Baixar - Nílson José Machado

Investigando π: de Arquimedes
ao Excel
SEMINÁRIOS DE ENSINO DE MATEMÁTICA
FEUSP
COORD.: NÍLSON JOSÉ MACHADO
AGOSTO 2012
π: quatro fases
 Aproximações fixas (estimativas
“pré-científicas”)
 Aproximações por polígonos (~225
AC até séc. XVII dC)
 Métodos aritméticos (séc. XVII)
 Uso de computadores (a partir de
1949)
Arquimedes: A medida do círculo

A medida do círculo


A medida do círculo

OA: CA ⇒ OC:CA
OD:DA ⇒OA:DA
OE:AE⇒OA:EA
OF:AF⇒OA:FA
OA:GA
AC: BC
AD:BD ⇒AB:BD
AE:BE⇒AB:BE
AF:BF⇒AB:BF
AG:BG⇒AB:BG
Depois de Arquimedes ...

 François Viéte (1540-1603)




Sistema decimal
Método mais acurado para
raízes quadradas.
Polígono de 393216 lados.
Valor exato até 9 casas.
Depois de Arquimedes ...
 Ludolph von Ceulen



35 casas decimais.
Começou por um
quadrado.
Polígono com 262 lados
 Heinrich Lambert
(1728-1777)

π é irracional
 Ferdinand Lindemann
(1882)

π é transcendente.
Depois de Arquimedes ...

Para usar o Excel ...
 Def.: O comprimento de uma circunferência é o
limite dos perímetros dos polígonos regulares
inscritos.
 Teorema: A razão entre o comprimento da
circunferência e o diâmetro é a mesma para todas as
circunferências.

B
r
e
e
Q
B’
r
A
r’
e’
e’
Q’
r
A’
B
r
e
e
Q
B’
r
A
r’
e’
e’
Q’
r
A’
Para os inscritos (dir.)
Para os circunscritos (esq.)
Assim,
N Inscritos
Circunscritos
c-i
4
2,828427125
4
1,171573
8
3,061467459
3,313708
0,252241
100
3,141075908
3,142627
0,001551
150
3,141362983
3,142052
0,000689
200
3,141463462
3,141851
0,000388
250
3,141509971
3,141758
0,000248
300
3,141535235
3,141707
0,000172
350
3,141550468
3,141677
0,000127
400
3,141560355
3,141657
9,69E-05
450
3,141567134
3,141644
7,66E-05
500
550
3,141571983
3,14157557
3,141634
3,141627
6,2E-05
5,13E-05
600
3,141578299
3,141621
4,31E-05
650
3,141580422
3,141617
3,67E-05
700
3,141582107
3,141614
3,16E-05
750
3,141583467
3,141611
2,76E-05
800
3,141584579
3,141609
2,42E-05
850
3,141585501
3,141607
2,15E-05
900
3,141586274
3,141605
1,91E-05
950
3,141586928
3,141604
1,72E-05
1000
3,141587486
3,141603
1,55E-05
1050
3,141587966
3,141602
1,41E-05
1100
3,141588383
3,141601
1,28E-05
Referências
 http://www.math.ubc.ca/~cass/archimedes/circle.html

Facsimile da tradução inglesa de Edward Heath, de 1897, pela
Cambridge University Press
 http://itech.fgcu.edu/faculty/clindsey/mhf4404/archim
edes/archimedes.html

Texto de Heath, acrescido de explicações e comentários.
 http://www.delphiforfun.org/programs/Math_Topics/A
rchimedes_PI.htm

Figuras coloridas
 DUNHAM, William. Journey through genius: the
great theorems of mathematics. London: Penguin Books,
1991.