V - GiBB

BMS Physik Lösungen Hydrostatik Lösungen Hydrostatik 1.
5
a) p = 2.5 bar = 2.5⋅10 Pa = 250'000 Pa = 250 kPa b) 1025 hPa =102’500 Pa = 1.025 bar 2.
3
3
3
Dichte von Wasser: ρ H 2O = 1.0 kg/dm = 1.0 g/cm = 1000 kg/m 3.
a) nach links, da rechts ein grösserer Druck herrscht b) A = 0.0113 m2; Kraft F = 226 N 4.
Gewichtskraft: 9.2 kN, p = 1,92 bar (entspricht etwa dem Reifendruck). 5.
Fahrrad: a) Annahme 6 bar Überdruck (siehe Hinweis bei der Aufgabenstellung 1a), a) Kontakt-­‐Fläche zwischen Reifen und Fahrbahn A = 8.0 cm2 b) Die Fläche wird in etwa 2-­‐mal (bei 3 bar) bis 4-­‐mal (bei 1.5 bar) grösser; die Konsequenzen sind bessere Dämpfung und mehr «Grip», also mehr Haftung am Boden. 6.
a) Frau, 0.27 bar 7.
Injektionsspritze a) je spitzer die Nadel, umso grösser der Druck auf die Haut b) p = 557 bar 8.
a) hydraulischer Wagenheber: p = 1600 kg ⋅ g / 0.016 m ⋅ π ≈ 1.95⋅107 Pa = 195bar b) High Heels 108 bar c) Schneeschuh 0.08 bar ((
)
2
(
)
)
2
b) identischer Druck, Kraft links: F = p ⋅ A ≈ 1.95⋅107 Pa ⋅ 0.006 m ⋅ π ≈ 2.21 kN c) d) 9.
das entspricht der Gewichtskraft einer Masse von ca. 225 kg gleicher Druck, die hydraulische Presse ist ein Kraftwandler. Die kleinere Kraft am Kolben links wird mit dem entsprechend grösseren Weg „erkauft“! Da die Flüssigkeit nahezu inkompressibel ist (sie lässt sich kaum zusammendrücken), bleibt das Volumen der „verschobenen“ Flüssigkeitsmenge gleich: Weglinks = 7.1 cm Das Quecksilberbarometer kann auch so aussehen wie auf dem Bild rechts. 3
Dichte von Quecksilber ρ Hg = 13'546 kg/m Schweredruck: p = ρ ⋅ g ⋅ h = 1010 hPa = 1.01 bar , Normdruck: 1013 hPa (15°C). 10. Atmosphäre: h = 8'495 m (falls die Luft-­‐Dichte konstant wäre…) Tatsächlich nimmt der Druck mit der Höhe exponentiell ab: p(h) = p0 ⋅ e − h / H (Barometerformel) dabei ist p0 der Druck auf Meereshöhe und H = 8’005 m, In 8495 m Höhe beträgt der Luftdruck also nur noch 0.35 bar (Mt. Everest) 11. Schweredruck in Süsswasser : a) Δh ≅10.2 m b) ΔF ≅1.5 N 12. Boden: Δh = 6.5 m F = 50.1 kN entspricht 5.1 Tonnen! Deckel: Δh = 4.5 m F = 34.7 kN entspricht 3.5 Tonnen! b) Der Boden muss für eine Kraft von 50.1 kN am Speicher befestigt werden, die Füsse tragen den Speicher plus Inhalt: 2270 kg. c) Betragsgleichung für Kräfte: Gewichtskraft = Bodenkraft – Deckelkraft. (oder Vektoraddition, Kräfte und ihre Richtungen mit Pfeilen darstellen) 13. Gleiches Gewicht; wenn das Holz schwimmt, gilt Gewichtskraft = Auftriebskraft und diese ist nach Archimedes gleich dem Gewicht der (durch das Holzstück) verdrängten (und aus dem Becher geflossenen) Flüssigkeit (gilt für jede Flüssigkeit). FDeckel Speicher FBoden 14. a) auf der Seite der Glaskugel b) Auftriebskraft = 0.126 N, (m = 12.8 g), Dichte der Flüssigkeit = 1’284 kg/m3 15. Salz: Auftriebskraft = 0.24 N = ρ Spiritus ⋅V ⋅ g V = 30.6 cm3, Salzdichte: 2'200 kg/m3 , b) Salz würde sich in Wasser auflösen! 25 Lösungen 16. Eisscholle: Auftriebskraft = Gewicht − Eis + Gewicht − Eisbär Tipp: Das Volumen der Eisscholle wird als (unbekannte) Fläche A mal Dicke der Scholle (0.15 m) berechnet. (
)
A⋅0.15m ⋅1025kg/m 3 ⋅ g = A⋅0.15m ⋅917 kg/m 3 + 400kg ⋅ g , Fläche A > 24.7 m2, ca. 5 x 5 m 17. Kork: a) Die Kraft im Faden = 0.0235 N b) Die Auftriebskraft und die Gewichtskraft sind unab-­‐
hängig von der Eintauchtiefe, darum ändert sich die Fadenkraft bei konst. Korkvolumen nicht. c) 80 % des Volumens über dem Wasser, entscheidend ist das Dichteverhältnis (analoge Überlegungen gelten für schwimmende Eisberge) 18. Ponton: a) 3000kg ⋅ g = 1020kg/m 3 ⋅15m 2 ⋅ Δh ⋅ g , Eintauchtiefe 19.6 cm, 3
b) Schweredruck 0.50m ⋅1020kg/m ⋅ g = 0.50kPa 2
3
c) gesamte Tragkraft: 0.90m ⋅15m ⋅1020kg/m ⋅ g = 135kN minus Leergewicht 29.4 kN = 105.7 kN o-­‐
der 10.8 Tonnen. 19. Wir berechnen die Auftriebskraft eines Ballons: FTragkraft = FAuftrieb − FGBallon − FGHelium 0.177 N – 0.026 N – 0.029 N = 0.121 N (Zwischenergebnisse speichern). Für einer Masse von 3.4 kg (entspricht 33.4 N) benötigt man also (33.4 N / 0.121 N) = 276 Ballone mit 4.1 m3 Gasvolumen 20. Heissluftballon analoge Überlegungen wie bei Nr. 19, FAuftrieb = FGNutzlast + FGBallon + FGHeissluft 31.6 kN = FGNutzlast + 2.94 kN + 26.1 kN, Nutzlast 2.55 kN oder 260 kg 21. Segeljacht: Grundlage FGewicht = FAuftrieb, mKiel = ρ Kiel ⋅VKiel der Kielballast hat ebenfalls einen (geringen) Auftrieb, ρ Kiel ⋅VKiel + 5'000kg = VKiel + 21.8m3 ⋅1'025kg/m 3 (g gekürzt) nach dem Kielvolumen auflö-­‐
3
(
)
sen: VKiel = 1.705 m , der Kielballast wiegt ca. 19.1 Tonnen Lösungen Wärmelehre, Ausdehnung 1.
Temperatur ϑ = −5°C ; Temperaturdifferenzen werden in K (Kelvin) angegeben! 2.
AUSDEHNUNG VON NICHTS Die Antwort ist: a. Das Loch ist zwar nichts, wird aber trotzdem grösser. Jede Dimension (hier sind es 2, nämlich „Länge und Breite“) des Rings dehnt sich proportional aus. Um die Dehnung zu veranschaulichen, machen wir eine Abbildung des Rings und vergrössern diese um ein Prozent. Alles auf der Abbildung ist dann grösser, auch das Loch. Man kann leicht sehen, dass das Loch bei der Ausdehnung grösser wird, wenn man ein quadratisches Loch in einem quadratischen Stück Metall betrachtet. Trennen Sie das Metall in quadratische Segmente auf, erhitzen und dehnen Sie diese, und setzen Sie die Teile wieder zusammen. Das leere Loch dehnt sich ge-­‐
nauso stark wie das massive Metall. Das gilt für jeden Be-­‐
hälter! 3.
FESTSITZENDE MUTTER Die Antwort ist: b. Denken Sie an Aufgabe Nr. 2. Schraube und Mutter sind nicht vollständig in Kontakt miteinander, sondern haben einen kleinen Abstand (siehe Abbildung). Bei einer sehr festen Mutter ist das Problem wahrscheinlich, dass der Spalt zu klein ist. Wie kann er vergrössert werden? Wärme macht alles grösser. Die Mutter dehnt sich, die Schraube dehnt sich und, was am wichtigsten ist, der Abstand dazwischen dehnt sich ebenfalls. 26 BMS Physik Lösungen 4.
