mathématiques hors école et implications pour la salle de

MATHÉMATIQUES HORS ÉCOLE ET IMPLICATIONS POUR LA
SALLE DE CLASSE ET POUR LA FORMATION DES
ENSEIGNANT(E)S .
Marc Derycke
Universtité de Saint-Etienne
[email protected]
Line Numa-Bocage
Universitgé Jules Vernes de Picardie/ IUFM
[email protected]; [email protected]
Rogéria Gaudencio do Rego
DM/CCEN-UFPB
[email protected]
RÉSUMÉ
Le thème principal de cette table ronde dans le cadre de ce SIPEMAT II est
d’envisager à travers trois exemples de situations expérimentales sur quels éléments
(mathématiques, psychologiques, didactiques, communicationnels…), quels savoirs, savoirfaire ou connaissances issus de l’espace non-formel, en dehors de la classe peuvent être
pris en compte dans le cadre formel de la classe et envisagés en formation des enseignants.
Les communicants sont : Marc Derycke de Université de Saint-Etienne, Rogeria de
Université Fédérale de Pernambouc, Line Numa-Bocage, Université de Picardie, IUFM.
Mots-clé: Mathématiques hors école, Formel, non-formel, formation des enseignants.
1
Introduction
Le thème principal de cette table ronde dans le cadre de ce SIPEMAT II est d’envisager à
travers trois exemples de situations expérimentales sur quels éléments (mathématiques,
psychologiques,
didactiques,
communicationnels…),
quels
savoirs,
savoir-faire
ou
connaissances issus de l’espace non-formel, en dehors de la classe peuvent être pris en
compte dans le cadre formel de la classe et envisagés en formation des enseignants. Les
communicants sont : Marc Derycke de Université de Saint-Etienne, Rogeria de Université
Fédérale de Pernambouc, Line Numa-Bocage, Université de Picardie, IUFM.
« L’identité professionnelle des enseignants du second degré est à reconstruire. (…)
Hier, un professeur enseignait à des élèves sélectionnés, acquis aux normes d’une culture
scolaire empreinte de tradition et dont l’appropriation pouvait les promouvoir socialement.
Aujourd’hui un professeur enseigne à des élèves souvent étrangers par leur vécu familial
aux normes du collège ou du lycée et vivant parfois le temps scolaire comme une contrainte
sans contrepartie.» écrivait Develay en 1995, en parlant du système secondaire français.
Cette question de la construction de l’identité du professeur et précisément de celui qui
enseigne les mathématiques, est plus que jamais d’actualité dans une perspective actuelle
d’échanges interculturels encore plus importante qu’il y a 13 ans.
2
Questions débattues et résumés des interventions
Les trois contributions qui composent cette table ronde soulèvent des questions qu’il
nous parait important de se poser dans une perspective de formation, à l’heure où nous
faisons le compte des apports de 20 années de recherche dans le domaine de
l’apprentissage et de l’enseignement mathématique. Bien que notre ambition aujourd’hui ne
soit pas d’y répondre de manière exhaustive, la formulation des problèmes et leur
classification sous différentes rubriques met en exergue la complexité des enjeux actuels de
formation: Quelles compétences des formateurs sont à développer? Comment faire évoluer
ces pratiques? Que peut-on envisager de transmettre aux stagiaires? Sur quels outils
s’appuie la conceptualisation de cette expérience? Autant de questions qui pourront être
soulevées.
Les exemples qui sont développés dans cette table ronde permettent d’identifier des
éléments pouvant guider l’action médiatrice des formateurs et des points de difficulté qui
sont encore à étudier dans une analyse de l’activité du formateur d’enseignants et des
ressources de l’expérience dont il dispose.
Les quelques points de débat que nous avons retenus sont les suivants.
