anzahlen darstellen ...
31
Anzahlen vergleichen - gedanklich umordnen
32
Anzahlen vergleichen - gedanklich umordnen
33
Beispiel: Anzahlen quasisimultan erfassen dabei gedanklich zergliedern
4 + 2 oder 3 + 3
6 + 2 oder 4 + 4
34
Beispiel: Anzahlen erfassen Strukturierungen und Strategien
Wie viele sind es? Wie hast du es gesehen? Erkläre
2·5
6+4
5+5
4+4+2
12 - 2
35
Term und Veranschaulichung
Vorgabe: 2 D - Darstellung
Paul kam vorhin und sagte, dass hier die
Aufgabe 4 + 3 passt. Kannst du einmal so
färben, wie er dass meint?
36
Vorstellen von Objekten
Horizontal- und Vertikaltrennung
37
Vorstellen von Objekten
„Gute Gestalten“
Trennung parallel zur Ebene der
Netzhaut des Auges (sagittal)
38
Vorstellen von Prozessen
39
Operationsverständnis entwickeln Terme veranschaulichen
Färbe passend zur Aufgabe
4+4
8+2
9+1
4+3
6+2
6+4
6+4
5+3
40
8+5
6+3
6+3
7+2
Operationsverständnis entwickeln Terme veranschaulichen
• vom Sachverhalt zum Term
(zu Sachverhalten Terme bilden)
• vom Term zum Sachverhalt
(Terme interpretieren, Geschichten erzählen,
Bilder zuordnen ...)
• erst dann Gleichungen
41
Die Zahl als Maßzahl - Länge
0
0
4
4
8
8
Gleichgültig, wie groß die Einheit gewählt
wird, 4 ist immer die Mitte zwischen 0 und 8
Die Zahl ist Relationalzahl
42
Die Zahl als Relationalzahl
Schulmathematik und „Straßenmathematik“
• 4 Joghurt zu je 47 Cent
• An der Kasse bei 5 Artikeln mit Preisen
von 3,78€, 4,22€, 4,18€, 3,98€, 4,09€
• Wo liegt 475? Wie stellen wir uns 475 vor?
43
Der Zahlenstrahl - (k)ein Problem
• Vorbehalte gegen den Zahlenstrahl
• So nutzen wir den Zahlenstrahl
• Zahlenstrahl und leerer Zahlenstrahl
(„Rechenstrich“)
44
Rechenwege darstellen
45
RECHENSTRATEGIEN
RECHENSTRATEGIEN
erarbeiten
festigen - beim Lösen
• erleben, welcher Weg für welcheAufgabe
• Erleben, welche Wege man „mag“
bewusst auswählen
• wählen kann nur, wer ...
46
Rechenwege darstellen
47
Die Zahl als Maßzahl - Fläche
Lege mit Würfeln Rechtecke aus.
Bei welchen Zahlen gibt es viele Möglichkeiten?
Bei welchen Zahlen kannst du Quadrate legen?
Bei welchen Zahlen werden es nur „Schlangen“?
48
aus: MATHEMATIKUS - Klasse 1 (und später - Spiralen!!!)
Idee der Gesetzmäßigkeiten und Muster
Zahlen und geometrische Objekte
besitzen Beziehungen, die sich in
Gesetzmäßigkeiten und Mustern
widerspiegeln.
Derartige Strukturen sind von Klasse 1
an der eigentliche Lerngegenstand der
Mathematik.
49
Gesetzmäßigkeiten und Muster
Es gibt gerade und ungerade Zahlen.
Welche Zahlen sind gerade?
50
Die Summe zweier ungerader Zahlen ist
stets gerade.
51
Die Summe von drei aufeinanderfolgenden
Zahlen ist immer durch 3 teilbar.
52
Die Summe von fünf aufeinanderfolgenden
Zahlen ist ...
Die Summe von vier aufeinanderfolgenden
Zahlen ist ...
Ausgehend von Handlungen können die
Kinder selbst herausfinden, was hier und
bei anderen Zahlen gilt.
53
Warum kann man bei Produkten mit
mehreren Faktoren die Faktoren in
beliebiger Reihenfolge multiplizieren?
54
Wie viele Rechtecke sind jeweils zu sehen?
Wie viele sind es bei 100 Quadraten?
Wer erkennt das Muster?
3
6
55
Wie viele Quadrate sind in jeder Figur
zu sehen?
Wie viele sind es im Hunderterquadrat?
56
Wie viele Schnittpunkte entstehen
höchstens bei
2 Geraden
3 Geraden
4 Geraden
5 Geraden
100 Geraden
Wer sieht die Regelmäßigkeit?
57
Die Arbeit mit Mustern ist neben anderem
von Bedeutung für die Entwicklung
allgemeiner geistiger Fähigkeiten:
Analysieren, Vergleichen, Abstrahieren,
Konkretisieren
Konsequenz:
Vom Kleinkindalter an mit Mustern arbeiten,
Muster mit systematisch steigendem
Schwierigkeitsgrad erfassen, fortsetzen,
erfinden ...
