Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz

Supersimetria e quebra da simetria
de Lorentz
A. Yu. Petrov
Universidade Federal da Paraı́ba (UFPB)
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 1/25
Sumário
• Introdução. Concepção da supersimetria.
• Teoria supersimétrica de campos. Superparceiros.
• Super-espaço e supercampo.
• Teorias supersimetricas quânticas. “Cancelamentos milagrosos”.
• Supersimetria nas teorias com quebra da simetria de Lorentz.
• Conclusão.
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 2/25
Introdução. Concepção da supersimetria.
Que é supersimetria (SUSY)? É simetria entre bósons e férmions.
Cada simetria nova melhora a teoria – cancelamento das divergências,
expressões mais compactas para as correções quânticas, até a previsão
do resultado para as correções quânticas sem os cálculos...
Exemplo: nas teorias de calíbre a ação efetiva é a função dos escalares
obtidos através da contração do Fab .
Bósons: agentes das interações fundamentais (γ, W ± , Z 0 , gluons,
gravitons).
Férmions: quarks (u, d, s, c, b, t) e léptons.
Assim, supersimetria permite de “misturar” matêria usual e agentes das
interações fundamentais.
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 3/25
A forma genérica das transformações da supersimetria:
δB = ǫf (F );
δF
= ǫg(B̃),
(1)
onde f e g são algumas funções. No caso mais usado, essas funções
são lineares.
O campo bosônico B e o campo fermiônico F são chamados de
superparceiros.
Tipicamente os seus nomes são: fotino – superparceiro de fóton,
gravitino - de graviton, também, gluino etc...
Introdução da supersimetria: Yu. A. Golfand, E. S. Lichtman, 1971;
D. V. Volkov e V. P. Akulov, 1972, 1973; J. Wess, B. Zumino, 1974
(para a istória, vejam o livro “Supersymmetric World”, Ed. World
Scientific).
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 4/25
Teoria supersimétrica de campos. Superparceiros.
A teoria supersimétric mais simples – o modelo de Wess-Zumino
(1974), descreve três campos: A, ψα , F (e os campos conjugados) cuja
ação é
Z
h
S =
d4 x AĀ − ψ̄α̇ (σ m )α̇α ∂m ψα + F F̄ +
i
λ
1 α
+ [m(AF + ψ ψα ) + (Aψ α ψα + F A2 ) + h.c.]
2
2
(2)
Essa ação é invariante sob as transformações com os parâmetros
fermiónicos chamados de transformações da supersimetria:
δA = −ǫα ψα ;
δψα = −ǭα̇ i(σ m )α̇α ∂m A + ǫα F ;
δF
(3)
= ǭα̇ i(σ m )α̇α ∂m ψ α .
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 5/25
O conjunto dos campos (A, ψα , F ) chama-se de multipleto quiral.
• O campo ψα se chama de superparceiro do campo escalar A. E
o campo F é o campo auxiliar cuja dinâmica é trivial pois a sua
equação do movimento é meramente algêbrica:
F̄ + mA + λ2 A2 = 0. Mas geralmente o F não é eliminado, para
evitar a não-linearidade das transformações da supersimetria.
• Todos os campos desse multipleto possuem a mesma massa. Isso
é característico para qualquer multipleto supersimétrico.
• Duas interações são caracterizados pela mesma constante do
acoplamento λ. Isso é a propriedade comum das teorias
supersimétricas – o número das constantes do acoplamento
independentes é reduzido!
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 6/25
Super-espaço e supercampo
A pergunta mais natural: se existe o formalismo que permite tratar as
teorias supersimétricas em maneira mais compacta?
Resposta: SIM!!! É o formalismo dos supercampos.
“Superspace is the greatest invention since the wheel” (”Stuperspace”)
A idéia-chave: os campos de multipletos são unidos para o
supercampo. Por exemplo, o multipleto quiral corresponde ao
supercampo quiral
i α α̇ m
Φ(x, θ, θ̄) = A(x) + θ ψα (x) − θ F (x) + θ θ̄ (σ )α̇α ∂m A(x) +
2
1 2 2
i 2 α̇ m
α
(4)
θ θ̄ (σ )α̇α ∂m ψ (x) + θ̄ θ A(x).
+
2
4
α
2
Aqui, θα e θ̄α̇ são as coordenadas extras no espaço novo estendido
chamado de super-espaço, sendo os números anticomutantes
(Grassmannianos). Os indices α tem valores 1, 2.