Questions de didactiques:
2
•
L'attention à d'autres approches: un problème n'a pas qu'une seule solution, et
celles-ci n'ont pas la même valeur selon les situations (Marc);
•
L’utilisation des algorithmes non-conventionnels dans le cadre formel de l’école,
ou comment la didactique peut-elle prendre en compte les savoirs extérieurs à
l’école ?(Rogéria)
•
Les éléments cognitifs nécessitent un degré d’abstraction qui passe souvent par
le langage, avec des publics au langage différents de celui de l’école et du
formalisme
mathématique,
comment
appréhender
les
choses
(langues
différentes, analphabétisme, âge des élèves et leur niveau de langage) (M. R. et
Line)
•
La réflexion autour des instruments didactiques et des ingénieries prenant en
compte les différents paramètres : le jeu apparaît comme un outil didactique dans
la mesure où il permet à l’enseignant de créer des situations favorisant les
possibilités de développement cognitif prenant en compte le niveau initial de
chacun (R et L.).
•
La didactique de la formation des enseignants (didactique professionnelle) est
interpellée (M. R. et L.).
Questions de philosophie
Quel savoir considérer et qui le détient ?: L'expérience psychologique et épistémique de
l’ignorance par l’enquêteur, qui, institutionnellement, « sait », puisqu’il est « maître
explicateur » (Rancière : Le
maître ignorant, et l'"égalité des intelligences") et,
symétriquement chez L.G., désemparé, quand il constate mon ignorance (M.)
Question épistémologique de la prise en compte des connaissances antérieures dans la
dynamique du progrès : à propos de l’empowerment des analphabètes et illettrés, étant
donné que l’institution publique Les Voies navigables de France a été contrainte de prendre
acte de la présence de l’analphabétisme et de l’illettrisme, massif au sein de la profession
batelière, alors qu’il était en principe éradiqués sur le territoire, et faire en sorte que ceux-ci
puissent grosso modo satisfaire aux exigences administratives et juridiques incombant au
batelier artisan (M.); à propos de la prise en compte de la culture d’origine des élèves :
certains élèves ont progressé, avec le jeu, en faisant références à des habitudes de
pratiques culturelles de jeux de société dans les fêtes de quartier (L.) ; à propos de la
3
hiérarchie, souvent implicite, des savoirs (non-formels, jeux et donc pas sérieux..)(M. R. et
L.) ;
Question de médiation entre celui qui sait (ou croit savoir) et celui qui ne sait pas (ou croit ne
pas savoir) :
La dialectique maîtrise - surprise - déprise : le processus par lequel le savoir de l'autre est
reconstruit lorsque le « maître explicateur » quitte sa posture et assume les conséquences
de son ignorance et la démarche scientifique, en ethnologie (M.).
La médiation didactique : articulation des processus de médiation de l’enseignant lors des
« boucles d’échanges verbaux » au processus cognitifs des élèves, dans le cours de son
action d’enseignement (L.)
L’action de médiation de l’enseignant agit sur différents registres (algorithmique,
communicationnel, cognitif, affectif, culturel).
Questions de psychologie :
La motivation des élèves et les possibilités d’action de l’enseignant sur ce registre (L.)
La situation didactique de « communication vraie » ; les problèmes utilisés sont des
problèmes de la vie quotidienne.(M. R. et L.) La situation d’interaction créée par le jeu
favorise la construction interpsychologique de connaissances, mais également le passage
de l’inter à l’intrapsychologique. (L.) Est-il toujours possible de les envisager dans
l’enseignement et la formation ?
Le tempérament des apprenants dans des situations proches de celles de la vie
quotidiennes avantages ou inconvénient par rapport à l’apprentissage formel ?
Nécessité d’un modèle pluraliste du développement cognitif (tous les sujets ne traitent pas
les mêmes aspects d'une notion de la même façon, et ils sont sous l’influence de
l'environnement et des signifiants constitués socialement, comme le langage) et de la
formation ?
L’analyser les pratiques enseignantes en termes de didactique professionnelle de
l’enseignant (recherche de concepts pragmatiques, d’organisation de l’activité pour une
action efficace; Pastré, Mayen, Vergnaud, 2006) est peut être à envisager pour poursuivre.
