LIVRO 6

LIVRO 6
(D)
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
MATEMÁTICA I
1.
(Uesc 2011) Sendo m o número de anagramas da palavra
UESC e n o número de anagramas do número 2011, o valor do
n  é
m
determinante da matriz
M
 15
(A) − 216
(B) 36
(C) 72
(D) 108
(E) 216
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO:

m-n 
(E)
Temos
que
m  P4  4!  24
e
4!
 12.
2!
Desse modo, M   24
n  P4(2) 
12   24 12
 15 24  12   15 12 .
RESPOSTA: E
COMENTÁRIO: Temos que
Portanto, detM  24 12  24  12  15  12  9  12  108.
15 12
2.
(Udesc 2011)
definida por


2sen  2x 

A

sen x

Sejam A a matriz quadrada de ordem 2


π

2sen  2x   sen(x  π) e
A  
2




sen(x)
1


2

sen(x  ) 2cos2x  sen x 

.
  sen x
1 
1

f a função
Daí,
2cos2x sen x 
AT  
1 
  sen x
definida por f(x)  det(A  A T ) . O gráfico da função f ,
para x   π, π, é:
e, assim,
(A)
 4cos2x 0
A  AT  
.
2
 0
Então,
f(x)  | det(A  A T ) | 
4cos2x 0
0
2
 | 8cos2x | .
Portanto,
1  cos x  1  1  cos 2x  1
(B)
 8  8cos 2x  8
 0  | 8cos 2x |  8
 0  f(x)  8,
isto é, a imagem de f é o intervalo [0,8].
Por outro lado, sabendo que o período (P) de uma função da
forma g(x)  acos(mx), em que {a, m} 
(C)

, é dado por
2
2
P
, temos que o período da função f é
   3,14.
|m|
|2|
Assim, o gráfico da função f, para x [ , ], é o da.
1
3.
(Epcar (Afa) 2011)
Sendo
2
3
4 a
0
0
2 0
3
1 1 b
1 0
4
3
2
a
2
0
0
0
1 1 3
b
 70
COMENTÁRIO: x1 + 3x1 + 9x1 + 27x1 = 80  40 x1 = 80 x1 = 2
y1 + 4y1+ 16y1 + 64y1 = 255  85y1 = 255 y1 = 3
, o valor de
é:
(A) 280
(B) 0
(C) –70
(D) –210
(E) 210
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO: A nova matriz foi obtida de A da seguinte
forma:
1. Foram trocadas as posições das colunas 1 e 3, (o
determinante fica multiplicado por -1).
2. A nova quarta linha foi multiplicada por 3 (o determinante
fica multiplicado por 3).
3. Somou-se a terceira linha com a quarta linha, originando
uma nova quarta linha (determinante não se altera).
Logo, o novo determinante será (-1).3.70 = - 210.
(Eewb 2011)
6
18
54 
0

1
0
0
0
0
1 

0 
6
18 54
0
0
2
1
= -72
7 1 0 b  3c
4.
2
4+1


então A =  3 12 48 192 e det(A ) = 1.(-1) ., 12 48
2 c
 
a 1
6.
23

2 18 54
1
( 1)3 2 3 48 192  (a 1 ) 23  12
72
1 0
0
(Fgv 2010) Uma matriz 4 x 4 que admite inversa é
(A)
1 2 3 4 


4 3 2 1 
2 4 6 8 


5 6 7 8 
(B)
1 2 3 4 


1 4 5 16 
2 6 8 20 


5 6 11 8 
O determinante da matriz A 4x4 onde os
elementos da primeira linha são 4, 3, 5 e 1; os elementos da
segunda linha são 0, 3, 0 e 2; os da terceira linha são 2, 7, 0 e 0
e os da quarta linha, 8, 6, 10 e 2,
(A) - 5
(B) 0
(C) 5
(D) 15
(E) -5
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO:
(C)
1

2
3

4
1 1 1

2 2 2
3 3 3

4 4 4
1

5
9

13
4 

8
10 11 12 

14 15 16 
-1

1
9

13
4 

8 
10 - 11 12 

14 15 - 16 
(D)
2
3
6
7
(E)
Todo o determinante com filas paralelas e proporcionais vale
zero.
5.
x3
y3
0
0
x4 
y 4 
 M4x4 ( )
1

0
sabe-se que (x1, x2, x3, x4) e (y1, y2, y3, y4) são duas progressões
geométricas de razão 3 e 4 e de soma 80 e 255,
–1
–1
respectivamente, Então, det(A ) e o elemento (A )23 valem,
respectivamente,
(A)
1
72 e 12.
(B)
1

72 e -12.
7.
(D)
7
(Uece 2010) Se n é um número inteiro positivo e X é a matiz
1 0 0 
n
1 2 0  , então o valor do determinante da matriz Y = X é


1 1 3 
n
(A) 2
n
(B) 3
n
(C) 6
n
(D) 9
n
(E) 7
RESPOSTA: C
COMENTÁRIO: O determinante da matriz dada é 1.2.3 = 6
n
n
Então, o determinante de x será 6 .
1
72 e 12.
1
1

e
.
72 12
1
1
e
.
72
12

(C)
3
RESPOSTA: E
COMENTÁRIO: a) Não admite inversa, pois a linhas 1 e 3 são
proporcionais e seu determinante vale zero.
b) Não admite inversa, pois a terceira linha é uma combinação
linear das duas primeiras. Seu determinante também é zero
c) Não admite inversa, pois as linhas da matriz são
proporcionais, seu determinante vale zero.
d) Não admite inversa, pois a terceira linha é igual ao dobro da
segunda menos a primeira, seu determinante vale zero.
e) Seu determinante é – 36416 (diferente de zero). Logo,
admite inversa.
(Ita 2010) Sobre os elementos da matriz
 x1 x 2
y y
2
A 1
0 0

1 0
2
-6
(E)
RESPOSTA: C
2
8.
(Mackenzie 2010)
Dadas as matrizes A = (aij)3x3 tal que
aij  10,se i  j
e B = (bij)3x3 tal que

 aij  0,se i  j

bij  3,se i  j
,


bij  0,se i  j
11. (Uerj 2012)
Uma família comprou água mineral em
embalagens de 20 L, de 10 L e de 2 L. Ao todo, foram
comprados 94 L de água, com o custo total de R$65,00 .
Veja na tabela os preços da água por embalagem:
o valor de det(AB) é
3
(A) 27 x 10
3
(B) 9 x 10
2
(C) 27 x 10
2
2
(D) 3 x 10
4
(E) 27 x 10
RESPOSTA: A
COMENTÁRIO:
 10 0 0 
A   0 10 0   det(A)  103


 0 0 10
Volume da embalagem
(L)
20
10
2
Nessa compra, o número de embalagens de 10 L corresponde
ao dobro do número de embalagens de 20 L, e a quantidade
de embalagens de 2 L corresponde a n.
O valor de n é um divisor de:
(A) 32
(B) 65
(C) 77
(D) 81
(E) 48
RESPOSTA: C
COMENTÁRIO: Sejam x,y e z, respectivamente, os números de
embalagens de 20 L, 10L e 2 L.
Do enunciado e da tabela, obtemos
 3 0 0
B   0 3 0  det(B)  33


 0 0 3
3
3
det(A.B) = det(A).det(B) = 10 .3 = 27.10
9.
3
2
Se A é uma matriz 2 x 2 inversível que satisfaz A = 2A, então o
determinante de A será:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
RESPOSTA: E
2
COMENTÁRIO: Se A = 2A, temos:
2
det (A ) = det (2A)
2
de A . det A = 2 . det A
2
(det A) = 4 . det A
Sendo det A  0 , pois a é invertível, vem det A = 4.
10. Se
a

det p
 x
 - 2a

det 2p  x
 3x
c

então
o
q
r   1 ,
y z 
- 2b
- 2c 

2q  y
2r  z é igual a

3y
3z
Preço
(R$)
10,00
6,00
3,00
20x  10y  2z  94

10x  6y  3z  65
 y  2x

20x  z  47

22x  3z  65
 y  2x

 60x  3z  141

.
22x  3z  65
 y  2x

Adicionando as duas primeiras equações do último sistema,
vem: 38x  76  x  2.
Logo, da segunda equação do sistema, encontramos
b
valor
3z  65  22x  3z  65  22  2  z  7.
do
Portanto, como z  n  7 e 77  7  11, segue que n é um
divisor de 77.
12. (Fatec 2011) Sejam a e b números reais tais que o sistema,
nas incógnitas x e y,
(A) 0
(B) 4
(C) 8
(D) 12
(E) 16
RESPOSTA: D
COMENÁRIO:
3π 

x.cosa  y.sen a  sen



5 

 admita uma única solução.
7
π
 x.cosb  y.sen b   cos 


5 

Nessas condições, pode-se afirmar que, sendo k um número
inteiro,
(A)
(B)
π
b  a  k. .
2
b  a  k.π.
b  a  k.
(C)
ba
π
 k.r.
2
ba
π
2π
 k.
.
2
3
(D)
(E)
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO:
3
2π
.
3
cosa sena
cosb senb
(B) somente II e III estão corretas.
(C) somente I e III estão corretas.
(D) somente III está correta.
(E) I, II e III estão corretas.
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO:
k 4k
 0  k 2  12k  0  k  0 e k  12
3 k
possui solução única)
0
cosa.senb  cosb.sena  0
sen(b  a)  0
b  a  0  k.π
b  a  k.π
2x  2y  2z  2  0
é possível e
 2x  y  3z  6
 kx  y  5z  9

13. (G1 - ifsc 2011) O sistema 
Se k = 0 temos .
0  0  0
8
 x 
e y pode ser qualquer real, logo o

3
 3x  8
determinado, quando o valor de k for:
(A) k  3 .
(B) K = 5.
(C) K = 3..
(D) k  5 .
(E) K = 0..
Resposta: [D]
O determinante dos coeficientes deverá ser diferente de zero.
sistema possui infinitas soluções.
Se k = 12 temos .
12x  48y  0(: 4)
3x  12y  0

(sistema impossível)

3x

12y

8

3x  12y  8
I) Falsa. Possui solução única para infinitos valores de k.
II) Verdadeira, se k = 0 o sistema apresenta infinitas soluções.
III) Verdadeira, é impossível se k = 12
2 2 2
2
1
3  0  10  6k  4  2k  6  20  0  4k  20  k  5
k
1
5
14. (G1 - epcar (Cpcar) 2011) Certo dia, Isabela e Ana Beatriz
saíram para vender pastéis na praia. Elas tinham juntas 460
pastéis. No final do dia, verificou-se que Isabela conseguiu
vender 3 dos pastéis que levara e Ana Beatriz 5 dos pastéis
5
8
que levara.
Ao final do dia, o número de pastéis que restou para Ana
Beatriz era a metade do número de pastéis que restou para
Isabela.
16. (Epcar (Afa) 2011) Três amigos Samuel, Vitória e Júlia, foram
a uma lanchonete.



Somando as equações, temos:
- 3x = - 3
x = 1 e y = 2.
Isabela vendeu 3y , restando-lhe 2y .
5
5
5x
3x
, restando-lhe
.
8
8
Portanto, 3x  1  2y  y  15 x.
8 2 5
8
Ana Beatriz vendeu
Logo, o preço de cada esfirra é de R$2,00.
Fazendo x  15x  460  x  160 .
8
Somando os algarismos, temos: 1 + 6 + 0 = 7.
I.
,
Apresenta solução única para, exatamente, dois valores
distintos de k.
II. Apresenta mais de 1 solução para um único valor de k.
III. É impossível para um único valor de k.
Dessa forma,
(A) somente I está correta.
Samuel tomou 1 guaraná, comeu 2 esfirras e pagou 5
reais.
Vitória tomou 2 guaranás, comeu 1 esfirra e pagou 4
reais.
Júlia tomou 2 guaranás, comeu 2 esfirras e pagou k reais.
Considerando-se que cada um dos três pagou o valor exato do
que consumiu, é correto afirmar que
(A) o guaraná custou o dobro da esfirra.
(B) os três amigos, juntos, consumiram 16 reais.
(C) cada esfirra custou 2 reais.
(D) Júlia pagou 8 reais pelo que consumiu.
RESPOSTA: C
COMENTÁRIO: Vamos considerar x o preço do guaraná e y o
preço da esfirra.
 x  2y  5

 4x  2y  8
Se Ana Beatriz, levou x pastéis para vender, então, a soma dos
algarismos de x é
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
(E) 10
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO: Isabela tinha y pastéis e Ana Beatriz tinha x
pastéis, então: x + y = 460.
kx  4ky  0
15. (Mackenzie 2011) Relativas ao sistema 
,k 

3x  ky  8
considere as afirmações I, II e III abaixo.
(o sistema
17. (Unesp 2011) Uma família fez uma pesquisa de mercado, nas
lojas de eletrodomésticos, à procura de três produtos que
desejava adquirir: uma TV, um freezer e uma churrasqueira.
Em três das lojas pesquisadas, os preços de cada um dos
produtos eram coincidentes entre si, mas nenhuma das lojas
tinha os três produtos simultaneamente para a venda. A loja A
vendia a churrasqueira e o freezer por R$ 1.288,00. A loja B
vendia a TV e o freezer por R$ 3.698,00 e a loja C vendia a
churrasqueira e a TV por R$ 2.588,00.
A família acabou comprando a TV, o freezer e a churrasqueira
nestas três lojas. O valor total pago, em reais, pelos três
produtos foi de
(A) 3.767,00.
(B) 3.777,00.
(C) 3.787,00.
(D) 3.797,00.
(E) 3.807,00.
4
RESPOSTA: C
COMENTÁRIO: Sendo, x o preço da TV, y o preço do freezer e z
o preço da churrasqueira, podemos escrever o sistema:
 y  z  1288

 x  y  3698
 x  z  2588

O gráfico a seguir mostra os percentuais da população
brasileira enquadrados nessas duas categorias, em 2006 e
2009.
Somando as equações, temos: 2.(x + y + z) = 7574. Logo, x + y +
z = 3.787.
18. (Uesc 2011) Uma empresa turística pretende alugar alguns
ônibus para levar 260 pessoas em excursão.
Para minimizar a despesa com esse aluguel, foi feita uma
pesquisa de preços junto a uma empresa de transportes que,
para o período desejado, disponibilizou 5 ônibus de 40 lugares
e 8 ônibus de 50 lugares, mas apenas 6 motoristas.
Sabendo-se que o aluguel do ônibus maior custa R$2000,00 ,
e o aluguel do ônibus menor, R$1300,00 , pode-se concluir que
a menor despesa com aluguel de ônibus, nessa empresa de
transportes, será, em reais, igual a
(A) R$ 8500,00
(B) R$ 9200,00
(C) R$ 9900,00
(D) R$ 10600,00
(E) R$ 11900,00
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO: Seja o par ( X, Y), em que X e Y representam,
respectivamente, o número de ônibus de 50 lugares e o
número de ônibus de 40 lugares.
Como serão disponibilizados 6 motoristas e 260 pessoas
serão
transportadas,
temos
que
(x, y)  {(5, 1), (4, 2), (3, 3), (2, 4)}.
Portanto, a menor despesa com aluguel é obtida em(2,4), , ou
seja, 2  2000  4  1300  R$ 9.200,00.
19. (Upe 2011) Os elementos a,b,c , todos reais e positivos,
Após determinar a população brasileira em 2006 e em 2009,
resolvendo um sistema linear, verifica-se que
(A) o número de brasileiros indigentes passou de 19,0
milhões, em 2006, para 13,3 milhões, em 2009.
(B) 12,9 milhões de brasileiros eram indigentes em 2009.
(C) 18,5 milhões de brasileiros eram indigentes em 2006.
(D) entre 2006 e 2009, o total de brasileiros incluídos nas
faixas de pobreza e de indigência passou de 36% para
28% da população.
RESPOSTA: C
COMENTÁRIO: Se X e Y, respectivamente, denotam a
população brasileira, em milhões, em 2006 e 2009, então:
26%x  21%y  8,2 26%x  21%y  8,2  x  185
.