−6
-1
Stahl: α Stahl = 12 ⋅10 K ; ΔT = 145K ; neu d = 400.7 mm. 5.
Eisenbahnschiene bei –30°C: – 18.4 mm und bei +50°C: +12.3 mm 6.
Glaskeramik-­‐Kochherd a) Das Kochfeld befindet sich direkt über den Heizele-­‐
menten und ist damit grossen Temperaturschwan-­‐
kungen ausgesetzt. Da nur ein Teil erhitzt wird, würde reines Glas aufgrund der unterschiedlichen Ausdehnung Spannungen erfahren und brechen. b)
Wärmelehre α Glaskeramik ≈ 0 K −1 , α Beta−Eucriptit = −4 ⋅10 −6 K −1 ne-­‐
gativer Ausdehnungskoeffizient! c)
1 nm = 10 −9 m; also ca. 500 Atomdurchmesser; bei Beta-­‐Eucryptit handelt sich um grössere und kom-­‐
plexe Kristallstrukturen. 7.
Der Spalt zwischen Stahlzylinder und Chromstahlring nimmt im heissen Zustand von 0.08 mm auf 0.28 mm zu. 8.
Eiffelturm: a) Temperaturdifferenzen (Winter/Sommer; Tag/Nacht), Temperaturschichtung (oben /unten), Wind, Erschütterungen. b) ein ΔT = 0.28 K bewirkt bereits eine Höhenänderung von 1 mm. c) ein ΔT = 50 K bewirkt eine Höhenänderung von Δh = 0.18 m . Eine Dezimalstelle als Toleranz ist sinnvoll: h ≈ 300.1 m ± 0.1 m 9.
−6
−1
Kupferdraht: α Cu = 16.8⋅10 K , ΔT = 50 K ; Verlängerung: Δl = 17 mm Vereinfachte Skizze mit Pythagoras: 2
2
l0/2 0.5⋅ l0 + d 2 = 0.5⋅ l0 + Δl
nach d2 auflösen ergibt: d ≈ 0.40 m b) Das Durchhängen von 40 cm ist für eine sichere l0/2+Δl/2 Stromabnahme zuviel, deshalb muss die Verlängerung durch Spannvorrichtungen kompensiert werden! (
10.
)
( (
))
d a) Benzintank: Volumenzunahme ΔVBenzin = 0.85 Liter laufen über! −6
−1
b) Alutank γ Al = 3⋅ α Al = 71.4 ⋅10 K , ΔVTank = 0.055 Liter , effektiv 7.9 dl laufen aus. 11.
3
−6
−1
Volumen bei 35°C: γ Stahl = 3⋅ α Stahl = 36 ⋅10 K ; V = 200.11dm (bzw. Liter) b) Zwei verschiedene Ausdehnungskoeffizienten für Stahl und Petrol! 3
V35°C = 200.11dm 3 = V−15°C ⋅ (1+ γ Petrol ⋅50 K ) auflösen: V−15°C = 189.7 dm 12.
−3 -1
Ethanol: γ = 1.1⋅10 K , ΔV1 = 0.99 cm3, Glas γ Pyrex = 3⋅ α Pyrex : ΔV2 = 0.0086 cm3, also vernachläs-­‐
sigbar klein. Anzeige des Messzylinders: 100.98 cm3 13.
a) Erlenmeyerkolben: ΔV = 250 ml ⋅10 K ⋅ 2.1⋅10−4 K −1 = 0.525 ml = 525 mm 3 Δh = 78 mm . b) ΔVGlas = 250 ml ⋅10 K ⋅9.6 ⋅10−6 K −1 = 0.024 ml Δheffektiv = 75 mm . c) Die Dichte von Wasser ändert sich nicht gleichmässig mit der Temperatur s. auch Nr. 16! 27 Wärmelehre Lösungen gibb BMS 14.
Heizöl: a) Hier wird Menge für das Volumen in Liter verwendet. Das Volumen ändert sich mit der Temperatur, darum wird die Masse in kg verrechnet. b) Dichte ρ = 844.4 kg/m3 c) γ Heizöl = 8.9 ⋅10−4 K −1 d) ΔT = −12 K, bei ϑ = 3°C 15.
Dichte ρ = m / V , die Masse m bleibt konstant, die Dichte ist umgekehrt proportional zum Volumen; 3
a) Dichte ρ100°C = 13'352 kg/m b) Dichte ρ15°C = 13'558 kg/m c) ΔT = −22 K , Temperatur ϑ = −2°C 3
16.
a) Die Dichte nimmt nicht linear ab! Es gibt ein Maximum bei +4°C! b) Zwischen 10 und 30°C ist γ = 2.1⋅10−4 K −1 . Anschliessend nimmt Gamma zu! c) Das Heizungswasser wird nicht heisser als 95°C und darf nie gefrieren. Von 4°C bis 95°C nimmt die Dichte um ca. 4% ab, das Volumen also um 4% zu. Anlagen heute haben Wassertemperaturen bis maximal 60°C, al-­‐
so genügt für die Ausdehnung ein ΔV von 2%. Gasgesetz, ideale Gase
17.
Lösung c): das lässt sich nicht sagen; drei unabhängige Grössen in der Gasgleichung! Beispiel 1: wird der Druck konstant gehalten, muss die Temperatur tiefer sein. Beispiel 2: wird die Luft komprimiert, wird Arbeit am Gas verrichtet (die Moleküle bewegen sich schneller) und die Temperatur steigt an (z.B. Velopumpe)! Es müssen drei Grössen bekannt sein: p, V und T! 18.
T2 = 586 K = 313°C 19.
a) b) c) d) e) 20.
Flasche mit Stickstoff, konstantes Volumen, Temperatur 297 K, Erhöhung: ΔT = 24 K 21.
a) Normbedingung: T = 273.15 K (= 0°C), p = 101'300 Pa (= 1013 hPa = 1.013 bar) b) Annahme: V1 = 1.0 m3, Masse m = 1.293 kg, V2 = 1.144 m3, Dichte ρ = 1.13kg/m 3 22.
Hütte: Es ist anzunehmen, dass der Luftdruck innerhalb und ausserhalb der Hütte gleich ist. Wir be-­‐
rechnen die Volumenausdehnung von 120 m3 Luft von -­‐18°C auf 20°C. Diese Überlegung geht davon aus, dass die Luft beim Entweichen 20°C hat, was nicht ganz genau ist, da sie während des Erwär-­‐
p ⋅V2
p ⋅120 m 3
=
mungsprozesses ständig entweicht. , V = 131.2 m 3 , Differenz 11.2 m3 268 K
293 K 2
23.
Heissluftballon: Dichte bei 1 bar und 20°C: ρ = 1.19
24.
Dieselmotor: T = 786 K = 513°C 25.
28 Tipp: Die Temperaturen im Gasgesetz immer in K (Kelvin) einsetzen! V2 = 0.186 m3 V1 = 314 cm3 V2 = 5.40 m3 V1 = 531 dm3 ungefähr wie V2 p2 = 0.987 bar kg
, Volumenzunahme bei konstantem Druck: m3
V2
1.0 m 3
1.19 kg
kg
=
= 1.05 3 V2 = 1.137 m3. Dichte bei 60°C: ρ =
3
293 K 333 K
1.137 m
m
p ⋅V2
p ⋅15 dm 3
3
=
, V2 = 20.69 dm3, ΔV = 5690 cm , Δl = 38 cm Verschiebung um 38 cm. 290 K
400 K
BMS Physik Lösungen Wärmelehre 26.
Erdgas: Volumen bei Normbedingungen V = 2.26 m3 27.
Erdgaslieferung: 28.
Kühlschrank: a) Druck ca. 950 hPa oder ca. 50 hPa Unterdruck. b) Kraft auf die Türe: F = 2 kN. Dank dem Hebelgesetz wird nur die Hälfte am Türgriff benötigt, was aber immer noch 1 kN oder der Gewichtskraft von ca. 100 kg entsprechen! 29.
Gas Kugelspeicher VN 1 =
950 hPa ⋅1.0 m 3 1013 hPa ⋅V2
=
, VNorm = 0.868 m3, Heizwert 29.1 MJ 295 K
273 K
6.0 bar ⋅ 5′500 m 3 ⋅ 273 K
≈ 30′561 m 3 291 K ⋅1.013 bar
3.5 bar ⋅ 5′500 m 3 ⋅ 273 K
≈ 17 ′408 m 3 Differenz: Δ VNorm = 13'153 m3 298 K ⋅1.013 bar
Mit der Dichte (bei Standardbedingungen) von 0.83 kg/m3: Masse Gas m = 10’917 kg VN 2 =
30.