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 7/25
Agora ações, equações de movimento, transformações da supersimetria
e os cálculos quânticos tonam-se muito mais simples.
“We prove, once and for all, that people who don’t use superspace are
really out of it.” (“Stuperspace”)
Nessa formulação as transformações da supersimetria são:
δΦ = i(ǫα Qα + ǭα̇ Q̄α̇ )Φ,
(5)
onde
1
Qα = i(∂α − iθ̄α̇ (σ m )α̇α ∂m );
2
1
Q̄α̇ = i(∂α̇ − iθα (σ̄ m )αα̇ ∂m ) (6)
2
são as geradores.
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 8/25
O seu anticomutador:
{Qα , Q̄α̇ } = i(σ m )α̇α ∂m .
(7)
Assim, obtemos extensão não-trivial da algebra de Poincaré (antes,
tivemos apenas os comutadores). Os Q, Q̄ geram as translações em
respeito as coordenadas fermiônicas, como ∂m – em respeito as usuais.
As derivadas e integrais sobre as coordenadas Grassmannianas são:
Z
Z
∂θβ
(8)
dθα 1 = 0;
dθα θβ = δαβ .
= δβα ;
∂θα
Ainda, temos a mêtrica no espaço das variáveis Grassmannianas – o
tensor C αβ = iǫαβ , assim, θ2 ≡ 21 C αβ θβ θα .
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 9/25
Ainda, é necessário lhe introduzir as derivadas supersimétricas
covariantes Dα , D̄α̇ . Todas elas anticomutam com todos os geradores,
{Dα , Qβ } = 0, etc. – para a relação da covariância δDα Φ = Dα δΦ
seria mantida. É fácil de ver que
1 α̇ m
Dα = ∂α + iθ̄ (σ )α̇α ∂m ;
2
1 α m
D̄α̇ = ∂α̇ + iθ (σ̄ )αα̇ ∂m ,
2
(9)
e {Dα , D̄β̇ } = i(σ m )β̇α ∂m .
E agora, o modelo de Wess-Zumino adquire a forma muito simples!!!
Z
Z
λ
m
(10)
d6 z[ Φ2 + Φ3 ] + h.c.
S = d8 ΦΦ̄ +
2
3!
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 10/25
Outra teoria importante é a teoria de super-Yang-Mills:
Z
1
S = 2 tr d6 zW α Wα ,
2g
(11)
onde
Wα = D̄2 (e−gV Dα egV )
(12)
Nas componentes, a teoria se reduz a
Z
1 ab
4
/λ + D2 ),
S = tr d x(− 2 F Fab + iλ̄D
4g
(13)
que é, a teoria de Yang-Mlls com a matêria acoplada.
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 11/25
Teorias supersimetricas quânticas. “Cancelamentos milagrosos”.
Primeiro, consideraremos o modelo muito simplificado
1
λ 4
2
L = − φ( + m )φ + φ + Ψ̄(i∂/ − m + hφ)Ψ.
2
4!
(14)
Existem duas correções á função de dois pontos mais baixas
apresentadas pelos diagramas de Feynman:
a
b
Cada laço fermiónico carrega o fator (−1).
Assim, as contribuições desses diagramas são
Z
Z
4
λ
d p
1
d4 k
Ia =
φ(−p)φ(p)
;
(15)
4
4
2
2
2
(2π)
(2π) k − m
Z
Z
4
d4 k (k/ + m)(k/ + p/ + m)
d p
2
φ(−p)φ(p)tr
,
Ib = −h
4
4
2
2
(2π)
(2π)
k −m
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 12/25
Ia
Ib
d4 p
1
d4 k
φ(−p)φ(p)
;
(16)
=
4
4
2
2
(2π)
(2π) k − m
Z
Z
4 k (k 2 + m2 )
4p
d
d
φ(−p)φ(p)
,
= −4h2
4
4
2
2
2
(2π)
(2π) (k − m )
λ
2
Z
Z
É claro que as divergências quadrâticas somem na soma Ia + Ib , se
λ = 8h2 .
Na verdade, esse caso é muito simplificado, nos omitimos muitos
efeitos finos. Mas a supersimetria funciona nessa maneira!
P. S. Howe, K. S. Stelle, P. K. Townsend, “Miraculous Cancellations in
Supersymmetry Made Manifest”, Nucl. Phys. B236, 125 (1984) – o
artigo com discussões detalhadas.