10%x  7%y  5,2
30%x  21%y  15,6
 y  190
10%  185 milhões  18,5
Portanto,
brasileiros eram indigentes em 2006.
milhões
de
21. (Ufrgs 2011)
Rasgou-se uma das fichas onde foram
registrados o consumo e a despesa correspondente de três
mesas de uma lanchonete, como indicado abaixo.
estão, nesta ordem, em progressão geométrica. Sabendo que
ax  by  1 é possível e indeterminado, é correto afirmar

cx  ay  1
que necessariamente
(A) a será o único termo não nulo no conjunto a,b,c .
(B) se abc  0 então os elementos
a,b,c estão,
nesta
ordem, também em progressão aritmética.
2
2
(C) a  0 ou c  0 , mas a  bc  0
2
2
(D) a  0 ou c = 0, mas a  bc  0
(E) pelo menos dois elementos no conjunto
diferentes de zero.
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO> Considerando
o
sistema
Nessa lanchonete, os sucos têm um preço único, e os
sanduíches também. O valor da despesa da mesa 3 é
(A) R$ 5,50.
(B) R$ 6,00.
(C) R$ 6,40.
(D) R$ 7,00.
(E) R$ 7,20.
RESPOSTA: A
COMENTÁRIO: Sejam X e Y respectivamente, o preço de um
suco e o preço de um sanduíche.
De acordo com o consumo e a despesa de cada mesa, temos
que
a,b,c são
ax  by  1,

cx  ay  1
multiplicando a primeira equação por -1 e somando com a
segunda, temos (a-c) . x + (b – a) . y = 0. Com isso, concluímos
que para o sistema ser possível e indeterminado deveremos
ter a = c e b = a, portanto, (a.b,c) formam uma P.A de razão
zero.
Se a = b = c = 0, o sistema será impossível.
20. (Unicamp 2011) Recentemente, um órgão governamental de
pesquisa divulgou que, entre 2006 e 2009, cerca de 5,2
milhões de brasileiros saíram da condição de indigência. Nesse
mesmo período, 8,2 milhões de brasileiros deixaram a
condição de pobreza. Observe que a faixa de pobreza inclui os
indigentes.
2x  3y  14
.

4x  5y  25
Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos
2x  2y  11  x  y  5,50, ou seja, o valor da despesa da
mesa 3 é R$ 5,50.
22. (Upe 2011)
analise as afirmativas abaixo e conclua.
5
5x  3y  4z  3
15x  9y  8z  6
20x  12y  16z  12

Considerando o sistema 

(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
O sistema é impossível.
O sistema é possível e indeterminado.
O sistema é possível e determinado.
O sistema admite como solução única x = 4, y = 8, z = -11
O sistema admite como solução, para qualquer valor de x
a terna (x, x, 5x)
Resposta: F V F F F.
COMENTÁRIO:
Nessas condições, se nessa data não foi feito qualquer saque
de tal conta, é correto afirmar que
(A) Valentina tem R$ 6590,00.
(B) Vítor tem R$ 5498,00.
(C) Vítor tem R$ 260,00 a mais que Valentina.
(D) o saldo inicial da caderneta era R$ 1649,00.
(E) o saldo inicial da caderneta era R$ 1554,00.
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO: S = saldo da poupança
x = valor de Vítor
y = valor de Valentina
x
 x
 S  2S

 4 S
4



 y  S  3S
 y  2S
2

2


5x  3y  4z  3
4z  3

 0000

Escalonando o sistema, temos: 
Como o número de equações é menor que o número de
incógnitas, conclui-se que o sistema é possível e
indeterminado.
(F) o sistema é possível e indeterminado;
(V) o sistema é possível e indeterminado;
(F) o sistema é possível e indeterminado;
(F) basta substituir o terno ordenado no sistema escalonado;
(F) basta substituir o terno ordenado no sistema escalonado.
2x  y  5
23. (Espcex (Aman) 2011) Para que o sistema linear 
ax  2y  b
seja possível e indeterminado, o valor de a + b é:
(A) –1
(B) 4
(C) 9
(D) 14
(E) 19
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO: Para que o sistema seja possível e
indeterminado, deve-se ter
2 1 5
   a  4 e b  10.
a 2 b
Portanto,
x x
  4947
4 2
S  2.S  4947
S  1649
26. (Unicamp simulado 2011) Uma empresa deve enlatar uma
mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará.
Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$5,00, o quilo de
castanha de caju, R$20,00 e o quilo de castanha-do-pará,
R$16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o
custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$5,75.
Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata
deve ser igual a um terço da soma das outras duas.
Nesse caso, as quantidades de cada ingrediente por lata são
(A) 270 g de amendoim, 125 g de castanha de caju e 105 de
castanha-do-pará.
(B) 270 g de amendoim, 172,5 g de castanha de caju e 57,5 g
de castanha-do-pará.
(C) 250 g de amendoim, 125 g de castanha de caju e 125 g de
castanha-do-pará.
(D) 228 g de amendoim, 100 g de castanha de caju e 72 g de
castanha-do-pará.
RESPOSTA: C
COMENTÁRIO: x é a quantidade de amendoim
y é a quantidade de castanha de caju
z é a quantidade de castanha-do-pará.
Por conseguinte, a  b  4  10  14.
24. (Fuvest 2011) Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais,
sem juros. Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 3 ou
5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor de cada parcela
deve ser acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 125,00,
respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se
que o valor de n é igual a
(A) 13
(B) 14
(C) 15
(D) 16
(E) 17
RESPOSTA: A
COMENTÁRIO: Sejam n número de parcelas e v o valor de cada
parcela, então:
n.v = (n - 3).(v + 60) ou n.v = (n - 5) .(v + 125).
Desenvolvendo as equações e resolvendo o sistema
 60n  3v  180 , temos: n = 13

125n  5v  625
25. (Pucsp 2011) Vítor e Valentina possuem uma caderneta de
poupança conjunta. Sabendo que cada um deles dispõe de
certa quantia para, numa mesma data, aplicar nessa
caderneta, considere as seguintes afirmações:


- se apenas Vítor depositar nessa caderneta a quarta
parte da quantia de que dispõe, o seu saldo duplicará;
- se apenas Valentina depositar nessa caderneta a
metade da quantia que tem, o seu saldo triplicará;
- se ambos depositarem ao mesmo tempo as respectivas
frações das quantias que têm, mencionadas nos itens
anteriores, o saldo será acrescido de R$ 4947,00.
 x  y  z  0,5

, resolvendo o sistema temos:
5x  20y  16z  5,75

x  3y  z  0

x = 0,25kg = 250g
y = 0,125kg = 125g
z = 0,125kg = 125g
27. (G1 - cftmg 2011) Em um determinado mês, o salário de uma
funcionaria excedeu em R$ 600,00 as horas extras. Se ela
recebeu um total de R$ 880,00, então, o valor de seu salário
foi de
(A) R$ 460,00
(B) R$ 540,00
(C) R$ 660,00
(D) R$ 740,00
(E) 820,00
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO: Sejam x = salário e y = horas extras.
6
 x - y  600

 x  y  880
Se -5c + 5  0  c  1 o sistema será possível e determinado.
Se c = 1, temos:
2x  1480
 x  2y  3z  a

, multiplicando a primeira equação por -1 e
 y  2z  b
3x  y  5z  0

x  740
28. (Espcex (Aman) 2011) Os números das contas bancárias ou
dos registros de identidade costumam ser seguidos por um ou
dois dígitos, denominados dígitos verificadores, que servem
para conferir sua validade e prevenir erros de digitação.
Em um grande banco, os números de todas as contas são
formados por algarismos de 0 a 9, na forma abcdef  xy, em
somando com a segunda temos:
 x  2y  3z  a
,

y  2z  b

0  2y  14z  3a

e somando com a terceira temos:
 x  2y  3z  a
 se c = 1

 0  y  2z  b
0  0  0  7b  3a

que a sequência (abcdef) representa, nessa ordem, os
algarismos do número da conta e x e y, nessa ordem,
representam os dígitos verificadores.
Para obter os dígitos x e y, o sistema de processamento de
dados do banco constrói as seguintes matrizes:
 1 2 1 
A  0 1 0  B 
0 2 1
x
(a  b)
y
(c  d)
C

 


 z 
 (e  f ) 
O sistema será impossível.
30. (Unesp 2011) Uma pessoa necessita de 5 mg de vitamina E
por semana, a serem obtidos com a ingestão de dois
complementos alimentares α e β . Cada pacote desses
complementos fornece, respectivamente, 1 mg e 0,25 mg de
vitamina E. Essa pessoa dispõe de exatamente R$47,00
semanais para gastar com os complementos, sendo que cada
pacote de α custa R$5,00 e de β R$4,00 .
O número mínimo de pacotes do complemento alimentar α
que essa pessoa deve ingerir semanalmente, para garantir os 5
mg de vitamina E ao custo fixado para o mesmo período, é de:
(A) 3.
3
5
16
(B)
(C) 5,5.
3  5   2
C  6  2   4 .
 8  1  7
6
3
4.
(D)
(E) 8.
RESPOSTA: A
COMENTÁRIO: Sejam X e Y, respectivamente, as quantidades
de pacotes dos complementos  e  que serão ingeridos.
Logo,
 1 2 1   x   2
A  B  C   0 1 0   y    4 
 0 2 1   z   7
 x  2y  z  2

 y  4
2y  z  7

x  5

  y  4.
z  1

x  0,25y  5

5x  4y  47
16x  4y  80
.

5x  4y  47
Adicionando-se
as
duas
equações,
vem
que
11x  33  x  3.
Portanto, deverão ser ingeridos 3 pacotes do complemento
.
Portanto, os dígitos verificadores correspondentes à conta
corrente de número 356281 são 54.
 x  2y  3z  a

 y  2z  b
3x  y  5cz  0

31. (G1 - cftmg 2011) Um restaurante serve um prato especial
com dois tipos de comida A e B, cujas quantidades de
carboidratos e gorduras por porção encontram-se indicadas na
tabela abaixo.
COMIDAS
A
B
(A) é possível, a,b,c  .
(B) é possível quando a  7b ou c  1.
3
(D) é impossível quando a  7b , c  .
3
(E) é possível quando c  1 e a  7b .
3
(A)
(B)
(C)
(D)
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO:
1
2
3
0
1
2  5c  12  9  2  5c  5
CARBOIDRATOS (g)
20
5
GORDURAS (g)
2
1
O nutricionista prepara esse prato de forma que contenha 60g
de carboidrato e 8 g de gordura. Se x e y são os números de
porções A e B, respectivamente, usadas pelo nutricionista,
então, a solução desse problema é um par ordenado que
pertence ao gráfico da função
(C) é impossível quando c  1, a,b  .
D=
e a = 7b/3 o sistema será possível
e indeterminado e se c = 1 e a  7b/3
Os valores de x e y, são obtidos pelo resultado da operação
matricial A  B  C, desprezando-se o valor de Z Assim, os
dígitos verificadores correspondentes à conta corrente de
número 356281 são
(A) 34
(B) 41
(C) 49
(D) 51
(E) 54
RESPOSTA: E
COMENTÁRIO: Para o número 356281 a matriz C é dada por
29. (Ita 2011) O sistema
multiplicando a segunda equação por sete
Y = -3x + 1
Y = 5x - 6
Y = 4x
Y=x-2
RESPOSTA: B
3 1 5c
7
COMENTÁRIO: De acordo com o problema, temos:
20x  5y  60

2x  y  8
(C)
Resolvendo o sistema, temos x = 2 e y = 4, que verificam a
equação do item [B].
32. (Ufu 2011) Por causa de hábitos alimentares inadequados, um
cardiologista nota que os seus pacientes com hipertensão são
cada vez mais jovens e fazem uso de medicamentos cada vez
mais cedo. Suponha que Pedro, Márcia e João sejam
pacientes, com faixas etárias bem distintas e que utilizam um
mesmo hipertensivo em comprimidos. Sabe-se que João utiliza
comprimidos de 2 mg, Márcia de 4 mg e Pedro de 10 mg. Além
disso, mensalmente, Pedro toma o triplo de comprimidos de
Márcia e os três consomem 130 comprimidos, totalizando 780
miligramas da droga.
Com base nestas informações, é correto afirmar que Márcia,
mensalmente, ingere
(A) 50 comprimidos
(B) 20 comprimidos
(C) 60 comprimidos
(D) 30 comprimidos
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO: Sejam j, m e P, e respectivamente, o número
de comprimidos que João, Márcia e Pedro tomam
mensalmente. Logo, temos:
2j  4m  10p  780
m  20
 j  17m  390



  j  50 .
 j  m  p  130
 j  4m  130
p  3m
p  60


33. (G1 - ifsc 2011) Um cinema recebeu R$663,00 (seiscentos e
sessenta e três reais) pela venda de ingressos (entrada),
durante uma única sessão.
Nessa sessão, o número de ingressos vendidos para adultos foi
o triplo do número de ingressos vendidos para crianças. O
ingresso para adulto custava R$12,00 (doze reais) e o das
(D)
x  y  3

 x  y  663
 x  3y

12x  3y  663
 x  3y

3x  12y  663
(E)
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO: Número de adultos: x = 3y;
Número de crianças: y;
De acordo com o enunciado, temos:
x  3y


12x

3y  663

34. (G1 - epcar (Cpcar) 2011) Considere três números naturais a,
b e c, nessa ordem. A soma desses números é 888, a diferença
entre o primeiro e o segundo é igual ao terceiro. O terceiro
deles excede o segundo em 198
O valor da diferença entre o primeiro e o terceiro é tal que
excede 90 em
(A) 23
(B) 33
(C) 43
(D) 53
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO: Escrevendo o sistema de acordo com o texto:
a  b  c  888

 ab  c
 c  b  198

Resolvendo o sistema, temos: a = 444, b = 123 e c = 321.
Fazendo (a – c) – 90, temos (444 – 321) – 90 = 33.
35. (Fgv 2010) Em um quadrado mágico, como o indicado na
figura, a soma dos números em cada linha, em cada coluna e
em cada diagonal assume o mesmo valor.
A
18
25
crianças R$3,00 (três reais). Considere que x seja o número
de ingressos vendidos para os adultos e y, o número de
ingressos vendidos para as crianças.
24
C
E
B
D
21
Se as letras A, B, C, D e E representam números, então D + E é
igual a
(A) 43.
(B) 44.
(C) 45.
(D) 46.
(E) 47.
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO:
43 + A = 21 + A + C  c = 22
43 + A = A + B  B = 19
25 + B + C = 66
B + D + 21= 66  D = 26
25 + E + 21 = 66  E = 20
Logo, D + E = 26 + 20 = 46
Assinale a alternativa que expressa corretamente a equação
que permite determinar o número de ingressos vendidos para
crianças, bem como para os adultos.
x  y  3

(A) 12x  3y  663
 x  3y

(B)  x  y  663
8
36. (Ibmecrj 2010) Seja o sistema linear nas incógnitas x, y e z
(A) R$ 2.266,00
(B) R$ 6.800,00
(C) R$ 3.200,00
(D) R$ 3.400,00
(E) R$ 4.800,00
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO: x é o preço da geladeira
y é o preço da máquina de lavar
z é o preço da secadora
 x y  2200

y  z  2100 somando as equações, temos:
x  z  2500

 x  y  kz  1

2
 2x  k z  1
 x  y  2z  0

Assinale a afirmativa correta:
(A) para k = 1, possui mais de uma solução.
(B) para k = 3, não possui solução.
(C) para k = 2, possui infinitas soluções.
(D) para k = 2, não possui solução.
(E) para k = 2, possui uma única solução.
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO:
1 1
2x + 2y + 2x = 6800  x + y + z = 3400
k
2 0 k2  0  2k  4  0  k  2
1 1
2
Fazendo k = 2, temos:
 x  y  2z  1

 2x  4z  1
x  y  2z  0

Observado a primeira e terceira equações, entendemos que
para k -2 o sistema é impossível.

