Resolução: Função Quadrática

CAPÍTULO
03
Resolução:
Função Quadrática
04. GABARITO: B
VÉRTICE: tV = -b/2a = -(-8)/2.2 = 2
YV = 2.22 – 8.2 + 11 = 3
01. GABARITO: E
05. GABARITO: A
Observe o gráfico da função
Considerando que k e R constantes, temos que
RAÍZES: -100x2 + 1200x – 2700 = 0
x2 - 12x + 27 = 0
3e9
v(r) = kR2 – kr2
v(r) = -kr2 + kR2
v é uma função quadrática de r da forma
VÉRTICE: xV = -b/2a = -1200/2(-100) = 6
YV = -100.62 + 1200.6 – 2700 = 900
y = ax2 + bx + c ó v(r) = -kr2 + kR2
EIXO y: (0,c) = (0,-2700)
com a = -k; b = 0 e c = kR2. Portanto, seu gráfico é a
parábola côncava para baixo
L
y
900
x
0
x
3 69
0
-2700
e pelo fato de r e v não assumirem valores negativos,
temos apenas um arco de parábola
Analisando as afirmações
I)
II)
III)
Falsa, pois o lucro se dá para 3<x<6
Verdadeira
Verdadeira
02. GABARITO: B
Duas raízes reais e distintas: b2 – 4ac > 0
52 – 4.2.(m+3) > 0
25 – 8m – 24 > 0
-8m > -1 (-1)
8m < 1
m < 1/8
06. GABARITO: [E]
03. GABARITO: E
Usando que Lucro é venda – custo, temos:
10x – (-x2 + 22x + 1) = 44
x2 - 12x – 45 = 0
A quantidade do medicamento na corrente sanguínea,
no momento em que é iniciada a administração da
dose, é q(0) = 60mg.
O tempo que durou a administração da dose é dado
7
por −
= 3,5 h.
2 ⋅ ( −1)
raízes: 15 e -3 (não convém)
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1
Portanto, o limite de pontos que um competidor
poderá alcançar nesta prova é 25.
07. gabarito: [C]
12. GABARITO: [C]
A altura máxima será dada por
yv = −
I. Correta. A forma canônica da lei de f é
Δ
(182 − 4 ⋅ a ⋅ 0)
=−
= 27m.
4⋅a
4 ⋅ ( −3)
f(x) = 90 − 10 ⋅ (x − 2)2. Logo, como a velocidade
inicial é f(0) = 50km h e a maior velocidade que o
automóvel atingiu foi 90km h, segue que
90 − 50 = 40km h.
08. GABARITO: E
xV = -b/2a = -(-0,6)/2.0,06 = 50 Km/h
09. GABARITO: [E]
II. Incorreta. De (I), temos que a maior velocidade
ocorreu quando o cronômetro indicava x = 2 ≠ 2,5
segundos.
III. Correta. Para x = 5 segundos, vem que
f(5) = 90 − 10 ⋅ (5 − 2)2 = 90 − 10 ⋅ 9 = 0.
A receita R(x) da loja será dada por:
R(x) = x.(600 – 10x)
R(x) = 600x – 10x2
13. GABARITO: [C]
Fazendo R(x) = 5000, temos:
5000 = 600x – 10x
10x2 – 600x + 5000 = 0 ⇒ x = 10 ou x = 50
Construção do gráfico da função.
Intersecção com o eixo y: (0,2)
Intersecção com o eixo x
Temos, então, dois valores para p, p = 600 – 10.10 =
500 ou p = 600 – 10.50 = 100.
1
5
0 = − t 2 + t + 2, ⇔ x = −1 ou x = 6
3
3
Então, 500 + 100 = 600.
Cálculo do vértice:
10. GABARITO: [C]
−b
Xv =
=−
2.a
2
Se x é o número de aumentos de R$ 0,10, então
serão vendidos (200 + 20x) sanduíches ao preço de
(3 − 0,1x) reais.
Desse modo, o lucro obtido pelo proprietário é dado
por:
L(x) = (3 − 0,1x)(200 + 20x) − 1,5(200 + 20x)
= −2(x + 10)(x − 15).
Então, o número de aumentos de R$ 0,10 que produz
o maior lucro para o proprietário é:
−10 + 15
x=
= 2,5 e, portanto, o resultado pedido é
2
−Δ
Yv =
=−
4.a
5
3
⎛ 1 ⎞
2. ⎜ − ⎟
⎝ 3 ⎠
=
5
2
49
49
9
=
⎛ 1 ⎞ 12
4. ⎜ − ⎟
⎝ 3 ⎠
3 − 0,1⋅ 2,5 = R$ 2,75.
