MODELAGEM MATEMÁTICA DE EVAPORADORES DE MÚLTIPLO

MODELAGEM MATEMÁTICA DE EVAPORADORES DE MÚLTIPLO EFEITO
EMPREGADOS NO AUMENTO DO TEOR DE SÓLIDOS DO LEITE
1
1
2
2
2
Pedro Ivo N. de Carvalho, Andréa O. S. da Costa, Esly F. da Costa Junior
Bolsista de iniciação Científica PIBIC/FAFES/UFES, discente do curso de Engenharia de Alimentos.
Professor do CCA da UFES/ES, Curso de Engenharia de Alimentos, Curso de Engenharia Química.
1,2
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo (CCA); Campus de Alegre, Alto Universitário, s/n°, Caixa Postal 16,
Guararema, Alegre, ES (28)3552-8932
e-mail: [email protected]
RESUMO – Neste trabalho é proposto um modelo matemático a ser empregado na simulação
do processo de evaporação do leite. Para isto são usados balanços de massa global e de
sólidos e balanço de energia. O sistema de equações é composto por duas equações
diferenciais ordinárias (que representam a taxa de acúmulo de massa dentro do evaporador e a
variação da concentração de sólidos) e duas equações algébricas (vazão de vapor gerado e
vazão de saída do leite concentrado). O modelo inclui ainda equações empíricas referentes às
propriedades termofísicas do leite (densidade, calor específico e elevação do ponto de
ebulição) e do vapor gerado (entalpia). Foi adotada uma constituição básica para o leite, em
massa, de 87,0% de água, 3,5% de proteínas, 3,0% de lipídios e 4,5% de lactose, totalizando
concentração inicial de 13% de sólidos. As condições operacionais foram adotadas a partir do
conhecimento adquirido com o estudo do processo. Ao final são apresentados resultados
dinâmicos da simulação do comportamento do evaporador estudado em função do tempo.
Palavras-Chave:
matemática
evaporadores de
múltiplo-efeito,
INTRODUÇÃO
Segundo o Ministério de Desenvolvimento,
Indústria e Comércio Exterior (MDIC), as
exportações brasileiras de produtos lácteos nos
anos de 2007 e 2008, chegaram a 273,28 e
509,18 bilhões de dólares, respectivamente.
Destes valores, as exportações dos principais
produtos que passam pelo processo de
concentração (leite concentrado, leite evaporado
e leite em pó) somaram 224,59 bilhões de dólares
em 2007 e 452,18 bilhões de dólares no ano
seguinte. Comparando os valores de cada ano é
possível notar a importância deste grupo de
produtos na balança comercial de lácteos.
O processo de evaporação, empregado em
diversas indústrias alimentícias, tem como
princípio a eliminação parcial da água presente
no fluido através da fervura e liberação do vapor
d’água (Fellows, 2006). Na produção de
alimentos em pó este processo antecede à etapa
de secagem na qual o produto final é obtido. Tais
processos reduzem o conteúdo aquoso
diminuindo a possibilidade de deterioração do
alimento por ação microbiana devido à menor
atividade de água do produto final. Além disso, o
aumento da concentração proporciona ainda um
produto mais flexível, de forma que facilita e torna
menos custosa as etapas de armazenamento,
concentração do
leite,
modelagem
transporte e distribuição do produto concentrado
em relação ao leite inicial.
O
processo
de
concentração
por
evaporação pode ser representado utilizando-se
a modelagem matemática (Avalo e Varela, 2008).
A descrição matemática do processo de produção
de alimentos concentrados é reportado em
trabalhos presentes na literatura aberta (Kaya e
Sarac, 2007; Miranda e Simpson, 2005; Cadet et.
al., 2000; Elhaq et. al.,1999). Todavia, raros são
os estudos que descrevem a concentração do
leite. Miranda e Simpson (2005) desenvolveram
um modelo fenomenológico para descrever a
concentração de tomate. Cadet et. al. (2000) a
partir de equações de balanços de massa e
energia e relações semi-empíricas estudaram o
controle preditivo não-linear de evaporadores
utilizados na fabricação de açúcar da cana.
Este trabalho apresenta a modelagem
matemática e simulação dinâmica da etapa de
evaporação do leite integral. Foi adotada a
constituição básica para o leite em massa de
87,0% de água, 3,5% de proteínas, 3,0% de
lipídios e 4,5% de lactose. A metodologia
proposta consiste na adaptação do modelo de
Holland (1983) para a modelagem matemática de
sistemas de evaporadores de múltiplo efeito. O
modelo empregado é fenomenológico, dinâmico e
não linear.
VIII Congresso Brasileiro de Engenharia Química em Iniciação Científica
27 a 30 de julho de 2009
Uberlândia, Minas Gerais, Brasil
Descrição do processo
Para retirar a água do leite, são
usualmente utilizados evaporadores de múltiploefeito. Neste tipo de arranjo diversos
evaporadores são ligados em série e o vapor
gerado pela fervura do leite em um evaporador
(ou efeito) é usado como meio de aquecimento
do seguinte, devendo ocorrer obrigatoriamente
uma redução progressiva da pressão ao longo
dos efeitos para manter a diferença de
temperatura entre o líquido e o vapor de
aquecimento (Fellows, 2006). Nos últimos anos
se estabeleceu a implantação na indústria de
evaporador de película descendente (Falling Film)
(Figura 1).
junto com vapor, formando um ciclone
responsável pela separação (Westergaard, 2004).
