Übergangsprozesse - Maikäferpopulation
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Übergangsprozesse - Maikäferpopulation
Name: Datum: Übergangsprozesse - Maikäferpopulation - Aufgabe mit Lösung Ein Maikäferweibchen legt 80 Eier und stirbt bald danach. Von den sich daraus entwickelnden Larven (Engerlinge) überleben nur ein Viertel das darauffolgende Jahr. Auch im zweiten Jahr überleben nur ein Viertel der Larven. Im dritten Jahre verpuppen sich die Larven und aus einem Fünftel von ihnen entwickeln sich im folgenden Jahr Maikäferweibchen, die wieder 80 Eier legen. 80 Larven 1 0,25 Larven 2 0,25 Larven 3 0,2 Maikäferweibchen Die Startpopulation besteht aus 6000 Larven 1, 2000 Larven 2, 300 Larven 3 und 500 Käferweibchen. Arbeitsaufträge: Untersuchen Sie die Entwicklung dieser Startpopulation. © 2006 Thomas Unkelbach ; Quelle: J. Bemetz / OSA Tübingen / Lehrerfortbildung 1999 Seite 1 von 3 Lösung: Zustandsvektor der Startpopulation: l1 ( 0) 6000 l 2 ( 0) 2000 po = = l 3 (0) 300 k (0) 500 Für die Verteilung nach einem Jahr ergibt sich: l1 (1) = 80 ⋅ k ( 0) l2 (1) = 0,25 ⋅ l1 (0) l 3 (1) = 0, 25 ⋅ l 2 (0) k (1) = 0,2 ⋅ l 3 (0) LGS in Matrixschreibweise: l1 (1) l 2 (1) l (1) = 3 k (1) 0 0 80 l 1 (0) 0 0 0 0 l 2 (0) 0, 25 ⋅ 0 0,25 0 0 l 3 ( 0) 0 0 0 , 2 0 k ( 0 ) p1 = U ⋅ p 0 0 0 80 0 0 0 0 0, 25 mit der Übergangsmatrix U = 0 0,25 0 0 0 0,2 0 0 Ausgehend vom Startvektor p0 können wir damit nun die Populationen für die folgenden Jahre berechnen: 40000 1500 p1 = U ⋅ p0 = 500 60 8000 1200 p3 = U ⋅ p2 = 2500 75 4800 10000 p 2 = U ⋅ p1 = 375 100 6000 2000 p 4 = U ⋅ p3 = = p0 300 500 In einem Zyklus von 4 Jahren stellt sich also wieder die Ausgangspopulation ein. © 2006 Thomas Unkelbach ; Quelle: J. Bemetz / OSA Tübingen / Lehrerfortbildung 1999 Seite 2 von 3 Entwicklung des Maikäferbestandes Solche vierjährigen Zyklen werden bei Maikäferpopulationen in der Natur beobachtet. © 2006 Thomas Unkelbach ; Quelle: J. Bemetz / OSA Tübingen / Lehrerfortbildung 1999 Seite 3 von 3