Métricas Para Avaliação de Desempenho de Conversores

Métricas Para Avaliação de Desempenho de
Conversores Analógico-Digitais
K. G. Lenzi, R. J. Vega L. e L. G. P. Meloni (Orientador)
Departamento de Comunicações
Faculdade de Eng. Elétrica e de Computação
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)
[email protected], [email protected], [email protected]
Resumo – Este artigo tem como objetivo revisar algumas métricas para avaliação de desempenho de conversores
analógico-digitais com ênfase na análise de ruído de jitter do relógio de amostragem. Esta análise é de grande
importância na avaliação e caracterização de projetos de cartões contendo conversores ADC.
Palavras-chave: Desempenho de ADC, SNR, jitter, ruído de quantização, ruído de fase.
1. Introdução
Com o avanço da tecnologia dos dispositivos programáveis na cadeia de tratamento dos sinais, o uso
dos conversores analógico-digitais (ADC) tornou-se essencial. A conversão de um domínio para o
outro não está livre dos erros. Estes erros podem ter grande influência no desempenho total do
sistema. Na conversão de um sinal análogo para uma versão quantizada no domínio digital, diversas
questões devem ser levadas em consideração, tais como a qualidade do relógio, o jitter na frequência
de amostragem, o tempo de abertura do amostrador, problemas de ruído de quantização e demais
distorções introduzidos no processo. Este trabalho concentra-se na apresentação de aspectos teóricos e
simulação de jitter de relógio de amostragem. Trata-se de uma extensão do artigo [1], onde diversas
métricas de desempenho já foram simuladas e confrontadas com medidas práticas. Tais métricas de
análise de desempenho dinâmico são de grande importância quando se deseja avaliar a qualidade de
um cartão contendo conversores ADC. A motivação deste trabalho é buscar preencher lacunas
observadas na prática corrente de análise de desempenho de conversores ADC e suas respectivas
explanações teóricas, bem como o desenvolvimento de simulações para a predição do desempenho
antes da realização do projeto em hardware.
2. Métricas comumente empregadas para avaliação de desempenho de ADC
Nesta seção, as métricas mais comuns de análise de desempenho de conversores ADC são revistas.
Estas métricas serão empregadas em análise experimental de conversor ADC de mercado, apresentada
na próxima seção.
A Fig. 1 mostra uma ilustração do quantizador uniforme sem memória midrise e a natureza
determinística do ruído de quantização q. Quando o número de níveis L do ADC é elevado, uma boa
suposição é considerar a densidade espectral de potência de q uniforme dentro do passo δ do
quantizador:
= , || ≤ (1)
Assim a minimização da variância do erro de quantização conduz a:
= = E o erro rms de quantização mínimo:
=
√
=
√
2.1. Razão Sinal-Ruído de Quantização ( )
(2)
(3)
O ruído de quantização é branco e espalha-se na faixa toda de frequência até a frequência de Nyquist
. O passo δ também pode ser expresso em função do número de níveis L, i.e., do número de bits R
do ADC:
(4)
= " ! = # !
Nesta equação $%& = $'( é o valor de pico máximo do sinal de entrada sem sobrecarga. De (2),
(3) e (4) segue:
=
)# *+
(5)
Figure 1. Quantização uniforme com número de níveis L=8.
& =
*+
,+
(6)
Esta taxa é chamada de loading factor, onde é o valor rms da entrada. De (5) e (6), obtém-se a
SNR máxima, dado que se emprega a variância mínima do ruído de quantização:
, -./ = ,+
0
, = )# +
*+
#
= 1 /
(7)
!
-./ 3 = 6.0206/ + 10;<=> ?& /3A
(8)
Para uma forma-de-onda senoidal com valor de pico igual a $%& , o valor rms é xol/√2, de forma que o
loading factor é & = √2. O fator & de uma pdf arcseno é também √2 [2], de forma que a SNR
máxima para uma forma-de-onda senoidal é dada por (9):
-./ 3 = 6,0206/ + 1,7609
(9)
Outro parâmetro importante para a análise em frequência é o ruído de fundo da DFT. A DFT pode ser
considerada um conjunto de filtros casados, cada filtro definido por sua função de base da
transformada como sendo um filtro passa-faixa e um filtro passa-baixa DC. Em aplicações práticas, o
sinal de entrada é usualmente limitado em banda e amostrado em frequências superiores ao limite de
Nyquist. Nestas situações, é possível filtrar o ruído fora da banda de interesse melhorando a relação
SNR, este tratamento é denominado de processing gain. Técnicas de processamento, tais como sobreamostragem, quantization noise shaping são básicas em conversores sigma-delta. A seletividade do
filtro da DFT aumenta como o seu tamanho. Nesta análise, emprega-se um sinal coerente, uma
senóide coerente com função de base da DFT. O ruído de fundo da DFT será uma função do tamanho
da DFT, reduzindo-se com o aumento de N.