37. (Fgv 2010) Para que o sistema linear  2x  k! y  2
1  k! x  21y  3
40. (Enem 2ª aplicação 2010) Algumas pesquisas estão sendo
desenvolvidas para se obter arroz e feijão com maiores teores
de ferro e zinco e tolerantes à seca. Em média, para cada 100 g
de arroz cozido, o teor de ferro é de 1,5 mg e o de zinco é de
2,0 mg. Para 100 g de feijão, é de 7 mg o teor de ferro e de 3
mg o de zinco. Sabe-se que as necessidades diárias dos dois
micronutrientes para uma pessoa adulta é de
aproximadamente 12,25 mg de ferro e 10 mg de zinco.
Disponível em: http://www.embrapa.br. Acesso em: 29 abr. 2010
(adaptado).
Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas
necessidades diárias de ferro e zinco ingerindo apenas arroz e
feijão. Suponha que seu organismo absorva completamente
todos os micronutrientes oriundos desses alimentos.
Na situação descrita, que quantidade a pessoa deveria comer
diariamente de arroz e feijão, respectivamente?
(A) 58 g e 456 g
(B) 200 g e 200 g
(C) 350 g e 100 g
(D) 375 g e 500 g
(E) 400 g e 89 g
RESPOSTA: C
COMENTÁRIO: Sejam a e f, respectivamente, os números de
porções de 100 gramas de arroz e de feijão que deverão ser
ingeridas.
De acordo com o enunciado, obtemos o sistema
de
solução (x, y) não seja possível e determinado, o parâmetro k
 IN tem de ser igual a
(A) 2.
(B) 3.
(C) 4.
(D) 5.
(E) 6.
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO:
2
k!
(1  k)! 21
 0  k!.(1  k!)  42  0 
 k!  k! 42  0 
2
k!  7(não convém)
1,5a  7f  12,25

2a  3f  10
k!  6  k  3
38. (Pucrj 2010) Maria comprou duas bicicletas por um total de
R$ 670,00. Vendeu uma das bicicletas com lucro de 10% e a
outra com prejuízo de 5%. No total, ela ganhou R$ 7,00. Quais
foram os preços de compra?
(A) R$ 370,00 e R$ 300,00
(B) R$ 270,00 e R$ 400,00
(C) R$ 277,00 e R$ 400,00
(D) R$ 200,00 e R$ 470,00
(E) R$ 377,00 e R$ 293,00
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO:
 x  y  670
 x  270 e y  400

0,1x _ 0,05y  7
6a  28f  49

6a  9f  30
a  3,5
.

f  1
Portanto, as quantidades de arroz e feijão que deverão ser
ingeridas são, respectivamente, 3,5  100  350 g e 1 100  100 g.
41. (G1 - cftmg 2010) Uma loja de ferramentas apresentou os
seguintes pacotes promocionais para chaves de fenda e de
boca:
pacote 1
preço: R$ 31,00
pacote 2
preço: R$ 44,00
39. (Pucpr 2010) Como está aproximando-se o término do
desconto do IPI para a linha branca dos eletrodomésticos, uma
determinada loja de departamentos, para vender uma
geladeira, uma máquina de lavar e uma secadora, propôs a
seguinte oferta: a geladeira e a máquina de lavar custam
juntas R$ 2.200,00; a máquina de lavar e a secadora, R$
2.100,00; a geladeira e a secadora, R$ 2.500,00.
Quanto pagará um cliente que comprar os três produtos
anunciados?
9
Nessa promoção, o preço de uma chave de boca somado ao
de uma chave de fenda, em reais, é igual a
(A) 17
(B) 21
(C) 22
(D) 34
RESPOSTA: A
COMENTÁRIO: X é o preço de cada chave de fenda e y é o
preço de cada chave de boca. Considerando as figuras, temos:
3x  y  31 3
9x  3y  93


 2x  3y  44
 2x  3y  44
Somando as equações, temos x= 7 e y = 10.
7 + 10 = 17
42. (Uerj 2010) Um conjunto de 100 copos descartáveis, dispostos
em um suporte, será usado em uma festa.
43. (Fgv 2010) No início de dezembro de certo ano, uma loja tinha
um estoque de calcas e camisas no valor total de R$ 140
000,00, sendo R$ 80,00 o valor (preço de venda) de cada calça
é R$ 50,00 (preço de venda) o de cada camisa.
Ao longo do mês, foram vendidos 30% do número de calças
em estoque e 40% do número de camisas em estoque,
gerando uma receita de R$ 52 000,00.
Com relação ao estoque inicial, a diferença (em valor absoluto)
entre o número de calcas e o de camisas é:
(A) 1450
(B) 1500
(C) 1550
(D) 1600
(E) 1650
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO: X = número de camisas (50)
Y = número de calças (80)
5x  8y  14000(3) 15x  24y  42000


 20x  24y  52000
 20x  24y  52000
Resolvendo, temos x = 2000 e y = 500
x – y = 2000 = 500 = 1500
Considere, agora, as seguintes informações:






sempre se tenta retirar apenas 1 copo de cada vez desse
suporte;
quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 2 saem
juntos, 1 deles é desperdiçado;
quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 3 saem
juntos, 2 deles são desperdiçados;
quando se tenta retirar 1 copo, nunca saem 4 ou mais de
4 juntos;
foram retirados todos os copos desse suporte, havendo
desperdício de 35% deles.
a razão entre o número de vezes em que foram retirados
exatamente 2 copos juntos e o número de vezes em que
foram retirados exatamente 3 juntos foi de
44. (G1 - cps 2010) Um técnico em edificações realizou um
trabalho em y dias, fazendo x horas por dia. Se trabalhasse
duas horas a mais por dia, teria terminado o serviço dois dias
antes, e se trabalhasse quatro horas a mais por dia, teria
terminado o serviço três dias antes. Os valores de x e y são tais
que
(A) y é o dobro de x.
(B) y é 1,5 de x.
(C) a sua diferença é 3.
(D) a sua soma é 9.
(E) x é a terça parte de y.
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO: De acordo com o texto temos:
x  y   x  2   y  2  x  y  xy  2x  2y - 4  2x  2y  4.
x  y   x  4   y  3  x  y  xy  3x  4y  12  3x  4y  12 .
Resolvendo um sistema com as equações acima, temos:
2x  2y  4( 2)
4x  4y  8


3x

4y


12

3x  4y  12
Temos: x = 4 e y = 6
Logo, Y = 1,5 . x
45. (Fgv 2010) O sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y:
 x  3y  m

2x  py  2
3
.
2
Será impossível quando:
(A) Nunca
(B) p ≠ –6 e m = 1
(C) p ≠ –6 e m ≠ 1
(D) p = –6 e m = 1
(E) p = –6 e m ≠ 1
RESPOSTA: E
COMENTÁRIO: Se D = 0  SPI ou SI
1 3
 0  p  6  0  p  6
2 p
O número de vezes em que apenas 1 copo foi retirado do
suporte é igual a:
(A) 30
(B) 35
(C) 40
(D) 45
RESPOSTA: C
COMENTÁRIO: x retiradas de 1 copo
y retiradas de 2 copos → y copos desperdiçados
z retiradas de 3 copos → 2z copos desperdiçados
Fazendo p = -6, temos:
 x  3y  m

2x  6y  2
Então temos o seguinte sistema:

x  2y  3z  100

 y  2z  35

y 3



z 2
Resolvendo temos 0 = -2m + 2
Logo, o sistema será SI quando – 2m + 2 for diferente de zero,
ou seja, quando m  1.
Resolvendo o sistema temos z = 10, y = 15 e x = 40
Resposta: 40 retiradas de apenas um copo
10
46. (Uece 2010) Se x, y e z constitui a solução do sistema linear
 x  y z 1

 x  2y  3z  2
 x  4y  5z  4

então o produto x. y. z é igual a
(A) – 4.
(B) – 8.
(C) – 2.
(D) – 6.
RESPOSTA: A
COMENTÁRIO: Escalonando os sistemas temos:
48. (Ufsm 2012) Na peça "Um xadrez diferente", que encenava a
vida de um preso condenado por crime de “colarinho branco”,
foi utilizado como cenário um mosaico formado por
retângulos de três materiais diferentes, nas cores verde,
violeta e vermelha. Considere que x, y e z são,
respectivamente, as quantidades, em quilos, dos materiais
verde, violeta e vermelho utilizados na confecção do painel e
que essas quantidades satisfazem o sistema linear
 x  3y  2z  250

2x  5y  3z  420
3x  5y  2z  430

Sobre a solução desse sistema e a quantidade dos materiais
verde, violeta e vermelho utilizada no painel, afirma-se:
I. O sistema tem solução única e x + y + z = 120, isto é, a
soma das quantidades dos três materiais empregados é
120 quilos.
II. O sistema não tem solução, é impossível determinar a
quantidade de cada material empregado.
III. O determinante da matriz dos coeficientes a qual está
associada ao sistema é diferente de zero e x = 2y e y = 3z.
IV. O determinante da matriz dos coeficientes a qual está
associada ao sistema é zero. O sistema tem solução,
porém, para determinar a quantidade dos materiais
utilizados, é necessário saber previamente a quantidade
de um desses materiais.
x = 2, y = 1 e z = -2
Logo, x.y.z = -4
47. (Espcex (Aman) 2012) A figura abaixo é formada por um
dispositivo de forma triangular em que, nos vértices e nos
pontos médios dos lados, estão representados alguns valores,
nem todos conhecidos. Sabe-se que a soma dos valores
correspondentes a cada lado do triângulo é sempre 24.
Está(ão) correta(s)
(A) apenas I.
(B) apenas II.
(C) apenas III.
(D) apenas I e III.
(E) apenas IV.
Resposta: [E]
COMENTÁRIO: Escalonando o sistema, temos:
Assim, o valor numérico da expressão x – y – z é
(A) -2
(B) -1
(C) 2
(D) 5
(E) 10
Resposta:[A]
COMENTÁRIO: De acordo com o enunciado, segue que
 x  y  5  24

 y  z  15  24
 x  z  10  24

x  y  19

y  z  9 .
 x  z  14

Tomando a matriz ampliada do sistema, vem
Portando, o determinante dos coeficientes é zero, e, para
determinar a quantidade dos materiais utilizados, é necessário
saber previamente a quantidade de um desses materiais.
Portanto, a única afirmação correta é a IV.
49. (Acafe 2012) Dado o sistema de equação abaixo, analise as
afirmações a seguir.
 1 1 0 19 


 0 1 1 9 .
 1 0 1 14 


v  x  y  z  w  0
v  x  y  z  w  0

v  x  y  z  w  0
3v  x  y  z  w  0

2v  2x  3y  2z  aw  0
Somando a 3ª linha com a 1ª multiplicada por -1, obtemos
1 1

0 1
 0 1

0 19 

1 9 .
1  5 
Somando a 3ª linha com a 2ª multiplicada por 1, encontramos
 1 1 0 19 


 0 1 1 9 .
0 0 2 4 


I.
II.
O sistema é homogêneo.
O sistema será possível e indeterminado para qualquer
valor de a.
III. O sistema não admite a solução trivial.
IV. O sistema será possível e determinado para a = - 2.
Assim, z  2, y  7 e X = 12.
Portanto, segue que x  y  z  12  7  2  2.
11
Assinale a alternativa correta.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas I, III e IV são verdadeiras.
(C) Apenas a afirmação IV é verdadeira.
(D) Todas as afirmações são verdadeiras.
Resposta: [A]
COMENTÁRIO:
I. Verdadeira. Como os termos independentes de todas as
equações são iguais a zero, segue que o sistema linear é
homogêneo.
II. Verdadeira. Aplicando a Regra de Chió no determinante da
matriz dos coeficientes do sistema, obtemos:
1 1
1 1
1
1
1
1
1 1
1 1 1 1 1 
3
1
2 2
1 1 1
3 2
a
0 2
2
0 2 0
2
2 2 2
4
2
0
Considerando essa dieta, é INCORRETO afirmar que o
consumo diário de
(A) carboidratos é superior ao consumo diário de proteínas.
(B) lipídios e carboidratos é de 101 gramas.
(C) carboidratos excede o de proteínas em 54 gramas.
(D) proteínas e lipídios é de 45 gramas.
Resposta: [B]
COMENTÁRIO: Sejam, c,p e
, respectivamente, as
quantidades ingeridas de carboidratos, proteínas e lipídios.
De acordo com as informações, vem
c  p   117

p  1 c

4

3
 
(c  p)
10

.