58
Ornamente
Zum Begriff Bandornament
ornare - schmücken
MOTIV und MUSTER
59
Bandornamente
• Begriff
• Motiv und Muster
• wählen wir Motive ...
60
Ornamente
• Wie viele verschiedene mag es wohl geben?
• Probieren Sie es mit Kindern aus!
• Kinder können Ornamente herstellen: Mit
Stempeln (z.B. Kartoffeldruck), mit
Schablonen, auf Kästchenpapier zeichnen
• eine Schablone kann gewendet werden, damit
ist - im Gegensatz zum Stempeln - die
Achsenspiegelung des Motivs möglich!!!
• Schablonen können die Kinder selbst aus
Pappe ausschneiden
61
Ornamente
nur Verschiebung, keinerlei Spiegelung
bbbbbbbbbbb
62
Ornamente
nur Punktspiegelung
b
b
q
b
q
b
q
b
q
q
63
Ornamente
Längsspiegelung
Querspiegelung
(beidbeiniges Hüpfen)
bbbb
pppp
64
Ornamente
Querspiegelung
keine Längsspiegelung
db db db db db db db
65
Ornamente
Punktspiegelung,
Längsspiegelung,
Querspiegelung
bdbdbdbd
pqpqpqpq
66
Ornamente
Punktspiegelung
Querspiegelung,
keine Längsspiegelung
db
db
qp
db
qp
db
qp
67
Ornamente
Schubspiegelung
keine Längsspielung
keine Querspiegelung
b
b
p
b
p
b
p
68
Nacheinanderausführung von
Bewegungen
V
L
Q
S
P
V
V
S
Q
S
P
L
S
V (i)
P
V
Q
Q
Q
P
V(i)
P
S
S
V
P
P
Q
S
69
Beobachtungsmöglichkeiten
• Inwieweit kann das Kind Anzahlen erfassen und wie
macht es das?
• Ist das Kind insbesondere in der Lage, Figuren vor
dem Hintergrund zu erkennen?
• Nutzt das Kind Zahlen als Ordnungszahlen zum
Beschreiben eines Bandornamentes?
• Welche Farben kennt das Kind?
• Welche der Begriffe Dreieck, Viereck, Quadrat und
Kreis kennt es?
70
• Erkennt das Kind verschiedenste Repäsentanten
geometrischer Begriffe (also beispielsweise auch
ungleichseitige Dreiecke oder Vierecke, die keine
Rechtecke sind als solche?
• Erkennt das Kind die Repräsentanten unabhängig von
ihrer Lage, insbesondere also auch wenn keine Seite
des Dreiecks oder Vierecks parallel zur Blattkante
liegt?
• Über welche sprachlichen Fähigkeiten zum
Beschreiben des Ornaments verfügt das Kind?
71
• Nutzt das Kind insbesondere Lagebeziehungen
(rechts,
links, rechts von, links von, über, unter,
oben, unten, zwischen, …) zum Beschreiben des
Ornamentes?
•
welche motorischen Fähigkeiten und Fertigkeiten
zeigte das Kind beim Fortsetzen des Ornaments?
• erfasst das Kind die dem Muster zugrunde liegende
Gesetzmäßigkeit?
72
Bandornamente fortsetzen - Legen
Hier und auf den folgenden Seiten sehen Sie,
wie Vorschulkinder Ornamente fortsetzten.
Analysieren Sie die Arbeit des Kindes und
überlegen Sie, wie das Kind fortsetzte, was
das Motiv für den Fehler war.
73
74
75
76
77
Bandornamente fortsetzen - zeichnen
78
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80
81
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Muster auf unseren Wegen
- Verbindung Mathematik - Umwelt
- handlungsorientiert
- fächerübergreifend
83
84
85
86
87
88
89
90
91
H. Paulsen: Mit Zirkel, Lineal, Tusche und
Fantasie
92
Hauptweg zur Realisierung der Ziele des Unterrichts Sicherung von geistiger Aktivität der Kinder, die auf
den Aneignungsgegenstand gerichtet ist
93
Geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Auswahl der Aufgaben
Anordnung der Aufgaben
Stellen der Aufgaben im Unterricht
Ingangsetzen und Inganghalten des Prozesses der
Aufgabenbearbeitung
Organisation der Rückbesinnung
auf das Ergebnis
auf den Lösungsweg
94
Ein breites Aufgabenspektrum einsetzen,
Die Aufgaben überlegt anordnen
Die Aufgabe allein bewirkt wenig ...
Sie ermöglicht für eine Unterrichtsgestaltung, die
• jeden Schüler erreicht und
• jedem Schüler Entwicklungsmöglichkeiten bietet.
95
Tätigkeiten
• handwerklich-praktisch
• gedanklich-theoretisch
96
Handeln und Lernen:
äußere Handlung und geistige Tätigkeit
97
Quader - mehr als eine bunte Kiste ...
98
99
www.mathematikus.de
Freeware des Projektes EGOS
entwickelt an der Uni Rostock
derzeit fortgeführt
An der PH Schwäbisch Gmünd
100

Die Verbindung von Arithmetik und Geometrie

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