Page 1 Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa

Faculdade de Economia
Universidade Nova de Lisboa
Calculo II
Exame de 1a Epoca, 7 de Junho de 2002
O exame e const<tuido por cinco perguntas. Responda a cada quest~
ao em folhas separadas.
N~
ao se esqueca de identi car todas as folhas.
N~
ao ser~
ao feitos esclarecimentos individuais sobre as quest~
oes durante o exame.
A durac~
ao do exame e de 3 horas. Bom trabalho!
1. Considere a func~ao f (u; v) = h(uv; u2 + v 2 ), com h(x; y) homogenea de grau 2, de classe
C 2.
Sabe-se que
@2h
(2; 4)
@x2
=
@2h
@x@y (2; 4)
(a) Determine h(2; 4) e
(b) Calcule
@f
@u (1; 1)
e
=
@2h
(2; 4)
@y 2
=1e
@h
@y (2; 4)
= 3.
@h
@x (2; 4).
@2f
@u@v (1; 1).
2. Seja F (K; L) uma func~ao de produc~ao de classe C 2 . Considere o problema de escolha dos
inputs que maximiza as receitas do produtor e que garante simultaneamente que os custos
associados ao plano de produc~ao sejam iguais a C0 , sendo p, w e r o preco do output,
trabalho e do capital, respectivamente.
(a) Formalize o problema e escreva a respectiva func~ao lagrangeana. Deduza as condic~oes
de 1a ordem.
(b) Em que condic~oes e poss vel escrever K, L e
como func~ao de C0 , w e r, numa
vizinhanca de um ponto que satisfaca as condic~oes de 1a ordem (Para simpli car
assuma p = 1)?
(c) E em que condic~oes se garante a exist^encia de soluc~ao para o problema em causa?
3. Apos ter incendiado o gabinente do Mr.Burns, incluindo o proprio, Homer Simpson foi
nalmente despedido. Para manter a sua linda barriga e obrigado a montar uma fabrica
de donuts. Para tal, disp~oe semanalmente da forca de trabalho do seu lho, Bart, de 60
1
kg de farinha e de 70 ovos. Segundo a sua inteligente lha Lisa e poss vel fabricar 2 tipos
de donuts: glazed e roundies, com as seguintes receitas:
Glazed Donuts:
Roundies Donuts:
10 unidades necessitam de:
10 unidades necessitam de:
4 ovos;
10 ovos;
3 kg de farinha;
5 kg de farinha;
e a sua confecc~ao demora 1 hora
e a sua confecc~ao demora 2 horas
A Lisa ja fez um pequeno estudo do mercado dos donuts e conclu u que e poss vel vender
cada dezena de glazed donuts por 40 u.m. e cada dezena de roundies donuts por 70 u.m.
Sabe tambem que se representar por x1 a quantidade de glazed donuts (em dezenas) e por
x2 a quantidade de roundies donuts (em dezenas) produzidos por semana que os custos
associados a obtenc~ao dos restantes ingredientes s~ao dados pela func~ao seguinte:
C1 (x1 ; x2 ) = 2x1 + x22
O Bart exige que o numero maximo de horas semanais de trabalho seja 15 e que lhe
seja pago, em unidades monetarias, o quadrado do numero de dezenas de donuts que ele
produzir, ou seja, o seu ordenado semanal e dado por:
C2 (x1 ; x2 ) = (x1 + x2 )2
O Homer esta obviamente interessado em maximizar a sua barriga, o que felizmente corresponde a maximizac~ao do lucro desta empresa familiar.
(a) Ajude-os na formalizac~ao do problema e escreva as condic~oes de Kuhn-Tucker que lhe
est~ao associadas.
(b) Comente a seguinte a rmac~ao: \A soluc~ao do problema do Homer tem que satisfazer
as condic~oes de Kuhn-Tucker. Para alem disso, um ponto que satisfaca as condic~oes
de Kuhn-Tucker e um maximo global estrito"
(c) O Homer ja perguntou a Lisa se ela tinha alguma sugest~ao para resolver o seu problema, e a resposta foi a seguinte:
Se o Bart trabalhasse mais horas aumentar amos de certeza as nossas receitas. Por
outro lado, n~ao iremos necessitar de toda a farinha dispon vel mas para maximizarmos
2
o nosso lucro teremos que produzir donuts de ambos os tipos e utilizar todos os ovos
dispon veis.