3
5p  p  117
2

c  4p

3
  p

2
1 0 a2
Como as colunas 1 e 3 são iguais, segue que esse
determinante é igual a zero para qualquer valor de a.
Portanto, como o sistema é homogêneo, temos que o
mesmo é possível e indeterminado para qualquer valor de
a.
III. Falsa. Todo sistema linear homogêneo admite a solução
trivial.
IV. Falsa. Como mostrado em (II).
50. (Udesc 2012) Um Pet Shop tem cães, gatos e passarinhos à
venda, totalizando 38 cabeças e 112 patas. Sabe-se que
nenhum destes animais apresenta algum tipo de deficiência
física e que a metade do número de passarinhos mais o
número de cães supera em duas unidades o número de gatos.
Se o preço de venda de cada cão, gato e passarinho é,
respectivamente, 500, 90 e 55 reais, então, ao vender todos
estes animais, o Pet Shop terá arrecadado:
(A) 4770 reais
(B) 3950 reais
(C) 6515 reais
(D) 5250 reais
(E) 5730 reais
Resposta: [A]
Sejam c,g e p, respectivamente, o número de cães, o número
de gatos e o número de passarinhos.
Se a metade do número de passarinhos mais o número de cães
supera em duas unidades o número de gatos, então
c  p   117

c  4p

  3p

2
p  18 g

c  72 g.
  27 g

Portanto, como
 c  99 g, é incorreto afirmar que o
consumo diário de lipídios e carboidratos é de 101 gramas.
52. (Ufrgs 2012) Inovando na forma de atender aos clientes, um
restaurante serve alimentos utilizando pratos de três cores
diferentes: verde, amarelo e branco. Os pratos da mesma cor
custam o mesmo valor. Na mesa A, foram consumidos os
alimentos de 3 pratos verdes, de 2 amarelos e de 4 brancos,
totalizando um gasto de R$ 88,00. Na mesa B, foram
consumidos os alimentos de 2 pratos verdes e de 5 brancos,
totalizando um gasto de R$ 64,00. Na mesa C, foram
consumidos os alimentos de 4 pratos verdes e de 1 amarelo,
totalizando um gasto de R$ 58,00.
4(c  g)  2p  112  p  2c  56  2g
Comparando o valor do prato branco com o valor dos outros
pratos, verifica-se que esse valor é
(A) 80% do valor do prato amarelo.
(B) 75% do valor do prato amarelo.
(C) 50% do valor do prato verde.
(D) maior que o valor do prato verde.
(E) a terça parte do valor da soma dos valores dos outros
pratos.
Resposta: [A]
COMENTÁRIO
Assim,
2g  4  56  2g  4g  52  g  13.
Além disso, como o total de cabeças é 38, vem
3v  2a  4b  88
v  12


 5b  64  Resolvendo o sistema, temos : a  10.
2v
4v  1a
b  8
 58


p
 c  g  2  p  2c  2g  4.
2
Por outro lado, como existem 112 patas, temos que
c  g  p  38  p  38  13  c  25  c.
Portanto, o valor do prato branco é 80% do valor do prato
amarelo.
Portanto,
p  2c  2g  4  25  c  2c  2  13  4  c  5
e, dessa forma,
p  25  5  20.
Por conseguinte, ao vender todos os animais o Pet Shop terá
arrecadado
53. (Ufsj 2012) A respeito do sistema
 x  y  az  1

3x  y  2z  6
2x  2y  2z  b

5  500  13  90  20  55  R$ 4.770,00.
é CORRETO afirmar que
(A) se a  1, o sistema tem solução única.
51. (Ufsj 2012) No quadro de alimentos que devem compor uma
dieta alimentar específica, o total de carboidratos, proteínas e
lipídios a ser ingerido diariamente deve ser de 117 gramas. A
prescrição é que a quantidade de proteínas ingerida seja 14
(B) se b = 2, o sistema tem infinitas soluções.
(C) se a = 1 e b = 2, o sistema não tem solução.
(D) se a = 1, o sistema tem infinitas soluções.
Resposta: [A]
Calculando o determinante dos coeficientes, temos:
da quantidade de carboidratos e que a quantidade de lipídios
equivalha a 30% da quantidade de carboidratos e proteínas.
12
1
1
a
Temos, então, 5 latas e 22 bolinhas. 55 é a resposta correta,
pois é o único múltiplo de 5.
D  3 1 2  6a  6
2
2
2
Se 6a  6  0 o sistema será possível e determinado, logo se
a  1 o sistema terá solução única.
2
54. (Espm 2012) Sendo x e y números reais e (3x + 2y) + (x – 2y +
2
x
8) = 0, o valor de y é:
(A) 1/9
(B) 1/8
(C) –8
(D) 9
(E) 8
Resposta: [A]
COMENTÁRIO
Para que a soma dos quadrados de dois números reais seja
zero, será necessário que estes dois números sejam iguais a
zero.
57. (Unisinos 2012) Numa loja, todas as calças têm o mesmo
preço, e as camisas também, sendo o preço de uma calça
diferente do de uma camisa. Ricardo comprou 1 calça e 2
camisas e pagou R$240,00. Roberto comprou 2 calças e 3
camisas e pagou R$405,00. Qual o preço, em reais, de uma
calça e uma camisa, respectivamente?
(A) 70 e 95.
(B) 75 e 90.
(C) 80 e 85.
(D) 85 e 80.
(E) 90 e 75.
Resposta: [E]
COMENTÁRIO: Preço da calça: x
Preço da camisa: y
Com as informações do problema, escrevemos o sistema.
 3x  2y  0

 x  2y  8  0
 x  2y  240

2x  3y  405
Resolvendo o sistema temos: x = –2 e y = 3.
x
-2
Logo, y = 3 = 1/9.
Resolvendo o sistema temos: x = 90 e y = 75
Portanto, o valor da calça será R$90,00 e o da camisa R$75,00.
55. (Uepa 2012) Em um Shopping Center, uma pessoa verificou o
valor por unidade de CD de diferentes gêneros musicais
(samba e forró) nas lojas A e B, conforme indicado na tabela
abaixo:
Loja A
Loja B
Samba
R$ 18,00
R$ 17,00
Forró
R$ 21,00
R$ 20,00
Se essa pessoa decidisse comprar x unidades de CD do gênero
samba e y unidades de CD do gênero forró, na loja A, ela
gastaria R$ 138,00. Mas, se ela comprasse as mesmas
quantidades de CDs x e y na loja B ela gastaria R$ 131,00.
Então a soma x + y é igual a:
(A) 8
(B) 7
(C) 6
(D) 5
(E) 4
Resposta: [B]
COMENTÁRIO: Com as informações do problema, podemos
escrever o seguinte sistema linear:

18x  21y  138 (i)


17x  20y  131 (ii)
58. (Unesp 2013) Uma coleção de artrópodes é formada por 36
exemplares, todos eles íntegros e que somam, no total da
coleção, 113 pares de patas articuladas. Na coleção não há
exemplares das classes às quais pertencem o caranguejo, a
centopeia e o piolho-de-cobra.
Sobre essa coleção, é correto dizer que é composta por
exemplares das classes Insecta e
(A) Arachnida, com maior número de exemplares da classe
Arachnida.
(B) Diplopoda, com maior número de exemplares da classe
Diplopoda.
(C) Chilopoda, com igual número de exemplares de cada uma
dessas classes.
(D) Arachnida, com maior número de exemplares da classe
Insecta.
(E) Chilopoda, com maior número de exemplares da classe
Chilopoda.
Resposta: [D]
COMENTÁRIO
[Resposta do ponto de vista da disciplina de Biologia]
A questão pode ser resolvida por meio de um sistema linear
composto por duas equações: sejam x e y, respectivamente, o
número de insetos e de aracnídeos na coleção, e 6x e 8y o
número respectivo de patas. Então:
 x  y  36
 x  36  y

 6  36  y   8y  226 

6x  8y  226
6x  8y  226
Fazendo (i) – (ii), temos: x + y = 7.
56. (Espm 2012) Carlinhos possui certa quantidade de bolinhas de
gude e algumas latinhas onde guardá-las. Ao colocar 4
bolinhas em cada lata, sobraram 2 bolinhas, mas quando
colocou 5 bolinhas em cada lata, a última ficou com apenas 2
bolinhas. Podemos afirmar que todas as latas ficariam com o
mesmo número de bolinhas se ele tivesse:
(A) 36 bolinhas
(B) 42 bolinhas
(C) 49 bolinhas
(D) 55 bolinhas
(E) 63 bolinhas
Resposta: [D]
COMENTÁRIO: Vamos considerar x bolinhas e y latinhas. De
acordo com o sistema, temos:
 x  4y  2
temos y = 5 e x = 22.

 x  5.(y  1)  2
216  6y  8y  226  2y  10  y  5
Substituindo: x  36  5  x  31.
Logo, na coleção há 5 aracnídeos e 31 insetos.
[Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática]
Considerando as classes do Filo Arthropoda, nesta coleção
estariam presentes somente representantes das classes Insecta
e Arachnida.
Considerando que x é o número de aracnídeos (8 patas) e y o
número de insetos (6 patas), podemos escrever:
 x  y  36( 6)
 6x  6y  216 (I)


 8x  6y  226 (II)
8x

6y

226

Fazendo (II) – (I), temos:
2x = 10
x = 5 (aracnídeos) e y = 31 (insetos).
59. (Epcar (Afa) 2013) Irão participar do EPEMM, Encontro
Pedagógico do Ensino Médio Militar, um Congresso de
Professores das Escolas Militares, 87 professores das
13
disciplinas de Matemática, Física e Química. Sabe-se que cada
professor leciona apenas uma dessas três disciplinas e que o
número de professores de Física é o triplo do número de
professores de Química.
Pode-se afirmar que
(A) se o número de professores de Química for 16, os
professores de Matemática serão a metade dos de Física.
(B) o menor número possível de professores de Química é
igual a 3.
(C) o número de professores de Química será no máximo 21.
(D) o número de professores de Química será maior do que o
de Matemática, se o de Química for em quantidade maior
ou igual a 17.
Resposta: [C]
COMENTÁRIO:
M = número de professores de Matemática
F = o número de professores de Física
Q = número de professores de Química
De acordo com o problema, temos:
 F  3Q

M  F  Q  87
M  3Q  Q  87
M  87  4  Q
Como 87 – 4Q > 0, temos –4Q > –87
Q < 21,75
Portanto, o número de professores de Química será no
máximo 21.
MATEMÁTICA II
61. (Fuvest 2010) Tendo em vista as aproximações log10 2  0,30,
log10 3  0,48, então o maior número inteiro n, satisfazendo
n
418
10  12 , é igual a
(A) 424
(B) 437
(C) 443
(D) 451
(E) 460
RESPOSTA: D
n
418
COMENTÁRIO: 10  12
n
418
2
log10  log12  n log10  418.log(2 .3)  n 
418(log2 + log3)  n  418(2log2 + log3) 
2
n  418(2.0,30+0,48)  n  451,44
Logo o maior inteiro é 451.
62. (Unesp 2012) Em 2010, o Instituto Brasileiro de Geografia e
Estatística (IBGE) realizou o último censo populacional
brasileiro, que mostrou que o país possuía cerca de 190
milhões de habitantes. Supondo que a taxa de crescimento
populacional do nosso país não se altere para o próximo
século, e que a população se estabilizará em torno de 280
milhões de habitantes, um modelo matemático capaz de
aproximar o número de habitantes (P), em milhões, a cada ano
(t), a partir de 1970, é dado por:
P(t)  280  190  e0,019(t 1970) 


60. (Upe 2013) Em uma floricultura, é possível montar arranjos
diferentes com rosas, lírios e margaridas. Um arranjo com 4
margaridas, 2 lírios e 3 rosas custa 42 reais. No entanto, se o
arranjo tiver uma margarida, 2 lírios e uma rosa, ele custa 20
reais. Entretanto, se o arranjo tiver 2 margaridas, 4 lírios e
uma rosa, custará 32 reais. Nessa floricultura, quanto custará
um arranjo simples, com uma margarida, um lírio e uma rosa?
(A) 5 reais
(B) 8 reais
(C) 10 reais
(D) 15 reais
(E) 24 reais
Resposta: [D]
Sejam X,Y e Z, respectivamente, os preços unitários das
margaridas, lírios e rosas.
De acordo com as informações, obtemos o sistema
4x  2y  3z  42

 x  2y  z  20
 2x  4y  z  32

Baseado nesse modelo, e tomando a aproximação para o
logaritmo natural
 14 
In    1,9
 95 
a população brasileira será 90% da suposta população de
estabilização aproximadamente no ano de:
(A) 2065.
(B) 2070.
(C) 2075.
(D) 2080.
(E) 2085.
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO: Para que a população brasileira seja 90% da
suposta população de estabilização, deveremos ter
 x  2y  z  20

4x  2y  3z  42
 2x  4y  z  32

0,9  280  280  190  e 0,019(t 1970)  e 0,019(t 1970) 
14
95
 0,019(t  1970)  1,9
 n e 0,019(t 1970)  n
 x  2y  z  20

 6y  z  38

z  8

x  2

 y  5.
z  8

14
95
 t  1970 
1,900
0,019
 t  2070.
63. (Uff 2011) O índice de Theil, um indicador usado para medir
desigualdades econômicas de uma população, é definido por
M 
T  n  A ,
 MG 
Portanto, o resultado pedido é
x  y  z  2  5  8  R$ 15,00.
sendo
MA 
x x 
1 N
 xi  1 2 N
N i1
N
 xN e
MG  N  xi  N x1  x2 
i1
 xN ,
respectivamente, as médias aritmética e geométrica das
rendas x1, x2, , xN (consideradas todas positivas e
medidas com uma mesma unidade monetária) de cada um dos
N indivíduos da população.
14
X
Com base nessas informações, assinale a afirmativa incorreta.
(A)
T  n(MA )  n(MG ).
(C)

  0 para todo xi  0, i  1,

xi
 MA para todo i = 1, ..., N.
(D)
Se x1  x2 
(B)
Log2 = log (10/2)
x.log2 = log 10 – log2
x.0,3 = 1 – 0,3
0,3x = 0,7
X = 2,3333333....
M
n A
 xi
N
T
 xN, então
, N.
T  0.
M 
1 N  MA  1   MA 
 n    n   n xA  
N i1  xi  N   x1 
 2 
M
 n A
 xN

  .