La didactique professionnelle de l’enseignant est champ de la didactique qui se développe
actuellement en France et qui donne un cadre me semble-t-il pour discuter toutes ces
questions et leurs relations. En effet, dans cette perspective, l’activité professionnelle des
4
formateurs, qui vise à favoriser le développement de compétences chez les stagiaires, peut
être envisagée.
3
Ruses d’un « sans part » et empowerment : le calcul de la charge
embarquée par un batelier analphabète
Marc Derycke
Les bateliers se déplacent sur les voies navigables et transportent du fret. Leur
problème est, lorsque celui-ci est déchargé, de vérifier le tonnage et signer la "lettre de
voiture" afin qu'à l'arrivée du chargement ce soit bien le même volume qui soit livré à
l'affréteur.
Normalement, il convient de relever l'enfoncement du bateau aux trois échelles de
babord puis de tribord, faire la moyenne arithmétique, puis de voir quel est l'équivalent en
tonne sur la grille de conversion.
Comment faire lorsque le batelier est analphabète, et que le temps presse (le
chargeur veut partir pour faire un tour supplémentaire, le batelier veut larguer les amarres)?
La pratique de L. G. a été reconstituée sur son bateau, elle a été filmée ainsi que ses
explications.
L'enquêteur (moi-même) est passé par un moment d'incompréhension d'autant plus
paradoxal que l'enquêté considérait que la compréhension allait de soi de la part d'un
"professeur", d'université de surcroît, surtout que nous nous connaissons depuis 1985 et
partageons un implicite important. Par ailleurs, je puis me targuer d'une bonne connaissance
de ce milieu car j'ai publié un nombre important de travaux sur leurs pratiques symboliques
(variétés langagières, graffiti, etc.). Après plusieurs heures de tâtonnement à partir des
feuillets où LG a tracé des chiffres pour des opérations sybillines, après avoir revisionné le
film a plusieurs reprise, et surtout avoir écouté la bande qui avait enregistré l'échange alors
que je pensais l'avoir arrêtée, je conçois une contrépreuve qui s'avère concluante : le secret
est percé. Un collègue mathématicien, A. Denis, en a reconstitué le théorème.
Ce cas est proposé dans le DVD à la formation sur le "Retour réflexif" afin de mettre
les enseignants en situation de découverte à propos d'une situation problème et, de plus,
afin de modifier chez eux le préjugé qu'ils nourrissent à l'égard des milieux dits "défavorisés".
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Ce cas suscite les réflexions suivantes :
1. l'attention à d'autres approches: un problème n'a pas qu'une seule solution, et cellesci n'ont pas la même valeur selon les situations ;
2. l'expérience psychologique et épistémique de l’ignorance par moi-même, qui,
institutionnellement, « sait », puisqu’il est « maître explicateur » (Rancière : Le maître
ignorant, et l'"égalité des intelligence") et, symétriquement chez L.G., désemparé,
quand il constate mon ignorance ; puis le processus par lequel le savoir de l'autre est
reconstruit lorsque le « maître explicateur » quitte sa posture et assume les
conséquences de son ignorance. Je théoriserai cela à propos de la démarche
scientifique, en ethnologie, et pratiquement dans la relation éducative, par la
dialectique maîtrise - surprise - déprise, qui modifie l'approche classique.
3. à propos de l’empowerment des analphabètes et illettrés, étant donné que l’institution
publique Les Voies navigables de France a été contrainte de prendre acte de la
présence de l’analphabétisme et de l’illettrisme, massif au sein de la profession
batelière, alors qu’il était en principe éradiqués sur le territoire, et faire en sorte que
ceux-ci puissent grosso modo satisfaire aux exigences administratives et juridiques
incombant au batelier artisan.
4
"Des jeux à l'école élémentaire: quels avantages pour l'apprentissage et la
conceptualisation de notions mathématiques?"