200 bar ⋅12 dm 3 1.013 bar ⋅V1
=
Taucher: V1 = 2'156 dm3, m = 2.79 kg Luft. 300 K
273 K
b) Endvolumen: 5 bar ⋅12 dm 3 1.013 bar ⋅V2
=
V2 = 56.2 dm3 288 K
273 K
2.5 bar ⋅ 25 dm 3 1.013 bar ⋅V3
=
Atemluft: V3 = 58.5 dm3 Normliter/Minute 288 K
273 K
Damit kann der Taucher maximal 35 Minuten (abgerundet) tauchen. 31.
Fahrradpumpe: 0.6 Liter von 1.97 bar und 293K auf Normbedingung umrechnen: 1.087 l 0.75 Liter von 4.97 bar und 293K auf Normbedingung umrechnen: 3.428 l, Differenz 2.34 l 1 Pumpenstoss: 0.10 Liter bei 0.97 bar auf Normbedingung umrechnen: 0.0892 l Es braucht mindestens 26.2 Pumpenstösse! b) 3.43 l Luft wiegen 4.43 g, 3.43 Liter Helium wiegen 0.61 g, Einsparung ca. 3.8 g/Rad c) Druckerhöhung von 1 auf 11 bar: Das Volumen muss von 100 cm3 auf 9 cm3 komprimiert werden. 32.
a) Temperatur Fotozustand, Beispiel Luft: l ≈ 161 mm, T ≈ 30°C b) Extrapolation absoluter Nullpunkt: Helium: -­‐285°C, Luft: -­‐274°C, CO2 -­‐218°C c) Kohlendioxid CO2 ist bei –78°C bereits fest (Trockeneis) ist also weit weg von einem idealen Gas und liefert deshalb eine schlechte Extrapolation. Volumen und Temperatur
Weitere Fragen zu den Gasgesetzen unter www.leifiphysik.de, Kapitel 9 250
200
Helium
V (ml)
150
CO2
100
50
Trendlinie Luft: y = 0.5311x + 145.13
0
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
°C
29 Wärmelehre Lösungen gibb BMS Wärme, spezifische Wärmekapazität 33.
Die Tomate hat den höchsten Wassergehalt mit der hohen spez. Wärmekapazität von c = 4.2 J/(kg⋅ K) und kann damit relativ viel Wärme speichern, die sie dann der Zunge wieder ab-­‐
geben kann... 34.
Der Sand (wie Quarz c ≈ 800 J/(kg⋅ K) ) hat eine deutlich kleinere spez. Wärmekapazität als Wasser. Das Wasser verhält sich „träger“, was das Aufheizen durch die Sonnenstrahlung betrifft. Der Sand wird wegen der kleineren spez. Wärmekapazität schneller heiss, kühlt sich aber in der Nacht schnell wieder ab, während das Meerwasser die Wärme besser speichert. In der Wüste sind die Nächte oft sehr kalt. Maritime Klimata weisen Eigenschaften auf, die auf die hohe spez. Wärmekapazität des Wassers zurückzuführen sind. 35.
Wärme Q = m⋅ c⋅ ΔT , um 10 K erwärmen a) Chromstahl: Wärmeenergie Q = 18.4 kJ b) Wärmeenergie Wasser: Q = 151 kJ c) Wärmeenergie Eis: Q = 75.6 kJ d) Wasser hat die höchste spez. Wärmekapazität, darum ist auch Q am höchsten. 36.
Q = ( m⋅ c ) ⋅ ΔT , 100 J = 27 J/K ⋅ ΔT , die Temperatur steigt um 3.7 K 37.
1 kWh = 3.6 MJ = m ⋅ 4.182 kJ/(kg ⋅ K) ⋅50 K es können ca. 17 kg (Liter) erwärmt werden. 38.
Leistung P =
39.
Mikrowellenherd: von 1200W Leistung sind nur 600W nutzbar (Wirkungsgrad von 50%). Die elektrische Leistung beträgt: Energie zugeführte Wärme m⋅ c ⋅ ΔT 0,2 ⋅ 4180 ⋅77
Pel =
=
=
=
= 600 W , Δ t = 107 s Zeit
benötigte Zeit
Δt
Δt
40.
„Duschen statt baden – Energie sparen!“ a) benötigte Wassermenge: 84 Liter (7 Min. Duschen), benötigte Wärme Q = 8.78 MJ b) Wärme Q = 26.1 MJ → Baden benötigt drei mal mehr Wasser bzw. Energie! c) Leistung P = 20.9 kW! 41.
Teewasser kochen a) Der Wasserkocher hat die kleinste Leistung ( PWK = 2000 W ⋅ 65% = 1300 W ), bringt das Wasser P
zugeführte Wärme m⋅ c ⋅ ΔT
=
= 1.81 kW Pel = Wärme = 2.01 kW 90%
benötigte Zeit
Δt
aber trotzdem am schnellsten zum Kochen ( tWK = 390 s ⋅75% = 293 s ); er setzt demnach am wenigsten Energie um. Die Glaskeramik ist die zweitbeste Variante. Gusskochplatte: Elektrische Energie = Leistung ⋅ Zeit ⇒ Q = P ⋅ t = 2000 W ⋅ 390 s = 780 kJ Vergleich Wasserkocher: 380 kJ . Der Wasserkocher spart gut 50% Energie! c) Die zur Erwärmung eines Stoffes benötigte Energie ist Q = m⋅ c ⋅ ΔT Gesamtsumme elektrisch: 780 kJ Es ist erkennbar, dass die Wärmeverluste bei der Gusskochplatte grösser sind als die zur Erwär-­‐
mung von Pfanne und Gusskochplatte benötigte Energie. Masse
Wärme Q
Anteile
Wasser 1 Liter
1.0 kg
335 kJ
43 %
Pfannenmasse mit Deckel
0.8 kg
45 kJ
6%
Gusskochplatte
2.0 kg
88 kJ
11 %
Zwischensumme
468 kJ
Folgerung: Verluste
312 kJ
40 %
Summe
780 kJ
b)
30 BMS Physik 42.
Lösungen Wärmelehre Abwärme KKW Mühleberg: Pthermisch = PNutz + PAbwärme 390 MW
≈ 33.3% 1170 MW
a)
Wirkungsgrad =
b)
Abwärme in einer Sekunde: 780 MJ 780 MJ = 11.6 m 3 ⋅1000 kg/m 3 ⋅ cWasser ⋅ ΔT Zunahme ΔT = 16.1 K 780 MJ = V ⋅1000 kg/m 3 ⋅ cWasser ⋅ 0.5 K V = 373 m3 oder im Minimum 373 m3/s c)
43.
Solare Schwimmbadaufheizung a) Wassers im Bassin: m = 1500 Tonnen, Wärmeenergie Q = 6’270 MJ; 1 m2 Sonnenkollektor liefert in 6 Stunden ca. 6,48 MJ Energie, es braucht also ca. 970m2 Kollek-­‐
torfläche oder 1.6 Mal die Schwimmbadfläche. b) Annahme: 1 m2 und Zeit Δt = 1 h. Q = 1.08 MJ, Erwärmung von 55 kg Wasser: ΔT = 4.7 K 44.
Wasserspeicher Minergie-­‐Haus a) Berechnung bei 0°C Aussentemperatur und 2 kW Leistungsbedarf. Q = 32 kWh/Tag = 115 MJ/Tag (16 h Heizbetrieb dank Nachtabsenkung) Energie-­‐Speicherinhalt bei ΔT = 50 K: Q = 418 MJ, die Energie reicht für 3.6 Tage. b) cStein = 800 J/(kg⋅ K), Q = 432 MJ, ΔT = 50K; ca. 10.8 Tonnen Stein, Dichte von Gestein (Kies) 1600 kg/m3, Volumen 6.75 m3 c) Ein Steinspeicher muss mindestens das dreifache Volumen aufweisen und ist daher ungünstig. Steinspeicher werden fürs Kühlen oder Heizen mit Luft eingesetzt: Kanäle oder Zwischenräume im Stein dienen dem Wärmetransport. Ein Steinspeicher könnte höher aufgeheizt werden, dann sind aber die Verluste grösser. 45.
Mischtemperatur 25. 8°C 46.
4.5 kg Wasser müssen zu Beginn auf 69.6°C erwärmt werden 47.