(E)
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO: Devemos mostrar que existe pelo menos um Xi
de modo que n  MA   0.
 x 
i
Com efeito, sem perda de generalidade, podemos supor que
Assim, x1  MA  xN e, portanto,
x1  x2   xN.
M 
MA
 1  n  A   0.
xN
 xN 
66. (Ufrgs 2010) Sabendo-se que os números 1 + log a, 2 + log b, 3
+ log c formam uma progressão aritmética de razão r, é
correto afirmar que os números a, b, c formam uma
r-1
(A) progressão geométrica de razão 10 .
r
(B) progressão geométrica de razão 10 -1.
(C) progressão geométrica de razão log r.
(D) progressão aritmética de razão 1 + log r.
1+log r
(E) progressão aritmética de razão 10
.
RESPOSTA: A
COMENTÁRIO: r = 2 + logb – (loga + 1)
r = 1 + logb – loga
r – 1 = log(b/a)
r-1
b/a = 10
r = 3 + logc – (logb + 2)
r = 1 + logc – logb
r – 1 = log(c/b)
r-1
c/b = 10
64. (Fuvest 2011) Seja x > 0 tal que a sequência a1 = log2x, a2 =
log4(4x), a3 = log8(8x) forme, nessa ordem, uma progressão
aritmética. Então, a1 + a2 + a3 é igual a
(B)
13
2
15
2
(C)
17
2
(A)
(D)
logo a,b e c formam uma P.G de razão 10
19
2
21
2
(E)
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO: Como a1 , a2 ,a3 é uma P.A, temos:
a1 + a3 = 2. a2
log2 x  log8 8x  2.log4 4x
Escrevendo tudo na base 2, temos:
log2 (8x) log2 (8x)
log2 x 

log2 8
log2 4
67. (Fgv 2010) Considere o gráfico das funções reais f(x) = 2 log x
e g(x) = log 2x, nos seus respectivos domínios de validade.
A respeito dos gráficos de f e g, é correto afirmar que
(A) não se interceptam.
(B) se interceptam em apenas um ponto.
(C) se interceptam em apenas dois pontos.
(D) se interceptam em apenas três pontos.
(E) se interceptam em infinitos pontos.
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO: Igualando as funções, temos:
2logx = log(2x)
2
logx = log(2x)
2
x – 2x = 0
x.(x – 2 ) = 0
Aplicando as propriedades dos logaritmos:
log2 8  log2 x 2. log2 4  log2 x)
log2 x 

3
2
Calculando os logaritmos e desenvolvendo a equação, temos:
log2x = 3  x = 8
x = 0 (não satisfaz a condição de existência) e x = 2.
Logo, as funções se interceptam em apenas um ponto de
abscissa x = 2.
68. (Mackenzie 2010) Considerando a solução (x, y) do sistema
log4 x  log2 y  5 , com x  1, o valor de log  x  é
x

 
log2 x  log4 y  0
y
Fazendo x = 8, temos:
(A) 1
(B) 4
(C) –1
a1 = log28 = 3
a2 = log432 = 5
2
a3 = lgo864 = 2
Somando a1 + a2 + a3 = 3 +
r–1
(D)
5
2
1
2
1
4
(E)
RESPOSTA: C
COMENTÁRIO: Mudando os logaritmos para a base 2, temos:
1
1
log x  log2 y  5
 log2 x  log2 y  5
 2 2
  2


log x  1 log y  0 (x2)
 2 2 2
 2.log2 x  log2 y  0
+ 2 = 15
2
x
65. (G1 - cftmg 2010) Considerando a equação 2 = 5 e que log2 =
0,3, o valor mais próximo de x é
(A) 2,2
(B) 2,3
(C) 2,4
(D) 2,5
RESPOSTA: B
x
COMENTÁRIO: 2 = 5 (aplicando o logaritmo dos dois lados,
temos)
5
1
,log2 x  5  x  4 e log2 4  log2 y  5  log2 y  4  y  16
2
2
15
(B) 8.
(C) 9.
(D) 10.
(E) 11.
Resposta: [D]
Se (2N )N tem pelo menos 30 dígitos, então
Logo log x x  log 4 4  log 4 1  1
y
16
4
69. Mackenzie-SP, adaptada) O valor da expressão log1/2 32 +
log0,1 10 10 é igual a:
(A) -13/2
(B) 19/2
(C) -7/2
(D) 7/2
(E) -1/2
RESP: A
70. (PUC – SP) o logaritmo, em uma base x, do número y = 5 + x/2
é 2. Então, x vale:
(A) 3/2
(B) 4/3
(C) 2
(D) 5
(E) 5/2
RESP: E
71. Sendo logx 1/729 = -6, é correto afirmar que:
(A) X = -5
(B) X = 3
(C) X = 4
(D) X = -3
(E) X = -4
RESP: B
 N2  log2  29  log10
 0,3  N2  29
 N2  96,7
 N  10.
Portanto, o menor valor de N é 10.
77. (Insper 2012) Considere N o menor número inteiro positivo tal
que log(log(logN)) seja um inteiro não negativo. O número N,
representado no sistema de numeração decimal, possui
(A) 2 algarismos.
(B) 3 algarismos.
(C) 10 algarismos.
(D) 11 algarismos.
(E) 100 algarismos.
Resposta: [D]
Para que log(log(logN)) seja um inteiro não negativo,
devemos ter:
log(logN)  1  logN  10  N  1010, com onze algarismos.
72. Sendo a e b dois números reais tais que log2 (log3 a) = 1 e log3
(log2 b) = 0, temos a + b igual a:
(A) 5
(B) 6
(C) 11
(D) 1
(E) 17
RESP: C
73. (Ulbra – RS) Se log x = 4, então o valor de log
2
(2N )N  1029  log2N  log1029
x é:
10.000
78. (Uesc 2011) Trabalhando-se com log3 = 0,47 e log2 = 0,30,
pode-se concluir que o valor que mais se aproxima de log 146
é
(A) 2,03
(B) 2,08
(C) 2,19
(D) 2,58
(E) 2,64
Resposta: [C]
Com as aproximações fornecidas, temos que
log144  log146  log150
300
log24  32  log146  log
2
log24  log32  log146  log3  102  log2
4  log2  2  log3  log146  log3  2  log10  log2
(A) -2
(B) -1
-1
(C) 10
-2
(D) 10
4
(E) 10
RESP: A
74. (unisa-SP) Seja m a solução
é:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 3
(E) 6
RESP: B
4  0,3  2  0,47  log146  0,47  2  0,30
2,14  log146  2,17.
4
25x = 125, o valor de log2 m/12
75. Se logx-1 (2x + 1) = 2, o valor de logx
(A) 1/4
(B) 2/4
(C) 3/4
(D) 4/4
(E) 5/4
RESP: C
x  4 é igual a:
76. (Insper 2013) Se N é o menor número natural para o qual
N N
(2 ) tem pelo menos 30 dígitos, então N é
(Utilize a aproximação: log 2 = 0,30.)
(A) 7.
79. (Uft 2010) Considere a equação: lo g2.x.log2 x – 3.log2 x = 0,
x > 0 no conjunto dos números reais. A soma dos valores de x
que satisfazem esta equação é:
(A) 0
(B) 2
(C) 8
(D) 9
(E) 2/3
Resposta: [D]
2
(log2x) – 3log2x = 0
Resolvendo a equação na incógnita x temos:
log2 x = 0  x = 1 log2 x = 3  x = 8
somando, 8 + 1 = 9
80. (Pucpr 2010) Sabendo que log20 = 1,3 e log5 = 0,7 , é correto
afirmar que log5 20 corresponde a:
(A) Exatamente 2.
(B) Exatamente 0,6.
(C) Maior ou igual a 0,5 e menor que 0,6.
(D) Um valor entre 1,8 e 1,9.
(E) Nenhuma das alternativas anteriores.
16
Resposta: [D]
Log520 = log20  1,3  1,857 (entre 1,8 e 1,9).
log5
0,7
81. (Uece 2010) Se os números m, p e q são as soluções da
3
2
equação x – 7x + 14x – 8 = 0 então o valor da soma log2m +
log2p + log2q é
(A) 1.
(B) 2.
(C) 3.
(D) 4.
Resposta: [C]
Utilizando a relação do produto temos m.p.q = (8)  8
log2m + log2p + log2q = log2(m.p.q) = log28 = 3
85. (Fgv 2012) Considere a função f(x) = log1319x
Se n = f(10) + f(11) + f(12), então
(A) n < 1.
(B) n = 1.
(C) 1 < n < 2.
(D) n = 2.
(E) n > 2.
Resposta: [E]
COMENTÁRIO:
Sabendo
que
loga bc  c  loga b,
loga b  loga c  b  c, com a, b e c reais positivos e
 2  log1319 1320.
Portanto,
n  2  log1319 1320  2  loglog1319 1319  2.
MATEMÁTICA III
86. (Fuvest 2012) Em um tetraedro regular de lado a, a distância
entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual
a
n  418(2.0,30+0,48)  n  451,44
Logo o maior inteiro é 451.
(A)
a 3
(B)
a 2
(C)
a 3
2
(D)
83. (Fgv 2010) Adotando o valor 0,30 para 2 log , a raiz da
3x – 6
1–x
equação 2
= 5 , arredondada para duas casas decimais,
é:
(A) 1,32
(B) 1,44
(C) 1,56
(D) 1,65
(E) 1,78
Resposta: [C]
COMENTÁRIO
3x – 6
1–x
log 2
= log 5
(3x – 6). log2 = (1 – x). log5
(3x – 6) . 0.3 = (1 - x). (log 10 – log2)
(3x – 6) . 0.3 = (1 - x) . 0,7
1,6x = 2,5
x = 1,56 (aproximação com duas casas decimais
84. (Fgvrj 2012) O número N de habitantes de uma cidade cresce
exponencialmente com o tempo, de modo que, daqui a t anos,
t
esse número será N = 20000(1 + k) , onde k é um número real.
Se daqui a 10 anos
a população for de 24 000 habitantes, daqui a 20 anos ela será
de:
(A) 28 000 habitantes
(B) 28 200 habitantes
(C) 28 400 habitantes
(D) 28 600 habitantes
(E) 28 800 habitantes
Resposta: [E]
10
10
N(10) = 20.000(1 + K) = 24 000  (1 + K) = 1,2
2
a  1,
 log1319 (10  11 12)2
418(log2 + log3)  n  418(2log2 + log3) 
a 2
2
a 2
4
(E)
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO:
2
2
a 3 
3a2 a2
a
2
d2     

d
 d 


4
4
2
 2 
87. (Ufrgs 2011)
2.a2
a 2
d
4
2
A superfície total do tetraedro regular
representado na figura abaixo é 9 3 . Os vértices do
quadrilátero PQRS são os pontos médios de arestas do
tetraedro, como indica a figura.
= 20 000  1  k 10  =20 000.1,2 = 28

e
 log1319 102  log1319 112  log1319 122
2
20
loga a  1
vem
n  f(10)  f(11)  f(12)
1
82. (Fuvest 2010) Tendo em vista as aproximações log10 2 ≈ 0,30,
log10 3 ≈ 0,48, então o maior número inteiro n, satisfazendo
n
418
10  12 , é igual a
(A) 424
(B) 437
(C) 443
(D) 451
(E) 460
Resposta: [D]
COMENTÁRIO:
n
418
10  12
n
418
2
log10  log12  n log10  418.log(2 .3)  n 
N(20) = 20000.(1+K)
2
2

800
17
O perímetro do quadrilátero é
(A) 4.
(B) 4 2 .
(C) 6.
(D) 5 3 .
(E) 6 3 .
RESPOSTA: C
COMENTÁRIO: Considere a figura abaixo.
Como
segue que
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo
obtemos
Desse modo, a distância do ponto V à face ABCD é
A superfície total do sólido é dada por
Como P e S são, respectivamente, os pontos médios das
arestas AV e AB e do tetraedro, segue que PS é base média
do triângulo AVB, isto é, PS  VB  VB  2  PS.
2
Por outro lado, como o tetraedro é regular, temos que as
quatro faces do tetraedro são triângulos equiláteros e,
portanto, PS  SR  RQ  QP.
Além disso, como a superfície total do tetraedro é 9 3, vem
89. (Ifsp 2011) A base de uma pirâmide hexagonal regular está
inscrita em um círculo que é a base de um cilindro reto de
altura 6 3 cm. Se esses sólidos têm o mesmo volume, então
a medida, em centímetros, da altura da pirâmide é
(A) 9π
(B) 12 π
(C) 15 π
(D) 18 π
(E) 24 π
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO:
2
que 4  (2  PS) 3  9 3  PS  3 . Daí, o perímetro pedido é
4
2
3
4  PS  4   6.
2
88. (Espcex (Aman) 2011) Na figura abaixo, está representado um
sólido geométrico de 9 faces, obtido a partir de um cubo e
uma pirâmide. Sabendo que todas as arestas desse sólido têm
medida , então as medidas da altura (distância do ponto V à
face ABCD) e da superfície total desse sólido são,
respectivamente,
(A)
 2 2 e


 2 
(B)
 2 2
e
 2 


(C)
 3 2 e


 2 
(D)
 2 e


 2 
2
2
( 3  4)
3
2
4
( 3  5)
2

3
 5


4


( 3  5)

 3
2 3
 4

 e 

4
2




RESPOSTA: B
COMENTÁRIO: Considere a figura abaixo, em que O é o centro
da base da pirâmide.
(E)
A aresta da base da pirâmide tem a mesma medida do raio da
circunferência.
2
Logo, temos 1 6.r . 3 .h  .r 2 .6 3  h  12
90. (Insper 2011) Dois faraós do antigo Egito mandaram construir
seus túmulos, ambos na forma de pirâmides quadrangulares
regulares, num mesmo terreno plano, com os centros de suas
bases distando 120m As duas pirâmides têm o mesmo volume,
mas a área da base de uma delas é o dobro da área da base da
outra. Se a pirâmide mais alta tem 100m de altura, então a
distância entre os vértices das duas pirâmides, em metros, é
igual a
(A) 100.
(B) 120.
(C) 130.
(D) 150.
(E) 160.
RESPOSTA: C
18
COMENTÁRIO: Sejam A1 e A2, as áreas das bases das
pirâmides.
Como os volumes são iguais, temos
1
1
 A1  O1V1   A 2  O2 V2  A1  O1V1  A 2  O2 V2 .
3
3
Dado que A1  2  A 2 , vem
2  A2  O1V1  A2  O2 V2  O2 V2  2  O1V1.
Assim, a pirâmide mais alta tem a base menor e, portanto,
O2 V2  100 m  O1V1  50 m.
92. (Fuvest 2010) Uma pirâmide tem como base um quadrado de
lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo
equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices
os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a
5
(A) 9
4
9
(B)
1
(C) 3
(D)
Como o terreno é plano, segue que V1P O1P, sendo P o pé da
perpendicular baixada de V1 sobre O2V2. Daí,
V1P  O1O2  120 m e V2P  100  50  50 m.
(E)
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO: O baricentro divide a mediana na razão 2 para
1
Secção transversal = quadrado (maior) destacado
Finalmente, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo
V1PV2 , obtemos
2
2
V1V2  502  1202  V1V2  130 m.
A sec  2k 
A
4
4
    sec   A sec 
Abase  3k 
1
9
9
91. (Ita 2010) Sejam A, B, C e D os vértices de um tetraedro
regular cujas arestas medem 1 cm. Se M e o ponto médio do
Área pedida 
segmento AB e N e o ponto médio do segmento CD , então
2
a área do triangulo MND, em cm , e igual a
(A)
2
.
6
(B)
2
.
8
(C)
3
.
8
(D)
3
.
8
3
.
9
(E)
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO:
MD = MC =
3
2
ND = ½
2
 3   1 2
2
 2    2   (MN)
 
MN = 2
2
Logo a área pedida é
2
A = 1 2 1 = 2 cm
2 2 2 8
2
9
1
9
1
2
A sec 
2
9
93. (Ufmg 2010) Em uma indústria de velas, a parafina é
armazenada em caixas cúbicas, cujo lado mede a.
Depois de derretida, a parafina é derramada em moldes em
formato de pirâmides de base quadrada, cuja altura e cuja
aresta da base medem, cada uma, a .
2
Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que,
com a parafina armazenada em apenas uma dessas caixas,
enche-se um total de
(A) 6 moldes.
(B) 8 moldes.
(C) 24 moldes.
(D) 32 moldes.
RESPOSTA: C
3
COMENTÁRIO: Volume do cubo = a
2
3
Volume da pirâmide = 1  a  . a  a