Line Numa-Bocage
A partir d’une recherche-action menée lors de l’utilisation par des enseignantes de
l’école élémentaire d’un jeu de société inconnu des élèves pour favoriser les apprentissages
arithmétiques (numération et addition), la question de l’utilisation didactique des jeux à
l’école s’est posée. L’expérimentation consistait en l’introduction d’un jeu nouveau pour les
élèves (l’Awalé) dans des classes de CP (Cours préparatoire, système français d’éducation).
Nous cherchions à identifier les facteurs favorisant les apprentissages arithmétiques chez
ces élèves avec le jeu. La méthodologie suivie est une analyse qualitative fine des
interactions élèves-professeur et de leur évolution à différents moments de l’apprentissage
du jeu suivant une progression didactique de 7 à 8 séances. Des évaluations du niveau
scolaire en mathématique des élèves et des entretiens semi-directifs sur leur rapport au jeu
6
complètent le corpus.
L’analyse des enregistrements vidéo des situations didactiques menées lors de cette
utilisation met en évidence des dimensions didactiques, psychologiques ou encore
communicationnelles, soulignant l’intérêt pour les enseignants de la prise en compte du jeu
de société dans leur enseignement, même à l’école élémentaire :
•
L’introduction d’un jeu culturellement différent des habitudes des élèves est un
facteur de motivation qui favorise l’engagement dans les apprentissages :
apprentissage des règles du jeu d’Awalé et développement des compétences
arithmétiques des élèves (engagement cognitif à une tâche didactique stimulé par
un environnement suscitant l’intérêt et la réflexion ; engagement affectif à travers
un environnement ludique et les interactions entre pairs);
•
La situation de communication, spécifique du jeu et didactiquement organisée, est
une variable à prendre en compte : Ensemble les enfants construisent des
éléments relatifs à des propriétés des nombres, du dénombrement et de
l’addition ; leurs schèmes spontanés présentent une grande variété tout comme
les stratégies de jeu et de calcul qu’ils mettent en oeuvre.
•
Le langage évolue selon les phases d’apprentissage du jeu, ses fonctions
diffèrent selon les difficultés mathématiques : les éléments cognitifs les plus
complexes nécessitent plus de verbalisations.
•
Le tempérament, la personnalité des élèves et leur rapport social au jeu à un effet
sur la rapidité de leurs progrès.
•
Cette utilisation d’un jeu de société a favorisé, en plus de l’ouverture à d’autres
cultures, le passage des connaissances issues d’un processus d’apprentissage
informel dans le cadre formel de l’école.
Referénces
Pastré P., Mayen P. et Vergnaud G. (2006). La didactique professionnelle. Revue française
de pédagogie, n° 154, p.145-198
Savoirs scolaires et didactiques des disciplines. Une encyclopédie pour aujourd’hui. Sous la
direction de Michel Develay, 1995 ESF Editeur, Paris
Numa-Bocage, L. (à paraître, Sept-dec 2008), Savoirs formels/ savoirs informels et théorie
historico-culturelle du psychisme. Revue Carrefours de l’éducation, n° 26, Dossier.
7
5
Por uma pedagogia matemática da pergunta
Rogéria Gaudencio do Rego
Preparar o aluno para ser um competente solucionador de problemas, segundo
alguns educadores, é um dos principais objetivos da educação escolar. Sendo quase natural
a associação entre a resolução de problemas e a Matemática, seu ensino se justificaria pela
possibilidade de desenvolvimento de “estratégias de raciocínio e de pensamento que,
supostamente, poderiam ser generalizadas a outras áreas do currículo e à vida diária”
(ECHEVERRÍA, 1998, p. 44). Saber resolver de maneira variada um grande número de
problemas prepararia tanto para o mercado de trabalho como para o exercício pleno da
cidadania. Segundo Echeverría (1998), foi em particular a partir de 1980 que este objetivo
evidenciou-se no ensino de Matemática, embora com diferentes significados.