Badewasser: mkalt + mheiss = 200 kg in die Mischrechnung einsetzen: mkalt = 91 kg kaltes Wasser, mheiss = 109 kg heisses Wasser 48.
Wärmekapazität des Kalorimeters m ⋅ c = 83.6 J/K Einheit beachten! 49.
Mischtemperatur ermitteln Energiebilanz: 383
b)
Mischtemperatur θm = 25.2°C (m
⋅c
+ mKal ⋅ cKal ) ⋅ TMisch − 20°C
cWerkstück = H 2O H 2O
mWerkstück ⋅ 100°C − TMisch
c)
50.
J
J⎞
⎛
⋅ (100 − 25 ) K = ⎜ cFlüssigkeit ⋅ 0.50 kg + 58 ⎟ ⋅ 5.0 K ⎝
kg ⋅ K
K⎠
a)
(
Wärmekapazität der Flüssigkeit: (
)
cFlüssigkeit = 2182
)
J
kg ⋅ K
Zustandsänderungen; Phasenübergänge
51.
Lösung d): Im Dampfkochtopf kocht Wasser erst bei ca. 120°C. Eis schmilzt bei grossem Druck bereits bei Minustemperaturen (Bsp. Schlittschuh fahren; Wasserfilm unter Metallkufe, ca. 70 bar Druck) Eine einfache Erklärung: Wenn Eis schmilzt nimmt das Volumen ab und der Druck hilft bei der Ver-­‐
dichtung. Umgekehrt nimmt das Volumen beim Verdampfen zu und der Druck (z.B. im Dampfkoch-­‐
topf) behindert die Ausdehnung, das heisst, die Wassermoleküle benötigen eine grössere Energie (höhere Temperatur, ca. 120°C) um sich von der Wasseroberfläche zu lösen und so Wasserdampf zu bilden („kochen“). 31 Wärmelehre Lösungen gibb BMS 52.
Schnee schmelzen a) Der Schnee wird bis zum Schmelzpunkt erwärmt und dann geschmolzen (Zustandsänderung); das Schmelzwasser wird bis zum Siedepunkt erwärmt. b) Annahmen. Der Schnee verhalte sich wie reines Wasser, die Masse sei konstant, es gehe keine Wärme verloren (keine Verlus-­‐
te), konstante Leistung, d.h. die Zeitachse entspricht dann auch der Energieachse. 53.
Zuerst muss der Schnee (thermisch wie Eis betrachtet) von -­‐12°C auf 0°C erwärmt werden, dann geschmolzen und dann das Schmelzwasser von 0°C auf 96°C erhitzen werden. Leistung P =
zugeführte Wärme 1.22 ⋅106 J
=
= 1.13 kW (typische Kochplatte 1 – 2 kW) benötigte Zeit
18⋅60 s
54.
a) m2 = 1.38 kg b) es bleiben 6.19 kg Eiswasser bei 0°C, und darin schwimmt ein „Eisberg“ von 0.110 kg (0°C) c) m1=3.74 kg 55.
Eine negative Mischtemperatur bedeutet, dass offensichtlich noch Eis übrig bleibt (Es hat zuwenig Energie, um alles Eis zu schmelzen). Eis von -­‐10°C auf 0°C erwärmen: 31,5 kJ. Wasser auf 0°C abkühlen: 100.4 kJ [mehr Energie kann das Wasser nicht abgeben, ohne selbst zu gefrieren!] Es bleiben 68,9 kJ Wärmeenergie, und damit kön-­‐
nen 0.206 kg Eis geschmolzen werden. Es bleiben 2.2 kg Eiswasser bei 0°C (2 kg +0,206 kg geschmol-­‐
zenes Eis) und ein ca. 1.3 kg –„Eisberg“ ebenfalls bei 0°C. 56.
a) Wärme Qs = 6.68 kJ b) Mischtemperatur θ = 10.9°C 57.
Bergsteiger a) Beim Schwitzen und anschliessendem Verdunsten der Flüssigkeit wird der Haut Wärmenergie in Form von Verdampfungswärme entzogen; bei schnell verdunstenden Flüssigkeiten (Sprit, Aceton) ist dieser „Kühleffekt“ausgeprägter (Kältespray). b) Q = 4.06 MJ c) Q = 1.13kW·∙h (ein handelsüblicher Haartrockner läuft ca. 1 Stunde lang ...) 58.
Heisse Schokolade ⎛
kJ
kJ ⎞
⋅ ( 60 − 5 ) K = 64.35 kJ = ⎜ cWassert ⋅ 40 K + 2256 ⎟ ⋅ mDampf Dampf-­‐
⎝
kg ⋅ K
kg ⎠
menge: 26.6 g oder etwa 9% Wasser zusätzlich zur Milch 0.3 kg (3 dl) Milch 0.3 kg ⋅ 3.9
59.
Eiswürfel: a) 0,07 kg (70 g) Eis, b) mit Berücksichtigung des Glases: 0,079 kg (79 g) Eis. 60.
Kunsteisbahn: a) Es müssen 17.7 GJ (17.7⋅109J) Wärme entzogen werden b) Die entzogene Wärme reicht aus, um ca. 170 m3 Wasser zu erwärmen. Bei jeder Kältemaschine entsteht Abwärme, weshalb eine Kombination mit einem Hallenbad sinnvoll wäre. 61.
Siedewasserreaktor Mühleberg a)
(
)
Pgesamt = 1170 MW=1.17 ⋅109 W ≈ m⋅1.506 ⋅106 J/kg / 1 s , m = 777 kg/s oder 2'800 Tonnen Dampf pro Stunde! Das sind 2'800 Tonnen Wasser pro Stunde! b)
PZerfall ⋅1 s = 0.2% ⋅1.17 ⋅109 W ⋅1 s ≈ 2.34 ⋅106 J = m⋅ 4.18kJ/(kg k) ⋅65K , nach der Masse m auflö-­‐
sen: 8.61 kg/s oder 31.0 Tonnen Wasser pro Stunde! 32 Lösungen BMS Physik Kinematik Lösungen Kinematik 1.
s = c ⋅ t , c = 3 ⋅ 10 8 m/s , Sonne: ca. 500 s oder 8.3 Minuten, Mond: 1.27 Sekunden 2.
t = s /v Der Autofahrer benötigt: 50 bzw. 75 Minuten. 3.
Mann an der Bushaltestelle: v-t-Diagramm
s-t-Diagramm
700
600
500
400
300
200
100
0
0
300
600
900
1200
4
3
2
1
0
-1 0
-2
-3
-4
300
600
900
1200
4.
Negative Geschwindigkeiten sind nur sinnvoll, wenn ein Koordinatensystem gegeben ist. Dann bedeuten Sie eine Bewegung in der Gegenrichtung (siehe Bsp. oben) 5.
1 hat eine konstante Geschwindigkeit von 2.56 m/s oder 9.2 km/h (z.B. joggen), 2 wartet 15 Minuten bei 10 km und kommt dann 1 mit 6.67 m/s oder 24 km/h entgegen (Fahrrad) b) s1 = 2.56 m/s ⋅t , s2 = 16 km − 6.6 m/s ⋅t , in 15 Minuten legt das Fahrrad 6 km zurück. c) s1 = s2 , 2.56 m/s ⋅t = 16'000 m − 6.6 m/s ⋅t , nach t auflösen: t = 1733 s = 28.9 min Ort: 4'444 m vom Start von 1 entfernt, 2 ist also 5'556 m gefahren. 6.
Feuerwerk: Distanz 3.2 km horizontal, t = 9.4 s, b) Höhendifferenz 350 m, mit Pythagoras ist die Diagonale nur 19 m länger, also benötigt der Schall ca. 0.056 s länger. 7.
Läuferin 3.0 m/s und Radfahrer 7.0 m/s s [m]
a) Diagramm s-t-Diagramm Nr. 7
15000
b) t = 1’500 s = 25 min, 4.5 km Distanz zu A, 10.5 km zu B 12000
9000
c) Strecke der Läuferin in 5 min: 900 m, Gleichungen: s1 = 900 m + 3.0 m/s ⋅t ' und 6000
3000
s2 = 15'00 m − 7.0 m/s ⋅t ' , gleichsetzen: Zeit t’ = 1410 s, plus 300 s, t = 1710 s, 5’130 m Distanz zu A t [min]
0
0
d) gleiche Richtung: s1 = 1'800 m + 3.0 m/s ⋅ t ′′
s2 = +7.0 m/s ⋅ t ′′ , Zeit t“ = 450 s oder 5
15
20
25
30
35
40
45
grafischer Fahrplan Nr. 8
40
s [km]
t = 1050 s, 3’150 m vom Start entfernt. 8.