3 2 2 24
Número de moldes =
19
Volume do cubo
a3
 3  24
Volume da pirâmide a
24
π.62.h  π.82.4
h
h
94. (Ueg 2012)
Em uma festa, um garçom, para servir
refrigerante, utilizou uma jarra no formato de um cilindro
circular reto. Durante o seu trabalho, percebeu que com a
jarra completamente cheia conseguia encher oito copos de
300ml cada. Considerando-se que a altura da jarra é de 30cm,
então a área interna da base dessa jarra, em cm, é
(A) 10
(B) 30
(C) 60
(D) 80
RESPOSTA: A
COMENTÁRIO:
64.4
36
7,11 cm
96. (Uftm 2011) Um paralelepípedo reto-retângulo, de volume V1,
e um cilindro circular reto, de raio R = 0,5 m e volume V2, têm
a mesma altura h = 4 m.
Se
V1 2 ,

V2 
então a medida x da aresta da base do
paralelepípedo é igual a
(A)
5 2.
1mL  1cm
(B)
5 2
.
2
Volume da jarra  8  30mL  2400mL  2400cm3
(C)
2
.
2
(D)
2
.
4
Ab  área da base
3
Ab .30  2400
Ab  80cm2
10
.
4
(E)
RESPOSTA: C
COMENTÁRIO:
95. (Ufpr 2012) As duas latas na figura abaixo possuem
internamente o formato de cilindros circulares retos, com as
alturas e diâmetros da base indicados. Sabendo que ambas as
latas têm o mesmo volume, qual o valor aproximado da altura
h?
x2 .h
π.(0,5)2.h

2
1
2
 x2   x 
π
2
2
97. (Uesc 2011) Um reservatório com formato de um cilindro
circular reto de altura H, completamente vazio, começa a ser
abastecido de água a uma razão de k litros por minuto, ficando
completamente cheio em T horas.
Dentre os gráficos, o que melhor representa h(t), nível da água
no reservatório a cada instante t, é
(A)
(A) 5 cm.
(B) 6 cm.
(C) 6,25 cm.
(D) 7,11 cm.
(E) 8,43 cm.
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO:
VI = VII
(B)
20
(C)
Daí, se Vb é a capacidade do balde, temos:
Vb  r 2h  3,1 202  50  62.000cm3 .
Por conseguinte, o número de vezes que o tratador deverá
buscar água no reservatório é: 400.000  7.
0,95  62000
99. (Ufrgs 2011) Um tipo de descarga de água para vaso sanitário
é formado por um cilindro com altura de 2 m e diâmetro
interno de 8 cm.
Então, dos valores abaixo, o mais próximo da capacidade do
cilindro é
(A) 7L.
(B) 8L.
(C) 9L.
(D) 10L.
(E) 11L.
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO: Se a altura do cilindro mede 2m = 20dm e o
diâmetro 8m = 0,8dm então a capacidade do cilindro é dada
(D)
2
por    0,8   20  3,14  0,16  20  10,048dm3  10 L.
 2 
RESPOSTA: E
COMENTÁRIO: Sabendo que a vazão é a razão entre o volume
100. (G1 - ifal 2011) Arquimedes, para achar o volume de um
objeto de forma irregular, mergulhou-o num tanque cilíndrico
circular reto contendo água. O nível da água subiu 10 cm sem
transbordar. Se o diâmetro do tanque é 20 cm, então o
volume do objeto é:
2
e o tempo, segue que k   r  h  h(t)  k  t .
2
t
r
Portanto, como h e t são diretamente proporcionais, segue
que o gráfico que melhor representa h(t) é o da alternativa (E).
98. (Ufu 2011) Durante uma feira de exposição de animais, um
tratador de cavalos é encarregado de levar água a alguns
animais em uma baia. É colocado um tanque vazio na baia na
forma de um paralelepípedo retangular com a = 80 cm, b = 2
m e c = 50 cm, conforme ilustra a figura. O tratador transporta
água de um reservatório para o tanque, em um balde de
formato cilíndrico com base de 40 cm de diâmetro e 50 cm de
altura. Estima-se que a cada vez que vai ao reservatório, ele
enche o balde e, no caminho, derrame 5% de seu conteúdo.
Para que o nível de água no tanque atinja a metade de sua
capacidade, o número mínimo de vezes que o tratador deverá
buscar água no reservatório é igual a
(A) 1.000π
(B) 2.000π
(C) 3.000 π
(D) 4.000 π
(E) 5.000 π
RESPOSTA: A
COMENTÁRIO: O volume do objeto é dado por
2
 20 
     10  1.000 cm3 .
 2
(Utilize π = 3,1).
(A) 6
(B) 5
(C) 7
(D) 8
(E) 9
RESPOSTA: C
COMENTÁRIO: Se Vt denota a capacidade total do tanque,
então:
Vt  abc  80  200  50  800.000cm3 .
Assim, a metade da capacidade do tanque corresponde a:
Vt 800000

 400.000cm3 .
2
2
101. (Epcar (Afa) 2011) Uma vinícola armazena o vinho produzido
em um tanque cilíndrico (reto) com sua capacidade máxima
ocupada. Esse vinho será distribuído igualmente em barris
idênticos também cilíndricos (retos) e vendidos para vários
mercados de uma cidade.
Sabe-se que cada mercado receberá 2 barris de vinho, com
altura igual a 1 da altura do tanque e com diâmetro da base
5
1
igual a do diâmetro da base do tanque. Nessas condições, a
4
quantidade x de mercados que receberão os barris (com sua
capacidade máxima ocupada) é tal que x pertence ao intervalo
(A) 0 < x < 20
(B) 20  x < 40
(C) 40  x < 60
(D) 60  x < 80
(E) 80  x < 100
21
(B)
RESPOSTA: C
COMENTÁRIO: Considerando VT o volume do tanque e VB o
volume do barril:
VT  πr 2 .h
2
 r  h π.R2 .h VT
VB = π   . 

 4 5
80
80
Portanto, x = 80 barris e 40 mercados.
102. (Cesgranrio 2011) Um sólido totalmente maciço é composto
pela união de dois cilindros circulares retos de mesmo
diâmetro. As densidades do cilindro menor e do cilindro maior
3
3
valem, respectivamente, 8.900 kg/m e 2.700 kg/m
(C)
(D)
Considerando-se π = 3, a massa desse sólido, em toneladas,
vale
(A) 97,2
(B) 114,5
(C) 213,6
(D) 310,8
(E) 320,4
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO: O volume do cilindro menor é   22  2  24 m3
(E)
e o do maior   22  3  36 m3 . Portanto, como a massa é o
produto do volume pela densidade, segue que:
8900  24  2700  36  310.800kg  310,8 ton.
103. (Insper 2011) Um quadrado de lados medindo 1cm sofre uma
rotação completa em torno de um eixo paralelo a um de seus
lados. A distância desse eixo a um dos vértices do quadrado é
xcm como mostra a figura.
RESPOSTA: E
COMENTÁRIO: Através da rotação do quadrado em torno do
eixo, obtemos o seguinte sólido.
O gráfico que melhor representa a área total S do sólido
2
gerado por essa rotação, em cm em função de x para x ≥ 0, é
(A)
A área da base do sólido é dada por
  [(x  1)2  x2 ]    (2x  1)cm2 .
A soma das áreas laterais externa e interna é
2  (x  1)  1  2  x  1  2  (2x  1)cm2 .
Logo, a área total do sólido é
S(x)  2  (2x  1)  2    (2x  1)  8  x  4 cm2 .
Observando que a área total é dada por uma função afim,
basta calcular
S(0)  8  0  4  4 e S(1)  8  1 4  12
para deduzir que o gráfico que melhor representa a área total
S do sólido é o da alternativa (E).
22
104. (Uece 2010) Um fabricante de latas de alumínio com a forma
de cilindro circular reto vai alterar as dimensões das latas
fabricadas de forma que volume seja preservado. Se a medida
do raio da base das novas latas é o dobro da medida do raio da
base das antigas, então a medida da nova altura é
(A) a metade da medida da altura das latas antigas.
(B) um terço da medida da altura das latas antigas.
(C) um quarto da medida da altura das latas antigas.
(D) dois terços da medida da altura das latas antigas.
RESPOSTA: C
COMENTÁRIO:
2
Uma família que utilizar 12 vezes a capacidade total do kit em
um mês pagará a quantia de
(considere π ≅ 3)
(A) R$ 86,40.
(B) R$ 21,60.
(C) R$ 8,64.
(D) R$ 7,20.
(E) R$ 1,80.
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO: Como 40cm = 0,4 m, segue que o volume de
2
V1= π.R .H e V2 = π.(2R) .h
Como V1 = V2 temos:
2
2
π.R .H = π.(2R) .h
H = 4h
H/4 = h
Portanto a nova altura será ¼ da anterior.
2
um tambor é dado por   r 2  h  3   0,4   1  0,12 m3 .
 2 
Assim,
o
volume
de
água
contido
em
um
kit
é
6  0,12  0,72 m3 .
105. (Ufc 2010) Em um contêiner de 10 m de comprimento, 8 m de
largura e 6 m de altura, podemos facilmente empilhar 12
cilindros de 1 m de raio e 10 m de altura cada, bastando dispôlos horizontalmente, em três camadas de quatro cilindros
cada. Porém, ao fazê-lo, um certo volume do contêiner
sobrará como espaço vazio. Adotando 3,14 como aproximação
para p , é correto afirmar que a capacidade volumétrica desse
espaço vazio é:
(A) inferior à capacidade de um cilindro.
(B) maior que a capacidade de um cilindro mas menor que a
capacidade de dois cilindros.
(C) maior que a capacidade de dois cilindros mas menor que
a capacidade de três cilindros.
(D) maior que a capacidade de três cilindros mas menor que
a capacidade de quatro cilindros.
(E) maior que a capacidade de quatro cilindros.
RESPOSTA: D
3
COMENTÁRIO: Volume do contêiner:= 10.8.6= 480m
2
3
Volume de um cilindro = 3,14 .1 . 10 = 31,40m
3
Espaço vazio = 480 – 12.31,40 = 103,2 m
3
Volume de 3 cilindros = 3. 31,40 = 94,20 m
3
Volume de 4 cilindros= 4. 31,40 = 125,60 m
94,20 < 103,2 < 125,60
Por conseguinte, o valor a ser pago por uma família que
utilizar 12 vezes a capacidade total do kit em um mês é de
2,5  12  0,72  R$ 21,60.
107. (Cesgranrio 2010)
Uma placa metálica quadrada é dobrada de modo a formar
um cilindro (sem fundo e sem tampa), como ilustrado.
O volume no interior desse cilindro é 18 litros. Ao ter sua
temperatura aumentada de 40 ºC, a placa dilata de forma que
2
sua área aumenta de 72 mm . Considerando-se π = 3, o
coeficiente de dilatação linear do material do qual a placa é
–1
constituída vale, em ºC ,
-6
(A) 5,0  10
-6
(B) 2,5  10
-7

(C) 5,0 10
-7
(D) 2,5  10
-8
(E) 5,0  10
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO:
106. (Enem 2ª aplicação 2010) O administrador de uma cidade,
implantando uma política de reutilização de materiais
descartados, aproveitou milhares de tambores cilíndricos
dispensados por empresas da região e montou kits com seis
tambores para o abastecimento de água em casas de famílias
de baixa renda, conforme a figura seguinte. Além disso, cada
família envolvida com o programa irá pagar somente R$ 2,50
por metro cúbico utilizado.
2r
r
2r
2r
3
2
-4
2
18L = 18dm e 72mm = 72.10 dm
2
.r .2.r = 18 (fazendo  = 3)
3
2
18 r = 18  r = 1dm logo a área do quadrado é 36dm
ΔA  Ai .2αt ,onde  é o coeficiente de dilatação linear.
-4-
72.10 = 36.2.40  α =2,5.10
23
-6 O -1
C
108. (Enem 2ª aplicação 2010) Um fabricante de creme de leite
comercializa seu produto em embalagens cilíndricas de
diâmetro da base medindo 4 cm e altura 13,5 cm. O rótulo de
cada uma custa R$ 0,60. Esse fabricante comercializará o
referido produto em embalagens ainda cilíndricas de mesma
capacidade, mas com a medida do diâmetro da base igual à da
altura.
Levando-se em consideração exclusivamente o gasto com o
rótulo, o valor que o fabricante deverá pagar por esse rótulo é
de
(A) R$ 0,20, pois haverá uma redução de 2 na superfície da
3
embalagem coberta pelo rótulo.
Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual
das figuras a seguir representa uma planificação para o
bebedouro 3?
(A)
1
na superfície da
3
(B) R$ 0,40, pois haverá uma redução de
embalagem coberta pelo rótulo.
(C) R$ 0,60, pois não haverá alteração na capacidade da
embalagem.
(D) R$ 0,80, pois haverá um aumento de 1 na superfície da
3
embalagem coberta pelo rótulo.
(E) R$ 1,00, pois haverá um aumento de 2 na superfície da
(B)
3
embalagem coberta pelo rótulo.
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO:
Sejam r1  2cm e h1  13,5cm, respectivamente, o raio da
(C)
base e a altura do cilindro cujo rótulo custa R$ 0,60.
Se V1 e A 1 denotam, respectivamente, a capacidade e a
área
A
do
rótulo,
então
V1    22  13,5  54 cm3
e
(D)
 2    2  13,5  54 cm .
2
1
Sejam r2 E h2, respectivamente, o raio da base e a altura da
nova embalagem. Como h2  2  r2 e as capacidades das
embalagens
são
iguais,
temos
que
V1  V2  54  r22  2r2  r2  3 27  3.
Além
A
2
disso,
a
área
lateral
da
nova
embalagem
é
(E)
 2    3  6  36 cm2 .
Supondo que o custo da embalagem seja diretamente
proporcional à área lateral da mesma, obtemos
0,6 sendo K a constante de proporcionalidade
c  kA  k 
,
1
1
54
e C1 o custo da primeira embalagem.
Portanto, c  k  A
2
2

