FAMAT em Revista - Faculdade de Matemática

Transcrição

FAMAT em Revista
www.famat.ufu.br
Revista Científica Eletrônica da
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG
Àf
W
Número 08 - Abril de 2007
e-mail: [email protected]
Comitê Editorial: Márcio José Horta Dantas - Famat/UFU
Valdair Bonfim - Famat/UFU
Marcos Antônio da Câmara - Famat/UFU
Weyder Orlando Brandão Junior - Petmat - Famat/UFU
Maria Luiza Maes - Damat - Famat/UFU
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!#/($!$% $% !.%)4.'#! *'0%,-'$!$% %$%,!( $% "%,(5*$'! Editorial
O Comitê Editorial da FAMAT em Revista, com muita satisfação, vem disponibilizar à
comunidade acadêmica o seu oitavo número. A FAMAT em Revista é a revista eletrônica da
comunidade acadêmica da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia –
MG. A sua finalidade é promover a circulação de idéias, estimular o estudo da Matemática e
despertar a curiosidade intelectual dos estudantes e de todos aqueles que se interessam pelo
estudo de Matemática.
Gostaríamos de externar nosso contentamento com a aceitação de nossa revista; a
quantidade de artigos completos de iniciação científica vem se mantendo expressiva desde a
terceira edição, o que tomamos como índice de nossos esforços, em prol do estudo de
matemática e de mantermos uma revista voltada para os trabalhos de graduação, estão
logrando certo êxito.
Em relação ao conteúdo do sétimo número da revista, foram contempladas as atividades
desenvolvidas no segundo semestre de 2006 e parte do primeiro semestre de 2007. Abaixo,
apresentamos de modo sucinto, as diversas contribuições e matérias que compõe cada seção.
Em Artigos Completos de Iniciação Científica, contamos com cinco trabalhos muito
interessantes, todos desenvolvidos em projetos de Iniciação Científica orientados por
professores da FAMAT. Sem dúvida, a leitura dos mesmos irá enriquecer a formação de
estudantes de matemática.
Na Seção Problemas e Soluções, apresentamos as resoluções de quatro problemas
propostos no número anterior. Além disso, quatro novos desafiadores problemas são
propostos neste número.
Na Seção Eventos, disponibilizamos aos nossos leitores uma lista dos eventos ligados à
matemática a serem realizados no segundo semestre de 2006. Damos particular ênfase à
realização do VII Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional ERMAC, evento a ser realizado no período de 20 à 22 de junho.
Na Seção Reflexões sobre o Curso de Matemática, temos um artigo do Coordenador do
Curso de Matemática, Prof. Luis Antônio Benedetti, intitulado “As conseqüências da recente
Reforma Curricular para o Bacharelado”.
Na Seção Em Sala de Aula temos quatro artigos do Prof. Edimilson Rodrigues Pinto com seus
alunos. Também temos dois artigos do Prof Walter dos Santos Motta Júnior realizado em
conjunto com uma orientanda, fruta de atividades realizadas no PIBEG – 2004.
Na Seção Iniciação Científica em Números trazemos uma descrição dos atuais projetos de
Iniciação Científica e de Ensino da FAMAT – UFU desenvolvido por alunos do Curso de
Licenciatura e Bacharelado em Matemática.
Na Seção E o meu Futuro Profissional, apresentamos uma entrevista com o Prof.
Edmilson Rodrigues Pinto sobre as perspectivas profissionais na área de Estatística...
Na Seção Merece Registro, destacamos as atividades e os fatos que mereceram destaque
na FAMAT no período de agosto de 2006 a fevereiro de 2007. Damos especial ênfase ao
evento VI SEMAT que foi realizado com pleno sucesso. E também temos entrevistas com três
conferencistas convidados para este evento.
Finalmente, esperamos que os nossos leitores apreciem os trabalhos aqui publicados e
lembramos que críticas e sugestões produtivas são sempre bem-vindas.
Comitê Editorial
Índice de Seções
Seção 1: Trabalhos Completos de Iniciação Cientı́fica
7
Seção 2: Problemas e Soluções
123
Seção 3: Eventos
129
Seção 4: Reflexões sobre o Curso de Matemática
139
Seção 5: Em Sala de Aula
143
Seção 6: Iniciação Cientı́fica em Números
201
Seção 7: E o meu Futuro Profissional?
211
Seção 8: Merece Registro
221
FAMAT em Revista
www.famat.ufu.br
Trabalhos Completos de
Iniciação Científica
PBIIC-FAPEMIG-UFU - Programa de Bolsas Institucionais de Iniciação Científica da
Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais
PETMAT-UFU - Programa de Educação Tutorial da Faculdade de Matemática
PIBIC-CNPq-UFU - Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica do
Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico
PROMAT-UFU - Programa Institucional de Iniciação Científica e Monitoria da Faculdade de Matemática
Comitê Editorial da Seção
Trabalhos Completos de Iniciação Científica
do Número 08 da FAMAT EM REVISTA:
Márcio José Horta Dantas (coordenador da seção)
Valdair Bonfim
Marcos Antônio da Câmara
Instruções para submissão de Trabalhos
A Seção de Trabalhos de Iniciação Cientı́fica visa divulgar trabalhos que estejam associados a projetos cadastrados na(o) PBIIC-FAPEMIG / PETMAT / PIBIC-CNPq /
PROMAT ou IM-AGIMB e orientados por docentes da FAMAT.
Trabalhos completos em nı́vel de iniciação cientı́fica dos programas acima listados
submetidos para publicação na Revista Eletrônica “Famat em Revista” estarão sujeitos
a apreciação pelo Comitê Editorial responsável por essa seção de artigos e, se for o caso,
por consultores ad hoc ligados à área ou subárea do trabalho. Caso se faça necessário,
sugestões para o aperfeiçoamento do trabalho serão dirigidas aos interessados pelo Comitê
Editorial.
Além da redação clara e concisa que todo trabalho submetido à boa qualidade deve
possuir, pede-se evitar o estilo árido e extremamente técnico caracterı́stico de algumas
publicações matemáticas, não perdendo de vista que o público-alvo ao qual se destina a
revista é constituı́do por alunos de graduação.
Os trabalhos submetidos até o final de um semestre letivo serão publicados na edição
da revista lançada no inı́cio do semestre letivo subseqüente.
Quanto às normas técnicas para submissão dos trabalhos:
1) Formato do arquivo: PDF
2) Tamalho da Folha: A4
3) Margens: 2,5 cm (portanto, área impressa: 16 cm x 24,7 cm)
4) Tamanho de fonte (letra): 12 pontos (exceto tı́tulos, subtı́tulos, notas
de rodapé, etc, que ficam submetidos ao bom senso)
5) Espaçamento entre linhas: Simples
6) Orientador(es), tipo de programa e orgão de fomento (se houver)
devem constar no trabalho.
Envio:
Por e-mail: [email protected]
Índice de Trabalhos
Estudo Sobre o Desemprenho de Alunos do Ensino Fundamental de uma Escola de
Uberlândia, com Relação ao Novo Método de Avaliação de Minas Gerais
13
Fábio Costa Almeida e Edmilson Rodrigues Pinto
O Problema de Cauchy para Equações Diferenciais
Parciais Quase Lineares de Primeira Ordem
29
Karla Barbosa de Freitas e Valdair Bonfim
Alguns Resultados de Trigonometria Hiperbólica
41
Patrícia Borges dos Santos, Flávia Cristina Martins Queiroz e Edson Agustini
Ajuste de Curvas e Modelagem Populacional Brasileira
65
Adriele Giaretta Biase e Edson Agustini
CONCHÓIDES: uma introdução
97
Flávia Cristina M. Queiroz, Mariana F. dos Santos Villela e Dulce Mary de Almeida
Uma Abordagem Fuzzy para a Exposição
Ocupacional Causada pelo HIV
Ana Luíza Pereira Saramago, Rosana Sueli da Motta Jafelice e Aércio Sebastião Borges
111
ESTUDO SOBRE O DESEMPENHO DE ALUNOS DO ENSINO
FUNDAMENTAL DE UMA ESCOLA DE UBERLÂNDIA, COM
RELAÇÃO AO NOVO MÉTODO DE AVALIAÇÃO EM MINAS GERAIS
Fábio Costa Almeida 1
Edmilson Rodrigues Pinto 2
Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Matemática
[email protected]
[email protected]
Palavras-chave: Ensino Fundamental em Minas Gerais, Metodologia de Pesquisa Científica,
Métodos de Estatística Descritiva.
RESUMO
A resolução nº. 521 de 02 de fevereiro de 2004 da Secretaria Estadual de Educação de Minas
Gerais, instituiu um novo método de avaliação nas escolas estaduais. Foram criados os
Estudos Orientados, os Estudos Independentes e a Progressão Parcial, que permite ao aluno
passar para a série seguinte, mesmo sem ter concluído todas as disciplinas do ano anterior,
obtendo assim a Progressão Parcial. O objetivo deste trabalho foi estudar o comportamento
deste novo método de avaliação, através de uma analise descritiva dos resultados finais dos
alunos de 5ª até a 8ª série, provenientes de uma escola da rede estadual de Uberlândia.
1. INTRODUÇÃO
No final do ano letivo que os alunos ficam sabendo qual o resultado de todo seu
empenho durante e se esse empenho o ano o levou a atingir seu objetivo, ou seja, de ser
aprovado.
As instituições de ensino usam as avaliações para medir o desempenho dos alunos nas
disciplinas cursadas ao longo do ano letivo. Há uma grande discussão sobre as formas de
avaliação, e se no que diz respeito formas de avaliação devem ser melhoradas de modo a
permitir uma avaliação mais completa e eficiente.
A aprendizagem escolar é definida como mudança de comportamento do aluno, como
resultado do seu treino ou da sua experiência. Numa perspectiva em que o comportamento do
aluno pode ser modelado, o ensino é concebido como um arranjo do ambiente para produzir
estímulos externos que provoquem modificações internas, susceptíveis de se manifestarem
externamente, podendo, dessa forma, ser mensuradas.
A avaliação é conceituada como a sistemática de dados por meio da qual se
determinam as mudanças de comportamento do aluno e em que medida estas mudanças
ocorrem e visa, portanto, comprovar o rendimento do aluno, ou seja, o alcance dos objetivos
predefinidos. Esse tratamento reduz-se à avaliação à medida que se separa o processo de
1
2
Aluno do Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal de Uberlândia.
Orientador; Professor da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia.
ensino de seu resultado. Consequentemente, enfatiza os instrumentos de medida que, com
pretensões de objetividade, prendem quantificar a aprendizagem dos estudantes, através dos
testes padronizados, das provas ditas objetivas, das escalas de atitude, entre outros
instrumentos.
Esta pesquisa tem como objetivo analisar como foram os níveis de aprovação dos
alunos de 5ª à 8ª séries ao final do ano letivo de 2006 e no decorrer dos processos de Estudos
Orientados e Estudos Independentes da Escola Estadual Rotary.
2. MATERIAL E MÉTODOS
Para a realização deste estudo foram coletados dados na Escola Estadual Rotary. Estes
dados são referentes à aprovação dos alunos de 5ª a 8ª séries ao final do ano letivo, nos
Estudos Orientados e nos Estudos Independentes.
Os dados coletados para o estudo foram fornecidos pela escola e são referentes a 442
alunos, sendo 136 alunos de 5ª série, 130 alunos de 6ª série, 88 alunos de 7ª série, 88 alunos
de 8ª série. As disciplinas interessadas foram: português, matemática, ciências, história,
geografia, inglês e redação.
Os alunos que ficaram de Estudos Orientados foram aqueles que não conseguiram
nota mínima para a aprovação durante o ano letivo para a aprovação, os alunos de Estudos
Independentes foram aqueles que não conseguiram nota mínima para a aprovação nos Estudos
Orientados. O aluno pode obter um dos seguintes resultados: aprovado, reprovado ou
Progressão Parcial.
Um aluno é considerado aprovado, quando obtém nota igual ou superior à nota
necessária para a aprovação em todas as matérias, sendo a nota mínima para a aprovação 60
pontos e a nota máxima 100 pontos.
Um aluno obtém Progressão Parcial quando ele não obtém nota mínima para
aprovação em, no máximo, duas matérias. Logo, o aluno é promovido para a série seguinte,
cursando simultaneamente a nova série e as matérias em débito da série anterior.
Um aluno é considerado reprovado se ele não consegue nota mínima para a aprovação
em três ou mais matérias, podendo haver reprovação por falta, quando o aluno tiver
freqüência inferior a 75% das aulas dadas.
Para os alunos da 8ª série não existe Progressão Parcial, pois não se pode passar para o
Ensino Médio sem ter completado o Ensino Fundamental. Ou seja, não se pode passar para o
1º colegial devendo alguma matéria do Ensino Fundamental. Logo, na 8ª série, o aluno pode
somente ser aprovado ou pode ser reprovado. Para a análise dos dados foi utilizada a
estatística descritiva, utilizando-se de gráficos.
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Porcentagem dos alunos de 5ª série de
Estudos Orientados por matéria
61,03%
42,62%
33,82% 33,09%
28,67%
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16,91%
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19,12%
Figura 1. Porcentagem dos alunos de 5ª série que ficaram de Estudos Orientados por matéria,
na Escola Estadual Rotary Club.
Pode-se observar que em todas as disciplinas há alunos que ficaram de Estudos
Orientados, e inglês é a disciplina com maior porcentagem. Nos Estudo Orientado de certa
forma, houve uma surpresa, pois geralmente esta freqüência é esperada para matemática, que
foi a segunda matéria com maior número de alunos que ficaram de Estudos Orientados.
Português e redação apresentaram as menores porcentagens, sendo que a menor porcentagem
foi em redação.
Porcentagem dos alunos de 5ª série aprovados
por matéria nos Estudos Orientados
Redação
39,13%
Inglês
36,14%
Geografia
15,38%
História
15,55%
Ciências
Matemática
Português
19,52%
15,52%
19,23%
Figura 2. Porcentagem dos alunos de 5ª série aprovados nos Estudos Orientados, na Escola
Estadual Rotary Club.
As maiores porcentagens de aprovação foram em redação e inglês, respectivamente. Já
as menores porcentagens de aprovação foram em geografia, matemática e história,
respectivamente.
Após os Estudos Orientados os alunos que não conseguiram ser aprovados fazem os
Estudos Independentes.
Porcentagem dos alunos de 5ª série de Estudos
Independentes por matéria
38,97%
36,03%
27,94%
27,20%
24,26%
15,44%
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át
ica
10,29%
Figura 3. Porcentagem dos alunos de 5ª série que ficaram de Estudos Independentes por
matéria, na Escola Estadual Rotary Club.
Inglês foi à disciplina com maior porcentagem de alunos de Estudos Independentes,
mas foi também a disciplina que houve a maior redução na porcentagem de alunos dos
Estudos Orientados para os Estudos Independentes. Nas outras matérias houve uma queda no
número de alunos dos Estudos Orientados para os Estudos Independentes, mas não tão
significativa com aproximadamente 6% em cada uma das outras matérias.
por matéria nos Estudos Independentes
Redação
21,43%
Inglês
32,07%
Geografia
18,18%
História
0,00%
Ciências
0,00%
Matemática
0,00%
Português
4,76%
Figura 4. Porcentagem dos alunos de 5ª série aprovados nos Estudos Independentes por
matéria na Escola Estadual Rotary Club.
A disciplina de inglês obteve a maior porcentagem de aprovação seguida por redação,
geografia e português. Em matemática, história e ciências não houve aprovação nos Estudos
Independentes.
Porcentagem de aprovação da 5ª série
Aprovados direto
24,27%
Aprovados nos Estudos
Orientados
33,82%
Independentes
Aprovados com
Progressão Parcial
21,32%
Reprovados
15,44%
5,15%
Figura 5. Porcentagem dos alunos de 5ª série que foram aprovados direto, aprovados nos
Estudos Orientados, aprovados nos Estudos Independentes, aprovados com Progressão Parcial
e reprovados da Escola Estadual Rotary Club.
Podemos ver que quase 34% dos alunos foram aprovados diretos. Apesar de todos os
processos existentes para se conseguir a aprovação quase um quarto dos alunos foi reprovado
e foi mínima a aprovação nos Estudos Independentes.
Orientados por matéria
36,15%
34,61%
29,92%
29,23%
20,77%
16,15%
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gu
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M
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át
ica
1,54%
Figura 6. Porcentagem dos alunos de 6ª série que ficaram de Estudos Orientados por matéria,
na Escola Estadual Rotary Club.
Matemática foi à disciplina com maior porcentagem de alunos que ficaram de Estudos
Orientados e inglês é a segunda, ciências e geografia, ambas tem quase a mesma porcentagem
de alunos de Estudos Orientados. Observa-se que em redação é mínima a porcentagem de
alunos.
nos Estudos Orientados por matéria
Redação
0%
Inglês
62,22%
Geografia
11,43%
História
28,57%
Ciências
7,89%
68,08%
Matemática
Português
20,83%
Apesar de em redação ser mínima porcentagem de alunos de Estudos Orientados não
houve aprovação. Em matemática e inglês foram as disciplinas que mais houve aprovação nos
Estudos Orientados.
26,92%
23,84%
16,92%
11,54%
11,54%
13,07%
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M
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át
ica
1,54%
Matemática e inglês eram as disciplinas com a maior porcentagem de alunos nos
Estudos Orientados, já nos Estudos Independentes são umas das matérias com menor
porcentagem. Como em ciências e geografia não houve muitas aprovações eles são as
matérias com a maior porcentagem de alunos nos Estudos Independentes.
nos Estudos Independentes por matéria
Redação
0,00%
Inglês
64,70%
Geografia
22,58%
História
20,00%
Ciências
0,00%
Matemática
0,00%
Português
18,18%
Podemos observar que em redação apesar da mínima porcentagem de alunos, em
ciências e em matemática não houve aprovações nos Estudos Independentes. Em inglês quase
65% dos alunos que ficaram de Estudos Independentes foram aprovados.
Porcentagem de aprovaçao da 6ª série
Aprovados direto
27,69%
27,69%
Orientados
Independentes
18,46%
23,08%
3,08%
Aprovados com
Progressão Parcial
Reprovados
A porcentagem de alunos aprovados direto e a de reprovação foram à mesma. A
porcentagem de alunos aprovados com Progressão Parcial foi maior que a dos alunos
aprovados nos Estudos Orientados e Estudos Independentes. A porcentagem de alunos
aprovados nos Estudos Independentes foi mínima.
50,00%
45,60%
34,09%
25,00%
18,18%
11,36%
Re
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em
át
ica
10,22%
Figura 11. Porcentagem dos alunos de 7ª série que ficaram de Estudos Orientados por
Inglês com 50% de alunos foi à disciplina com maior porcentagem de alunos nos
Estudos Orientados, matemática é a segunda com 45,6%. Ciências e redação são as
disciplinas com menor porcentagem, respectivamente.
Redação
0,00%
Inglês
47,73%
Geografia
59,09%
História
62,50%
Ciências
33,33%
14,63%
Matemática
Português
0,00%
Nenhum aluno foi aprovado em português e redação nos Estudos Orientados. Em
história e geografia houve uma porcentagem considerada de aprovações, sendo que em
história houve 62,5% e em geografia 59,09%. Das disciplinas em que houve aprovação nos
Estudos Orientados, matemática foi a que apresentou a menor porcentagem de aprovação com
apenas 14,63% dos alunos aprovados.
39,77%
34,09%
26,13%
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11,36%
10,23%
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6,81%
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Ci
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ês
M
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át
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6,81%
Como não houve muitas aprovações em matemática, nos Estudos Independentes ela
foi a disciplina que aparece com maior porcentagem de alunos. História e ciências aparecem
com a mesma porcentagem de alunos nos Estudos Independentes e geografia tem
aproximadamente 10% dos alunos de Estudos Independentes.
Redação
Inglês
20,00%
0,00%
Geografia
11,11%
História
0,00%
Ciências
0,00%
5,71%
Matemática
Português
0,00%
Como nos Estudos Orientados, em português não houve nenhum aluno aprovado nos
Estudos Independentes. Em inglês, história e ciências também não houve aprovações.
Redação foi à matéria que obteve maior porcentagem de aprovação nos Estudos
Independentes e em matemática pouco mais de 5% foi aprovado.
Aprovados direto
17,04%
Orientados
29,55%
Independentes
Aprovados com
Progressão Parcial
31,82%
19,32%
2,27%
Reprovados
A porcentagem de alunos reprovados foi aproximadamente 17%. A porcentagem de
alunos aprovados com Progressão Parcial foi maior que a dos aprovados diretos. A aprovação
dos alunos nos Estudos Independentes foi mínima.
34,09%
19,32%
13,63%
13,64%
11,36%
9,09%
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M
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át
ica
4,54%
Figura 16. Porcentagem dos alunos de 8ª série que ficaram de Estudos Orientados por
Na oitava série matemática aparece isolada como a disciplina em que houve a maior
quantidade de alunos que ficaram de Estudos Orientados. Nas outras disciplinas a
porcentagem de alunos que ficaram de Estudos Orientados é abaixo de 20%, sendo que inglês
apenas 4,54% dos alunos ficaram de Estudo Orientados.
Redação
58,33%
Inglês
50,00%
Geografia
70,59%
História
50,00%
Ciências
50,00%
6,66%
Matemática
Português
25,00%
Nas disciplinas de inglês, história e ciências 50% dos alunos foram aprovados nos
Estudos Orientados. Em geografia houve uma grande aprovação, sendo 70,59% dos alunos
aprovados. Em matemática houve uma mínima aprovação.
31,81%
5,68%
Re
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2,27%
In
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ês
5,68%
G
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gr
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5,68%
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6,81%
Ci
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ês
M
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em
át
ica
6,81%
Nos Estudos Independentes as disciplinas de português, ciências, história, geografia,
inglês e redação a porcentagem de alunos de foi inferior a 7%. Já em matemática a
porcentagem de alunos de Estudos Independentes continua elevada comparada com as outras
matérias.
Redação
0,00%
Inglês
0,00%
Geografia
0,00%
História
0,00%
Ciências
0,00%
39,28%
Matemática
Português
0,00%
Nos Estudos Independentes, matemática foi à única disciplina que houve aprovação.
Aprovados direto
20,45%
11,36%
9,09%
Aprovados nos
Estudos
Orientados
59,10%
Aprovados nos
Estudos
Independentes
Reprovados
Mesmo a 8ª série sendo a ultima série do Ensino Fundamental a porcentagem de
reprovação foi de aproximadamente um quinto dos alunos. Na 8ª série foi à série que
apresentou maior porcentagem de alunos aprovados diretos.
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste estudo observou-se que, na 5ª série, inglês foi à disciplina com maior número de
alunos tanto nos Estudos Orientados quanto nos Estudos Independentes, mas foi uma das que
apresentou um maior número de alunos aprovados nos Estudos Orientados e nos Estudos
Independentes. Já matemática foi à segunda disciplina com maior número de alunos nos
Estudos Orientados e nos Estudos Independentes, mas no que diz respeito à aprovação, foi a
que menos alunos foram aprovados. Aproximadamente um terço do total de alunos foram
aprovados diretamente, enquanto que aproximadamente, um quarto foi reprovado. Sendo que
o número de alunos aprovados nos Estudos Independentes foi mínimo.
Na 6ª série, inglês foi à disciplina com maior quantidade de alunos nos Estudos
Orientados e a quarta nos Estudos Independentes, mas em ambos foi à disciplina que mais
aprovou. Já matemática foi à segunda disciplina que mais alunos ficaram de Estudos
Orientados, mas a aprovação nos Estudos Orientados foi a maior e nos Estudos Independentes
ela foi à disciplina com a maior quantidade de alunos, porém não houve aprovação. O número
de alunos aprovados diretamente e os que foram reprovados foram à mesma e o número de
alunos aprovados nos Estudo Independentes foi mínimo.
Na 7ª série a disciplina de inglês apresentou o maior número de alunos nos Estudos
Orientados, e a aprovação nos Estudos Orientados foi a terceira maior. E nos Estudos
Independentes foi à terceira em quantidade de alunos e não houve aprovação nos Estudos
Independentes. Matemática apresentou o segundo maior número de Estudos Orientados e a
aprovação foi uma das menores e com conseqüência, nos Estudos Independentes ela foi à
matéria que apresentou o maior número de alunos e a aprovação dos alunos nos Estudos
Independentes foi pequena. O número de alunos aprovados com Progressão Parcial foi maior
que o número de alunos aprovados direto. E o número de alunos aprovados nos Estudos
Independentes foi mínimo.
Na 8ª série, matemática foi à disciplina que apresentou o maior número de alunos de
Estudo Orientados e nos Estudos Independentes, porém nos Estudos Orientados ela foi à
disciplina que apresentou a menor porcentagem de aprovação, nos Estudos Independentes ela
foi à única disciplina em que houve aprovação. Geografia foi à segunda disciplina que mais
alunos ficaram de alunos nos Estudos Orientados com 19,32% dos alunos e a que obteve
maior aprovação e mesmo ficando poucos alunos nos Estudos Independentes nenhum aluno
foi aprovado nos Estudos Independentes. Quase 60% dos alunos foram aprovados diretamente
e a porcentagem de alunos reprovados foi aproximadamente 20%. A porcentagem de alunos
aprovados nos Estudos Independentes foi a maior entre as quatro séries analisadas, sendo de
11,36%.
Com base nos dados obtidos concluiu-se que os métodos usados para avaliar os alunos
estão aquém do que se espera, o método de ensino evoluiu, mas esta evolução não ocorreu
com o método de avaliação. Constatou-se que os meios de recuperação não foram eficientes,
pois dentre os alunos que ficaram de Estudos Independentes, a porcentagem de aprovação
(usando este método) foi mínima.
Talvez em nenhum outro momento da história brasileira tanto se tenha falado e
discutido a importância da escolarização, seja na perspectiva da consolidação de nossa jovem
democracia, seja para responder às novas demandas de mudanças no mundo do trabalho e do
capital. É nessa interface que a nova legislação educacional brasileira vem acarretando para os
educadores mais impasses e dilemas do que respostas ou caminhos.
A Resolução nº. 521 de 02 de fevereiro de 2004 da Secretaria Estadual de Educação de
Minas Gerais enfatiza que a avaliação da aprendizagem tem a função principal de orientar o
processo educativo, o que mostra a importância que as escolas devem dar para sanar as
dificuldades dos alunos e evitar a reprovação, alem de buscar diferentes meios para a
aprendizagem dos alunos. Mas o que se pode constatar é que mesmo com essa ênfase não se
consegue chegar ao resultado esperado, ou seja, a maioria dos alunos aprovados. Surgem,
portanto, as seguintes questões. Será que a Progressão Parcial motiva os alunos a continuar os
estudos ou os deixa desmotivados a estudar, no sentido de que eles não serão reprovados? E
os professores, será que eles se sentem mais motivados com esse novo método? Será que os
professores, por terem que estudar com os alunos isoladamente, sem nada recebendo a mais
por isso, não se sentem impelidos a aprovar um aluno ruim, apenas para não ter que estudar
isoladamente com ele?
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BUSSAB, W. O.; MORETIN, P. A.; Estatística básica, Ed. Saraiva, São Paulo, 2002.
FONSECA, J. S.; MARTINS, G. A.; Curso de Estatística, Ed. Atlas, 1986.
GUEDES, T. A.; ACORSI, C. L. R.; MARTINS, A. B. T.; JANEIRO, V. Projeto de
Ensino
Aprender Fazendo Estatística. Universidade Estadual de Maringá, 2001.
Resolução nº. 521 de 02 de fevereiro de 2004 da Secretaria Estadual de Educação de
Minas.
Sites usados na pesquisa
www.iea.usp.br/ies/ensinosuperior/debateotaviano.html
www.anped.org.br/28/textos/gt09/gt0922/int.rtf
www.centrorefeducacional.pro.br.avapque.html
www.educacao.mg.gov.br/files/down.resolucao 521
6. APÊNDICE
A Resolução nº. 521 de 02 de fevereiro de 2004 da Secretaria Estadual de Educação de Minas
Gerais, enuncia do artigo 35 até o artigo 39 que:
Art. 35 – A avaliação da aprendizagem, com parte integrante do processo pedagógico, tem a
função precípua de orientar o processo educativo, do modo a possibilitar:
I - o atendimento diferenciado aos alunos;
II – as adequações no plano didático tendo em vistas os objetivos curriculares;
III – o registro de informações acerca do desempenho escolar do aluno.
SS 1º – Cabe à escola, assessorada pela Inspeção Escolar, criar estratégias para organização e
reorganização do tempo e do espaço escolares, bem como o melhor aproveitamento do seu
corpo docente, de modo, a possibilitar ações pedagógicas para o atendimento diferenciado de
alunos com dificuldades de aprendizagem, no tempo em que elas surgirem.
SS 2º – As estratégias de atendimento diferenciado devem ser previstas na Proposta
Pedagógica e no Regimento Escolar e divulgadas amplamente na comunidade, em reuniões de
pais e do colegiado escolar.
SS 3º – Os resultados da avaliação da aprendizagem realizada pela escola e os resultados do
Programa de Avaliação da Rede Pública de Educação Básica – PROEB – e do Sistema
Mineiro de Avaliação da Educação Pública – SIMAVE – devem ser considerados no
planejamento didático.
Art. 36 – Para fins de aprovação do aluno exige-se freqüência mínima obrigatória de 75% da
carga horária anual e um mínimo de aproveitamento em relação aos objetivos definidos para
os conteúdos curriculares de nível em que se encontra.
Art. 37 – A progressão continuada nos anos iniciais do ensino fundamental, nos termos da
Resolução SEE nº. 469/2003.
Art. 38 – A progressão parcial será adotada nos quatro anos finais do ensino fundamental e no
ensino médio.
SS 1º – Poderá beneficiar-se da progressão parcial o aluno que não apresentar desempenho
mínimo em até duas disciplinas.
SS 2º – Ficará retido na série em curso o aluno que não apresentar desempenho mínimo em
três ou mais disciplinas, incluindo-se nesse cômputo as disciplinas da série em que se
encontra e aquelas em regime de progressão parcial.
SS 3º – Para efeito da definição da retenção do aluno, cada disciplina deve ser computada
apenas uma vez – independentemente das séries em que incidir-se, tendo em vista que a
recuperação deve ser planejada considerando as aprendizagens fundamentais de cada área e as
necessidades básicas de desenvolvimento do aluno.
SS 4º – O aluno concluirá o nível de ensino somente quando obtiver a aprovação nas
disciplinas em que se encontra em regime de progressão parcial.
Art. 39 – A escola deve organizar diferentes estratégias para ampliar as oportunidades de
aprendizagem e de avaliação dos alunos, oferecendo no decorrer do ano letivo e após o
mesmo:
I – estudos orientados a partir de atividades especificamente programadas para o
atendimento de alunos ou grupos de alunos que demonstrarem dificuldades ao longo do
processo de aprendizagem;
II – estudos independentes presenciais, imediatamente após o encerramento do ano letivo,
para os alunos que não apresentarem domínio suficiente das aprendizagens básicas previstas
para o período;
III – estudos independentes a ser realizados no período de férias escolares, com avaliação
prevista para a semana anterior ao início do ano letivo subseqüente, quando as estratégias
mencionadas nos incisos I e II não forem suficientes para atender as necessidades mínimas de
aprendizagem do aluno;
IV – estudos orientados ao longo do primeiro semestre do ano letivo subseqüente em
regime de progressão parcial, podendo os mesmos serem liberados do processo tão logo se
verifique o domínio das aprendizagens consideradas básicas;
V – estudos independentes, no segundo semestre do ano letivo em curso, para os alunos em
regime de progressão parcial que não obtiveram resultados satisfatórios nos estudos previstos
no inciso IV, devendo os mesmos ser avaliados ao final do ano letivo, em data previamente
definida pela escola.
SS 1º – Os estudos orientados a que se refere no inciso I , preferencialmente, devem ser
assumidos pelo professor da turma, por meio de procedimentos pedagógicos variados,
incluindo a possibilidade de se recorrer ao apoio de monitorias e parcerias mobilizadas pela
própria escola;
SS 2º – A direção da escola, apoiada pela equipe pedagógica, indicará, para cada disciplina,
os professores responsáveis pelo acompanhamento e avaliação dos alunos beneficiados pelas
estratégias a que referem os incisos II, III, IV, e V: estudos orientados e estudos
independentes em situação regular ou de progressão parcial:
SS 3º – O s instrumentos de avaliação, a serem utilizados para verificação da aprendizagem
do aluno após estudo independente, devem ser variados, incidir sobre os conceitos e
habilidades fundamentais das disciplinas e ser definidos em equipe pelos professores das
escolas.
O Problema de Cauchy para Equações Diferenciais
Parciais Quase Lineares de Primeira Ordem
Karla Barbosa de Freitas1 e Valdair Bonfim2
Resumo
Investigar a existência de solução u : : R 2 o R para o Problema de Cauchy
wu
wu

°a ( x, y, u ) wx b( x, y, u ) wy
(P) ®
°
u J h
¯
c ( x, y , u )
,
onde J é uma curva contida no domínio : , h é uma função real, e a ( x, y, z ) , b( x, y, z ) e
c( x, y, z ) são funções definidas num domínio aberto do espaço tridimensional, todas supostas
de classe C 1 .
1 – Preliminares:
Por uma solução do problema (P) entendemos uma função derivável u : : R 2 o R
definida no aberto : , satisfazendo a equação diferencial parcial
(1) a x, y, u ( x, y ) .
wu
wu
( x, y ) bx, y, u ( x, y ) . ( x, y ) c x, y, u ( x, y ) , ( x, y ):
wy
wx
e também à condição
(2) u f ( s ), g ( s ) h( s ) , para todo s num intervalo I R .
A equação (1) aparece em problemas da Física, como por exemplo em óptica
geométrica e propagação de certas ondas não lineares e, apesar do seu aspecto bastante
particular, muitas equações importantes podem ser reduzidas à forma (1), como por exemplo a
equação de Hamilton-Jacobi unidimensional para a função S ( x, t ) :
wS
§ wS ·
H ¨ x, ¸ 0 ,
(3)
wt
© wx ¹
onde a função real ( x1 , x 2 ) H ( x1 , x 2 ) é um dado do problema.
Derivando a equação (3) em relação a x obtemos
1
2
Bolsista do Programa de Educação Tutorial – PET Acadêmica do Curso de Matemática da UFU.
Orientador; Professor da Faculdade de Matemática da UFU.
w § wS · wH § wS · wH § wS · w § wS ·
¨ x, ¸ . ¨ ¸
¨ x, ¸ ¨ ¸
wx © wt ¹ wx1 © wx ¹ wx 2 © wx ¹ wx © wx ¹
0 ,
e trocando a ordem de derivação na primeira parcela chegamos em
w § wS · wH § wS · wH § wS · w § wS ·
¨ x, ¸ . ¨ ¸
¨ x, ¸ ¨ ¸
wt © wx ¹ wx1 © wx ¹ wx 2 © wx ¹ wx © wx ¹
Chamando u
0.
wS
ficamos com a equação diferencial parcial quase-linear
wx
wH
x, u . wu wu
wx 2
wx
wt
wH
x, u ,
wx1
a qual é do tipo
a ( x, t , u )
com a( x, t , u )
wu
wu
b ( x, t , u )
c ( x, t , u ) ,
wt
wx
wH
( x, u ) , b ( x, t , u ) 1 e c ( x, t , u )
wx 2
wH
( x, u ) .
wx1
2 – Uma Interpretação Geométrica do Problema e sua Solução:
Observe que a equação (1) é equivalente à condição de ortogonalidade
&
§ wu
·
wu
F ( x, y, u ( x, y ) ) , ¨¨
( x, y ) , ( x, y ) , 1 ¸¸
wy
© wx
¹
(4)
&
onde F ( x, y, z )
a( x, y, z ) , b( x, y, z ) , c( x, y, z ) ,
e
,
0 ,
representa o produto escalar usual
3
no espaço R .
§ wu
·
&
wu
n x, y, z ¨¨
( x, y ) , ( x, y ) , 1 ¸¸ é normal à superfície
wy
© wx
¹
S u ^ ( x, y, z ) : z u ( x, y ) ` no ponto x, y, u ( x, y ) , então a equação (4) está dizendo que o
&
campo de vetores F tangencia S u em cada ponto P S u , conforme figura 1.
Como
o
vetor
&
n (P )
z
Su
P
&
F ( P)
y
( Figura 1 )
x
Como nosso problema consiste em achar uma função u tal que seu gráfico S u também
contenha a curva *( s ) f ( s ) , g ( s ) , h( s ) , então é natural tentar obter S u através da reunião
&
de todas as curvas integrais do campo F (a, b, c) que passam pelo ponto *( s) no instante
t 0.
Estas curvas são soluções do sistema de equações diferenciais ordinárias
x c(t ) a x(t ), y (t ), z (t ) , x(0) f ( s )
°
(5) ® y c(t ) b x(t ), y (t ), z (t ) , y (0) g ( s ) .
° z c(t ) c x(t ), y (t ), z (t ) , z (0) h( s )
¯
Assim, como as funções a, b e c são de classe C 1 num aberto contendo a curva * , a
teoria das equações diferenciais ordinárias (vide [1]) garante que o problema de valor inicial
(5) admitirá, para cada s I , uma única solução definida para todo t J s (G s , G s ) R .
Ou seja, existirão funções
(6) x
X ( s, t ) , y
Y ( s, t ) , z
Z ( s, t )
satisfazendo as equações (7), (8) e (9) abaixo para todos s I , t J s :
(7)
wX
( s, t )
wt
a X ( s, t ) , Y ( s, t ) , Z ( s, t ) , X ( s,0)
f (s)
(8)
wY
( s, t )
wt
b X ( s, t ) , Y ( s, t ) , Z ( s, t ) , Y ( s,0)
g (s)
(9)
wZ
( s, t )
wt
c X ( s, t ) , Y ( s, t ) , Z ( s, t ) , Z ( s,0)
h( s )
Mais ainda, a teoria das equações diferenciais ordinárias garante que as funções em (6)
são todas de classe C1.
Escrevendo ) ( s, t ) X ( s, t ), Y ( s, t ), Z ( s, t ) , as equações (7), (8) e (9) ficam
&
w)
reduzidas a
( s, t ) F ) ( s, t ) , *( s) )( s,0) .
wt
A figura 2 ilustra o que fizemos até agora.
*( s )
)( s,0)
w)
( s, t )
wt
&
F ) ( s, t ) ( Figura 2 )
) ( s, t )
X ( s, t ), Y ( s, t ), Z ( s, t ) A resolução do problema de valor inicial (5) nos fornece, portanto, uma
parametrização ( s, t ) o )( s, t ) de uma superfície S, a qual provaremos ser o gráfico da
solução procurada do problema ( P ).
A estratégia para isto consistirá de dois passos:
1º : Inverter o sistema
x
(10 ) ®
¯y
X ( s, t )
,
Y ( s, t )
isto é, resolvê-lo nas variáveis s e t, obtendo
s S ( x, y )
(11) ®
¯t T ( x, y )
2º : Provar que a função u definida por u ( x, y )
satisfaz as condições (1) e (2).
Z S ( x, y ), T ( x, y ) é de classe C1 e
Uma condição suficiente para a invertibilidade de (10) é dada pelo Teorema da
Aplicação Inversa ( [2] ). Precisamente, se exigirmos que
§ wX
( s ,0 )
¨
(12 ) det ¨ ws
¨ wY ( s,0)
¨
© ws
wX
·
( s ,0 ) ¸
wt
¸z0
wY
( s,0) ¸¸
wt
¹
então existirão um conjunto aberto U R 2 contendo o ponto ( s,0) , um conjunto aberto
: R 2 contendo o ponto X ( s,0), Y ( s,0) f ( s ), g ( s ) , e funções S : : o U e
T : : o U de classe C1 que invertem o sistema ( 10 ), isto é, tais que:
s S X ( s, t ), Y ( s, t ) , ( s, t ) U ,
(13 ) ®
¯t T X ( s, t ), Y ( s, t ) e também
x
(14 ) ®
¯y
X S ( x, y ), T ( x, y ) , ( x, y ) : .
Y S ( x, y ), T ( x, y ) Assumindo, portanto, a condição (12), o primeiro passo fica garantido, e a função
u ( x, y ) Z S ( x, y ), T ( x, y ) fica bem definida no aberto : . Mais ainda, ela é de classe C1
pelo fato de ser uma composição de funções de classe C1. O que faremos agora é provar que
ela é solução do nosso problema. Ora, pela Regra da Cadeia podemos escrever:
wu wZ wS wZ wT
wu wZ wS wZ wT
e
,
wx ws wx wt wx
wy ws wy wt wy
de onde segue que
(15)
a
wT ·
wZ § wS
wS · wZ § wT
¨¨ a
¨¨ a
¸.
b
b ¸¸ wy ¸¹
ws © wx
wy ¹ wt © wx
wu
wu
b
wx
wy
Por outro lado, derivando com relação a t a primeira das equações (13) obtemos
0
wS wX wS wY
,
wx wt wy wt
que devido às equações (7) e (8) se transforma em
(16) 0
a
wS
wS
.
b
wx
wy
Analogamente, derivando com relação a t a segunda das equações (13) obtemos
1
wT wX wT wY
,
wx wt wy wt
que devido às equações (6) e (7) pode ser escrita como
(17) 1 a
wT
wT
b
.
wx
wy
Substituindo as equações (16) e (17) na equação (15) e lembrando que
wZ
wt
c,
wu
wu
c , ou seja, a função u ( x, y )
b
wy
wx
definida por Z S ( x, y ), T ( x, y ) satisfaz a equação diferencial (1). Para finalizar, deve ser
provado que a condição (2) também é satisfeita.
Ora, mas da definição de u ( x, y ) segue que
conforme afirma a equação (9), concluímos que a
(18) u f ( s ), g ( s ) e utilizando as equações (13) com t
s
S X ( s,0), Y ( s,0) Z S f ( s ), g ( s ) , T f ( s ), g ( s ) ,
0 obtemos
S f ( s ), g ( s ) e 0
que levadas em (18) nos fornece u f ( s ), g ( s ) a equação (9).
T X ( s,0), Y ( s,0) T f ( s ), g ( s ) ,
Z s,0 , que por sua vez é igual a h( s ) devido
Observe que a condição (12) desempenhou um papel importantíssimo na resolução do
problema de Cauchy. Com a finalidade de enunciar um teorema de existência de solução para
o problema ( P ) convém interpretar tal condição como sendo uma restrição nos dados
originais do problema, a saber, sobre as funções f , g , h , a , b , c . Ora, mas devido às
equações (7) e (8), podemos escrever
wX
wY
wX
wY
( s,0) f c( s) ,
( s,0) g c( s) ,
( s,0) a*( s) e
( s,0) b*( s) .
ws
ws
wt
wt
Desta forma podemos enunciar e dar por demonstrado o seguinte teorema:
Teorema: Sejam a , b , c funções de classe C1 definidas num subconjunto aberto
D do espaço tridimensional, o qual contém a curva *( s ) f ( s ), g ( s ), h( s ) ,
s I , também suposta de classe C1. Se
§ f c( s) a*( s) ·
¸¸ z 0 ,
det ¨¨
© g c( s ) b*( s) ¹
então o problema de Cauchy ( P ) tem uma única solução u de classe C 1 .
3 – A condição (12) interpretada geometricamente:
§ f c( s) a*( s) ·
¸¸
Observe que a condição det ¨¨
c
g
s
b
s
(
)
(
)
*
©
¹
(18)
0 é equivalente à condição
a(*( s)) , b(*( s)) O f c( s) , g c( s) para algum O R .
Assim, derivando h( s )
h c( s )
u f ( s ), g ( s ) com respeito a s obtemos
f c( s ).u x f ( s ), g ( s ) g c( s ).u y f ( s ), g ( s ) ,
de onde segue que
O.h c( s) O. f c( s).u x f ( s), g ( s) O.g c( s).u y f ( s), g ( s) .
Graças a (18) e ao fato de que u satisfaz a equação (1) podemos escrever ainda
(19) O .h c( s )
a*( s ) . u x f ( s ), g ( s ) b*( s ) . u y f ( s ), g ( s ) c*( s ) .
De (18) e (19) podemos então afirmar que
a, b, c * ( s ) O . f c( s), g c( s), hc( s) ,
ou ainda
&
F *( s ) O . * c( s ) .
§ f c( s ) a*( s ) ·
¸¸ z 0 é equivalente ao fato da curva prescrita
Logo, a condição det ¨¨
© g c( s ) b*( s ) ¹
&
s o *(s ) não ser tangente ao campo de vetores F (a, b, c) , ou, o que dá no mesmo, é
&
equivalente à transversalidade entre a curva espacial * e o campo F , conforme ilustra a
figura 3. Neste caso, o problema (P) admitirá solução única.
* c(s )
*(s )
( Figura 3 )
&
F *(s ) 4 – O que ocorre se (12) não é satisfeita?
§ f c( s 0 ) a *( s 0 ) ·
¸¸ 0 para algum s 0 ,
Observe que se (12) não é satisfeita, então det ¨¨
© g c( s 0 ) b*( s 0 ) ¹
&
e neste caso já provamos acima que F *( s 0 ) O . * c( s 0 ) . Assim podemos destacar dois casos:
&
1º caso: a curva * é uma curva característica do campo vetorial F (a, b, c ) .
Neste caso o problema ( P ) admite infinitas soluções. De fato, pois para cada curva
espacial * * transversal a * teremos uma solução, posto que para tal curva * * a condição
(12) ficará satisfeita.
&
2º caso: a curva * é tangente à uma curva característica do campo F (a, b, c ) no
ponto *( s 0 ) , mas não é uma característica. Neste caso o problema ( P ) não tem solução.
É interessante observar o que o determinante referido no teorema anterior diz a
respeito do conjunto solução do problema ( P ). Diz a mesma coisa que o determinante de
uma matriz A fala a respeito do conjunto solução de um sistema linear A. X B . Quando
det A z 0 o sistema linear AX B tem somente uma solução, da mesma forma que se
§ f c( s 0 ) a *( s 0 ) ·
¸¸ z 0 , o problema ( P ) terá somente uma solução. Quando det A 0 ,
det ¨¨
c
(
)
(
)
g
s
b
s
*
0
0
¹
©
então o sistema AX B não terá solução, ou terá uma infinidade delas, da mesma forma que
§ f c( s 0 ) a *( s 0 ) ·
¸¸ 0 , o problema ( P ) não terá solução, ou terá uma infinidade. Em
se det ¨¨
© g c( s 0 ) b*( s 0 ) ¹
ambas as situações o que está em jogo é a noção de independência linear. Precisamente, no
caso dos sistemas lineares é a independência linear das linhas da matriz estendida ( A / B) , e
&
no caso do problema de Cauchy é a independência linear dos vetores * c( s ) e F (*( s )) .
5 – Exemplos concretos:
Exemplo 1:
°u x u y u 2
.
®
°̄u ( x,0) h( x)
Neste caso temos a( x, y, z ) 1 , b( x, y, z ) 1 e c( x, y, z ) z 2 , x, y, z R , e
*( s ) s,0, h( s ) . Assim, a curva característica que passa pelo ponto *(s ) em t 0 é a
solução do Problema de Valor Inicial
x c(t ) 1 , x(0) s
°
® y c(t ) 1 , y (0) 0
° z c(t ) z 2 , z (0) h( s )
¯
,
que resolvido fornece
x
ts , y
t , z
h( s )
.
1 t . h( s )
Expressando s e t em função de x e y obtemos s x y e t y , e substituindo estas
h( s )
h( x y )
expressões em z
obtemos z
. Assim, a função
1 t . h( s )
1 y . ( x y)
u ( x, y )
h( x y )
1 y . h( x y )
é a solução do problema proposto, conforme se pode verificar agora mediante derivação e
substituição. Esta solução será de classe C1 desde que h : R o R seja uma função de classe
C1.
__________________________________
wu
wu
y
u
°x
wx
Exemplo 2: Determinar uma função real u ( x, y ) tal que ® wy
, onde
°u ( x,0) h( x)
¯
h : R o R é uma função dada.
Neste caso temos a ( x, y, z ) y , b( x, y, z ) x e c( x, y, z ) z , x, y, z R , e
*( s ) s,0, h( s ) . Logo, a curva característica que passa pelo ponto *( s) em t 0 é a
solução do Problema de Valor Inicial
x c(t )
°
® y c(t )
° z c(t )
¯
cuja solução é
y (t )
, x ( 0)
s
x(t )
, y ( 0)
0
z (t )
, z ( 0)
h( s )
,
x
s . cos t ,
x
®
¯y
Invertendo o sistema
expressões de s e t em z
y
, z
s . sent
s . cos t
s . sent
h( s ) . e t .
s
x2 y2
°
®
§ y·
°t acrtg ¨ ¸
©x¹
¯
obtemos
, e substituindo estas
h( s ) . e t obtemos
z
u ( x, y )
2
2
h x y .e
§ y·
arctg ¨ ¸
©x¹
,
que é a solução procurada.
6 – O que ocorre quando não conseguimos explicitar a inversa do sistema (10)?
A pergunta procede. De fato, ainda que o Teorema da Aplicação Inversa afirme
positivamente sobre a possibilidade de inverter o sistema (10), nem sempre é possível
explicitar esta inversa. Neste caso a tarefa de explicitar a solução u ( x, y ) fica prejudicada.
Entretanto, a maneira como provamos o Teorema de Existência de Solução do Problema ( P )
nos dá uma receita de como construir a superfície solução: basta usar técnicas numéricas de
resolução de sistemas de equações diferenciais ordinárias para imprimir as curvas
características que passam pelos vários pontos *( s ) , s I , no instante t 0 . Isto renderá um
esboço da superfície solução, o qual poderá ser utilizado para fazer conjecturas a respeito das
propriedades de u ( x, y ) :
- A solução u possuirá algum tipo de singularidade?
- Até onde a superfície solução é gráfico de função?
- Se se tratar de uma equação de evolução, ocorrerá blow-up em tempo finito?
Observe que a dificuldade em explicitar a solução pode ocorrer bem antes da tarefa de
inverter o sistema (10). De fato, pode acontecer de não conseguirmos resolver explicitamente
sequer o sistema de equações diferenciais ordinárias (5), que em geral é não linear. A título de
ilustração, consideremos o próximo exemplo.
Exemplo 3:
wu
2
2
2 wu
°°( x y u ) wx 2 xy wy
®
°u ( x, x) 1 sen(10 S x )
°¯
10
&
Sendo F ( x, y, z )
x
2
2 xu
.
y 2 z 2 , 2 xy , 2 xz e *( s)
1
§
·
¨ s, s, sen(10 S s ) ¸ , então
10
©
¹
&
s
1
§
·
F *( s ) ¨ 2s 2 sen 2 (10 S s ) ,2s 2 , sen(10 S s ) ¸ e * c( s )
100
5
©
¹
1,1, S cos (10 S s) .
&
Logo o conjunto F *( s) , * c( s ) é linearmente independente s z 0 , e portanto o
teorema garante a existência de solução. Entretanto o leitor poderá verificar que a obtenção da
solução explícita não é uma tarefa imediata. Cabe neste momento o uso de recursos
computacionais. Na figura 4 abaixo vemos um gráfico da solução do exemplo 3, gerado pelo
aplicativo Maple.
^
`
( Figura 4 )
......