10
35
30
Grafischer Fahrplan: Je steiler die Geraden, desto höher ist die Geschwindigkeit. S-­‐Bahn grün: v1 = 60 km/h, v2 = 68 km/h, IC: v6 = 113 km/h Regionalexpress RE blau v3 = 100 km/h, v4 = 0 km/h kurzer Halt in Münsingen, v5 = 102 km/h, ICE rot: 39.2 m/s = 141 km/h. 25
20
15
10
5
t [min]
0
-30
-20
-10
0
10
20
30
33 Kinematik 9.
Lösungen BMS Physik Zwei Fahrer und eine Biene: 4.16 m/s ⋅t = 20'000 m − 5.5 m/s ⋅t
Zeit t = 2057 s = 34.3 min. Das langsamere Fahr-­‐
rad hat 8’571 m zurückgelegt. b) Die Biene fliegt ebenfalls während 2057 s und legt dabei 28.6 km zurück. Über die Zeit ist die Rechnung also ganz einfach! c) Grafische Lösung siehe „Fahrplan“rechts 10. Wasserleitung: Fläche A = 0.785 cm2, Volumen V = A⋅ l = 150 ⋅103 cm 3 nach der Länge auflösen: 1910 m v = Länge /8 min ≈ 3.98 m/s v = l / Δt = 1910 m / 480 s = 3.98 m/s Formel: V / t = A⋅ v Einheiten: m 3 /s = m 2 ⋅ m/s Mittlere Geschwindigkeiten 11. Für die ersten 10 km werden 24 Minuten benötigt, für die Bergfahrt 30 Minuten, Diagramm siehe rechts. Also ist die Durchschnittsgeschwindigkeit v = 15 km / 54min = 16.6 km/h Achtung die Gewichtung mit der Strecke ist falsch! 12. Gegenwind: t1 = 1290 s, Rückenwind: t2 = 645 s, Summe 1935s, also 215 Sekunden län-­‐
ger. Die Aussage ist falsch, weil die Fahrt mit der tieferen Geschwindigkeit länger dauert und des-­‐
halb stärker gewichtet werden muss! 13. Transportflugzeug: Streckengleichung! v1 ⋅ 2/3 h = v1 − 36 km/h ⋅1/4 h = 780 km (
)
v1 = 861 km/h, v2 = 825 km/h 14. Flugzeug mit Rücken. bzw. Gegenwind: 864 km/h + w ⋅5 h = 864 km/h − w ⋅6 h = s (
)
(
)
s [km]
s-t-Diagramm Nr. 11
16
14
12
10
8
6
4
t [min]
2
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
v [km/h]
28
24
20
16
12
8
4
0
v-t-Diagramm Nr. 10
t [min]
Wind 78.5 km/h, Strecke 4'713 km 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
15. Motorboot auf Fluss abwärts: v = 7.2 km/h = vBoot + vFluss, aufwärts: v = 5.4 km/h= vBoot -­‐ vFluss Addition der beiden Gleichungen ergibt: vBoot = 6.3 km/h, vFluss = 0.9 km/h, Durchschnitt: v = 21.6 km / 3.5 h = 6.17 km/h Die mittlere Geschwindigkeit ist kleiner als die Bootsgeschwindigkeit! 16. a) b) c) d) e) f) g) 34 Bewegung nach rechts bis ca. 7s bei 350 m rechts, denn Umkehr und Bewegung nach links bis ca. 13 s bei -­‐100 m, anschliessend Stillstand. -­‐3s < t < 4s: 200 m / 7s =28.6 m/s = 103 km/h, 8s < t < 13s: -­‐80 m/s = -­‐288 km/h Gegenrichtung! positiv: -­‐3s < t < 7s negativ: 7s < t < 13s Momentangeschwindigkeit v =0: t = 7 s und t > 13 s Momentangeschwindigkeit für t = 1 s: ca. 220 m / 6 s = 37 m/s Momentangeschwindigkeit für t = 10s: ca. -­‐300 m / 3 s = -­‐100 m/s Tangente zeichnen und Steigung berechnen! maximale Geschwindigkeit vmax = 40 m/s, Zeit ca. 2 bis 6 s: Minimum (negativ); vmin = -­‐150 m/s, Zeit ca. 9 s Lösungen BMS Physik Kinematik 17. s-­‐t-­‐Diagramm mit zwei Bewegungen a) Geschwindigkeit von K1: v1 = 40 m/s = 144 km/h. b) Kreuzen bei 10s und 300 m, überholen bei -­‐1.7 s, -­‐170 m c) Die Tangente an die Kurve 2 muss parallel zur Geraden 1 sein. t ≈ 5 s, an verschiedenen Orten! s1 = 100 m, s2 = 400 m d) Zwischen überholen und kreuzen, von –1.7 s bis 10 s oder z.B. von 1 s bis ca. 8s 18. Autobahn: Vor dem Ereignis ca. 1400 m in 50 s, v1 = 28 m/s = 100 km/h, nach dem Ereignis ca. 900 m in 50 s, v2 = 18 m/s ≈ 65 km/h, b) Durch eine horizontale Spur wird ein Stillstand angezeigt, er dauert kurze 10 bis 15 s. Sein Eintreten verschiebt sich immer mehr rückwärts, also gegen die Fahrtrichtung. Die Staufront bewegt sich mit ca. – 5 m/s. Bezugssysteme und Richtungen 300
20. Zwei Züge, relative Geschwindigkeit: v1 + v2 = 160 km/h, t = 5.625 s 250
200
21. PW überholt LKW: v1 = 33.3 m/s, v2 = 22.2 m/s, Differenz 11.1 m/s Strecke: 90 m = Δt ⋅ Δv , Δt = 8.10 s b) siehe Diagramm rechts c) in 8.1 s legt PW1 270 m und PW2 225 m zurück, also muss die Sichtweite mindes-­‐
tens 495 m betragen. 150
100
50
0
0
1
2
22. Vektoren grafisch addieren: v1 oder v2 verschieben und die Summe zeichnen, Parallelogramm oder Dreieck rechnerisch mit Koordinaten: v1x = 21.7 m/s v1y = 12.5 m/s v2x = -­‐28.3 m/s v2y = 28.3 m/s vx = -­‐6.6 m/s vy = 40.8 m/s Summe: −6.6 / 40.8 m/s = 41.3 m/s ;∠ 99.2° 4
5
6
7
8
9
10
Vektorsumme: (
23.