Os supercampos permitem de tomar isso em conta automaticamente!!!
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 13/25
No modelo de Wess-Zumino, em um laço temos o único supergráfico
divergente
2
2
D̄−
D
−
Usando o propagador dos supercampos
2 D̄ 2
< Φ(z1 )Φ̄(z2 ) >= D16
δ 8 (z1 − z2 ), fazemos as transformações
algébricas simples, e temos
Z
Z
2
λ
d4 p
4
Σ =
d θ
Φ̄(−p, θ)Φ(p, θ) ×
4
2
(2π)
Z
1
d4 k
,
(17)
×
4
2
2
2
2
(2π) (k − m )[(k + p) − m ]
então, divergência é única, e a sua ordem é melhorada (logarítmica em
vez da quadrâtica).
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 14/25
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz.
A idéia-chave da quebra da simetria de Lorentz é presença do vetor ou
R 4 abcd
tensor constante na ação, como por exemplo d xǫ
ka Ab ∂c Ad –
termo de Carroll-Field-Jackiw (CFJ). Tal tensor destaca a direção
preferencial.
Isso não é a única maneira de quebrar a simetria de Lorentz. Outro
exemplo importante é os termos tipo éter
1
φ( + m2 )φ + uµ uν ∂µ φ∂ν φ;
2
1
1 µ ν
µν
= − Fµν F + u u Fµα Fν α ;
4
2
= ψ̄(iγ µ ∂µ − m − uµ uν γµ ∂ν )ψ.
Lesc =
Lvect
Lspin
(18)
O teorema: tensores constantes de posto impar, além d quebra da
simetria de Lorentz, quebram também simetria de CPT, de posto par –
não quebram a simetria CPT.
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 15/25
Três caminhos para quebrar a simetria de Lorentz na teoria de
supercampos:
1. Deixamos os supercampos e os geradores a serem mesmos,
adicionaremos os novos termos para ação. Exemplo:
Z
Z
Ssc = d8 z(ΦΦ̄ + k ab ∂a Φ∂b Φ̄) + ( d6 zV (Φ) + h.c.)
(19)
Nesse caso, temos altas derivadas: a expressão em componentes é
Z
Ssc = d4 x(φφ̄ + k ab ∂a φ∂b φ̄ + . . .).
(20)
Portanto, temos os termos tipo Horava-Lifshitz (arXiv: 0901.3775)
Z
d4 x(φ̇φ̇ + ∂i ∂j φ∂i ∂j φ̄),
e, ainda, muitos termos com derivadas espaciais e temporais mistas.
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 16/25
2. Introduzimos o supercampo novo envolvendo o vetor (tensor)
constante (hep-th/0304166).
Adicionamos á ação da super-QED
Z
1
S=−
d8 zV Dα D̄2 Dα V
16
(21)
o termo novo
δS =
Z
d8 z(W α Dα V Σ + h.c.),
(22)
onde Wα = − 41 D̄2 Dα V , e D̄α̇ Σ = 0.
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 17/25
E, como
V = θ̄σ m θAm + . . . ,
Σ = s + θ α ψα + θ 2 F + . . . ,
obtemos em componentes
Z
4 i
δS = d z ∂a (s − s∗ )ǫabcd Fbc Ad + . . . ,
2
(23)
(24)
i.e. o termo de CFJ: para s = ika xa , temos 2i ∂a (s − s∗ ) = ka , i.e.
Z
δS = d4 zka ǫabcd Fbc Ad + . . . .
(25)
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 18/25
3. Vamos modificar os geradores de SUSY! (Kostelecky, Berger,
hep-th/0112243)
Qα
Q̄α̇
1 α̇ m
= i(∂α − iθ̄ (σ )α̇α (∂m + kmn ∂ n ));
2
1 α m
= i(∂α̇ − iθ (σ̄ )αα̇ (∂m + kmn ∂ n )).
2
(26)
O seu anticomutador:
{Qα , Q̄α̇ } = i(σ m )α̇α (∂m + kmn ∂ n ).
(27)
Em mesma maneira, modificamos as derivadas supercovariantes.
Como a consequencia, podemos construir a teoria de supercampos com
quebra da simetria de Lorentz. A diferença será em troca
∂m → ∂m + kmn ∂ n = ∇m (arXiv: 1206.4508). Escolhemos
kmn = αum un .
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 19/25
Assim, ações em termos dos supercampos permanecem ser mesmos,
mas em componentes se modificam!