Bibliografia
7 – Considerações Finais:
A técnica apresentada se estende sem grandes dificuldades teóricas a equações
diferenciais parciais quase-lineares para uma função incógnita u ( x1 , x 2 , ... , x n ) de n variáveis
reais. De fato, pois os dois grandes resultados teóricos que utilizamos foram o Teorema de
Existência e Unicidade da teoria das equações diferenciais ordinárias, e o Teorema da
Aplicação Inversa, e sabemos que ambos valem em dimensões superiores. A dificuldade que
surge é do ponto de vista prático pois, em geral, quanto maior for a dimensão mais difícil fica
a execução dos passos descritos pelo método.
Entretanto, a técnica não cobre casos como
2
§ wu · § wu ·
¨ ¸ ¨¨ ¸¸
© wx ¹ © wy ¹
2
c ,
onde c é uma constante positiva. Este tipo de equação diferencial parcial se enquadra na
classe abaixo,
F x, y, u, u x , u y 0 ,
a qual permite não-linearidades nas derivadas parciais u x e u y . Para esta classe é possível
uma abordagem geométrica análoga à feita anteriormente. Entretanto, como o grau de
&
liberdade imposto pela equação diferencial em cima do vetor normal n ( u x , u y , 1 ) é
menor, o método conduz à resolução de um sistema de cinco equações diferenciais ordinárias.
Este método está bem descrito em [3], e será objeto de estudo na continuidade deste projeto
de ensino.
8 – Bibliografia:
[1] Hale, Jack; Ordinary Differential Equations; J. Wesley, 1964;
[2] Lima, Elon Lages; Curso de Análise; Vol.2;
Instituto de Matemática Pura e Aplicada - IMPA, RJ, 1981. Projeto Euclides.
[3] Bassanezi, R. C. & Ferreira Jr, W. C.; Equações Diferenciais Com Aplicações;
Editora Harbra, 1988.
Alguns Resultados de Trigonometria Hiperbólica
Patrı́cia Borges dos Santos∗
Flávia Cristina Martins Queiroz†
Edson Agustini‡
Faculdade de Matemática - Famat
Universidade Federal de Uberlândia - Ufu - MG
Março de 2007
Resumo
Este trabalho é uma exposição dos principais resultados da Trigonometria Hiperbólica, desenvolvido
a partir dos axiomas e resultados da Geometria Hiperbólica. Os quatro principais teoremas dessa
trigonometria são abordados: o Teorema de Pitágoras Hiperbólico, a Lei dos Senos e as duas Leis dos
Cossenos. Uma comparação entre as trigonometrias Euclidiana e Hiperbólica é desenvolvida.
Palavras-chave: Horocı́rculo, Função Ângulo de Paralelismo, Lei dos Senos, Lei dos Cossenos,
Teorema de Pitágoras Hiperbólico.
1
Introdução
Neste trabalho apresentamos os principais resultados da Trigonometria Hiperbólica a partir dos axiomas
e resultados fundamentais da Geometria Hiperbólica Plana.
A Geometria Hiperbólica Plana é a geometria obtida a partir dos Axiomas de Hilbert para a Geometria
Euclidiana Plana substituindo o Postulado das Paralelas (Quinto Postulado de Euclides) pelo Postulado
de Lobachewsky cujo enunciado é o seguinte:
“Por um ponto fora de uma reta r passam duas retas paralelas à r”
Os principais resultados abordados neste trabalho são: o Teorema de Pitágoras Hiperbólico, a Lei dos
Senos e as duas Leis dos Cossenos.
Para o desenvolvimento desses resultados, introduzimos algumas definições essenciais para a próxima
seção.
Pontos Correspondentes:
Sejam m e n retas distintas e P ∈ m, Q ∈ n. Dizemos que P e Q são correspondentes se o segmento PQ
forma com m e n ângulos congruentes em um mesmo lado de PQ.
P
a
a
m
n
Q
Horocı́rculos:
Sejam o feixe de todas as retas hiperbólicas paralelas convergindo para um mesmo ponto ideal (no infinito)
Ω e P um ponto em uma reta do feixe. Ao lugar geométrico de todos os pontos correspondentes a P nas
demais retas do feixe chamamos de horocı́rculo de centro Ω e raio PΩ.
∗ patricia
[email protected] Programa de Educação Tutorial da Faculdade de Matemática - Ufu (PetMat).
Programa de Educação Tutorial da Faculdade de Matemática - Ufu (PetMat).
‡ [email protected] Professor orientador de janeiro de 2006 a dezembro de 2006.
† fl[email protected]
Horocírculo
P
P1
P2
W
P3
P4
P5
Triângulos Generalizados:
Um triângulo hiperbólico com pelo menos um vértice ideal (no infinito) é chamado de triângulo hiperbólico
generalizado.
A
h
a
W
B
Função Ângulo de Paralelismo:
reto (figura acima). O comprimento
Seja ABΩ um triângulo retângulo generalizado com o ângulo ABΩ
do segmento AB, que denotaremos por h, é chamado de altura de ABΩ. O ângulo BAΩ,
que denotamos
por α, é chamado de ângulo de paralelismo associado a h. À função θ que a cada altura h > 0 de triângulo
retângulo generalizado associa o ângulo de paralelismo α (medido em radianos) associado a h:
θ:
(0, +∞) ⊂ R −→
R
h
−→ θ (h) = α
é chamada de Função Ângulo de Paralelismo.
Função Ângulo de Paralelismo Estendida:
Definindo θ (0) = π2 e θ (−h) = π − θ (h) para h > 0, podemos estender o domı́nio da Função Ângulo de
Paralelismo aos reais:
θ : R −→
⎧ R
⎨ α, se h > 0
π/2, se h = 0
h −→ θ (h) =
⎩
π − α, se h < 0
À função θ acima chamamos de Função Ângulo de Paralelismo Estendida.
A
h
a = q(h)
W
B
a
q(-h) = p - a
Na próxima seção iremos abordar uma expressão para θ.
2
A Trigonometria Hiperbólica
As ilustrações das próximas subseções foram inspiradas nas construções geométricas realizadas no Modelo
do Disco de Poincaré para a Geometria Hiperbólica Plana. As mesmas podem ser reproduzidas com o
auxı́lio de um software de geometria dinâmica hiperbólica, como o NonEuclid, que é livre e pode ser
copiado do site [14].
2.1
Arcos Concêntricos de Horocı́rculos
Proposição 2.1 Segmentos de raios entre horocı́rculos concêntricos são congruentes.
a
H
W
H'
a
Demonstração:
Temos:
A
a
A'
M
M'
W
B'
a
H'
B
H
Seja M ponto médio de AB. Pelo caso “lado, ângulo” para triângulos generalizados temos MΩ ⊥ AB.
(AMΩ ≡ BMΩ)
Temos AMM ≡ BMM (caso LAL) e, portanto, AA M ≡ BB M (caso LAA0 ).
Conclusão: AA ≡ BB , como querı́amos.
Os arcos AB e A B de H e H com extremos nos mesmos raios (como na figura acima) são chamados de
arcos correspondentes.
Proposição 2.2 Se um raio divide ao meio um arco de horocı́rculo, então divide ao meio qualquer arco
correspondente de horocı́rculo concêntrico.
Demonstração:
Temos:
A
A'
M' C'
C
M
W
B'
B
H'
H
Como AM ≡ MB temos AMΩ ≡ BMΩ (definição).
Como AMC ≡ BMC (caso LAL) temos AC ≡ BC e AB ⊥ MΩ. Logo, ACC ≡ BCC (caso LAL).
Assim, AA C ≡ BB C (caso LAL), o que implica A C Ω ≡ B C Ω.
Conclusão:
A M C ≡ B M C (caso LAL) =⇒ A M Ω ≡ B M Ω =⇒ A M ≡ B M
Corolário 2.1 O conjunto dos pontos médios de arcos correspondentes em horocı́rculos concêntricos
constituem um raio.
Corolário 2.2 Se P0 , ..., Pn dividem P0 Pn ⊂ H em n partes iguais e H é horocı́rculo correspondente
∈ H tais que Pi Pj e Pi Pj são correspondentes e dividem P0 Pn
⊂ H em n partes
a H, então P0 , ..., Pn
iguais.
Demonstração:
Basta aplicar a Proposição 2.2 a P0 P2 ; P1 P3 ; P2 P4 ; P3 P5 ; ...; Pn−2 Pn .
P1
P2
P0
P 1’
P 0’
P 2’
P 3’
P3
W
P 4’
P n’
P4
...
Pn
Proposição 2.3 Sejam H e H horocı́rculos concêntricos e A, B, C ∈ H. Então os pontos A , B , C ∈ H
determinados pelos raios que passam por ABC são tais que
AB
A B =
A C
AC
.
C
C'
B'
B
W
P'
A'
P
H'
A
H
Demonstração:
1◦ caso: Se AB e AC forem comensuráveis, ou seja:
AB
∈ Q.
AC
Logo, existe uma unidade de medida comum aos dois arcos. Suponhamos que AP, P ∈ H, possua o
comprimento dessa unidade. Logo, AB = mAP e AC = nAP com m, n ∈ N.
Consideremos o raio PΩ. Ele
determina
P ∈H .
Pelo Corolário 2.2 temos A B = mA P e A C = nA P . Logo:
AB
AC
=
A B
A C
=
m
.
n
comensuráveis.
2◦ caso: Se AB e AC não forem Neste caso, seja m ∈ N tal que AB = mAP; P ∈ H. Logo, ∃n ∈ N tal que
nAP ≤ AC < (n + 1)AP.
Pelo Corolário 2.2, A B = mA P e nA P ≤ A C < (n + 1)A P .
Logo:
m
AB
m
< ≤
n+1
n
AC
e
m
A B m
< ≤
⇒
n+1
n
A C
m
AB A B
m
m
m
−
≤ − ≤
−
=⇒
n+1
n
n
n
+1
AC
A
C
AB A B m
m
0 ≤ − ≤
−
.
n
n
+1
AC A C Fazendo AP → 0 temos m, n → +∞ com m
n limitado.
m
Logo, m
n − n+1 → 0, ou seja:
AB A B A B − = 0 =⇒ AB
= .
AC A C AC
A C
Proposição 2.4 A razão entre arcos correspondentes de horocı́rculos concêntricos depende somente da
distância entre eles, medida ao longo de um raio, ou seja:
A1
A2
A3
d
d
A4
d
W
...
B4
B3
H4
B2
B1
H2
H1
A1 B1
A2 B2
2.2
H3
=
A2 B2
A3 B3
=
A3 B3
= · · · = f(d) > 1.
A4 B4
Unidade de Comprimento para a Geometria Hiperbólica
Lembremos a fórmula da área de Gauss para um triângulo ABC:
+B
+ C));
Área(ABC) = k(π − (A
k > 0 constante.
Fixando k = 1, é possı́vel mostrar que quando
A1 B 1
= e,
A2 B 2
a distância de A1 B1 a A2 B2 é 1, sendo A1 B1 e A2 B2 arcos correspondentes de horocı́rculos concêntricos.
Doravante adotaremos essa unidade de comprimento na geometria hiperbólica, ou seja,
d(A1 B1 , A2 B2 )
= 1 ⇐⇒
A1 B 1
= e.
A2 B 2
Proposição 2.5 Se s0 e sx são comprimentos de dois arcos correspondentes em horocı́rculos concêntricos
com sx < s0 e x é a distância entre eles ao longo de um raio comum, então sx = s0 e−x .
s0
x
sx
W
Consideremos a figura abaixo:
A
45°
D u
B
y
W'
C
W
H
Tomemos BC = s, AC = S, sendo H horocı́rculo de centro Ω e S > s.
Nas condições da figura acima vale a seguinte proposição.
Proposição 2.6 (1) S − s = Se−(y+u) ; (2) S + s = Sey−u .
Observação: Se S > s, então existe D ordinário na figura acima. De fato, cansideremos a figura abaixo:
A
a
C
b
y
W''
h1
h2
u
W
D B
Temos:
h2 < h1 =⇒ θ(h2 ) > θ(h1 ) =⇒ β > α = 45o =⇒ 2β > 90o =⇒ ∃D ponto ordinário.
Recordemos as definições:
senh y =
cosh y =
tanh y =
sech y =
cosech y =
ey − e−y
;
2
ey + e−y
;
2
senh y
;
cosh y
1
;
cosh y
1
; y = 0.
senh y
Corolário 2.3 Nas condições da Proposição 2.6 temos: (1) eu = cosh y; (2) s = S tanh y.
Demonstração:
Somando (1) e (2) da Proposição 2.6:
2S = S(e−y e−u − ey e−u ) =⇒ 2eu = ey + e−y =⇒ eu =
ey + e−y
=⇒ eu = cosh y.
2
Subtraindo (1) e (2) da Proposição 2.6:
2S = S(ey e−u − e−y e−u ) =⇒
S ey − e−y
) =⇒
(
2
eu
y
−y
S e −e
s = u(
) =⇒
e
2
S
s = u senh y =⇒
e
senh y
s=S
=⇒
cosh y
s = S tanh y.
s=
2.3
Sistema de Coordenadas na Geometria Hiperbólica
Sejam dois eixos perpendiculares e orientados a partir de O: Ox e Oy .
Seja P um ponto do plano hiperbólico.
Associamos a P dois números reais:
(i) |a|: distância da projeção ortogonal Px de P em Ox até O, sendo:
a > 0 se Px situa-se na semi-reta de orientação positiva de Ox .
a < 0 se Px situa-se na semi-reta de orientação negativa de Ox .
(ii) |b|: distância de P a Px .
b > 0 se P estiver no semiplano determinado por Ox que contém a semireta de orientação positiva de Oy .
b < 0 se P estiver no semiplano determinado por Ox que contém a semireta de orientação negativa de
Oy .
Chamaremos a e b de coordenadas de P, sendo a a abscissa e b a ordenada de P.
2° Quadrante
Oy
+
1° Quadrante
P = (a,b)
b
QX
-
+
a
-c
O
PX
-
4° Quadrante
OX
-d
Q = (c,d)
3° Quadrante
Observemos que, deste modo, existe uma correspondência biunı́voca entre os pontos do plano e os pares
ordenados de números reais.
Observações:
(1) Não podemos definir b como sendo a distância da projeção ortogonal Py de P em Oy até O. (Isto é,
definir coordenadas como na Geometria Euclidiana). Caso contrário, não haveria uma correspondência
biunı́voca entre os pontos do plano e os pares ordenados de números reais.
Exemplo: Seja a ∈ R tal que θ(a) = π4 (θ: função ângulo de paralelismo). Não existiria o ponto do
coordenadas (a, a):
Oy
W
a
p/4
p/4
a
O
Ox
Por outro lado, se partirmos do ponto P, sempre existiria Px e Py e, portanto, existiriam as coordenadas
a e b como na geometria euclidiana.
(2) nas condições como definimos o sistema de coordenadas na Geometria Hiperbólica um ponto P = (a, b)
é tal que d(O, Py ) < b.
De fato, OPx PPy é um Quadrilátero de Lambert e, portanto, d(O, Py ) < d(P, Px ) = b.
Oy
P = (a,b)
Py
b
a
O
Px
Ox
Proposição 2.7 Seja Ω+ ponto ideal do eixo coordenado Ox no lado de orientação positiva. A equação
do horocı́rculo de centro Ω+ passando pela origem O é ex = cosh y.
Demonstração:
Oy
P = (x,y)
y
O x
Ox
W+
H
Consideremos a seguinte figura:
Oy
P
Y
O
x C
x
B
Ox
W+
H
Pela Proposição 2.1: OC ≡ PB ≡ x.
Pelo Corolário 2.3: ex = cosh y.
Proposição 2.8 Na figura abaixo
A
B
s
a
C
W
E
H
temos AC = S; BC = s e BE = a, sendo H horocı́rculo de centro Ω e raio CΩ. Então s = S senh a.
Demonstração:
Tomemos por E um horocı́rculo H de centro em Ω. Seja {F} = BΩ ∩ H .
A
B x
s
C
F
a
x
W
E
H H’
Seja EF = s .
Temos que CB e EF são correspondentes. Pela Proposição 2.5: s = e−x s.
Pelo Corolário 2.3: s = S tanh a. Logo,
e−x s = S tanh a =⇒ s = Sex tanh a.
Também pelo Corolário 2.3: ex = cosh a. Logo,
s = S cosh a tanh a =⇒ s = S senh a.
Lema 2.1 Considere a figura abaixo:
Oy
A
H
S
W-
O
Ox
W+
←−→
sendo H horocı́rculo de centro Ω+ e raio OΩ+ . Sejam AO = S e AΩ+ ⊥ Ω− . Então AΩ+ e Oy são
retas paralelas.
Demonstração:
Considere a figura abaixo:
W
A
D
H
B
y
r
O
W+
Sejam DO = y e BO = s.
Pelo Corolário 2.3: s = S tanh y. Fazendo D −→ Ω+ temos y −→ +∞, o que implica tanh y −→ 1.
←−→
Logo s −→ S, ou seja, AΩ+ é paralela a Oy .
Proposição 2.9 A reta paralela aos eixos coordenados situada no 1o quadrante é e−x = tanh y.
Demonstração:
Oy
W
A
A’
P
S
x
O
B’
y
r
Ox
C’
W+
H’
H
Seja H horocı́rculo de centro Ω+ passando pela origem. Pelo Lema 2.1: AO = S.
Seja A ∈ H tal que A C = S. (H é horocı́rculo com centro em Ω+ passando por C ).
Seja B C = s.
Pelo Corolário 2.3: s = S tanh y.
AO e B C são correspondentes. Pela Proposição 2.5: s = Se−x .
Logo, S tanh y = Se−x o que implica e−x = tanh y.
Dois números positivos z e z são chamados complementares quando os ângulos de paralelismo a eles
associados são complementares, ou seja:
π
θ(z) + θ(z ) = .
2
Proposição 2.10 Se z e z são complementares, então:
e−z = tanh
z
.
2
Demonstração:
W
Oy
Q
P
b
a
O
z
r
W+
Px
Ox
Sendo d(O, Px ) = z; PPx ⊥ Ox e PPx ≡ QP.
= 90o .
Temos PPx Ω+ ≡ PQΩ (caso “lado, ângulo”). Logo, Q
o
Temos θ(z) = α e θ(QPx ) = β. Como α + β = 90 segue que z = QPx é complementar de z.
Mas a equação de r é e−x = tanh y (Proposição 2.9).
No ponto P ∈ r temos x = z e y = PPx = z2 . Logo, e−z = tanh z2 .
Corolário 2.4 Se z e z são complementares, então:
(1) ez = cotanh z2 ;
(2) senh z senh z = 1;
(3) cosh z = cosh z ;
(4) tanh z = sech z .
Demonstração:
(1) Temos:
e−z = tanh
z
z
⇒ ez = cotanh .
2
2
(2) Temos
ez − e−z
2
cotanh z2 − tanh z2
=
2
senh z =
2 z
z
2 −senh
2
z
senh 2 cosh z2
cosh2
=
=
=
ou seja:
2
cosh2 z2
+ 1 − cosh2
senh z
z
2
1
,
senh z
senh z senh z = 1.
Observação:
cosh2 x − senh2 x = 1;
x
x
cosh ;
2
2
x
2x
+ cosh2 .
cosh x = senh
2
2
senh x = 2 senh
(3) Temos:
ez + e−z
2
cotanh z2 + tanh z2
=
2
cosh z =
cosh2
=
senh
2 z
z
2 +senh
2
z
z
.
cosh
2
2
2
cosh z
=
senh z
= cotanh z =⇒
cosh z = cotanh z .
(4) Temos:
senh z
cosh z
cosech z
=
cotanh z
1
=
cosh z
= sech z =⇒
tanh z =
tanh z = sech z .
2.4
Trigonometria Hiperbólica em Triângulos Retângulos
Seja um triângulo ABC como abaixo:
B
m
c
l
A
b
a
C
Chamaremos tal triângulo de triângulo retângulo com partes a, b, c, λ, μ.
Proposição 2.11 Em triângulo retângulo com partes a, b, c, λ, μ tem-se:
(1) senh c = senh a cosh l;
(2) senh c = senh b cosh m.
Sendo l e m tais que θ(l) = λ e θ(m) = μ.
Demonstração:
Considere a figura abaixo:
l-c
s
2
B
c
m
s a s
3
1
l
A
b C
W
Temos s1 = S senh a (Proposição 2.8) e s3 = s1 e−u (Proposição 2.5).
Logo,
s2 + s3 s2
s1
eu s3
.
senh a =
=
= eu
−
S
S
S
S
Mas
eu = cosh(l − c) (tanh l − tanh(l − c))
= cosh(l − c) tanh l − senh(l − c)
cosh(l − c) senh l − cosh l senh(l − c)
cosh l
senh (l − (l − c))
=
cosh l
senh c
=
=⇒
cosh l
senh c = senh a cosh l.
=
De modo totalmente análogo:
senh c = senh b cosh m.
Corolário 2.5 Seja ABC triângulo retângulo com partes a, b, c, λ, μ. Então:
(1) cosh l = senh c senh a ;
(2) cosh m = senh c senh b ;
(3) cosh c = senh l senh m;
(4) cosh a = senh l senh b ;
(5) cosh b = senh m senh a .
Sendo a, a complementares; b, b complementares; θ(l) = λ e θ(m) = μ.
Demonstração (dos itens (1) e (2)):
(1) Da Proposição 2.11: senh c = senh a cosh l.
Do Corolário 2.4: senh a senh a = 1.
Logo:
1
cosh l =⇒
senh a
cosh l = senh c senh a .
senh c =
(2) Análogo.
2.5
Teorema de Pitágoras Hiperbólico
Proposição 2.12 (Teorema de Pitágoras Hiperbólico) Em um triângulo retângulo de hipotenusa medindo
c e catetos medindo a e b vale
cosh c = cosh a cosh b.
Demonstração:
Considere a figura:
B
m
c
A
l
b
a
C
sendo θ(l) = λ e θ(m) = μ.
cosh a
cosh b
Pelo Corolário 2.5: cosh c = senh l senh m; senh l = senh
b e senh m = senh a .
Logo:
cosh a cosh b
cosh c =
= cotanh a cotanh b .
senh b senh a
Pelo Corolário 2.4: cotanh a = cosh a e cotanh b = cosh b.
Logo:
cosh c = cosh a cosh b.
Exemplo: Seja um triângulo retângulo hiperbólico com catetos medindo 3 e 4. A hipotenusa mede
aproximadamente 6, 30966. De fato:
c
3
4
∼ 274, 93 =⇒ c = 6, 30966.
Temos cosh c = cosh 3 cosh 4 =
Observação: A hipotenusa é “maior” que no caso euclidiano.
2.6
Trigonometria Hiperbólica em Triângulos Quaisquer
Consideremos o triângulo ABC abaixo:
B
m
a
c
n
l
b
A
C
Proposição 2.13 Nas condições da figura acima, tem-se
senh a
senh b
senh c
=
=
,
sech l
sech m
sech n
sendo θ(l) = λ; θ(m) = μ e θ(n) = ν.
Demonstração:
Seja h a altura relativa ao vértice B.
B
c
h
n
l
A
Pela Proposição 2.11:
a
b
C
senh c = senh h cosh l
senh a = senh h cosh n
Logo,
senh a
cosh n
sech l
senh a
senh c
=
=
=⇒
=
.
senh c
cosh l
sech n
sech l
sech n
De modo análogo,
senh b
senh c
=
.
sech m
sech n
Proposição 2.14 Nas condições da figura acima, tem-se:
cosh a = cosh b cosh c − senh b senh c tanh l
sendo θ(l) = λ.
Demonstração:
Consideremos a figura abaixo, supondo que μ seja o maior ângulo.
B
c
l
A
h
a
b-d
d
n
b
C
Pelo Teorema de Pitágoras Hiperbólico:
cosh a = cosh h. cosh(b − d)
.
cosh c = cosh h. cosh d
Logo,
cosh c
cosh(b − d)
cosh d
cosh c
=
(cosh b cosh d − senh b senh d) =⇒
cosh d
cosh a = cosh b cosh c − cosh c senh b tanh d.
cosh a =
Mas,
tanh d = tanh c tanh l.
De fato,
senh l (1)
tanh l =
=
cosh l
cosh h
cosh h
cosh c
senh d (2) senh h senh d (3) cosh d senh d
=
=
senh c
senh c
senh c
senh h
senh h
=
tanh d
=⇒
tanh c
tanh d = tanh c tanh l.
(1): Corolário 2.5 (numerador) e Proposição 2.11 (denominador)
(2): Corolário 2.4
(3): Teorema de Pitágoras Hiperbólico
Logo:
senh c
tanh l =⇒
cosh c
cosh a = cosh b cosh c − senh b senh c tanh l.
cosh a = cosh b cosh c − cosh c senh b
2.7
Trigonometria Hiperbólica e Função Ângulo de Paralelismo
Proposição 2.15 Seja
θ : R −→
R
h −→ θ (h) = α
a função ângulo de paralelismo estendida a R.
(Obs: θ(−a) = π − θ(a); a > 0)
Então,
θ(h) = arccos(tanh h);
(isto é, cos α = tanh h)
P
a
h
W
Q
Corolário 2.6 (Lei dos Cossenos 1) Nas condições da Proposição 2.14 temos:
cosh a = cosh b cosh c − senh b senh c cos λ.
a
c
l
b
Corolário 2.7 (Lei dos Senos) Nas condições da Proposição 2.13 temos:
senh a
senh b
sec h
=
=
.
sen λ
sen μ
sen ν
Demonstração:
m
a
c
n
l
b
Do Corolário 2.4 e da Proposição 2.15 temos:
sech l = tanh l = cos λ ,
sendo θ (l ) = λ e θ (l) = λ.
Mas:
π
π
π
θ (l) + θ (l ) = =⇒ λ + λ = =⇒ λ = − λ.
2
2
2
Logo:
π
π
π
sech l = cos
− λ = cos cos λ + sen sen λ = sen λ =⇒ sech l = sen λ.
2
2
2
De modo análogo: sech m = sen μ e sech n = sen ν.
Daı́ substituindo na Proposição 2.13 temos o resultado.
Corolário 2.8 Se θ é a função ângulo de paralelismo estendida, então:
θ (h) = 2 arctan e−h ,
isto é,
tan
sendo θ (h) = α.
α
= e−h ,
2
Demonstração:
Temos
eh = senh h + cosh h.
Da Proposição 2.15 temos tanh h = cos α.
Por outro lado, como θ (h) = α, temos do Corolário 2.4 e da Proposição 2.15:
π
sech h = tanh h = cos α = cos
− α = sen α =⇒ cosh h = cosec α.
2
Desse modo:
tanh h = cos α =⇒ senh h = cosh h cos α = cosec α cos α =⇒ senh h = cotan α.
Logo:
eh = senh h + cosh h = cotan α + cosec α =
Mas:
1 + cos α
.
sen α
2 α
2 α
cos2 α
cos2 α
cos α
1 + cos α
α
2 − sen 2 + 1
2 + cos 2
2
=
=
=
= cotan .
α
α
α
α
sen α
2 sen 2 cos 2
2 sen 2 cos 2
sen α
2
2
Logo,
eh = cotan
α
α
=⇒ e−h = tan .
2
2
Exemplos:
(1) A área de um triângulo retângulo com catetos medindo 3 e 4 na Geometria Hiperbólica é 1, 43488196
unidades de área.
De fato:
Precisamos encontrar os ângulos internos.
a
3
c
b
4
Pelo Teorema de Pitágoras Hiperbólico:
cosh c = cosh 3 cosh 4 =⇒ c = 6, 30966.
Pela Lei dos Senos:
senh 3
senh 6, 30966
=⇒ sen β = 0, 036438166 =⇒ β = 0, 036446234 rad (ou β = 2, 088◦ ) .
=
sen β
sen π2
Analogamente:
senh 4
senh 6, 30966
=⇒ sen α = 0, 099262 =⇒ α = 0, 0994257 rad (ou α = 5, 6966◦ ).
=
sen α
sen π2
Assim:
Área(ABC) = π −
π
2
+ 0, 036446234 + 0, 0994257 = 1, 43488196 unidades de área.
Observação: Se o triângulo fosse euclidiano: β = 36, 87◦ ; α = 53, 13◦ e Área(ABC) = 6.
(2) Um triângulo possui lados medindo 1 e 2 e o ângulo entre eles é de 30◦ . A medida do terceiro lado é
1, 380472 unidades de área e os demais ângulos medem 18, 3887◦ e 76, 7979◦ .
De fato:
a
a
1
b
30°
2
Pela Lei dos Cossenos 1:
cosh a = cosh 1 cosh 2 − senh 1 senh 2 cos 30◦ = 2, 1141193 =⇒ a = 1, 380472.
Pela Lei dos Senos:
senh 1
senh a
=
=⇒ β = 0, 320944 rad = 18, 3887◦
◦
sen 30
sen β
e
senh 2
senh a
=
=⇒ α = 1, 340376 rad = 76, 7979◦ .
◦
sen 30
sen α
Proposição 2.16 (Lei dos Cossenos 2) Seja um triângulo com lados medindo a, b, c e ângulos internos
α, β, γ conforme a figura:
g
a
b
a
b
c
Então:
cosh c =
cos α cos β + cos γ
.
sen α sen β
Demonstração:
Façamos A = cosh a; B = cosh b e C = cosh c.
Temos cosh2 a − senh2 a = 1 =⇒ senh2 a = cosh2 a − 1.
Para a > 0 =⇒ senh a > 0. Logo:
senh a = A2 − 1.
Analogamente:
senh b =
e
senh c =
Pela Lei dos Cossenos 1:
C = AB −
B2 − 1
C2 − 1.
A2 − 1 B2 − 1 cos γ =⇒ cos γ = √
Analogamente:
cos α = √
e
cos β = √
A2
AB − C
√
.
− 1 B2 − 1
BC − A
√
B2 − 1 C2 − 1
A2
AC − B
√
.
− 1 C2 − 1
Assim:
sen2 γ = 1 − cos2 γ
2
AB − C
√
=1− √
A2 − 1 B2 − 1
2
2
A − 1 B − 1 − A2 B2 + 2ABC − C2
=
(A2 − 1) (B2 − 1)
1 + 2ABC − A2 − B2 − C2
=
.
(A2 − 1) (B2 − 1)
Façamos
D = 1 + 2ABC − A2 − B2 − C2 .
Logo:
√
sen γ = √
D
√
.
A2 − 1 B2 − 1
Analogamente,
sen α = √
√
D
√
B2 − 1 C2 − 1
e
√
sen β = √
D
√
.
A2 − 1 C2 − 1
Assim:
=
sen α sen β
√ BC−A
√ AC−B
√
√
√
+ √A2AB−C
B2 −1 C2 −1 A2 −1 C2 −1
−1 B2 −1
√
√
D
D
√
√
√
√
B2 −1 C2 −1 A2 −1 C2 −1
2
(BC − A) (AC − B) + (AB − C) C − 1
D
ABC2 − B2 C − A2 C + AB + ABC2 − C3 − AB + C
=
D
1 + 2ABC − A2 − B2 − C2
D
=C
= C = C.
D
D
=
Isto é:
cosh c =
.
sen α sen β
Exemplos:
(1) Um triângulo possui ângulos internos 30◦ , 45◦ e 60◦ . Os lados opostos a esses ângulos medem
1, 3120735; 1, 6230837 e 1, 8130936, respectivamente.
De fato:
45°
a
b
60°
30°
c
Logo:
cos 30◦ cos 45◦ + cos 60◦
= 3, 146264 =⇒ a = 1, 8130936
sen 30◦ sen 45◦
◦
◦
◦
cos 60 cos 45 + cos 30
cosh b =
= 1, 991563 =⇒ b = 1, 3120735
sen 60◦ sen 45◦
◦
◦
◦
cos 60 cos 30 + cos 45
cosh c =
= 2, 632993 =⇒ c = 1, 6230837
sen 60◦ sen 30◦
cosh a =
(2) O raio da circunferência inscrita em um triângulo equilátero hiperbólico de lados medindo 1 é
0, 2637354 unidades de medida.
De fato:
b
1
a
1
r
1
Temos α =
senh 12
sen β
2
Assim:
=
π
3.
Pela Lei dos Senos:
senh 12
senh 1
β
β
=⇒
sen
=
= 0, 44340944 =⇒ = 0, 4593989 rad =⇒ β = 0, 9187978 rad = 52, 643◦
sen π2
2
senh 1
2
senh 12
senh r
=
=⇒ r = 0, 2637354.
β
sen π3
sen 2
(3) Dado um triângulo ABC, seja h a altura relativa ao vértice A. Então, colocando h em função dos
lados a, b, c temos
2 cosh a cosh b cosh c − cosh2 b − cosh2 c
−1
h = cosh
senh a
De fato:
A
c
h
b
d
a
B
C
Temos:
cosh c = cosh h cosh (d − a) = cosh h (cosh d cosh a − senh d senh a)
cosh b = cosh h cosh d
cosh2 d − senh2 d = 1
Logo:
⎞
2
cosh
b
cosh
b
senh a⎠
cosh a − −1 +
cosh c = cosh h ⎝
cosh h
cosh h
= cosh b cosh a − − cosh2 h + cosh2 b senh a =⇒
cosh c − cosh b cosh a
= − − cosh2 h + cosh2 b ⇒
senh a
2
cosh c − cosh b cosh a
2
2
=⇒
− cosh h + cosh b =
senh a
2 cosh a cosh b cosh c − cosh2 b − cosh2 c
cosh h =
.
senh a
⎛
3
Comparação Entre as Trigonometrias Hiperbólica e Euclidiana
Estamos tomando como unidade de medida a distância entre dois arcos correspondentes de horocı́rculos
concêntricos cujo quociente é e.
B
D
W
A
C
1
Temos pela Proposição 2.5 que se x é a distância entre AB e CD, então CD = ABe−x . Tomemos x = k1 ;
k > 0.
Podemos considerar k1 como sendo unidade de medida. Logo, para k grande, a unidade de medida é
pequena e os arcos AB e CD possuem quase o mesmo comprimento:
B
D
W
A
1/k
C
Com esta unidade de medida, as fórmulas trigonométricas ficam:
g
c/k
a/k
a/k
b/k
b
a
b/k
c/k
(1) Teorema de Pitágoras Hiperbólico:
cosh
(2) Lei dos Senos:
c
b
a
= cosh cosh ;
k
k
k
senh a
senh bk
senh kc
k
=
=
;
sen α
sen β
sen γ
(3) Lei dos Cossenos 1:
cosh
c
a
b
a
b
= cosh cosh − senh senh cos γ;
k
k
k
k
k
cos β cos γ + cos α
a
=
.
k
sen β sen γ
Note que, fazendo k grande, nossos triângulos são “pequenos”.
x
Da Fórmula de Taylor para senh em torno do zero temos:
k
x n
(n)
senh
(0)
∞
x
x5
x
x3
k
senh =
+
+ ···
= +
3
k n=0
n!
k 3!k
5!k5
cosh
Analogamente:
cosh
∞
x
=
k n=0
cosh(n) (0)
n!
x n
k
=1+
x4
x2
+
+ ···
2
2!k
4!k4
Deste modo; para valores altos de k podemos considerar:
x
x
senh k
k
e
x
x2
cosh 1 + 2
k
2k
(1) Teorema de Pitágoras Hiperbólico:
c
b
a
= cosh cosh =⇒
k
k
k
a2
c2
b2
1 + 2 =⇒
1+ 2 1+ 2
2k
2k
2k
cosh
1+
c2
a2
b2
a2 b2
1
+
+
+
=⇒
2k2
2k2 2k2
4k4
a2 b2
c2 a2 + b2 +
.
2k2
Para k grande temos
c2 a2 + b2
que é, aproximadamente, o Teorema de Pitágoras Euclidiano.
(2) Lei dos Senos:
senh a
senh bk
senh kc
k
=
=
=⇒
sen α
sen β
sen γ
a
k
b
k
c
k
sen α
sen β
sen γ
b
c
a
sen α
sen β
sen γ
=⇒
que é, aproximadamente, a Lei dos Senos Euclidiana.
c
a
b
a
b
= cosh cosh − senh senh cos γ =⇒
k
k
k
k
k
a2
ab
c2
b2
b2
a2 b2 ab
a2
1+ 2 −
1+ 2 1+ 2
− 2 cos γ =⇒
cos γ = 1 + 2 + 2 +
2k
2k
2k
kk
2k
2k
4k4
k
cosh
c2 a2 + b2 − 2 cos γ +
c2 a2 + b2 − 2 cos γ
a2 b2
=⇒
2k2
para k grande, que é, aproximadamente, a Lei dos Cossenos euclidiana.
a
=
=⇒
k
sen β sen γ
a2
1+ 2 =⇒
2k
sen β sen γ
=⇒
1
sen β sen γ
sen β sen γ cos β cos γ + cos α =⇒
− cos α cos (β + γ) =⇒
cos (π − α) cos (β + γ) =⇒
π − α β + γ =⇒
π α + β + γ.
cosh
Conclusão: Para unidades de medida muito pequenas, os triângulos hiperbólicos são “quase” euclidianos,
ou então, que o plano hiperbólico é “localmente euclidiano”.
4
Referências Bibliográficas
[1] Barbosa, J. L. M. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro: SBM - Sociedade Brasileira de
Matemática (Coleção do Professor de Matemática). 1995.
[2] Barbosa, J. L. M. Geometria Hiperbólica. Goiânia: Instituto de Matemática e Estatı́stica da UFG.
2002.
[3] Bonola, R. Non-Euclidean Geometry: a critical and historical study of its development. New York.
Dover Publications, Inc. 1955.
[4]Cabri-Geometre-II - Software de geometria dinâmica - “http://www.cabrilog.com”.
[5] Costa, S. I. R. & Santos, S. A. “Geometrias Não-Euclidianas”. Ciência Hoje. Vol. 11, no. 65,
agosto de 1990, pp. 14-23.
[6] Coutinho, L. Convite às Geometrias Não-Euclidianas. 2a . ed. Rio de Janeiro: Editora Interciência.
2001.
[7] Coxeter, H. M. S. Non-Euclidean Geometry. 5th . ed. Toronto: University of Toronto Press. 1965.
[8] Eves, H. Tópicos de História da Matemática para Uso em Sala de Aula: Geometria. São Paulo:
Atual Editora. 1993.
[9] Greenberg, M. J. Euclidean and Non-Euclidean Geometries. San Francisco: Freeman and Co.
1974.
[10] Heath, T. L. The Thirteen Books of Euclid’s Elements. Vol 1 (Books I and II). 2nd . ed. New York:
[11] Heath, T. L. The Thirteen Books of Euclid’s Elements. Vol 2 (Books III-IX). 2nd . ed. New York:
[12] Heath, T. L. The Thirteen Books of Euclid’s Elements. Vol 3 (Books X-XIII). 2nd . ed. New York:
[13] Kelly, P. & Matthews, G. The Non-Euclidean Hyperbolic Plane: its structure and consistency.
New York: Springer Verlag. 1981.
[14] NonEuclid - Software livre de geometria dinâmica para os modelos do disco e do semiplano de
Poincaré para a geometria hiperbólica - “http://cs.unm.edu/˜joel/NonEuclid/”.
[15] Rocha, L. F. C. Introdução à Geometria Hiperbólica Plana. Rio de Janeiro: 16o . Colóquio
Brasileiro de Matemática - IMPA. 1987.
Ajuste de Curvas e Modelagem
Populacional Brasileira
Adriele Giaretta Biase∗
Edson Agustini†
Universidade Federal de Uberlândia - Ufu - MG
Março de 2007
Resumo
Neste trabalho, tivemos por objetivo encontrar um modelo matemático que
melhor se adapta aos dados dos censos populacionais brasileiros disponı́veis no
site do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatı́stica - IBGE. Utilizamos vários
modelos matemáticos de ajustes de curvas, dentre eles: Linear, Exponencial, Geométrico, Hiperbólico, Exponencial Assintótico e Logı́stico para aproximar a população brasileira. Além desses modelos, fizemos uso do Modelo de Leslie para
crescimento populacional de mulheres para estimar a população brasileira. A análise
dos modelos permite a projeção da população para os próximos anos.
Palavras-chave: Modelo Linear, Modelo Exponencial, Modelo Geométrico, Modelo Hiperbólico, Modelo Exponencial Assintótico, Modelo Logı́stico , Modelo de
Leslie.
1
Introdução
Tendo por base os dados dos censos demográficos brasileiros a partir de 1890 do Ibge
- Instituto Brasileiro de Geografia e Estatı́stica [6], procuramos testar alguns modelos
matemáticos, provenientes de ajustes de curvas, que melhor se adaptam à realidade populacional brasileira. Nosso objetivo, além de encontrar o melhor ajuste, é fazer uma
estimativa demográfica para os próximos anos.
Utilizamos vários modelos matemáticos provenientes de ajustes de curvas para aproximar
os dados dos censos da população brasileira, dentre eles:
(1) Linear, cuja curva possui equação dada por
y = ax + b; a, b ∈ R.
∗
[email protected] Orientanda do Programa Institucional de Iniciação Cientı́fica e Monitoria da Faculdade de Matemática (Promat-Famat-Ufu) de março de 2006 a fevereiro de 2007.
†
[email protected] Professor orientador.
(2) Exponencial, cuja curva possui equação dada por
y = beax; a = 0, b > 0.
(3) Geométrico, cuja curva possui equação dada por
y = axb; a > 0, b > 0, b = 1.
(4) Hiperbólico, cuja curva possui equação dada por
y=
b
1
+ k; a = 0, k ∈ R, x = − .
ax + b
a
(5) Exponencial Assintótico, cuja curva possui equação dada por
y = k − aebx; a = 0, b < 0, k > 0.
(6) Logı́stico, cuja curva possui equação dada por
y=
a
; a, b, λ > 0.
1 + be−λx
Além dos modelos acima, fizemos uso do Modelo de Leslie para crescimento populacional de mulheres de uma população. Este modelo, baseado em matrizes de taxas
de natalidade e sobrevivência por faixas etárias, faz uso de autovalores e autovetores de
operadores lineares para estimar a quantidade de mulheres de uma população.
2
Ajustes de Curvas
2.1
Ajuste Linear
O Ajuste Linear é utilizado para aproximarmos os dados originais da população brasileira
pela equação de uma reta no plano cartesiano (x, y):
y = ax + b, com a, b ∈ R
Para isto, precisamos encontrar os pontos da função S do Método dos Mı́nimos Quadrados:
S = S (a1, ..., ak) =
n
i=1
((a1ϕ1 (xi) + · · · + akϕk (xi)) − yi)2
sendo:
k ≤ n;
ϕj; j = 1, ..., k; funções reais dadas;
(xi, yi) ; i = 1, ..., n; dados observados dos censos do Ibge.
No nosso caso linear, k = 2, ϕ1 (x) = x, ϕ2 (x) = 1, a1 = a e a2 = b:
S (a, b) =
=
=
n
i=1
n
(axi + b − yi)2
[(axi + b)2 − 2yi (axi + b) + y2i]
i=1
n i=1
n
a2x2i + 2abxi + b2 − 2axiyi − 2byi + y2i
n
n
n
n
n
a2x2i + 2abxi + b2 − 2axiyi − 2byi + y2i
i=1
i=1
i=1
i=1 n i=1
n n ni=1 n
2
2
2
2
=
xi a + 2
xi ab + nb − 2
xiyi a − 2
yi b +
yi
=
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
Encontrando os pontos crı́ticos de S:
⎧
n n
n 2
∂S(a, b)
⎪
⎪
=2
xi a + 2
xi b − 2
xiyi = 0
⎨
∂a
i=1 i=1
i=1
n
n
⎪
⎪ ∂S(a, b) = 2 xi a + 2nb − 2 yi = 0
⎩
∂b
i=1
i=1
Logo:
⎧ n n n
2
⎪
⎪
xi a +
xi b = xiyi
⎨
i=1
i=1
i=1
n
n
⎪
⎪
xi a + nb = yi
⎩
i=1
(1)
i=1
Da segunda equação do sistema (1) temos:
n
b=
yi − a
i=1
n
xi
i=1
(2)
n
Substituindo o valor de b da equação (2) na primeira equação do sistema (1) temos:
n n
n yi −
xi a n n
2
i=1
i=1
xi a +
xi = xiyi ⇒
n
i=1
i=1
i=1
n 2
n n
n
2
x i a + yi x i −
xi a
n
n
i=1
i=1 i=1
i=1
= xiyi ⇒
n
i=1
2
n
n
n
n
x2i −
xi
a + yi x i
n
n
i=1
i=1
i=1 i=1
= xiyi ⇒
n
i=1
2
n
n
n
n
n
x2i −
xi
n
a + yi xi = n xiyi,
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
ou seja:
n
n
xiyi − yi xi
i=1 i=1
a = i=1
n 2
n
n x2i −
xi
n
n
i=1
i=1
É fácil mostrar que (a, b) encontrados acima minimizam S.
O Ajuste Linear é adequado quando os pares ordenados de dados (xi, yi) estão aproximadamente alinhados no plano cartesiano.
Vamos ajustar os dados dos censos da população brasileira, nos quais
Ano − 1880
, População ,
(xi, yi) =
10
fornecidos pelo Ibge:
Ano
1890
1900∗
1910∗
1920
1930∗
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
População i: Índice
14.333.915
1
∗
17.438.434
2
∗
24.037.020
3
30.635.605
4
∗
35.935.960
5
41.236.315
6
51.944.397
7
70.070.457
8
93.139.037
9
119.002.706
10
146.592.579
11
171.279.882
12
12
−
−→
−
xi
yi
x2i
xiyi
1 14.333.915
1
14, 333.915
2 17.438.434
4
34.876.868
3 24.037.020
9
72.111.059
4 30.635.605 16
122.542.420
5 35.935.960 25
179.679.800
6 41.236.315 36
247.417.890
7 51.944.397 49
363.610.779
8 70.070.457 64
560.563.656
9 93.139.037 81
838.251.333
10 119.002.706 100 1.190.027.060
11 146.592.579 121 1.612.518.369
12 171.279.882 144 2.055.358.584
(Tabela 1)
78 815.646.307 650 7.291.291.733
i=1
*: população estimada, pois nestas décadas não ocorreram censos.
Utilizando os dados das colunas da tabela acima nas expressões dos coeficientes a e b do
Ajuste Linear temos:
n
n
xiyi − yi xi
12 (7.291.291.733) − (815.646.307) (78)
i=1 i=1
=
= 13.913.222
a = i=1
2
2
n
n
12
(650)
−
(78)
n x2i −
xi
n
n
i=1
n
b=
i=1
yi − a
i=1
n
n
xi
i=1
=
815.646.307 − (13.913.222) (78)
= −22.465.417
12
Assim, obtemos a função:
y (x) = 13.913.222x − 22.465.417
yi
−1880
Na figura abaixo temos as abscissas x = xi = Ano 10
e as ordenadas y = 1.000.000
=
População
. O pontos vermelhos não pertencentes à curva correspondem aos dados originais
1.000.000
dos censos do Ibge, enquanto que a curva esboçada em preto corresponde ao gráfico da
função linear encontrada acima.
y
160
140
120
100
80
60
40
20
0
1.25
2.5
3.75
5
6.25
7.5
8.75
10
11.25
x
É claro que o Ajuste Linear não é bom para modelar dados demográficos, uma vez que
esta curva é ilimitada superiormente. Toda população tende à estabilidade depois de um
certo intervalo de tempo. No entanto, o procedimento de ajuste estudado acima serve
para os modelos apresentados nas próximas subseções.
2.2
Ajuste Linear de Modelos Exponenciais
Neste caso o Ajuste Linear de Modelos Exponenciais é utilizado quando a representação
geométrica dos dados (xi, yi) no plano cartesiano está próxima à curva de equação:
y = beax, com b > 0 e a = 0.
Procedimento de ajuste:
Façamos a mudança de variáveis
z = ln y
(por isso que b > 0 na equação acima). Então:
z = αx + β
sendo α = a e β = ln b. Deste modo, temos o caso anterior, ou seja no caso do Ajuste
Linear.
Procedendo este ajuste com os mesmos dados (xi, yi) da Tabela 1 temos:
Ano
1890
1900∗
1910∗
1920
1930∗
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
−
População i: Índice
14.333.915
1
∗
17.438.434
2
24.037.020∗
3
30.635.605
4
∗
35.935.960
5
41.236.315
6
51.944.397
7
70.070.457
8
93.139.037
9
119.002.706
10
146.592.579
11
171.279.882
12
12
−
−→
xi
yi
zi = ln yi x2i
1 14.333.915
16, 4781
1
2 17.438.434
16, 6742
4
3 24.037.020
16, 9951
9
4 30.635.605
17, 2377
16
5 35.935.960
17, 3972
25
6 41.236.315
17, 5348
36
7 51.944.397
17, 7657
49
8 70.070.457
18, 0650
64
9 93.139.037
18, 3496
81
10 119.002.706 18, 5947 100
11 146.592.579 18, 8032 121
12 171.279.882 18, 9588 144
78 815.646.307
212, 8541
xizi
16, 4781
33, 3484
50, 9853
68, 9507
86, 9862
105, 2090
124, 3598
144, 5201
165, 1464
185, 9466
206, 8348
227, 5057
650 1.416, 2712
i=1
Fazendo o ajuste linear nas variáveis x e z:
n
n
zixi − zi xi
12 (1.416, 2712) − (212, 8541) (78)
i=1 i=1
=
= 0, 2288
α = i=1
2
2
n
n
12
(650)
−
(78)
n x2i −
xi
n
n
i=1
n
β=
zi − α
i=1
n
i=1
xi
i=1
n
=
212, 8541 − (0, 2288) (78)
= 16, 2506
12
que, substituidos em z = αx + β:
z = 0, 2288x + 16, 2506
Como:
α = a = 0, 2288
temos:
β = ln b =⇒ b = eβ =⇒ b = e16,2506 =⇒ b = 11.416.799, 9932
Logo:
y (x) = 11.416.799, 9932e0,2288x
yi
−1880
=
População
1.000.000
função exponencial encontrada acima.
y
175
150
125
100
75
50
25
2.5
5
7.5
10
x
Observemos que, visualmente, a curva encontrada ajusta-se bem aos dados disponı́veis
até o momento para a população brasileira. No entanto, assim como no Ajuste Linear,
o Ajuste Exponencial feito acima também não é bom para modelar dados demográficos,
uma vez que a curva é ilimitada superiormente e o crescimento da população certamente
tenderá à estabilidade.
2.3
Ajuste Linear de Modelos Geométricos
Neste caso o Ajuste Linear de Modelos Geométricos é utilizado quando a representação
geométrica dos dados (xi, yi) no plano cartesiano está próxima da curva de equação:
y = axb, com a > 0, b > 0 e b = 1 .
(obs.: se b < 0, o ajuste não é chamado de geométrico. No caso b = −1 é o ajuste
hiperbólico que veremos na próxima subseção)
Temos que fazer mudanças de variáveis de forma que:
z = ln y
(por isso que a > 0) e
w = ln x
Logo:
z = αw + β
sendo α = b e β = ln a e retornamos ao caso linear.