Usando as condic~oes de Kuhn-Tucker, veri que se a Lisa tem raz~ao e calcule os valores
optimizantes das variaveis de decis~ao e dos multiplicadores de Lagrange.
(d) A Marge, a m~ae do Bart, descobriu uma nova receita para confeccionar glazed donuts
em que se utilizam apenas 3 ovos, no entanto tem que comprar um ingrediente adicional que custa 1 u.m. por cada dezena de donuts glazed produzidos. Sera que
a fam lia Simpson devera optar por utilizar esta nova receita? (Sugest~ao: utilize o
Teorema do Envelope)
4. Considere o integral
RR
f (x; y)dxdy onde a regi~ao de integrac~ao, D, e de nida da forma
D
seguinte:
D = f(x; y) :
x+2
y
x + 4; x
2
y
xg
(a) Represente gra camente a regi~ao D.
(b) Calcule a area da regi~ao de integrac~ao usando integrais duplos.
5. Seja D um aberto de Rn , f : D ! R uma func~ao diferenciavel tal que:
jf (x)
f (y)j
c kx
yk ;
8x; y 2 D
(c > 0)
Mostre que,
fv' (x)
c kvk
6. O comportamento da economia da ilha dos Pica-Pedra e descrita pelas seguintes equac~oes:
8
>
> Y (t) = C(t) + I(t) + G(t)
>
<
C(t) = Y (t)
>
>
>
:
I(t) = C(t)
onde Y (t), C(t); I(t) s~ao o rendimento, consumo e investimento no per odo t, respectivamente; Gt s~ao as despesas publicas que s~ao uma variavel exogena; e
positivas com
< 1.
(a) Usando as equac~oes anteriores derive a seguinte diferencial:
Y (t)
1
Y (t) =
3
1
G(t)
e
s~ao constantes
(b) Resolva a equac~ao diferencial de Y .
4
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Universidade Nova de Lisboa
C¶alculo II
¶
Correc»c~ao do Exame de 1a Epoca,
7 de Junho de 2002
1.
(a) Como h ¶e de classe C 2 temos que
@h
@x
¶e de classe C 1 . Assim sendo, tanto a fun»c~ao
h como esta sua derivada parcial s~ao fun»c~oes diferenci¶aveis. Por outro lado, sendo h
homog¶enea de grau 2,
@h
@x
x
¶e homog¶enea de grau 1, e pela f¶ormula de Euler temos:
@2 h
@2h
@h
(x;
y)
+
y
(x; y) = 1 ¢
(x; y)
@x2
@x@y
@x
No ponto (x; y) = (2; 4)
2
@ 2h
@2h
@h
@h
@h
(2;
4)
+
4
(2; 4) = 1 ¢
(2; 4) , 2 £ 1 + 4 £ 1 =
(2; 4) ,
(2; 4) = 6
2
@x
@x@y
@x
@x
@x
Uma vez que, a fun»c~
ao h ¶e diferenci¶avel e homog¶enea de grau 2, a seguinte igualdade
¶e v¶alida:
x
@h
@h
@h
(x; y) + y (x; y) = 2 ¢
(x; y)
@x
@y
@y
No ponto (x; y) = (2; 4)
2
@h
@h
(2; 4) + 4 (2; 4) = 2 £ h(2; 4) , h(2; 4) = 12
@x
@y
(b) Se (u; v) = (1; 1), ent~
ao (x; y) = (1; 2). Usando a regra de deriva»c~ao da fun»c~ao
composta, temos que:
@f
@h
@x
@h
@y
(1; 1) =
(1; 2) £
(1; 1) +
(1; 2) £
(1; 1) =
@u
@x
@u
@y
@u
@h
@h
=
(1; 2) £ vj(1;1) +
(1; 2) £ 2uj(1;1) =
@x
@y
@h
@h
=
(1; 2) + 2 (1; 2)
@x
@y
Para calcularmos
@h
@x (1; 2)
e
@h
@y (1; 2),
recorremos ao facto destas fun»c~oes serem ambas
homog¶eneas de grau 1. Assim,
@h
@h 1
1
(1; 2) =
( ¢ 2; ¢ 4) =
@x
@x 2
2
1
µ ¶1
1
2
@h
(2; 4) = 3
@x
Por processo semelhante se concluiria que
Voltando atr¶
as, ¯camos com
Falta agora obter o valor de
@f
@u (1; 1)
@h
@y (1; 2)
= 32 :
= 6.