11. GABARITO: [B]
Considerando x o numero de moedas douradas
coletadas, a pontuação seria dada por:
P(x) = x −
x
x2
⋅ x ⇒ P(x) = −
+x
100
100
Logo, o valor máximo de P(x) será dado por:
Δ
1
Pmáximo = −
=−
= 25.
4⋅a
⎛ −1 ⎞
4 ⋅ ⎜
⎟
⎝ 100 ⎠
De acordo com o gráfico, concluímos que a alternativa
correta é a [C].
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2
14. GABARITO: [C]
17. GABARITO: A
y
B
C(3,0)
x
A(0,-6)
Determinando as raízes da função ( y = 0)
x2 – x – 6= 0 ⇔ x = - 2 ou x = 3 logo C (3 ,0 )
E o ponto A da intersecção com o eixo y (x = 0)
A(0, - 6)
Logo a área do Triângulo é S =
3.6
=9
2
15. GABARITO: [D]
18. GABARITO: D
Como o coeficiente do termo de segundo grau é
positivo, a parábola tem concavidade para cima. Logo,
seu conjunto imagem é lm = {y ∈ R / y ≥ yv } .
Para analisar os intervalos de crescimento, basta
verificar a concavidade da parábola e identificar a
abscissa do vértice.
−Δ
25
25
=−
=−
4.a
4.1
4
25 ⎫
⎧
Logo, lm = ⎨ y ∈ R / y ≥ − ⎬ .
4 ⎭
⎩
f ( x) = x2 − 6x + 5
yv =
xV = −
( −6)
=3
2(1)
.
16. GABARITO: [E]
A quantidade comercializada para se ter a receita
máxima é o x do vértice e a receita máxima
corresponde ao y do vértice.
xV = −
y=−
( −100 ) = 50.
b
=−
2⋅a
2 ⋅ ( −1)
Δ
1002
=−
= 2500.
4a
4 ⋅ ( −1)
O coeficiente de x2 é positivo. Logo f(x) é crescente no
intervalo [3, ∞[
19. GABARITO: C
-x2 + 10x = 4x + 5
-x2 + 6x – 5 = 0
raízes: 5 e 1 (não convém 2 ≤ x ≤ 8)
x = 5 e y = 4.5 + 5 = 25
e a soma das coordenadas é 5 + 25 = 30.
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3
y = (-3/2).2 + 12 = 6
20. GABARITO: D
24. GABARITO: [D]
Note que c = -4 e as raízes são -2 e 1. Usando as
relações de Girard, temos que
Seja x o número de aumentos de R$ 10,00 no preço
da passagem.
-2.1 = -4/a ó a = 2
A receita de cada voo é dada pelo produto entre o
preço da passagem e o número de passageiros, ou
seja,
e -2+1 = -b/2 ó b = 2
2
portanto f(x) = 2x + 2x – 4
R(x) = (200 + 10x) ⋅ (120 − 4 x)
= −40 ⋅ (x + 20) ⋅ (x − 30).
21. GABARITO: A
2x+2y = 84 ó x+y = 42 ó y = -x + 42
A = xy = x(-x+42) = -x2 + 42x
Logo, o número de aumentos que proporciona a
receita máxima é
Cujo gráfico é uma parábola côncava para baixo com
raízes 0 e 42.
xv =
e, portanto, o resultado pedido é
22. GABARITO: E
200 + 10 ⋅ 5 = R$ 250,00.
f(x) = -x2 + bx + c
-
25. Número de produtos entregues em x dias = 2000 +
100.x
parábola côncava para baixo
eixo de simetria na reta x=1
-
xV = 1 ó -b/2.(-1) = 1 ó b = 2
diferença entre as raízes igual a 4
-
−20 + 30
=5
2
a soma é x1 + x2 = –b/a = -2/-1 = 2
x1 + x2 = 2 e x1 - x2 = 4
resolvendo o sistema encontramos
Lucro por produto em relação ao número de dias. (6 –
2x)
O lucro total será representado pela função f(x) =
(2000 + 100x).(6 – 2x)
Logo, f(x) = -20x2 + 200x + 12000
E o lucro máximo será dado por:
Lmáximo = −
Δ
−1000000
=
= 12500
4.a
4.( −20)
x1 = 3 e x2 = -1
Somando os dígitos temos: 1 + 2 + 5 + 0 + 0 = 8
23. GABARITO: A
Encontrando a equaçãoo da reta da forma y = ax + b,
temos:
y = (-3/2)x + 12
e a área do retângulo é dada por
A = xy
A = x[(-3/2)x + 12]
A = (-3/2)x2 + 12x
E assume valor máximo se
x = xV = -b/2a = -12/2(-3/2) = 4
e o valor de y é
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4