Procedendo este ajuste com os mesmos dados (xi, yi) da Tabela 1 temos:
Ano
1890
1900∗
1910∗
1920
1930∗
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
−
i: Índice
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12
−→
xi
yi (pop.)
zi = ln yi wi = ln xi
1 14.333.915
16, 4781
0, 0000
2 17.438.434
16, 6742
0, 6931
3 24.037.020
16, 9951
1, 0986
4 30.635.605
17, 2377
1, 3863
5 35.935.960
17, 3972
1, 6094
6 41.236.315
17, 5348
1, 7918
7 51.944.397
17, 7657
1, 9459
8 70.070.457
18, 0650
2, 0794
9 93.139.037
18, 3496
2, 1972
10 119.002.706 18, 5947
2, 3026
11 146.592.579 18, 8032
2, 3979
12 171.279.882 18, 9588
2, 4849
ziwi
0, 0000
11, 5577
18, 6710
23, 8965
27, 9998
31, 4182
34, 5704
37, 5651
40, 3182
42, 8158
45, 0880
47, 1109
78 815.646.307
361, 0116 39, 5749
212, 8541
19, 9872
w2i
0, 0000
0, 4805
1, 2069
1, 9218
2, 5903
3, 2104
3, 7866
4, 3241
4, 8278
5, 3019
5, 7499
6, 1748
i=1
Fazendo o ajuste linear nas variáveis w e z temos:
n
n
wizi − zi wi
12 (361, 0116) − (19, 9872) (212, 8541)
i=1 i=1
α = i=1
=
= 1, 0314
2
2
n
n
12
(39,
5749)
−
(19,
9872)
n w2i −
wi
n
n
i=1
n
n
i=1
i=1
zi − α
β=
n
i=1
wi
=
212, 8541 − 1, 0314 (19, 9872)
= 16, 0199
12
Então:
z = 1, 0314w + 16, 0199
Mas:
b = α = 1, 0314
e
β = ln a =⇒ a = eβ = e16,0199 = 9.065.001, 4632
Logo:
y (x) = 9.065.001, 4632x1,0314
Assim como no Ajuste Linear, o Ajuste Geométrico feito acima também não é bom para
modelar dados demográficos, uma vez que a curva é ilimitada superiormente.
2.4
Ajuste Linear de Modelos Hiperbólicos
Neste caso o Ajuste Linear de Modelos Hiperbólicos é utilizado quando a representação
y=
b
1
+ k, com a = 0 e x = − .
ax + b
a
Este ajuste é bastante utilizado quando há uma tendência de estabilidade (comportamento assintótico horizontal) nos dados analisados, como no caso dos dados de censos
populacionais.
Temos dois casos:
(1)
y=
b
1
com x = − e a = 0.
ax + b
a
Façamos a mudança de variável:
z=
1
y
Logo:
z = αx + β
sendo α = a e β = b e retornamos ao caso linear.
(2)
y=
1
+ k com a, x = 0.
ax
z=
1
x
Logo:
y = αz + β
sendo α =
1
e β = k e temos o caso linear.
a
O ajuste linear (2) é mais adequado para nossos fins pois, no ajuste (1) , quando x → +∞
temos y → 0, o que não ocorre na população real. Assim, procedendo este ajuste com os
mesmos dados (xi, yi) da Tabela 1 temos:
Ano
População
i: Índice
1890
1900∗
1910∗
1920
1930∗
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
14.333.915
17.438.434∗
24.037.020∗
30.635.605
35.935.960∗
41.236.315
51.944.397
70.070.457
93.139.037
119.002.706
146.592.579
171.279.882
−
−
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12
−→
i=1
z2i
ziyi
1 14.333.915
2 17.438.434
3 24.037.020
4 30.635.605
5 35.935.960
6 41.236.315
7 51.944.397
8 70.070.457
9 93.139.037
10 119.002.706
11 146.592.579
12 171.279.882
1
xi
1, 0000
0, 5000
0, 3333
0, 2500
0, 2000
0, 1667
0, 1429
0, 1250
0, 1111
0, 1000
0, 0909
0, 0833
1, 0000
0, 2500
0, 1111
0, 0625
0, 0400
0, 0278
0, 0204
0, 0156
0, 0123
0, 0100
0, 0083
0, 0069
14, 333, 915, 00
8, 719, 217, 00
8, 012, 339, 83
7, 658, 901, 25
7, 187, 192, 00
6, 872, 719, 17
7, 420, 628, 14
8, 758, 807, 13
10, 348, 781, 89
11, 900, 270, 60
13, 326, 598, 09
14, 273, 323, 50
78 815.646.307
3, 1032
1, 5650 118.812.693, 5977
xi
yi
zi =
Fazendo o ajuste linear na variávis z e y:
n
n
ziyi − yi zi
12 (118.812.693, 5977) − (815.646.307) (3, 1032)
i=1 i=1
= −120.808.064
α = i=1
n 2 =
n
2
12 (1, 5650) − (3, 1032)2
n zi −
zi
n
n
n
β=
i=1
yi − α
i=1
n
n
i=1
zi
i=1
=
815646307 − (−120.808.064) (3, 1032)
= 99.211.598
12
Logo:
k = β = 99.211.598
e
1
= α = −120.808.064
a
Colocando estes resultados na fórmula:
y (x) = −
120.808.064
+ 99.211.598
x
∼ 99 milhões,
Observemos que à medida que x aumenta, y (x) tende ao valor assintótico k =
isso é muito inferior ao valor assintótico verdadeiro. No último censo, no ano 2000, a
população brasileira já era superior a 170 milhões de pessoas. Deste modo, este modelo
não é adequado para a modelagem da população brasileira.
2.5
Ajuste Linear de Modelos Exponenciais Assintóticos
Neste caso o Ajuste Linear de Modelos Exponenciais Assintóticos é utilizado quando a
representação geométrica dos dados (xi, yi) no plano cartesiano está próxima à curva de
equação:
y = aebx + k, com k > 0, b < 0 e a = 0
Assim como no modelo hiperbólico, este ajuste pode ser usado quando há tendência de
estabilidade (comportamento assintótico horizontal) dos dados analisados.
Façamos as mudanças de variáveis:
z = ln (y − k) ; se a > 0
e
z = ln (k − y) ; se a < 0.
Logo:
z = αx + β
sendo α = b, β = ln |a| e temos o caso linear.
Precisamos do valor de k para proceder a mudança de variáveis acima. O Método de
Ford-Walford, que introduzimos a seguir, fornece uma estimativa da constante k a partir
dos dados (xi, yi) .
Método de Ford-Walford
(para estimativa de k)
Seja
C = (xi, yi) ∈ R2 : i = 1, ..., n; xi < xj para i < j
conjunto de dados tais que yi parece tender a um determinado valor assintótico k à medida
que xi cresce, ou seja, parece que:
lim yi = k,
i→∞
se pudéssemos fazer i → ∞.
Definamos a função f tal que:
f (yi) = yi+1
Consideremos o conjunto de dados
D = {(yi, f (yi)) : i = 1, ..., n − 1}
e façamos um Ajuste Linear com esses dados:
f (y) = αy + β.
Logo, é imediato que:
∼
k=
β
.
1−α
Como populações humanas tendem à estabilidade, podemos tentar fazer o ajuste utilizando a curva y = aebx + k com a, b < 0.
Tentando encontrar um valor adequado para k pelo Método de Ford-Walford, utilizando
a Tabela 1, temos:
Ano
1890
1900∗
1910∗
1920
1930∗
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
11
−→(∗)
yi
f (yi)
yif(yi)
y2i
14.333.915 17.438.434
249.961.030.689.110
205.461.119.227.225
17.438.434 24.037.020
419.167.978.107.463
304.098.980.372.356
24.037.020 30.635.605
736.388.634.779.297
577.778.306.443.380
30.635.605 35.935.960 1.100.919.875.855.800
938.540.293.716.025
35.935.960 41.236.315 1.481.866.566.387.400 1.291.393.221.121.600
41.236.315 51.944.397 2.141.995.517.177.050 1.700.433.674.779.220
51.944.397 70.070.457 3.639.767.636.379.430 2.698.220.379.693.610
70.070.457 93.139.037 6.526.294.887.129.910 4.909.868.944.188.850
93.139.037 119.002.706 11.083.797.437.234.100 8.674.880.213.287.370
119.002.706 146.592.579 17.444.913.580.518.800 14.161.644.035.322.400
146.592.579 171.279.882 25.108.359.633.195.700 21.489.384.217.871.200
171.279.882
−
−
−
644.366.425 801.312.392 69.933.432.777.454.000 56.951.703.386.023.300
i=1
* somas das linhas de 1 a 11.
Logo:
n
α=
n
n
n
yi f (yi)
11 (69.933.432.777.454.000) − (644.366.425) (801.312.392)
i=1
i=1 i=1
=
n 2
n
11 (56.951.703.386.023.300) − (644.366.425)2
n yi2 −
yi
yif (yi) −
i=1
i=1
= 1, 197236504
n
n
f (yi) − α yi
801.312.392 − (1, 197236504) (815.646.307)
i=1
=
= 2.713.944, 188
β = i=1
n
11
Assim:
β
= −13.759.847, 35
1−α
O valor assintótico k < 0 encontrado acima revela que não podemos encontrar um bom
ajuste da população brasileira com o Modelo Exponencial Assintótico.
Para que o Método de Ford-Walford funcione bem é necessário que tenhamos vários dados
da tabela do Ibge que apontem tendência de estabibilidade da população brasileira. Como
podemos observar, esse fato não ocorre.
∼
k=
2.6
Ajuste Linear de Modelos Logı́sticos
Neste caso, o Ajuste Linear de Modelos Logı́sticos é utilizado quando a representação
y=
a
be−λx + 1
, com a, b, λ > 0.
verhulst pearl
Este ajuste pode ser usado quando os seguintes itens ocorrem:
(1) Há tendência de estabilidade (comportamento assintótico horizontal) dos dados analisados.
(2) A variável dependente é crescente.
(3) A taxa de crescimento relativo da variável dependente é aproximadamente linear,
y − yi
pode ser ajustado com boa
ou seja, C = yi, ti : i = 1, ..., n − 1 com ti = i+1
yi
precisão por uma reta t = ay + b.
(4) Há uma mudança de concavidade na curva ajustada.
O modelo de crescimento logı́stico de população foi proposto originalmente pelo matemático belga Pierre F. Verhurst em 1837 e utilizado com bastante êxito pelos demógrafos
americanos R. Pearl e L. Reed no inı́cio do Século XX na modelagem da população norte
americana. Este modelo foi concebido a partir da suposição de que a taxa de crescimento
relativo t de uma população não permanece constante ao longo do tempo, como pressupõe
o modelo malthusiano (exponencial), onde t é constante e a taxa de crescimento absoluto
y da população é proporcional à população, ou seja, y = ky. No caso logı́stico, a taxa
de crescimento relativo t da população varia linearmente com a população, ou seja, t =
ay+b, e diminui à medida que a população
aumenta
(a < 0) . Logo, a taxa de crescimento
absoluto y da população é tal que y = ay + b y. É claro que, quando a população y é
pequena, a taxa t é aproximamente constante (aproximadamente b) e o modelo logı́stico
é muito próximo do modelo malthusiano (exponencial).
z = ln
y
a
1−
y
a
Logo:
z = αx + β
sendo α = λ e β = − ln b e temos o caso linear.
Para encontrar o valor assintótico a, notemos que a taxa de crescimento relativo t tende
a zero à medida que a população tende a a, ou seja,
(t → 0) ⇔ (y → a) .
Assim, se encontrarmos a e bem t = ay + b, teremos
∼ aa + b ⇒ a =
∼ −b .
t = ay + b ⇒ 0 =
a
Logo, fazendo um ajuste linear nas variáveis y e t, utilizando a Tabela 1, podemos encontrar a:
Ano
yi
yi+1
1890
1900∗
1910∗
1920
1930∗
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
11
−→(∗)
14.333.915
17.438.434
24.037.020
30.635.605
35.935.960
41.236.315
51.944.397
70.070.457
93.139.037
119.002.706
146.592.579
171.279.882
17.438.434
24.037.020
30.635.605
35.935.960
41.236.315
51.944.397
70.070.457
93.139.037
119.002.706
146.592.579
171.279.882
−
644.366.425
801.312.392
i=1
*somas das linhas de 1 a 11.
ti =
yi+1 −yi
yi
yi+1 ti
y2i+1
0, 216585559
0, 378393238
0, 274517625
0, 173012904
0, 14749446
0, 259676016
0, 348951206
0, 329219774
0, 277688817
0, 2318424
0, 16840759
−
3.776.912, 985
9.095.445, 631
8.410.013, 518
6.217.384, 813
6.082.127, 996
13.488.714, 07
24.451.170, 5
30.663.212, 69
33.045.720, 65
33.986.375, 38
28.844.832, 21
−
304.098.980.372.356
577.778.306.443.380
938.540.293.716.025
1.291.393.221.121.600
1.700.433.674.779.220
2.698.220.379.693.610
4.909.868.944.188.850
8.674.880.213.287.370
14.161.644.035.322.400
21.489.384.217.871.200
29.336.797.977.933.900
−
2, 806
198.061.910, 450
86.083.040.244.730.000
Assim:
n
n
tiyi+1 − ti yi+1
11 (198.061.910, 450) − (2, 806) (801.312.392)
i=1 i=1
a = i=1
2 =
n
n
11 (86.083.040.244.730.000) − (801.312.392)2
n y2i+1 −
yi+1
n
n
i=1
i=1
= −0, 000000000228446
n
n
ti − a yi+1
2, 806 − (−0, 000000000228446) (801.312.392)
i=1
=
= 0, 271713265
b = i=1
n
11
ou seja,
t = −0, 000000000228446y + 0, 271713265
Como t → 0, temos y →
0, 271713265
(valor assintótico a), ou seja:
0, 000000000228446
∼
a=
0, 271713265
= 1.189.400.039
0, 000000000228446
Notemos que o valor assintótico a encontrado está exageradamente alto para a população
brasileira (mais de um bilhão de pessoas!). Na próxima subseção iremos considerar aos
dados dos censos populacionais a partir de 1940 para tornar o ajuste mais preciso. Por
enquanto, continuemos o ajuste logı́stico com o valor de a encontrado acima.
Fazendo o ajuste linear nas variáveis x e z, utilizando a Tabela 1, temos:
Ano
i: Índice
1890
1900∗
1910∗
1920
1930∗
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12
−→
−
i=1
xi
yi
zi = ln
yi
a
yi
a
xizi
x2i
1 14.333.915
2 17.438.434
3 24.037.020
4 30.635.605
5 35.935.960
6 41.236.315
7 51.944.397
8 70.070.457
9 93.139.037
10 119.002.706
11 146.592.579
12 171.279.882
1−
−4, 406451293
−4, 207757588
−3, 881192801
−3, 632946679
−3, 468786471
−3, 326599883
−3, 086375296
−2, 770983933
−2, 465567181
−2, 196638965
−1, 962014668
−1, 782414267
−4, 406451293 1
−8, 415515177 4
−11, 6435784
9
−14, 53178671 16
−17, 34393235 25
−19, 9595993 36
−21, 60462707 49
−22, 16787147 64
−22, 19010463 81
−21, 96638965 100
−21, 58216135 121
−21, 38897121 144
78 815.646.307
−37, 18772903
−207, 2009886 650
Assim:
n
n
xizi − xi zi
12 (−207, 2009886) − (−37, 18772903) (78)
i=1 i=1
α = i=1
=
= 0, 241393357
2
n
n
12 (650) − (78)2
2
n xi −
xi
n
n
i=1
n
β=
zi − α
i=1
n
i=1
xi
i=1
n
=
−37, 18772903 − (0, 241393357) (78)
= −4, 668034239
12
ou seja:
z = 0, 241393357x − 4, 668034239
Logo:
α = λ = 0, 241393357
e:
β = − ln b =⇒ b = e−β =⇒ b = e4,668034239 = 106, 4882062
Assim:
y (x) =
1.189.400.039
106, 4882062e−0,241393357x + 1
yi
−1880
=
População
1.000.000
função logı́stica encontrada acima.
y
150
125
100
75
50
25
2.5
5
7.5
10
x
até o momento para a população brasileira. No entanto, como comentado acima, o valor
assintótico encontrado é irreal para a população brasileira.
2.7
Ajuste Linear de Modelos Logı́sticos: a partir de 1940
Devido as grandes imigrações da primeira metade do Século XX, vamos fazer um Ajuste
Logı́stico a partir de 1940, uma vez que os dados entre 1890 e 1940 fornecidos pelos censos
do Ibge não representam o crescimento natural da população brasileira. Nosso objetivo
é fazer uma projeção da população brasileira para os próximos anos e encontrar um valor
de estabilidade mais realı́stico que o encontrado na subseção anterior.
Sabemos que a equação que define o Ajuste Logı́stico é:
y=
a
be−λx
+1
; a, b, λ > 0.
Fazendo os procedimentos de ajuste com a mudança de váriavel:
y a
z = ln
1 − ay
temos:
z = αx + β
sendo α = λ e β = − ln b e temos que fazer um Ajuste Linear.
Como
na
subseção anterior, encontrando o valor de a utilizando um ajuste linear em
yi, ti , utilizando a Tabela 1, temos:
Ano
yi
yi+1
1950
1960
1970
1980
1990
2000
5
−→(∗)
51.944.397
70.070.457
93.139.037
119.002.706
146.592.579
171.279.882
70.070.457
93.139.037
119.002.706
146.592.579
171.279.882
−
693.265.373
595.084.661
ti =
yi+1 −yi
yi
yi+1 ti
y2i+1
0, 348951206
0, 329219774
0, 277688817
0, 2318424
0, 16840759
−
24.451.170, 5
30.663.212, 69
33.045.720, 65
33.986.375, 38
28.844.832, 21
−
4.909.868.944.188.850
8.674.880.213.287.370
14.161.644.035.322.400
21.489.384.217.871.200
29.336.797.977.933.900
−
1, 3220
144.477.776, 2212
76.884.776.568.603.800
i=1
*somas das linhas de 1 a 5.
Assim:
n
n
tiyi+1 − ti yi+1
5 (144.477.776, 2212) − (1, 3220) (595.084.661)
i=1 i=1
a = i=1
=
2
n
n
5 (76.884.776.568.603.800) − (595.084.661)2
2
n yi+1 −
yi+1
n
n
i=1
i=1
= −0, 0000000021
n
n
ti − a yi+1
1, 3220 − (−0, 0000000021) (595.084.661)
i=1
=
= 0, 517038293
b = i=1
n
5
Logo:
t = −0, 0000000021y + 0, 517038293
0, 517038293
Como t → 0 temos y →
, ou seja:
0, 0000000021
∼ 0, 517038293 = 243.575.077, 6
a=
0, 0000000021
que é um valor assintótico bastante razoável para a população brasileira (quase 244 milhões
de pessoas!).
Fazendo o ajuste linear nas variáveis x e z, utilizando a Tabela 1, temos:
zi = ln
yi
a
Ano
i: Índice
xi
yi
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
41.236.315
51.944.397
70.070.457
93.139.037
119.002.706
146.592.579
171.279.882
1−
−1, 590624035
−1, 305396123
−0, 906702966
−0, 479444616
−0, 045740613
0, 413126632
0, 766040604
−→
21 693.265.373
−3, 148741118
6
−
xizi
yi
a
x2i
0
0
−1, 305396123 1
−1, 813405933 4
−1, 438333849 9
−0, 182962451 16
2, 06563316
25
4, 596243622 36
1, 921778427
91
i=0
Logo:
n
n
zixi − zi xi
7 (1, 921778427) − (−3, 148741118) (21)
i=0 i=0
=
= 0, 406000064
α = i=0
2
2
n
n
7
(91)
−
(21)
n x2i −
xi
n
n
i=0
n
β=
zi − α
i=0
n
i=0
xi
i=0
n
=
−3, 148741118 − (0, 406000064) (21)
= −1, 66782035
7
ou seja:
z = 0, 406000064x − 1, 66782035
Logo:
α = λ = 0, 406000064
e:
β = − ln b =⇒ b = e−β =⇒ b = e1,66782035 = 5, 300601743
Assim:
y (x) =
243575077, 6
5, 300601743e−0,406000064x + 1
yi
−1940
=
População
1.000.000
função logı́stica encontrada acima.
y
150
125
100
75
50
1.25
2.5
3.75
5
6.25
x
até o momento para a população brasileira, além de possuir um valor assintótico (≈ 244
milhões) bastante razoável.
3
3.1
O Modelo de Leslie para Crescimento Populacional
Introdução
Um dos modelos de crescimento populacional utilizado por demógrafos é o assim chamado
Modelo de Leslie, desenvolvido na década de 1940 pelo estatı́stico P. H. Leslie (referência
[4]). Este modelo descreve o crescimento da parte fêmea de uma população animal ou
humana por faixas etárias de igual duração.
Nosso objetivo nesta primeira subseção é introduzir o principal objeto de estudo desse
modelo: a Matriz de Leslie, bem como algumas definições e considerações que serão úteis
na próxima subseção.
Suponhamos que a idade máxima atingida por qualquer fêmea da população estudada
seja L anos (ou alguma outra unidade de tempo). Se dividirmos a população em n faixas
etárias, então cada faixa terá L/n anos de duração.
(t)
Adotemos a seguinte nomenclatura: x1 fêmeas na primeira faixa etária no instante t,
(t)
x2 fêmeas na segunda faixa etária no instante t, e assim por diante. Como são n faixas
estárias, formamos um vetor-coluna no instante t, indicado por x(t):
⎡
⎢
⎢
x(t) = ⎢
⎣
(t)
x1
(t)
x2
..
.
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
(t)
xn
que chamamos de vetor de distribuição etária no instante t.
À medida que o tempo avança, o número de fêmeas dentro de cada uma das n faixas
etárias muda em virtude de três processos biológicos: nascimento, morte e envelhecimento.
Descrevendo esses três processos quantitativamente, veremos como projetar o vetor de
distribuição etária no instante t para o futuro.
A maneira mais fácil de estudar o processo de envelhecimento é observar a população a
intervalos discretos de tempo, digamos t1, t2, t3, ..., tk, ... O Modelo de Leslie requer que
a duração entre dois tempos de observação sucessivos seja igual à duração de uma faixa
etária.
Com essa hipótese, todas as fêmeas na (i + 1)-ésima faixa etária no instante tk estavam na
i-ésima faixa no instante tk−1, ou seja, os indivı́duos que sobreviverem da faixa i contados
no instante tk−1 constituirão a faixa (i + 1) na contagem do instante tk.
Os processos de nascimento e morte entre dois tempos de observações sucessivas podem
ser descritos por meio dos seguintes parâmetros demográficos:
⎧
⎨ Número médio de fêmeas nascidas
por mãe durante o tempo em que a
ai, (i = 1, 2, 3, ..., n)
⎩
mãe está na i-ésima faixa etária
bi, (i = 1, 2, 3, ..., n − 1)
⎧
⎨ Fração de fêmeas na i-ésima faixa
etária que se espera que vá sobreviver e
⎩
passar para a (i + 1)-ésima faixa etária.
Pelas definições acima e, em condições normais, temos como conseqüências:
(i) ai ≥ 0 para i = 1, 2, ..., n.
(ii) 0 < bi ≤ 1 para i = 1, 2, ..., n − 1.
Notemos que não permitimos qualquer bi ser zero, pois então nenhuma fêmea sobreviveria
além da i-ésima faixa etária. Também vamos supor que pelo menos um dos ai é positivo,
de modo que há algum nascimento. Qualquer faixa etária para a qual o correspondente
valor de ai é positivo é chamada uma faixa etária fértil.
Deste modo, no instante tk, as fêmeas na faixa etária 1 são exatamente as filhas nascidas
entre os instantes tk−1 e tk de todas as faixas etárias. Assim, podemos escrever de modo
genérico:
número de
fêmeas na
faixa etária
=
1 no tempo tk
número de filhas
nascidas das
fêmeas na faixa
+
etária 1 entre
os tempos tk−1 e tk
···
+
número de filhas
nascidas das
fêmeas na faixa
etária n entre os
tempos tk−1 e tk
ou, matematicamente,
(t )
(t
)
(t
)
(tk−1 )
x1 k = a1x1 k−1 + a2x2 k−1 + ... + anxn
(3)
As fêmeas na (i + 1)-ésima faixa etária (i = 1, 2, ..., n − 1) no instante tk são aquelas que
estavam na i-ésima faixa etária no instante tk−1 e que ainda vivem no instante tk. Assim,
número de fêmeas na
faixa etária i + 1 no
tempo tk
=
fração de fêmeas na faixa
etária i que sobrevive e passa
para a faixa etária i + 1
número de fêmeas na
.
faixa etária i no
instante tk−1.
ou seja:
(t )
(t
)
k
xi+1
= bixi k−1 , i = 1, 2, ..., n − 1
(4)
sendo bi a fração dos indivı́duos que sobrevivem da faixa i para a faixa (i + 1) daqui a
L/n anos.
Deste modo, a quantidade de indivı́duos na faixa (i + 1) no instante tk é proveniente
da taxa de sobrevivência da faixa i no instante tk−1 multiplicada pela quantidade de
indivı́duos que havia na faixa i no instante tk−1.
Usando notação matricial, podemos juntar as equações (3) e (4) e escrever:
⎡ (t ) ⎤ ⎡
⎤ ⎡ (tk−1 ) ⎤
x1 k
x
a1 a2 a3 ... an−1 an
⎢ (tk ) ⎥ ⎢
⎢ 1(tk−1 ) ⎥
⎥
⎥
⎥
⎢ x2
b1 0
0 ...
0
0 ⎥ ⎢ x2
⎢ (tk ) ⎥ ⎢
⎢ (tk−1 ) ⎥
⎥
⎥=⎢
⎥
⎢ x3
⎢
0
b
0
...
0
0
2
⎥ . ⎢ x3
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎢
⎥
.
.
.
.
.
..
⎥ ⎣ ..
⎥
⎢ ..
..
.. . . .
..
.. ⎦ ⎢
.
⎦
⎦
⎣ .
⎣
(tk )
(tk−1 )
0
0
0
0
...
b
n−1
xn
xn
ou, mais compactamente:
x(tk ) = Lx(tk−1 ), k = 1, 2, ...
Definimos L como sendo a Matriz de Leslie:
⎡
a1 a2 a3 ...
⎢ b1 0
0 ...
⎢
⎢ 0 b2 0 ...
L=⎢
⎢ ..
..
.. . .
⎣ .
.
.
.
0
0
0 ...
an−1 an
0
0
0
0
..
..
.
.
bn−1 0
(5)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Utilizando a equação (5) podemos escrever:
x(t1 ) = Lx(t0 )
x(t2 ) = Lx(t1 ) = L2x(t0 )
..
.
x(tk ) = Lx(tk−1 ) = Lkx(t0 )
Assim, se conhecemos a distribuição etária inicial x(t0 ) e a Matriz de Leslie L, podemos
determinar a distribuição etária das fêmeas em tempos posteriores.
Utilizando autovalores e autovetores apresentamos na próxima subseção, a partir da Matriz de Leslie, um estudo mais qualitativo do crescimento populacional de fêmeas, bem
como procedimentos para determinar a proporção de fêmeas em cada faixa etária para
intervalos longos de tempo.
3.2
A Matriz de Leslie: Autovalores, Autovetores e Projeções
Populacionais
Nesta subseção, pretendemos empreender um estudo da Matriz de Leslie apresentada na
subseção anterior com o objetivo de fazer projeções populacionais de fêmeas por faixas
etárias.
Embora as equações (5) dêem a distribuição etária da população em qualquer instante tk,
elas não dão automaticamente uma idéia geral da dinâmica do processo de crescimento.
Para ter isso, precisamos investigar os autovalores e autovetores da Matriz de Leslie.
Recordando o conceito de autovalor e autovetor de uma matriz quadrada:
Seja L uma matriz quadrada de ordem n com entradas reais. Suponha que exista λ ∈ C e
⎤ ⎡
⎤
⎡
0
y1
⎢ y2 ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎥ ⎢
⎥
⎢
y = ⎢ .. ⎥ = ⎢ .. ⎥
⎣ . ⎦ ⎣ . ⎦
0
yn
um vetor com n entradas reais tais que:
Ly = λy
Nessas condições, chamamos λ de autovalor da matriz L e y autovetor de L associado ao
autovalor λ.
O polinômio caracterı́stico da matriz L é definido como
p(λ) = det(λIdn − L)
sendo Idn a matriz identidade de ordem n.
Da Álgebra Linear sabemos que os autovalores de L são as raı́zes do polinômio caracterı́stico de L.
O polinômio caracterı́stico de uma Matriz de Leslie genérica é dado por:
p(λ) = det(λIdn −L) = λn −a1λn−1 − a2b1λn−2 −a3b1b2λn−3 − . . .−anb1b2 . . . bn−1 (6)
Para analisar as raı́zes do polinômio caracterı́stico de L é conveniente introduzir a função
q(λ) = 1 +
p(λ)
−λn
Logo:
λn − a1λn−1 − a2b1λn−2 − a3b1b2λn−3 − . . . − anb1b2 . . . bn−1
q(λ) = 1 +
−λn
a1 a2b1
anb1b2 . . . bn−1
+ 2 + ... +
q(λ) = 1 − 1 +
λ
λ
λn
a1 a2b1
anb1b2 . . . bn−1
+ 2 + ... +
q(λ) =
λ
λ
λn
Usando esta função, a equação caracterı́stica p(λ) = 0 é equivalente a q(λ) = 1 para
p(λ)
0
λ = 0. De fato, se 0 é uma raiz de p(λ), temos p(λ) = 0 e q(λ) = 1 + −λ
n = 1 + −λn = 1,
ou seja, q(λ) = 1.
O gráfico de q(λ) possui o aspecto próximo de um ramo de hipérbole equilátera contido
no primeiro quadrante.
Como todos os ai e bi são não-negativos, vemos que q(λ) é monotonamente decrescente
para λ maior do que zero. Além disto, q(λ) tem uma reta assı́ntota vertical em λ = 0 e
tende a zero quando λ → ∞. Conseqüentemente, existe um único λ, digamos λ = λ1, tal
que q(λ1) = 1, ou seja: a matriz L tem um único autovalor real positivo.
Seja y um autovetor de L associado ao autovalor λ1 > 0 tal que q(λ1) = 1.
Logo:
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎤ ⎡
a1 a2 a3 ... an−1 an
λ1y1
y1
⎢ b1 0
⎥ ⎢
⎥
⎢
0 ...
0
0 ⎥
⎢
⎥ ⎢ y2 ⎥ ⎢ λ1y2 ⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
0
0 ⎥
Ly = λ1y ⇒ ⎢ 0 b2 0 ...
⎥ . ⎢ y3 ⎥ = ⎢ λ1y3 ⎥ ,
⎢ ..
⎥
⎢
⎥
⎢
.
. ⎥
..
.. . .
..
..
⎣ .
.
.
.
.
. ⎦ ⎣ .. ⎦ ⎣ .. ⎦
yn
λ1yn
0
0
0 ... bn−1 0
ou seja:
⎧
⎪
a1y1 + a2y2 + a3y3 + ... + an−1yn−1 + anyn
⎪
⎪
⎪
⎪
b1y1
⎪
⎪
⎨
b2y2
b3y3
⎪
⎪
⎪
..
⎪
⎪
.
⎪
⎪
⎩
bn−1yn−1
=
=
=
=
λ1y1
λ1y2
λ1y3
λ1y4
..
=
.
= λ1yn
Resolvendo o sistema obtemos todas as coordenadas de um autovetor y associado ao
autovalor λ1 :
⎧
y1 = 1
⎪
⎪
b1
⎪
⎪
⎪
⎪ y2 = bλ1 b
⎪
⎪
⎨ y3 = λ1 2 2
1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
y4 = b1 bλ32 b3
1
..
.
···bn−1
yn = b1 bλ2n−1
1
ou seja:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
y=⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
b1
λ1
b1 b2
λ21
b1 b2 b3
λ31
..
.
b1 b2 ···bn−1
λn−1
1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Observamos que as coordenadas de y são todas positivas. Também pode ser mostrado
que λ1 tem multiplicidade algébrica 1, ou seja, λ1 não é raiz repetida do polinômio caracterı́stico de L. Como λ1 tem multiplicidade 1, o autoespaço correspondente tem dimensão
1 e, portanto, qualquer autovetor associado a λ1 é proporcional a y.
Podemos resumir os resultados discutidos acima no seguinte teorema:
Teorema 1 (existência de um autovalor positivo) Uma Matriz de Leslie L tem um único
autovalor real positivo λ1. Esse autovalor tem multiplicidade algébrica 1 e existe um
autovetor y associado a λ1 cujas entradas são todas positivas.
O comportamento ao longo do tempo da distribuição etária da população de fêmeas
é determinado pelo autovalor positivo λ1 e seu autovetor de coordenadas positivas y
encontrado acima. Os próximos resultados ratificam essa afirmação.
Teorema 2 (autovalores de uma Matriz de Leslie) Se λ1é o único autovalor positivo de
uma Matriz de Leslie L e λk é qualquer outro autovalor real ou complexo de L, então
|λk| ≤ λ1.
Para os nossos propósitos, a conclusão do teorema acima não é suficientemente forte.
Gostarı́amos que também valesse |λk| < λ1 pois, caso contrário, a população de fêmeas
nas faixas etárias ficam periódicas. Quando |λk| < λ1, dizemos que λ1 é um autovalor
dominante de L. A seguir enunciamos uma condição suficiente para um autovalor de L ser
dominante.
Teorema 3 (autovalor dominante) Se duas entradas sucessivas ai e ai+1 da primeira
linha de uma Matriz de Leslie L são não nulas, então o autovalor real positivo λ1 de L é
dominante.
Assim, se a população de fêmeas tem duas faixas etárias férteis sucessivas, então a Matriz
de Leslie tem um autovalor dominante. Isto sempre ocorre com populações reais se a faixa
etária for tomada suficientemente pequena. Em nosso estudo, vamos supor sempre que a
condição desse teorema está satisfeita.
No que segue, vamos supor que L é diagonalizável, ou seja, que existe uma matriz P
inversı́vel tal que:
⎤
⎡
λ1 0 0 · · · 0
⎢ 0 λ2 0 · · · 0 ⎥
⎥ −1
⎢
L = P. ⎢ ..
..
.. . . .. ⎥ .P
⎣ .
. . ⎦
.
.
0
0
0 · · · λn
sendo λ1, ..., λn autovalores de L.
A Matriz de Leslie ser diagonalizável não é realmente necessário para o que queremos
estudar, mas simplifica bastante a argumentação. Neste caso, L tem n autovalores,
λ1, λ2, λ3, ..., λn, não necessariamente distintos, e n autovetores associados linearmente
independentes, x1, x2, ..., xn. Consideramos o autovalor dominante λ1 em primeiro lugar
e o autovetor y = x1, associado a λ1, de coordenadas positivas. Construı́mos uma matriz
P cujas colunas são os autovetores x1, x2, ..., xn de L:
P = x1 x2 x3 ... xn
⎡
Assim:
⎢
⎢
L = P. ⎢
⎣
Daı́, segue que:
⎡
⎢
⎢
L = P. ⎢
⎣
k
λ1
0
..
.
0
λ2
..
.
0
0
λk1
0
..
.
0
λk2
..
.
0
0
0 ···
0 ···
.. . .
.
.
0 ···
0
0
..
.
0 ···
0 ···
.. . .
.
.
0 ···
0
0
..
.
⎤
⎥
⎥ −1
⎥ .P
⎦
λn
λkn
⎤
⎥
⎥ −1
⎥ .P
⎦
Logo, se x(t0 ) é o vetor de distribuição etária inicial,
⎡
λk1 0 0 · · ·
⎢ 0 λk 0 · · ·
2
⎢
Lkx(t0 ) = P. ⎢ ..
..
.. . .
⎣ .
.
.
.
0 0 0 ···
então:
⎤
0
0 ⎥
⎥ −1 (t )
.. ⎥ .P x 0
. ⎦
λkn
Mas:
Lkx(t0 ) = x(tk ).
Dividindo ambos os lados destas equações por λk1, k = 1, 2, ..., obtemos:
⎡
⎢
⎢
1 (tk )
⎢
x
= P. ⎢
k
⎢
λ1
⎣
1
0
..
.
0
0 ···
0
λ2
λ1
..
.
0 ···
.. . .
.
.
0
..
.
0
0 ···
k
0
λn
λ1
⎤
⎥
⎥
⎥ −1 (t0 )
⎥ .P x .
⎥
k ⎦
(7)
Como λ1 é o autovalor dominante, temos λλ1i < 1 para i = 2, 3, ..., n.
Assim,
k
k
λi λi
lim = 0 ⇒ lim
= 0.
k→∞ λ1
k→∞
λ1
Logo, tomando o limite de ambos os lados da equação matricial (7):
⎡
⎢
⎢
1 (tk )
⎢
= lim P. ⎢
lim k x
k→∞ λ
k→∞
⎢
1
⎣
⎡
⎢
⎢
⎢
= P. ⎢
⎢
⎣
0
..
.
1
0
..
.
0
0 ···
0
λ2
λ1
..
.
0 ···
.. . .
.
.
0
..
.
0
0 ···
k
0
0
ou seja,
1
λn
λ1
⎤
⎥
⎥
⎥ −1 (t0 )
⎥ .P x
⎥
k ⎦
0
0 ···
k
lim λ2
0 ···
k→∞ λ1
..
.. . .
.
.
.
0 ···
0
⎡
⎢
1 (tk )
⎢
x
= P. ⎢
lim
k→∞ λk
⎣
1
0 ···
0 ···
.. . .
.
.
0 0 0 ···
1
0
..
.
0
0
..
.
⎤
0
0
..
.
lim
k→∞
0
0
..
.
λn
λ1
⎥
⎥
⎥ −1 (t0 )
⎥ .P x
⎥
k ⎦
⎤
⎥
⎥ −1 (t0 )
⎥ .P x .
⎦
(8)
0
Denotando a primeira entrada do vetor-coluna P−1x(t0 ) pela constante c, podemos reescrever a equação (8) , como:
1
lim k x(tk ) = cx1.
k→∞ λ
1
Assim,
x(tk )
≈ cx1,
λk1
para k grande, ou seja,
x(tk ) ≈ cλk1x1.
Desta forma, no instante tk (k grande), a distribuição etária de fêmeas será proporcional
às entradas do 1o autovetor x1 associado a λ1.
Analogamente, para valores grandes de k, temos:
x(tk−1 ) ≈ cλk−1
1 x1.
Logo:
x1 ≈
x(tk )
x(tk−1 )
e
x
≈
,
1
cλk1
cλk−1
1
ou seja,
x(tk−1 )
x(tk )
≈
⇒ x(tk ) ≈ λ1x(tk−1 ),
k−1
cλk1
cλ1
ou seja, para valores grandes de k podemos obter a distribuição etária no instante tk
multiplicando a distribuição etária no instante tk−1 pelo autovalor dominante da Matriz
de Leslie.
De acordo com o autovalor positivo λ1, temos três casos possı́veis:
(i) A população acaba aumentando se λ1 > 1.
(ii) A população acaba diminuindo se λ1 < 1.
(iii) A população acaba estabilizando se λ1 = 1.
O caso λ1 = 1 é particularmente interessante, pois determina uma população com taxa
de crescimento populacional nulo. Para qualquer distribuição etária inicial, a população
tende a uma distribuição etária limite que é proporcional ao autovetor y = x1.
A partir da equação (6) , vemos que λ1 = 1 é um autovalor se, e somente se,
a1 + a2b1 + a3b1b2 + ... + anb1b2...bn−1 = 1.
A expressão
R = a1 + a2b1 + a3b1b2 + ... + anb1b2...bn−1
é chamada a taxa lı́quida de reprodução da população. Assim, podemos dizer que uma população tem crescimento populacional nulo se, e somente se, sua taxa lı́quida de reprodução
é 1.
3.3
Projeção da População de Mulheres Brasileiras por Faixas
Etárias
Consideremos os dados da população brasileira de mulheres de 1980 e de 1990 por faixas
etárias de 10 anos cada segundo o Ibge (referência [6]).
Mulheres
Faixas Etárias
1980
[0 − 9]
15.369.602
[10 − 19]
13.937.122
[20 − 29]
10.611.724
[30 − 39]
7.093.324
[40 − 49]
5.208.793
[50 − 59]
3.644.405
[60 − 69]
2.298.323
[70 − 79]
1.143.228
[80 →)
351.347
Total
59.657.868
1990
17.628.885
15.200.256
13.793.795
10.420.311
6.848.132
4.858.572
3.159.582
1.623.792
534.564
74.067.889
(Dados do Ibge)
Para estudar o comportamento da população de mulheres brasileiras com idades entre
0 e 79 anos no futuro, tomemos as oito faixas etárias de dez anos cada: [0, 9], [10, 19],
..., [70, 79] indicadas na tabela acima. Estamos desconsiderando a população com idade
superior a 80 anos por ser pouco representativa: aproximadamente 0, 6% do total).
Embora não tenhamos encontrado uma estimativa oficial do Ibge no que diz respeito ao
número médio de meninas nascidas de mulheres brasileiras entre 1980 e 1990 nas oito
faixas etárias, vamos considerar os valores a1, a2, ..., an que julgamos razoáveis para a
primeira linha da Matriz de Leslie como sendo os seguintes:
[0 − 9]: a1 = 0. (não nascem filhas de meninas entre 0 e 9 anos)
[10 − 19]: a2 = 0, 2.
[20 − 29]: a3 = 0, 6. (a maioria das filhas nascem de mulheres entre 20 e 29 anos)
[30 − 39]: a4 = 0, 3.
[40 − 49]: a5 = 0, 1.
[50 − 59]: a6 = 0. (não nascem filhas de mulheres entre 50 e 59 anos)
Já a proporção b1, b2, b3, ..., bn−1 de mulheres que sobreviveram de uma faixa etária para
outra entre 1980 e 1990 pode ser obtido das tabelas do Ibge:
[0 − 9] para [10 − 19]:
15.200.256
= 0, 98898.
15.369.602
[10 − 19] para [20 − 29]:
[20 − 29] para [30 − 39]:
[30 − 39] para [40 − 49]:
[40 − 49] para [50 − 59]:
[50 − 59] para [60 − 69]:
[60 − 69] para [70 − 79]:
13.793.795
= 0, 98972.
10.911.724
10.420.311
= 0, 98196.
10.611.724
6.848.132
= 0, 96543.
7.093.324
4.858.572
= 0, 93276.
5.208.793
3.159.582
= 0, 86697.
3.644.405
1.623.792
= 0, 70651.
2.298.323
da população de mulheres brasileiras será:
Logo, a Matriz de Leslie
⎡
0
0, 2
0, 6
0, 3
0, 1
0
0
⎢ 0, 98898
0
0
0
0
0
0
⎢
⎢
0
0,
98972
0
0
0
0
0
⎢
⎢
0
0
0, 98196
0
0
0
0
L=⎢
⎢
0
0
0
0, 96543
0
0
0
⎢
⎢
0
0
0
0
0,
93276
0
0
⎢
⎣
0
0
0
0
0
0, 86697
0
0
0
0
0
0
0
0, 70651
0
0
0
0
0
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Notemos que existem duas faixas etárias férteis consecutivas. Logo, L possui autovalor
dominante.
Utilizando o software de cálculo numérico e simbólico MAPLE para cálculo do autovalor
dominante de L temos
λ1 = 1, 0489
Do autovalor acima, podemos concluir que a população de mulheres brasileiras quase
tende à estabilidade no futuro, com um crescimento da ordem de 4, 89% a cada 10 anos.
Vimos que um autovetor de L de coordenadas positivas associado a λ1 pode ser dado por:
⎤
⎡
1
⎥
⎢
(0, 98898)
⎥
⎢
⎥
⎢
(1, 0489)
⎥
⎢
⎥ ⎡
⎢
(0, 98898) (0, 98972)
⎤
⎥
⎢
1
2
⎥
⎢
(1, 0489)
⎥ ⎢
⎢
⎥ ⎢ 0, 94287 ⎥
⎢
(0,
98898)
(0,
98972) (0, 98196)
⎥
⎥ ⎢
⎢
⎥ ⎢ 0, 88968 ⎥
⎢
3
⎥
(1, 0489)
⎥ ⎢
⎢
⎥ ⎢ 0, 83290 ⎥
⎢
⎥.
(0,
(0,
(0,
(0,
98898)
98972)
98196)
96543)
y=⎢
⎥=⎢
⎥
0,
76662
⎥
⎢
⎥
⎥ ⎢
⎢
(1, 0489)4
⎢ 0, 68173 ⎥
⎥
⎢
⎥
(0, 98898) (0, 98972) (0, 98196) (0, 96543) (0, 93276)
⎥ ⎢
⎢
⎥ ⎣ 0, 56349 ⎦
⎢
5
⎥
⎢
(1, 0489)
0, 37942
⎥
⎢
(0,
(0,
(0,
(0,
(0,
(0,
98898)
98972)
98196)
96543)
93276)
86697)
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
(1, 0489)6
⎥
⎢
⎣ (0, 9889) (0, 9897) (0, 9819) (0, 9654) (0, 9327) (0, 8669) (0, 7065) ⎦
(1, 0489)7
Cálculo das proporções de mulheres entre 0 e 79 anos em cada faixa etária:
Somando as entradas do autovetor y:
S = 1 + 0, 94287 + 0, 88968 + 0, 83290 + 0, 76662 + 0, 68173 + 0, 56349 + 0, 37942
= 6, 0567
Logo:
1
= 0, 16511 = 16, 511% das mulheres brasileiras estarão na
6, 0567
faixa [0 − 9] no futuro.
Aproximadamente
0, 94287
6, 0567
Aproximadamente
0, 88968
6, 0567
Aproximadamente
0, 83290
6, 0567
Aproximadamente
0, 76662
6, 0567
Aproximadamente
0, 68173
6, 0567
Aproximadamente
0, 56349
6, 0567
Aproximadamente
0, 37942
6, 0567
Aproximadamente
Cálculo do número de mulheres entre 0 e 79 anos em 1990, 2000, 2010, 2020,
2030, 2040 e 2050 pela Matriz de Leslie
Tomando t0 = 1980, temos
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
(1980)
=⎢
x
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
15.369.602
13.937.122
10.611.724
7.093.324
5.208.793
3.644.405
2.298.323
1.143.228
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Logo:
x(1990) = Lx(1980)
⎡
⎤⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎦⎣
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
∼⎢
=
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
0, 2
0, 6
0, 3
0, 1
0
0
0
0, 98898
0
0
0
0
0
0
0
0
0, 98972
0
0
0
0
0
0
0
0
0, 98196
0
0
0
0
0
0
0
0
0, 96543
0
0
0
0
0
0
0
0
0, 93276
0
0
0
0
0
0
0
0
0, 86697
0
0
0
0
0
0
0
0
0, 70651 0
11.803.000
15.200.000
13.794.000
10.420.000
6.848.100
4.858.600
3.159.600
1.623.800
⎤
15.369.602
13.937.122
10.611.724
7.093.324
5.208.793
3.644.405
2.298.323
1.143.228
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥ ⇒ ≈ 67.707.000 mulheres entre 0 e 79 anos em 1990.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
e, procedendo de modo análogo:
x(2000) = L2x(1980) ⇒ ≈ 78.281.000 mulheres entre 0 e 79 anos em 2000.
Considerando que a população de homens é aproximadamente 50% do total e que há cerca
de 0, 6% de idosos com mais de 80 anos, podemos sintetizar a seguinte projeção:
Ano
Projeção da População
∼ 136.230.000
1990 2 (67.707.000) / (1 − 0, 006) =
∼ 157.510.000
2000 2 (78.281.000) / (1 − 0, 006) =
∼ 178.460.000
2010 2 (88.693.000) / (1 − 0, 006) =
∼ 194.310.000
2020 2 (96.572.000) / (1 − 0, 006) =
∼ 208.570.000
2030 2 (103.660.000) / (1 − 0, 006) =
∼ 220.040.000
2040 2 (109.360.000) / (1 − 0, 006) =
∼ 228.770.000
2050 2 (113.700.000) / (1 − 0, 006) =
Percebemos uma estimativa interessante da população brasileira pelo Modelo de Leslie
introduzido acima, mas que certamente não refletirá a realidade. Observemos que a
população de mulheres entre 0 e 79 anos em 1990 era de 73, 5 milhões pelas tabelas do
Ibge, ou seja, abaixo dos 67, 7 milhões estimados acima. Por outro lado, como a população
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
tende a estabilizar-se, certamente ocorrerá um ano em que a estimativa pelo Modelo de
Leslie acima será superior à população real. Isto se deve ao fato de que o autovalor
dominante λ1 é maior que 1 e, no nosso caso, indica que a população de mulheres estará
crescendo, no futuro, a uma taxa de aproximadamente 4, 89% à década. Sendo assim,
o Modelo de Leslie encontrado acima não se estabiliza. É possı́vel que, para um futuro
próximo, as estimativas pelo Modelo de Leslie se tornem mais precisas se soubéssemos os
valores corretos de a1, ..., an que foram simplesmente “chutados” nesta subseção.
4
Conclusões
Levando-se em conta que populações humanas tendem à estabilidade, observamos que os
modelos Linear, Exponencial, Geométrico e o Modelo de Leslie (com autovalor dominante
maior que 1), não se adequam à modelagem da população brasileira pois os mesmos não
são limitados superiormente.
Já os modelos Hiperbólico, Exponencial Assintótico e Logı́stico podem ser tomados com
valores assintóticos e limitados superiormente e, teoricamente, poderiam ser utilizados
para modelar as populações que tendem a se estabilizar no futuro (como é o caso de
populações humanas).
No entanto, vimos que os dados dos últimos censos da população brasileira apontam
diminuição da taxa de crescimento apenas nas duas últimas décadas, o que faz com
que os valores assintóticos dos modelos Hiperbólico e Exponencial Assintótico não sejam
adequados.
É importante ressaltar, novamente, que no último ajuste logı́stico foram omitidos os dados
dos censos de 1890 até 1930, devido às irregularidades dos mesmos. Isto se justifica devido
ao fato das grandes imigrações do final do Século XIX e inı́cio do Século XX no Brasil.
Portanto, dentre os modelos analisados, o que melhor se adapta aos dados dos censos da
população brasileira é o Modelo Logı́stico de equação:
y (x) =
243.575.077, 6
5, 300601743e−0,406000064x + 1
que foi apresentado anteriormente, e esse modelo é o que permite fazer a melhor projeção
da população brasileira para próximos anos: 2010, 2020, 2030 e 2040, conforme figura a
seguir, sendo que os pontos em vermelho referem-se aos dados do Ibge, enquanto que a
.
curva é o gráfico de função logı́stica acima considerando x = t−1940
10
Notemos também que, segundo esse modelo, a população brasileira tende à estabilidade
quando for de aproximadamente 243 ou 244 milhões de pessoas.
260
y (população) milhões
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
1860
1880
1900
1920
1940
1960
1980
2000
2020
2040
t (anos)
5
Referências Bibliográficas
[1] Bassanezzi, R. C. Ensino e Aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo:
Editora Contexto. 2002.
[2] Boldrini, J. L. et alli. Álgebra Linear. 3a . ed. Rio de Janeiro: Harbra. 1986.
[3] Howard, A. Álgebra Linear com Aplicações. 8a . ed. Porto Alegre: Bookman. 2001.
[4] Leslie, P. H. “Some further notes on the use of matrices in population mathematics”.
Biometrika 35, 1948. pp. 213-245.
[5] Minc, H. Nonnegative Matrices. New York: Jonh Wiley e Sons. 1988.
[6] www.ibge.gov.br. Site do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatı́stica - IBGE.
CONCHÓIDES: uma introdução
Flávia Cristina Martins Queiroz∗
Mariana Fernandes dos Santos Villela†
Dulce Mary de Almeida‡
Universidade Federal de Uberlândia - UFU
Resumo
Neste trabalho estudamos duas conchóides particulares: conchóide de Nicomedes
e limaçon de Pascal. Apresentamos suas equações nas formas: cartesiana, polar
e paramétricas; descrevemos um método de construção dessas curvas utilizando
o programa Cabri Géométre II; e explicitamos um método para trisseccionar um
ângulo genérico utilizando cada uma dessas curvas.