@ 2f
@u@v (1; 1).
Voltando a utilizar a regra de deriva»c~ao da
fun»c~
ao composta:
@2f
(1; 1) =
@u@v
=
"
=
(1;1)
#
@h
@2h
@x
@2h
@y
(1; 2) + vj(1;1)
(1;
2)
(1;
1)
+
(1; 2) (1; 1) +
2
@x
@x
@v
@x@y
@v
+2uj(1;1)
=
¸0 ¯¯
¯
¯
v¯
@h
@h
(x; y) £ v +
(x; y) £ 2u
@x
@y
"
@x
@2 h
@y
@2 h
(1; 2) (1; 1) + 2 (1; 2) (1; 1)
@y@x
@v
@y
@v
"
#
"
#
@h
@2 h
@2 h
@2h
@2h
(1; 2) +
(1;
2)
+
2
(1;
2)
+
2
(1;
2)
+
2
(1; 2)
@x
@x2
@x@y
@y@x
@y 2
#
Utilizando o facto de que as derivadas parciais de 2a ordem de h s~ao homog¶eneas de
grau 0 temos que,
@2h
@2h 1
1
(1; 2) =
( ¢ 2; ¢ 4) =
2
@x
@x2 2
2
µ ¶0
1
2
@2 h
(2; 4) = 1
@x2
De igual modo obtemos,
@ 2h
@2 h
@2h
(1; 2) =
(1; 2) =
(1; 2) = 1
@x@y
@y@x
@y 2
(Nota:
Assim,
@ 2h
@y@x
=
@ 2h
@x@y
pois h 2 C 2 )
@2 f
(1; 1) = 3 + [1 + 2 £ 1] + 2 [1 + 2 £ 1] = 12
@u@v
2.
(a) O problema formaliza-se da seguinte forma:
max pF (K; L)
K;L
s:a: rK + wL = C0
A fun»c~
ao lagrangeana do problema ¶e:
L(K; L; ¸) = pF (K; L) + ¸(C0 ¡ rK ¡ wL)
2
As condi»c~
oes de primeira ordem s~ao:
8
>
>
>
<
>
>
>
:
@L
@¸ = C0 ¡ rK ¡ wL = 0
@L
@F
@K = p @K (K; L) ¡ ¸r = 0
@L
@F
@L = p @L (K; L) ¡ ¸w = 0
(b) Vejamos se ¶e poss¶ivel escrever K, L e ¸ como fun»c~ao de C0 , w e r, numa vizinhan»ca
do ponto que satisfaz as condi»c~
oes de primeira ordem. Seja
¶
µ
@F
@F
(K; L) ¡ ¸r;
(K; L) ¡ ¸w :
H(C0 ; r; w; ¸; K; L) = C0 ¡ rK ¡ wL;
@K
@L
i. No ponto que satisfaz as condi»c~oes de primeira ordem temos que H(C0 ; r; w; ¸; K; L) =
(0; 0; 0):
@F
@F
ao de
@K (K; L) e @L (K; L) s~
1
classe C uma vez que todas
ii. Como a fun»c~
ao de produ»c~
ao ¶e de classe C 2 sabemos
classe C 1 . Mas, isso implica que a fun»c~ao H ¶e de
as fun»c~
oes componentes resultam da subtrac»c~ao de fun»c~oes de classe C 1 :
iii. O jacobiano da fun»c~
ao H em rela»c~ao a ¸; K; L ¶e dado por:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
@H1
@¸
@H2
@¸
@H3
@¸
@H1
@K
@H2
@K
@H3
@K
@H1
@L
@H2
@L
@H3
@L
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 0
¯
¯
¯
¯
¯ = ¯ ¡r
¯
¯
¯