A autora destaca que os que defendem o argumento de que o objetivo fundamental deve ser
o ensino de estratégias de pensamento, reduzindo os problemas matemáticos a “tarefas
para as quais não existe um procedimento preestabelecido que possa trazer uma solução”
(idem, p.44), a exemplo de fórmulas, algoritmos ou regras, têm uma concepção formativa da
Matemática, em contraposição aos que defendem seu caráter mais utilitário, em razão de
sua potencialidade como ferramenta de análise e de solução de tarefas de outros campos
do conhecimento e do cotidiano. Em ambos os casos, a Matemática compreenderia uma
área com procedimentos gerais e aplicáveis a conteúdos os mais distintos.
Para Pozo e Angón (1998), na atualidade o ensino da resolução de problemas está
perdendo seu caráter generalista, “em favor de uma abordagem mais específica, ligada aos
conteúdos conceituais e aos domínios de conhecimento aos quais pertencem os problemas”
(p. 140) mas, apesar das especificidades de cada área de conhecimento, continuaria sendo
necessária uma abordagem global da resolução de problemas, aproximando-a dos
conteúdos procedimentais de ensino, embora sem dissociá-la totalmente dos conteúdos
conceituais ou atitudinais.
Segundo Echeverría e Pozo (1998), a orientação curricular na direção da resolução de
problemas compreende a busca e proposição de situações abertas, a ponto de levarem os
alunos a estabelecerem soluções adequadas não apenas para as situações escolares, mas
para as que se apresentam no cotidiano. Para esses autores, “ensinar a resolver problemas
não consiste somente em dotar os alunos de habilidades e estratégias eficazes, mas
também em criar neles o hábito e a atitude de enfrentar a aprendizagem como um problema
8
para o qual deve ser encontrada uma resposta” (p. 14).
Resultados do desempenho em Matemática de nossos alunos que participaram de exames
nacionais (SAEB) e internacionais (PIZA) nos últimos anos, baseados na capacidade de
resolução de problemas destes, apontam para a necessidade urgente de ações na direção
de implementar a metodologia de resolução de problemas em sala de aula, nos moldes
apontados por diversos autores que vêm desenvolvendo pesquisas nesta área.
Em atividades de formação inicial e continuada, em especial voltadas para educadores do
Ensino Fundamental, verificamos a demanda por uma melhor compreensão dos princípios
dessa metodologia e pela superação de dificuldades advindas da supervalorização de
determinados procedimentos, em especial algorítmicos, em detrimento da fecundidade
didática presente no trabalho com algoritmos alternativos e na exploração das
potencialidades e limitações dos recursos pessoais de cálculo desenvolvidos pelos alunos, o
que lhes possibilitaria ampliar sua compreensão acerca dos conceitos matemáticos em
questão, na direção de níveis de abstração cada vez mais complexos.
Considerando a diversidade de soluções para um mesmo problema, apresentamos aos
professores em processo de formação continuada, as estratégias desenvolvidas por alunos
do ensino regular e da EJA, diante de problemas convencionais retirados dos livros
didáticos. Destacamos no presente texto as questões que envolvem a subtração, em razão
de ser esta operação, ao lado da divisão, fonte de dificuldades de aprendizagem, segundo
relatam os próprios professores, e serem estas suficientemente adequadas para as idéias
que aqui pretendemos defender.
Exemplificamos a variedade de soluções possíveis, com os registros de alunos do 5° ano do
Ensino Fundamental de turmas regulares ao problema: Solange economizou 100 reais e
comprou um tênis que custava 64 reais. Com quanto dinheiro ela ainda ficou?, parte de um
trabalho de pesquisa que realizamos em conjunto com a Profa Maria Alves de Azeredo
(CE/UFPB), desenvolvido paralelamente a uma atividade de extensão em escolas da rede
municipal de João Pessoa, com o apoio do Programa de Apoio às Licenciaturas
(PROLICEN), da UFPB.
