Probeklausur zur Linearen Algebra I Hinweise zur Berarbeitung und

Universität Würzburg
Institut für Mathematik
Prof. Dr. Oliver Roth
Dipl.-Math. Sebastian Schleißinger
Dipl.-Math. Marcel Ullrich
10.01.2012
Probeklausur zur Linearen Algebra I
Hinweise zur Berarbeitung und Lösungsvorschläge
Vorbemerkung. Egal, ob Sie die Probeklausur durchgerechnet haben oder nicht: nehmen Sie diese Hinweise
nicht einfach als Text zum Durchlesen nach dem Motto „ah, so muss ich das machen“. Lösen Sie die Aufgaben lieber nochmal selbst und gehen Sie die Hinweise durch, wenn Sie beim Lösungsversuch hängen geblieben sind. Die
Lösungsvorschläge sind keine Musterlösungen, da es bei den meisten Aufgaben stets mehrere Lösungsvarianten
gibt, insbesondere bei Gegenbeispielen in Aufgabe PK.5.
PK.1 Für α ∈ R seien
 
 1 
Vα = span α2  ⊆ R3


0
   
1 
 1
und U = span 4 , 1 ⊆ R3 .


0
1
Bestimmen Sie in Abhängigkeit von α ∈ R eine Basis von U + Vα und U ∩ Vα .
 
 
 
1
1
1
Lösungsvorschlag. Es sei v1 = 4 , v2 = 1 und wα = α2  .
0
1
0
(5 Punkte)
Zunächst sind v1 , v2 linear unabhängig (klar) und damit ist {v1 , v2 } eine Basis von U .
Für α = ±2 gilt wα = v1 , also ist hier Vα ⊆ U. Daraus folgt sofort U + Vα = U und U ∩ Vα = Vα , also
ist {v1 , v2 } eine Basis von U + Vα und {v1 }(6= {0}) eine Basis von U ∩ Vα .
Es sei nun α 6∈ R\{−2, 2}. Dann erzeugt B := {wα , v1 , v2 } den Unterraum U +Vα (denn nach Übungsaufgabe 4.2 b) gilt U +Vα = span{v1 , v2 }+span{wα } = span{wα , v1 , v2 }) und B ist auch linear unabhängig,
denn: Es gelte
 
   
 