¯
¯
¯ ¡w
¡r
@ 2F
@K 2
@ 2F
@L@K
@2 F
@K@L
@2F
@L2
@2F
w2
@K 2
¯
¯
¯
¯
2
@2 F
@2 F
@ 2F
¯
2@ F
+ rw
¡ w2
¡
r
=
¯ = rw
¯
@K@L
@L@K
@K 2
@L2
¯
¯
@2F
, pois F 2 C 2 :
@L2
Logo, para que as condi»c~
oes do teorema da fun»c~ao impl¶icita sejam satisfeitas ¶e
= 2rw
necess¶
ario que,
2rw
@ 2F
¡
@L@K
¡w
¡ r2
2
@2F
@2 F
2@ F
¡ w2
¡
r
6= 0
@L@K
@K 2
@L2
(c) O problema em causa ¶e um problema de maximiza»c~ao com uma restri»c~ao de igualdade.
Assim, para veri¯carmos se o ponto que satisfaz as condi»c~oes de 1a ordem ¶e ou n~ao
um maximizante temos que analisar a analisar hesseana orlada:
2
6
6
0
H = 6 ¡r
4
¡w
¡r
@2 F
@K 2
@ 2F
@L@K
¡w
@ 2F
@K@L
@ 2F
@L2
3
7
7
7
5
Para que o ponto de estacionaridade seja um maximizante ¶e necess¶ario que jHj tenha
o mesmo sinal de (¡1)m+1 . O que signi¯ca que o problema s¶o tem solu»c~ao se
2rw
2
@2F
@2 F
2@ F
¡ w2
¡
r
>0
@L@K
@K 2
@L2
3
3.
(a) O problema do Homer Simpson pode formalizar-se da seguinte forma:
³
´
max 40x1 + 70x2 ¡ 2x1 + x22 ¡ (x1 + x2 )2
x1 ;x2
, max 38x1 + 70x2 ¡ x21 ¡ 2x22 ¡ 2x1 x2
x1 ;x2
s:a: 4x1 + 10x2
70
3x1 + 5x2
60
x1 + 2x2
15
x1 ¸ 0; x2 ¸ 0
A fun»c~
ao lagrangeana do problema ¶e:
L(x1 ; x2 ; ¸1 ; ¸2 ; ¸3 ) = 38x1 + 70x2 ¡ x21 ¡ 2x22 ¡ 2x1 x2 + ¸1 (70 ¡ 4x1 ¡ 10x2 )
+¸2 (60 ¡ 3x1 ¡ 5x2 ) + ¸3 (15 ¡ x1 ¡ 2x2 )
As condi»c~
oes de Kuhn-Tucker s~ao:
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
@L
@x1 = 38 ¡ 2x1 ¡ 2x2 ¡ 4¸1 ¡ 3¸2 ¡ ¸3
@L
@x2 = 70 ¡ 4x2 ¡ 2x1 ¡ 10¸1 ¡ 5¸2 ¡ 2¸3
@L
@¸1 = 70 ¡ 4x1 ¡ 10x2 ¸ 0;
@L
@¸2 = 60 ¡ 3x1 ¡ 5x2 ¸ 0;
@L
@¸3 = 15 ¡ x1 ¡ 2x2 ¸ 0;
0;
@L
x1 ¸ 0; x1 @x
= 0;
1
@L
0; x2 ¸ 0; x2 @x
= 0;
2
@L
¸1 ¸ 0; ¸1 @¸
= 0;
1
@L
¸2 ¸ 0; ¸2 @¸
= 0;
2
@L
¸3 ¸ 0; ¸3 @¸
= 0;
3
(b) Como as tr^es restri»c~
oes s~
ao lineares a restri»c~ao de quali¯ca»c~ao ¶e satisfeita. Logo,
as condi»c~
oes de Kuhn-Tucker s~
ao necess¶arias. Para veri¯car se s~ao su¯cientes basta
mostrar que a fun»c~
ao objectivo ¶e c^oncava, uma vez que as restri»c~oes s~ao lineares e,
por conseguinte s~
ao convexas.