1
Introdução
A impossibilidade de resolver os problemas clássicos da antiguidade grega utilizando apenas os instrumentos euclidianos, régua não graduada e compasso, muito contribuiu para
o desenvolvimento da Matemática: levou a muitas descobertas frutı́feras e estimulou, inclusive, a criação de novas teorias. Em particular, a busca de solução para o problema
da trissecção do ângulo (isto é, o problema de dividir um ângulo genérico em três partes
iguais) influenciou profundamente a geometria e motivou a descoberta de várias curvas
planas. Duas curvas que resolvem problemas de neusis, ao qual o problema da trissecção
do ângulo pode ser reduzido, são casos particulares de conchóides. Este trabalho é um
estudo modesto dessas duas conchóides denominadas conchóide de Nicomedes e limaçon
de Pascal, e tem por objetivo apresentar soluções para o problema da trissecção de um
ângulo arbitrário usando cada uma dessas curvas. Iniciamos apresentando a definição
geral de conchóide.
∗
flavia [email protected] Orientando do Programa de Educação Tutorial da Faculdade de
Matemática (PETMAT) de jan/05 a dez/05.
†
marianamat [email protected] Orientando do Programa de Educação Tutorial da Faculdade de
Matemática (PETMAT) de jan/05 a dez/05.
‡
[email protected] Professora orientadora.
2
Conchóides genéricas
Uma conchóide genérica é definida como segue. Seja O ∈ IR2 um ponto fixo e C uma curva
no plano IR2 dada. Sobre a reta que passa por O e por um ponto qualquer A pertencente a
curva C, considere os pontos P1 e P2 pertencentes a IR2 , tais que os comprimentos de AP1
e AP2 sejam iguais a uma dada constante positiva b. Então o lugar geométrico descrito
pelos pontos P1 e P2 , conforme A se move ao longo de C, chama se conchóide de C com
pólo O e constante b (Figura 1).
P1
C
A ( f(t) , g(t) )
P2
O
Figura 1
2.1
Equações Paramétricas
Mostraremos agora como representar uma conchóide genérica parametricamente. Considere a curva C dada pelas equações paramétricas x = f (t) e y = g(t) com t ∈ I ⊂ IR, e
o pólo O representado em coordenadas por O(x0 , y0 ). Nessas condições, para cada ponto
A(f (t), g(t)) ∈ C a equação da reta OA é dada por:
y − g(t) = m(x − f (t))
sendo
m=
g(t) − y0
.
f (t) − x0
(1)
Por outro lado, se P (x, y) representa os pontos P1 ou P2 então, a condição d(P, A)2 = b2
é equivalente à:
(2)
(x − f (t))2 + (y − g(t))2 = b2 .
Combinando as equações (1) e (2) obtém-se:
(x − f (t))2 = b2 − (y − g(t))2
= b2 − m2 (x − f (t))2 .
=⇒ (x − f (t))2 (1 + m2 ) = b2 =⇒ (x − f (t))2 =
b2
.
1 + m2
Portanto,
x = f (t) ± √
b
.
1 + m2
Novamente, usando as equações (1) e (2), obtém-se:
(y − g(t))2 = b2 − (x − f (t))2
1
= b2 − 2 (y − g(t))2 .
m
=⇒ (y − g(t))2 (1 +
b2
1
2
2
.
)
=
b
=⇒
(y
−
g(t))
=
m2
1 + m12
Portanto,
b
y = g(t) ± 1+
.
1
m2
Assim, as equações paramétricas da conchóide da curva C (com equações paramétricas
dadas por x = f (t) e y = g(t), t ∈ I) com pólo O(x0 , y0 ) e constante b é dada por:
⎧
b(f (t)−x0 )
⎪
x = f (t) ± √
⎪
⎨
(f (t)−x0 )2 +(g(t)−y0 )2
⎪
⎪
⎩ y = g(t) ± √
3
b(g(t)−y0 )
(t ∈ I)
(f (t)−x0 )2 +(g(t)−y0 )2
Conchóide de Nicomedes
A conchóide particular em que a curva C é uma reta e O é um ponto qualquer fora de C,
denomina-se conchóide de Nicomedes.
Essa curva plana, inventada por Nicomedes (grego, século III a.C.), é uma das mais
antigas que resolve um dos problemas de neusis (do verbo grego neuein que significa
apontar) ao qual o problema da trissecção do ângulo pode ser reduzido. Lembramos que
um problema geral de construção por neusis consiste em inserir um segmento de reta de
comprimento pré-definido entre duas curvas, de modo que um ponto fixo se encontre nesse
segmento ou no seu prolongamento (isto é, de modo que o segmento inserido aponte para
o ponto fixo).
3.1
Equação polar, paramétrica e cartesiana
Se C é a reta dada pelas equações paramétricas x = a > 0, y = t com t ∈ IR e O é o
ponto O(0, 0) então, das equações paramétricas de uma conchóide genérica explicitadas
na secção 2.1, segue que a conchóide de Nicomedes dessa reta com pólo na origem O e
constante b pode ser parametrizada por:
⎧
ab
⎨ x = a ± √a2 +t2
(t ∈ IR)
⎩
bt
√
y = t ± a2 +t2
Fazendo a substituição t = a tg θ com − π2 < θ < π2 , essas equações paramétricas se
transformam em
⎧
⎨ x = a + b cos θ
, θ = π2
− π2 < θ < 3π
(3)
2
⎩
y = (a + b cos θ) tg θ
Utilizando-se a equação de transformação r2 = x2 + y 2 podemos transcrever a equação
(3) à sua forma equivalente em coordenadas polares como
r = b + a sec θ.
(4)
Combinando as equações (3) e (4) segue a equação da conchóide de Nicomedes da reta
x = a com pólo na origem e constante b em coordenadas retangulares
(x2 + y 2 )(x − a)2 = b2 x2 .
3.2
(5)
Construção usando o Programa Cábri-Géomètre II
O
b = 2,5
P2
A
P1
Figura 2: Conchóide de Nicomedes
r
O Cabri-Géomètre II é um programa computacional educativo que permite construir e
explorar objetos geométricos interativamente, e foi desenvolvido por Jean-Marie Laborde
e Franck Bellemain na Universidade Joseph Fourier em Grenoble, França.
Nesta seção descreveremos, passo a passo, a construção da conchóide de Nicomedes
(Figura 2) de uma reta r dada sendo conhecidos o pólo O e a constante b, utilizando o
programa Cabri-Géomètre II; num formato que facilite a um iniciante não familiarizado
com o uso desse programa. No texto, as janelas da barra de ferramentas do Cabri se
encontram enumeradas de 1 a 11, da esquerda para a direita.
Passo 1: Num canto da área de trabalho construa um segmento auxiliar cujo
comprimento é dado pela constante b, procedendo como segue:
1.1. Clique na Janela 10 e selecione a opção “Edição numérica”. Num canto
da área de trabalho, clique uma vez e aparecerá uma caixa de edição. Digite
um número, por exemplo, “2.5”. Clique novamente na Janela 10 e selecione
a opção “Comentário”. Clique na área de trabalho e aparecerá uma caixa de
texto. Digite “b=” e, usando o mouse, aponte com o cursor para o número
editado antes. Aparecerão as palavras “Incluir este número”. Ao clicar com
o mouse, o texto na caixa será “b=2.5”. Esta é a maneira de inserir números
numa caixa de texto. A caixa de edição numérica não aceita textos. Com a
opção “Ponteiro” (Janela 1) ativada, selecione o número editado inicialmente,
aquele que se encontra fora da caixa de texto, e use Delete no teclado para
apagá-lo.
1.2. Ainda no canto auxiliar, construa um segmento medindo 2.5 cm de comprimento, usando a técnica de “Transferência de medida”e a opção “Segmento”,
da seguinte maneira:
1.2.1. Clique na Janela 2 e selecione a opção “Ponto”. O cursor se transforma em um “lápis” pronto para desenhar na tela. Clique com o mouse
em um ponto no canto auxiliar da área de trabalho, o ponto será construı́do pelo Cabri. Clique na Janela 5 e selecione a opção “Transferência de
medida”. Aproxime o cursor (com o mouse) do ponto recém-construı́do,
aparecerão as palavras “Este ponto”, clique sobre o ponto. Em seguida,
aproxime o cursor da medida 2.5, obtida no Passo 1.1. Aparecerão as
palavras “Este número”, clique com o mouse sobre o número e, imediatamente, um segmento pontilhado e móvel com um extremo fixo no ponto
construı́do anteriormente surgirá na tela. O outro extremo será construı́do
com o clique do mouse no lugar desejado da folha de trabalho. Clique na
Janela 3 e selecione a opção “Segmento”. Aproximando o cursor do ponto
aparecerão as palavras “Este ponto”. Clique sobre o ponto com o botão
esquerdo do mouse, solte e aproxime o cursor do outro ponto, aparecerão
as palavras “Este ponto”. Clique sobre este ponto, solte e o segmento
estará construı́do.
1.2.2. Etiquete o comprimento do segmento construı́do, usando o texto
editado no Passo 1.1, como segue: Clique na Janela 1 e selecione a opção
“Ponteiro”. Aproximando o cursor do texto e/ou do número, vemos que
o sı́mbolo indicador do mouse se transforma em uma mão. Aparecerão
as palavras “Este texto” e/ou “Este número”. Clicando sobre o texto
e/ou sobre o número com o botão esquerdo do mouse e mantendo o botão
pressionado, vemos a mão “agarrar” o texto e/ou o número. Com essa
mão, arrastando o mouse, podemos transportar o texto e/ou o número
para o lugar da tela que desejarmos. Quando soltar o mouse, o texto e/ou
o número estarão na posição escolhida. No momento posicione o texto
“b=2.5” logo abaixo do segmento construı́do no Passo 1.2.1, etiquetando
assim o comprimento desse segmento.
Passo 2: Clique na Janela 3 e selecione a opção “Reta”. No centro da área de
trabalho, com dois cliques de mouse, uma reta é construı́da. Para etiquetá-la, após
a sua construção, sem mexer o mouse, digite a letra “r” imediatamente.
Passo 3: Clique na Janela 2 e selecione a opção “Ponto sobre Objeto”. Ao aproximar o cursor da reta r o programa perguntará “Nesta reta”. Na posição que desejar,
clique sobre a reta construı́da, para construir um ponto que pertença a reta. Digite
a letra “A” imediatamente, para nomear o ponto construı́do.
Passo 4: Clique na Janela 2 e selecione a opção “Ponto”. Clique com o mouse em
um ponto da tela (fora da reta r) e etiquete-o com a letra “O”, digitando essa letra
imediatamente após a construção do ponto.
Passo 5: Clique na Janela 5 e ative a opção “Compasso”. Clique sobre o ponto A,
que será o centro da circunferência. Em seguida clique sobre o segmento construı́do
no Passo 1 e o Cabri construirá uma circunferência com centro A e raio b.
Passo 6: Clique na Janela 3 e selecione a opção “Reta”. Aproximando o cursor do
ponto A aparecerão as palavras ”Por este ponto”. Clique e em seguida aproxime o
cursor do ponto O. Aparecerão novamente as palavras “Por este ponto”. Clique, e
a única reta que passa pelos pontos O e A será construı́da pelo programa.
Passo 7: Clique na Janela 2 e selecione a opção “Pontos de intersecção”. Clique
sobre a reta construı́da no Passo 6 e depois sobre a circunferência. Os dois pontos
comuns à ambos, reta e circunferência, são exibidos na tela. Digite imediatamente as
letras “P1” para etiquetar um dos pontos de intersecção construı́do. Para etiquetar
o outro ponto, clique na Janela 10 e selecione a opção “Rótulo” (= “Etiqueta”).
Clicando sobre o respectivo ponto, uma caixa de edição é aberta, digite então as
letras “P2” para etiquetá-lo.
Passo 8: Clique na Janela 5 e selecione a opção “Lugar Geométrico”. Clique no
ponto P1 e depois no ponto A, nesta ordem. Aparecerá um dos ramos da conchóide.
Clique sobre o ponto P2 e em seguida sobre o ponto O. O outro ramo da conchóide
será desenhado pelo Cabri.
Para observar a dependência dessa construção, com o parâmetro b dado inicialmente,
execute o próximo passo.
Passo 9: Com o Ponteiro ativado, clique duas vezes sobre o número editado no
Passo 1. A caixa de edição numérica se abre com o número 2.5 editado previamente.
No lado direito da caixa encontramos dois botões, um que aponta para cima, ,
e outro que aponta para baixo, . Ative um ou outro com o botão esquerdo do
mouse, ou edite outros números dentro da caixa, e observe as formas tomadas pela
conchóide de Nicomedes após cada uma dessas ações. Agora, clique na Janela 5 e
selecione a opção “Reta Perpendicular”. Clique sucessivamente sobre o ponto O e
sobre a reta r, e a única reta perpendicular a r que contém O será construı́da pelo
Cabri. Em seguida, clique na Janela 2, selecione a opção “Pontos de intersecção”,
e construa o ponto de intersecção H entre essa reta recém-construı́da e a reta r.
Depois, clique na Janela 9 e selecione a opção “Distância e Comprimento”. Ao
clicar sobre o ponto O e, em seguida, sobre o ponto H aparecerá uma caixa de
diálogo com a medida do segmento OH, isto é, com a distância do ponto O a reta r,
em centı́metros. Novamente utilizando o ponteiro, clique duas vezes sobre o número
que se encontra editado na caixa de edição númérica “b=...”, delete esse número,
edite o comprimento do segmento OH no lugar do número deletado, e observe o
que acontece. Prosseguindo, ative os botões e que se encontra nessa caixa
e observe a forma da conchóide de Nicomedes nos casos b > d(O, r) (Figura 5),
b = d(O, r) (Figura 4) e b < d(O, r) (Figura 3). Para finalizar, com o ponteiro,
manipule também os demais dados: o ponto O, o ponto A, e a reta r; e observe o
que ocorre.
O
O
Figura 3
O
Figura 4
Figura 5
3.3
Trissecção de um ângulo usando a conchóide de Nicomedes
Um dos problemas de construção por neusis, mais comum, ao qual o problema da trissecção do ângulo pode ser reduzido é o seguinte: Dado um ângulo agudo DÔL, o qual
pode ser tomado como o ângulo entre uma diagonal OL e um lado OD de um retângulo
ODLF . Considere o problema de construir (ou inserir) um segmento de reta EC de comprimento 2d(O, L) entre o segmento LD e o prolongamento de FL de modo que CE aponte
para O, conforme Figura 6.
Afirmamos que E assim construı́do é tal que m(DÔE) = 13 m(DÔL). De fato, seja
H o ponto médio do segmento construı́do EC. Como E L̂C é reto, podemos inscrevê-lo
numa semi-circunferência de diâmetro EC. Portanto são conguentes os segmentos OL,
LH, EH e HC. Logo, OLH e LHC são triângulos isósceles de bases OH e LC, respectivamente. Consequentemente m(LÔE) = m(LĤE) e m(H L̂C) = m(H ĈL). Uma vez que
LĤE é ângulo externo do triângulo LHC segue que m(LĤE) = 2m(H ĈL). Portanto,
m(LÔE) = 2m(H ĈL). Mas, utilizando o paralelismo dos segmentos OD e LC cortados
pela transversal OC, temos que os ângulos H ĈL e DÔE são congruentes, e isso conclui
a demonstração.
C
L
F
H
E
O
D
Figura 6
Vejamos, agora, como trisseccionar um ângulo genérico usando uma conchóide de
um ângulo agudo que pretendemos trisseccionar. Trace
Nicomedes (Figura 7). Seja AOB
uma reta r perpendicular a OA, cortando OA e OB em D e L, respectivamente. Construa
a seguir a conchóide da reta r com pólo O e constante 2b, sendo b igual ao comprimento
do segmento OL. Depois, trace a reta paralela a OA passando pelo ponto L e seja C a
intersecção dessa reta com o ramo da conchóide situado no semi-plano (determinado pela
reta r) oposto ao pólo. Seja E o ponto em que OC intersecta a reta r. Assim, utilizando
uma conchóide de Nicomedes inserimos o segmento CE, duplo do segmento OL, entre o
segmento LD e a semi-reta paralela a OD com origem L, e apontando para O. Portanto,
resolvemos o problema da construção da neusis, citado inicialmente, ao qual o problema
é reduzido e, assim sendo, podemos concluir que o ângulo
da trissecção do ângulo AOB
trissecciona o ângulo AOB.
AOC
Observamos que com uma conchóide de Nicomedes dada pode-se trisseccionar apenas
um determinado ângulo. Em outras palavras, para cada ângulo que se pretende trisseccionar é necessário construir uma conchóide adequada que depende do pólo O e da
distância (constante 2b) previamente definida.
A
C
B
E
L
D
O
Figura 7
4
Limaçon de Pascal
A conchóide de uma circunferência de raio a , cujo pólo O é um ponto pertencente a circunferência, denomina-se limaçon de Pascal. Denotando por b o parâmetro da conchóide,
temos que as limaçons particulares em que a = 2b e a = b denominam-se respectivamente,
cardióide e trissectriz.
4.1
Equação polar, paramétrica e cartesiana
Considerando o pólo O da limaçon como a origem O(0, 0) e a circunferência de raio a
dada pelas equações paramétricas x = a + a cos 2t e y = a sen 2t, − π2 ≤ t ≤ π2 , segue
das equações paramétricas de uma conchóide genérica, dadas na seção 2.1, que uma
parametrização da limaçon de Pascal dessa circunferência de raio a com pólo na origem
O e constante b é dada por:
⎧
⎨ x = a cos 2t + b cos t + a
−π ≤ t ≤ π
⎩
y = a sen 2t + b sen t
Fazendo a substituição θ = t e utilizando as relações trigonométricas: cos 2t =
(2 cos2 t − 1) e sen 2t = (2 sen t cos t), temos que essas equações paramétricas se transformam em
⎧
⎨ x = cos θ (2a cos θ + b)
−π ≤ θ ≤ π
(6)
⎩
y = sen θ (2a cos θ + b)
Utilizando-se a equação de transformação r2 = x2 + y 2 podemos transcrever a equação
(6) à sua forma equivalente em coordenadas polares como
r = 2a cos θ + b.
(7)
Combinando as equações (6) e (7) segue a equação da Limaçon de Pascal da circunferência (x − a)2 + y 2 = a2 com pólo na origem e constante b em coordenadas retangulares
(x2 + y 2 − 2ax)2 = b2 (x2 + y 2 ).
4.2
(8)
Construção usando o programa Cábri-Géomètre II
Nesta seção descreveremos um método para construir uma limaçon de Pascal, ou seja,
para construir uma conchóide de uma circunferência C dada, sendo conhecidos o pólo
O pertencente à circunferência e a constante b (Figura 8), utilizando o programa CabriGéomètre II.
b= 3
P1
C
A
P2
O
P
Figura 8: Limaçon de Pascal
Passo 1: Com a opção “Segmento” trace o segmento PO no centro da área de
trabalho.
Passo 2: Selecione a opção “Compasso” e clique no ponto P (centro) e sobre o
segmento PO (raio). Com a opção “Rótulo” etiquete a circunferência construı́da
com a letra C.
Passo 3: Selecione a opção “Edição Numérica”. Clique num canto da tela e edite
um número, por exemplo, 3.
Passo 4: No canto da tela, construa um segmento auxiliar cujo comprimento meça o
número editado no Passo 3 e etiquete o comprimento desse segmento como “b = ...”.
Veja instruções no Passo 1 da subseção 3.2, páginas 5-6.
Passo 5: Clique na Janela 2 e selecione a opção “Ponto sobre Objeto”. Construa
o ponto A sobre a circunferência construı́da no Passo 2.
Passo 6: Com a opção “Compasso”, construa uma circunferência com centro A e
raio igual a constante b, comprimento do segmento construı́do no Passo 4.
Passo 7: Trace a reta OA e com a opção “Pontos de intersecção” construa os
pontos P1 e P2, pontos de intersecção dessa reta com a circunferência construı́da
no Passo anterior.
C
O
C
O
Figura 9: Trissectriz
Figura 10: Cardióide
Passo 8: Clique na Janela 5 e selecione a opção “Lugar Geométrico”. Clique sobre o
ponto P1 e em seguida sobre o ponto A. Clique sobre o ponto P2 e em seguida sobre
o ponto A. A limaçon de Pascal será desenhada pelo Cabri. Manipule os pontos O e
A, manipule o segmento PO e, observe o que acontece. Explore a construção, edite
outros valores numéricos para a constante b e observe o formato da limaçon, por
exemplo, “b = d(P,O)” (Figura 9) e “b = 2 d(P, O)” (Figura 10).
4.3
Trissecção de um ângulo usando a limaçon trissectriz
Um outro problema de construção por neusis, equivalente ao problema da trissecção do
ângulo, encontra-se no Livro de lemas (obra escrita por Arquimedes de Siracusa), como
Proposição 8, e pode ser formulado como segue. Dado um ângulo agudo P ÔQ, construa
uma circunferência de raio arbitrário, com centro em O, a qual cortará PO em A, OQ
em D, e o prolongamento de QO estendido em E. Considere o problema de traçar uma
reta CBA tal que C esteja em QDOE estendida e B esteja sobre a circunferência e tal
que os segmentos CB, OD OA e OB sejam congruentes; ou equivalentemente, considere
o problema de construir (inserir) um segmento CB de comprimento igual d(O, D) entre a
circunferência e o prolongamento de DO apontando para o ponto A, conforme Figura 11.
P
A
B
C
E
O
D
Q
Figura 11
Afirmamos que C assim construı́do é tal que o ângulo B ÔC mede a terça parte do
ângulo P ÔQ. Essa afirmação é justificada como segue:
Por construção os triângulos CBO e BOA são isósceles de bases CO e BA, respectivamente. Portanto: m(B ÔE) = m(B ĈO) e m(AB̂O) = m(B ÂO). Como OB̂A é
ângulo externo do triângulo CBO, segue que m(AB̂O) = 2m(B ÔE) . Como AÔD
é ângulo externo do triângulo ACO, segue que m(AÔD) = m(B ÂO) + m(AĈO) =
2m(B ÔE) + m(AĈO) = 2m(B ÔE) + m(B ĈO) = 2m(B ÔE) + m(B ÔE) = 3m(B ÔE)
Portanto,m(B ÔE) = 13 m(AÔD), e isso conclui a demonstração.
Agora, vamos estabecer um método de trissecção de uma ângulo agudo dado utilizando
uma trissectriz (Figura 12). Dado AÔD um ângulo central qualquer de uma circunferência
de centro O e raio d(O, A). Trace a trissectriz dessa circunferência com pólo A e seja
−−→
C = O a intersecção dessa trissectriz com a semi-reta DO (com origem D). Observe que
essa trissectriz é tal que insere o segmento CB (onde B = A, é o ponto de intersecção
da reta CA com a circunferência) de comprimento d(O, D) entre a circunferência e o
prolongamento de DO, apontando para o ponto A. Logo, segue da afirmação feita no
inı́cio dessa seção que m(B ÔC) = 13 m(AÔD), consequentemente o ângulo AĈO mede 13
do ângulo AÔD dado.
A
B
C
O
D
Figura 12
Referências
[1] Baldin, Y. Y., Villagra, G. A. L.: Atividades com Cabri-Géomètre II. Editora da
Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, 2002.
[2] Boyer, C. B.: História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide, Editora Edgard
Blücher Ltda., São Paulo, 1974.
[3] Eves, H.: Introdução à História da Matemática. Editora da Unicamp, Campinas, 1997.
[4] Lawrence, J. D.: A Catalog of Special Plane Curves. Tradução: Hygino H.Domingues,
Dover Publications Inc., New York, 1972.
[5] Simmons, G. F.: Cálculo com geometria analı́tica. Tradução: Seiji Hariki, McGrawHill, vol. 2, São Paulo, 1987.
[6] Sousa, J. M. R.: Trissecção do Ângulo e Duplicação do Cubo: as Soluções na Antiga
Grécia. Dissertação de Mestrado, 2001, http://www.prof2000.pt/users/miguel/tese/
pdf.html
Uma Abordagem Fuzzy para a Exposição Ocupacional Causada pelo HIV1
Ana Luíza Pereira Saramago2, Rosana Sueli da Motta Jafelice3,
Aércio Sebastião Borges4
RESUMO
Os profissionais de saúde constituem um grupo com características especiais de
exposição ao HIV, devido às possibilidades de infecção durante as atividades do trabalho
cotidiano. De fato, o número de situações de contato com sangue, secreções e fluidos
orgânicos no trabalho, na área de saúde, é bastante grande. Acredita-se que tanto a
intensidade, o tipo e a freqüência dos contatos com o material contaminado como a carga viral
do paciente envolvido na relação determinam o grau de risco a que se expõe o profissional.
Neste trabalho, modelamos a exposição ocupacional ao HIV através de um sistema baseado
em regras fuzzy (SBRF). Consideramos as variáveis lingüísticas de entrada carga viral da
fonte (cópias/ml), volume do material contaminado (gotas) e tempo de exposição (minutos); e,
como variável lingüística de saída, o risco de contaminação (RC) do profissional exposto. A
base de regras e as funções de pertinência foram construídas incorporando os conhecimentos
do especialista e através de consulta bibliográfica. Desta forma, é possível estabelecer o grau
de risco de contaminação ao HIV ao qual o indivíduo que sofreu algum contato com material
contaminado está sujeito e poder tomar medidas imediatas para cada caso.
Palavras chave: Conjuntos Fuzzy, Variáveis Lingüísticas, HIV, Exposição Ocupacional.
INTRODUÇÃO
A Síndrome da Imunodeficiência Adquirida (AIDS) é uma manifestação clínica
avançada da infecção pelo vírus da imunodeficiência humana (HIV-1 e HIV-2). Geralmente, a
infecção pelo HIV leva a uma imunossupressão progressiva, especialmente da imunidade
celular, e a uma desregulação imunitária. Tais desregulações e supressões imunitárias acabam
por resultar em infecções oportunísticas, neoplasias (proliferação celular excessiva e
autônoma, de causa exógena ou endógena) e/ou manifestações que são condições definidoras
da AIDS, quando em presença da infecção pelo HIV. É a quarta causa mais freqüente de
morte no mundo (Veronesi, Focaccia, 1996).
O HIV pode ser transmitido pelas formas sexual, sanguínea e/ou vertical. E o tempo
necessário para detecção do vírus no sangue é de cerca de 3 a 12 meses depois de adquirido.
A variabilidade individual é grande e depende de vários fatores, como a categoria de
exposição, resistência do hospedeiro, patogenicidade do vírus (capacidade do agente
infeccioso produzir sintomas em maior ou menor proporção dentre os hospedeiros
infectados), mutações, resposta imune específica, e uso de estratégia de tratamento nas
diversas fases (Burlamaqui, 2006).
_________________________________________________________________________________________________________________
1
Trabalho de Iniciação Científica financiado pela FAPEMIG.
Bolsista, Faculdade de Medicina, Universidade Federal de Uberlândia, [email protected]
3
Orientadora, Faculdade de Matemática, Universidade Federal de Uberlândia, [email protected]
4
Colaborador, Faculdade de Medicina, Departamento de Clínica Médica.
2
No Brasil, desde o início da década de 90, o Ministério da Saúde vem intensificando
sua política de saúde pública em HIV/AIDS, visando melhorar a qualidade da assistência aos
pacientes, por meio da introdução de serviços de diagnósticos, treinamento e capacitação de
profissionais de saúde nesta área. Ressaltamos, dentre as diversas ações, o oferecimento do
diagnóstico aos pacientes, terapia anti-retroviral para pacientes portadores do HIV e a
disponibilização de profissionais capacitados para a abordagem efetiva dos pacientes
infectados. Inclusive, dos países em desenvolvimento, o Brasil destaca-se pela política de
controle à AIDS (Ministério da Saúde, 2006).
Sabe-se que o diagnóstico de doenças envolve vários níveis de imprecisão e incerteza,
uma mesma doença pode se manifestar de forma totalmente diferente em diferentes pacientes,
e com vários graus de severidade. Além disso, um único sintoma pode ser indicativo de várias
doenças distintas, e a presença de outras doenças em um mesmo indivíduo pode alterar o
padrão sintomático esperado (Massad et al., 2004).
Assim, na última década, a literatura matemática que trata de fenômenos imprecisos
tem crescido consideravelmente, principalmente no tocante à teoria de modelagem e controle,
utilizada com sucesso nas áreas de Engenharia. As primeiras aplicações desta teoria em
Biomatemática foi em diagnóstico médico Sanchez (1977) e Sanchez e Bartolin (1990), e
nelas se concentra a maioria das aplicações da teoria de conjuntos fuzzy da medicina. Mais
recentemente outros autores têm utilizado esta abordagem em problemas de epidemiologia
(Ortega, 2001; Jafelice, 2003; Jafelice et al., 2005).
O presente estudo objetiva modelar através de um sistema baseado em regras fuzzy, o
risco de contaminação pelo HIV em exposição ocupacional.
1. HIV - Vírus da Imunodeficiência Humana
1.1 Infecção e Ciclo de Replicação do HIV
Os passos iniciais da patogênese incluem: 1) ligação e penetração viral nas células –
alvo; 2) perda do envoltório viral; 3) ação da transcriptase reversa; 4) penetração do provírus
no núcleo das células – alvo; 5) integração ao genoma do hospedeiro. Tais passos podem
guiar tanto para a infecção ativa, com proliferação e propagação virais, quanto para a latência,
com expressão limitada de seqüências do provírus na ausência de ativação nuclear.
A molécula CD4, da superfamília das imunoglobulinas, é o receptor celular de
superfície das células suscetíveis à infecção direta pelos HIV livres circulantes. Os
componentes da gp120 viral ligam-se ao CD4. A mudança conformacional da gp120 durante
sua interação com a superfície da célula do hospedeiro parece facilitar a entrada do
nucleocapsídeo no citoplasma celular (perda do envoltório).
A transcrição reversa se processa após alguns dias de infecção celular. A DNA –
polimerase RNA – dependente viral (transcriptase reversa), na presença de proteínas do core e
da H RNAase, produz uma cópia de DNA de dupla – hélice complementar a partir do RNA
viral (cDNA ou DNA complementar). O cDNA forma complexos com proteínas do core viral,
circundando e sendo transportado para o núcleo celular, ocorrendo, então, integração no
genoma da célula do hospedeiro. Após a integração, várias protreínas regulatórias virais são
produzidas. A interação dessas proteínas virais com os fatores regulatórios celulares
aparentemente é o que determina se a infecção será latente ou ativa. A latência se estabelece
quando proteínas inibitórias virais e moduladores celulares predominam, desde que não haja
ativação exógena. (Veronesi, Focaccia, 1996).
Figura 1: Esquema do Vírus da Imunodeficiência Humana.
2. Exposição Ocupacional
Desde o inicio da epidemia de AIDS, a possibilidade de contaminação dos
profissionais de saúde motivou investigações dirigidas à quantificação desse risco. (Veronesi
et al., 1999).
Quando considerado o conjunto de acidentes perfurocortantes, o risco de
contaminação após exposição percutânea ao sangue é de aproximadamente 0,3%, sendo
proporcional ao inoculo, à extensão e à profundidade da lesão. O risco estimado de
contaminação após exposição de membranas mucosas é de 0,09%. Um estudo mostrou que o
risco é aproximadamente 16 vezes maior em casos de ferimentos profundos, cinco vezes
maior se há sangue visível na agulha/cateter ou se o procedimento envolveu agulha colocada
diretamente na veia ou artéria e oito vezes maior se ocorrer morte do paciente-fonte por
doença relacionada ao HIV nos dois meses após o acidente (Rachid, Schechter, 2005).
A estimativa de risco de infecção em acidentes dessa natureza se torna mais difícil,
devido ao pequeno número de casos relatados na literatura médica (Veronesi et al., 1999).
Acredita-se que tanto a intensidade, o tipo e a freqüência dos contatos com o material
contaminado como a carga viral do paciente envolvido na relação determinam o grau de risco
a que se expõe o profissional.
Em um estudo do tipo caso-controle houve diminuição de aproximadamente 80% do
risco de infecção com o uso de AZT após acidentes perfurocortantes. Dessa forma, a
profilaxia pós-acidente está recomendada para todos os casos de exposição de alto risco,
conforme Anexo 1. O início do tratamento deve ser o mais precoce possível, idealmente
dentro da primeira ou até terceira hora após o acidente, de preferência não ultrapassado 24-36
horas (Rachid, Schechter, 2005).
Tipos de Exposições:
x
x
x
Exposições percutâneas
Exposições em mucosas
Exposições cutâneas (pele não-íntegra)
Casos de contaminação ocupacional pelo HIV podem ser caracterizados como
comprovados ou prováveis. De maneira geral, casos comprovados de contaminação por
acidente de trabalho são definidos como aqueles em que há evidência documentada de
soroconversão e sua demonstração temporal associada a exposição ao vírus.
Casos prováveis de contaminação são aqueles em que a relação causal entre a
exposição e a infecção não pode ser estabelecida porque a sorologia do profissional
acidentado não foi obtida no momento do acidente.
Desde o início da epidemia da AIDS (1981) até o momento atual, 103 casos
comprovados e 219 casos prováveis de profissionais de saúde contaminados pelo HIV por
acidente de trabalho foram publicados em todo o mundo (Rapparini et al., 2007).
Na próxima seção, apresentaremos alguns conceitos sobre a Teoria dos Conjuntos
Fuzzy.
3. Fundamentação Teórica
3.1 Conjuntos Fuzzy
A Teoria dos Conjuntos Fuzzy foi apresentada em 1964 por Prof. Lofti Zadeh, da
Universidade da Califórnia, em Berkeley, quando trabalhava com problemas de classificação
de conjuntos que não possuiam fronteiras bem definidas.
O termo fuzzy significa nebuloso e se refere ao fato de, em muitos casos, não
conhecermos completamente os sistemas que estamos analisando. Existem inúmeras situações
em que a relação de pertinência não é bem definida e, nestes casos, não sabemos dizer com
exatidão se o elemento pertence ou não pertence a um dado conjunto. A intenção do Prof.
Zadeh foi flexibilizar a pertinência de elementos aos conjuntos criando a idéia de grau de
pertinência. Desta forma, um elemento poderia pertencer parcialmente a um dado conjunto.
Dadas as características desta teoria, são esperadas enormes contribuições para o
desenvolvimento de modelos em áreas onde é necessário lidar com incerteza e subjetividade.
A seguir, definiremos conjunto fuzzy:
Definição 1: Um subconjunto fuzzy F do conjunto universo U é definido em termos de uma
função de pertinência P que a cada elemento x de U associa um número P x , entre zero e
um chamado de grau de pertinência de x a F . Assim, o conjunto fuzzy F é simbolicamente
indicado por sua função de pertinência
P F o >0,1@ .
Os valores P F ( x ) 1 e P F ( x) 0 indicam, respectivamente, a pertinência plena e a não
pertinência do elemento x a F (Jafelice, 2005).
3.2 Variáveis Lingüísticas
Uma variável lingüística fuzzy é uma variável cujo valor é expresso qualitativamente
por um termo lingüístico (que fornece um nome ou um conceito à variável) e
quantitativamente pela sua função de pertinência. A variável lingüística é composta por uma
variável simbólica e por um valor numérico. Os termos lingüísticos são usados para expressar
conceitos e conhecimentos na comunicação humana, e em muitas áreas são a forma mais
importante de quantificar e qualificar os dados (informações).
Nas áreas médicas o uso de variáveis lingüísticas para expressar valores é
extremamente comum. De fato, muitos são os exames clínicos em que os valores observados
somente podem ser expressos em termos de variáveis lingüísticas, seguindo algum padrão que
o médico desenvolve durante sua formação e que é aperfeiçoado com a sua prática. A Figura
5 ilustra o uso de variáveis lingüísticas na avaliação do grau de desconforto respiratório.
(Massad et al., 2004).
Figura 5: Escala de avaliação do grau de desconforto respiratório (Massad et al., 2004).
3.3 Sistemas Baseados em Regras Fuzzy
Sistemas baseados em regras fuzzy (SBRF) contêm quatro componentes: um
processador de entrada que realiza a fuzzificação dos dados de entrada, uma coleção de regras
nebulosas chamada base de regras, uma máquina de inferência fuzzy e um processador de
saída que fornece um número real como saída (Jafelice, 2003). Estes componentes estão
conectados conforme indicado na Figura 6.
Figura 6: Arquitetura de Sistemas Baseados em Regras Fuzzy (Jafelice, 2003).
Uma vez estabelecida uma base de regras, isto é, como relacionamos os conjuntos fuzzy
pela forma Se...então..., um SBRF pode ser visto como um mapeamento entre a entrada e a
saída da forma y f x , x R n e y R m (trajetória em negrito na Figura 6). Esta classe de
sistema é amplamente utilizada em problemas de modelagem, controle e classificação. Os
componentes do SBRF são descritos a seguir:
x
Processador de Entrada (Fuzzificação)
Neste componente as entradas do sistema são traduzidas em conjuntos fuzzy em seus
respectivos domínios. A atuação de um especialista na área do fenômeno a ser modelado é de
fundamental importância para colaborar na construção das funções de pertinências para a
descrição das entradas.
x
Base de Regras
Este componente, juntamente com a máquina de inferência, pode ser considerado o núcleo
dos sistemas baseados em regras fuzzy. Ele é composto por uma coleção de proposições fuzzy
na forma Se...então.... Cada uma destas proposições pode, por exemplo, ser descrita
linguisticamente de acordo com o conhecimento de um especialista. A base de regras
descreve relações entre as variáveis linguísticas, para serem utilizadas na máquina de
inferência fuzzy que descrevemos no próximo item.
x
Máquina de Inferência Fuzzy
É neste componente que cada proposição fuzzy é traduzida matematicamente por meio
das técnicas de raciocínio aproximado. Os operadores matemáticos serão selecionados para
definir a relação fuzzy que modela a base de regras. Desta forma, a máquina de inferência
fuzzy é de fundamental importância para o sucesso do sistema fuzzy, já que fornece a saída a
partir de cada entrada fuzzy e da relação definida pela base de regras. Um dos métodos
particulares de Inferência Fuzzy é o Método de Mamdani.
¾ Método de Mamdani
Uma regra Se (antecedente) então (consequente) é definida pelo produto cartesiano fuzzy
dos conjuntos fuzzy que compõem o antecedente e o consequente da regra. O método de
Mamdani agrega as regras através do operador lógico OU, que é modelado pelo operador
máximo e, em cada regra, o operador lógico E é modelado pelo operador mínimo. Veja as
regras a seguir:
Regra 1: Se x é A1 e y é B1 então z é C1 .
Regra 2:Se x é A2 e y é B2 então z é C 2 .
A Figura 7 ilustra como uma saída real z de um sistema de inferência tipo Mamdani é
gerada a partir das entradas x e y reais e a regra de composição max-min. A saída z R é
obtida pela defuzzificação do conjunto fuzzy de saída C
C1' C 2' da Figura 7.
Figura 7: Método de Mamdani com composição max-min.
x
Processador de Saída (Defuzzificação)
Na teoria dos conjuntos fuzzy pode-se dizer que a defuzzificação é um processo de se
representar um conjunto fuzzy por um número real. Em sistemas fuzzy, em geral, a saída é um
conjunto fuzzy. Assim, devemos escolher um método para defuzzificar a saída e obter um
número real que a represente. O método mais comum é o Centro de Gravidade.
¾ Centro de Gravidade
Este método de defuzzificação é semelhante à média ponderada para distribuição de
dados, com a diferença que os pesos são os valores P C z i que indicam o grau de
compatibilidade do valor zi com o conceito modelado pelo conjunto fuzzy C. Para um
domínio discreto tem-se
¦ in 0 z i P C z i G C .
¦ in 0 P C z i Para um domínio contínuo tem-se
³ P u du
G C R C
,
³ R P C u du
onde R é a região de integração.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Quando indivíduos sofrem exposição ocupacional ao HIV, são avaliados vários
parâmetros com o objetivo de conhecer a gravidade da exposição e o risco de contaminação.
Dentre esses parâmetros, são considerados: carga viral do sangue do indivíduo fonte, tempo
de exposição ao material contaminado e o volume do mesmo, conforme Anexo 1.
Assim, vamos considerar as variáveis: carga viral (CV), volume (V) e tempo de
exposição (T), como variáveis lingüísticas que influenciam no risco de contaminação (RC) do
indivíduo e temos um sistema baseado em regras fuzzy, conforme a Figura 8.
CV
MAMDANI
T
RC
V
Figura 8: Esquema do SBRF.
Adotamos a base de regras fuzzy assumindo como antecedentes a carga viral (CV),
dada em cópias/ml, considerando um domínio de [0, 10000], representando as faixas < 1000,
[1000, 4500], > 4500 pelos termos lingüísticos {baixa, média, alta}; o volume do material
contaminado (V), dado em gotas, considerando um domínio de [0, 20], representando as
faixas < 1.5, [1.5, 4.5], > 4.5 pelos termos lingüísticos {pequeno, médio, grande}; o tempo de
exposição (T), dado em minutos, considerando um domínio de [0, 10], representando as faixas
< 1, [1, 4], > 4 pelos termos lingüísticos {baixo, médio, alto}.
Como conseqüente, adotamos o risco de contaminação (RC), considerando domínio
[0, 1], representando as faixas < 0.16, [0.16, 0.5], [0.5, 0.97], > 0.97 pelos termos lingüísticos
{baixo, médio, alto, muito alto}, respectivamente.
O modelo é desenvolvido via SBRF (Sistema Baseado em Regras Fuzzy) e utilizamos
o Método de Inferência de Mamdani e o Método de Defuzzificação, Centro de Gravidade,
para obter o comportamento do RC, ou seja, determinamos os valores do RC. As Figuras 9,
10, 11 e 12 representam as funções de pertinência dos diversos conjuntos fuzzy associados às
variáveis lingüísticas, carga viral (CV), tempo de exposição (T), volume (V) e risco de
contaminação (RC), conforme Anexo I. As regras obtidas incorporando os conhecimentos do
especialista, estão nas Tabelas 5, 6 e 7.
V
Pequeno
Médio
Grande
T
V
Pequeno
Médio
Grande
T
Baixo
Baixo
Baixo
Baixo
Baixo
Alto
Alto
Médio
Baixo
Baixo
Baixo
Médio
Alto
Alto
Alto
Baixo
Baixo
Baixo
Tabela 5: Regras Fuzzy para CV Baixa.
V
Pequeno
Médio
Grande
T
Baixo
Médio
Médio
Médio
Médio
Médio
Médio
Médio
Alto
Médio
Médio
Alto
Tabela 6: Regras Fuzzy para CV Média
Alto
Muito
Alto
Alto
Alto
Muito
Muito
Alto
Alto
Tabela 7: Regras Fuzzy para CV Alta
Figura 9: Funções de Pertinência da Carga Viral (CV).
Figura 10: Funções de Pertinência do Tempo de Exposição (T).
Figura 11: Funções de Pertinência do Volume (V).
Figura 12: Funções de Pertinência do Risco de Contaminação (RC).
Na Tabela 8 apresentamos o cálculo do risco de contaminação para alguns valores de
carga viral, tempo e volume. Para este cálculo, utilizamos o sistema baseado em regras fuzzy
construído anteriormente.
CV
T
V
(cópias/ml)
(minutos)
(gotas)
500
1
3
4000
2
1
8000
4
5
Tabela 8: Cálculo do Risco de Contaminação.
RC
0.217
0.551
0.978
Desta forma, através da teoria dos conjuntos fuzzy, podemos estabelecer o grau de
risco de contaminação ao HIV ao qual o indivíduo que sofreu exposição ocupacional está
sujeito, e assim, tomar as medidas cabíveis em cada caso.
CONCLUSÃO
Através da teoria dos conjuntos fuzzy, com informações sobre a carga viral da fonte,
tempo de exposição e volume do material contaminado, podemos estabelecer o grau de risco
de contaminação ao HIV ao qual o indivíduo que sofreu exposição ocupacional está sujeito.
E, consequentemente, tomar as medidas cabíveis em cada caso, como por exemplo, a
instituição de tratamento profilático.
Assim, dadas as características dessa teoria, são esperadas enormes contribuições para
o desenvolvimento de modelos em áreas onde é necessário lidar com incerteza e
subjetividade, buscando sempre que possível a integração dos diferentes segmentos
acadêmicos.
AGRADECIMENTOS
O primeiro autor agradece à FAPEMIG – A-009/2006 pela concessão da Bolsa de
Iniciação Científica e o segundo autor à FAPEMIG – CEX 109/04 e ao Programa Especial de
Pesquisa da Universidade Federal de Uberlândia – A-005/2004 pelo apoio financeiro.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BURLAMAQUI, L. - História Natural da Infecção pelo HIV. Disponível:
<http://www.hiv.org.br/internas\_materia.asp$?$cod\_secao=atualiza\&cod\_materia=851:
Acesso em: 05/05/2006.
JAFELICE, R. Modelagem Fuzzy para Dinâmica de Transferência de Soropositivos para
HIV em Doença Plenamente Manifesta. Tese de Doutorado, FEEC, Universidade Estadual de
Campinas, Campinas, Brasil, 2003, p.169.
JAFELICE, R.; BARROS, L. C.; BASSANEZI, R. C. Teoria dos Conjuntos Fuzzy com
Aplicações,Uma publicação da SBMAC, Editora Plêiade, 2005, p.68.
MASSAD, E.; MENEZES, R.; SILVEIRA, P.; ORTEGA, N. Métodos Quantitativos em
Medicina, 2004, p.561.
MINISTÉRIO DA SAÚDE. Disponível: <http://www.aids.gov.br: Acesso em: 10/04/2006.
RACHID, M; SCHECHTER, M. Manual de HIV/AIDS. Rio de Janeiro, 8 ed, editora Revinter
Ltda, 2005, p.224.
RAPPARINI, C.; VITÓRIA, M. A. A.; LARA, L. T. R. - Recomendações para Atendimento e
Acompanhamento de Exposição Ocupacional a Material Biológico: HIV e Hepatites B e C.
Disponível: <http://www.riscobiologico.org/resources/4888.pdf: Acesso em: 21/01/2007.
SANCHEZ, E. Solutions in composite fuzzy relation equations: application to medical
diagnosis in brouweriano logic. In Fuzzy Automata and Decision Processes, p. 221-234,
M.M. Gupta, North-Holland, Amsterdam, 1977.
SANCHEZ, E.; BARTOLIN, R. Fuzzy inference and medical diagnosis, a case study. Int. J.
Biom. Fuzzy Systems Ass., v.1, p. 4-21, 1990.
VERONESI, R.; FOCACCIA, R. Tratado de Infectologia, São Paulo, 1996, p.83.
VERONESI, R.; FOCACCIA, R.; LOMAR, A.V. Retroviroses Humanas HIV/AIDS, São
Paulo, 1999, p.42-43.
ANEXO
Anexo I – Fluxograma
FAMAT em Revista
Î¥
Þ
Problemas e Soluções
www.famat.ufu.br
Problemas e Soluções
Luiz Alberto Duran Salomão (coordenador da seção)
Márcio José Horta Dantas
Problemas e Soluções
A revista eletrônica FAMAT em Revista publica regularmente uma seção de problemas com o tı́tulo Problemas e Soluções. Todos os interessados podem participar dessa
seção apresentando soluções para os problemas já publicados ou propondo novos problemas. Serão publicados problemas de matemática básica ou superior, assim como enigmas
de natureza lógica que desafiem nossos leitores e lhes proporcionem bom treinamento na
resolução de problemas. O comitê editorial selecionará, dentre os problemas propostos, os
que mais se destacarem por sua beleza, relevância e originalidade. Problemas propostos
em um número da revista terão suas soluções publicadas no número seguinte. Quando
da publicação de problemas ou resoluções enviados por leitor, serão citados o(s) proponente(s) e o(s) autor(es) das soluções recebidas. Ao propor um problema, o leitor deverá
encaminhar sua solução juntamente com o enunciado e citar a fonte de onde ele foi tirado,
se for o caso.
Todo participante dessa seção deverá identificar-se mencionando seu nome e endereço
completos (inclusive e-mail). Para fazer contato com a revista, os participantes poderão
utilizar o endereço eletrônico
[email protected]
ou encaminhar correspondência para:
FAMAT em Revista
Faculdade de Matemática
Universidade Federal de Uberlândia
Av. João Naves de Ávila, 2121, Santa Mônica
CEP 38408-100 - Uberlândia - MG
Nesse número, além de quatro novos desafios, publicamos a resolução dos quatro do
número anterior.
ATENÇÃO: Para os leitores que nos enviarem soluções corretas, dos quatro problemas
propostos, estaremos sorteando em Abril de 2007 alguns exemplares do livro:
MOREIRA, C. et. alli. (orgs.) Olimpı́adas Brasileiras de Matemática. 9 a . a
16 a . Problemas e resoluções. Rio de Janeiro: Publicação da Sociedade Brasileira de
Matemática, 2003.
“A filosofia está escrita nesse grande livro - ou seja, o Universo que se encontra aberto continuamente ante os nossos olhos, mas ele
não pode ser entendido a menos que se aprenda, primeiro, a ler sua
linguagem e interpretar as letras com as quais o compuseram. Ele foi
escrito no idioma da matemática e seus sı́mbolos são triângulos,
cı́rculos e outras figuras geométricas, sem as quais é humanamente
impossı́vel entender uma única palavra de seu texto.”
Galileu Galilei, Il Saggiatore (1623)
Resoluções dos problemas da revista número 7
25. É possível embrulhar um cubo de aresta 1 utilizando uma folha de papel quadrada 3 u 3?
Justifique sua resposta.
Resolução: A resposta é afirmativa. Para justificá-la, utilizamos a figura abaixo
na qual o quadrado ABCD tem lado 2 2 , que é menor do que 3.
26. Se a1 , a 2 , , a n são constantes reais, onde n é um inteiro positivo, e
a1 cos x a 2 cos 2 x a n cos nx t 0, x 5,
0 , para i = 1, 2, , n.
mostre que ai
Resolução:
Inicialmente, observe que a1 cos x a 2 cos 2 x a n cos nx 0, x [0, 2S ] . De fato, caso
a1 cos x a 2 cos 2 x a n cos nx assumisse algum valor positivo no intervalo [0, 2S ] , a
integral definida
³
2S
0
(a1 cos x a 2 cos 2 x . . . a n cos nx) dx seria maior do que 0; no
entanto, é fácil ver que seu valor é 0.
Agora,
multipliquemos
ambos
os
membros
a1 cos x a 2 cos 2 x a n cos nx 0
(*)
por
cos x .
a1 cos 2 x a 2 cos x cos 2 x a n cos x cos nx 0, x [0, 2S ] .
membros desta última equação, de 0 a 2S , vemos que
a1 ³
2S
0
2S
a1 ³
0
cos 2 x dx a 2 ³
2S
0
cos x cos 2 x dx . . . a n ³
cos 2 x dx a 2 .0 . . . a n .0
2S
0
0 e, por fim, a1
cos x cos nx dx
0.
da
Daí,
Integrando
equação
obtemos
ambos
0 , o que acarreta
os
Multiplicando, agora, ambos os membros da equação (*) por cos 2 x e procedendo de forma
análoga à feita acima, concluiremos que a 2 0 .
Mutatis mutandis, repetimos essa argumentação tantas vezes quantas forem necessárias e
teremos demonstrado que ai 0 , para i = 3, . . . , n.