1
1
0
1
β α2  + γ 4 + δ 1 = 0 ,
0
1
0
0
dann liefert die letzte Gleichung δ = 0 und es verbleibt
1
1
0
β
+
γ
=
.
α2
4
0
Die Determinante dieses Gleichungssystems ist 4 − α2 =
6 0, also gibt es genau eine Lösung, nämlich
β = γ = 0. Damit ist B also insgesamt eine Basis von U + Vα .
Weiter gilt dimR (U ∩ Vα ) = dimR U + dimR Vα − dimR (U + Vα ) = 2 + 1 − 3 = 0, also ist U ∩ Vα = {0}
und eine Basis von U ∩ Vα ist die leere Menge ∅.
PK.2 Für eine reelle Folge p = (p1 , p2 , p3 , ...) ∈ R∞ sei Mp die Abbildung
Mp : R∞ → R∞ , Mp (a1 , a2 , a3 , ...) = (p1 a1 , p2 a2 , p3 a3 , ...). Zeigen Sie:
a) Die Abbildung Mp ist linear.
b) Es gilt: Mp ist bijektiv ⇐⇒ pk 6= 0 für alle k ∈ N. (1+4 Punkte)
Lösungsvorschlag zu a). Mp ist linear, denn es gilt
Mp ((a1 , a2 , ...) + (b1 , b2 , ...)) = Mp (a1 + b1 , a2 + b2 , ...) = (p1 (a1 + b1 ), p2 (a2 + b2 ), ...)
= (p1 a1 + p1 b1 , p2 a2 + p2 b2 , ...) = (p1 a1 , p2 a2 , ...) + (p1 b1 , p2 b2 , ...) = Mp (a1 , a2 , ...) + Mp (b1 , b2 , ...),
und
Mp (λ(a1 , a2 , ...)) = Mp (λa1 , λa2 , ...) = (p1 λa1 , p2 λa2 , ...) = λ(p1 a1 , p2 a2 , ...) = λMp (a1 , a2 , ...)
für alle Skalare λ ∈ R und Vektoren (a1 , a2 , ...), (b1 , b2 , ...) ∈ R∞ .
Lösungsvorschlag zu b). Wir zerlegen die Behauptung in die zwei Teilbehauptungen “=⇒” und “⇐=”:
1. “=⇒”: Mp sei bijektiv. (Wiederspruchsbeweis.) Angenommen pk = 0 für ein k ∈ N. Dann gilt
Mp (0, ...0,
, 0, ...) = Mp (0, ...0,
1
|{z}
k-te Stelle
, 0, ...) = (0, 0, 0...).
2
|{z}
k-te Stelle
Dann ist Mp also nicht injektiv, Widerspruch.
2. “⇐=”: Es gelte pk 6= 0 für alle k ∈ N. Es sei q = ( p11 , p12 , ...), dann ist Mq die Umkehrfunktion von Mp
(klar?) und folglich ist Mp bijektiv.
PK.3 Es sei V ein K-Vektorraum und T : V → V eine lineare Abbildung. Zeigen Sie:
(T ◦ T )(v) = 0 für alle v ∈ V ⇐⇒ R(T ) ⊆ N (T ).
(4 Punkte)
Lösungsvorschlag.
1. “=⇒”: Es sei T ◦ T = 0 und v ∈ R(T ). [Zu zeigen ist v ∈ N (T ).] Folglich gibt es ein x ∈ V mit f (x) = v
und es folgt f (f (x)) = f (v). Wegen f ◦ f = 0 gilt f (f (x)) = (f ◦ f )(x) = 0, d.h. f (v) = 0, also v ∈ N (T ).
2. “⇐=”: Es sei v ∈ V beliebig. [Zu zeigen: (f ◦f )(v) = 0.] Dann ist f (v) ∈ R(T ) und wegen R(T ) ⊆ N (T )
gilt f (v) ∈ N (T ), d.h. f (f (v)) = 0, also (f ◦ f )(v) = 0.
PK.4 Es sei V ein K-Vektorraum mit dimK V = n ∈ N und U ⊆ V sei ein Unterraum.
a) Es gebe linear unabhängige Vektoren v1 , ..., vm ∈ V, m ∈ N, mit span{v1 , ..., vm } ∩ U = {0}.
Zeigen Sie: dimK U ≤ n − m.
b) Es sei W ein weiterer Unterraum von V und dimK U = n − 1.
Zeigen Sie: dimK (W ∩ U ) ≥ dimK W − 1.
(2+2 Punkte)
Lösungsvorschlag zu a). Wir verwenden die Dimensionsformel für U und den Unterraum span{v1 , ..., vm } :
dimK (U + span{v1 , ..., vm }) = dimK U + dimK (span{v1 , ...vm }) − dimK (span{v1 , ..., vm } ∩ U )
⇐⇒ dimK U = dimK (U + span{v1 , ..., vm }) − dimK (span{v1 , ...vm }) + dimK (span{v1 , ..., vm } ∩ U ).
Wegen span{v1 , ..., vm } ∩ U = {0} gilt dimK (span{v1 , ..., vm } ∩ U ) = 0.
Da v1 , ..., vm linear unabhängig sind, ist dimK (span{v1 , ...vm }) = m.
Außerdem ist dimK (U + span{v1 , ..., vm }) ≤ dimK V = n. Dies eingesetzt ergibt
dimK U = dimK (U + span{v1 , ..., vm }) − m + 0 ≤ n − m.
Lösungsvorschlag zu b). Wir verwenden die Dimensionsformel
dimK (U + W ) = dimK U + dimK W − dimK (U ∩ W ).
Es gilt also
dimK (U ∩ W ) = dimK U + dimK W − dimK (U + W ) = n − 1 + dimK W − dimK (U + W ).