Por exemplo, a ação do modelo de Wess-Zumino torna-se
Z
h
˜ φ̄ + ψ α iσαmα̇ ∇m ψ̄ α̇ + F F̄ +
S =
d4 x φ +
i
1
m(ψ α ψα + φF ) + λ(φψ α ψα + φ2 F ) + h.c. , (28)
2
˜ = ∇m ∇m = + 2k mn ∂m ∂n + . . .. Os propagadores são
onde < Φ(z1 )Φ̄(z2 ) > =
< Φ(z1 )Φ(z2 ) > =
1
δ(z1 − z2 );
2
˜
−m
mD2
δ(z1 − z2 ).
2
˜
˜
4( − m )
(29)
(30)
Temos os termos de éter αum un ψ α iσmαα̇ ∂n ψ̄ α̇ e αum un φ∂m ∂n φ.
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 20/25
As relações da dispersão: E 2 = p2 + m2 + (2α + α2 )(~u · p~)2 para
um um = 1 (tipo espaço) e E 2 (1 − α)2 = p~2 + m2 para um um = −1
(tipo tempo). A grau da divergência é ω = 2 − E − C.
A função de dois pontos:
D2
−
−
D̄2
A sua contribuição é
Γ2 = i∆
λ2
2
Z
d4 θ
1
+
× (
2
16π ǫ
Z
Z
1
0
d4 p
Φ̄(−p, θ)Φ(p, θ) ×
4
(2π)
m2 + p̃2 x(1 − x)
).
dx ln
2
µ
(31)
onde p̃2 = (pm + kmn pn )(pm + k ml pl ), e ∆ = det−1 (δnm + knm ) é o
Jacobiano.
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 21/25
O potencial efetivo de um laço é
∞ Z
2 D̄ 2
X
1
D
]δ 8 (z − z ′ )|z=z ′
K (1) = −
d8 z[ΨΨ̄
˜2
2
16
(32)
n=1
isso é a soma dos super-gráficos (com Ψ = m + λΦ):
★✥
✧✦
★✥
✧✦
★✥
❅
...
✧✦
❅
Somando, temos
Z
Z
4q
1
Ψ̄Ψ
d
Ψ̄Ψ
(1)
4
K =−
d θ
ln(1 −
). (33)
4
n
2
n
2
2
(2π) (qm + kmn q )
(qm + kmn q )
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 22/25
Mudança dos variáveis qm + kmn q n → q̃m :
Z
Z
4 q̃
1
Ψ̄Ψ
1
d
4
(1)
Ψ̄Ψ 2 ln(1 − 2 ),
K =− ∆ d θ
4
2
(2π)
q̃
q̃
(34)
o ∆ é o Jacobiano. Integrando, temos
K
(1)
1
ΨΨ̄
=−
∆ΨΨ̄ ln 2 .
2
32π
µ
(35)
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 23/25
Interpretação geomêtrica.
Nesse caso, em um laço temos a seguinte correção quântica:
Z
ΓK = c∆ d8 zΦΦ̄ ≃
(36)
Z
≃ −c∆ d4 x[η mn (∂m + kmn ∂ n )φ(∂n + knl ∂ l )φ] + . . . ,
onde ∆ =
∂q m
det( ∂ q̃n )
= det−1 (δnm + knm ).
Interpretação natural: a métrica nova g mn = η ab (δam + kam )(δbn + kbn ),
p
com gmn inversa, e ∆ = |g|, with g = det gab . Assim,
Z
p
4
(37)
ΓK = − d x |g|g ab ∂a φ∂b φ,
e a ação no espaço “curvo”, portanto, a correção quântica gera a
geometria nova! (arXiv: 1305.1812)
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 24/25
Conclusão.
Assim, com a supersimetria, temos os resultados seguintes:
1. Supersimetria mistura bósons e fermions e prevé as partículas novas.
2. O formalismo dos supercampos é o instrumento poderoso.
3. Cancelamento das divergências parcial, ou até total.
4. A extensão supersimétrica é construida para as teorias não
comutativas e as teorias com quebra da simetria de Lorentz.
5. Geração da geometria.
Mesmo assim, temos a grande lista dos problemas para o estudo futuro.
1. Outras maneiras de implementar a quebra de Lorentz nas teorias
supersimétricas.
2. Estudo detalhado das teorias de calíbre supersimétricas (AdS/CFT
etc.) e supergravitação.
E muito mais...
Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz – p. 25/25