A matriz hessiana da fun»c~
ao objectivo ¶e:
2
H=4
Os menores principais s~
ao: jH1 j = ¡2 e
¡2 ¡2
¡2 ¡4
3
5
jH2 j = jHj = (¡2)(¡4) ¡ (¡2)(¡2) = 4:
4
Como os menores principais alternam de sinal, a come»car no sinal negativo, podemos
concluir que a matriz hessiana ¶e de¯nida negativa o que implica que a fun»c~ao objectivo
¶e estritamente c^
oncava.
(c) Se a Lisa tiver raz~
ao: x1 + 2x2 = 15, 3x1 + 5x2 < 60, 4x1 + 10x2 = 70 e x1 ; x2 > 0.
@L
Se 3x1 + 5x2 < 60, a condi»c~
ao de complementaridade ¸2 @¸
= 0 implica que ¸2 = 0.
2
Para al¶em disso, o facto de x1 ; x2 > 0, implica que
@L
@x1
=
@L
@x2
= 0. Destes factos
resulta que:
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
x1 + 2x2 = 15
4x1 + 10x2 = 70
¸ =0
2
>
>
>
>
>
38 ¡ 2x1 ¡ 2x2 ¡ 4¸1 ¡ 3¸2 ¡ ¸3 = 0
>
>
>
>
>
: 70 ¡ 4x2 ¡ 2x1 ¡ 10¸1 ¡ 5¸2 ¡ 2¸3 = 0
,
8
>
>
x1 = 5
>
>
>
>
>
>
x =5
>
>
< 2
¸ =2
1
>
>
>
>
>
¸2 = 0
>
>
>
>
>
: ¸3 = 10
O ponto (x1 ; x2 ; ¸1 ; ¸2 ; ¸3 ) = (5; 5; 2; 0; 10) satisfaz todas as condi»c~oes de KuhnTucker.
(d) Designemos o n¶
umero de ovos necess¶ario µa confec»c~ao glazed donuts por p, e consideremos p um par^
ametro do problema. A fun»c~ao lagrangeana pode escrever-se:
L(x1 ; x2 ; ¸1 ; ¸2 ; ¸3 ; p) = 38x1 + 70x2 ¡ x21 ¡ 2x22 ¡ 2x1 x2 + ¸1 (70 ¡ px1 ¡ 10x2 )
+¸2 (60 ¡ 3x1 ¡ 5x2 ) + ¸3 (15 ¡ x1 ¡ 2x2 )
Pelo teorema do envelope, sabemos que:
@¦¤
@L
=
= ¡¸¤1 x¤1 = ¡10:
@p
@p
Logo, se p diminuir 1, a varia»c~ao aproximada no lucro m¶aximo ¶e:
d¦¤ =
@¦¤
dp = ¡10 £ (¡1) = 10:
@p
Como teriam que comprar 5(=x¤1 ) doses do tal ingrediente o lucro da empresa teria
ainda um aumento de 5(=10-5) u.m..
4.