3
)
(
)
(-6.6 m/s; 40.8 m/s) = ( 41.3 m/s; !99.2°) Flugzeug im Landeanflug: ( 75.0 m/s; !3.0°) = ( 74.9 m/s; 3.93 m/s ) b) maximale Sinkgeschwindigkeit: β = arcsin (10 m/s / 75 m/s ) = 7.66° 45° (
30° )
24. Turboprop: nördliche Abweichung von der Ost-­‐West-­‐Richtung: α = arcsin 80 / 500 = 9.21° ; ; Ge-­‐
2
2
2
schwindigkeit: 500 km/h − 80 km/h = vOstWest
Reisegeschwindigkeit: ca. 494 km/h, Reisezeit 1.62 h (
) (
(
)
) (
2
25. Flugzeug nach Süden: 360 km/h − 350 km/h
(
)
)
2
2
= vWind
, Wind ca. 84 km/h, Winkel α = arccos 350 / 360 = 13.5° 350 km/h α
26. Schallgeschwindigkeit mit Skizze! Gegeben sind zwei Geschwindigkeiten und die horizontale bzw. vertikale Richtung: α = arcsin 250 / 340 = 47.3° (
)
vF α
360 km/h cSchall 35 Kinematik 27. a) c) Lösungen BMS Physik (
)
TR: (1.2 m/s; 0.60 m/s ) = (1.34 m/s; !26.6°) 0.6 m/s ⋅t = 50 m , t = 83.3 s b) α = arctan 0.6 / 1.2 = 26.6° Winkel zum Ufer v = 1.34 m/s (Pythagoras) d) Distanz flussabwärts 1.2 m/s ⋅83.3 s = 100 m 28. Boot 1 und 2: Die Vektordarstellung anwenden! 3.0 m/s; !90° = 0 ; 3.0 m/s in 20 s über den Fluss. 4.0 m/s; !60° = 2.00 ; 3.46 m/s in 17.3 s über den Fluss. (
(
) (
) (
)
)
Boot 2 hat mit 3.46 m/s die grössere Geschwindigkeit vy senkrecht zum Ufer! Addition Boots-­‐ und Flussgeschwindigkeit: 2.0 ; 3.0 m/s = 3.61 m/s; !56.3° , 40 m flussabwärts (
)
(
)
( 4.0 ; 3.46 ) m/s = (5.29 m/s; !40.9°) , 69.3 m flussabwärts, Differenz 29.3 m 29. Zwei Schwimmer a) 2 Skizzen siehe rechts; rot = Kurs über Grund gestrichelt = Blickrichtung Schwimmer (
b)
c)
d)
e)
f)
) (
2
)
Fluss Fluss 2
2
Pythagoras: 1.6 m/s − 1.2 m/s = veff
veffB = vy = 1.058 m/s .B
, t A = 30 m / 1.6 m/s = 18.75 s , t B = 30 m / 1.058 m/s = 28.4 s VB VA β
α
Die Komponente rechtwinklig zum Ufer wird für Schwimmer A nicht verringert, deshalb erreicht A das gegenüberliegende Ufer am schnellsten. Geschwindigkeit über Grund: v A = 1.2 ; 1.6 m/s = 2.0 m/s; !53.1° ; d.h. Schwimmer A bewegt (
)
(
)
sich mit 2.0 m/s vom Ufer, Winkel zum Ufer 53.1°, Winkel α = 90° − 53.1° = 36.9° . Schwimmer B wird durch den Fluss teilweise abgebremst ( siehe entsprechende Skizze) und be-­‐
wegt sich mit 1.06 m/s senkrecht vom Ufer weg. Ein Beobachter in einem treibenden Boot sieht die gestrichelt dargestellten Bewegungen. Die beiden Schwimmer sind gleich schnell, 1.6 m/s. Winkel β = arcsin 1.2 / 1.6 = 48.6° (
)
Winkel zwischen Bewegungsrichtung und Uferlinie: a Für Schwimmer A (Winkel „alpha“) = arcustan (1.2/1.6) = 36.9° oder arcussinus (1.2/2.0) = 36.9°. Für Schwimmer B sind es logischerweise 90°. Die Winkel α = 36.9° und β = 48.6° sind nicht gleich! Beschleunigte Bewegungen 30. Skispringer Δs =
31. Gewehr: Δs =
v ⋅ Δt
Δv
= 120 m , Zeit t = 9.6 s, a =
= 2.60 m/s 2 2
Δt
v ⋅ Δt
Δv
= 0.50 m Zeit t = 2.0 ms = 0.002 s, a =
= 2.6 ⋅105 m/s 2 2
Δt
32. Auto: Definition a = Δv / Δt = 2.7 m/s 2 , b) s = 12 a ⋅t 2 = 139 m oder mittlere Geschwindigkeit (50 km/h) mal Zeit (10 s) c) s = 12 a ⋅t 2 = 69.4 m , Zeit t = 7.07 s oder t = 10 s / 2 33. Auto bremst auf null ab: t = 3.125 s, Strecke s = 39.1 m. Nach drei Vierteln der Strecke ist die Ge-­‐
schwindigkeit halb so gross! Skizzieren Sie das v-­‐t-­‐Diagramm! v ⋅ Δt
= 1080 m 2
b) nach 100m: s = 12 a ⋅t 2 = 100 m , Zeit t = 8.45 s, v = 23.66 m/s = 85 km/h 34. Airbus: Δv = a ⋅ Δt = 77.7 m/s , Zeit t = 27.8 s, Strecke Δs =
36 Lösungen BMS Physik Kinematik 35. Zug: Skizze v-­‐t-­‐Diagramm mit drei Zeitabschnitten, zerlegen Sie die Aufgabe in Teilaufgaben. a) mittlere Geschwindigkeit: 45 km/h in 3 min: Strecke s = 2.25 km Beschleunigung: a = 0.139 m/s2 b) Zeit t2 bis t3, v = 45 km/h wie oben, s = 2 km Zeit t3 – t2 = 160 s, a = -­‐0.156 m/s2 c) Reststrecke von t1 bis t2: 95.75 km bei 25 m/s ergibt eine Zeit von 3830 s, Gesamtzeit t3 = 4170 s, Durchschnittsgeschwindigkeit ca. 86 km/h v t t1 t2 t3 36. Bus ähnlich wie 38: beschleunigen t1 = 8.67 s, Strecke s1 = 56.3 m, abbremsen t3 = 13 s, Strecke s3 = 84.5 m, restliche Strecke s2 = 659.2 m, t2 = 50.7 s, total 72.4s, mittlere Geschwindigkeit: v = 11.05 m/s ≈ 39.8 km/h 37. Bauarbeiten: v = 35 m/s, abbremsen t1 = 41.67 s, t2 = 150 s, beschleunigen t3 = 50 s, total 241.7 s, mitt-­‐
lere Geschwindigkeit für s1 und s3: 22.5 m/s, Strecken: s1 = 937.5 m, s2 = 1500 m, s3 = 1125 m, total 3'563 m, Normalzeit mit 35 m/s: t0 = 101.8 s, Verzögerung 140 s 38. Weltrekordlauf 100 m 9.58 s, effektive Laufzeit: t2 = 9.43 s. Gleichung mit der Beschleunigungszeit 1: s = 100 m = 12 12.3 m/s ⋅t1 + 9.43 s − t1 ⋅12.3 m/s (
)
t1 = 2.60 s, Beschleunigungsstrecke: 15.99 m, 12.3m / s
2
Beschleunigung: a = 2.60s = 4.73 m/s Bei anhaltend konstanter Beschleunigung könnten 100 km/h in 5.9 s erreicht werden! Hinweis: 12.3 m/s sind 44.3 km/h! 150
Variante: Wir rechnen 100
s plus = 9.43 s ⋅12.3 m/s = 115.99 m und erken-­‐
nen, dass exakt 15.99 m zu viel sind. Aus der Grafik wird ersichtlich, dass diese Strecke und die Beschleunigungsstrecke gleich sind. t1 s [m] t [s]
0
0
14
2
4
6
8
10
v [m/s]
12
10
8
6
4
Nr. 39 2
40. mittlere Geschwindigkeit nach 3.0 s v = 25 m / 3.0 s = 8.33 m/s und die Endgeschwindigkeit v End = 16.6 m/s ist a)
t 50
39. Abschnittszeiten 100 m WR-­‐Lauf: Die mittleren Geschwindigkeiten sind berech-­‐
net als v = Δs / Δt Startbeschleunigung ca. 3.96 m/s2, berechnet mit 40 m in (4.64 -­‐ 0.146) s. Endgeschwindigkeit ca. 12.0 m/s, Maximalwert ca. 12.4 m/s. Nur wenig Abweichung zu Nr. 38 doppelt so gross! a =