O leite concentrado separado se junta ao
concentrado retirado na base da calandra e o
vapor sai pela parte superior do separador. O
vapor pode seguir para um evaporador adiante e
servir como vapor de aquecimento ou no caso de
ser proveniente do último evaporador, ele é
condensado (resfriado) em um trocador de calor,
produzindo vácuo. O vácuo é essencial para
reduzir a temperatura de ebulição do leite e uma
planta com sistema de resfriamento eficiente no
último efeito é o suficiente para se conseguir
temperaturas desejáveis para a concentração
deste fluido. Normalmente se trabalha com
valores de temperatura de 66 a 68°C para o
primeiro efeito e 45 a 47°C para o último efeito. O
gradiente de temperatura de 21°C se divide entre
o número de efeitos (normalmente de 4 a 6
efeitos) do sistema de evaporação acarretando
menores alterações físico-químicas ao produto
(Early, 1997). O leite entra no primeiro efeito com
aproximadamente 87% em massa de água e sai
do último evaporador com concentração de
sólidos variando de 45 a 55%, de acordo com os
parâmetros operacionais.
METODOLOGIA
Modelo Matemático
Figura 1 – Representação de um evaporador
de película descendente com separador de
vapor (Adaptado de Niro S.A.)
Este tipo de equipamento apresenta um
curto tempo de retenção do leite e pode operar
em gradiente de temperatura baixo, de forma que
o produto sofre uma agressão térmica menor,
garantindo um produto de melhor qualidade. O
evaporador tipo filme (película) descendente pode
chegar a quase 18m de altura e possui em seu
interior diversos tubos de diâmetro uniforme. O
leite pré-aquecido introduzido no topo se distribui
uniformemente sobre a superfície interna dos
tubos e flui para baixo pela ação da gravidade,
formando uma película que entra em ebulição
pelo calor trocado com o vapor de alimentação. O
vapor vivo é introduzido no corpo do evaporador
(também
chamado
de
calandra).
Sua
condensação libera calor latente que é usado
para retirar parte da água presente no leite. Leite
concentrado e vapor gerado saem então pela
parte inferior da calandra, de onde grande parte
do concentrado é recolhida. O restante entra
tangencialmente em um separador subseqüente
Neste trabalho o modelo matemático
originalmente proposto por Holland (1983) para
evaporadores é adaptado ao processo de
concentração do leite. As considerações
propostas por Holland (1983) são: (i) O líquido
retido se encontra perfeitamente misturado; (ii) a
retenção de vapor no evaporador é pequena
diante da massa de leite retida; (iii) a retenção de
energia nas paredes do equipamento é pequena;
(iv) as perdas de energia para o ambiente são
pequenas.
A Figura 2 fornece uma representação
esquemática do funcionamento do evaporador
estudado e a definição das variáveis de interesse.
Vapor gerado, V
Vapor de aquecimento
V0
Condensado
Evaporador
µ, x
Leite mais
L,x
concentrado
Leite W, xf
V0
Figura 2 – Representação do funcionamento
do evaporador estudado e algumas variáveis
de interesse (Cruz et. al., 2007)
Balanço de Massa e Energia: As equações
básicas que compõem o modelo de Holland
(1983) são resultado dos balanços de massa
global e de sólidos e balanço de energia para um
evaporador de simples efeito. Tal modelo pode
ser empregado, com alguma adaptação, na
modelagem da evaporação de qualquer líquido.
Cruz et. al. (2007) partindo do modelo de Holland
(1983), desenvolveram uma série de equações
para descrever a simulação de evaporador de
licor negro de celulose. A seguir as equações
matemáticas básicas desenvolvidas por estes
autores são apresentadas e utilizadas para
simular o primeiro efeito de um sistema de
evaporação do leite.
Balanço de massa global (Equação 1):
(1)
sendo t o tempo (h).
Balanço de sólidos (Equação 2):
·
. . (2)
Derivando-se pela regra do produto o lado
esquerdo da Equação 2 tem-se:
·
·
· · (3)
Substituindo-se na Equação 3 a Equação
1, tem-se após alguma manipulação:
· · (4)
O sistema de Equações Diferenciais
Ordinárias a ser integrado para a simulação do
sistema será composto pelas Equações 1 e 4.
Entretanto,
serão
utilizadas
expressões
algébricas para o cômputo de L e V, a partir dos
valores de µ e x em cada tempo. Estas
expressões são desenvolvidas a seguir.
Balanço de energia global (Equação 5):
·,
· , · · (5)
· , Transferência de calor (Equação 6):
! · " · · 0
(6)
Substituindo a Equação 6 na Equação 5
tem-se:
·,
· , · , · ! · " · ,
,
·
· , · ! · " ·
, · (8)
(9)
Para se encontrar a derivada da entalpia
com o tempo, utiliza-se a regra da cadeia:
,
$
·
$
$
$
·
(10)
Sabe-se que a temperatura de ebulição do
leite (τ) é função da pressão e da concentração.