0,6
 36  R$ 0,40
54
e c 2  36  2 , ou
c1
54
3
RESPOSTA: E
COMENTÁRIO: A superfície do bebedouro 3 é constituída por
dois semicírculos e por um retângulo.
seja, o valor que o fabricante deverá pagar por esse rótulo é
de R$ 0,40, pois haverá uma redução de c  c  c  2 c  1 c
1
2
1
3
1
3
1
na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.
109. (Enem 2010) Alguns testes de preferência por bebedouros de
água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de
bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os
bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular
reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual
a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um
semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e
60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na
figura.
110. (G1 - cps 2010) Para evitar o desperdício de água potável em
sua casa, o Sr. João construiu um sistema de captação de água
de chuva. Essa água será armazenada em uma cisterna
cilíndrica cujas dimensões internas são três metros de altura e
dois metros de diâmetro, conforme esquema na figura.
24
Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá
os tubos maiores em que serão colocados, sem ajustes ou
folgas, quatro tubos cilíndricos internos. Se o raio da base de
cada um dos cilindros menores for igual a 6 cm, a máquina por
você operada deverá ser ajustada para produzir tubos
maiores, com raio da base igual a
(A) 12cm
Volume de um cilindro
2
V =  . r . h,
em que r é o raio da base e h é a altura
Adote:  = 3
Poucos dias após o término da construção da cisterna, quando
ela ainda estava totalmente vazia, choveu dois dias seguidos, o
que deixou o Sr. João muito feliz e ele pôde observar que:
2

no primeiro dia, o índice pluviométrico foi de 36 mm/m ,
o que fez o nível da água na cisterna atingir a marca de 72
cm;
2

no segundo dia, o índice foi de 30 mm/m .
(B)
(C)
(D)
12 2cm
24 2cm


6 1  2 cm


(E)
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO: Considere a figura, em que O é o centro da
base do cilindro cujo raio queremos calcular.
Considere que:

não foi retirada água da cisterna nesse período;

no interior da cisterna entrou apenas a água da chuva;

o índice pluviométrico e a altura da água na cisterna são
grandezas diretamente proporcionais.
12 1  2 cm
Sendo assim, o Sr. João determinou que o volume de água
captado e armazenado na cisterna após esses dois dias de
chuva é, em litros,
Lembre que:
3
1 m = 1 000L
(A) 980.
(B) 1 860.
(C) 2 100.
(D) 3 030.
(E) 3 960.
RESPOSTA: E
COMENTÁRIO: 36-----------72
30 -----------x
x = 60cm
Altura total em 2 dias 72 + 60 = 132 cm = 1,32 m
2
Volume: V = .2 .1,32
2
V = 3.1 .1.32
3
V = 3,96m
V= 3960 L
O lado do quadrado ABCD é igual ao diâmetro da base dos
cilindros menores. Logo, AB  2  6  12cm. Além disso, como
OB 
AB  2 12  2
BD segue que
OB 

 6 2 cm.
,
2
2
2
Portanto, o raio da base do cilindro maior é dado por
OQ  OB  BQ  6 2  6  6( 2  1)cm.
112. (Enem 2010) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira,
precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se
encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona
Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos,
também cilíndricos.
111. (Enem 2ª aplicação 2010) Uma fábrica de tubos acondiciona
tubos cilíndricos menores dentro de outros tubos cilíndricos. A
figura mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos
estão acondicionados perfeitamente em um tubo com raio
maior
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja
colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher
os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona
Maria deverá
(A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume
20 vezes maior que o volume do copo.
(B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume
20 vezes maior que o volume do copo.
25
(C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume
10 vezes maior que o volume do copo.
(D) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10
vezes maior que o volume do copo.
(E) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10
vezes maior que o volume do copo.
RESPOSTA: A
2
3
COMENTÁRIO: Volume do copinho =  .2 .4 = 16  cm
3
V= 5,456m
Logo, o preço da manilha será 5,456 . 10 = R$ 54,56
115. (Unemat 2010) Para projetar um reservatório cilíndrico de
3
volume 81 πm , dispõe-se de uma área circular de 6 m de
diâmetro. Considerando π = 3,14, a altura deverá ser de:
(A) 6 m
(B) 9 m
(C) 12 m
2
Volume de 20 copinhos pela metade = 1 20. 16  cm = 160
 cm3
Volume da leiteira =  .4 .20 = 320  cm
2
3
113. (Enem 2ª aplicação 2010) Certa marca de suco é vendida no
mercado em embalagens tradicionais de forma cilíndrica.
Relançando a marca, o fabricante pôs à venda embalagens
menores, reduzindo a embalagem tradicional à terça parte de
sua capacidade.
Por questões operacionais, a fábrica que fornece as
embalagens manteve a mesma forma, porém reduziu à
metade o valor do raio da base da embalagem tradicional na
construção da nova embalagem. Para atender à solicitação de
redução da capacidade, após a redução no raio, foi necessário
determinar a altura da nova embalagem.
Que expressão relaciona a medida da altura da nova
embalagem de suco (a) com a altura da embalagem tradicional
(h)?
(A)
a
h
12
a
(B)
(C)
(D)
81
h
6
m
(D) 6
(E) 3πm
RESPOSTA: B
2
2
COMENTÁRIO: .3 .h  81  h  9m
116. (Enem 2010) No manejo sustentável de florestas, é preciso
muitas vezes obter o volume da tora que pode ser obtida a
partir de uma árvore. Para isso, existe um método prático, em
que se mede a circunferência da árvore à altura do peito de
um homem (1,30 m), conforme indicado na figura. A essa
medida denomina-se "rodo" da árvore. O quadro a seguir
indica a fórmula para se cubar, ou seja, obter o volume da tora
3
em m a partir da medida do rodo e da altura da árvore.
2h
3
4h
a
3
a
4h
9
(E)
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO: Sejam V e V’, respectivamente, a capacidade
da embalagem tradicional e a capacidade da nova embalagem.
Portanto, de acordo com o enunciado, temos
a
Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de cubar,
abater e transportar cinco toras de madeira, de duas espécies
diferentes, sendo

3 toras da espécie I, com 3 m de rodo, 12 m de
3
comprimento e densidade 0,77 toneladas/m ;

2 toras da espécie II, com 4 m de rodo, 10 m de
3
comprimento e densidade 0,78 toneladas/m .
2
1
1
4h
r
v '   v       a     r2  h  a 
.
 2
3
3
3
114. (Enem 2010) Para construir uma manilha de esgoto, um
cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de espessura
desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma camada
de concreto, contendo 20 cm de espessura.
Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e
tomando 3,1 como valor aproximado de π, então o preço
dessa manilha é igual a
(A) R$ 230,40.
(B) R$ 124,00.
(C) R$104,16.
(D) R$ 54,56.
(E) R$ 49,60.
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO:
Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que enviassem
caminhões para transportar uma carga de, aproximadamente,
(A) 29,9 toneladas.
(B) 31,1 toneladas.
(C) 32,4 toneladas.
(D) 35,3 toneladas.
(E) 41,8 toneladas.
RESPOSTA: A
COMENTÁRIO:
3
Volume ( m )
Espécie I
Espécie II
Volume do concreto é V. Logo:
V = Volume do cilindro maior – volume do cilindro menor
2
2
V = .(1,2) .4 - .1 .4
V = 1,76.3,1
2
3.3 .12.0,06=19,44
2
2.4 .10.0,06 = 19,2
Massa (toneladas)
0,77.19,44 = 14,96
0,78.19,2 = 14,97
117. (Enem 2ª aplicação 2010) João tem uma loja onde fabrica e
vende moedas de chocolate com diâmetro de 4 cm e preço de
R$ 1,50 a unidade. Pedro vai a essa loja e, após comer várias
moedas de chocolate, sugere ao João que ele faça moedas
26
com 8 cm de diâmetro e mesma espessura e cobre R$ 3,00 a
unidade.
Considerando que o preço da moeda depende apenas da
quantidade de chocolate, João
(A) aceita a proposta de Pedro, pois, se dobra o diâmetro, o
preço também deve dobrar.
(B) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$
12,00.
(C) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$
7,50.
(D) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$
6,00.
(E) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$
4,50.
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO: Sejam r e h, respectivamente, o raio e a
espessura das moedas de chocolate fabricadas atualmente.
Logo, o volume V de chocolate de uma moeda é V    r 2  h.
De acordo com a sugestão de Pedro, o volume V’de chocolate
empregado na fabricação de uma moeda com 8cm de
diâmetro seria V '    (2r)2  h  4    r 2  h  4V.
V
Supondo que o preço p da moeda seja diretamente
proporcional ao volume de chocolate, segue que
em que K é a constante de
p  k  V  R$ 1,50,
proporcionalidade. Assim, o preço p’ da moeda sugerida por
Pedro deveria ser de p'  k  V '  k  4V  4  1,50  R$ 6,00.
V  π.R2 .h
1
1
π.R2 .h  .V
3
3
V 2
V2  V  V1  V   V
3 3
V1 
119. (Unicamp 2011) Depois de encher de areia um molde
cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície
horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu,
formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio
da base do cilindro.
118. (G1 - cftmg 2010) Um aluno gira um retângulo em torno do
eixo que contém um de seus lados e calcula o volume V do
sólido obtido. Depois, ele traça a diagonal do retângulo e o
separa em dois triângulos,como mostra a figura.
A altura do cone formado pela areia era igual a
(A) 3 da altura do cilindro.
4
Ao girar cada um dos triângulos, em torno do mesmo eixo de
rotação, os volumes dos sólidos obtidos são
1
2
Ve V
3
3
(A)
(B)
1
3
Ve V
4
4
(B)
1 da altura do cilindro.
2
(C)
2
3
(D)
1 da altura do cilindro.
3
da altura do cilindro.
RESPOSTA: A
COMENTÁRIO: Como o volume de areia é o mesmo, segue
que:
1
4
Ve V
5
5
(C)
1
5
Ve V
6
6
(D)
RESPOSTA: A
COMENTÁRIO:
1
1
2
2
   rcon
 hcon    rcil
 hcil   (2R)2  hcon  R2  hcil
3
3
3
 hcon   hcil .
4
120. (Ufpb 2011) A prefeitura de certo município realizou um
processo de licitação para a construção de 100 cisternas de
placas de cimento para famílias da zona rural do município.
Esse sistema de armazenamento de água é muito simples, de
baixo custo e não poluente. A empreiteira vencedora
2
estipulou o preço de 40 reais por m construído, tomando por
base a área externa da cisterna. O modelo de cisterna pedido
no processo tem a forma de um cilindro com uma cobertura
em forma de cone, conforme a figura abaixo.
27
O volume desse sólido é igual a
Considerando que a construção da base das cisternas deve
estar incluída nos custos, é correto afirmar que o valor, em
reais, a ser gasto pela prefeitura na construção das 100
cisternas será, no máximo, de:
Use: π = 3,14
(A) 100.960
(B) 125.600
(C) 140.880
(D) 202.888
(E) 213.520
RESPOSTA: E
COMENTÁRIO:
.r.g  12  r.g  12

 2.r 
 g  2  g  4.r

Logo, r.4r.  12  r  3 .
2
Portanto, a área da base será A = . 3  3 .
122. (Insper 2011) Considere o sólido gerado pela rotação
completa do triângulo acutângulo ABC de área S em torno de
um eixo que passa pelo lado BC que tem comprimento .
(B)
2 πS 2
.
3
(C)
(D)
4 πS
.
3
2 πS
.
3
πS
.
3
(E)
RESPOSTA: A
COMENTÁRIO: Uma rotação completa do triângulo ABC em
torno da reta suporte do lado BC gera o sólido abaixo,
constituído de dois cones.
Área de uma cisterna = Área da sup. lateral do cone + área da
superfície lateral do cilindro + área do círculo.
2
Área da Cisterna = .2.2,5 + 2. .2.2 + .2
2
Área da cisterna = 17.m
2
Área de 100 cisternas 1700.m
Valor das cisternas 40.1700.3,14 = 213.520 reais.
121. (Upe 2011) Ao se planificar um cone reto, sua superfície
lateral é igual a um quarto de um círculo com área igual a 12
π. Nessas condições, a área de sua base é igual a
(A) π
(B) 2π
(C) 3 π
(D) 4 π
(E) 5 π
RESPOSTA: C
COMENTÁRIO: Considerando 12 π como sendo a área da
superfície lateral, r o raio da base e g sua geratriz temos:
(A)
4 πS 2
.
3
Como a área do triângulo do triângulo ABC é S, segue que
(ABC) 
r
2S
Sr 
.
2
Portanto, o volume pedido é dado por
1
1
1
 r 2  x   r 2  (  x)   r 2  (x   x)
3
3
3
1
  r 2 
3
2

1
 2S 
  
 
3

4S2
.
3
123. (Uece 2010) A superfície lateral de um cone circular reto,
quando planificada, torna-se um setor circular de 12 cm de
raio com um ângulo central de 120 graus. A medida, em
centímetros quadrados, da área da base deste cone é
(A) 144 π.
(B) 72 π.
(C) 36 π.
(D) 16 π.
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO:
28
(D)
2.R 
R4
2.12
3
(E)
A  .42
a  16cm
2
124. (Enem 2ª aplicação 2010) Um arquiteto está fazendo um
projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura
que deverá instalar a luminária ilustrada na figura
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO:
o
252 = 252  7
180
5
7
2.R  .10  R  7 e g = 10 (raio do setor)
5
Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular
2
de 28,26m , considerando π ≅ 3,14, a altura h será igual a
(A) 3 m.
(B) 4 m.
(C) 5 m.
(D) 9 m.
(E) 16 m.
RESPOSTA: B
2
COMENTÁRIO: Se a área a ser iluminada mede 28,26m e r é
o
raio
da
área
circular
iluminada,
então
  r 2  28,26  r 
126. (G1 - cftsc 2010) Considere as sentenças abaixo:
I.
O determinante da matriz A  3 7  é - 13.