Para o problema foram dadas 31 respostas corretas contra 28 erradas e 11 em branco,
tendo sido apresentado para sua solução o maior número de formas diferentes de registros
gráficos de apoio, feitos por 28 alunos. As estratégias envolviam ações baseadas na idéia
de retirar quando, por exemplo, o aluno desenhava 100 bolinhas, riscava 64 delas e contava
as demais, e outras na de completar, no caso em que, partindo do 64, faziam traços
contando até 100, computando o total de traços feitos.
9
O que constatamos ao analisarmos as soluções dadas, além da riqueza evidente de
procedimentos, foi a necessidade que os alunos sentiam de validar suas respostas,
registrando, ao lado dos traços ou bolinhas por eles desenhadas, o algoritmo tradicional da
subtração, com o respectivo resultado, como ilustrado abaixo (figura 1).
Figura 1. Estratégia gráfica e algoritmo de validação correspondente.
Ou seja, o aluno compreende a operação, entendeu o enunciado da questão e a resolveu à
sua maneira, mas sabe que a resposta não será considerada pelo professor se não for
validada por meio do procedimento formal por ele apresentado em sala de aula, o que faz
“armando a conta” em questão e registrando como resultado o valor encontrado por meio de
contagem.
Da análise de livros-texto dirigidos para as séries iniciais, é fácil constatar que a maior parte
dos autores enfatiza o procedimento algorítmico da subtração baseado no processo de
trocas. No entanto, nas discussões feitas durante a formação de professores dos anos
iniciais do Ensino Fundamental, muitos afirmam ter dificuldade para trabalhar dessa forma
com os alunos, por terem aprendido a subtrair usando o método da compensação (o famoso
“cinco para doze, sete, vai um...”). Nesses casos, os dois métodos convivem paralelamente
em sala de aula e, em razão de ambos serem trabalhados de forma deficiente (um porque o
professor não sabe explicar como funciona - o da compensação - e o outro por não dominar
bem), muito alunos apresentam dificuldades para entender qualquer um deles.
Ampliando a discussão, apresentamos uma estratégia desenvolvida por um aluno de EJA
com o qual trabalhamos em um projeto de extensão de nossa Universidade, e como ele a
usaria para resolver o problema citado. De posse de uma trena articulada de madeira (figura
10
2a), o aluno traçaria uma linha reta no quadro, com a ajuda de um giz, marcando os pontos
zero, 64 e 100 (figura 2b).
0
64
Figura 2a. Trena de madeira
100
Figura 2b. Registro do aluno
Em seguida o aluno mediria a distância entre os pontos 64 e 100, respondendo ao
problema dado. Este mesmo aluno, quando questionado sobre como calcularia a idade de
alguém nascido no ano de 1959, usando o mesmo procedimento, respondeu corretamente,
por meio do registro abaixo (figura 3).
0
59
105
Figura 3. Registro do aluno para a subtração: 2005 - 1959.
Resolvendo o problema por meio de um procedimento praticamente ausente da sala de
aula, ou seja, a subtração sobre a reta, com base em um modelo contínuo, o aluno
apresentou ainda uma grande capacidade de abstração, ao relacionar 2005 com o número
105 e 1959 com 59, desprezando os dois primeiros algarismos dos anos em questão. Ele
afirmou que os professores não aceitavam sua forma de resolver subtrações, ainda que
funcionasse para todos os casos propostos em sala de aula, sem lhe apresentar
11
argumentos convincentes para tal recusa.
Explorando ainda a idéia de complementação, apontamos a possibilidade de trabalhar a
subtração por meio de sua transformação em uma adição, operação que, em geral, não
apresenta problema para os alunos. Considerando a questão aqui apresentada, caberia ao
educando procurar os números “redondos” (terminados em zero), mais próximos na
seqüência, até chegar ao valor procurado (figura 4), somando os valores indicados sobre as
setas.