(a) A regi~
ao de integra»c~
ao est¶
a representada na ¯gura seguinte:
5
4
3
2
1
0
1
2
x
3
4
-1
-2
(b) A rela»c~
ao entre as vari¶
aveis ¶e descrita pela fun»c~ao:
8
8
< u=y¡x
< x=
,
: v = y+x
: y=
u+v
2
v¡u
2
O determinante da matr¶iz jacobiana desta fun»c~ao ¶e:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¡1
2
1
2
1
2
1
2
¯
¯
¯
¯ = ¡1
¯
2
¯
Logo,pela f¶
ormula do m¶etodo de substitui»c~ao:
A=
ZZ
D
¯
Z0 Z4 ¯
¯ 1¯
¯
1@x@y =
1 ¯¡ ¯¯ @v@u = 2
2
¡2 2
5. A express~
ao que nos permite determinar a derivada direccional no ponto x segundo o
vector v ¶e a seguinte:
f(x + tv) ¡ f(x)
t
fv'(x) =lim
t!0
Pela informa»c~
ao que nos ¶e dada no enunciado podemos a¯rmar que:
jf(x + tv) ¡ f(x)j
c kx + tv ¡ xk = c ktvk = c ¢ jtj ¢ kvk
Assim,
6.
¯
¯
¯ ¯¯
f(x + tv) ¡ f (x) ¯¯
jf(x + tv) ¡ f(x)j
¯ '
¯
¯fv (x)¯ = ¯¯lim
¯ =lim
t!0
t!0
t
jtj
6
lim
t!0
c ¢ jtj ¢ kvk
= c kvk
jtj
(a)
8
>
Y (t) = C(t) + I(t) + G(t)
>
>
<
>
>
>
:
C(t) = °Y (t)
¢
,
I(t) = ® C (t)
8
¢
>
Y (t) = °Y (t) + ® C (t) + G(t)
>
>
<
>
>
>
:
¢
¢
Derivando ambos os membros da 2a equa»c~ao temos que: C (t) = ° Y (t). Substituindo na 1a equa»c~
ao ¯camos com:
¢
¢
Y (t) = °Y (t) + ®° Y (t) + G(t) ,Y (t) ¡
1¡°
1
Y (t) = ¡ G(t)
®°
®°
(b) Iremos em primeiro lugar encontrar a solu»c~ao geral da equa»c~ao homog¶enea:
0
¢
¢
1
1¡°
1¡°
Y (t) A
Y (t)
=P
Y (t) = 0 ,
=
,P@
Y (t)¡
®°
Y (t)
®°
Y (t)
¢
µ
1¡°
®°
¶
1¡°
, Y (t) = k1 e ®°
Se considerarmos G(t) constante:
Uma solu»c~
ao part¶icular desta equa»c~ao ¶e:
Y (t) =
1
¡ ®°
G(t)
¡ 1¡°
®°
=
1
G(t)
1¡°
Ent~
ao, a solu»c~
ao geral da equa»c~ao diferencial ¶e:
Y (t) =
1¡°
1
t
G(t) + k1 e ®°
1¡°
Se n~
ao considerarmos G(t) constante:
Para obter uma solu»c~
ao part¶icular da equa»c~ao diferencial original, podemos
procurar uma fun»c~
ao do tipo:
Y (t) = e
1¡°
t
®°
¢ f(t)
Que ter¶
a como primeira derivada:
¢
Y (t) =
1¡°
1 ¡ ° 1¡°
e ®° t ¢ f (t) + e ®° t ¢ f 0 (t)
®°
Substituindo na equa»c~
ao original,
1¡°
1 ¡ ° 1¡°
1 ¡ ° 1¡°
1
e ®° t ¢ f(t) + e ®° t ¢ f 0 (t) ¡
e ®° t ¢ f(t) = ¡ G(t) ,
®°
®°
®°
7
t
1¡°
, e ®° t ¢ f 0 (t) = ¡
, f 0 (t) = ¡
, f (t) = ¡
1
G(t) ,
®°
1 ¡ 1¡°
e ®° t G(t) ,
®°
µ
¶
1¡°
1
P e¡ ®° t G(t) + k2
®°
Assim, uma solu»c~
ao part¶icular ser¶a:
µ
1¡°
1 1¡°
Y (t) = ¡ e ®° t ¢ P e¡ ®° t G(t)
®°
P
¶
e a solu»c~
ao geral ser¶
a:
Y (t) = ¡
µ
¶
1¡°
1¡°
1 1¡°
e ®° t ¢ P e¡ ®° t G(t) + k1 e ®° t
®°
8