v t [s] 0
0
2
4
6
8
10
2
v End − 0
= 5.5 m/s 2 oder 25 m = 12 a ⋅ ( 3.0 s ) Δt
( )
v ( 4 s ) = 22.2 m/s , v (5 s ) = 27.7 m/s Δs = v ⋅ Δt = 25.0 m , Variante: s(4 s) = 12 a ⋅ 4 s = 44.4 m , 2
s(5 s) = 12 a ⋅ (5 s ) = 69.4 m Δs = s(5 s) − s(4 s) = 25.0 m 2
b)
v = a ⋅t = 27.7 m/s , t = 5.0 s, ein spurtstarkes Auto! 37 Kinematik Lösungen BMS Physik 41. Beschleunigtes Fahrzeug: Strecken s1 = 27 m, v1 = 18 m/s, v2 = 28 m/s, Δt = Δv / a2 = 2.5 s , s2 = v1−2 ⋅ Δt = 33 m/s ⋅ 2.5 s = 57.5 m , Gesamtstrecke 84.5 m Durchschnittsgeschwindigkeit v = Δs / Δt = 84.5 m / 5.5 s = 15.4 m/s = 55.3 km/h Endgeschwindigkeit 28 m/s = 100.8 km/h 42. a) Der Wert der Beschleunigung kann negativ sein! Wenn die Richtungen von a und v0 entgegengesetzt sind, handelt es sich um eine verzögerte Be-­‐
wegung. Wenn die Richtungen von a und v0 gleich sind, handelt es sich um eine be-­‐
schleunigte Bewegung. b) v t = v0 + a ⋅t nach t auflösen und in der zweiten Gleichung einsetzen. ()
(
)
v0 a (
)
Nach ein paar Umformungen folgt: 2 ⋅ a ⋅ s − s0 = v 2 − v02 oder v 2 = v02 + 2 ⋅ a ⋅ s − s0 Für eine verzögerte Bewegung ist a < 0 und die Anfangsgeschwindigkeit nimmt ab. 43. Diagramm 1. Abschnitt: konstante Geschwindigkeit 25 m/s, s1 = 250 m, a = 0 2. Abschnitt: abbremsen auf 15 m/s, a2 = -­‐1.43 m/s2 s2 = 140 m, 3. Abschnitt: konstante Geschwindigkeit 25 m/s, s3 = 195 m, a = 0 4. Abschnitt: abbremsen auf 0 m/s, a4 = -­‐6.0 m/s2, s4 = 18.75 m, Die Fläche unter der Kurve ist ein Mass für die Strecke. 44. Daten aus dem v-­‐t-­‐Diagramm: Bewegung 1: v = konstant = 5 m/s, Gerade s = 5 m/s ⋅t Bewegung 2, abfallend: v = 10 m/s − 2.5 m/s 2 ⋅t , Parabel nach unten offen, Maximum bei 4 s. Bewegung 3, ansteigend: v = −10 m/s + 2.0 m/s 2 ⋅t , Parabel nach oben offen, Minimum bei 5 s. 45. Daten aus dem s-­‐t-­‐Diagramm: Abschnitt 1, s = 15 m − 2.5 m/s ⋅t , a = 0, Abschnitt 2, s = 10 m, v = 0 und a = 0, v = 0, a = 0 Abschnitt 3, s = 50 m − 10 m/s ⋅t , a = 0, Parabel: Tangente zeichnen v 0 s = 10 m/s , v 2.5 s = 0 m/s , v 5 s = −10 m/s , ( )
(
)
( )
Punkte im v-­‐t-­‐Diagramm einzeichnen, drei Punkte auf einer abfallenden Geraden mit a = -­‐4 m/s2. v t = 10 m/s − 4.0 m/s 2 ⋅t Parabel: s1 (t) = 5.0 m + 10 m/s ⋅ t − 0.5⋅ 4.0 m/s 2 ⋅ t 2 ()
46. Nach 3 s hat Luca 18 m zurückgelegt. Gleichung: 18 m + 6.0 m/s ⋅ t = 0.5⋅ 4.0 m/s 2 ⋅ t 2 Zwei Lösungen -­‐1.85 s und 4.85 s, in 4.85 s legt Sarah 47.1 m zurück und erreicht eine Geschwindigkeit von 19.4 m/s oder ca. 70 km/h. 47. PW1 nach 0.60 s: s1 (t) = 0.5⋅ a ⋅ t 2 = 1.08 m v1 (t) = a ⋅t = 3.6 m/s 2
2
2
2
Gleichungen s1 (t ′ ) = 4.32 m + 7.2 m/s ⋅ t ′ + 3.0 m/s ⋅ t ′ , s2 (t ′ ) = 3.5 m/s ⋅ t ′ gleich setzen: t‘ = 7.49 s bzw. t = 8.69 s, Position: 196.3 m b) mit v1 = 52.1 m/s = 188 km/h, v2 = 54.4 m/s = 189 km/h, 48. Überholvorgang, Differenzstrecke: 100 m = 0.5⋅ a ⋅t 2 , Zeit t = 8.94 s, Strecke LKW: 224 m, PW 324 m, Endgeschwindigkeit: 47.4 m/s = 170 km/h! 49. Nebel! s0 = 11.11 m, Bremsstrecke 21.4 m, zusammen 32.5 m. Auf einer engen Strasse ist das zu schnell, weil Sie auf die halbe Sichtweite anhalten müssen. b) 0.8 s ⋅ v0 +
v02
= 25 m nach v0 aufgelöst: 11.83 m/s oder 42.6 km/h. 2⋅a
(
)
2
c) s0 = 13.3 m, Rest 11.67 m, v 2 = v02 + 2 ⋅ a ⋅ Δs = 16.6 m/s − 2 ⋅ 4.5 m/s 2 ⋅11.6 m
v = 13.1 m/s = 47 km/h! 50. bfu Broschüre a) Das Fahrzeug mit 30 km/h kann auf 21.4 m anhalten, das Fahrzeug mit 50 km/h er-­‐
fasst an dieser Stelle einen Fussgänger mit ungebremsten 50 km/h. b) Reaktionszeit von 2 Sekunden! Beschleunigung ca. -­‐7.4 m/s2. c) Anhalteweg total bei 30 km/h: 8.3 m + 4.7 m = 13.0 m. 50 km/h: 13.9 m ungebremst, also wird auch hier ein Fussgänger mit 50 km/h erfasst! 38 Lösungen BMS Physik Kinematik 51. Anhalteweg: a) ungebremst: s0 = 13.9 m, Bremsstrecke 16.1 m, Verzögerung a = -­‐5.99 m/s2 b) ungebremst: s0 = 16.7 m, Bremsstrecke 13.3 m, Gleichung ohne Zeit t: v 2 = v02 + 2 ⋅ a ⋅ Δs = (16.6 m/s ) − 2 ⋅5.99 m/s 2 ⋅13.3 m Die Geschwindigkeit ist nie null! v = 10.9 m/s = 39 km/h Der reine Bremsweg nimmt mit der Geschwindigkeit im Quadrat zu! 2
52. Schiefe Ebene: 3.0 m/s ⋅ t − 0.5⋅1.2 m/s 2 ⋅ t 2 = 12 m − 0.5⋅1.2 m/s 2 ⋅ t 2 eine Lösung t = 4.0 s, Die Beschleunigung fällt weg! Ort: 2.4 m von unten, vFred = -­‐1.8 m/s, vMartin = -­‐4.8 m/s 53. Kolonne, Fahrzeug 1: a = Δv / Δt , Δt = 33.3 m/s / 8.0 m/s 2 = 4.16 s Bremsstrecke: Δs = v ⋅ Δt = 69.4 m zusammen mit 60 m Abstand: total 129.4 m. Fahrzeug 2: s2 = 33.3 m + 69.4 m = 102.7 m Abstand 120 km/h: 26.7 m Abstand 100 km/h: 22.2 m Abstand 150 km/h: 33.3 m b) Fahrzeug 1 legt 99.4 m zurück. Fahrzeug 2 rollt ungebremst 33.3 m, darum ist die verfügbare Bremsstrecke auf 66.1 m verkürzt. Gleichung ohne Zeit: v 2 = v02 + 2 ⋅ a ⋅ Δs =
(33.3 m/s)
c)
2
− 16 m/s 2 ⋅66. 1 m Auffahrunfall mit v = 7.3 m/s = 26 km/h Wie b) aber mit einer kleineren Verzöge-­‐
(
)
2
rung: v 2 = 33.3 m/s − 12 m/s 2 ⋅66. 1 m böser Auffahrunfall mit v = 17.8 m/s = 64 km/h , Freier Fall und senkrechter Wurf 60. Experiment Reaktionszeit: Mit der Fallhöhe h = 0.5⋅ g ⋅t 2 kann die Zeit berechnet werden. Beispiel 20 cm ergibt eine Reaktionszeit von 0.20 s. 61. Fallhöhe für 50 km/h. h = 9.83 m Fallhöhe für 100 km/h. h = 39.3 m, d.h. vier mal so hoch! ()
62. Fallschirm: v t = −g ⋅t = -8.0 m/s
Fallzeit 0.8155 s, Sprunghöhe 3.26 m. 63. Theoretische Fallhöhe 5’892 m. Die Schall-­‐