§ 1 1 1
·
27. É possível extrair da seqüência ¨1, , , , ¸ uma subseqüência cuja soma dos termos
© 2 4 8
¹
1
seja ? Justifique sua resposta.
7
1
1
1
1
1
1
1
Resolução: Observe que a a b a 2b equivale a a
o que, por sua
1
7
7
2
2
2
2
1 b
2
ba
2
1
. Como 7 é ímpar, esta última igualdade só é possível se
vez, é equivalente a b
2 1 7
a b . Além disso, b = 3. Portanto,
1 1
1
1
6 9 .
3
7 2
2
2
28. Sejam a, b, c e d números reais positivos. Demonstre a seguinte desigualdade:
ab cd d
a d b c .
Resolução: Observe que a desigualdade que se quer demonstrar equivale a
a
b
c
d
d 1.
ad bc
bc ad
a
b
sen 2D e
sen 2 E , para valores adequados de D e E , com
Fazendo
ad
bc
S
, a desigualdade acima é transformada em senD senE cos D cos E d 1 , ou seja,
2
cos(D E ) d 1 .
0 D, E Problemas Propostos
29. Em um momento inicial, duas velas tinham a mesma altura h, encontrando-se, uma da
outra, a uma distância a. A distância entre cada uma das velas e a parede mais próxima é
também igual a a. Com que velocidades movem-se as sombras das velas nas paredes, se uma
vela queima durante o tempo t1 e a outra durante o tempo t2?
30. Dado um pentágono convexo, mostre que é possível escolher três de suas diagonais de
modo que com elas se possa construir um triângulo.
31. Seja W um conjunto de pontos do plano. Supondo que todo ponto de W é ponto médio de
um segmento que tem suas extremidades em W, demonstre que W é infinito.
32. Seja q um número natural maior do que 1. Se m e n são números inteiros positivos,
demonstre que qm-1 é divisor de qn-1 se, e somente se, m é divisor de n.
FAMAT em Revista
Û
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Eventos
www.famat.ufu.br
Eventos
Maria Luiza Maes (coordenadora da seção)
EVENTOS
Gostaríamos de enfatizar aqui, o VII Encontro Regional de Matemática Aplicada e
Computacional, evento a ser realizado no período de 20 à 22 de junho. No próximo número
daremos os detalhes da realização deste evento.
VII ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E
COMPUTACIONAL – ERMAC 2007
O Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional (ERMAC) será
realizado de 20 a 22 de junho de 2007 na Universidade Federal de Uberlândia. O evento é
uma das atividades da Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional
(SBMAC), tendo como objetivo divulgar conhecimentos científicos nas diversas regiões do
país, especialmente naquelas mais distantes dos grandes centros científicos.
O público alvo deste evento é composto de discentes de graduação e pós-graduação,
professores do ensino fundamental, médio e superior, principalmente das áreas de
Matemática, Física e Ciência da Computação, para os quais serão oferecidos mini-cursos e
palestras ministrados por professores altamente qualificados.
Um fato importante nessa edição do ERMAC, merecedor de destaque, é que o
Instituto de Física e as Faculdades de Computação e de Matemática estão trabalhando em
parceria na organização do evento. Assim, o evento também promove a interação entre
pesquisadores das áreas de Matemática, Física, Ciência da Computação e áreas afins através
da realização de mini-simpósios e sessões técnicas, permitindo a apresentação de seus
trabalhos mais recentes.
PROGRAMAÇÃO
PALESTRAS
- Computação Natural: Conceitos e Aplicações
Prof. Dr. Fernando Von Zuben - UNICAMP
- A Análise Não Linear versus Equações Diferencias
Prof. Dr. Olimpío Hiroshi Miyagaki - UFV
- História-Matemática-Educação Matemática: Sobre as Possibilidades de um Diálogo
entre Áreas
Prof. Dr. Antônio Vicente M. Garnica - UNESP
- Deus e o Diabo na Nanotecnologia
Prof. Dr. Adalberto Fazzio - USP
- Arte e Matemática
Prof. Dr. João Carlos Moreira - UFU/FACIP
MINI-CURSOS
- A Matemática do Processamento Digital de Imagens - da Álgebra Linear às
Equações Diferenciais Parciais
Profa. Dra. Célia A. Zorzo Barcelos - UFU
- Introdução à Criptografia
Prof. Dr. João Nunes de Souza - UFU
- Frações Contínuas e Aplicações
Profa. Dra. Cleonice F. Bracciali - UNESP
Profa. Dra. Eliana Xavier L. de Andrade - UNESP
- Operações Elementares em Grafos e Aplicações
Profa. Dra. Magali M. de A. Barroso - Uni-BH
- Introdução à Solução Numérica de Problemas em Dinâmica dos Fluídos
Prof. Dr. Valdemir Garcia Ferreira - USP
- As Potencialidades Didáticas Pedagógicas de um Ambiente Computacional TELEDUC- na Construção do Conhecimento Matemático
Profa. Dra. Rosana G. S. Miskulin – UNESP
MINI-SIMPÓSIOS
BIOMATEMÁTICA
Prof. Dr. Laécio Carvalho de Barros - UNICAMP
Prof. Dr. Rodney Carlos Bassanezi - UNICAMP
Prof. Dr. Wilson Castro Ferreira Jr. - UNICAMP
OTIMIZAÇÃO
Prof. Dr. Hilton Vieira Machado - UnB
Prof. Dr. Peter Zörnig - UnB
Profa. Dra. Sezimária F. P. Saramago - UFU
NANOCIÊNCIA/NANOTECNOLOGIA
Prof. Dr. Antônio Cleves N. Oliveira - UnB
Prof. Dr. Gilmar Eugênio Marques - UFSCAR
Prof. Dr. Guo-Qiang Hai – USP
MESA REDONDA
A mesa redonda será coordenada pelo Prof. Dr. José Alberto Cuminato – USP,
presidente da SBMAC, com a participação de um membro de cada Faculdade das Ciências
Exatas da UFU, com o Tema:
‘Aplicações da Matemática em outras Ciências.’
Na seqüência, são apresentadas, tabelas, descrevendo, diariamente, a programação
detalhada do evento. Os títulos das palestras e ciclos de palestras ainda não foram definidos
pelos autores.
Horário
20/06 – Quarta - feira
8:00 – 8:30
Entrega de Material aos participantes
8:30 – 9:00
Abertura do Evento com a presença do Presidente da
SBMAC
9:00 – 9:30
‘Coffee-Break’
9:30 – 10:30
Palestra de Bioinformática
10:30 – 12:00
Ciclos de Palestras 1, 2 e 3
12:00 – 14:00
Almoço
14:00 – 15:00
15:00 – 16:00
Palestra de Equações Diferenciais Parciais
16:00 – 16:30
‘Coffee-Break’
16:30 – 18:30
Mesa Redonda
Horário
8:00 – 9:30
21/06 – Quinta - feira
Mini-simpósio de Biomatemática/Apresentação de
Painéis
9:30 – 10:00
‘Coffee-Break’
10:00 – 11:00
11:00 – 12:00
Sessões Técnicas
12:00 – 14:00
Almoço
14:00 – 15:30
15:30 – 16:30
Palestra de Educação Matemática
16:30 – 17:00
‘Coffee-Break’
17:00 – 18:30
Mini-simpósio de Otimização
Horário
22/06 – Sexta - feira
8:00 – 9:30
Mini-simpósio de Nanociência/Nanotecnologia
9:30 – 10:00
‘Coffee-Break’
10:00 – 11:00
11:00 – 12:00
Sessões Técnicas
12:00 – 14:00
Almoço
14:00 – 15:30
15:30 – 16:30
Palestra Arte e Matemática
16:30 – 17:00
‘Coffee-Break’
17:00 – 18:30
Encerramento musical
ORGANIZAÇÃO
FACULDADE DE MATEMÁTICA
FACULDADE DE COMPUTAÇÃO
INSTITUTO DE FÍSICA
A Comissão Organizadora convida os discentes e docentes da FAMAT, FACOM, INFIS
e demais áreas afins para participarem do VII ERMAC, neste evento teremos a oportunidade
de conhecer aplicações da Matemática em diferentes contextos.
Inscrições: www.famat.ufu.br/ermac2007
Submissão de Trabalhos: 26/03/2007 a 05/05/2007
XXX CNMAC – Congresso Nacional de Matemática Aplicada
O CNMAC é um evento anual da SBMAC - Sociedade Brasileira de Matemática
Aplicada e Computacional. Nesta trigésima edição, o congresso será sediado na UFSC,
Florianópolis, SC.
Data de realização: 03 a 06 de setembro de 2.007
Informações: www.sbmac.org.br
IX ENEM - ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Período: 18 a 20 de julho de 2.007
Local: UNI – BH – Centro Universitário de Belo Horizonte – Campus Estoril
Inscrições:
x
Datas Valor para sócios:
16/11/2006 - 31/05/2007 R$ 130,00
01/06/2007 - 18/07/2007 R$ 160,00
x
Datas Valor para não sócios
16/11/2006 - 31/05/2007 R$ 230,00
01/06/2007 - 18/07/2007 R$ 260,00
Informações: www.ixenem.com.br
52ª RBRAS – Região Brasileira da Sociedade Internacional de Biometria &
12º Simpósio de Estatística Aplicada à Experimentação Agronômica –
SEAGRO
Local: Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria – RS
Informações: http://www.rbras.org.br/
XIII ErematSul
Encontro Regional de Estudantes de Matemática da Região Sul - Pelotas Rio Grande do Sul
Período: 7 a 10 de junho de 2007
Informações: http://www.ufpel.tche.br/clmd/eremat2007/
II Encontro Científico dos pós graduandos do IMECC
Período: 18 a 20 de abril de 2007
Informações: http://www.ime.unicamp.br/~encpos07/
II Conference on Computational and Mathematical Population Dynamics
Informações: http://www.cmpd2.ime.unicamp.br/
I Congresso Brasileiro de Educação: Políticas e Práticas Educativas para a
Infância
Período: 26 a 28 de junho de 2.007
Informações: [email protected]
X V I E I E M – Encontro de Investigação em Educação Matemática
Período: 12 e 13 de maio de 2.007
Informações: http://www.esev.ipv.pt/eiem2007/index_ficheiros/page0001.htm
26o Colóquio Brasileiro de Matemática - IMPA
Período: 29/07 a 03/08/07
Informações:
http://www.impa.br/opencms/pt/eventos/extra/2007_coloquio/CBM26/index.html
Curso: Fluxo de Ricci e Conjectura de Poincaré
Período: 25/06 a 28/07/07
Informações: http://www.impa.br/opencms/pt/eventos/store/evento_0013.html
Workshop on Conservative Dynamics and Symplectic Geometry
Período: 06 a 10 de agosto de 2.007
Informações: http://www.impa.br/opencms/pt/eventos/store/CDSG
X Workshop on Partial Differential Equations: Theory, Computation and
Applications
International Congress on Minimal and Constant Mean Curvature
Surfaces
_
åÖ
Æ
FAMAT em Revista
Reflexões Sobre o
Curso de Matemática
www.famat.ufu.br
Reflexões sobre o Curso de Matemática
Valdair Bonfim
As conseqüências da recente reforma curricular para o
Bacharelado em Matemática
Em dois artigos na Revista Eletrônica da FAMAT (nos 4 e 6) o Professor Valdair Bonfim detalha com
esmerada precisão diversos aspectos da reforma curricular implementada no nosso Curso de Matemática, dentre
os aspectos ressaltados está o fato de que tais reformulações obedecem todas as leis e resoluções que
normatizam os cursos de graduação no país e na UFU, a saber, a Lei 9394/96 – LDB, o Parecer 1302/2001 do
CNE/CES (Conselho Nacional de Educação/ Câmara de Educação Superior), as Diretrizes Curriculares
Nacionais Para os Cursos de Matemática, Bacharelado e Licenciatura, a Resolução 2/2004 do CONGRAD.
Além disso, o nosso projeto foi construído segundo as “Orientações Gerais para Elaboração de Projetos
Pedagógicos de Cursos de Graduação” da UFU, bem como o “Projeto Institucional de Formação e
Desenvolvimento do Profissional em Educação”, também da UFU. Este último oferece um detalhamento
refinado para a criação dos projetos pedagógicos das licenciaturas. A bem da verdade espera-se dotar as
licenciaturas de um perfil profissional comparável àqueles encontrados nas Engenharias, no Direito, na
Medicina; criou-se assim a figura do “Profissional da Educação”. Daí em diante as licenciaturas não formam tão
somente professores para o Ensino Básico, mas formam e desenvolvem profissionais em educação.
Todavia, observa-se que as Orientações Gerais pouco se atêm aos cursos que possuem as duas
modalidades, mencionando apenas algumas orientações para aqueles cursos que possuem ênfase em
determinadas áreas.
No caso particular do Curso de Matemática, a Licenciatura e o Bacharelado são gêmeos siameses,
quase indissociáveis: das 17 Competências e Habilidades que constam das Diretrizes Curriculares Nacionais
para os Cursos de Licenciatura e Bacharelado em Matemática 11 são comuns a ambas as modalidades:
a) capacidade de expressar-se escrita e oralmente com clareza e precisão;
b) capacidade de trabalhar em equipes multidisciplinares;
c) capacidade de compreender, criticar e utilizar novas idéias e tecnologias para a resolução de
problemas;
d) capacidade de aprendizagem continuada, sendo sua prática profissional também fonte de
produção de conhecimento;
e) habilidade de identificar, formular e resolver problemas na sua área de aplicação, utilizando rigor
lógico-científico na análise da situação-problema;
f) capacidade de estabelecer relações entre a Matemática e outras áreas do conhecimento;
g) conhecimento de questões contemporâneas;
h) educação abrangente necessária ao entendimento do impacto das soluções encontradas num
contexto global e social;
i) participar de programas de formação continuada;
j) realizar estudos de pós-graduação;
k) trabalhar na interface da Matemática com outros campos de saber.
Além dessas, as seguintes são específicas do educador matemático:
l) elaborar propostas de ensino-aprendizagem da Matemática para a educação básica;
m) analisar, selecionar e produzir materiais didáticos;
n) analisar criticamente propostas curriculares de Matemática para a educação básica;
o) desenvolver estratégias de ensino que favoreçam a criatividade, a autonomia e a flexibilidade do
pensamento matemático dos educandos, buscando trabalhar com mais ênfase nos conceitos do
que nas técnicas, fórmulas e algoritmos;
p) perceber a prática docente de Matemática como um processo dinâmico, carregado de incertezas e
conflitos, um espaço de criação e reflexão, onde novos conhecimentos são gerados e modificados
continuamente;
q) contribuir para a realização de projetos coletivos dentro da escola básica.
A comissão de elaboração da proposta curricular procurou manter quibuscunque viis essa natureza
indissociável das duas modalidades, de modo que se tem hoje no fluxo curricular componentes comuns do
primeiro ao oitavo período do curso. Dos Projetos Integrados de Práticas Educativas (PIPE), dois deles
(Contextualização Sócio-Cultural, Novos Temas no Currículo do Ensino Básico) são desenvolvidos
integralmente do 1o ao 4o período através de ações integradas ao longo das disciplinas que possuem um caráter
específico não descaracterizando a formação do bacharel, são elas: Introdução a Matemática, Matemática Finita,
Estatística e Probabilidade, Informática e Ensino, esta última de caráter eminentemente prático. O mesmo ocorre
com o tema Investigação e Compreensão (PIPE3) que é desenvolvido em parte na disciplina Geometria
Euclidiana Espacial (3º. Período) e em parte na disciplina Ensino da Matemática Através de Problemas (6º.
Período). Já o PIPE 4: Temas e Questões Educacionais Transversais, é desenvolvido ao longo de disciplinas que
não compõem a formação do bacharel, a saber, Psicologia da Educação (5º. Período) Política e Gestão da
Educação (5º. Período) e Didática Geral (6º. Período).
Em relação à componente curricular Prática Educativa, articulando disciplinas de formação específica e
pedagógica, não deve compor a formação do bacharel.
O Núcleo de Formação Acadêmico–Científico-Cultural do Bacharelado permite um amplo leque de
oportunidades para o enriquecimento curricular do aluno.
Porém é o Trabalho de Conclusão de Curso (TCC) que se constitui na principal distinção entre o antigo
bacharelado e o novo, ele deve ser fundamental para a formação profissional, espera-se que ao longo do curso o
bacharelando tenha desenvolvido sua capacidade investigativa e produtiva a ponto de desenvolver um projeto
que venha a contribuir para sua formação profissional. Espera-se também que o bacharelando desenvolva seus
projetos nas grandes áreas da Matemática Pura: Álgebra, Análise e Geometria-Topologia ou mesmo em algumas
de suas inúmeras aplicações, tais como, por exemplo, análise de estabilidade de sistemas mecânicos; robótica;
teoria de códigos; controle de qualidade da produção; biomatemática; ciências econômicas; telecomunicações;
fenômenos ondulatórios; fenômenos difusivos; otimização; planejamento da produção; tomada de decisões;
fluxos em redes; estratégias matemáticas no mercado financeiro; computação; estatística; processamento e
recuperação de imagens, dentre outros.
No bacharelado espera-se que o TCC seja desenvolvido como uma atividade integrada a um projeto de
iniciação científica, ou tenha um perfil de um projeto de iniciação científica.
Finalmente, com o objetivo de dar uma ampla formação Matemática algumas disciplinas do antigo
bacharelado foram completamente reformuladas e integram os núcleos de formação básica e específica, outras
ainda foram acrescentadas, com é o caso de Matemática Finita, Informática e Ensino, e Equações Diferenciais
Aplicadas.
O projeto ainda não foi totalmente implantado, neste semestre é a primeira vez que as disciplinas do 7o
período do currículo novo serão oferecidas (temos apenas um aluno matriculado na disciplina TCC1), o 8o
período somente ocorrerá no segundo semestre deste ano.
Inicialmente temia-se que as novas reformas curriculares do Curso de Matemática viessem a
desconfigurar o Bacharelado, privando-o de sua característica fundamental formadora. Contudo o que se observa
é que, graças aos esforços e originalidade das propostas formuladas pela comissão de elaboração, as mudanças
vieram a dar um novo impulso e maior flexibilidade ao Bacharelado, possivelmente haverá um aumento na
demanda por esta modalidade.
Além disso, sem dúvida alguma a criação do Mestrado em Matemática Pura se constituirá em um pólo
norteador para o Bacharelado, fortalecendo e ampliando seu quadro discente ao longo do tempo.
O novo Bacharelado em Matemática em sua íntegra apresenta-se vivo, moderno e dinâmico, assim
como é a própria Matemática em sua natureza: universal, permanente e independente.
Para finalizar ressalte-se que propostas curriculares generalizadas, que envolvam concepções
pedagógicas inovadoras no âmbito de outras áreas do conhecimento podem muito bem não se adequar caso da
Matemática dada suas características e especificidade.
Hermann Hänkel, matemático século XIX, aluno de Riemann, observa que “Na maior parte das
ciências uma geração põe abaixo o que outra construiu, e o que uma estabeleceu a outra desfaz. Somente na
Matemática é que cada geração constrói um novo andar sobre a antiga estrutura”.
Tal característica acumulativa e dedutiva torna a Matemática e seu método axiomático o maior
patrimônio do intelecto humano, destacando-a das outras ciências; por isso mesmo também a sua metodologia de
ensino as suas pedagogias devem ser objeto de pesquisa diferenciado.
FAMAT em Revista
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Em Sala de Aula
www.famat.ufu.br
Em Sala de Aula
Índice de Trabalhos
Algumas Possibilidades do Uso do Cabri Géomètre em Trigonometria
147
Tatiane Vieira Borges e Walter dos Santos Motta Junior
Cálculo de Áreas de Figuras Via Contagem
163
Tatiane Vieira Borges e Walter dos Santos Motta Junior
Comportamento dos Alunos da Universidade Federal de Uberlândia
em Relação à Alimentação e à Prática de Esportes
169
Karla B. de Freitas, Michelle C. de Miranda, Stela Z. Soares e Edimilson R. Pinto
O Consumo de Drogas Lícitas Entre os Discentes da Faculdade de Matemática
179
Estudo Quantitativo dos Alunos Matriculados nas Escolas de Uberlândia
185
Adriele Giaretta Biase e Edmilson Rodrigues Pinto
Implantação de um Curso Noturno de Licenciatura em
Matemática na Universidade Federal de Uberlândia
195
ALGUMAS POSSIBILIDADES DO USO DO CABRI GÉOMÈTRE
EM TRIGONOMETRIA
Tatiane Vieira Borges(*)
Walter dos Santos Motta Junior(**)
1. Introdução
Este trabalho foi produzido durante o período de vigência da bolsa de estudo
concedida à acadêmica Tatiane Vieira Borges pelo Programa Institucional de Bolsas de
Ensino de Graduação da Universidade Federal de Uberlândia – PIBEG/UFU – o que se deu de
março de 2004 a dezembro de 2004. O projeto ao qual a bolsista esteve vinculada foi
intitulado “Ações Integradas para Melhoria do Ensino de Matemática”, sendo desenvolvido
sob a orientação do professor Walter dos Santos Motta Junior. O plano de trabalho da referida
bolsista, denominado “Algumas possibilidades do uso do Cabri Géomètre em Trigonometria”,
dentre seus objetivos, visava estimular e potencializar o aprendizado do aluno ingressante no
Curso de Matemática, via a adoção múltiplas abordagens didático-pedagógicas no
desenvolvimento de temas básicos em matemática. Assim confeccionamos este material
procurando explorar o tema trigonometria com a utilização do programa computacional Cabri
Géomètre. Este programa nos permite um melhor entendimento sobre o tema em questão uma
vez que ele nos oferece ações dinâmicas possibilitando a visualização de inúmeros conceitos
geométricos “em movimento”.
A respeito da história da Trigonometria pode-se dizer que o início do seu
desenvolvimento se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia,
Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios.
A palavra trigonometria significa medida das partes de um triângulo. Não se sabe ao certo se
o conceito da medida de ângulo surgiu com os gregos ou se eles, por contato com a
civilização babilônica, adotaram suas frações sexagesimais. Mas os gregos fizeram um estudo
sistemático das relações entre ângulos - ou arcos - numa circunferência e os comprimentos de
suas cordas. A "Trigonometria" era então baseada no estudo da relação entre um arco
arbitrário e sua corda. A palavra cosseno surgiu somente no século XVII, como sendo o seno
do complemento de um ângulo. Os conceitos de seno e cosseno foram originados pelos
problemas relativos à Astronomia, enquanto que o conceito de tangente, ao que parece
segundo relatos históricos, surgiu da necessidade de calcular alturas e distâncias.
2- Algumas relações no triângulo retângulo
Consideremos um ângulo AÔB = θ, 0o < θ < 90o e tracemos, a partir dos pontos A1, A2,
A3, etc e da semi-reta AO, perpendiculares A1B1, A2B2, A3B3, etc, a semi-reta OB
Figura 1
Os triângulos OA1B1, OA2B2, OA3B3, etc, são semelhantes por terem os mesmos ângulos.
Logo, temos:
A1B1 A2 B2 A3 B3
=
=
= ...
OA1
OA2
OA3
Observe que tal relação independe dos comprimentos envolvidos, ela depende apenas do
ângulo θ. Desta forma ela será definida como sendo o seno de θ.
Ainda da semelhança dos triângulos temos:
OB1 OB2 OB3
=
=
= ...
OA1 OA2 OA3
A1B1 A2 B2 A3 B3
=
=
= ...
OB1 OB2
OB3
que também são dependentes apenas do ângulo θ. Definiremos então as funções, para 0o < θ
< 90o,
OB1
AB
cosθ =
, tgθ = 1 1
OA1
OB1
que se chamam cosseno de θ e tangente de θ, respectivamente.
A B OA ⎛ A B ⎞ ⎛ OB ⎞ sen θ
tgθ = 1 1 . 1 = ⎜⎜ 1 1 ⎟⎟ / ⎜⎜ 1 ⎟⎟ =
OB1 OA1 ⎝ OA1 ⎠ ⎝ OA1 ⎠ cos θ
No triângulo retângulo, temos
(OA ) = (A B ) + (OB )
2
2
1
2
1 1
1
Buscamos estudar outras relações entre estas funções.
2
⎛ A B ⎞ ⎛ OB ⎞
sen θ + cos θ = ⎜⎜ 1 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ OA1 ⎠ ⎝ OA1 ⎠
2
2
2
(A B ) + (OB )
(OA )
(OA ) = 1
=
(OA )
2
=
2
1 1
1
2
1
2
1
2
1
Agora, utilizando o Cabri Géomètre faremos uma ilustração bastante interessante e
simples destas relações no triângulo retângulo. Para isto, basta seguir os seguintes passos:
Passo 1: Construa um segmento AB (“Segmento”, Janela 3).
Passo 2: Pelo vértice A construa uma reta perpendicular ao segmento AB (“Reta
Perpendicular”, Janela 5).
Passo 3: Com a opção “Triângulo” da Janela 3, construa um triângulo retângulo CAB
clicando sobre um ponto C da reta perpendicular do Passo 2, depois sobre o ponto A e
finalmente sobre o ponto B.
Passo 4: Com “Distância e Comprimento” (Janela 9), calcule as distâncias entre os vértices
do triângulo CAB. Edite-as com o Ponteiro como “a =”, “b =” e “c =”, respectivamente as
medidas correspondentes aos lados opostos aos ângulos A, B e C.
Passo 5: Faça as marcas de ângulos nos vértices do triângulo (“Marca de Ângulo”, Janela 10)
e modifique-as com a opção “Modificar Aparência” da Janela 11.
Passo 6: Calcule as medidas dos ângulos (“Ângulos”, Janela 9).
Passo 7: Use as caixas de comentário e edite as expressões nos espaços convenientes da área
de trabalho:
“b/a =”, “c/a =“, “(b/a)^2 + (c/a)^2=” e “b/c=”
Figura 2
Passo 8: Com “Calculadora” da Janela 9, calcule as expressões anteriores e insira os
resultados nas expressões, editando os textos com o Ponteiro. Proceda como segue: transporte
os resultados para a área de trabalho, clique duas vezes sobre o texto para abrir a caixa de
edição, localize o cursor na posição onde deseja inserir o valor e então clique com o mouse
nos valores correspondentes.
Passo 9: Manipule o triângulo pelos vértices e verifique que a relação fundamental
“(b/a)^2+(c/a)^2 = 1 ” permanece invariante.
Passo 10: Marque um ponto D sobre o segmento AB (“Ponto sobre Objeto”, Janela 2).Trace
por D uma reta paralela ao lado AC (“Reta Paralela”, Janela 5) e obtenha o ponto E de
interseção com a hipotenusa BC. Temos um novo triângulo BDE, com ângulo reto em D,
semelhante ao triângulo CBA. Calcule as medidas do novo triângulo e as relações entre elas.
Conclua que os conceitos trigonométricos relativos a um ângulo interno de um triângulo
retângulo estão bem definidos, isto é, todos os triângulos retângulos semelhantes entre si
apresentam as mesmas relações trigonométricas. Lembremo-nos de que dois triângulos
semelhantes possuem os mesmos ângulos internos e lados correspondentes proporcionais.
Manipule o ponto A com o Ponteiro e observe esse fato com o reconhecimento de triângulos
semelhantes. Analogamente, manipule o ponto D.
Figura 3
Outro fato importante que segue imediatamente desta atividade é que, como os ângulos
internos agudos de um triângulo são complementares, segue a relação
“cosseno(α) = seno(90 - α)” , para um ângulo agudo α.
Passo11: Usando a opção Calculadora (Janela 9) observe que temos disponíveis as funções
cosseno, seno e tangente (cos, sin e tan, respectivamente, na calculadora).
Calcule os valores do cosseno, seno e tangente dos ângulos agudos do triângulo com essas
funções, edite-os num canto da área de trabalho e compare com os resultados anteriores.
Exercício 2.1: Um piloto decola de certa cidade A com seu avião, devendo alcançar a cidade B
após duas horas de vôo na rota 28° (v.bússola). Porém duas horas após a decolagem, o piloto
notou que, por engano, tinha tomado a rota 280°. Supondo que o avião tenha combustível
suficiente, qual deverá ser o novo rumo para que ele consiga atingir a cidade B?
C
A
B
Figura 4
Resolução: Temos que o triângulo ABC é isóscele de base BC , pois dois lados do triângulo é
o espaço percorrido pelo piloto. Seja α a nova rota que o piloto deve seguir. Temos que BÂC
= 108°, logo ACB = ABC = 36°.Seja x uma reta perpendicular, passando por C, ao segmento
AO. Tome uma reta s, paralela ao segmento AD, passando por C. Logo, CÂD ≅ ACE = 10°.
Temos, também, que FCE = 90°. Logo α = 90° - 26° ⇒ α = 64°.
Exercício 2.2: Um navegante solitário deseja sair em noite escura do ponto A, e chegar ao
ponto B da carta náutica ainda à noite. Ele conhece a velocidade do seu barco, 12 km/h e
possui, além desta carta, um relógio e uma bússola. Sabendo que nesta carta 1 km = 2 cm faça
o planejamento de uma rota (poligonal) que ele possa seguir.
Figura 5
Resolução: Na carta, traçamos o polígono ACDEB, de maneira que os vértices fiquem mais
próximos possíveis. Depois, com uma régua, graduada em centímetros, medimos os lados do
polígono e constatamos que AC = 2,5 cm, CD = 2,0 cm, DE = 8,5 cm e EB = 3,0 cm.
Sabemos que 1 Km = 2 cm, logo 26 cm, que é a distância total de A para B, dará 13 km.
Temos que a velocidade do barco é de 12 km/h, logo para saber aproximadamente quantas
horas o navegante gastará nesta viagem, basta fazer uma regra de três simples:
Distância
Tempo
12 km _______ 1 hora
13 km _______ x
Portanto x ≅ 1,10 h.
3-Extensões das funções trigonométricas
Consideremos a função E : ℜ → S 1 definida do seguinte modo, fixamos uma origem
A ∈ S 1 , dado um número real, percorremos sobre S1, no sentido positivo se x > 0, e no
sentido negativo se x < 0, um comprimento igual a x ; por definição, E( x ) é o ponto de S1
assim determinado.
0
x
R
P=E(x)
x
Figura 6
Observe que, dado um ponto P de S1, ele é a imagem pela função E de uma infinidade de
números reais, todos eles da forma:
x + 2kπ, k = 0, ± 1, ± 2, … ,0 ≤ x ≤ 2π.
No sistema de coordenadas cuja origem é o centro de S1 e sendo A = (1, 0 ) definimos
cos x = abscissa de P
sen x = ordenada de P
sen x
tg x =
, se cos x ≠ 0.
cos x
Como todo ponto P = (cos x, sen x) de S1 está a uma distância 1 da origem temos
sen2 x + cos2 x = 1
A nova definição, portanto, estende a primeira e mantém as relações básicas. As funções seno
e cosseno são periódicas com período 2π, pois para todo k inteiro, e para todo x real, sen (x +
2k·) = sen x e cos (x + 2k·) = cos x, pois E (x + 2k·) = E(x) = P.
Vejamos agora, utilizando os recursos do Cabri, uma ilustração de uma atividade
envolvendo funções trigonométricas vistas como funções no círculo, por exemplo,
consideremos o caso da função cosseno:
Passo 1: Mostre os eixos (Janela 11) e rotule a origem como O (“Rótulo”, Janela 11).
Passo 2: Construa um círculo qualquer com centro em O (janela 4). Determine o ponto A de
interseção do círculo com o eixo Ox positivo, isto é, à direita de O .
Passo 3:Construa um ponto P sobre o círculo (“Ponto sobre Objeto”, Janela 2) e uma semireta OP com origem em O (“Semi –reta”, Janela 3).
Passo 4: Faça uma marca de ângulo AOP, nesta ordem (“Marca de Ângulo”,Janela10).
Passo 5: Mude a opção de unidade na medição de ângulos, para isto, selecione a figura toda
com o Ponteiro clicando inicialmente num ponto da tela. Ao arrastar o mouse um retângulo
pontilhado irá surgir.Você deverá manipular o mouse de modo que toda a figura fique na
parte interna do retângulo. Ao soltar o mouse, toda a figura e o retângulo que a contém ficarão
piscando e estarão prontos para aceitar mudanças de configuração. Vá agora ao menu de
Opções da barra de ferramentas do Windows.Escolha “Preferências”.Em “Exibir Precisão e
Unidades” mude a unidade de medição de ângulos de graus para radianos.Clique em
“Aplicar” e depois em OK.
Passo 6: Com “Ângulo” da Janela 9 calcule a medida em radianos do ângulo AOP marcado.
Passo 7: Pelo ponto P trace uma reta perpendicular ao eixo Ox (Janela 5) e obtenha P’ como o
ponto de interseção sobre o eixo Ox (“Pontos de intersecção”,Janela 2).
Passo 8: Calcule as coordenadas do ponto P’ (“Equações e Coordenadas”, Janela 9).
Passo 9: Construa o segmento OP e calcule seu comprimento, que é a medida do raio do
círculo construído.
Figura 7
Observamos que, com essa construção, obtemos um triângulo retângulo com ângulo reto em
P’. Se o ponto estiver no segundo ou terceiro quadrante, sua abscissa será dada por sua
projeção sobre o eixo Ox, que é o ponto P’, portanto será negativa. Manipule o ponto P com o
Ponteiro para observar o fenômeno.
Passo 10: Com a opção “Calculadora” (Janela 9), calcule a razão “(abscissa de P’)/medida do
raio(OP)”, clicando sobre a primeira coordenada de P’,depois sobre o símbolo “/” na
Calculadora e em seguida sobre a medida do raio OP.
Após clicar em “=”, clique sobre o resultado obtido, sem soltar o mouse, e arraste-o para uma
área de trabalho. Edite o resultado, clicando duas vezes com o Ponteiro sobre o texto e
escrevendo “abscissa P/raioOP =” antes do número obtido.
Passo 11: Com a Calculadora, use a função ‘cos’, calcule o valor do cosseno do ângulo (em
radianos) registra apenas uma volta completa no circulo.
Observe a mudança de sinais nos valores do cosseno, conforme as posições do ponto P nos
quadrantes do círculo.
Passo 13: Manipule o círculo inicial, o que altera a medida do raio, mas não o valor do
cosseno do ângulo AOP.
Figura 8
Com esta atividade, percebemos que é possível estender o conceito do cosseno para ângulos
não necessariamente agudos (e com procedimento análogo para seno, considerando a projeção
P” de P sobre o eixo Oy).Também podemos observar que o tamanho do raio do círculo
utilizado não é importante, uma vez que todos os círculos com um mesmo centro serão
semelhantes e um ângulo terá a mesma medida, dependendo apenas das semi-retas que os
determinam.
Exercício 3.1: Mostre que o perímetro de um pentágono regular inscrito em um círculo
unitário é dado por 10 sen
π
5
.
Figura 9
Resolução: Temos que AÔB =
2π
.Consideremos o triângulo AOC, onde OC é a altura que
5
coincide com a mediana, pois AOC é isósceles. Logo AÔC =
sen
π
5
Temos que AB = 2. AC .Logo AB = 2. sen
=
π
5
π
5
. Portanto
π
AC
⇒ AC = sen
1
5
.Portanto o perímetro do pentágono é
2p = 5. ( 2. sen
2p = 10 sen
π
5
π
5
)
.
Exercício 3.2: Para calcular a circunferência terrestre o sábio Erastóstenes valeu-se da
distância conhecida de 800 km entre as localidades de Alexandria e Siena, situadas no mesmo
meridiano terrestre. Ele sabia que, quando em Siena os raios solares caíam verticalmente, em
Alexandria eles faziam um ângulo de 7,2° com a vertical. Calcule, com estes dados a
circunferência terrestre.
Resolução: Seja α a medida em radianos de AÔS. Logo
α ________ 7,2°
π ________180°
7,2π
⇒α =
180
800
Temos também que ⇒ α =
rad (definição do ângulo α em radianos). Logo
R
800
7,2π
800.180
rad =
⇒R=
180
7,2π
R
Assim, temos:
800.180
= 40000
c = 2πR = 2π
7,2π
Portanto a circunferência terrestre tem 40000 km.
4- As Leis do Seno e do Cosseno
A lei do cosseno é uma generalização do Teorema de Pitágoras: Seja ABC um
triângulo qualquer com lados a, b e c. Então a2 = b2 + c2 – 2bc.cos Â.
De fato: traçamos a altura BH e consideremos os dois casos seguintes:
a) Â é agudo: fazendo BH = h e AH = x , temos no triângulo BHC,
a2 = h2 + ( b – x )2
a2 = b2 + h2 – 2bx + x2
No triângulo BHA, temos:
c2 = h2 + x2
Logo
a2 = b2 + c2 – 2bx
mas, cos Â =
x
⇒ x = c. cos Â .
c
Portanto
a2 = b2 + c2 – 2bc.cos Â.
Figura 10
b) Â é obtuso: fazendo, da mesma forma, BH = h e AH = x , temos no triângulo BHC,
a2 = h2 + ( b + x )2
a2 = h2 + x2 + b2 +2bx
a2 = c2 + b2 + 2bx.
Como x = c.cos BÂH = c(- cos Â) segue que
a2 = b2 + c2 – 2bc.cos Â.
Figura 11
Observe que se Â é reto, o resultado acima é o Teorema de Pitágoras.
A lei dos senos: Seja ABC um triângulo qualquer com lados a, b e c. Então
a
b
c
=
=
.
sen Â sen Bˆ sen Cˆ
De fato: seja S a área do triângulo ABC.Logo
a
abc
1
1
S = bc sen Â ⇒ aS = abc sen Â ⇒
=
(I)
2
2
sen Â 2 S
S=
b
abc
1
1
ac sen Bˆ ⇒ bS = abc sen Bˆ ⇒
=
ˆ
2
2
sen B 2 S
(II)
S=
1
1
c
abc
ab sen Cˆ ⇒ cS = abc sen Cˆ ⇒
=
2
2
sen Â 2 S
(III)
De (I), (II) e (III), temos
a
b
c
=
=
.
sen Â sen Bˆ sen Cˆ
Veremos agora, atividades de aplicações no Cabri das leis do cosseno e dos senos.
Sugerimos o seguinte roteiro para estudar a lei do cosseno:
1. Construa um triângulo qualquer ABC (“Triângulo”, Janela 3).
2. Calcule as medidas dos lados (a, b e c, respectivamente, opostos aos ângulos A, B e C) e de
um ângulo interno, digamos Â (Janela 9).
3. Com a Calculadora, calcule separadamente as expressões “a ^ 2” e “b ^ 2 + c ^ 2 * b * c *
cos(Â)”. Compare. Estamos verificando a fórmula, não provando.
4. Manipule o triângulo com o Ponteiro de maneira a conduzir à interpretação da fórmula
como o Teorema de Pitágoras generalizado, isto é, “o triângulo é retângulo em Â se e somente
se os lados AB e Ac são perpendiculares”.
Figura 12
Prova: Uma prova pode ser feita considerando primeiro o caso em que Â é um ângulo agudo.
Trace por B (ou C) uma reta perpendicular à reta suporte do outro lado e considere triângulos
retângulos auxiliares. O Teorema de Pitágoras, junto com os princípios trigonométricos,
conduz aos passos da demonstração.A manipulação do triângulo para Â obtuso mostrará a
validade dos argumentos e a adaptação necessária na redação da prova para este caso, assim
como a confirmação do Teorema de Pitágoras é um caso particular da lei.
Sugerimos o seguinte roteiro para o estudo da lei dos senos:
1. Construa um triângulo qualquer ABC.
2. Construa o circuncentro do triângulo, como sendo o ponto O de encontro das mediatrizes
dos lados do triângulo.
3. Construa o círculo circunscrito ao triângulo dado. (Como construí-lo com Cabri?
Atenção!).
4. Por um dos vértices, digamos A, trace a reta AO e obtenha o ponto D de interseção com o
círculo, de modo que AD seja um diâmetro.Conclua que o triângulo ADB (ou ADC) é um
triângulo retângulo em B (ou C). Por quê? Este passo é uma construção auxiliar.
5. Calcule a medida do lado BC (oposto ao ângulo Â), do diâmetro AD e do ângulo Â.
6. Com a calculadora calcule “medida (BC)/sin (Â)”.Confira que é a medida de AD.
7. Se você repetir o procedimento com outros vértices, o resultado será invariante, o que
comprova a lei dos senos.
8. Manipule o triângulo e continue observando a confirmação da lei: “a razão entre a medida
de um lado de um triângulo e o seno do ângulo oposto a ele é uma constante (igual à medida
do diâmetro do círculo circunscrito)”.
Figura 13
Figura 13
Prova: Pelo procedimento da atividade, temos que o triângulo DBA é retângulo com ângulo
reto em B. Também por argumentos da Geometria Euclidiana, os ângulos inscritos BCA e
BDA são congruentes, pois subtendem o mesmo arco AB, cuja corda tem comprimento c,
então sen(D) = sen(C). No triângulo DBA, temos sen(D) = c/AD = c/2R, em que R é o raio do
círculo circunscrito. Nessa mesma construção e ilustração, o mesmo argumento mostra que o
ângulo B é congruente ao ângulo ADC, no triângulo retângulo ADC, e subtendem o mesmo
arco AC. Para o ângulo Â, basta construir um diâmetro por B ou C e o raciocínio será
idêntico.
Exercício 4.1: Um observador O situado no topo de uma montanha vê dois outros A
e B situados no nível do mar. Os observadores A e B medem os ângulos α e β que as linhas
AO e BO formam com o plano horizontal e o observador O mede o ângulo AÔB = r.
Conhecendo a distância AB = d , calcule a altura da montanha.
Resolução: Fazendo BD = x e seja h a altura da montanha, temos
Figura 14
h
⇒ h = (d + x)tgα
d+x
h
tgβ = ⇒ h = xtgβ
x
tgα =
Logo
(*)
(d + x)tgα = xtgβ ⇒ dtgα + xtgα = xtgβ ⇒ dtgα = xtgβ − xtgα
⇒x=
dtgα
xtgβ − xtgα
Substituindo o valor encontrado de x em (*), obtemos h =
dtgα ⋅ tgβ
.
tgβ − tgα
5- Trigonometria e números complexos: alguns aspectos gerais
Um número complexo z = a + bi pode ser pensado como um ponto do plano, de
coordenadas (a, b) ou como um vetor Oz , de origem O e extremidades (a, b). Indiquemos por
r = z = a 2 + b 2 o comprimento de Oz que suporemos diferente de zero, e por θ o ângulo
positivo xOy.
z = (a, b)
b = r sen θ
θ
a = r cos θ
Figura 15
Então
a
b
= cos θ ´, sen θ
r
r
isto é,
z = a + bi = r cos θ + r sen θ i = r(cos θ + i sen θ)
onde os elementos geométricos r e θ do vetor Oz estão destacados. A representação z = r(cos
θ + i sen θ) é chamada a forma trigonométrica do complexo z. A forma trigonométrica
permite uma interpretação geométrica da operação de multiplicação de números complexos. E
uma conseqüência da interpretação geométrica do produto de números complexos é a seguinte
expressão, conhecida sob o nome de Fórmula de De Moivre:
(cos x + i sen x)n = cos (nx) + i sen (nx),
onde n é o inteiro positivo. Geometricamente, a fórmula acima significa que multiplicar o
complexo unitário cos x + i sen x por si próprio n vezes equivale a dar-lhe n rotações
sucessivas de ângulo x.
A fórmula de De Moivre possibilita a determinação de raízes de um número
complexo.Vejamos um exemplo: Encontrar as raízes da equação z5 = 1 = cos (k 360º) + i sen
(k 360º). Assim, qualquer complexo da forma:
⎛ k ⋅ 360º ⎞
⎛ k ⋅ 360º ⎞
wk = cos⎜
⎟ + i sen ⎜
⎟
⎝ 5 ⎠
⎝ 5 ⎠
é tal que wk5 = 1 . Portanto, os valores k = 0, 1, 2, 3 e 4 dão as raízes distintas procuradas (as
demais são repetidas).Logo,
w0 = 1,
w1 = cos(72º ) + i sen(72º ),
w2 = cos(144º ) + i sen(144º ),
w3 = cos(216°) + i sen(216°),
w4 = cos(288°) + i sen(288º ),
são todas as raízes procuradas.
Vejamos agora uma atividade, usando o Cabri, que ilustra a operação de multiplicação
de números complexos:
Passo 1: Mostre os eixos e rotule a origem como O.
Passo 2: Construa dois números dois números complexos z = a + bi e w = c + di, com a opção
“Vetor” (Janela 3) a partir de O, e calcule as coordenadas (“Equações e Coordenadas”, Janela
9).
Passo 3: Calcule o comprimento de cada vetor , z e w com “Distância e Comprimento” da
Janela 9. Observe que estamos usando a notação de “módulo” para o vetor que representa o
número complexo. Dizemos “módulo do número complexo”.
Passo 4: Faça a marca de ângulo com vértice na origem O para cada um dos números
complexos z e w, de modo que o primeiro lado do ângulo seja sempre o eixo positivo Re(z).
Calcule suas medidas.
Figura 16
Este ângulo (orientado a partir do eixo positivo re(z) no sentido anti-horário) é chamado de
“argumento do número complexo’’. Na verdade, um número complexo Z possui vários
argumentos θ + 2kπ, k inteiro, o que é claro por sua representação geométrica, mas aqui
estamos usando a primeira determinação, 0 ≤ θ < 2π.
As propriedades das operações anteriores nos números complexos e a propriedade segundo a
qual as partes real e imaginária de um número complexo satisfazem à estrutura multiplicativa
de números reais sugerem que a multiplicação de números complexos que generalize tal
operação seja da forma:
“z *w = (a + bi) * (c + di) = (ac + (bi)i2)+(bc + ad)i =
(ac - bd) + (bc + ad)i”
Passo 5: Com a opção “Calculadora” (Janela 9), calcule Re(z * w) = ac – bd e Im(z * w) = bc
+ ad, inserindo os dados com o mouse, clicando sobre as coordenadas apropriadas de z e w.
Edite os resultados na tela.
Passo 6: Transfira os resultados calculados de Re(z * w) para o eixo Re(z) e de Im(z * w) para
o eixo Im(z)
Passo 7: Construa um ponto de coordenadas ( Re(z * w), Im(z * w)) no plano de Gauss e com
a opção “Vetor” (Janela 3) construa o vetor de origem O, rotulando-o como z * w.
Passo 8: Com a opção “Calculadora” (Janela 9), calcule o produto z * w com os valores
obtidos no Passo 3 e a soma dos ângulos arg(z) + arg(w) com os dados do Passo 4.
Passo 9: Com a opção ‘Distância e Comprimento” (Janela 9), calcule o módulo do vetor z * w
e compare com o produto z * w . Manipule os vetores iniciais e observe.
Figura 17
Passo 10: Clique na Janela 6 e selecione a opção “Rotação”.
Clique sobre o vetor w, sobre a medida arg(z) e, finalmente, Sobre o ponto O. Aparecerá um
diálogo como segue para orientar os passos: “girar este vetor”, “usando este ângulo” e “ao
redor deste ponto”. Confirme que vetor obtido é paralelo ao vetor construído z * w.
Exercício 5.1: Um antigo mapa dava instruções para localizar um tesouro enterrado em certa
ilha...
“Ande da palmeira até a entrada da caverna. Lá chegando, vire 90º graus à direita e
caminhe o mesmo número de passos. No fim desse trajeto coloque uma marca e retorne à
palmeira. Agora, caminhe em direção à uma grande pedra que servirá como referencial. Lá
chegando, vire 90º à esquerda e caminhe o mesmo número de passos que foram dados da
palmeira à pedra. Coloque uma marca no fim desse trajeto. O tesouro estará no ponto médio
destas duas marcas”.
Todavia, quando chegamos à ilha, a palmeira não existia mais. Como fazer para achar o
tesouro?
Resolução: Considere um sistema de coordenadas cartesianas, abaixo representado, em que as
posições destacadas correspondam respectivamente a Pe pedra em questão, Ca caverna, Pa
palmeira, sendo m1 e m2 as marcas colocadas.
Im
Ca
Pe
Re
m2
m1
Pa
Figura 17
Assim sendo, temos então que,
Pe = 0 + 0i;
Pa = a + bi;
Logo,
Ca = d + 0i.
m1 = i (( a + bi ) ( - d ) 0 ) = ( a – d )i – b + d = ( d – b ) + ( a – d )i
e
m2 = - i ( a + bi ) = b – ai
Sabemos que o tesouro está no ponto médio de m1 e m2, desta forma
m1 + m2 (d − b + b) + (a − d − a )i d d
=
= − i
2
2
2 2
d
d
⎛
⎞
Portanto, o tesouro se encontra na posição ⎜ , ⎟ .
⎝2 2⎠
Referências bibliográficas
[1] “Trigonometria e Números Complexos”.Manfredo Perdigão do Carmo, Augusto César
Morgado, Eduardo Wagner, Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro, 1992.
[2] “Atividades com Cabri Géomètre II”. Yuriko Yamamoto Baldin, Guillermo Antônio
Lobos Villagra, Editora da Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, 2002.
[3] “Meu Professor de Matemática e Outras Histórias”. Elon Lages Lima, Sociedade
Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro, 1997.
(*) A aluna integralizou no segundo semestre de 2006, o Curso de Matemática (Licenciatura)
da Universidade Federal de Uberlândia. Sendo atualmente aluna do Curso de Matemática
(Bacharelado) da Universidade Federal de Uberlândia. Foi bolsista do Programa Institucional
de Bolsas de Ensino de Graduação da Universidade Federal de Uberlândia – PIBEG/UFU –
no período de março de 2004 a dezembro de 2004.
(**) Professor da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia e
orientador acadêmico junto ao projeto “Ações Integradas para Melhoria do Ensino de
Matemática”, vinculado ao Programa Institucional de Bolsas de Ensino de Graduação da
Universidade Federal de Uberlândia – PIBEG/UFU – no período de março de 2004 a
dezembro de 2004.
CÁLCULO DE ÁREA DE FIGURAS VIA CONTAGEM
Tatiane Vieira Borges(*)
Walter dos Santos Motta Junior(**)
1. Introdução
Estas notas foram produzidas durante o período de vigência da bolsa de estudos
concedida à acadêmica Tatiane Vieira Borges pelo Programa Institucional de Bolsas de
Ensino de Graduação da Universidade Federal de Uberlândia – PIBEG/UFU – o que se deu
de março de 2004 a dezembro de 2004. O projeto ao qual a bolsista esteve vinculada foi
intitulado “Ações Integradas para Melhoria do Ensino de Matemática” e foi desenvolvido sob
a orientação do professor Walter dos Santos Motta Junior. O plano de trabalho da referida
bolsista, denominado “Cálculo de área de figuras via contagem”, tinha dentre seus objetivos,
relacionar o cálculo de áreas de polígonos e outras figuras com a contagem de pontos em uma
rede no plano utilizando a fórmula de Pick. Tal fórmula é um resultado do final do século
passado que estabelece um critério interessante para o cálculo de área de polígonos com
vértices sobre uma rede no plano. O cálculo de áreas de figuras planas desempenha um papel
fundamental nos mais diversos ramos da Matemática, com muitas possibilidades de
aplicações a outros ramos do conhecimento. Assim sendo, apresentaremos neste texto uma
maneira não usual de calcular áreas de certas figuras geométricas. Os conceitos aqui
empregados são elementares e esperamos serem motivadores ao leitor.