Para calcular o ganho de processamento, pode-se empregar uma simples regra de três: se
considerarmos todas as freqüências digitais, todo o ruído de quantização deve ser levado em
consideração no cálculo da SNR até . Para uma senóide coerente com o filtro passa-banda da DFT
com largura de banda 3E , o ruído será F , uma pequena fração do ruído total. Desta forma,
reescrevendo (7) e refazendo os cálculos, chega-se a:
G
F = 1H
(10)
I
Substituindo (5) e (6), obtém-se a SNR com processing gain, definida por (11):
1
-./J = 6,0206/ + 1,7609 + 10;<=> KGI L
H
11
onde = M /2. Pode-se considerar a largura de banda do filtro passa-banda da DFT 3E = M /., o qual
aumenta em função do tamanho da DFT. Desta forma para melhorar o ruído de fundo de 3 dB, é
necessário dobrar o tamanho da DFT.
2.2. Erros de amostragem devidos ao Jitter (N )
O jitter é a variação do período de tempo de cada ciclo de relógio. Esta variação é causada
comumente pelo ruído térmico e ruído numérico de multiplicadores digitais de frequência. A variação
apresentada na amostragem de cada amostra gera um erro de tensão correspondente (Fig. 2). Esta
variação é conhecida como abertura de jitter e é normalmente medida em pico-segundos rms.
Figure 2. Efeito da apertura do jitter e jitter de relógio de amostragem (Reproduzido de [3]).
Para uma entrada com forma de onda senoidal (v(t))
OP = Q> RST2UP
Então a taxa de variação deste sinal será:
VW
= 2UY<R2UP
VX
(12)
(13)
O valor rms é obtido dividindo a amplitude por √2.
]1^
ZVW[
= _
VX
Seja o P` o tempo de jitter então:
\'M
√
(14)
]1^ X
_ b
∆O\'M =
√
O SNR resultante do sinal senoidal rms a escala plena será:
-./c 3 =
^_
e
20;<= d √ h
∆Wfg
(15)
= −20;<=?2UP` A.
(16)
A limitação devida ao jitter (-./c ) tem que ser adicionada à limitação do ruído de quantização
(-./ ), mostrada em (11). O SNR total (-./X%X(& ) que inclui as duas limitações do SNR pode ser
expressa como se segue:
k KlI#0 Ln o
-./X%X(& 3 = −20;<= j 10 m_ 10
lI#p
q
m_
r.
(17)
3. Resultados
Uma simulação simples de um conversor ADC de 14-bits é realizada em [1] para mostrar alguns
resultados teóricos do desempenho dinâmico do conversor. Os parâmetros de entrada do simulador
foram: resolução do ADC de 14 bits, frequência de amostragem de 100 MHz, amostragem coerente
(sem janelamento), tamanho da FFT de 8192 pontos e uma frequência do sinal de entrada de 17,81
MHz atenuada de 1 dB. Estes resultados foram gerados por meio de um modelo de simulação no
MATLAB, de acordo com as definições apresentadas na seção 2. A Fig. 3 ilustra os resultados
obtidos.
Nesta simulação, a SNR máxima é definida pelo número de bits do conversor. Calculando-se (16)
para R= 14, obtém-se 86,04 dB. Se considerarmos o ganho de processamento da FFT, o qual para uma
FFT de 8192 pontos é 36,12 dB, o ruído de fundo deste conversor seria 122,16 dBFS.
Figure 3. Espectro de potência de uma entrada senoidal pura em ADC de 14-bit ADC, onde
Wst é o pior espúrio além dos harmônicos.
No exemplo de simulação realizada em [1] foi obtida uma -./ é 82,48 dB para um conversor ADC
de 14 bits. Na figura 4 é mostrada a degradação do SNR total em função da freqüência para diversas e
do jitter de relógio de amostragem conforme (16) e (17).
Figure 4. Degradação do SNR devido ao jitter de relógio.
Por exemplo, considerando um jitter de 1 ps rms teríamos que a SNR total é aproximadamente 58.5
dB para uma frequência de amostragem de 100 MHz.
4. Conclusões
Neste artigo, diversas métricas de desempenho dinâmico de conversores ADC foram revistas
utilizando-se entradas de tons únicos. Foi estudada a importância de métricas, tais como, SNR devido
ao ruído de quantização e jitter de relógio. Estas métricas são de grande importância na caracterização
de desempenho de projetos contendo conversores ADC. Há ainda outras métricas de desempenho
dinâmico, tais como ruído de tempo de abertura e ruído térmico que ainda não foram incluídas em
nossas simulações [4].
Referências
[1] L. G. P. Meloni e K. G. Lenzi, Performance Measurement Simulations for Analog-to-Digital
Converters, IEEE Trans. Latin America, vol. 10, no. 1, Jan. 2012, pp. 1168-1174.
[2] N. S. Jayant e P. Noll, Digital Coding of Waveforms – Principles and Applications to Speech and
Video, Prentice-Hall, 1984.
[3] C. A. Leme, Clock Jitter Effects on Sampling - A Tutorial, IEEE Circuits and Systems Magazine,
2011.
[4] Walt Kester, The Data Conversion Handbook, ISBN 0-7506-7841-0, Newnes, 2004.