Extremwertaufgaben (Didaktik der Analysis).

TU Dresden
Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik
Seminar: Didaktik der Analysis
Dozent: Dr. Woithe
Referent: Tom Köhler
Datum: 11.01.2010
Extremwertaufgaben
1. EWA im Mathematikunterricht
- „Vorstufe“: Problem mit gegebener Funktion  Extremwert ausrechnen
Beispiel:
Senkrechter Wurf nach oben, Anfangsgeschwindigkeit
Höhe nach t Sekunden:
- eigentliche EWA:
 innermathematische oder realitätsbezogene Textaufgabe
 meist zwei Veränderliche und eine Nebenbedingung (allg.: N Veränderliche, N-1
Nebenbedingungen)  Zusammenhang mit einer Veränderlichen herstellbar
 Verbliebene Variable soll extremal werden
- Problemlösen bei EWA:
Modellierung
Problem in Textform
i.A. Finden einer Zielfunktion
Vorteile
- Selbstständige Modellierung wird trainiert
Förderung der Kreativität
- Vorbereitung für komplexere, offene Aufgaben
- z.T. Finden eigener Lösungswege möglich
(nicht immer ist Differentialrechnung nötig)
Problem in der Sprache
der Mathematik
Nachteile
- Geschlossene Aufgaben, i.A. eindeutig lösbar
- Meist gleiche Herangehensweise
Abarbeiten von Strategien
(Anmerkung: Nachteile sind in Anfangsphase
mitunter von Vorteil)
2. Strategien zum Lösen von EWA
Einführungsbeispiel: Zaunproblem
Ein Schäfer benötigt für seine Schafherde einen rechteckigen Pferch
mit einem Flächeninhalt von 500m². Berechne die Maße des
Rechtecks, damit die Umzäunung möglichst kurz ist, wenn der
Pferch auf einer Seite durch einen Bach begrenzt wird.
Ausführliche Schrittfolge:
0. Skizze anfertigen
1. Welche Größe soll welchen Extremwert
annehmen?
2. Suchen einer Gleichung für diese Größe.
3. Welche enthaltenen Größen sind
variabel?
4. Enthält die Gleichung mehr als eine
Variable?
Nein  5.
Ja  Mit Nebenbedingungen Anzahl der
Variablen auf Eins reduzieren
5. Zielfunktion formulieren,
Definitionsbereich bestimmen
6. Suchen lokaler Extrema
7. Prüfen, ob lokale Extrema im DB auch
global sind (Ränder!)
8. Weitere Variablen aus
Nebenbedingungen berechnen
9. Lösung formulieren
Verkürzte Schrittfolge:
1. Extremale Größe herausfinden.
2. Nebenbedingungen formulieren.
3. Zielfunktion aufstellen.
4. Lösen und Ergebnis aufschreiben.
Empfehlung: Den Schülern beide Varianten zur Verfügung stellen
Zu Schritt 7.: Beispiel mit Randextremwert (aus LS 11/12 Gesamtband, 2008. Seite 82)
3. Beispielaufgaben mit gesteigertem Schwierigkeitsgrad
a) Mehr Variablen / Nebenbedingungen
(„Test zu Extremwertaufgaben“, gefunden auf www.4teachers.de)
b) Komplizierteres Finden der Zielfunktion
(„Optimierung eines Kaffeefilters“, gefunden auf www.4teachers.de)
(aus LS 11/12 Gesamtband, 2008. Seite 289)
c) Komplizierte Zielfunktion  Funktion eventuell vorgeben
Ermittlung des optimalen Abwurfwinkels
, Abwurfhöhe , Fallbeschleunigung
beim schrägen Wurf mit Anfangsgeschwindigkeit
für möglichst große Wurfweite .
Wurfweite:
Mit GTR lösbar 
(Grafik: http://www.elsenbruch.info/ph11_down/schiefer_wurf.gif)
d) Vernetzung mit anderen Gebieten der Mathematik (insb. Analytische Geometrie)
(aus LS 11/12 Gesamtband, 2008. Seite 287)