II.
As retas r: 2x + y = 4 e s: 2y + 4x = 9 são paralelas.
 1 2
III. Um copo de sorvete possui forma cônica com raio da
base medindo 3 cm e altura 7 cm. Sabendo que a fórmula
para calcular o volume desse copo é dada por V  1 r 2h
3
, então seu volume será de 14 cm³.
28,26
 r  3 m.
3,14
Portanto, como g = 5m e r = 3m, segue que h = 4m.
Considerando as proposições apresentadas, assinale a
alternativa correta:
(A) Apenas as proposições I e III são verdadeiras.
(B) Apenas as proposições II e III são verdadeiras.
(C) Apenas as proposições I e II são verdadeiras.
(D) Apenas a proposição II é verdadeira.
(E) Apenas a proposição III é verdadeira.
RESPOSTA: C
COMENTÁRIO: I – (verdadeira), DET(A) = 3.(-2) – 1.7 = -13
125. (Fgv 2010) A figura indica a planificação da lateral de um cone
circular reto:
O cone a que se refere tal planificação é
(A)
II –(verdadeira)
III – (falsa) V =
2
 2
logo r e s são paralelas
1
4
ms 
 2
2
mr 
1 2
.3 .7  21
3
(B)
127. (Ufpr 2010) Com base nos estudos de geometria, identifique
as afirmativas a seguir como verdadeiras (V) ou falsas (F).
( ) Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os
lados de um deles são as respectivas semirretas opostas
aos lados do outro.
(C)
( ) A razão entre dois ângulos suplementares é igual a 2 . O
7
complemento do menor vale 140 graus.
29
ˆ  VA  2π  3  2π cm.
AVB
3
( ) A hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles que gira
em torno de um dos catetos, gerando um sólido cujo
volume é  cm3 , é 2 cm. , é 2 cm.
Desse modo, como o comprimento do arco AB corresponde
ao comprimento da base cone, obtemos
2π  r  2π  r  1cm,
em que r é o raio da base do cone.
Portanto, a área total do cone é
3
( ) Se três retas são, duas a duas, reversas e não paralelas a
um mesmo plano, então, por qualquer ponto de uma
das retas, passa uma reta que se apoia nas outras duas.
( ) Se um polígono regular possui, a partir de um dos seus
vértices, tantas diagonais quantas são as diagonais de
um hexágono, então esse polígono é um dodecágono.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta, de
cima para baixo.
(A) V - F - V - F - V.
(B) F - V - F - V - F.
(C) F - V - V - F - V.
(D) V - V - V - V - V.
(E) V - F - F - F - F.
RESPOSTA: A
COMENTÁRIO: (verdadeiro) definição de ângulos opostos pelo
vértice.
o
o
(falsa) 2x + 7x = 180  x = 20 e 2x = 40 . O complemento de
o
O
40 (menor) é 50
(Verdadeiro)
V=
3π  π  r 2  3π  π  12  4π cm2 .
Como VA é a geratriz do cone, temos que
2
h2  VA  r 2  h2  32  12  h  2 2 cm,
sendo h a altura do cone.
Por conseguinte, temos que o volume desse cone mede
1
1
2π 2
 π  r 2  h   π  12  2 2 
cm3 .
3
3
3
129. (Uff 2011) Para ser aprovada pela FIFA, uma bola de futebol
deve passar por vários testes. Um deles visa garantir a
esfericidade da bola: o seu “diâmetro” é medido em dezesseis
pontos diferentes e, então, a média aritmética desses valores
é calculada. Para passar nesse teste, a variação de cada uma
das dezesseis medidas do “diâmetro” da bola com relação à
média deve ser no máximo 1,5%. Nesse teste, as variações
medidas na Jabulani, bola oficial da Copa do Mundo de 2010,
não ultrapassaram 1%.
112.1 

3
3
Se o diâmetro de uma bola tem aumento de 1%, então o seu
volume aumenta x %.
Dessa forma, é correto afirmar que
(A) x  [5,6).
(B) x  [2,3).
(C) x = 1.
(D) x  [3,4).
(E) x  [4,5).
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO: O volume (V) de uma esfera, em função do seu
diâmetro (D), é dado por
(falso) definição de retas reversas.
6.(6  3)
9
(verdadeiro) d =
2
n  3  9  n  12
128. (Ita 2012) A superfície lateral de um cone circular reto é um
2
setor circular de 120º e área igual a 3π cm . A área total e o
2
3
volume deste cone medem, em cm e cm , respectivamente
(A)
(B)
(C)
4π e
2π 2
3
4π e
π 2
3
V
4π e π 2
 3
D .
6
Se o diâmetro tem aumento de 1%, então o volume dessa
esfera passa a valer
2π 2
3π e
3
π e 2π 2
V' 
(D)
(E)
RESPOSTA: A
COMENTÁRIO: Considere a figura abaixo.


 (1,01 D)3  1,030301  D3  1,030301 V.
6
6
V
Portanto,
x% 
1,030301 V  V
0,030301 V
 100% 
 3,03%  [3, 4).
V
V
130. (Fuvest 2011) A esfera ε, de centro O e raio r > 0, é tangente
ao plano α. O plano β é paralelo a α e contém O. Nessas
condições, o volume da pirâmide que tem como base um
hexágono regular inscrito na intersecção de ε com β e, como
vértice, um ponto em α, é igual a
Sabendo que a área do setor circular VAB é 3π cm2 , segue
que
(B)
3r 3
4
5 3r 3
16
(C)
3 3r 3
8
(A)
2
π  VA  120
 3π  VA  3cm.
360
O comprimento do arco AB é dado por
30
espessura da luminária e adotando o valor de π = 3,14 o custo,
em reais, da pintura de cada luminária é
(A) 3,14.
(B) 6,28.
(C) 12,56.
(D) 18,84.
(E) 25,12.
RESPOSTA: C
COMENTÁRIO:
7 3r 3
16
(D)
3r 3
2
(E)
RESPOSTA: E
COMENTÁRIO:
V=
1
A b .h
3
Área de cada uma das partes (interna e externa):
A  2.3,14.(0,2)2  0,2512
Logo, o valor total será:
0,2512( 40 + 10 ) = R$ 12,56.
3
V = 1 . 6.r 3 .r
3
4
V=
r3 3
2
131. (Espm 2011) Um reservatório de água é constituído por uma
esfera metálica oca de 4 m de diâmetro, sustentada por
colunas metálicas inclinadas de 60° com o plano horizontal e
soldadas à esfera ao longo do seu círculo equatorial, como
mostra o esquema abaixo.
Sendo 3  1,73 , a altura h da esfera em relação ao solo é
aproximadamente igual a:
(A) 2,40 m
(B) 2,80 m
(C) 3,20 m
(D) 3,40 m
(E) 3,60 m
RESPOSTA: C
COMENTÁRIO: Considere a figura abaixo.
133. (Pucsp 2011) Um artesão dispõe de um bloco maciço de
resina, com a forma de um paralelepípedo retângulo de base
quadrada e cuja altura mede 20 cm. Ele pretende usar toda a
resina desse bloco para confeccionar contas esféricas que
serão usadas na montagem de 180 colares. Se cada conta tiver
um 1 cm de diâmetro e na montagem de cada colar forem
usadas 50 contas, então, considerando o volume do cordão
utilizado desprezível e a aproximação π = 3, a área total da
superfície do bloco de resina, em centímetros quadrados é
(A) 1250.
(B) 1480.
(C) 1650.
(D) 1720.
(E) 1850.
RESPOSTA: C
COMENTÁRIO:
Número de esferas = 180  50  9000
Volume
total
das
esferas
=
3
9000 
4
 1
 π     4500cm3
 2
3
(considerando π  3 )
Volume do bloco = x  x  20
Logo,
20x 2  4500
x 2  225
x  15cm
Queremos calcular
Temos que
134. (Ufrgs 2010) Um reservatório tem forma de um cilindro
circular reto com duas semiesferas acopladas em suas
extremidades, conforme representado na figura a seguir.
e
Logo,
Do
triângulo
ABC,
vem
que
Portanto,
O diâmetro da base e a altura do cilindro medem, cada um,
4
4dm, e o volume de uma esfera de raio r é πr 3 .
3
132. (Ufsm 2011) Um fabricante decidiu produzir luminárias no
formato de uma semiesfera com raio de 20 cm. A parte
interior, onde será alojada a lâmpada, receberá uma pintura
metalizada que custa R$ 40,00 o metro quadrado; já a parte
externa da luminária receberá uma pintura convencial que
custa R$ 10,00 o metro quadrado. Desconsiderando a
Dentre as opções a seguir, o valor mais próximo da capacidade
do reservatório, em litros, é
(A) 50.
31

3,14
 h  (R2  R  r  r 2 ) 
 27  (172  17  14  142 )
3
3
 3,14  9  723
(B) 60.
(C) 70.
(D) 80.
(E) 90.
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO: V= V(cilindro) + V(esfera)
4
V  .22.4  .23
3
V  16 
V
 20.431,98cm3
 20 L.
137. (Ufrgs 2011) Na figura abaixo, estão representados um cubo
de aresta 3 e uma pirâmide triangular de altura 9. Os pontos A,
B e C são vértices da pirâmide e do cubo, e V pertence ao
prolongamento de BG.
32
3
80
(fazendo  = 3)
3
3
V= 80dm = 80L
135. (Ufpr 2010) Para testar a eficiência de um tratamento contra
o câncer, foi selecionado um paciente que possuía um tumor
de formato esférico, com raio de 3 cm. Após o início do
tratamento, constatou-se, através de tomografias, que o raio
desse tumor diminuiu a uma taxa de 2 mm por mês. Caso essa
taxa de redução se mantenha, qual dos valores abaixo se
aproxima mais do percentual do volume do tumor original que
restará após 5 meses de tratamento?
(A) 29,6%
(B) 30,0%
(C) 30,4%
(D) 30,8%
(E) 31,4%
RESPOSTA: A
COMENTÁRIO: Seja R raio do tumor e x o número de meses.
Logo R(x) = 3 – 0,2x, após 5 meses o raio será:
R(5) = 3 – 0,2 . 5 = 2 cm
O volume comum aos dois sólidos é
(A)
(B)
(C)
(D)
15
2 .
8.
17
2 .
9.
19
2 .
(E)
RESPOSTA: E
COMENTÁRIO: Considere a figura abaixo.
3
Volume inicial = 4.3  36
3
3
Volume final = 4.2  32
32
P = 3  29,6%
36
3
3
Como as pirâmides VPGQ e VABC são semelhantes, temos
que VG  6  2  k,
9
VB
136. (Ufpa 2011) Uma rasa é um paneiro utilizado na venda de
frutos de açaí. Um típico exemplar tem forma de um tronco de
cone, com diâmetro de base 28cm, diâmetro de boca 34cm e
altura 27cm. Podemos afirmar, utilizando π = 3,14, que a
capacidade da rasa, em litros, é aproximadamente
(A) 18
(B) 20
(C) 22
(D) 24
(E) 26
RESPOSTA: B
3
sendo K a razão de semelhança.
3
Desse modo, [VPGQ]   2   [VPGQ]  8  [VABC].
 
[VABC]
3
27
O volume da pirâmide VABC é dado por
1 AB  BC

 VB
3
2
1 33
 
9
3 2
27

.
2
[VABC] 
COMENTÁRIO: O raio da base mede r  28  14cm e o raio de
Portanto, o volume pedido é
boca R  34  17cm.
[VABC]  [VPGQ]  [VABC] 
2
2
8
 [VABC]
27
19
 [VABC]
27
19 27


27 2
19

.
2

Portanto, como a altura do paneiro mede h  27cm, segue
que a capacidade da rasa é dada por
32
3
v
v  1
1
V
 k3       v  .
V
V  2
8
8
138. (Espcex (Aman) 2011)
A figura abaixo representa a
planificação de um tronco de cone reto com a indicação das
medidas dos raios das circunferências das bases e da geratriz.
A medida da altura desse tronco de cone é
Seja VS o volume submerso.
Vs  V  v  V 
V 7V

.
8
8
Portanto, a razão pedida é
7V
Vs
7
 8  .
V
V
8
(A) 13 cm
(B) 12 cm
(C) 11 cm
(D) 10 cm
(E) 9 cm
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO: Considere a figura abaixo.
Sabemos que
Logo, como
140. (Udesc 2011) Considere um tronco de pirâmide regular, cujas
bases são quadrados com lados medindo 4cm e 1cm Se o
3
volume deste tronco é 35cm então a altura da pirâmide que
deu origem ao tronco é:
(A) 5cm
(B)
5
3 cm
20
3 cm
(C)
(D) 20cm
(E) 30cm
RESPOSTA: C
COMENTÁRIO: Considere a figura.
e
segue que
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo
encontramos
Como a pirâmide menor e a maior são semelhantes, vem que
que é a altura procurada.
3
139. (Uerj 2011) Um sólido com a forma de um cone circular reto,
constituído de material homogêneo, flutua em um líquido,
conforme a ilustração abaixo.
Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio
pelo nível do líquido, a razão entre o volume submerso e o
volume do sólido será igual a:
(A)
1
2
(B)
3
4
(C)
3
v  h
1
 1
    
,
 4
V  H
64
sendo V o volume da pirâmide menor e V o volume da
pirâmide que deu origem ao tronco.
3
Além disso, como o volume do tronco é 35cm , temos
V
320 3
V  v  35  V 
 35  V 
cm .
64
9
Portanto,
1 2
320
20
 4 H 
H
cm.
3
9
3
141. (Pucrs 2010) O metrônomo é um relógio que mede o tempo
musical (andamento). O metrônomo mecânico consiste num
pêndulo oscilante, com a base fixada em uma caixa com a
forma aproximada de um tronco de pirâmide, como mostra a
foto.
5
6
7
8
(D)
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO: Seja g uma geratriz do cone emerso e G uma
geratriz do sólido. Segue que
g 1
  k,
G 2
Com K sendo a constante de proporcionalidade.
Na representação a seguir, a é o lado da base maior, b é o lado
da base menor e V é o volume do tronco de pirâmide
ABCDEFGH. Se a = 4b e p é o volume total da pirâmide ABCDI,
então:
Assim, se V é o volume emerso e V é o volume do sólido,
temos
33
143. (Ita 2012) Um cone circular reto de altura 1 cm e geratriz
2 3 é interceptado por um plano paralelo à sua base, sendo
3
determinado, assim, um novo cone. Para que este novo cone
13
tenha o mesmo volume de um cubo de aresta  π 
 243 


(A)
(B)
(C)
necessário que a distância do plano à base do cone original
seja, em cm, igual a
3
p
4
3
V p
16
15
V
p
16
V
(A)
(B)
V
15
p
64
(C)
V
63
p
64
(D)
(D)
1
4
1
3
1
2
2
3
3
(E)
RESPOSTA: E
COMENTÁRIO:
V(EFGHI)  b 
 
 a
p
cm, é
(E) 4
RESPOSTA: D
COMENTÁRIO: Seja V o volume do cone determinado pelo
plano.
Sabendo que o volume desse cone é igual ao volume do cubo
3
3
13
de aresta  π  cm, obtemos
 243 
V(EFGHI)  b  V(EFGHI) = p
 
 4b 
64
p
p
63
Logo V = p –
= p
64 64
3
 π  1 3 
π
v  
cm3 .
  

243
 243

Considere a figura abaixo.
142. (Uerj 2010) A figura abaixo representa um recipiente cônico
com solução aquosa de hipoclorito de sódio a 27%. O nível
desse líquido tem 12 cm de altura.
Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução inicial
com água, até completar o recipiente, obtendo-se a solução
aquosa do hipoclorito de sódio a 8%.
Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equivalente a
(A) 16
(B) 18
(C) 20
(D) 22
RESPOSTA: B
COMENTÁRIO: A solução inicial ocupa um volume igual a
2 3
cm, do Teorema de Pitágoras
3
aplicado no triângulo AOB segue que
Como AO  1cm e AB 
3
 2 3
2
4
1
2
OB  
 1  3 1 3.
 3 
altura.
Como os cones são semelhantes, segue que:
O volume do cone maior é dado por
2
1
1
1
π
V   π  OB  AO   π   1  cm3 .
3
3
3
9
Daí, como os cones são semelhantes, vem
π
3
3
 AO' 
v  AO' 
1
243



 1   AO'  3 cm.
π
V  AO 


9
Portanto, o resultado pedido é
r 12
12R

r 
.
R H
H
O'O  AO  AO'  1 
1 2
r  12 cm3 , em que r é o raio do cone menor definido pelo
3
nível do líquido. O recipiente tem volume igual a
1 2
R  H cm3 , em que R é o raio do recipiente e H é a sua
3
Por outro lado, do enunciado vem:
2
1
1
 12R 
27%  r 2  12  8%  R2  H  27  
 12  8  R2  H
 H 
3
3
 H3 
33  123
23
3  12
H
2
 H  18cm.
34
1 2
 cm.
3 3