2. Origens do problema
Uma “rede no plano” é entendida como um conjunto infinito de pontos dispostos
regularmente ao longo de retas horizontais e verticais, de modo que a distância de cada um
deles aos pontos mais próximos na horizontal ou na vertical é igual a um (segundo uma
unidade de medida fixada). Tomando um sistema de coordenadas cartesianas, com origem
num ponto da rede, a mesma pode ser descrita como um conjunto de pontos do plano cujas
coordenadas (m, n) são números inteiros.
Em 1899 o matemático tcheco Georg Alexander Pick publicou uma fórmula simples e
bonita para calcular a área de um polígono cujos vértices são pontos de uma rede. Pick nasceu
em 1859 em Viena, entrou na Universidade de Viena em 1875, cursando Matemática e Física,
graduou-se em 1879 com uma qualificação que permitisse ensinar ambos estes assuntos. Seu
trabalho matemático era diversificado com artigos variando através de muitos tópicos, tais
como: álgebra linear; análise funcional, e geometria. Destaca-se ainda que mais da metade de
seus artigos envolviam funções de uma variável complexa, equações diferenciais e geometria
diferencial. Em um de seus trabalhos surgiu a “fórmula de Pick” que originalmente apareceu
em seu artigo intitulado Geometrisches Zahlenlehre publicado em Praga em 1899. Este
resultado não recebeu muita atenção inicialmente. Todavia, após a sua citação em 1969 pelo
matemático H. Steinhaus, que o incluiu em um de seus livros, este resultado atraiu muita
atenção e admiração por ser simples e elegante. Vale destacar que lamentavelmente Pick
faleceu em torno de 1943 num campo de concentração nazista.
A fórmula de Pick afirma que: “a área de um polígono cujos vértices são pontos de
B
uma rede é dado pela expressão + I − 1 , onde B é o número de pontos da rede situados
2
sobre o bordo do polígono e I é o número de pontos da rede existentes no interior do
polígono”. Baseado neste resultado pode-se considerar o problema que segue
Problema 2.1: Obter uma estimativa para a área A da figura 1 abaixo.
Observe que a figura é delimitada por curvas. Uma alternativa para obter sua área é uma
aproximação para uma região poligonal por falta ou por excesso, onde o erro seja mínimo
possível. Na figura, observe que temos uma aproximação por excesso. Logo, utilizando
diretamente a fórmula de Pick temos uma estimativa de fácil computação para o cálculo da
área A.
Figura 1
O problema a seguir enquadra-se numa situação ideal para a utilização da fórmula de
Pick, obviamente o cálculo da área do polígono em questão é muito simples. Todavia, o
mesmo dará origem a uma situação um pouco mais delicada que discutiremos na seção 4.
Antes, porém, vejamos uma demonstração simples da fórmula de Pick.
Problema 2.2: Obter a área de um polígono cujos vértices são pontos de uma rede.
Figura 2
3. Demonstração da Fórmula de Pick
Definição 3.1: Um triângulo é denominado “fundamental” quando tem os três vértices e mais
nenhum outro ponto (do bordo ou do interior) sobre a rede no plano, previamente fixada.
Figura 3
Definição 3.2: Um paralelogramo diz-se “fundamental” quando os quatro vértices são os
únicos dos seus pontos que pertencem à rede.
Figura 4
Proposição 3.1: Todo polígono cujos vértices pertencem a uma rede pode ser decomposto
numa reunião de triângulos fundamentais, e sua área corresponde a T/2, onde T é o número de
triângulos fundamentais obtidos na decomposição do polígono ( observe que a área de um
triangulo fundamental é igual a ½).
Fórmula de Pick: A área de um polígono cujos vértices são pontos de uma rede é dado pela
B
expressão
+ I − 1 (*), onde B é o número de pontos da rede situados sobre o bordo do
2
polígono e I é o número de pontos da rede existentes no interior do polígono.
Demonstração: Seja P um polígono com vértices pertencentes a uma rede de pontos.
Indiquemos por B o número de pontos na rede situados sobre o bordo de P e I o número de
pontos na rede situados no interior de P. Temos que P pode ser decomposto em triângulos
fundamentais justapostos, sendo a área de cada um desses igual a ½. Podemos obter o número
de triângulos fundamentais através da soma dos ângulos internos desses triângulos que é igual
à soma dos ângulos internos de P, e é dado por Tπ , onde T é o número de triângulos
fundamentais na decomposição de P. Mostremos que T = B + 2I - 2. Temos que P pode ser
dividido em T triângulos e seja Sb a soma dos ângulos que tem vértice no bordo, Si a soma dos
ângulos cujos vértices estão no interior de P. Mas existem pontos no bordo que são vértices, à
esses denominamos B’, e outros pontos do bordo que não são vértices, à esses denominamos
B’’. Observe que B = B’ + B’’ e que a soma dos ângulos internos de P é dado por (B - 2) π .
Daí concluímos que: Tπ = (B’ - 2) π + 2π I + B’’ π = (B’ + B’’) π + 2 π I - 2 π ⇒ T = B +
2I - 2. Como T é igual a B + 2I - 2, então (*) está provada. De fato, temos que a área de P =
1
B
∑ área dos triângulos fundamentais = (B + 2I - 2) 2 = + I − 1 .
2
4. Um comentário sobre uma generalização da fórmula de Pick
No problema 2.2, calculamos a área de um polígono utilizando diretamente a fórmula
de Pick. Agora, vamos introduzir alguns “buracos” neste polígono (conforme a figura abaixo).
Desta forma, o cálculo de sua área através da fórmula de Pick nos fornece um resultado
errado, dado que a área deste polígono com buracos é de fato 24 cm2. De fato, para a validade
de tal fórmula é necessário que o “bordo” do polígono seja uma curva fechada simples, o que
não ocorre na figura 5. Em [4], Varberg introduz o conceito de função visão angular e
estabelece uma generalização da fórmula de Pick para polígonos com buracos. A expressão
por ele obtida expressa a área da região delimitada pelo polígono em função do número total
de pontos na região, o número de arestas no bordo da mesma e, além disso, da característica
de Euler-Poincaré da região (número estes que se constitui em um importante invariante
topológico).
Figura 5
Referências Bibliográficas
1. LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e Outras Histórias. Sociedade
Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro, 1997.
2. O’CONNOR, J. J.; ROBERTSON, E. F. Georg Alexander Pick. Disponível em:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Pick.html. Acesso em 16
mar. 2007.
3. ANDRADE,
Doherty.
Teorema
de
Pick.
Disponível
em:
<
http://www.dma.uem.br/kit/pick.html>. Acesso em 16 mar. 2007.
4. VARBERG, Dale E. Pick’s Theorem Revisited. Amer. Math. Monthly 92 (1985),
584-587.
(*) A aluna integralizou no segundo semestre de 2006, o Curso de Matemática (Licenciatura)
da Universidade Federal de Uberlândia. Sendo atualmente aluna do Curso de Matemática
(Bacharelado) da Universidade Federal de Uberlândia. Foi bolsista do Programa Institucional
de Bolsas de Ensino de Graduação da Universidade Federal de Uberlândia – PIBEG/UFU –
no período de março de 2004 a dezembro de 2004.
(**) Professor da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia e
orientador acadêmico junto ao projeto “Ações Integradas para Melhoria do Ensino de
Matemática”, vinculado ao Programa Institucional de Bolsas de Ensino de Graduação da
Universidade Federal de Uberlândia – PIBEG/UFU – no período de março de 2004 a
dezembro de 2004.
COMPORTAMENTO DOS ALUNOS DA UNIVERSIDADE FEDERAL
DE UBERLÂNDIA EM RELAÇÃO À ALIMENTAÇÃO E À PRATICA
DE ESPORTES
Karla Barbosa de Freitas 1
[email protected]
Stela Zumerle Soares1
[email protected]
Michelle Crescencio de Miranda1
[email protected]
Edimilson Rodrigues Pinto 2
[email protected]
Resumo
Devido ao estresse e a correria do dia a dia, as pessoas tendem a se alimentar de forma
incorreta e não praticar exercícios, o que afeta sua qualidade de vida. O objetivo deste
trabalho foi analisar tipo de alimentação, a prática de atividades físicas e IMC (Índice de
Massa Corpórea). Adicionalmente, também se procurou saber qual a opinião do aluno em
relação ao cardápio do restaurante universitário e se este satisfaz de forma satisfatória ao
cliente vegetariano.
Palavras-chave: Qualidade de Vida na UFU, Metodologia de Pesquisa Científica, Métodos
de Estatística Descritiva.
1.
Introdução
Atualmente, no mundo moderno, o tempo se encontra cada vez mais escasso para
muitos, e isso não é diferente para os universitários. Com o tempo menor, as pessoas tendem a
se alimentar de forma incorreta, tanto em quantidade, quanto em qualidade. A “bomba
calórica” que invade nosso cotidiano nos traz calorias vazias, ou seja, que nada de bom trazem
para nossa saúde, ricas em gorduras trans e saturadas. Em conseqüência disso, nos deparamos
com uma dieta pobre em proteínas, (responsáveis, principalmente, pela reconstrução de
tecidos musculares); vitaminas e minerais, (responsáveis pelo bom funcionamento de nosso
organismo); e fibras alimentares, (responsáveis pela formação do bolo fecal e um bom trânsito
intestinal, evitando um possível câncer colo retal; além de ajudar no controle do colesterol); e
muito rica em carboidratos e gorduras, que apesar de, em pequena quantidade, serem
essenciais para o fornecimento de energia para o nosso corpo, em quantidade abusiva, podem
se acumular em nosso organismo trazendo alguns prejuízos como entupimento de artérias,
pressão alta e diabetes. Uma deficiência de alguns tipos de vitaminas também pode trazer
sérios riscos para nossa saúde, como, por exemplo, a dificuldade de cicatrização, o
enfraquecimento ósseo e alguns tipos de anemias. Assim, juntamente com uma vida
sedentária, reflete o perfil da maioria dos brasileiros.
1
2
Discente do Curso de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia.
Orientador – Professor da Faculdade de Matemática, Universidade Federal de Uberlândia.
2.
Metodologia
A pesquisa foi realizada no Campus Santa Mônica da Universidade Federal de
Uberlândia, com 312 alunos dos 26 cursos abrigados neste campus. A cada um desses alunos
foi aplicado um questionário, apresentado no apêndice.
As variáveis de interesse para o estudo foram: sexo, número de refeições diárias,
vínculo empregatício, pratica e regularidade de exercício físico, regime alimentar (vegetariano
ou onívoro) e Índice de Massa Corpórea (IMC).
O IMC serve para classificação de pessoas como abaixo do peso, com peso normal,
sobrepeso ou obesas, a partir de suas alturas e pesos, como veremos a seguir:
IMC
IMC :
( peso)
altura Até 18,4
De 18,5 a 24,9
De 25 a 29,9
Acima de 30
2
Baixo peso
Peso Normal
Sobrepeso
Obesidade
Para esse estudo foi utilizada uma amostragem estratificada proporcional, onde os
estratos foram os cursos da UFU - Santa Mônica, e a unidade a ser amostrada foi o próprio
aluno universitário.
Para o tamanho da amostra adotou-se uma confiança de 93% e um erro de 5%, sendo o
tamanho da população estudada de 6.536 universitários, o tamanho da amostra foi de 312
universitários.
A amostra foi dividida proporcionalmente entre os cursos de: Engenharia Civil,
Engenharia Elétrica, Engenharia Biomédica, Engenharia Mecânica, Engenharia Química,
Engenharia Mecatrônica, Ciências da Computação, Matemática, Química, Física, Física de
Matérias, Administração, Ciências Contábeis, Ciências Econômicas, Direito, Ciências
Sociais, Geografia, História, Letras, Artes Plásticas, Artes Cênicas, Filosofia, Pedagogia,
Decoração, Arquitetura e Urbanismo e Música.
3.
Discussão e análise dos resultados
Aplicado o questionário, as respostas das perguntas 14 e 15 (Vide apêndice) foram
utilizadas para calcular o IMC (Índice de Massa Corpórea), com o auxilio do software Excel.
Tabela 1 – IMC dos universitários da UFU- Santa Mônica
Curso
Baixo Peso Peso
Sobrepeso
(fi%)
Normal
(fi%)
(fi%)
Obesidade
(fi%)
Total
(fi%)
Eng. Civil
Eng. Elétrica
Eng. Biomédica
0,01
0,34
0,01
3,5
6,94
0,78
0,68
0,68
0,01
2,13
3,86
0,75
0,68
2,06
0,01
Eng. Mecânica
Eng. Química
Eng. Mecatrônica
Ciências da Computação
Matemática
Química
Física
Física de Materiais
Administração
Ciências Contábeis
Ciências Econômicas
Direito
Ciências Sociais
Geografia
História
Letras
Filosofia
Pedagogia
Artes Plásticas
Artes Cênicas
Música
Arquitetura e Urbanismo
Decoração
0,34
0,01
0,01
0,34
0,68
0,34
0,34
0,01
0,34
0,34
0,34
0,34
0,34
0,34
1,03
1,03
0,34
0,68
0,01
0,01
0,68
0,01
0,01
4,55
4,55
1,77
4,18
3,51
3,17
1,78
1,42
5,93
3,17
2,48
4,2
1,79
1,89
4,55
9,63
2,13
1,44
2,82
1,1
1,1
1,44
0,41
0,34
0,34
0,34
0,34
1,03
0,34
0,34
0,01
0,34
1,72
1,03
0,68
0,01
0,01
1,03
0,01
0,68
0,01
0,68
0,34
0,34
0,01
0,34
0,01
0,34
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,34
0,34
0,01
0,01
0,34
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
5,24
5,24
2,13
4,87
5,23
3,86
2,47
1,45
6,62
5,24
4,19
5,56
2,15
2,25
6,95
10,68
3,16
2,14
3,52
1,46
2,13
1,47
0,77
Total
9,28
75,75
13,06
1,91
100
A Tabela 1 mostra que 75,75% dos universitários possuem peso normal,
conseqüentemente, 24,25% possuem alguma discrepância em seu IMC.
Dos entrevistados 63,10% eram do sexo masculino e 36,90% do sexo feminino.
0,93%
2,80%
15,88%
Baixo Peso
Peso Normal
Sobrepeso
Obeso
80,39%
Figura 1 – IMC dos entrevistados do sexo feminino.
Na figura 1, observa-se que 15,88% das entrevistadas possuem baixo peso e 80,39%
possuem peso normal.
2,18%
4,93%
19,12%
Baixo Peso
Peso Normal
Sobrepeso
73,77%
Obeso
Figura 2 – IMC dos entrevistados do sexo masculino
Ao contrario do sexo feminino, grande parte dos alunos do sexo masculino (19,12%)
está acima do peso ideal, e 73,77% se encontra com o peso normal, veja figura 2.
1,91%
9,28%
Peso Normal
13,06%
Sobrepeso
Baixopeso
75,75%
Figura 3 – IMC dos universitários da UFU – Santa Mônica.
Obeso
Na figura 3, observa-se que a grande maioria dos universitários possui peso normal
(75,75%), em compensação existe mais estudantes com sobrepeso (13,06%) do que com
baixo peso (9,28%).
Como a população foi dividida em estratos, pode-se analisar os IMC’s dos cursos de
exatas e humanas.
12,06%
1,78%
9,77%
Baixo Peso
Peso Normal
Sobrepeso
Obeso
76,39%
Figura 4 – IMC dos estudantes da área de humanas.
Pode-se observar na Figura 4 que a proporção de pessoas com baixo peso (9,77%) é
próxima daquela de pessoas com sobrepeso (12,06%). No entanto, a maioria (76,39%) possui
peso normal.
14,78%
1,73% 8,70%
Baixo Peso
Peso Normal
Sobrepeso
Obeso
74,79%
Figura 5 – IMC dos estudantes da área de exatas.
Na Figura 5, observa-se que ao contrário dos estudantes de humanas, os estudantes de
exatas, apesar de também, em sua grande maioria(74,79%), apresentarem peso normal,
existem mais estudantes com sobrepeso(14,78%) do que com baixo peso(8,70%).
Com relação ao estudante trabalhar e praticar exercícios obteve-se os seguintes
resultados. A figura 6 mostra que a maioria (46,10%) dos alunos de ciências exatas trabalha e
pratica esportes.
Trabalha e pratica
esportes
8,69%
17,39%
46,10%
Trabalha e não
pratica esportes
Não trabalha e
pratica esportes
27,82%
Não trabalha e
não pratica
esportes
Figura 6 – Trabalho e prática de atividades físicas dos estudantes da área de exatas.
Trabalha e
pratica esportes
18,97%
39,65%
0,57%
Trabalha e não
pratica esportes
Não trabalha e
pratica esportes
40,81%
Não trabalha e
não pratica
esportes
Figura 7 – Trabalho e prática de atividades físicas dos estudantes da área de humanas
Para os alunos de ciências humanas, (veja Figura 7), a maioria (40,81%) não trabalha
e pratica esportes, e a minoria (0,57%) trabalha e não pratica esportes. Além disso, existem
mais universitários que não trabalham e não praticam esportes (39,65%) do que os que
trabalham e praticam esportes (18,97%).
Com relação aos alunos vegetarianos e onívoros e suas satisfações quanto ao
Restaurante Universitário, que oferece diariamente refeições aos estudantes, foi observado
(Veja Figura 8) que aproximadamente metade (50,18%) dos entrevistados come carne e estão
satisfeitos com as refeições servidas no restaurante, mas observou-se também um número
significativo (46,02%) de estudantes que, mesmo comendo carne estão insatisfeitos com as
refeições. Também se observou que 3,46% não comem carne e não estão satisfeitos com o
cardápio, representando a grande maioria dos vegetarianos.
Comem carne e
estão satisfeitos
com o R.U.
3,46%
0,34%
46,02%
50,18%
Comem carne e
não estão
satisfeitos com o
R.U.
Não comem carne
e estão satisfeitos
com o R.U.
Não comem carne
e não estão
satisfeitos com o
R.U.
Figura 8 – Satisfação dos universitários que comem, ou não, carne em relação ao cardápio
do R.U.
A Figura 9 mostra o IMC dos alunos vegetarianos. Observe que, para observar se
existe alguma relação entre o vegetarianismo e o valor do IMC, foi feito um estudo a partir
destes parâmetros.
36,36%
63,64%
Figura 9 – IMC dos alunos vegetarianos.
Não comem carne e
estão com baixo
peso
Não comem carne e
estão com peso
normal
Aproximadamente um terço (36,36%) dos vegetarianos se encontram com baixo peso.
4.
Conclusão
Neste estudo observou-se que, o número de mulheres com sobrepeso é bem pequeno,
mas em compensação o de baixo peso é significativo. Isso pode ser conseqüência da busca
incansável pela beleza, que cada vez mais atrai as mulheres. No entanto, ao observar a
distribuição do sexo masculino, observou-se que o número de homens com sobrepeso é bem
maior que o número de homens com baixo peso. Isso pode ser uma conseqüência do hábito
dos homens de se preocuparem menos com a saúde; que,neste caso, está indiretamente
interligada ao IMC.
Nota-se também que, a proporção de universitários da área de exatas, que trabalham,
é bem maior que a dos estudantes da área de humanas, e mesmo assim a maioria trabalha e
pratica algum tipo de atividade física, já para aqueles da área de humanas, a maioria, apesar
de praticar esportes, não trabalham.
Em relação aos alunos vegetarianos, foi observado que seus adeptos representam
quantidade insignificante no âmbito da universidade, mas em sua maioria, não estão
satisfeitos com o cardápio do Restaurante Universitário. Isso se deve ao fato de algumas
pessoas citarem a falta de variedade de saladas e outras fontes de proteína no cardápio do
R.U.
Dentre os que comem carne, também se pode observar que existe um grande número
que também não está satisfeito com as refeições.
5.
Referências Bibliográficas
- BUSSAB W. O., MORETTIN P. A. Estatística Básica. Saraiva, 5a. ed. 2005.
- MEYER P.L. Probabilidade: aplicações à estatística. Livros Técnicos e Científicos, 2a. ed.
1983.
- BORGATTO, A. F. Métodos estatísticos I. Universidade Federal de Santa Catarina.
Florianópolis, 2006.
6.
Apêndice - Questionário
1)Qual seu sexo?
( ) feminino
( ) masculino
2) Diariamente, quantas refeições você realiza?
( )2
( )3
( )4
( )5
( )6
( )7 ou mais
3) Em média, de quantas frutas você se alimenta diariamente?
( ) nenhuma
( ) 1ou 2
( ) 2 ou 3
( ) 3 ou 4 ( ) 5 ou mais
4) Você trabalha?
( ) sim
( ) não
5) Se trabalha, qual sua jornada de trabalho?
( )4 horas
( )8 horas
( ) mais de 8 horas
6) Pratica alguma atividade física regularmente? Se sim, durante quanto tempo?
( ) 30 minutos
( ) 1 hora
( ) 2 horas ou mais
7) Quantas vezes por semana?
( ) 1 vez
( ) 2 vezes
( ) 3 vezes
( ) mais de 3 vezes
8) Consome verduras e legumes regularmente?
( ) sim
( ) não
9) Se alimenta de algum tipo de carne?
( ) sim
( ) não
10) Se não, qual sua principal fonte de proteína?
( ) Proteína de soja
( ) ovos
( ) leite ( ) nenhuma
11) Se não, possui outra fonte de ferro?
( ) não
( )complementos vitamínicos
( ) outras
( ) folhas verde escuras
( ) outras
12) Já manifestou algum tipo de deficiência metabólica( por exemplo, anemia)?
( ) sim
( ) não
13) Está satisfeito(a) com o cardápio do restaurante universitário?
( ) sim
( ) não
14) Qual seu peso? _____________
15) Qual sua altura? _____________
O CONSUMO DE DROGAS LÍCITAS ENTRE DISCENTES DA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
Matheus Bartolo Guerrero 1
Weyder Orlando Brandão Jr.1
[email protected]
[email protected]
Rafael Alves Figueiredo1
[email protected]
[email protected]
Resumo
O objetivo deste trabalho foi avaliar a prevalência do uso de drogas lícitas – álcool e tabaco –
entre discentes, regularmente matriculados no curso de Matemática, da Universidade Federal
de Uberlândia. Paralelamente, buscou-se investigar uma possível relação entre a estrutura
familiar e condição socioeconômica com o consumo de drogas lícitas.
Palavras-chave: Consumo de Drogas Lícitas, Metodologia de Pesquisa Científica, Métodos
de Estatística Descritiva.
1. Introdução
O consumo de bebidas alcoólicas e tabaco é um costume milenar da humanidade. O
conhecimento deste hábito remonta aos séculos anteriores, onde sociedades primitivas
utilizavam-nas de modo ritualístico. Com a evolução dos modos de produção o consumo de
tais substâncias perdeu o significado místico atingindo todas as camadas sociais.
Já nas décadas de 1960 e 1970, no entanto, houve uma verdadeira explosão do
consumo de tais substâncias. Nas décadas posteriores, com as novas políticas de saúde
pública houve uma tentativa de inibir o consumo excessivo de álcool e tabaco, mediante a
comprovação dos malefícios dos mesmos.
De acordo com [1], o consumo de bebidas alcoólicas tem sido classificado como
problema de saúde pública, associado à internação psiquiátrica, aposentadoria por invalidez,
absenteísmo, diminuição da capacidade intelectual, acidente de trabalho e de trânsito.
Quanto ao tabagismo, segundo [3], os prejuízos causados à saúde são amplamente
conhecidos, sendo o seu controle considerado pela Organização Mundial da Saúde como um
dos maiores desafios da saúde pública no mundo atual.
Tendo em vista tais fatores, o presente estudo teve por objetivo descrever a
prevalência do consumo de bebidas alcoólicas e do tabagismo nos hábitos dos discentes do
curso de Matemática, da Universidade Federal de Uberlândia.
1
2
Discente do Curso de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia
Orientador – Professor da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia
2. Metodologia
Durante as semanas de fevereiro de 2007 foram entrevistados 76 dos 256 discentes da
Faculdade de Matemática. O tamanho da amostra foi obtido com uma margem de erro
estimada em oito pontos percentuais ao nível de 90% de confiança.
A amostragem foi feita por conglomerados. Considerou-se cada disciplina dos cursos
de Licenciatura e Bacharelado da Faculdade de Matemática como sendo um conglomerado,
visto que em cada disciplina há uma distribuição heterogênea entre os discentes e que estas
disciplinas são homogêneas entre si, no que diz respeito à pessoa usar ou não drogas lícitas.
A entrevista foi feita por intermédio de um questionário onde as seguintes variáveis
consideradas para análise, foram: idade, sexo, tamanho da família, renda familiar (em salários
mínimos, correspondente à soma das rendas brutas individuais), escolaridade dos pais,
consumo de álcool (variável qualitativa dicotômica, independentemente da quantidade) e
fumo (variável dependente dicotômica categorizada em não-fumante e fumante, dependente
da quantidade).
Foi garantido aos entrevistados o sigilo das respostas, e foi também solicitado o
consentimento verbal para realização das entrevistas. Um modelo do questionário encontra-se
no Apêndice.
Os dados foram tabulados através do software Excel e expressos em freqüências
simples e percentual.
3. Apresentação dos Dados
Do total de 76 pessoas entrevistadas 60,53% eram do sexo masculino e 39,47% do
sexo feminino. A média de idade para essa amostra foi de 22 anos.
A distribuição do consumo de drogas lícitas encontra-se na Tabela 1. Os resultados
indicam que um total de 55,26% dos entrevistados consome bebidas alcoólicas. Dentre as
pessoas do sexo masculino 60,58% consomem bebidas alcoólicas. No público feminino esse
total cai para 46,67%. Do total de entrevistados 6,58% alegaram ser fumantes. Observa-se que
existe praticamente a mesma quantidade de fumantes entre homens e mulheres, 6,52% e
6,67%, respectivamente.
Tabela 1: Prevalência do consumo de drogas lícitas entre discentes
da Faculdade de Matemática.
Substância
Masc
Fem
Total
Álcool
60,87%
46,67%
55,26%
Tabaco
6,52%
6,67%
6,58%
A Tabela 2 mostra que, entre as pessoas que consomem bebidas alcoólicas, 66,67%
são homens e 33,33% são mulheres, ou seja, a cada 3 pessoas que consomem bebidas
alcoólicas 2 são do sexo masculino e 1 é do sexo feminino (2:1). Entre os fumantes, 60,00%
são homens e 40,00% são mulheres.
Tabela 2: Prevalência do consumo de drogas lícitas
segundo o sexo.
Substância
Masc
Fem
Álcool
66,67%
33,33%
Tabaco
60,00%
40,00%
Vale ressaltar que todas as pessoas que fumam são adeptas ao consumo de bebidas
alcoólicas.
Dado relevante é a idade média com que as pessoas começaram a ingerir bebidas
alcoólicas, 16,8 anos. Para o tabagismo a idade média de início é de 16,4 anos.
Tabela 3: Prevalência do consumo de
bebidas alcoólicas por renda familiar.
Salários Mínimos
%
Até 1
0,00
De 2 a 4
45,45
De 5 a 7
59,25
De 8 a 10
66,67
De 11 a 20
100,00
A Tabela 3 mostra uma relação direta entre a renda familiar e o consumo de bebidas
alcoólicas. Evidencia-se que o aumento da renda familiar é diretamente proporcional ao
consumo de bebidas alcoólicas, pois quanto maior a renda maior é a proporção de
consumidores naquela dada faixa salarial. Este resultado vem desmistificar a crença popular
de que o consumo de bebidas alcoólicas é maior entre a população de menor renda.
A tabela 4 mostra que o consumo de bebidas alcoólicas por parte dos pais influencia
diretamente a postura dos filhos em relação às mesmas.
Tabela 4: Prevalência do consumo de bebidas alcoólicas
segundo o consumo de bebidas alcoólicas por parte dos pais.
Condição
Pais não bebem
Ao menos um bebe
%
21,74
69,81
Constata-se que em um ambiente familiar onde não há consumo de bebidas alcoólicas
os filhos são menos propensos a enveredar pelos caminhos do alcoolismo. Enquanto o
consumo geral de bebidas alcoólicas foi de 55,26% dos entrevistados, o consumo de bebidas
alcoólicas, daqueles que os pais não fazem à ingestão de bebidas alcoólicas, caiu mais da
metade, 21,74% do total.
Tabela 5: Prevalência do consumo de bebidas alcoólicas
segundo o grau de escolaridade dos pais.
Escolaridade dos pais
%
Ambos com ensino superior
25,00
Apenas um com ensino superior
46,67
Ambos sem ensino superior
59,65
A Tabela 5 evidencia outro fator importante, relacionando novamente o consumo de
bebidas alcoólicas e o ambiente familiar. Constata-se que quanto maior o nível de
escolaridade dos pais menor é o consumo de bebidas alcoólicas por parte dos filhos.
Um fato interessante advém do cruzamento de dados que deram origem às Tabelas 4 e
5. Constata-se que em famílias onde ambos os pais não bebem e ambos possuem curso de
nível superior, não há consumo de bebidas alcoólicas por parte dos filhos.
A Tabela 6 mostra que a maior parte das pessoas que consome bebidas alcoólicas o faz
apenas ocasionalmente, ou seja, são aquelas que afirmam: “beber socialmente”.
Tabela 6: Freqüência do consumo de bebidas
alcoólicas entre os consumidores.
Freqüência
Ocasionalmente
Semanalmente
Diariamente
%
71,43
26,19
2,38
A Tabela 7 revela dados alarmantes; constata-se que mais da metade dos
entrevistados, que se dizem consumidores de bebidas alcoólicas, costumam dirigir
alcoolizados.
Tabela 7: Freqüência com que consumidores de
bebidas alcoólicas dirigem alcoolizados.
Freqüência
%
Nunca
Ocasionalmente
42,86
45,24
Frequentemente
11,9
Entre os fumantes pode-se perceber da Tabela 8 que o consumo é considerado
moderado. Porém, da Tabela 9, constata-se que mesmo um consumo moderado é suficiente
para causar dependência, pois 80% dos fumantes assumiram ter realizado tentativas fracassadas - de abandonar o vício.
Tabela 8: Quantidade de maços fumados
por semana.
Quantidade
%
Até 1 maço
40
De 2 a 4 maços
60
Tabela 9: Tentativa de desistência do
tabagismo
Condição
%
Tentou
80
Não tentou
20
Mais um dado alarmente é evidenciado pela Tabela 10, que mostra que 40% dos
fumantes já apresentam histórico de doenças relacionadas ao fumo. Este fato é preocupante
quando se leva em conta que estes fumantes têm, em média, apenas 5 anos de tabagismo.
Tabela 10: Ocorrência de problemas de saúde
decorrentes do tabagismo.
Característica
%
Apresentou alguma doença
40
Não apresentou doença
60
4. Conclusão
Com este estudo evidenciou-se que existe uma relação entre as camadas sociais e o
consumo de drogas lícitas, bem como a influência do ambiente familiar. Verifica-se que
55,26% dos discentes da Faculdade de Matemática são consumidores de bebidas alcoólicas e
6,58% são fumantes. A prevalência do consumo de bebidas é maior entre os homens, sendo a
proporção de 2 homens consumidores para cada mulher consumidora. O uso de tabaco é,
praticamente, o mesmo entre os sexos. O consumo de bebidas alcoólicas é maior entre as
classes de maior renda; e menor entre filhos de pais que não consumem bebidas alcoólicas
e/ou possuem curso de nível superior.
Dado alarmante é a relação do consumo de bebidas e a freqüência com que os
consumidores dirigem alcoolizados, mais da metade dos consumidores assumiram cometer tal
ato. Assim, pode-se observar a falta de consciência entre aqueles que consomem bebidas
alcoólicas, pois dirigindo alcoolizados expõe ao risco não só sua vida, como também a de
terceiros.
Quanto ao tabagismo, pode-se ressaltar que apesar dos fumantes fumarem
moderadamente, constata-se que cerca de 40% já apresentaram algum tipo de problema de
saúde relacionado ao uso do tabaco. Além disso, fica evidente a dependência causada pelo
tabaco, pois 80% dos fumantes alegaram ter tentado abandonar o vício.
5. Referências Bibliográficas
[1]
ALMEIDA L.M., COUTINHO E.S.F. Prevalência de consumo de bebidas alcoólicas e
alcoolismo em uma região metropolitana do Brasil. Rev. Saúde Pública 1993; 27:23-29.
Em http://www.scielo.br/scielo.php/lng_es acessado em 02 de março de 2007.
[2]
BUSSAB W. O., MORETTIN P. A. Estatística Básica. Saraiva, 5a. ed. 2005.
[3]
DOLL R. Tobacco: an overview of health effects. Em: ZARIDZE D., PETO R.
Tobacco: a major international health hazard. Lyon: International Agency for Research
on Cancer; 1986. p.11-22. Em http://www.scielo.br/scielo.php/lng_pt acessado em 01 de
março de 2007.
[4]
MEYER P.L. Probabilidade: aplicações à estatística. Livros Técnicos e Científicos, 2a.
ed. 1983.
6. Apêndice - Questionário
Probabilidade e Estatística
Pesquisa Piloto: O consumo de bebidas
alcoólicas e tabaco entre discentes.
Qual é seu sexo?
( ) Masculino.
( ) Feminino.
Você faz uso de bebidas alcoólicas?
( ) Sim.
( ) Não.
Se sim, responda as seguintes questões:
x
Com qual idade começou a beber?
____ anos.
x
Qual a sua idade?
____ anos.
Quantas pessoas, incluindo você, possui sua
família?
( ) De 1 a 3 pessoas.
( ) Acima de 10 pessoas.
Em que faixa melhor se enquadra a renda
bruta mensal (sem descontos) de sua família
(soma dos rendimentos dos seus pais,
irmãos, cônjuge, filhos, etc.)?
( ) Até 1 salário mínimo
( ) Entre 2 e 4 salários mínimos
( ) Acima de 20 salários mínimos
Qual o grau de escolaridade do seu pai?
( ) Nenhuma escolaridade.
( ) Ensino Fundamental: de 1ª a 4ª série.
( ) Ensino Médio.
( ) Superior.
Com qual freqüência seu pai ingere bebidas
alcoólicas?
( ) Nunca.
( ) Ocasionalmente.
( ) Semanalmente.
( ) Diariamente.
Qual o grau de escolaridade da sua mãe?
( ) Nenhuma escolaridade.
( ) Ensino Médio.
( ) Superior.
Com qual freqüência sua mãe ingere bebidas
alcoólicas?
( ) Nunca.
( ) Ocasionalmente.
( ) Semanalmente.
( ) Diariamente.
Seus pais moram:
( ) Juntos.
( ) Separados.
( ) Algum já é falecido.
(
(
(
(
Com qual freqüência faz uso de
bebidas alcoólicas?
) Nunca.
) Ocasionalmente.
) Semanalmente.
) Diariamente.
x
Já dirigiu alcoolizado (ou esteve em
veículo conduzido por pessoa
alcoolizada)?
( ) Nunca.
( ) Ocasionalmente.
( ) Frequentemente.
x
Você participaria de uma festa onde
não fosse servida bebida alcoólica?
( ) Sim.
( ) Não.
x
Você já tomou um porre?
( ) Sim.
( ) Não.
Você é fumante?
( ) Sim.
( ) Não.
Se sim, responda as seguintes questões:
x
Com qual idade começou a fumar?
____ anos.
x
(
(
(
(
(
Quantos maços de cigarro você
fuma?
) Até 1 maço por semana.
) De 2 a 4 maços por semana.
) Acima de 10 maços por semana.
x
Por qual razão você fuma?
( ) Sente prazer.
( ) Sente necessidade.
( ) Outro.
x
Você já tentou parar de fumar?
( ) Sim.
( ) Não.
x
Você já teve problemas de saúde
relacionados ao uso do cigarro?
( ) Sim.
( ) Não.
ESTUDO QUANTITATIVO DOS ALUNOS MATRICULADOS NAS
ESCOLAS DE UBERLÂNDIA
Adriele Giaretta Biase 1
[email protected]
[email protected]
Resumo
O presente trabalho foi realizado utilizando-se os dados coletados pela Prefeitura Municipal
de Uberlândia (PMU), referentes ao número de alunos matriculados no período compreendido
entre os anos de 2002 a 2006 em algumas escolas da cidade de Uberlândia, nas modalidades
de ensino em: Educação Infantil (de 0 a 6 anos de idade), Ensino Fundamental, Médio,
Especial e Superior, Educação de Jovens e Adultos e Educação profissional. O objetivo do
trabalho foi analisar o ensino na cidade de Uberlândia/MG nas redes particulares, estaduais e
municipais. Observou-se que a maioria dos alunos matriculados estava cursando o ensino
fundamental ou então o ensino superior, e que, os alunos que cursavam o ensino fundamental
estudavam nas redes de ensino municipais e estaduais, enquanto que, os que faziam ensino
superior estavam matriculados nas escolas particulares.
Palavras-chave: Educação em Uberlândia, Metodologia de Pesquisa, Métodos de Estatística
Descritiva.
1. INTRODUÇÃO
No Brasil, tal como em outras realidades, a questão educacional emerge como um
tema socialmente problematizado no bojo da própria estruturação do Estado-Nação.
Nas últimas décadas, assistimos à democratização do ensino, como resultado das lutas
dos trabalhadores, que, apesar de garantirem a entrada de seus filhos na escola, não
conseguiram ainda garantir a sua permanência.
Segundo os artigos 17, 18 e 19 de da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional,
de 1996, a educação escolar no Brasil está organizada em três esferas administrativas: União,
Estados e Distrito Federal, e Municípios, sendo que, cada um deles abriga um sistema de
ensino.
O sistema federal de ensino compreende as instituições de ensino, mantidas pela
União, e aquelas mantidas pela iniciativa privada.
Os sistemas de ensino dos Estados e do Distrito Federal compreendem as instituições
de ensino, mantidas, pelo poder público estadual, as instituições de ensino fundamental e
médio, criadas e mantidas pela iniciativa privada, e os órgãos de educação estaduais e do
Distrito Federal.
Os sistemas municipais de ensino compreendem as instituições de ensino fundamental,
médio e de educação infantil mantidas pelo poder público municipal; as instituições de
educação infantil, criadas e mantidas pela iniciativa privada; os órgãos municipais de
educação.
1
2
Aluna do curso de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia
Orientador, Professor da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia.
No Município de Uberlândia, existem praticamente todos os modelos de instituições
de ensino. Mesmo assim, em uma cidade como esta, com cerca de 600 mil habitantes, a infraestrutura e os serviços de educação ainda não são suficientemente adequados para atender
toda a população, principalmente as famílias mais carentes. Deve-se lembrar que, para a
solução deste problema, há a necessidade de um conhecimento melhor da realidade da
educação em Uberlândia, e um levantamento estatístico desses dados seria de grande valia
para as autoridades competentes.
O presente trabalho teve por objetivo analisar o ensino na cidade de Uberlândia/MG nas
redes particulares, estaduais e municipais no período compreendido entre 2002 a 2006. Teve
como objetivos específicos comparar o número de alunos matriculados em cada modalidade
de ensino, fazer uma análise estatística em cima de cada rede de ensino, análise da evolução
da rede urbano/rural e evolução de vagas escolares de toda a rede de ensino.
2. METODOLOGIA
A pesquisa foi realizada com dados coletados pela Prefeitura Municipal de Uberlândia,
fornecidos pela Secretaria Municipal de Educação, 40ª Superintendência Regional de Ensino,
Universidade Federal de Uberlândia (UFU), Escola Agrotécnica Federal de Uberlândia, e por
algumas escolas da rede particular de ensino. Foram utilizados os dados relacionados ao
número e percentual de alunos, matriculados no período compreendido entre os anos de 2002
a 2006, em várias escolas da cidade de Uberlândia nas modalidades de ensino em: Educação
Infantil (de 0 a 6 anos de idade), Ensino Fundamental, Médio, Especial e Superior, Educação
de Jovens e Adultos e Educação profissional.
Os dados obtidos fornecem o total de alunos matriculados em cada modalidade de
ensino. A análise dos dados consistiu de uma análise exploratória dos dados, com
interpretação de tabelas e gráficos, e algumas estatísticas descritivas.
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Na Tabela 1 são apresentados o número de alunos matriculados no ano de 2005 nas
escolas municipais, estaduais, federais e particulares, nas modalidades de ensino
compreendidas entre a educação infantil e o ensino superior na cidade de Uberlândia. De um
modo geral, verifica-se que não existe aluno cursando o ensino médio, o especial, o
profissional e o superior nas escolas municipais, enquanto que nas escolas estaduais isso
ocorre na educação infantil e no ensino superior. Nas redes federais, somente no ensino
especial não houve alunos matriculados. Finalmente, nas escolas particulares verifica-se a
existência de alunos matriculados em todas as modalidades de ensino.
Pode-se observar que a grande maioria dos alunos, que estavam matriculados na
educação infantil e no ensino fundamental, concentra-se nas redes municipais de ensino. Em
contrapartida, no ensino médio e na educação de jovens e adultos existe um maior número de
alunos matriculados nas escolas estaduais. No ensino especial, têm-se alunos matriculados
apenas nas redes estaduais e particulares, sendo que, dos 886 alunos matriculados, 579
estudam em escolas estaduais. Na educação profissional, verifica-se uma maior concentração
de alunos na rede particular de ensino, dos 3375 alunos matriculados nessa modalidade, 1986
estudam nas escolas particulares.
Tabela 1: Número de alunos matriculados nas redes de ensino no ano de 2005 na cidade de
Uberlândia-MG.
Rede
Modalidade de Ensino
Total
Municipal Estadual
Federal Particular
Educação Infantil
11689
215
4155
16059
Ensino Fundamental
41815
36154
553
9204
87726
Ensino Médio
22843
323
5921
29087
Ensino Especial
579
307
886
Educação Jovens e Adultos
39
4934
118
2461
7552
Educação Profissional
52
1337
1986
3375
Ensino Superior
15318
22918
38236
Número de Escolas
95
67
3
1114
276
Total de alunos
53543
64562
17864
46952
182921
É conveniente salientar que, na cidade de Uberlândia, o ensino superior é oferecido
apenas em uma rede federal, denominada de Universidade Federal de Uberlândia (UFU), o
que não ocorre na rede particular de ensino. Observa-se que, num total de 38236
universitários matriculados em Uberlândia no ano de 2005, 15318 ingressaram na
Universidade Federal de Uberlândia, enquanto que 22918 matricularam nas escolas
particulares, em porcentagem, tem-se que 60% dos alunos fazem curso superior nas escolas
particulares. Esta diferença ocorre devido ao pequeno número de vagas oferecidas pela
Universidade Federal de Uberlândia, que não supre as necessidades da população que acaba
procurando as universidades particulares.
Verifica-se também que a grande maioria dos alunos, que estavam matriculados no ano
de 2005, estava cursando o ensino fundamental. Dos 182.921 alunos, matriculados em alguma
das sete modalidades de ensino em Uberlândia, 87.726 estavam no ensino fundamental, o que
corresponde a 1/7 da população de Uberlândia.
Tabela 2: Participação percentual por rede de ensino no ano de 2005 na cidade de
Uberlândia-MG.
Participação % dos Conjuntos
Rede de Ensino
Alunos
Escolas
Professores
Municipal
29
34
33
Estadual
35
25
26
Federal
10
1
13
Particular
26
40
28
Total
100
100
100
São apresentados na Tabela 2 os dados relativos à participação efetiva de escolas,
alunos e professores, em porcentagens, por rede de ensino na cidade de Uberlândia.
De acordo com a Tabela 2, observa-se que 35% dos alunos estudavam em escolas
estaduais, correspondendo a 25% das escolas, o que mostra que essas escolas, em sua grande
maioria, são de grande porte. De fato, as escolas estaduais são públicas e de grande procura, e
dependendo da sua localização o número de vagas oferecidas é insuficiente, como por
exemplo, no centro da cidade. O mesmo não ocorre quando as escolas situam-se em bairros
mais afastados, caso em que sobram vagas, sem considerar outros fatores como a violência ou
a estrutura física urbana do local.
Destaca-se ainda o grande número de escolas particulares, representando 40% das
escolas existentes na cidade de Uberlândia. No entanto, observa-se que o número de
professores nestas instituições não é superior ao número de professores das demais escolas, o
que comprova que as escolas particulares são de pequeno porte e seus gastos com o corpo
docente não são proporcionais ao número de escolas. As grandes maiorias dos professores
exercem sua profissão na rede municipal de ensino.
Em relação aos índices gerais do número de alunos por escola, alunos por professor e
professor por escola no ano de 2005, observa-se na Tabela 3 que a rede estadual de ensino
tinha uns dos maiores números de alunos por escola, já que nessa rede de ensino não eram
oferecidos cursos de nível superior; em segundo lugar, tinha-se a rede federal de ensino com
849 alunos /escola. Comparando as redes de ensino federal e particular quanto ao número de
alunos/escola cursando o nível superior, verifica-se uma grande vantagem das escolas
particulares, com 3274 aluno/escola, isso ocorre devido à quantidade de vagas oferecidas
nestas escolas e pelo fato de existir muitas escolas particulares na cidade. O valor esperado do
número de aluno/escola é de 1045, do número de alunos/professor é de 18 e o número de
professor/escola é de 51. Estes dados são apresentados na Tabela 3.
Tabela 3: Índice do número de alunos por escola, alunos por professor e de professor por
escola no ano de 2005 na cidade de Uberlândia nas redes de ensino.
Conjuntos
Alunos/
Escola
Alunos/
Professor
Professor/
Escola
Rede de Ensino
Federal
1º e 2º
Superior
Graus
Particular
1º e 2º
Superior
Graus
Médias
Municipal
Estadual
564
964
849
388
231
3.274
1.045
16
25
17
11
12
25
18
34
39
49
35
19
129
51
Um estudo individual do número de alunos matriculados em cada rede de ensino foi
realizado durante os anos de 2002 a 2005. Na Figura 1 são apresentados os números de alunos
matriculados na Rede Federal de ensino na cidade de Uberlândia. Pode-se observar que a
modalidade de ensino que prevalece nestas escolas é o ensino superior. Percebe-se também,
com exceção do ano de 2005, que não houve alunos matriculados na modalidade de jovens e
adultos, isso ocorreu, provavelmente, porque nestes anos este curso não era oferecido. Nas
demais modalidades, observam-se uma pequena variação do número de alunos matriculados
nesse período.
No total, foram 60321 alunos matriculados no ensino superior, com isso a média anual
de alunos cursando o ensino superior neste período foi de 15080,25.
Educação Infantil
20000
Ensino Fundamental
15000
Ensino Médio
10000
Ensino Profissional
5000
0
2002
2003
2004
2005
Educação de Jovens e
Adultos
Ensino Superior
Figura 1: Número de alunos matriculados na Rede Federal de Ensino no período
compreendido entre 2002 a 2005 na cidade de Uberlândia.
Na Figura 2 são apresentados os números de alunos matriculados na Rede Particular de
ensino. Ao contrário do que ocorre na Rede Federal de ensino, observa-se que as escolas
particulares investem em todas as modalidades de ensino. Em todos os anos, o número de
alunos matriculados na educação infantil, de jovens e adultos, ensino fundamental e médio
apresentou pequenas variações. No entanto, percebe-se que a cada ano o número de alunos
matriculados no ensino superior vem crescendo. O valor esperado de alunos que ingressam
anualmente nessas escolas é de 16.697,25, sendo superior ao obtido neste mesmo período nas
escolas federais, e a tendência é que este valor aumente ainda mais, visto que o número de
vagas na Universidade Federal de Uberlândia é limitado e muitas empresas vêm incentivando
seus funcionários a cursarem o ensino superior.
Ensino Especial
Educação Infantil
Educação Jovens e Adultos
Ensino Fundamental
Ensino Médio
Ensino Profissionalizante
Ensino Superior
25000
20000
15000
10000
5000
0
2002
2003
2004
2005
Figura 2: Número de alunos matriculados na Rede Particular de Ensino no período
O gráfico apresentado na Figura 3, refere-se ao número de alunos matriculados na
Rede Estadual de Ensino. Pode-se observar que houve uma pequena redução no número de
alunos que estão cursando o ensino fundamental de 2002 a 2005, enquanto que, no ensino
médio e na educação especial esse número manteve-se quase constante. Nos dois últimos
anos, provavelmente passou a ser oferecida, na Rede Estadual de ensino, a Educação
profissional, pois houve um pequeno número de alunos que se matricularam nesta
modalidade. Nota-se também que nesta rede de ensino não existem alunos matriculados em
cursos de nível superior, mas na cidade de Uberlândia, o ensino superior é oferecido somente
nas escolas particulares e na Universidade Federal de Uberlândia.
Figura 3: Número de alunos matriculados na Rede Estadual de Ensino no período
Foi feito também um estudo do ensino rural e urbano nas escolas de Uberlândia, que
possui quatro Distritos, considerados como zona rural.
Na Figura 4 observa-se que o maior número de alunos matriculados, cursando o
primeiro grau nas escolas rurais da cidade de Uberlândia, ocorreu no ano de 2002. Nos anos
seguintes houve uma drástica redução do número de alunos matriculados. Apesar desse
decréscimo o número de escolas permaneceu o mesmo (Tabela 4). No ano de 2005 pode-se
observar um pequeno acréscimo no número de alunos que se matricularam nas escolas rurais.
Estes números foram exclusivamente do meio rural, e como não existe alteração significativa
na população do meio rural, esses valores tendem a se manter no decorrer dos anos.
Figura 4: Gráfico do número de alunos matriculados na zona rural da cidade de Uberlândia,
nos anos de 2002 a 2005, cursando o primeiro grau.
Pode-se observar na Tabela 4, que, no processo de evolução do ensino rural, o número
de escolas rurais manteve-se constante durante os anos de 2002 a 2005, no entanto, observamse algumas oscilações no número de alunos matriculados. Constatou-se uma redução de 501
alunos, entre os anos de 2002 a 2005, no processo de evolução do ensino rural. Esse número
não pode se explicado somente com os dados apresentados na Tabela 4, podem ter ocorrido
muitas conjecturas a respeito do assunto abordado, existe a possibilidade dos alunos terem se
deslocado até o perímetro urbano para estudar ou então ocorrido o êxodo rural. Enfim, é
importante observar que a evolução do ensino rural teve um crescimento negativo.
Tabela 4: Evolução do ensino rural na cidade de Uberlândia no período de 2002 a 2005.
Anos
Conjuntos
Escolas
Alunos
2002
13
5049
2003
13
2004
13
2005
13
4865
4752
4548
Crescimento (%)
-4,3
Na Tabela 5 são apresentados os números de alunos matriculados em seis modalidades
de ensino no período de 2002 a 2005, no perímetro urbano da cidade de Uberlândia, na rede
municipal. Pode-se observar que na rede municipal de ensino existe uma nova modalidade, o
Programa Municipal de Erradicação do Analfabetismo (PMEA), esse tipo de ensino não
existe na rede de ensino das escolas estaduais. Verifica-se a inexistência do ensino Compacto
no ano de 2005, e ainda, o ensino fundamental sofreu uma baixa singular em 2004, com a
queda de até 6.000 alunos na rede. Isso foi considerado como algo normal, já que a queda,
além de não persistir, se normaliza no ano seguinte, o problema consiste em saber qual fator
possibilitou a queda, isso pode ter acorrido por vários motivos, a saber, o aumento do número
de alunos na área estadual, uma maior alternação entre alunos da rede fundamental para o
ensino médio, ou até abertura de novas escolas nas redes particulares ou estaduais.
Tabela 5: Número de alunos matriculados na rede municipal de ensino no perímetro urbano
da cidade de Uberlândia no período de 2002 a 2005.