64
6
70
30
100
Figura 4. Registro da diferença 100-64, por meio da complementação.
Tal método, embora bastante utilizado no dia-a-dia, a exemplo da operacionalização de um
troco dado a um pagamento, também é igualmente pouco explorado em sala de aula.
Quando apresentado nas formações, alguns professores comentam, inclusive, que ele não
seria “válido”, por não se “armar a conta”, como no caso dos algoritmos das trocas ou da
compensação, embora terminem por reconhecer o quanto ele é intuitivo e explora o cálculo
mental.
Assim, ao não valorizar os procedimentos não-formais de resolução apresentados pelos
alunos, o professor perde valiosos indícios acerca do nível de compreensão das operações
pelos alunos e do modo como organizam informações. Ao não explorar algoritmos
alternativos aos predominantemente usados em sala de aula, ainda que apenas com os
alunos que apresentassem dificuldade de aprendizagem do procedimento ensinado pelo
professor, este se distancia da possibilidade de atender um número maior de alunos,
considerando-se demandas matemáticas básicas de formação.
Além disso, ao centralizar no procedimento algorítmico a discussão das respostas dos
problemas aritméticos trabalhados em sala de aula, o professor se prende a um aspecto que
não deveria ser particularmente relevante na prática da resolução de problemas como
estratégia de desenvolvimento cognitivo do aluno. Para Diniz (2001), a resolução de
problemas está além do aspecto puramente metodológico, compreendendo uma nova visão
do que é ensinar e aprender. Esta pesquisadora apresenta, além do que entende como
sendo as duas perspectivas centrais do trabalho com a resolução de problemas, que
12
correspondem à proposição e à solução de situações-problema, a inclusão de duas outras
ações: o questionamento da solução encontrada e da situação inicialmente posta.
A autora amplia a análise da resolução de problemas, incorporando a perspectiva da
formação do aluno para a prática do questionamento. Echeverría e Pozo (1998) destacam
que não se trata apenas de ensinar o aluno a resolver problemas, mas de ensiná-lo a se
propor problemas, “a transformar a realidade em um problema que mereça ser questionado
e estudado (...) O verdadeiro objetivo final da aprendizagem da solução de problemas é
fazer com que o aluno adquira o hábito de propor-se problemas e de resolvê-los como forma
de aprender”. (p. 15).
No texto “Por que formular problemas?” (CHICA, 2001), são apresentadas diversas
propostas de formulação de situações-problema, alertando a autora para as dificuldades
iniciais em sala de aula, uma vez que os alunos estão acostumados apenas a resolvê-las.
As propostas abrangem a criação de problemas: a partir de um problema inicial dado,
modificando-o ou gerando novas perguntas a ele associadas; a partir de uma palavra, de
uma resposta dada ou de uma operação; a partir de um tema, ou determinado tipo de texto,
a exemplo de adivinhas, poemas ou contos e, ainda, a partir de uma pergunta. Para a
autora, uma “pergunta evidencia a real existência de um problema (...), quando propomos
um problema a partir de uma pergunta, evidenciamos para a criança o quanto esta é
importante em um problema matemático e as pistas que ela pode fornecer para a
elaboração de um problema” (CHICA, 2001, p.164).
Embora não tenha dirigido seu olhar especificamente para a área de Matemática, Paulo
Freire e Antonio Faundez (1985) trazem importantes contribuições para a perspectiva de
formação do aluno baseada não apenas no desenvolvimento de sua capacidade de resolver
problemas mas, principalmente, de propô-los. Para eles, o ensino tem se constituído em
uma pedagogia de respostas (burocratizante e antidemocrática) no lugar de uma pedagogia
de perguntas, destacando que todo conhecimento começa pelo questionamento e, no
ensino, tanto professor quanto aluno esqueceram-se das perguntas. A sua natureza
desafiadora tende a ser considerada, na atmosfera autoritária, como provocação à
autoridade e o professor autoritário teme a pergunta pela resposta que deve dar, mas a
essência do seu trabalho deveria ser ensinar a perguntar.