Nun ist U + W ein Unterraum von V und dimK V = n. Dann ist also dimK (U + W ) ≤ n. Dies eingsetzt
ergibt:
dimK (U ∩ W ) = n − 1 + dimK W − dimK (U + W ) ≥ n − 1 + dimK W − n = dimK W − 1.
PK.5 Beweisen oder widerlegen Sie: (Begründung nicht vergessen!)
a) Die Menge U = {f ∈ Abb(R, R) Es gibt ein y ∈ R mit f (y) = 0.} ist ein Unterraum von Abb(R, R).
b) Für Unterräume U, W1 , W2 eines K-Vektorraums V gilt stets die Implikation
W1 ⊆ W2 =⇒ U + W1 ⊆ U + W2 .
c) Für Teilmengen M, N ⊆ V eines K-Vektorraums V gilt stets: span(M ) ∩ span(N ) ⊆ span(M ∩ N ).
z
2
(6 Punkte)
d) Die Menge P =
∈ C Re(z) = Re(w) = 0 ist ein C–Unterraum von C2 .
w
Hinweis. Bei Ja/Nein-Aufgaben ist immer folgendes empfehlenswert: Zuerst die Lösung nennen („Die
Aussage ist wahr.“ oder „Die Aussage ist falsch.“). Dann entweder eine kurze Begründung oder ein
möglichst einfaches Gegenbeispiel. Achtung: Durch ein Beispiel wird die Wahrheit der Aussage nicht
nachgewiesen. Zu einem Gegenbeispiel gehört, dass die Voraussetzung der Aussage erfüllt ist, das Behauptete aber nicht eintritt.
Lösungsvorschlag zu a). Die Aussage ist falsch: Die Polynome 1 − x, 1 + x sind Elemente von U , (denn
beide besitzen eine reelle Nullstelle: +1 bzw. −1,) aber es gilt (1 − x) + (1 + x) = 1 6∈ U.
(1 Punkt)
Lösungsvorschlag zu b). Die Aussage ist wahr: Es gelte M1 ⊆ M2 und es sei v ∈ U + W1 . Dann gibt
es u ∈ U, w ∈ W1 mit v = u + w. Wegen w ∈ W2 gilt dann aber auch v = u + w ∈ U + W2 . (1 Punkt)
Lösungsvorschlag zu c). Die Aussage ist falsch: Für V = R, M = {1} und N = {2} gilt:
span(M ) ∩ span(N ) = R ∩ R = R
*
span(M ∩ N ) = span(∅) = {0}.
(2 Punkte)
i
Lösungsvorschlag zu d). Die Aussage ist falsch: Es gilt
∈ P, aber es ist
i
i·
i
−1
=
6∈ P.
i
−1
[Wenn P ein C-Unterraum wäre, müsste jedes komplexe Vielfache von Vektoren aus P wieder in P liegen,
was hier allerdings nicht der Fall ist. Reelle Vielfache von Vektoren aus P liegen dagegen wieder in P .]
(2 Punkte)
Tipps zur Klausur:
* Die beste Vorbereitung auf die Klausur ist die fortwährende Mitarbeit im Semester: Wenn Sie sich viele Wochen
immer wieder durch regelmäßiges Nacharbeiten, Lösen von Übungsaufgaben und Diskussion mit Kommilitonen
über die Vorlesungsinhalte beschäftigen, bekommen Sie auch die nötige Sicherheit im Umgang mit der Materie.
Das eigentliche Lernen für die Klausur ist dann nur noch eine Wiederholung des Stoffes.
* Wiederholen Sie die Vorlesung und schauen Sie sich noch einmal die Übungsaufgaben an. Rechnen Sie unter
Umständen weitere Beispielaufgaben und schreiben Sie sie so sauber auf, als säßen Sie in der Klausur, damit Sie
im Rechnen und im Aufschreiben Übung bekommen. Zügiges Rechnen (z.B. Lösen eines linearen Gleichungssystems) und gründliches Aufschreiben der Lösungen werden häufig unterschätzt!
[Ihr formloses Konzeptpapier („Schmierzettel“) wird nicht eingesammelt werden, geht also auch nicht in die
Bewertung ein.]
* Lösen Sie in der Klausur zuerst die Aufgaben, bei denen Sie denken, dass Sie damit wenig Probleme haben.
Die Aufgaben werden nicht nach Schwierigkeit geordnet sein.
* Wenn Sie bei einer Aufgabe nicht weiterkommen, brechen Sie ab und beginnen Sie mit einer neuen Aufgabe.
Verbohren Sie sich nicht in eine Aufgabe. Wenn Sie später Zeit haben, können Sie immer noch über diese Aufgabe nachdenken.
* Verlieren Sie keine Zeit, z.B. indem Sie die Aufgabenstellung abschreiben.