Educação
Ensino
SupleAnos
Pré
PMEA
Compacto
Infantil
Fundamental
tivo
2002
1.355
8.429
42.303
594
6.286
2003
1.231
8.856
42.519
384
6.229
2004
1.382
9.298
36.070
460
6.095
2005
1.709
9.980
41.815
430
Na Tabela 6 é apresentada a evolução do ensino urbano na cidade de Uberlândia.
Verificou-se um aumento significativo do número de escolas que foram construídas no ano de
2004, o que explica o fato de em 2004 ter ocorrido uma redução do número de alunos
matriculados na rede municipal de ensino.
Tabela 6: Evolução do ensino urbano na cidade de Uberlândia no período de 2002 a 2005.
Anos
Conjuntos
Crescimento (%)
2002
2003
2004
2005
47
80
95
18,8
Escolas
47
52606
48093
48995
1,87
Alunos
52087
Pode se observar também que com o aumento do número de escolas, o número de
alunos matriculados nos anos de 2004 e 2005 não foi muito inferior aos anos de 2002 e 2003,
o que proporcionou um crescimento positivo na evolução do ensino urbano na cidade de
Uberlândia.
Analisando o meio físico do ensino urbano, pode-se observar na Tabela 7 que existiam
119 prédios escolares em 2002 e 113 em 2005. Essa diminuição de prédios ocorreu nas
escolas próprias e alugadas. A queda mais significativa do número de escolas próprias ocorreu
nos anos de 2004 a 2005 e demonstra certo descaso particular com a educação e com a
instituição escola. No entanto, verifica-se um aumento no número de escolas municipal de
educação infantil, no decorrer dos anos de 2002 e 2005.
Tabela 7: Número prédios escolares na cidade de Uberlândia no ensino urbano no período de
2002 a 2005.
Escolas
Anos
Total
EMEI
Próprias
Alugadas
Creditos
2002
6
90
19
4
119
2003
6
90
19
4
119
2004
7
91
19
4
121
2005
8
86
16
3
113
Para obter um conhecimento mais amplo do comportamento do número de escolas,
alunos e professores do ensino municipal serão apresentados na Tabela 8, dados do ensino
rural juntamente com o ensino urbano.
Tabela 8: Quadro geral rede de ensino municipal (Rural e Urbano)
Anos
2002
Total de
Escolas
60
Educaçã
o
Infantil
1355
Pré
8429
Ensino
Fundamental
36017
Compacto
6286
Total de
Alunos
52087
Total de
Professores
3119
2003
60
1231
8856
36290
6229
52606
3227
2004
93
1382
9298
36070
6095
52845
3289
2005
95
1709
9980
41815
-
53543
3276
Verifica-se que o número de escolas realmente teve um acréscimo no ano de 2003 para
os anos de 2004 e 2005. Em geral, o número de alunos matriculados nos setores urbano e
rural teve um acréscimo no decorrer desses anos, isso mostra que mesmo apresentando uma
queda de -4,3 no número de alunos matriculados no setor rural (Tabela 4), não houve uma
redução no quadro geral da rede de ensino, uma vez que no ensino urbano teve-se um
acréscimo de 1,7 no número de alunos matriculados no setor urbano (Tabela 6).
Na Tabela 9 tem-se a evolução da rede municipal de ensino, urbano e rural. O que se
observa novamente é que o número de escolas aumentou em 2004, como também o número
de alunos da rede municipal, não considerando o tipo de ensino; comprovando o que foi
analisado anteriormente. No entanto, verifica-se um crescimento negativo do número de
professores, o que tudo indica que, no decorrer desses anos, passou a ter mais alunos nas salas
de aulas ou então os professores passaram a trabalhar com um número maior de turmas do
que o habitual.
Tabela 9: Evolução da Rede Municipal (Rural e Urbano) na cidade de Uberlândia
Anos
Conjuntos
Crescimento %
2002
2003
2004
2005
Escolas
60
60
93
95
2,15
Alunos
52087
52606
52845
53543
1,32
Professores
3119
3227
3289
3276
-0,39
Finalmente, na Tabela 10 são apresentados os índices do número de alunos por escola
e professor e de professor por escola na cidade de Uberlândia, nas redes de ensino, urbano e
rural.
Tabela 10: Índices do número de alunos por escola, alunos por professor e de professor por
escola de 2002 a 2005 nas redes de ensino, urbano e rural.
Anos
Crescimento
Descrição
% no ano
2002
2003
2004
2005
Alunos/Escola
868
877
568
564
-0,7
Alunos/Professor
17
16
16
16
0
Professor/Escola
52
54
35
34
-2,85
Pode-se observar que o número de alunos por professor manteve-se constante a partir do
ano de 2003 e o número de professores diminuiu. Isso torna mais claro as evidências de que
os professores passaram a dar aulas para um número maior de alunos.
Na Figura 5 é apresentada a porcentagem de alunos matriculados no ano de 2006 na
cidade de Uberlândia, nas sete modalidades de ensino, analisadas anteriormente. É possível
verificar que no ensino fundamental está inserida a maioria dos estudantes que estão
matriculados em algum tipo de modalidade de ensino, uma vez que a análise inclui a
educação de jovens e adultos, o ensino especial e superior. Vale ressaltar que os dados
referem-se ao ano de 2006 e considera somente os alunos matriculados nas redes de ensino,
desconsiderando a evasão escolar e também a parcela da população em idade escolar que não
está matriculada.
Figura 5: Número de alunos matriculados, em porcentagem, na cidade de Uberlândia no ano
de 2006
Na Figura 5 pode-se observar que o segundo maior contingente populacional encontrase no ensino superior, isso também foi constatado na Tabela 1, uma vez que existe apenas
uma única universidade federal na região, favorecendo assim, o ingresso dos estudantes em
instituições particulares.
Verifica-se ainda na Figura 5, que apenas 4% dos alunos matriculados refere-se a
educação de jovens e adultos e 2% a educação profissional. No entanto, observa-se que o
número de alunos matriculados no ensino especial é desprezível em relação às demais
modalidades de ensino.
5. CONCLUSÃO
Observou-se que a maioria dos alunos, matriculados no período de 2002 a 2006,
estava cursando o ensino fundamental ou o ensino superior, mais ainda, os alunos que
cursavam o ensino fundamental estudavam nas redes de ensino municipais e estaduais,
enquanto que, os que faziam ensino superior estavam matriculados nas escolas particulares.
De um modo geral, o número de alunos matriculados nos setores urbano e rural teve
um acréscimo no decorrer desses anos e houve também um aumento no número de escolas.
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Bussab W. O; Morettin, P. A. Estatística Básica, Ed. Saraiva, 5a edição, 2005.
[2] Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional de 1996, Ministério da Educação.
[3] Sites oficiais usados na pesquisa:
www.ibge.gov.br
www.uberlandia.mg.gov.br
http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/ldb.pdf
IMPLANTAÇÃO DE UM CURSO NOTURNO DE LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA NA UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
Igor Alberto de Melo Souza1
[email protected]
Warlisson Inácio de Miranda1
[email protected]
Thiago Lúcio Correia Barra1
[email protected]
Edmilson Rodrigues Pinto2
[email protected]
Resumo
O objetivo deste trabalho foi verificar, do ponto de vista do aluno, se seria possível e viável a
implantação de um curso noturno de licenciatura em matemática na UFU. O publico alvo
foram os alunos do Curso de Matemática, tanto de licenciatura, quanto de bacharelado. O
procedimento de coleta dos dados foi através de uma amostra aleatória simples. Dos 256
alunos, matriculados atualmente, foram entrevistados 136 alunos. Um questionário foi
utilizado para avaliar a opinião dos alunos quanto a possível implantação do novo curso, e
também para conhecer o perfil sócio econômico dos estudantes do curso de matemática.
Acredita-se que este trabalho constitua informação adicional na tomada de decisão, por parte
da UFU, para implantação do referido curso.
Palavras-chave: Curso de Licenciatura Noturno em Matemática na UFU, Metodologia de
Pesquisa Científica, Métodos de Estatística Descritiva.
1 - INTRODUÇÃO
Diante da realidade sócio-econômica brasileira, em que prevalece a desigualdade de
distribuição de renda, faz-se necessário a uma grande maioria dos jovens, trabalharem durante
o dia e, dedicarem aos estudos, em uma instituição de ensino, apenas durante a noite.
Considerando que, um dos principais objetivos da Universidade Pública, é o de dar
acesso ao conhecimento e à formação acadêmica de forma igualitária, desenvolveu-se esta
pesquisa que, visa verificar o interesse dos alunos, em implantar um curso noturno de
licenciatura em matemática, haja vista que, a Universidade Federal de Uberlândia, já possui
cursos noturnos em diversas outras áreas do conhecimento, tais como: Licenciatura em
Enfermagem, em Física, em Geografia, em História e em Letras.
O que motivou a realizar essa pesquisa foi, além da consideração das afirmativas
acima, também o fato de que, a Universidade Federal de Uberlândia – Campos Pontal do
Triângulo, oferecer o curso em questão (com previsão para inicio no 1º período de 2007),
assim como as demais Faculdades e Centros Universitários (privados) em Uberlândia,
disponibilizarem a Licenciatura em Matemática no período noturno.
1
2
Alunos do Curso de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia
Orientador, Professor da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia
2 – METODOLOGIA
O universo de nossa pesquisa foram os alunos matriculados, atualmente, no curso de
Matemática tanto da licenciatura quanto do bacharelado. Utilizou-se uma amostra aleatória
simples por se tratar de uma população homogênea no que diz respeito à respeito à opinião
em relação a um curso no turno de licenciatura em matemática.
O curso de Matemática possui, atualmente, 256 alunos matriculados (segundo dados
fornecidos pela coordenação do curso). Para obtenção do tamanho da amostra, considerou-se
uma confiança de 96% e um erro de 4%, obtendo-se uma amostra de 136 alunos.
A aplicação do questionário ocorreu nas salas de aula, devido à facilidade de acesso
aos discentes, minimizando assim, os custos e o tempo gasto para obter a amostra.
O questionário foi desenvolvido (Veja Apêndice) com a finalidade de obter, a opinião
dos discentes, sobre a implantação de um curso noturno de licenciatura em Matemática e o
perfil sócio-econômico dos mesmos.
3 – APRESENTAÇÃO DOS DADOS
Questionados sobre a possibilidade de implantação de um curso noturno de
Licenciatura em Matemática, verificou-se que 83,82% dos alunos são
favoráveis.Considerando uma confiança de 96%, obteve-se que o intervalo de confiança para
a proporção de alunos favoráveis à implantação do curso noturno foi (0,78; 0,90) (Veja Figura
1)
.
16%
84%
Favoráveis
Não Favoráveis
Figura 1 - Opinião quanto à implantação de um curso noturno de Licenciatura em
Matemática.
Dos entrevistados, 55,8% cursariam no período noturno, um curso de licenciatura em
matemática. (Veja Figura 2)
44%
56%
Integral
Noturno
Figura 2 – Preferência pelo turno em que freqüentariam as aulas.
Quanto ao gênero dos alunos: 57,3% eram do sexo masculino e 42,7% eram do sexo
feminino.
Das 136 pessoas que responderam o questionário, 31,62% trabalham e 68,38% não
trabalham. (Veja Figura 4)
Trabalham
32%
68%
Sim
Não
Figura 4 – Porcentagem dos alunos que trabalham.
Dentre os que trabalham, somente 49%, estão vinculados à área de Matemática. (Veja
Figura 5)
Atuam na área da Matemática
49%
51%
Sim
Não
Figura 5 – Percentagem dos entrevistados que trabalham na área de Matemática
Os entrevistados também foram questionados quanto à naturalidade, destes 58% não
são de Uberlândia e 42% são uberlandenses. (Veja Figura 6)
Naturalidade
42%
58%
Uberlandenses
Não uberlandenses
Figura 6 – Porcentagem quanto à naturalidade.
Sobre quantidade de membros da família, 30% possuem de 1 a 3 pessoas na família,
67% possuem 4 a 6 pessoas e, somente 3% possuem mais de 6 familiares. (Veja Figura 7)
.
3%
30%
67%
1 a 3 membros
4 a 6 membros
Acima de 6
Figura 7 – Porcentagem do número de pessoas por família.
Consultados sobre a renda familiar, 37% tem renda entre 1 a 3 salários mínimos, 42%
de 4 a 6, 11% entre 7 a 9 e 10% tem renda superior a 10 salários mínimos. (Veja Figura 8).
10%
Salário mínimo
11%
37%
42%
1a3
4a6
7a9
acima de 10
Figura 8 – Porcentagem da renda familiar
Quanto à instituição de ensino em que freqüentou o ensino médio: 70% estudaram em
Instituições públicas, 22% em particulares, sem bolsa de estudo e 8% em particulares, com
bolsa de estudo. (Veja Figura 9)
.
Conclusão do Ensino Médio
10%
27%
63%
Pública
Particular sem bolsa
Particular com bolsa
Figura 9 – Porcentagem de discentes que estudaram em escola pública e particular.
4- CONCLUSÃO
Diante dos dados recolhidos, podemos observar que grande parte dos estudantes do
curso de Matemática, não trabalha (93%) e, tem uma renda familiar estável (42%: de 4 a 6
salários mínimos), o que demonstra uma distribuição de renda per capita diferente da dos
brasileiros que não adentraram a Universidade Federal.
Visando alcançar uma maior igualdade social, é importante que seja dado às pessoas
de baixa renda (que necessitam trabalhar durante o dia), a oportunidade de estudarem em uma
universidade pública (gratuita e de qualidade). Portanto, é extremamente viável e necessário,
a abertura de um curso de Licenciatura no período noturno pois, verificou-se que, já há um
interesse significativo de discentes do curso integral, em freqüentar aulas no período noturno,
a fim de que possam conciliar a formação acadêmica ao trabalho.
Acredita-se que este trabalho constitua informação adicional na tomada de decisão,
por parte da UFU, para implantação do referido curso.
5- REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
MORETTTIN, L.G. Estatística Básica. 7º edição. São Paulo: Person Education do
Brasil, volume 1, 1999.
BORGATTO, A. F. Apostila de métodos estatísticos 1. Universidade Federal de Santa
Catarina. Florianópolis, 2006
6- APÊNDICE
Questionário sobre a possível implantação de um Curso Noturno de Licenciatura em
Matemática, realizado pelos alunos da disciplina Probabilidade e Estatística.
1. Você gostaria que sua universidade tivesse um curso Noturno de Licenciatura em
Matemática?
( ) Sim
( ) Não
2. Se a sua universidade oferecesse o curso Noturno de Licenciatura em Matemática, em
qual turno você se matricularia?
( ) Integral
( ) Noturno
3. Qual seu sexo?
( ) Masculino
( ) Feminino
4. Você trabalha?
( ) Sim
( ) Não
5. Se trabalha, este trabalho é na área de Matemática?
( ) Sim
( ) Não
6. Você é natural de Uberlândia?
( ) Sim
( ) Não
7. Quantos membros possuem sua família (inclusive você)?
( ) 1 a 3 membros ( ) 4 a 6 membros ( ) acima de 6 membros
8. Qual é a renda familiar de sua família?
( ) 1 a 3 salários mínimos ( ) 4 a 6 salários mínimos
( ) 7 a 9 salários mínimos ( ) acima de 10 salários mínimos
9. Você integralizou seu ensino médio em instituição de ensino pública ou particular?
( ) Pública
( ) Particular, sem bolsa de estudos
( ) Particular, com bolsa de estudos
FAMAT em Revista
£%
³
Iniciação Científica
em Números
www.famat.ufu.br
Iniciação Científica em Números
Maria Luiza Maes (coordenadora da seção)
,QLFLDomR&LHQWtILFDHP1~PHURV
6HJXLQGR D PHVPD OLQKD DQWHULRU LQHUHQWH D HVWD VHVVmR REMHWLYDPRV GHVFUHYHU DV
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TXHVmRH[FOXVLYDPHQWHGHVHQYROYLGRVSRUDOXQRVGR&XUVRGH/LFHQFLDWXUDH%DFKDUHODGRHP
0DWHPiWLFD
Projetos De Iniciação Científica Que Se Realizam Durante O Período
De Abril De 2006 A Março De 2007
ORIENTADOR: Arlindo José de Souza Júnior
ORIENTADO: Maísa Gonçalves da Silva
TÍTULO: O Ensino de Cálculo com o Auxílio da Informática
INÍCIO: novembro/2006
FIM: outubro/2007
ORIENTADOR: Aristeu da Silveira Neto
ORIENTADO: Maksuel Andrade Costa
TÍTULO: Simulação Numérica de Problemas de Transferência de calor e de mecânica
dos Fluidos Unidimensionais Transientes
INÍCIO: abril/2006
FIM: março/2007
ORIENTADOR: Cícero Carvalho
ORIENTADO: Danilo Adrian Marques
TÍTULO: Álgebra Comutativa e Computação Algébrica
INÍCIO: junho/2006
FIM: maio/2007
ORIENTADOR: Dulce Mary de Almeida
ORIENTADO: Rafael Henrique Alves de Oliveira
TÍTULO: Variedades Diferenciáveis Não-Orientáveis
INÍCIO: junho/2006
FIM: maio/2007
ORIENTADOR: Edmilson Rodrigues Pinto
ORIENTADO: Fábio Costa Almeida
TÍTULO: Estudo de Estatística Não-Paramétrica
INÍCIO: outubro/2006
FIM: março/2007
ORIENTADO: Matheus Bartolo Guerrero
TÍTULO: Estudo de Modelos de Regressão – com o apoio computacional
INÍCIO: março/2007
FIM: fevereiro/2008
ORIENTADO: Weyder Orlando Brandão Junior
TÍTULO: Estudo de Modelos de Regressão – com o apoio computacional
FIM: fevereiro/2008
ORIENTADOR: Ednaldo Carvalho Guimarães
ORIENTADO: Joaquim Ferreira Vieira Neto
TÍTULO: Ajuste de Distribuição de Probabilidade à Dados Climatológicos de
Uberlândia-MG
INÍCIO: fevereiro/2007
FIM: janeiro/2008
ORIENTADOR: Ednaldo Carvalho Guimarães
ORIENTADO: Herbert Rezende Siqueira
TÍTULO: Comportamento Temporal do Material Particulado (PM-10) em UberlândiaMG: Análise da Dependência Temporal por Meio de Semivariograma.
INÍCIO: Agosto/2006
FIM: julho/2007
ORIENTADOR: Edson Augustini
ORIENTADO: Adrielle Giaretta Biase
TÍTULO: Tópicos de Álgebra Linear e Modelagem
INÍCIO: junho/2006
FIM: maio/2007
ORIENTADO: Laís Bássame Rodrigues
TÍTULO: Tópicos de Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies
FIM: fevereiro/2007
ORIENTADO: Patrícia Borges dos Santos e Flávia Cristina Martins Queiroz
TÍTULO: Tópicos de Geometria Não-Euclidiana
FIM: fevereiro/2007
ORIENTADOR: Lúcia Resende Pereira Bonfim
ORIENTADO: Alessandra Ribeiro da Silva
TÍTULO: Estudo e Algumas Aplicações do Cálculo Avançado
FIM: fevereiro/2007
ORIENTADOR: Luiz Alberto Duran Salomão
ORIENTADO: Leandro Cruvinel Lemes
TÍTULO: Frações Contínuas e Aplicações
FIM: fevereiro/2007
ORIENTADOR: Luiz Alberto Duran Salomão
ORIENTADO: Mariana Fernandes dos Santos Villela
TÍTULO: Frações Contínuas: Primeiros Passos
FIM: fevereiro/2007
ORIENTADOR: Marcelo Tavares
ORIENTADO: Eloar Correia de Lima
TÍTULO: Sazonalidade e Tendências em Séries Temporais de dados de IPC de
Diferentes Instituições
FIM: janeiro/2008
ORIENTADOR: Marcelo Tavares
ORIENTADO: Maria Luiza Maes
TÍTULO: Uso de Análise de Variância e Regressão Múltipla na Determinação de
Sazonalidade e tendências em Séries Temporais de Dados de INPC nas Regiões
Metropolitanas do Rio de Janeiro, São Paulo e Belo Horizonte
INÍCIO: agosto/2006
FIM: julho/2007
ORIENTADOR: Marcos Antônio da Câmara
ORIENTADO: Giselle Moraes Resende Pereira
TÍTULO: Teoria dos Grafos
FIM: fevereiro/2008
ORIENTADO: Maksuel Andrade Costa
TÍTULO: Programação Inteira
FIM: fevereiro/2008
ORIENTADO: Virgínia Helena Ribeiro Miranda
TÍTULO: Aplicações matemáticas da geometria
INÍCIO: junho/2006
FIM: maio/2007
ORIENTADO: Rafael Alves Figueiredo
TÍTULO: Introdução à criptografia
INÍCIO: junho/2006
FIM: maio/2007
ORIENTADOR: Rogério de Melo Costa Pinto
ORIENTADO: Gustavo Silva Sages
TÍTULO: Avaliação do Desempenho dos Alunos da Engenharia Elétrica da UFU
INÍCIO: novembro/2006
FIM: novembro/2007
ORIENTADOR: Rosana Sueli da Motta Jafelice
ORIENTADO: Ana Luíza Pereira Saramago
TÍTULO: Diagnóstico Médico Fuzzy da Infecção Aguda Causada pelo HIV
FIM: fevereiro/2007
ORIENTADOR: Sezimária de Fátima P. Saramago
ORIENTADO: Aline Rocha de Assis
TÍTULO: Evolução Diferencial aplicada à Solução de Problemas de Otimização MultiObjetivo
INÍCIO: dezembro/2006
FIM: dezembro/2007
ORIENTADO: Bruno Nunes de Souza
TÍTULO: Métodos Iterativos Não Estacionários: Aplicação de Técnicas de Otimização na
Solução de Sistemas Lineares
FIM: fevereiro/2008
ORIENTADO: Matheus Borges Arantes
TÍTULO: Algoritmos Evolutivos Aplicados à Solução de Problemas de Otimização MultiObjetivo
FIM: julho/2007
ORIENTADO: Alessandra Ribeiro da Silva
TÍTULO: Métodos Iterativos Não Estacionários: Aplicação de Técnicas de Otimização na
Solução de Sistemas Lineares
FIM: dezembro/2007
ORIENTADO: Antônio Dias Carrijo Neto
TÍTULO: Estudo da Topologia do Espaço de Trabalho de Robôs Manipuladores 3R
FIM: atual
ORIENTADO: Sidney Araújo Mendonça
TÍTULO: Estudo da Topologia do Espaço de Trabalho de Robôs Manipuladores 3R
FIM: atual
ORIENTADO: Carlos Alberto S Júnior
TÍTULO: Uma contribuição ao Estudo da Programação Linear (Mestrado)
FIM: atual
ORIENTADO: Lúcio Aurélio Purcina
TÍTULO: Técnicas de Otimização Aplicadas à Solução de Grandes Sistemas Lineares
(Doutorado)
FIM: atual
ORIENTADO: Rogério Rodrigues dos Santos
TÍTULO: Contribuição ao Estudo de Redundância e Otimização em Robótica (Doutorado)
FIM: atual
ORIENTADO: Giovana Trindade Oliviera
TÍTULO: Estudo da Topologia do Espaço de Trabalho para projeto ótimo de Robôs
Manipuladores 3R (Doutorado)
FIM: atual
ORIENTADOR: Valdair Bonfim
ORIENTADO: Marcelo Lopes Vieira
TÍTULO: Tópicos de Matemática com Vistas às Aplicações em Equações Diferenciais
INÍCIO: junho/2206
FIM: maio/2007
FAMAT em Revista
¹Ï
Ë
E o Meu Futuro Profissional?
www.famat.ufu.br
E o Meu Futuro Profissional?
Marcio José Horta Dantas (coordenador da seção)
Maria Luiza Maes
Neste número de FAMAT em REVISTA, a seção “E o meu futuro profissional” é dedicada a
uma entrevista com o Prof. Edmilson Rodrigues Pinto sobre as perspectivas profissionais na
área de Estatística.. Tal entrevista foi realizada pela aluna Maria Luiza Maes, membro do
Corpo Editorial da FAMAT em REVISTA. Esperamos que as informações dadas pelo Prof.
Edmilson sejam úteis para os nossos alunos recém formados, que naturalmente precisam
decidir sobre qual caminho a ser seguido com o término do curso.
Entrevista com o Prof. Dr. Edmilson Rodrigues Pinto
Edmilson Rodrigues Pinto é professor, na área de Estatística, da Faculdade de Matemática da
Universidade Federal de Uberlândia, desde 2005. Possui graduação em Matemática, pela
Universidade Federal de Uberlândia-UFU (1996), mestrado em Estatística e Métodos
Quantitativos, pela Universidade de Brasília-UnB (1999) e doutorado em Engenharia de
Produção, na área de Estatística e Pesquisa Operacional, pela COPPE1, na Universidade
Federal do Rio de Janeiro-UFRJ (2005). Tem experiência na área de Probabilidade e
Estatística, com ênfase em Planejamento Ótimo de Experimentos e Modelos Lineares
Generalizados, também atua na área de Pesquisa Operacional. Possui artigos publicados em
revistas nacionais e internacionais nas áreas de planejamento ótimo de experimentos, modelos
lineares generalizados e pesquisa operacional. É autor, juntamente com Ponce de Leon2, de
um livro3 sobre planejamento ótimo de experimentos.
1) O que o levou a escolher a área de Estatística?
Na verdade, quando terminei a graduação, não tinha interesse em estudar estatística, pois não
tinha a mínima idéia do que seria um curso de estatística, nem sobre o trabalho desenvolvido
por um estatístico. Meu interesse, inicialmente, era em otimização, posteriormente descobri a
área de Pesquisa Operacional e depois a de Estatística. Iniciei o Mestrado em Estatística com
o intuito de trabalhar com Pesquisa Operacional. Durante o mestrado na UnB, tive a
oportunidade de estudar as principais disciplinas de Estatística (Probabilidade, Inferência,
Modelos de Regressão, Planejamento de Experimentos, etc.), que eram as disciplinas
obrigatórias, além das disciplinas de Pesquisa Operacional (Programação Linear e Não
Linear, Teoria de Grafos, Processos Estocásticos e Teoria de Filas, Teoria da Decisão, etc.).
Acabei desenvolvendo minha dissertação na área de Pesquisa Operacional, mas já tendo uma
visão melhor do que era a área de Estatística. A escolha de estudar, mais profundamente,
estatística surgiu quando verifiquei que poderia juntar as duas áreas: Estatística e Pesquisa
Operacional, na verdade existe uma relação muito forte entre essas áreas e, em alguns casos,
elas até se confundem. Atualmente, estou trabalhando com Modelos Lineares Generalizados e
Planejamento Ótimo de Experimentos, uma área ainda não muito conhecida no Brasil, que
1
Coordenação dos Programas de Pós-graduação de Engenharia
Professor do Instituto de Medicina Social da Unividade do Estado do Rio de Janeiro
3
Pinto, E. R. e Ponce de Leon, A. Planejamento Ótimo de Experimentos. Editora da ABE, São Paulo, 2006.
2
reúne os assuntos em que mais gosto de trabalhar, ou seja, planejamento de experimentos,
modelagem estatística e otimização. Recentemente, publiquei no SINAPE4, um livro
abordando os principais tópicos desta teoria.
2) O que você pode nos contar sobre sua experiência na pós-graduação?
Como já disse, comecei estudando Estatística e Pesquisa Operacional no Departamento de
Estatística da Universidade de Brasília. Na UnB tive a oportunidade de conhecer muitas
pessoas, que trabalhavam com assuntos que me interessavam, e também de fazer muitos
amigos, principalmente, no Departamento de Matemática, no qual já havia feito verão em
análise e já conhecia muita gente, inclusive as pessoas de Uberlândia que foram cursar
mestrado antes de mim. O ambiente de estudo em Brasília era muito bom. A UnB possui uma
biblioteca muito boa, que funciona 24 horas por dia. O restaurante universitário e o
alojamento para os alunos de pós-graduação são de excelente qualidade. Quanto ao
doutorado, não tenho tão boas lembranças da estrutura da Universidade Federal do Rio de
Janeiro. Acho que peguei a pior época de estudo na UFRJ, no final do governo FHC e início
do governo Lula. Nesta época a universidade estava totalmente abandonada, andar pela Ilha
do Fundão5 após às 18 horas era muito perigoso. Quando cheguei ao Fundão fiquei totalmente
decepcionado com estrutura da UFRJ, mas, embora sua estrutura física estivesse totalmente
abandonada, o corpo docente do Departamento de Estatística era muito atuante. Embora meu
diploma de doutorado seja em Pesquisa Operacional, a área de concentração da minha tese foi
em Estatística. Isto aconteceu porque quando eu iniciei meu doutorado ainda não existia o
doutorado em estatística na UFRJ, e era comum aos professores da estatística orientar
doutorado na área de Pesquisa Operacional, no Departamento de Engenharia de Produção. O
fato de fazer doutorado em dois departamentos foi muito importante para minha formação,
pois tive conhecimento aprofundaddo, tanto da área da Estatística, quanto da área de Pesquisa
Operacional, interagindo com alunos e professores dos dois departamentos. Outro fato que
vale a pena mencionar é a grande interdisciplinaridade que existe na COPPE e que, sem
dúvida, faz com que este programa de pós-graduação seja um dos melhores do país. Vale
mencionar também que, apesar dos problemas de morar em uma cidade como o Rio de
Janeiro, os benefícios são maiores. Para um estudante de pós-graduação, que não tem muito
dinheiro, o Rio de Janeiro possui várias alternativas de lazer. Além de suas praias
maravilhosas, existem também, periodicamente, shows gratuitos em Copacabana, Botafogo,
Ipanema, etc., sem contar os teatros, com peças excelentes e a preços acessíveis.
3) O que você pode nos contar sobre sua experiência profissional e no ensino em
estatística?
Minha experiência no ensino começou quando trabalhei como professor efetivo, do ensino
médio, na Fundação Educacional do Distrito Federal. Antes de iniciar o mestrado, havia sido
aprovado em concurso público da Fundação Educacional, na área de matemática, para
trabalhar como professor no ensino médio, mas fui assumir o cargo somente no último ano do
mestrado, quando já havia terminado todas as disciplinas e minha dissertação já estava quase
pronta. Fiquei pouco tempo como professor na Fundação Educacional, pois, tão logo terminei
o mestrado, fui convidado a trabalhar no IPEA6, num projeto para verificar o impacto da
desoneração tributária nos produtos oferecidos pelo SUS7. Eu era responsável pela obtenção e
4
Simpósio Nacional de Probabilidade e Estatística. Principal encontro da área de estatística no Brasil.
Ilha onde se localiza a Universidade Federal do Rio de Janeiro
6
Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada
7
Sistema Único de Saúde, vinculado ao Ministério da Saúde
5
análise estatística de dados. Nesta mesma época, também comecei a dar aulas como professor
substituto no Departamento de Estatística da UnB. Após um ano no IPEA, fui contratado para
trabalhar como estatístico no Ministério da Saúde (MS), aí permanecendo por seis meses até
sair para o doutorado, em janeiro de 2001. No MS trabalhava na Secretaria de Investimentos
em Saúde (SIS), que assessorava diretamente, o então Ministro, José Serra, fornecendo
pareceres e análises estatísticas para tomadas de decisão do Ministro. A época em que
trabalhei no IPEA, no MS e na UnB foi muito importante para minha formação profissional
na área de Estatística, pois tive a oportunidade de interagir com pesquisadores e profissionais
das mais diversas áreas, além de trabalhar como professor em um departamento de estatística.
Na época do doutorado, não tinha como trabalhar, pelo menos nos dois primeiros anos, pois
as disciplinas e os seminários me tomavam todo o tempo. No terceiro ano do doutorado, fui
convidado a trabalhar como professor horista na PUC-Rio8, para ministrar o curso de Teoria
da Probabilidade, no Departamento de Engenharia Industrial. Minha passagem pela PUC foi
também muito importante para minha formação estatística, pois o núcleo de estatística dentro
do Departamento de Engenharia de Industrial era muito atuante e os professores trabalhavam
em áreas que me interessavam, ou seja, controle de qualidade, planejamento de experimentos
e pesquisa operacional. Um pouco antes de terminar o doutorado, fui convidado a trabalhar no
desenvolvimento de modelos e projetos estatísticos na CTBC9, em Uberlândia. Na CTBC
fiquei apenas seis meses. Durante esse tempo construí um modelo estatístico para a obtenção
do risco de inadimplência na telefonia celular e fiz também grandes amigos. Essa época que
passei em uma empresa privada ajudou ainda mais na consolidação da minha formação
profissional em estatística. Em agosto de 2005, entrei como professor efetivo, na área de
Estatística, na Universidade Federal de Uberlândia e, desde então, tenho trabalhado como
professor, orientador e pesquisador.
4) Quais são os ramos de atuação para os profissionais que escolhem a área de
Estatística? Como é o mercado de trabalho?
O mercado de trabalho em Estatística é muito amplo e vem crescendo a cada dia. A
diversidade de atuação é um dos grandes atrativos da Estatística, que pode promover a
melhoria da eficiência e também a solução de vários problemas práticos importantes em quase
todas as áreas do conhecimento. Vou citar algumas áreas, com o auxílio da página da ENCE10
na Internet, em que a atuação do estatístico está mais presente: 1) Indústria – no planejamento
industrial, a atuação do estatístico começa nos estudos de implantação de uma fábrica até a
avaliação das necessidades de expansão industrial, na pesquisa e no desenvolvimento de
técnicas produtos e equipamentos, nos testes dos produtos, no controle de qualidade e
quantidade, no controle de estoques, nas análises de investimentos, nos estudos de
produtividade, no planejamento de manutenção de máquinas, etc. 2) Área de Recursos
Humanos – o estatístico realiza pesquisa de compatibilização entre os conhecimentos e
habilidades dos empregados e as atividades desenvolvidas por eles, estuda salários, avalia
planos de saúde, etc. 3) Universidades e Instituições de Pesquisa – o estatístico pode atuar
como docente, ministrando disciplinas relacionadas à Estatística, pesquisando e
desenvolvendo novas metodologias de análise estatística para os mais variados problemas
teóricos e práticos. Pode, ainda, assessorar pesquisadores de outras áreas, dando-lhes suporte
científico, para que consigam tomar decisões acertadas, dentro da variabilidade intrínseca de
cada problema, auxiliando-os na escolha da metodologia científica a ser adotada, no
planejamento da pesquisa, na escolha qualificada dos dados, na análise das respostas, etc. 4)
8
Pontifícia Universidade Católica de Rio de Janeiro
Companhia Telefônica do Brasil Central
10
Escola Nacional de Ciências Estatísticas
9
Área de Demografia – o estatístico estuda a evolução e as características da população,
estabelece tábuas de mortalidade, analisa os fluxos migratórios, planeja e realiza experimentos
com grupos de controle, desenvolve estudos sobre a distribuição e incidência de doenças, etc.
5) Área de Marketing e Análise de Mercado – o estatístico tem um perfil adequado para
trabalhar na monitoração e análise de mercado, nos sistemas de informação e marketing, na
prospecção e avaliação de oportunidades, na análise do desenvolvimento de produtos, nas
decisões relativas a preços, nas previsões de vendas, na logística da distribuição de produtos,
nas tomadas de decisões, etc. 6) Área Financeira e Bancária – o estatístico pode atuar no
departamento de seguros e análise atuarial, na avaliação e seleção de investimentos, no estudo
e desenvolvimento de modelos financeiros, na avaliação e projeção de indicadores
financeiros, etc.
5) No seu ponto de vista, qual seria a qualificação ideal que um estatístico deveria ter?
Antes de responder esta pergunta, gostaria de deixar claro que as pessoas que trabalham com
estatística podem ser divididas em três grupos, a saber: 1) Estatística Teórica – as pessoas
deste grupo, uma minoria, trabalham na obtenção de novas metodologias e novas técnicas
estatísticas; 2) Estatística Aplicada – as pessoas deste grupo trabalham com implementação,
modificação e adaptação dos métodos estatísticos em aplicações a problemas práticos; e 3)
Usuários da Ferramenta Estatística – as pessoas deste grupo constituem a grande maioria, e
são aquelas que usam as técnicas e os pacotes estatísticos na resolução dos mais diversos
problemas, entre essas pessoas estão os engenheiros, os médicos, os psicólogos, etc. Em
relação à pergunta, um estatístico, ou seja, um profissional em estatística, deve ser uma pessoa
extremamente versátil, pois trabalha com pessoas de todas as áreas. É necessário que tenha
conhecimentos de informática, especialmente de organização de bancos de dados, e que
domine, pelo menos um software estatístico; que tenha uma boa base matemática, com um
bom conhecimento de métodos de otimização; que conheça bem a língua portuguesa,
especialmente na redação de relatórios; que tenha fluência em inglês, pois a maioria dos
textos em estatística é em inglês, e, dependendo de onde ele irá trabalhar, precisará comunicar
com pessoas que não falam o português; e, obviamente, que tenha um bom conhecimento em
estatística, tanto em teoria, quanto em métodos.
6) O que você aconselharia ao aluno do curso de Matemática, em relação à opção de
curso, fazer licenciatura ou bacharelado?
Depende, se o aluno tem interesse em trabalhar com educação, sem dúvida, que a melhor
opção é a licenciatura, mas se o aluno tem interesse em matemática pura, a melhor opção seria
o bacharelado. Caso ele tenha interesse em matemática aplicada ou estatística, ele pode cursar
tanto a licenciatura, quanto o bacharelado, desde que complemente sua formação com
algumas disciplinas básicas, dentro da área que deseje seguir. É importante que ele procure
um professor de sua área de interesse, para que este lhe oriente sobre quais seriam as
disciplinas complementares que ele deveria cursar. Acho também que mesmo aquele aluno
que escolher cursar o bacharelado, deveria também cursar algumas disciplinas na licenciatura,
principalmente, aquelas relacionadas com didática, pois esse aluno, terminando o mestrado ou
o doutorado, a menos que vá trabalhar em uma empresa, provavelmente, acabará tendo que
dar aulas em alguma instituição de ensino.
7) Quando você acabou a graduação, você teve alguma dúvida sobre a escolha do
mestrado? (se gostaria mesmo fazer mestrado, ou pensava em trabalhar logo, se teve
dúvida em onde fazer o mestrado).
Desde o início da graduação sempre tive vontade de fazer mestrado. Essa vontade aumentou
ainda mais no decorrer do curso, principalmente, após minha entrada no PET11, onde passei a
ter maior contato com os professores, que sempre incentivavam os alunos a fazerem mestrado.
Minha estada no PET foi muito frutífera e foi fundamental para que eu fizesse uma pósgraduação. Na minha época, acredito que ainda seja assim, era comum que os alunos fizessem
cursos de verão, com o intuito de conhecer a rotina de um curso de mestrado e também para
tentar garantir uma vaga neste curso. Em 1995 fiz um curso de verão em álgebra linear na
Unicamp, embora não tivesse muito interesse em ir para Campinas. Quando terminei o curso
de graduação em matemática, queria trabalhar na área de otimização, embora gostasse muito
da área análise e geometria. Desta forma, procurei saber onde poderia estudar otimização. Foi
aí que descobri a área de Pesquisa Operacional. Incentivado e orientado pelo professor
Olímpio12, fiquei sabendo que a UnB, através do Departamento de Estatística, concedia o
mestrado em Estatística e Métodos Quantitativos (na área de pesquisa operacional). Embora
tendo interesse em pesquisa operacional, também me inscrevi no Mestrado em Matemática na
UnB. Por fim, desisti do mestrado em matemática e optei por fazer o Mestrado em Estatística,
na área de Pesquisa Operacional.
8) Qual é a formação (licenciatura ou bacharelado) que um aluno do curso de
matemática deve ter para ingressar no mestrado em Estatística?
Um aluno que fez bacharelado tem um conhecimento maior, em algumas áreas da
matemática, do que um aluno que fez licenciatura, contudo pode não ter em estatística. Assim,
independente do aluno ter feito bacharelado ou licenciatura, para que ele possa entrar num
curso de mestrado em estatística, de igual para igual com um aluno que tenha graduação em
estatística, é necessário que ele complemente sua formação com algumas disciplinas básicas
como, por exemplo, probabilidade, inferência e modelos de regressão. Boas referências para
essas disciplinas são, respectivamente, os livros do Meyer13 e do Carlos Dantas14, o livro do
Heleno Bolvarine15, e os livros do Hoffman16 e do Montgomery17. Também é necessário que
ele faça um bom curso de análise na reta. Além disso, sugiro ainda que ele procure um
professor de estatística e faça algum estudo orientado.
9) Como é o procedimento seletivo para um aluno entrar em um mestrado em
estatística? Quais são as disciplinas básicas do mestrado? Onde cursar um mestrado
em Estatística?
Inicialmente, o aluno é convidado a fazer um curso de verão, em geral, em probabilidade. Sua
aceitação ou não ao mestrado está condicionada ao seu desempenho no curso de verão e à
análise de seu currículo. Normalmente, também é realizada uma entrevista com os candidatos.
Quanto às disciplinas básicas de um mestrado em estatística, vou tomar como referência o
programa de mestrado da UFRJ. Na UFRJ, o aluno de mestrado deve, no primeiro trimestre,
cursar as disciplinas de Probabilidade, e Cálculo Avançado (análise na reta); no segundo
trimestre, cursar Inferência Estatística (Clássica e Bayesiana) e Processos Estocásticos.
11
Programa de Educação Tutorial, mantido pela CAPES.
Olímpio H. Miyagaki: ex-professor da UFU, atualmente é professor da Universidade Federal de Viçosa.
13
Meyer, P. L.; Probabilidade: aplicações à estatística, 2ª edição, LTC, Rio de Janeiro, 1983.
14
Dantas, C. A. B.; Probabilidade: um curso introdutório, 2ª edição, EDUSP, São Paulo, 2004.
15
Bolfarine, H. e Sandoval, M.C. Introdução à Inferência Estatística, Coleção Mat. Aplicada, SBM, 2001.
16
Hoffman, R e Vieira, S. Análise de Regressão: Uma introdução à econometria, Hucitec, 1998.
17
Montgomery, D.C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. LTC, 2003.
12
Depois dos dois trimestres ele deve fazer o exame de qualificação, que envolve as disciplinas
de Probabilidade, Inferência e Processos Estocásticos. No terceiro trimestre, ele deve cursar as
disciplinas de Modelos Lineares Generalizados e Estatística Computacional. No quarto
trimestre ele deve cursar duas disciplinas optativas, geralmente, Modelos Dinâmicos
Bayesianos e Modelos Hierárquicos. Nos trimestres seguintes, ou seja, no próximo ano, ele
participa de seminários e trabalha, juntamente com seu orientador, na sua dissertação de
mestrado. O aluno também deve ser aprovado em um exame escrito de língua inglesa. Para as
demais instituições, o procedimento é praticamente o mesmo em relação às disciplinas
obrigatórias, o que muda é apenas em relação às disciplinas optativas, que variam de
instituição para instituição, dependendo da área de pesquisa do departamento. As principais
instituições que oferecem mestrado em Estatística são: USP–Universidade de São Paulo (SP),
UFRJ–Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFMG–Universidade Federal de Minas
Gerais, UNICAMP–Universidade de Campinas, UFPE–Universidade Federal de Pernambuco,
UFSCAR–Universidade Federal de São Carlos, USP–São Carlos, ENCE–Escola Nacional de
Ciências Estatísticas, UFRN–Universidade Federal do Rio Grande do Norte, ESALQ/USP–
Escola Superior Luiz Queiroz e UFLA–Universidade Federal de Lavras, sendo as duas
últimas, na área de agronomia, na subárea de Estatística e Experimentação Agronômica.
10) E sobre o doutorado e a pesquisa na área de Estatística?
Com relação aos programas de doutorado, houve um aumento significativo de cursos no país.
Antes de 2001, ano em que iniciei o doutorado na UFRJ, só existia doutorado na USP.
Atualmente, no Brasil, existem mais cinco programas de doutorado em Estatística, a saber: na
UFRJ, na UFPE, na Unicamp, na UFMG e na UFSCAR. Podem-se citar também os
doutorados em estatística e experimentação agronômica, na área de agronomia, da ESALQ e
da UFLA. Com relação ao programa do doutorado, posso citar minha experiência na UFRJ.
No primeiro ano, o aluno deve cursar todas as disciplinas do mestrado, isso vale para todos os
alunos, exceto para aqueles alunos que lá fizeram mestrado. No segundo ano o aluno deve
cursar Probabilidade e Inferência avançadas, além de participar dos seminários de doutorado.
No terceiro ano, o aluno faz o exame de qualificação e participa de seminários, voltados para
sua área de pesquisa, juntamente com o professor orientador. No último ano, o aluno se
dedica totalmente à conclusão da tese de doutorado. O aluno também deve ser aprovado em
exame escrito em inglês, e em uma outra língua estrangeira, por exemplo, alemão, francês ou
espanhol. Em alguns departamentos, o exame de inglês é condição necessária para a aceitação
do aluno no programa. Para que o candidato seja aceito no doutorado ele já deve ter sido
aceito por um professor orientador. Alguns departamentos exigem também que o candidato,
juntamente com seu futuro orientador, apresente uma proposta preliminar de pesquisa. Com
relação à pesquisa em Estatística e usando as palavras do professor Gauss Cordeiro18, no
contexto mundial a Estatística Matemática e a Probabilidade têm atraído inúmeros
pesquisadores e muito dos estudos feitos no Brasil, nestas subáreas, têm sido de ponta. A
pesquisa teórica em Probabilidade tem prestígio internacional, destacando suas atividades no
IMPA, USP, Unicamp, UnB e CBPF19. Vários temas de concentração da Estatística estão em
moda atualmente, entre os quais, podem ser citados: Data Mining, Redes Neurais, Modelagem
em Finanças e Economia, Estatística Computacional, Metaheurísticas, Modelos Estocásticos
em Genética e DNA, Reconhecimento dos padrões e processamento de sinais e imagens,
Wavelets, Física Estatística, Otimização Estocástica, Métodos MCMC, Análise de Riscos,
Modelos ARCH, Planejamento Ótimo de Experimentos, Modelos Dinâmicos, etc. Ainda, de
acordo com o professor Gauss, no médio prazo, a Estatística deverá entrar pesado em várias
18
19
Professor de Estatística da Universidade Federal Rural de Pernambuco e Pesquisador 1A do CNPq
Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas
áreas da medicina, como automação de processos de diagnóstico; e terá um papel crucial para
diagnosticar riscos de pacientes desenvolverem determinadas patologias, tendo como base
dados de exames clínicos e laboratoriais e o estudo do DNA. Modelos e métodos estatísticos
sofisticados possibilitarão, num futuro próximo, desenvolver sistemas especialistas de
diagnóstico clínico. Com o advento da computação, a estatística teve um grande crescimento e
alcançou níveis nunca antes sonhados. Atualmente, com o auxílio sempre crescente da
informática, as aplicações da estatística se estendem a, praticamente, todas as áreas e subáreas
do conhecimento.
11) Deixe uma mensagem para os alunos do curso de matemática
Nos dias de hoje é muito importante fazer uma pós-graduação. Não tenha receio em fazer um
curso de mestrado, achando que não irá conseguir. Corra atrás do que você queira e goste de
fazer. Participe de congressos, procure assistir seminários e palestras, saiba mais sobre a área
que lhe interesse, pesquise na Internet. Na sala de aula, questione os professores sobre o
motivo de estudar tal conteúdo, se existe alguma aplicação do assunto que está sendo
estudado, qual a idéia básica por trás do tema, em que contexto histórico surgiu tal assunto.
Trace uma meta, acredite nos seus sonhos e siga seus objetivos.
FAMAT em Revista
Ç
Ñ
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Merece Registro
www.famat.ufu.br
Merece Registro
Marcos Antônio da Câmara (coordenador da seção)
Merece Registro
Nesta seção, como prometido no número anterior, damos informações sobre a VI SEMAT,
assim como incluímos entrevistas com os professores Sandra Augusta Santos, Pedro
Malagutti e Luiz Márcio Pereira Imenes. Tais entrevistas foram realizadas pela aluna Maria
Luiza Maes, membro do Corpo Editorial da FAMAT em REVISTA.
A) MESTRADO EM MATEMÁTICA NA UFU
O curso de verão em Análise na Reta terminou dia 16/02/2007, completando
assim a seleção dos candidatos à primeira turma do Mestrado em Matemática da
FAMAT. Dos 45 alunos que fizeram o curso, 9 foram aprovados. Como desses 9
exatamente 8 haviam solicitado ingresso como alunos regulares, todos os nove
foram aceitos no curso (o nono candidato entrou com o aluno especial, conforme
havia solicitado quando de sua inscrição). Haviam 8 vagas para alunos regulares e 4
vagas para aluno especial.
Os alunos selecionados foram, pela ordem:
Alunos regulares:
Leandro Cruvinel Lemes
Wilian Eurípedes Vieira
Mariana Ramos Reis
Laís Bássame Rodrigues
Juliana Lázara Curcino Viana
Paulo Henrique Barbosa Galdino
Daniel Hilário da Silva
Wanda Aparecida Lopes
Aluna especial
Carolina Fernandes Molina Sanches
B) CURSO DE APERFEIÇOAMENTO
Foi realizado de 22 a 26 de janeiro de 2007, sob a coordenação do professor
Cícero Fernandes de Carvalho da FAMAT, o Curso de Aperfeiçoamento para
Professores de Matemática do Ensino Médio. O programa é realizado em módulos
independentes em diversos lugares do país e aborda tópicos selecionados das três
séries do ensino médio. Cada módulo consta de treinamento em tempo integral,
durante uma semana, nas férias escolares. As atividades de cada dia consistem em
aulas expositivas transmitidas por meio de videoconferência para as instituições
participantes na parte da manhã e trabalhos em grupo à tarde. Na UFU, as aulas
foram realizadas de segunda a sexta-feira, das 8 às 17 horas, no auditório do bloco
X e em uma sala de aula do bloco 3Q, campus Santa Mônica.
Este curso é realizado desde 1990 pelo Instituto Nacional de Matemática Pura
e Aplicada (Impa-RJ) e tem como ênfase o fortalecimento do conteúdo matemático
dos professores participantes e a criação de uma literatura especificamente voltada
para professores do ensino médio. Atualmente, recebe apoio do Projeto Instituto do
Milênio Avanço Global e Integrado da Matemática Brasileira e Contribuição à Região
(IM/AGIMB), da Financiadora de Estudos e Projetos (Finep), da VITAE Apoio à
Cultura, Educação e Promoção Social e da Fundação Carlos Chagas Filho de
Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro (Faperj).
C) OBMEP
O Prof. Antônio Carlos Nogueira participou de 08 a 13/01/07 da correção
unificada da OBMEP 2006, no IMPA, Rio de Janeiro.
D) VI SEMANA DA MATEMÁTICA
A VI Semana da Matemática (link www.famat.ufu.br/semat), realizada de 12 a
15 de dezembro de 2006 na Universidade Federal de Uberlândia, promoveu as
seguintes atividades: palestras, mini-cursos técnicos e apresentações de Iniciação
Científica. O evento foi um sucesso, cumpriu plenamente com os objetivos
propostos: divulgar a Matemática como Ciência e, promover a interação entre
pesquisadores da área de matemática e áreas afins de diversas regiões do país.