Para esses autores, a pergunta, a dúvida, a curiosidade do aluno devem ser tomadas como
desafio, pois a reflexão acerca de tais elementos é iluminadora e enriquecedora para
ambos. A pergunta que o aluno faz pode trazer ao professor uma perspectiva diferente
daquilo que ensina, proporcionando-lhe uma reflexão mais crítica e ampla de sua ação
13
pedagógica.
O ponto de partida para a formação de um educador, em uma perspectiva libertadora, seria
a questão: o que é perguntar? O centro dela não resulta em um mero jogo intelectual, mas
viver a pergunta, viver a indagação, viver a curiosidade, testemunhá-la ao estudante. O
problema que se coloca ao professor é o de, na prática, ir criando com os alunos o hábito,
como virtude, de perguntar, de “espantar-se”. Para um educador nesta posição não há
perguntas bobas nem respostas únicas ou definitivas. Um educador que não castra a
curiosidade do educando, que se insere no movimento interno do ato de conhecer, jamais
desrespeita pergunta ou resposta alguma.
Para Freire e Foundez (1985), a primeira coisa que aquele que ensina deveria aprender é a
saber perguntar. O importante, sobretudo, é ligar, sempre que possível, a pergunta e a
resposta a ações que foram praticadas ou a ações que podem vir a ser praticadas ou
refeitas. É preciso que o educando descubra a relação permanente entre palavra e ação. Se
ensinamos o aluno a perguntar ele terá a necessidade de perguntar-se a si mesmo e de
encontrar ele próprio respostas criativamente, ou seja, de participar de seu processo de
conhecimento. Mas é fundamental que o professor valorize os diferentes procedimentos
formais e não-formais possíveis na resolução de um problema, ensinando o aluno a
questionar o alcance e limitações destes mas, sobretudo, a descobrir a relação dinâmica e
viva entre as palavras postas em termos de perguntas, a ação e a reflexão.
Se retomarmos o contexto da Matemática, boas perguntas feitas pelos alunos poderiam
corresponder a problemas matemáticos que seriam significativos, uma vez fruto da
curiosidade ou da dúvida genuína. As respostas dadas por eles, sempre potencialmente
boas, poderiam compreender uma importante fonte de desenvolvimento de conhecimentos
de natureza tanto conceitual quanto procedimental mas, principalmente, de natureza
atitudinal.
Referências
CHICA, Cristiane H. Por que formular problemas? In: SMOLE, Kátia Stocco e DINIZ, Maria
Ignez (org). Ler, escrever e resolver problemas. Porto Alegre: Artmed, 2001.
DINIZ, Maria Ignez. Resolução de problemas e comunicação. In: SMOLE, Kátia Stocco e
DINIZ, Maria Ignez (org). Ler, escrever e resolver problemas. Porto Alegre: Artmed, 2001.
ECHEVERRÍA, Maria Del Puy Pérez. A solução de problemas em matemática. In: POZO,
14
Juan I. (Org) A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto
Alegre: Artmed, 1998.
ECHEVERRÍA, Maria Del Puy Pérez; Juan Ignácio POZO. Aprender a resolver problemas e
resolver problemas para aprender. In: POZO, Juan Ignácio. (Org) A solução de problemas:
aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998.
FREIRE, Paulo; FAUNDEZ, Antonio. Por uma pedagogia da pergunta. Rio de Janeiro: Paz e
Terra Educação, 1985 (2ª ed.)
MENEZES, Luís. Concepções e Práticas Discursivas do Professor de Matemática: Um
Estudo de Caso. http://www.ipv.pt/millenium/17_ect6.htm . Acesso em 22 de junho de 2006
POZO, Juan Ignácio; ANGÓN, Yolanda Postigo. A solução de problemas como conteúdo
procedimental da educação básica. In: POZO, Juan I. (Org) A solução de problemas:
aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998.
15