geschwindigkeit kann im freien Fall mit Luftwiderstand nicht erreicht werden! ()
{
Nr. 64 }
64. v t = v0 − g ⋅t die Zeit einsetzen t = 1; 2; 3 s b) Steigzeit: v = 0 m/s bei t2 = 1.02 s. Analog für die Höhe h: h1 t = 0 m − 0.5⋅ g ⋅t 2 , ()
h2 ( t ) = 0 m+10 m/s ⋅ t − 0.5⋅ g ⋅t 2 und h3 ( t ) = 0 m − 10 m/s ⋅ t − 0.5⋅ g ⋅t 2 , In der zweiten Sekunde muss der Weg mit Δh = h 2 s − h 1 s berechnet werden. Alle fallen! ( ) ( )
a) -­‐14.7 m, b) -­‐4.7 m, c) -­‐24.7 m 39 Kinematik Lösungen BMS Physik 65. Fallhöhe 10 m: v = 14 m/s = 50 km/h 100 m fallen: 44.3 m/s = 159 km/h, v 2 = v02 − 2 ⋅ g ⋅ ( h − h0 ) nur für v0 = 0 gilt: v = 2 ⋅ g ⋅ h 66. Blumentopf: v1 = 0 − g ⋅t = -10.5 m/s , t1 = 1.07 s, h1 = -­‐5.6 m, v2 = v1 − g ⋅t2 = -16.6 m/s , t2 = 0.622 s, h2 = v ⋅t2 =
(-10.5 -16.6) m/s ⋅0.622 s = -8.4 m 2
Eine Etage ist 2.8 m hoch, Start im 6. Stock, Familie Huber im 4. Stock. 67. a) Steigzeit t = 1.529 s, max. Höhe h = (40 + 11.5) m, b) doppelte Steigzeit t = 3.06 s (
) (
)
(
2
c) v 2 = v02 − 2 ⋅ g ⋅ h − h0 = 15 m/s − 2 ⋅ g ⋅ −40 m
()
) , Geschwindigkeit 31.8 m/s = 114 km/h. 68. a) h t = 20 m + 8.0 m/s ⋅t − 0.5⋅ g ⋅t 2 nach h = 0 m auflösen: t1 = -­‐1.36 s, (
)
Anfangsgeschwindigkeit bei h = 0 m: v −1.36s = 8.0 m/s − g ⋅t = 21.4 m/s ( )
b) zeitabhängige Formel: h ( t ) = 20 m + 8.0 m/s ⋅t − 0.5⋅ g ⋅t
t = {−1.36 s;+2.99 s} also t = 2.99 s Variante: v 2 = v02 − 2 ⋅ g ⋅ h − h0 nach v0 auflösen: v0 = 21.4 m/s 2
zwei Lösungen für t 69. Drei Bergsteiger: Δh = 12 m in einer Sekunde, also ist v = -12 m/s , Fallzeit t = 1.22 s, Bergsteiger 2: t2 = t – 0.5 s = 0.72 s, Fallhöhe in 0.72 s: Δ h = -­‐2.56 m, h [m] h-­‐t-­‐Diagr. 70 bei Bergsteiger 3: t3 = t2 +1 s = 1.72 s, 20
Momentangeschwindigkeiten mit den Zeiten 15
t2 und t3 berechnen: v2 = -­‐7.09 m/s, v3 = -­‐16.9 m/s 10
()
70. Zwei Steine: h1 t = 20.0 m/s ⋅t − 0.5⋅ g ⋅t , gleich 2
setzen mit h2(t) und nach t auflösen: h2 t = 20.0 m − 0.5⋅ g ⋅t 2 . Sie treffen sich nach ()
0
{
0.4
0.6
0.8
1
1.2
v-­‐t-­‐Diagr. 70 v [m/s] Tiefe -­‐12.56 m b) mit Schall: 0.5⋅ g ⋅ 1.6 s − t1 2 = 340 m/s ⋅t1 )
0.2
20
71. h1 t = 0 m − 0.5⋅ g ⋅t 2
(
t [s] 0
exakt 1.00 s, d.h. in ca. 15.1 m Höhe, v1 = +10.2 m/s, v2 = -­‐9.81 m/s ()
5
10
}
t [s] 0
zwei Lösungen: t = 0.0353 s; 72.5 s Zeit für den Schall: 0.0353 s, Tiefe: 12.01 m. 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-10
-20
Der waagrechte Wurf 72. Fallzeit: −10 m = − 0.5⋅ g ⋅t 2 à t = 1.43 s, horizontal: −0.80 m = − 0.5⋅ g ⋅t 2
73. Fallzeit t: t = 0.404 s, vx = 5.94 m/s, vy = -­‐3.96 m/s, v = 7.14 m/s
Betrag End
Winkel a = -­‐33.7°, !
v = 5.94; -3.96 m/s
Vektor: (
40 sx = v x ⋅t = 28.6m
vx vy )
Lösungen BMS Physik 74. Fallzeit bestimmen: Kinematik −1.20 m = − 0.5⋅ g ⋅t 2
, t = 0.495 s, !
v = 40.4; -4.85 m/s = 40.7 m/s, " − 6.85°
vx = 40.4 m/s = 146 km/h, vy = -­‐4.85 m/s, Vektor: (
)
(
)
−2.50 m = − 0.5⋅ g ⋅t 2
75. Stuntman: Fallzeit t: , t = 0.714 s, Strecke horizontal: 5.71 m, in dieser Zeit legt der Lastwagen 7.93 m zurück, zur Zeit des Absprungs muss sich der Lastwagen 2.22 m hinter der Ab-­‐
sprungkante befinden. −3.0 m = − 0.5⋅ g ⋅t 2
76. James Bond: , t = 0.782 s, Strecke horizontal maximal 14.08 m. !
v = 18.0; -7.67 m/s = 19.6 m/s, " − 23.1°
Vektor: (
)
(
)
Kreisbewegungen 80. Uhr: Umfang U = 6.28 m bzw. 3.77 m, Zeiten: 60 s, 60 min, 12 Stunden vsec = 0.105 m/s, vmin = 0.00175 m/s = 1.75 mm/s, vh = 8.73 10-­‐5 m/s = 0.087 mm/s Sekundenzeiger: 6°/s, Minutenzeiger: 6°/min, Stundenzeiger: 0.5°/min 81. Audio-­‐CD 1.20 m/s = π ⋅ d / T = π ⋅ d ⋅ f innen f = 7.64 Hz, n = 458 1/min, T = 1.39 aussen f = 2.105 Hz, n = 126 1/min, T = 0.475 s . 82. Automotor 6’000 1/min = 100 Hz, ω = 628 s-1 , T = 10 ms 83. Propeller f = 20 Hz, ω = 125.7 s-1 b) v = ω ⋅ r = 189 m/s = 679 km/h 84. Windturbine: v = ω ⋅ r = 340 m/s , ω = 6.8 s-1 , f = 1.08 Hz oder maximal 65 Umdrehungen pro Minute. -1
85. Auto: v = ω ⋅ r = 33.3 m/s = 120 km/h , ω = 107.5 s f = 17.1 Hz, n = 1’027 1/min Anzahl Umdrehungen: Strecke durch Radumfang: 5’134 Umdrehungen. 86. Umfanggeschwindigkeit am Äquator: v = 2π ⋅ R / 24 h = 463 m/s = 1668 km/h Die Bahngeschwindigkeit am Nordpol ist null, weil der Radius 0 ist! ω = 7.27 ⋅10-5 s-1 Bern: R' = r ⋅cos 47° = 4344 km v = 2π ⋅ R'/ 24 h = 316 m/s = 1137 km/h ( )
Die Erdatmosphäre bewegt sich mit der Erde mit! Darum spüren wir diese Geschwindigkeit nicht! 87. Raumstation ISSS: f = 1/5400 s = 0.185 mHz, v = 2π ⋅ R / 90 min = 7'837 m/s 88. Der Mond: v = 2π ⋅ r / 27.3 d = 1024 m/s = 3686 km/h Winkelgeschwindigkeit ω = 2.66 ⋅10-6 s-1 Frequenz f = 4.24 ⋅10-7 Hz 89. Autoreifen: a = v 2 /r ≈ 8′065m/s 2 oder 822 Mal die Erdbeschleunigung! 90. Erde: a = v 2 / r = 0.0337 m/s 2 oder ca. 0.34 % der Fallbeschleunigung g. 2
Hinweis: die Differenz g Nordpol − g äquator ≈ 0.05m/s ist in derselben Grössenordnung. 2
b) es müsste gelten: a = v / r = g nach v auflösen: v = 7‘893m/s, T = 1.41 h. 2
91. Eimer oben: a = v / r ≥ g nach v auflösen: v > 2.8 m/s, T < 1.8 s, f > 0.56 Hz (
)
2
2
92. Looping: oben muss gelten: a = v / r ≥ g oder v ≥ g ⋅ r und v 2 = v02 − 2 ⋅ g ⋅ h − h0 (
)
mit h = 2 ⋅ r und v0 = 0 einsetzen: g ⋅ r = 0 − 2 ⋅ g ⋅ 2 ⋅ r − h0 nach h0 auflösen: Lösung: h0 = 2.5⋅ r oder mindestens 0.5 Radien höher als der höchste Punkt im Kreis. Hinweis: wir wissen nicht, wie lange die Bewegung dauert, die Bewegung ist sicher nicht gleichmässig beschleunigt. 41