Contamos com a presença de professores de renome de várias instituições de
ensino e pesquisa:
- Prof. Dr. Antônio Carlos Nogueira – FAMAT – UFU
- Prof. Dr. Antônio José Manzato – IBILCE - UNESP – São José do Rio Preto
- Prof. Dr. Edson Agustini – FAMAT – UFU e grupo PETMAT
- Prof. Dr. Luís Gustavo Nonato – ICMC - USP – São Carlos
- Prof. Ms. Luís Márcio Pereira Imenes - Autor de Livros Didáticos - São Paulo
- Prof. Dr. Marcelo Viana - IMPA - Rio de Janeiro
- Prof. Dr. Pedro Alberto Morettin - IME - USP - São Paulo
- Prof. Dr. Pedro Malagutti – DM - UFSCar
- Profa. Dra. Rosa Maria dos Santos Barreiro Chaves -IME –USP – São Paulo
- Profa. Dra. Sandra Augusta Santos - IMECC - UNICAMP
No evento contamos com a ilustre presença do Prof. Dr. Marcelo Viana, que
recebeu vários prêmios por suas pesquisas, inclusive o prêmio Srinivasa Ramajun
em 2005, que distingue o trabalho de pesquisa de jovens matemáticos em países
em desenvolvimento. Também, foi membro da Academia Brasileira de Ciências e da
Academia de Ciências do Mundo em Desenvolvimento.
O Departamento de Música e Artes Cênicas da UFU teve presença marcante
nesta edição da Semana da Matemática:
x Na abertura do evento tivemos o prazer de ouvir um ‘Duo de Flauta
Transversal e Violão’ com os instrumentistas: Marvile Palis Costa e
Waldir Mendes Júnior.
x No encerramento apreciamos um ‘Recital de Violão Solo’ com o Prof.
Ms. Maurício Orosco e tivemos a apresentação do ‘Grupo de
Percussão da UFU’ coordenado pelo Prof. Ms. Eduardo Tullio.
Comissão Organizadora:
Profa. Rosana Sueli da Motta Jafelice - FAMAT – UFU (Coordenadora)
Profa. Dulce Mary de Almeida - FAMAT - UFU
Profa. Fabiana Fiorezi de Marco Matos - FAMAT - UFU
Prof. Marcos Antônio da Câmara - FAMAT - UFU
Prof. Rogério de Melo Costa Pinto - FAMAT - UFU
Prof. Valdair Bonfim - FAMAT - UFU
Flávia Cristina Martins Queiroz - discente do PET/SESu - FAMAT - UFU
Victor Rafael Araújo de Noronha - discente do DAMAT - FAMAT – UFU
A Comissão Organizadora agradece a participação dos docentes e discentes
no evento.
E) EVENTOS NACIONAIS
Miranda, Virgínia H. R. e Câmara, Marcos A., Aplicações Matemáticas da
Geometria, Anais 14º SIICUSP, 8 a 10 de novembro de 2006.
Pereira, Giselle M. R. e Câmara, Marcos A., O Pentagrama, Anais 14º SIICUSP, 8 a
10 de novembro de 2006.
Pereira, Giselle M. R. e Câmara, Marcos A., O Retângulo Áureo e a Espiral
Logarítmica, Anais 14º SIICUSP, 8 a 10 de novembro de 2006.
Pereira, Giselle M. R. e Câmara, Marcos A., A Divisão Áurea, Anais 14º SIICUSP, 8
a 10 de novembro de 2006.
Oliveira, Rafael H. A. e Almeida, Dulce M., Helicóides Generalizados e a Superfície
de Dini. Anais da VI SEMAT-UFU, p. 57-60, 2006.
Saramago, Ana L. P. e Jafelice, Rosana S. M., Diagnóstico Médico Fuzzy da
Infecção Aguda Causada pelo HIV, Anais da XIX Semana Científica da Medicina,
realizado pela Faculdade de Medicina – UFU, 21 a 24 de novembro de 2006.
Figueiredo, Rafael A. e Câmara, M. A., Códigos Permutacionais, Anais da VI
SEMAT, 12 a 15 de dezembro de 2006.
Bechara, Bruno F. Z. e Jafelice, Rosana S. M., Autômato Celular no Estudo
Microscópico dos Indivíduos HIV-Positivos com Tratamento, Anais da VI SEMAT, 12
a 15 de dezembro de 2006.
F) NOSSOS ALUNOS EM PROGRAMA DE MESTRADO
Ingressou no programa de mestrado em matemática pura do IMPA neste semestre o
aluno Flaviano Bahia Paulinelli Vieira. Parabéns, Flaviano!
Entrevista com:
Profª. Drª. Sandra Augusta Santos (IMECC – UNICAMP)
1) Qual é a sua formação acadêmica?
Sandra: Eu fiz graduação (bacharelado) e doutorado em
Matemática Aplicada na UNICAMP. Depois, fui fazer o pósdoutorado na Rice University, nos Estados Unidos. Quando voltei,
fiz o concurso para livre docente. Desde então, sou livre docente na
UNICAMP.
2) Quando começou a utilizar programas em atividades para o ensino de Cálculo?
Sandra: Assim que eu comecei como docente na UNICAMP, já no ano de 96.
3) Descreva seu projeto de um ambiente computacional para esta atividade didática de ensino
de Cálculo?
Sandra: Este trabalho, Cálculo com aplicações, é fruto da parceria com outros colegas do
IMECC – UNICAMP, principalmente com a Vera Figueiredo e a Margarida Melo. Mas,
também, vale a pena ressaltar os outros colegas que foram participando conosco ao longo do
semestre, tutores e monitores que integraram a equipe. Se nós fossemos olhar foram mais de
100 alunos que contamos durante todo o projeto quando ele vigorou e, sobretudo,
principalmente não podemos deixar de falar dos alunos, todos os alunos que integraram as
turmas desenvolvendo com a gente e abraçando este projeto conosco.
4) Existe algum comparativo entre sua abordagem de ensino com a abordagem clássica sem
recurso computacional?
Sandra: Quando este projeto começou, ele foi uma proposta da Pró-Reitoria que
proporcionou as bolsas dos tutores. Então, a própria UNICAMP pediu para a Comissão do
Vestibular para nos acompanhar com pesquisas para ver a validade. Eles avaliaram turmas
que faziam parte do projeto e turmas que não faziam, para tentar ver a influência e a
repercussão, nós podemos perceber uma significativa melhora, tanto na desistência porque
menos alunos desistiram da disciplina ao longo do semestre quanto no número de alunos
aprovados.
5) Esta metodologia é usada em grande escala na UNICAMP ou somente em algumas turmas?
Sandra: Depende do período. Nós tivemos períodos com muitas turmas, de oito turmas de
Cálculo, cinco turmas de Geometria Analítica e teve momentos que foram somente em duas
turmas. Então, dependendo do período e de como evoluímos, tivemos nossos períodos de
auge e determinados momentos que foram diminuindo.
6) Quantas turmas que sua equipe trabalha usando esta metodologia?
Sandra: Hoje nenhuma, pois este projeto vigorou até 2.002. Ao longo do tempo, foi
reduzindo o número de turmas até que hoje não temos nenhuma.
Maria Luiza: Você havia falado que quando trabalhava, você dividia as turmas e levava os
alunos ao laboratório para trabalhar com eles em dupla.
Sandra: Exatamente. O projeto parou justo quando as turmas de Cálculo mudaram, nós
passamos a ter 120 alunos nas turmas, nos quais esses 120 alunos já não eram mais de um
curso só, eles eram alunos mesclados de vários cursos. Quando nós estávamos trabalhando os
alunos eram somente da Engenharia Elétrica, Química, ou da Engenharia Civil, então nós
pedíamos para as unidades nas quais eles eram alunos para nos emprestar os laboratórios e
conseguíamos usar os laboratórios das unidades para cada curso. Quando os cursos ficaram
todos misturados não existia um laboratório em toda a universidade para os tipos de alunos
que tínhamos nas salas, ou seja, turmas mescladas compostas por vários cursos. Antes,
quando ficava distribuído era mais fácil, a partir do momento que as turmas ficaram
mescladas nós não conseguimos a autorização das unidades dos cursos que permitissem que
alunos de outras unidades usassem por causa de senha, segurança. Então, todo o operacional
ficou comprometido quando o número de alunos cresceu muito, por isso que nós só
conseguimos fazer com turmas reduzidas quando são turmas mais especificas. Nós ainda
continuamos conseguindo fazer nas turmas da Matemática, do ‘cursão’, porque eram alunos
só desse bloco. Mas, agora, nem eles fazem parte do Cálculo diferente, o ‘cursão’ faz o
mesmo Cálculo que os outros das exatas. Então todo é um grande ‘bolo’, por isso ficou difícil
nós conseguirmos, pelo menos, não esta dando para fazer atividades de laboratório dentro do
curso, do horário da disciplina, o que é possível fazer depende do professor, da
disponibilidade, da disposição, é fazer projetos e outras coisas extra-classe, mas, dentro da
aula já não dá. Dá também para realizar, como nós fizemos, um mini-curso com momentos da
aula em que você mostra coisas para os alunos, em que você prepara e usa o recurso
computacional, mas, é diferente de uma aula de laboratório, pois o aluno vai ver e não vai
fazer.
7) Quais as possibilidades de utilizar softwares livres? Quais seriam estes softwares?
Sandra: A possibilidade é total, não tem nenhuma restrição e nenhuma obrigatoriedade em
trabalhar com o Mathematica. Nós, na UNICAMP, trabalhamos com o Mathematica porque
era o programa que nós tínhamos acesso. Mas, hoje quando estamos trabalhando com turmas
de outros lugares, por exemplo, no mestrado profissional em que trabalhamos com
professores do Mato Grosso e do Maranhão, estamos usando o Winplot e o Maxima, os quais
são softwares livres que complementam na parte da visualização e da computação algébrica
nos recursos. E, é claro vamos aprendendo cada vez os usamos mais. Particularmente, a Vera,
a Margarida e eu, dominamos muito o Mathematica pelo tempo investido nisso, nós não
conseguimos explorar tão bem o Maxima quanto o Mathematica, mas, estamos aprendendo
trocar porque acreditamos que este trabalho tem que ser num software livre sim, não pode
ficar preso ainda mais que estamos numa universidade pública. É muito bacana, importante e
desejável não termos que gastar, mas, não há nenhum empecilho.
8) Quais foram às dificuldades encontradas no decorrer do seu projeto?
Sandra: As dificuldades principais foram essas: as turmas terem crescido tanto que o projeto
ficou inviável. As turmas terem ficado muito grandes, com 120 alunos e mistas, então fomos
vendo que não íamos conseguir continuar. As dificuldades foram que o próprio processo
acabou desfazendo o projeto acabando de uma maneira mais global. Claro que tem uma
questão que é levar o projeto desses às pessoas que fazem a opção por um semestre, por um
ano, não podemos fazer essa escolha por toda uma vida. Eu, por exemplo, queria muito de
experimentar outras coisas com Geometria, Geometria Plana, Programação Não-Linear, seria
uma boa experiência em outras disciplinas e poderia usar essas idéias de uma outra maneira,
então eu também tenho a vontade de mudar de não ficar sempre trabalhando com o Cálculo.
Hoje, também, não vejo mais como dificuldade, mas, como uma coisa que ajudou de uma
maneira eu me conformar com o fato do projeto ter acabado, pois quando você faz parte de
um projeto, você o abraça e quer ver aquilo continuar.
9) Os resultados esperados foram atingidos?
Sandra: Sem dúvidas, nós sentimos que atingimos sim e, o principal não era o laboratório ou
os projetos, mas, é o fato de termos uma equipe que discutia, pensava, conversava e tentava
aprender junto, então nós tínhamos uma liberdade e uma confiança entre nós, os professores e
os tutores, pra nós podermos mostrar nossas forças e fraquezas. Poder contar o que tinha dado
certo e o que não tinha e, aprender com os outros, descobrir coisas e propor, se sentir
desafiados, isso foi muito rico e cada um acaba levando essa experiência na vida. É muito
rico, hoje vermos que vários desses tutores são professores na faculdade, como da Engenharia
Mecânica e da própria Matemática, então isso é muito legal. Além, é claro, que nosso objetivo
primeiro com os alunos de Cálculo foram atingidos, e hoje nós recebemos e-mail de alunos
nos contando que estão fazendo pós-graduação, estão em empresas, cada um tomou seu rumo.
Nós vemos que a coisa se solidificou para os alunos, para os tutores que participaram e para
nós mesmo. A própria consolidação de todo esse material, fruto desse trabalho no livro, foi
para nós uma grande conquista também, porque, colocar tudo, arrumar e preparar o livro, foi
uma coisa que levou bastante tempo. Quando achávamos que o livro já estava pronto em
2.000, levou mais cinco anos para terminarmos. Então não é assim que as coisas ficam
prontas, é uma lição muito grande que tiramos, quando nós ‘brincávamos’ falando que estava
praticamente pronto, daí, víamos e arrumávamos o livro e, quando vai ver ainda acha mais
uma coisinha, então como você vai aprendendo com as coisas é incrível.
10) Você gostaria de falar mais alguma coisa sobre o projeto que acha válido.
Sandra: Acho que não de acrescentar, mas, é isso, a parte mais importante é o trabalho
coletivo, a parceria, a riqueza, o desafio e, para quem está tentando começar um projeto
desses que é preciso ter parceiros, precisa aproveitar o espaço da universidade, ter verbas para
ter alunos que possa montar uma equipe com monitores, consultores nesse sentido para
trabalho remunerado e criar um espaço de aprendizado para todo mundo, melhorar para os
alunos. Você não pode propor coisas e deixar os alunos ‘soltos’, cheios de dúvidas sobre elas.
Nem você vai dar conta como professor também, precisa de um respaldo e, ao mesmo tempo,
ficar sozinho também é difícil por que com quem você vai dialogar? Então é importante ter
grupos mesmo que sejam apenas uma dupla, dois professores numa turma e foi assim que nós
começamos também. À medida que a fila vai andando, outros colegas vêem, ficam com
vontade e vem ajudar. Então vale a pena, dá trabalho sem dúvida, mas, vale a pena. A
recompensa é grande, principalmente os resultados atingidos com os alunos.
11) Agora, vamos falar um pouco sobre o seu livro.
Sandra: Então esse livro em parceria com a Vera e a Margarida. Nós conseguimos fazer a
publicação com o apoio do nosso instituto, o IMECC, feito na gráfica da UNICAMP, mas, ele
não ficou um livro comercial. Nós estamos cuidando da venda e da divulgação. Então quem
quiser pode acessar pela minha página, ou pela página da Margarida no site da UNICAMP.
Por um motivo operacional, tivemos que encerrar uma das contas que era utilizada para o
depósito, então eu acho que não deve estar mais ativa a conta. Mas, dá para escrever para nós
por e-mail. O custo neste momento é de R$40,00 o exemplar sendo cobrada a despesa do
envio pelo correio, caso precise enviar o livro. Nesta primeira impressão, foram feitos 300
exemplares e já deve estar terminando, devemos ter ainda uns 40 livros no máximo, talvez
façamos uma segunda impressão, ainda possui alguns erros e estamos tentando corrigi-los.
Então é isso, para comprar é direto conosco mesmo.
12) Deixe uma mensagem para os alunos do curso de graduação em Matemática.
Sandra: Eu pensei numa mensagem assim, porque eu gosto de fazer um paralelo da
Matemática com os assuntos históricos. Então eu queria falar o seguinte:
“Praticar a Matemática. Um praticar entre aspas, como os esportistas assim. Mas, não
esquecer daqueles maratonistas que correm por gosto, porque eu acho que é bem aquele
ditado que fala ‘Quem corre por gosto não se cansa’, então fazer aquilo com vontade, com
gosto e se descobrir na Matemática, pois, eu acho que é ai que está à graça, a beleza e você vê
se é isso mesmo que quer fazer. Porque senão for assim, não vale a pena. Tem que ser leve e
fluir, não precisa ser uma coisa sofrida. Praticar para buscar e conviver com essa coisa boa”.
Profª. Drª. Sandra ministrando seu mini-curso na SEMAT.
Entrevista com o Profº. Drº. Pedro Malagutti – DM- UFSCar
1) Qual sua formação acadêmica?
Profº. Pedro: Fiz a licenciatura em Ciências
com
habilitação
em
Matemática
na
Universidade Federal de São Carlos, de 1.976
a 1.980; depois fiz mestrado em Equações
Diferenciais na USP de São Carlos, de 1.980 a
1.983. Em seguida, fiz o doutorado em
Equações Diferenciais Parciais pela federal de
Pernambuco de 85 a 89. Ministro aulas desde 1.983 na Universidade Federal de São Carlos.
Então, eu tenho uma formação bastante significativa na área de Análise Matemática, mas eu
sempre me interessei em atividades ligadas à formação de professores, licenciatura, em geral
com alunos. Ultimamente eu tenho devotado grande parte do meu trabalho com isso, um
trabalho com professores e alunos da licenciatura. Eu fui formado em licenciatura também,
mas no meu tempo você fazia o bacharelado que no final do curso tinha umas três ou quatro
disciplinas pedagógicas, isto era a licenciatura e não como ela realmente é hoje!
2) Descreva seu projeto: “Humor, Matemática e outras coisas perigosas”.
Profº. Pedro: Bom, o objetivo é sempre o seguinte: eu fico pensando num menino que está
no primeiro ou segundo colegial e, que já tem uma aversão grande a Matemática, que nunca
foi mostrado a ele a beleza da Matemática. Então esta é a atividade para mostrar certas facetas
inusitadas da Matemática nos quais os livros não mostram e os professores não contam. O
objetivo é sempre tentar resgatar esse aluno para ver a Matemática com prazer.
3) Como surgiu o nome: “Humor, Matemática e outras coisas perigosas”?
Profº. Pedro: Eu pensei bastante no título ‘Humor e Matemática’ deveria ter, pois, eu faço
um paralelo entre as provas e demonstrações Matemáticas em piadas. As outras ‘coisas
perigosas’ é que no meio existe material concreto, coisas que eu não tenho muito domínio,
então eu achei que os perigos estariam nessa parte. Mas, também, porque eu encontrei um
livro uma vez folheando na biblioteca cujo título era “O fogo, as mulheres e outras coisas
perigosas”, daí eu gostei do nome.
4) Quais são os objetivos deste projeto?
Profº. Pedro: O objetivo desse projeto é encantar os alunos, fazer com que os alunos gostem
de Matemática. E, depois mostrar que a Matemática é humana e não algo pré-estabelecido,
que tem erros e inconsistências. É mais importante descobrir onde o aluno está errando do que
um aluno que não teve essa consistência de errar para aprender.
5) O que inspirou a procurar um livro didático de Matemática que pudesse cativar de
forma mais incisiva o texto?
Profº. Pedro: Os livros de Matemática em geral, são muitos sem encantos para o aluno. Em
geral, tem um exemplo introdutório, um pequeno resultado teórico e depois uma lista enorme
de exercícios, é uma estrutura padrão das escolas. Eu busquei fazer existir alguma atividade
de investigação. Isto tem no humor e na mágica também, você vê uma mágica e tenta
entender como foi tudo feito, que investigação há por trás. Nos livros didáticos de
Matemática, encontrei pouco material que me ajudasse. Encontrei muito material nos sites de
piadas, basicamente eu fico ‘garimpando’ para ver se isso pode ser usado ou não. O
“encantamento” vem sendo esquecido, tudo precisa ser melhor, só é preciso resgatar isso para
que o aluno sinta prazer na aprendizagem.
6) Você ficou satisfeito com os resultados alcançados?
Profº. Pedro: Eu fiquei bastante satisfeito. Toda vez que apresento este material e outros, os
alunos do curso de licenciatura acham que este material será muito aproveitado na profissão
deles. Eles querem o material à disposição, muitos acrescentam novas histórias. Toda vez que
tem apresentação eu melhoro o texto. É uma satisfação muito grande.
7) Fale um pouco sobre o seu livro, inclusive como poderá ser adquirido.
Profº. Pedro: O livro ainda está em elaboração e não pode ser distribuído é necessário
resolver antes os problemas sobre direitos autorais. O livro é um livro comum e ele é dividido
em sete capítulos. E, esses capítulos tendem a organizar uma massa muito grande de
informações que eu tinha com histórias que eu achava importante para colocar no livro. O
livro não tem uma estrutura matemática no sentido de que se trata de um assunto específico, o
que permeia é a lógica. Os setes capítulos são:
O Humor e os Matemáticos o convivência com os Matemáticos;
Humor e Demonstração o principais técnicas de demonstração;
Projeto Burrice Artificial o há uma lógica por trás do erro;
Lógica e Humor o sistema axiomático;
Ilusões Criativas o ilusões de óptica e poesias com estruturas matemáticas;
Humor na Sala de Aula o dia-a-dia em sala de aula.
Colecionei atividades adicionais e as coloquei no final, em geral: um texto sobre
inteligência artificial e um pouco sobre um texto “Alice no país das maravilhas”, e, tem uma
discussão muito legal sobre “Aquiles e a tartaruga”.
Basicamente o livro é uma gama de materiais que estou colecionando. Sempre
adiciono uma coisa para melhorá-lo.
8) Quais são os seus projetos futuros em relação a estas atividades?
Profº. Pedro: Eu tenho quatro textos que estão ligados com o mesmo espírito. Em geral os
apresenta na Bienal da Sociedade da Matemática. Já tem três bienais. Na primeira bienal,
realizada em Belo Horizonte, eu fiz um texto chamado “Inteligência Artificial no Ensino
Médio”, é um livro cheio de jogos para ensinar um pouco de lógica de programação, como
essa inteligência artificial pode ser usada em sala de aula. Não tem nada a ver com a pesquisa
sobre inteligência artificial, este é apenas um nome ligado a máquinas que realizam tarefas
intelectuais, ele é um livro de ensino de matemática. O segundo texto foi da segunda bienal,
em Salvador, “Os quatro elementos da natureza e a Matemática – fogo, terra, ar e água”. Esse
texto tem uma estrutura que é assim: eu pego um elemento da natureza, por exemplo, o fogo.
Desde a pré-história eu vou evoluindo desde como que a filosofia via o fogo e depois como o
fogo foi importante para a criação de uma teoria matemática. Em particular, o fogo está muito
ligado ao calor e na Revolução Industrial o calor teve que ser dominado para trens e máquinas
a vapor. Então foram feitos estudos formais envolvendo equações e inclusive existe uma
equação matemática chamada equação do calor, cuja solução ou tentativa de solução foi
proposta por Fourier. Então aquela brincadeira do fogo lá na pré-história se transformou em
uma área restrita de pesquisa. Eu vou fazendo conexões até chegar à uma área restrita. Com
os outros elementos é a mesma coisa. Na última bienal foi esse texto de “Mágicas
Matemáticas” que tem o mesmo espírito desse humor e matemática. Então esses três
primeiros estão publicados, esse de humor e matemática é o único que não está.
9) Qual é o público alvo?
Profº. Pedro: Estivemos pensando primeiro naquele aluno do ensino médio em que o
raciocínio lógico está formado e ele ainda não sabe o que vai ser fazer depois de terminar o
colegial. Quando apresento esse texto na universidade, ele fica adaptado para alunos do 1º e
2º ano da Matemática, mas o meu objetivo não é esse, o meu objetivo é pensando no professor
ou no aluno. O professor deveria fazer uma mágica e explicar que aquilo tem uma estrutura
por trás, tem análise combinatória escondida e tem noções de metodologia escondida. Esse é o
público alvo.
10) Existe a possibilidade de uso sistemático desta obra?
Profº. Pedro: Por enquanto ainda não porque ela não está completa, mas eu vou estruturar e
divulgar assim que tiver resolvido às questões pertinentes aos direitos autorais. Daí depois,
serão recolhidas as críticas.
11) Qual a natureza deste trabalho?
Profº. Pedro: Pedagógica. Eu pretendo ensinar grandes teorias matemáticas com isso. Não é
um texto sobre matemática, é um texto que anda com a matemática para tornar as aulas mais
bonitas. È um texto para motivar os alunos a se abrirem para o ensino da matemática. A
reação dos alunos é muito boa para com esse tipo de material. Eles prestam mais atenção nas
aulas, ficam mais próximos do professor e a classe se comporta melhor. Esse é o objetivo.
12) Deixe uma mensagem para os alunos.
Profº. Pedro: Olhar o mundo com os olhos da razão. É não acreditar sem você entender as
coisas. Você não pode usar da fé em todos os momentos da vida. Fé é importante para você se
conhecer. Se você puder entender as coisas com o seu raciocínio, com suas ferramentas de
descoberta, daí tudo se abre. Você desenvolve a ciência e desenvolvendo a ciência se
desenvolve a tecnologia e tudo melhora. Então esse é o papel da universidade. A mensagem
que eu deixo é essa: olhar o mundo com os olhos da razão, se gostou de Matemática melhor
ainda, pois é essa a nossa área. É o jeito especial de pensar. Não se deixar ter crenças não
fundamentadas, tudo tem seu fundamento. Procuras esse fundamento. É isso!
Prof. Dr. Pedro Mallagutti ministrando sua palestra na SEMAT
Entrevista com o professor Ms. Luiz Márcio Pereira Imenes
1) Qual a sua formação acadêmica?
Profº. Imenes: Na graduação, fiz Engenharia Civil e
Licenciatura em Matemática; na pós-graduação, mestrado em
Educação Matemática na UNESP, em Rio Claro; quanto ao
doutorado, antes dos noventa anos pretendo fazê-lo!
2) Muitos professores adotam seus livros. Qual é a metodologia utilizada ao escrever?
Profº. Imenes: Entendo que você está se referindo ao modo como trabalhamos, certo? Essa é
uma pergunta difícil de responder! Estes livros, publicados hoje, são fruto de um trabalho de
muitos anos, que começou no dia em que dei minha primeira aula aos dezesseis anos. Quando
preparamos aulas fazemos notas de aula e resumos; dois anos depois, já temos um pouco mais
de elementos, vamos tendo novas idéias, criamos alguma atividade, uns exercícios, um
problema, organizando os assuntos de uma maneira que nos parece mais adequada para o
aluno. Um dia isso vira uma pequena apostila e, com o tempo, uma apostila mais robusta. Em
1972, pela primeira vez, na companhia de outros colegas, recebi o convite para publicar esse
material na forma de livro. Nos últimos anos passei a me dedicar a esse trabalho em caráter
profissional, ou seja, buscando viver dos direitos autorais. Durante muito tempo publiquei
trabalhando no final de semana, nas férias, de madrugada, sem a preocupação de ser
sustentado financeiramente por essa atividade. Mas, a partir de 1990, percebi que uma das
razões para o material didático ficar aquém dos nossos desejos é a ausência de
profissionalismo. Para fazer bem feito, um livro exige dedicação muito grande. Então, resolvi
correr o risco e mergulhar de cabeça nesse trabalho. Na companhia de outros colegas,
conseguimos elaborar material de qualidade. Quando vamos produzir alguma coisa nova, há
uma primeira etapa que consiste em despejar idéias, sem preocupação com esquematização ou
viabilidade; vamos jogando essas idéias no computador ou no papel. Às vezes, não se sabe
bem de onde, de maneira solta, vem uma idéia quando estou numa viagem ou em casa.
Depois, há o momento de organização dessas idéias. Nesse momento a troca entre os autores é
muito importante, nos reunimos e tentamos arrumar as coisas. Trata-se de um processo de
aproximações sucessivas; a cada nova etapa vamos esquematizando melhor, organizando
melhor, descartando aquilo que se mostra inadequado ou inviável. Até que isso amadurece ao
ponto de nos sentirmos em condições de escrever capítulos. Cada um escreve um capítulo e, a
seguir, fazemos a troca para que um possa fazer a crítica do que fez o outro. Daí, reescreve-se
o capítulo e o processo se repete até nos sentirmos satisfeitos com o resultado. Gastamos
quatro anos para produzir os livros de primeira à quarta série e mais quatro para produzir os
livros de quinta à oitava série. Ao todo foram oito anos de trabalho para produzir a coleção
dirigida ao Ensino Fundamental. Para reeditar quatro volumes (temos feito isso a cada 5 anos)
gastamos aproximadamente de um ano e meio a dois.
Sobre essas reedições há um dado importante, que tem a ver com sua pergunta. O feedback
proporcionado pelas escolas que utilizam nossos livros alimenta o trabalho de reedição. Veja
só: fazemos um livro para o Brasil; um livro baseado em nossa experiência pessoal como
professores. (Atualmente, como não estamos atuando diretamente em sala de aula, quando
necessário, alguns colegas nos ajudam testando atividades.) Uma vez publicado, o livro é
distribuído por este país a fora. Sucede que existem a realidade de cada sala de aula e as
condições de trabalho e formação de cada professor. Nós temos viajado muito e buscado
contato com as escolas. Nesses contatos temos retorno sobre o que está acontecendo com o
livro na sala de aula e podemos perceber as falhas do trabalho. Verificamos que algumas
coisas “emperram” desnecessariamente, por falhas na seqüência didática, por exemplo. Então,
na reedição, procuramos aperfeiçoar o trabalho corrigindo essas falhas. Além disso, vamos
aprendendo coisas novas. Sempre estudando, vamos encontrando formas mais adequadas de
fazer as coisas. Há também um outro aspecto interessante. Vou exemplificar: em 1992, na
primeira edição dos volumes de primeira a quarta séries, colocamos uma (apenas uma)
atividade com calculadora na quarta série. A gritaria foi generalizada. Nos diziam que isso era
um absurdo! Na edição atual, a calculadora está presente em todas as oito séries, desde a
primeira, e quase não há protestos. Pelo contrário, muitos professores nos pedem mais
atividades com a máquina. Quero dizer que há um avanço coletivo, um avanço do conjunto
dos professores que permite ir avançando gradualmente no livro, a cada nova edição. Bem, de
maneira resumida, estes pontos esclarecem nosso modo de trabalhar na autoria de textos
didáticos.
3) Qual é a sua principal crítica feita aos livros didáticos atualmente?
Profº. Imenes: Bem, essa é uma questão muito delicada, mas não fujo dela. A crítica não se
aplica apenas à Matemática e também não se aplica apenas àquilo que chamamos de livro.
Quero ampliar: vou me referir ao material didático em geral, lembrando que, em nosso país,
além dos livros existem “sistemas apostilados”. Segundo matéria publicada em grande jornal
de São Paulo, o país tem hoje cerca de 50% de suas escolas particulares com sistemas
apostilados. Outro dado: esses sistemas estão sendo vendidos para Secretarias Municipais de
Educação, e isso deve ser denunciado. O MEC compra o livro didático depois de submetê-lo a
uma avaliação. Todas as obras inscritas nos programas de aquisição de livros do Ministério da
Educação são avaliadas. Mas os sistemas apostilados não são avaliados por ninguém, embora
também estejam sendo comprados com dinheiro público. Isso tem que ser denunciado,
correto? Não estou descartando a possibilidade de aquisição desses materiais, desde que sejam
submetidos ao mesmo critério de avaliação.
A avaliação que o MEC instituiu a partir de 1995 trouxe melhorias significativas ao
livro didático, em todas as disciplinas. É certo que toda avaliação é polêmica, tem falhas, mas
penso que o saldo desse processo é positivo.
Agora, há um fato que a meu ver é determinante e que a avaliação não modificou. Para
entender o que quero apresentar convém, antes, pensar nisto: a quem se dirige o livro
didático? Para quem ele é produzido?
O livro didático é um instrumento de trabalho de alunos e professores; então ele se
dirige a esses dois públicos, alunos e professores. Como autor, devo conduzir um duplo
diálogo: existe o livro voltado para o aluno e o livro do professor, que agrega ao livro do
aluno um conjunto de orientações e considerações voltadas para o professor. Ou seja, no livro
do professor, o autor dialoga com o professor a respeito do livro do aluno, correto?
Quem financia a produção do livro é um empresário, dono do capital que transforma
as idéias do autor num produto palpável, que é o livro. As empresas que investem nisso o
fazem com o mesmo objetivo de qualquer outra empresa, que é obter lucro. A elas interessa
apenas vender, não estão preocupadas em fazer livros bons ou ruins, estão preocupadas em
fazer livros que vendam. Esse fato é determinado pelo sistema econômico que vigora no
mundo.
Agora, quem é que compra o livro? Na escola pública, quem dá o dinheiro é a própria
população através dos impostos que custeiam as comparas governamentais. Na escola
particular, é o pai do aluno que faz isso diretamente na livraria. Entretanto, num e noutro caso,
quem escolhe o que vai ser comprado é o professor (por isso, todo trabalho de divulgação das
editoras é feito junto ao professor). Vale uma analogia com a medicina: quem compra o
remédio é o paciente, mas quem o indica é o médico. (Por isso, os laboratórios fazem a
propaganda junto ao médico e não junto ao paciente.) Então, quem determina a compra do
material didático é o professor, ou a Coordenação Pedagógica da escola, enfim, os
educadores. Isso vale tanto na rede pública como na particular. Por esse motivo, ao produzir o
livro didático, muitos autores raciocinam assim: já que é o professor que vai escolher o livro a
ser adotado, devo fazê-lo de modo a agradar os professores. Até aí, tudo parece muito correto.
Sucede que, a maioria do professorado se identifica e gosta do livro didático parecido com
aquele por onde estudou; a maioria reproduz a formação que recebeu. Está certo, é natural que
seja assim. Todavia, essa postura também embute certo comodismo, é típica de quem não
busca a inovação, não procura se aperfeiçoar profissionalmente e não faz a crítica da
formação que recebeu. O que eu quero dizer é que esse processo (reproduzir a própria
formação) cristaliza as coisas, é avesso às mudanças, promove a manutenção, a preservação
das formas de apresentar a Matemática. Isso seria muito bom desde que a forma como a
Matemática vem sendo apresentada produzisse bons resultados. Mas há o reconhecimento
bastante generalizado, e isso não se passa só no Brasil, de que o modo habitual de ensinar
Matemática, praticado há décadas, leva ao desastre. Portanto, a mudança é necessária. Mas
quando se faz essa mudança no livro didático, muitos professores não a aceitam e o livro
vende menos.
Bem, no meu entendimento o foco do autor e, é claro, de todo o trabalho pedagógico
deve ser o aluno; prioritariamente, é a ele que devemos dirigir nossa atenção. Ele deve ser o
foco da escola. O projeto pedagógico deve promover a aprendizagem do aluno; o professor e
demais agentes da escola deverão se preparar para promover essa aprendizagem. Como autor,
tenho procurado produzir livros com esse compromisso. Em primeiro lugar deve estar a
promoção da aprendizagem do aluno. Aquilo que é bom para o aluno aprender, mas o
professor não domina, será acompanhado de nossas orientações. O livro do professor procura
orientar o colega a realizar esse trabalho.
É claro que não somos os únicos a pensar assim. Há outros autores muito sérios que
também produzem seus livros com essas convicções. Mas o espaço ocupado por esse grupo é
muito reduzido, porque esses livros vendem bem menos. Então, há o risco dessa produção
séria desaparecer. Entendo que os empresários querem (e precisam) que os livros vendam.
Mas, como educador, não posso aceitar que na produção do livro a prioridade não seja o
aluno. Essa é uma crítica ao modo de produção do livro didático que se estende aos “sistemas
de ensino”, aquele material que está chegando ao aluno sem qualquer avaliação. Nessas
considerações não estou me referindo só à escola pública. Parece-me absurdo que o MEC
nunca tenha interferido nessa “pedagogia vestibulesca” que assola o país. Ele não é um
ministério da educação da escola pública, é o MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO, certo?
4) Quando você escreve um livro, quais são os objetivos a serem alcançados e quais as
dificuldades a escrever um livro?
Profº. Imenes: O objetivo é sempre a aprendizagem dos alunos. É comum ouvir nos
encontros com colegas professores: “Ah, mas se eu fizer isso os pais irão reclamar!”. Bom, é
verdade que muitos pais reclamam e isso não deve nos surpreender. Um pai reclama quando o
filho está na sétima série e o livro dele não traz 147 exercícios do mesmo caso de fatoração,
não é verdade? Ele reclama da falta de exercícios de fixação. Um pai estranha quando o
professor pede para seu filho levar calculadora na aula de matemática. Ele estranha até
quando vê o filho aprendendo geometria. Para muitos pais geometria não é matemática. A
matemática lida com números. Esse negócio de quadrado, cubo, esfera faz parte de artes.
E porque muitos pais pensam assim? Foi a escola que eles freqüentaram que os fez pensar
assim. Portanto, nós educadores somos responsáveis por essas concepções que os pais têm.
Posso não ter sido professor dos pais dos meus alunos, mas não importa; fomos nós da
educação que semeamos estas crenças. Então, não devemos ficar surpresos ao constatar que
muitas famílias têm idéias equivocadas sobre matemática e sobre a aprendizagem da
matemática. Entretanto, é absurdo cedermos às exigências absurdas que elas nos fazem em
decorrência dessas crenças equivocadas. Os pais não fazem por mal. Eles acreditam
honestamente que a critica que fazem ao uso da calculadora visa beneficiar seus filhos, mas
não sabem que estão equivocados. Nós educadores é que, em tese, temos preparo e formação
para conversar com eles e explicar o que estamos fazendo. E muitas escolas chamam os pais
para conversar. Eu já fiz vários encontros com famílias para expor as mudanças em curso na
matemática escolar e sei que elas entendem, quando apresentamos argumentos consistentes.
Claro, alguns não aceitam e isso é normal; mas a maioria entende e passa a apoiar o que a
escola faz. Ao fazer essas considerações, minha intenção é esclarecer o que quero dizer com
“o compromisso fundamental do educador é com a aprendizagem do aluno”. Faremos tudo o
que a família (ou quem quer que seja) quiser que façamos desde que isso contribua para
promover a aprendizagem do aluno. Mas, tudo o que atrapalhar essa aprendizagem não
faremos e explicaremos o porquê de nossa atitude. Então, respondendo parte de sua pergunta,
repito insistentemente: ao escrever os livros, nosso objetivo é promover a aprendizagem do
aluno; é isso que buscamos.
Que dificuldades encontramos ao perseguir esse objetivo? Bem, existem as dificuldades
naturais do aluno. O que quero dizer é o seguinte: se, desde o início da escolarização e até a
sétima série do ensino fundamental, um estudante convive com aquela matemática de fazer
contas como papagaio, onde ele não aprende os porquês nem para que se faz aquelas coisas, e
na oitava série se depara com um professor que pretende mudar o enfoque, um professor que
solicita que ele expresse suas idéias, que diga como pensou para resolver um problema, que
valoriza, muito mais que a resposta, o modo como o aluno pensou para resolver o problema,
etc, etc ..., bem, nesse caso o estudante estranha e reclama do professor (ou do livro). E acho
que reclama com razão. Ele encontra dificuldades nessa mudança e isso é natural.
Além dessas dificuldades naturais do aluno, enfrentamos também as dificuldades dos
professores. Nós sabemos como é a formação e como são as condições de trabalho do
professorado. Já escutei de muitos colegas: “eu gostaria de mudar minha prática, mas dou 60
aulas por semana, trabalho pela manhã, à tarde e à noite, quando é que vou preparar minhas
aulas? Gostaria de fazer uma pós-graduação, mas não tenho condições.” Veja que esse colega
reclama de não poder fazer melhor, mas não se opõe às novas idéias e sabe da necessidade de
aperfeiçoar sua formação. São as condições de trabalho que dificultam seu aprimoramento
profissional.
Em nosso trabalho de autoria enfrentamos também as dificuldades das famílias para
entenderem as novas idéias. Em nossos livros há uma carta dirigida aos pais onde tentamos
situá-los diante das mudanças. Além disso, com freqüência, recebo e respondo e-mails de pais
e mães de nossos alunos-leitores.
Além das citadas, há ainda dificuldades no processo de produção dos livros. Particularmente,
tive a sorte de encontrar editores que aceitaram correr o risco e bancaram a inovação; mas
nem sempre isso acontece. Devo também dizer que nunca aceitei fazer o que minha
consciência de professor não recomendasse. O modo de produção do livro didático e as
pressões para se garantir a venda desse produto geram um grande número de dificuldades ao
nosso trabalho.
5) Você fica satisfeito com os resultados atingidos?
Profº. Imenes: A resposta é sim e não. Em alguns aspectos sim. Considero que o livro
didático é um valioso recurso de trabalho (e não deve ser o único). Mas livro é tinta sobre
papel, é coisa morta. Quem dá vida a ele são os professores e seus alunos. Há alguns dias fui a
uma escola no Rio de Janeiro, uma escola que está trabalhando com nossos livros e faz um
trabalho muito bom junto aos alunos, um trabalho muito sério. Como parceiro dessa
experiência, sinto muita satisfação. Por outro lado, dá vontade de chorar quando constato que
nossas intenções são totalmente ignoradas, quando as atividades de geometria são postas de
lado, quando os alunos têm o livro, mas o professor segue ensinando Matemática como
sempre ensinou, utilizando o livro apenas para retirar questões difíceis para a prova. Nesses
casos, sinto tristeza. Mas a vida é assim mesmo, o que se vai fazer?
6) Descreva de um modo geral sua palestra: “É preciso fazer justiça à Matemática”.
Profº. Imenes: “É preciso fazer justiça à Matemática”. Esse tema vem nascendo aos poucos,
a partir de algumas constatações que fazemos na vida profissional. Não surgiu de uma hora
para outra, foi amadurecendo devagar. Nas conversas com as pessoas, quando as convido para
relembrarem dos seus tempos de escola, das aulas de matemática, em geral elas manifestam
desagrado, tristeza e, às vezes, até mesmo certo rancor. São muito raros os depoimentos em
que as pessoas dizem: “eu gostava de aprender matemática”. Sei que essa constatação não é
só minha, mas de todos que trabalham com a matemática escolar. E as causas desse problema
são muitas. Algumas nem têm relação com a matemática, são problemas culturais, sociais, e
por aí vai. Agora, o fato concreto é que esse problema é mundial e tem algumas características
parecidas nos diferentes países. Nessa dificuldade das pessoas aprenderem matemática há
algo que nada tem a ver com condições de trabalho do professor. O problema é antigo e muita
gente mundo afora vem se debruçando sobre esse problema tentando entendê-lo. Dessa
iniciativa, dessa preocupação com a matemática escolar, que envolve matemáticos,
professores de matemática, pedagogos, psicólogos e outros profissionais, surgiu o
MOVIMENTO de educação matemática. Nessa expressão, a palavra movimento é importante.
Esse processo não é conduzido por governos. Ele resulta da iniciativa das pessoas, da
sociedade, dos professores. Esse movimento gerou uma nova área de pesquisa, relativamente
recente, que é a Educação Matemática. Essa nova área de estudos vem propondo novas
práticas, novas orientações, seja na questão curricular, nos critérios de seleção e organização
dos conteúdos, seja nas questões metodológicas, no uso de novas tecnologias, etc. Esse
trabalho todo vem lançando luzes sobre o processo de aprendizagem da matemática, sobre
como uma criança constrói a noção de número, como é que se forma sua percepção de espaço,
seu raciocínio algébrico ou combinatório, etc. Essas coisas todas têm sido bastante estudadas.
Nessa palestra, parto desta constatação: as pessoas identificam a matemática com a atividade
de fazer contas, ou seja, para elas, saber matemática é saber calcular. Pensam assim porque,
em seus anos como estudantes de matemática, só calcularam, desde as operações
fundamentais com naturais, as operações com frações, os cálculos algébricos e por aí vai. Em
resumo, a crença generalizada na sociedade é que quem sabe matemática sabe fazer contas e
quem sabe fazer contas sabe matemática. Essa opinião explica, por exemplo, o sucesso do
método Kumon. Aqui em Uberlândia, com certeza, existe mais de uma escola Kumon. Essas
escolas não são oficiais; são como escolas de aulas particulares, cursos não oficiais. O tal
método Kumom, na verdade, não é método algum. Trata-se de uma “criação” do professor
Toru Kumom, nos anos 50, no Japão. Na verdade, é só uma reorganização do tradicional
ensino de Matemática. Resume-se a isto: fazer cálculos. Sabe-se que o método Kumon é um
sucesso; tem escolas no Brasil inteiro, em tudo que é cidade. Quem decide colocar a criança
ou o adolescente numa dessas escolas são os pais, apesar de, às vezes, as próprias escolas não
recomendarem. Por que as famílias matriculam seus filhos no método Kumon? Porque elas
têm a firme convicção de que quem sabe fazer contas sabe Matemática, convicção essa
plantada pela escola. A matemática escolar reduziu a matemática ao fazer contas.
Sucede que nenhum matemático, em época alguma, concordaria com essa concepção de que
saber matemática se resume a fazer contas. Essa habilidade tem um papel coadjuvante na
matemática, não o papel principal. Mas a matemática escolar transformou esse coadjuvante
em ator principal, quase que só o único ator. Pouca coisa se faz na escola além de contas. E
isso costuma acontecer desde as séries iniciais até a universidade.
Bem, é claro que ninguém aprende matemática sem desenvolver algumas habilidades de
cálculo. Nisso há consenso, mas é preciso discutir que habilidades são essas, mas isso é outra
história. Então, é uma injustiça para com a ciência matemática reduzi-la a esse aspecto, ao
fazer contas.
Há ainda outro aspecto muito enraizado na cultura da escola: a matemática é vista como um
conjunto de regras. A maioria das pessoas aprendeu a somar números naturais com o
tradicional “vai um” e a subtrair “emprestando um”; aprendeu que para multiplicar, em dado
momento, deve-se pular a “casinha” e que, para dividir, a conta tem que ser feita da esquerda
para direita; aprendeu que, para somar frações, temos que achar o mínimo múltiplo comum
dos denominadores e que, para multiplicar frações, multiplicam-se os numeradores e os
denominadores. Bem, e por que se faz tal cálculo assim? A resposta, em geral, é esta: “Porque
essa é a regra.” Sucede que em matemática não se acredita em uma proposição simplesmente
porque foi dito que ela é verdadeira, mas sim porque pode ser justificada. Não estou propondo
que, na escola básica, se apresente aos alunos uma matemática formalizada, não se trata de
apresentar demonstrações rigorosas. Mas é preciso que se apresentem explicações no nível de
compreensão dos alunos. E quase sempre é possível fazer isso. Se, vez ou outra, isso não for
possível não há problema.
Bem, quando a escola reduz a matemática a um conjunto de regras que devem ser obedecidas
sem qualquer explicação ela comete uma gravíssima injustiça com a matemática. As verdades
matemáticas não são dogmas, não são verdades de fé. Muitas pessoas apontam que essa
característica da matemática escolar as incomodam; essa história do “é porque é” não agrada
os humanos. Muitos dizem: “eu não sabia porque fazia aquelas coisas”. As pessoas cobram o
significado, o sentido das idéias.
Então, em resumo, destaco esta característica negativa da matemática escolar que não faz
justiça à ciência matemática: a matemática fica reduzida a um amontoado de cálculos e de
regras que devem ser aceitas sem mais.
Ora, uma vez que, essencialmente, saber matemática não é simplesmente saber calcular e que
as verdades matemáticas não são dogmas pode-se concluir que, aquilo que as pessoas
aprendem a não gostar não é matemática. Elas não gostam de algo que lhes foi apresentado
com esse nome, mas que não é matemática. A matemática verdadeira eles não chegaram a
conhecer. Essa é a injustiça a que me refiro.
Para a matemática escolar deixar de ser um amontoado de regras é preciso mudar o projeto
tradicionalmente usado na escola. Por exemplo: é necessário fazer mudanças na organização
dos conteúdos. Mas, quando se mexe nisso a resistência é muito acentuada. São coisas
simples, mas faz-se disso uma “grande tragédia”. O cálculo é necessário, mas não se justifica
por si só. Para que a matemática deixe de ser somente contas, é preciso enxugar o cálculo para
ter tempo de resolver problemas e de trabalhar com a geometria, por exemplo.
O tema “É preciso fazer justiça à matemática” veio dessa constatação, a de que existem
alguns paradigmas equivocados acerca da matemática, criados pela própria matemática
escolar. Acredito que, em boa parte, esse equívoco decorre de um projeto inadequado para se
trabalhar com a matemática na escola. Daí a necessidade de mudar o projeto.
7) Qual seria sua crítica ao atual processo de ensino da matemática em relação às suas
propostas?
Profº. Imenes: Bem, acredito que em boa parte isso já está respondido. Primeiro eu gostaria
de fazer uma correção na pergunta. Você disse: “Qual seria sua crítica ao atual processo de
ensino da matemática em relação às suas propostas”. Sucede que as propostas não são minhas.
Considero-me militante desse movimento de educação matemática, alguém que faz parte
desse processo. Mas as novas orientações, que resultam desse movimento, não têm dono.
Aliás, isso dá muito mais credibilidade a essas novas orientações, por isso as propostas são
confiáveis. Retomando sua pergunta reafirmo o que já disse: há muita resistência às novas
idéias. Isso pode ser atribuído, em parte, ao comodismo. Mas também devemos compreender
que tudo que é novo assusta. Os processos de mudanças são lentos, mas é inegável que há
avanços. Há muito para ser feito ainda no mundo inteiro, não só no Brasil. As resistências, aos
poucos, vão sendo vencidas.
8) A sua abordagem pode ser entendida como uma abordagem que enfatiza o aspecto
dedutivo da matemática?
Profº. Imenes: Eu fico com um pouco de receio de como pode estar sendo entendido esse
aspecto dedutivo. Se for entendido no sentido estritamente formal a resposta é não. É bastante
consensual entre os educadores matemáticos que o modelo formal de apresentação da
matemática não é adequado para a matemática escolar. A primeira vez que tive minha atenção
voltada para isso foi na leitura de um artigo do professor Manfredo Perdigão do Carmo, do
IMPA. Ele afirma que há um grande equívoco com relação ao ensino da matemática que
provem da adoção do texto de Euclides como texto didático para o ensino da matemática. Se a
intenção de Euclides era fazer um texto didático é questão controversa, mas que sua obra
Elementos acabou sendo usada com esse fim é fato incontestável. Essa forma de apresentação
da matemática escolar é inadequada. A formalização, necessariamente, elimina significados.
As novas propostas chamam a atenção para a necessidade de o aluno compreender as idéias,
compreender os conceitos e procedimentos, saber de onde as coisas surgiram para saber usar
esses conhecimentos, para saber relacioná-los. As idéias têm que ter significado. Esse aspecto
é central. Quando as idéias são compreendidas, não há quem não goste de matemática.
9) Mensagem para os alunos.
Profº. Imenes: Os alunos que já são professores ou que serão professores, como toda geração,
desfrutam do conhecimento de gerações passadas. Há coisas que eu aprendi aos 30 anos de
atividade profissional que essa nova geração está aprendendo já na formação inicial. Com
certeza, esses alunos estão muito à nossa frente e, certamente, chegarão mais longe. Vocês
têm condições de produzir resultados em termos de educação melhores do que os produzidos
por nós. Outra mensagem que deixo, é que esta profissão traz muita satisfação, apesar de todo
o sacrifício que ela tem exigido. A educação pode proporcionar muita alegria, e a receita para
isso é simples: nosso compromisso profissional fundamental é com o aluno. Em respeito aos
alunos temos que ser exigentes, pois eles são capazes. Como já disse, lembrem-se de que
nosso compromisso com o aluno nos autoriza a não aceitar interferências que possam
prejudicar a formação deles. Vocês estão na etapa da formação inicial, e lembrem-se de que
essa formação nunca irá se completar. Quero dizer que devemos nos perceber como eternos
estudantes, cuidando sempre de nossa formação continuada. Outro ponto: não se consegue
avançar muito quando se vai sozinho. Daí a importância do trabalho partilhado. Deixo meu email para quem quiser continuar a conversa: [email protected].
Prof. Ms. Luiz Márcio Pereira Imenes ministrando sua palestra.