Entretanto, durante a operação do evaporador, a
pressão em cada efeito é constante e assim:
$
$ · (11)
Substituindo-se a Equação 11 na Equação
10 obtém-se:
,
$
$
$
$
$
$
· $ · $ · % $ · $ $ & ·
$
(12)
Substituindo-se a Equação 4 na Equação
12 obtém-se:
,
$
%
$
·
$
$
$
$
& · % · · &
(13)
Substituindo-se a Equação 13 na Equação
9 obtém-se:
$
$
$
% $ · $ $ & · · · ·
, · ! · " · , · (14)
Rearranjando-se a Equação 14 é possível
obter-se V.
'.()* ,* +,++* ·%
'6+,0.%
,- ,. ,· 0 &102.3.)4 +5
,. ,/ ,/
,- ,. ,. 0 &5
,. ,/ ,/
(15)
Para o cômputo da equação algébrica para
L (vazão de concentrado) é feita a suposição de
volume constante:
(7)
Derivando a expressão do lado esquerdo
da Equação 7 pela regra do produto:
·
, · · , ·
, · ! · " · Substituindo a Equação 1 na Equação 8 e
manipulando-se, tem-se:
7,
89
(16)
onde Vol é o volume de leite dentro do
evaporador (m³). Derivando-se a Equação 16 em
relação ao tempo, e lembrando-se da suposição
de que o volume é constante, tem-se:
(
:
1
;.,/
<=
0
(17)
Aplicando-se derivada do quociente do
lado esquerdo da Equação 17:
> , ·
·
7,
0
(18)
Substituindo-se a Equação 1 na Equação
18 e aplicando-se a regra da cadeia para a
derivada da densidade com o tempo:
> , · · %
&0
$7
$
·
$7
$
·
(19)
Substituindo-se a Equação 11 na Equação
19 obtém-se:
$7
$7
$
> , · · %$ · $ · $ ·
&0
(20)
Substituindo-se a Equação 4 na Equação
20 obtém-se:
> , · · $7
$7
$
· · %$ $ · $ & 0
Manipulando-se
possível determinar L:
'+·* +0··%
esta
Equação
,; ,; ,.
0 · &07,·+5
,/ ,. ,/
7,
(21)
21
é
(22)
O sistema de equações matemáticas a ser
resolvido é composto pelas equações 1, 4, 15 e
22.
Relações Adicionais: Minim et. al. (2002)
relacionaram a influência da temperatura e dos
conteúdos de água e de gordura nas
propriedades termofísicas do leite. Estes autores
usaram de correlações empíricas para determinar
o calor específico (J/(kg.K)) e a densidade do
leite (kg/m³). Tais propriedades são descritas
pelas Equações 23 e 24, adaptadas de Minim et.
al. (2002).
O calor específico varia linearmente com a
temperatura e é pouco influenciado pelo conteúdo
de gordura (Castro, 2006).
?@ , 1401,7 2,1 · 2181,6 ·
1 402,2 · (23)
A densidade do leite varia de acordo com a
sua concentração e é amplamente influenciada
pela temperatura (Castro, 2006).
> , 1185,64 0,341 · 58,239 ·
1 13,4093 · (24)
A entalpia do leite pode ser calculada,
integrando-se a Equação 23 desde a temperatura
de referência (Tr) até a temperatura de ebulição
do leite (τ):
, 3,5833 2,5838 · · J 0,00105 · K J K (25)
A temperatura de ebulição do leite varia
com a pressão de operação do equipamento e
com a concentração de sólidos. Castro (2006)
avaliou a elevação do ponto de ebulição (EPE) do
leite adicionado de sacarose e ajustou os dados
experimentais ao modelo de Dürhing. A equação
para a EPE do leite é proposta ajustando-se os
dados de Castro (2006) para o leite com 0% de
sacarose (Equação 26).
LML 2,087 15,6016 · 0,0172 0,0188 · · NO
(26)
Ainda a partir de Cruz et. al. (2007) são
obtidas as equações que descrevem a
temperatura de saturação da água em função da
pressão de trabalho (Equação 27) e para a
entalpia do vapor gerado (Equação 28).
NO M %=S%
, M [ ·
+PQK,R
T
&+RX,YZK&
UVV,VW
\
42,014
] · M ^ · · M _
(27)
(28)
A Equação 28 e a Tabela 1 apresentam os
parâmetros e os respectivos valores adotados
para a Equação (28).
Tabela 1 – Parâmetros estimados para a
utilização da Equação 28 (Cruz et. al., 2007).
Parâmetro
Valor
a
7,3424×102
b
1,1383
c
-1,2804×10-1
d
1,0260
e
2,7686×10-4
f
2,0634×106
Os
valores
das
demais
variáveis
operacionais necessários para a simulação do
comportamento do primeiro evaporador (primeiro
efeito) de um sistema de evaporação estão
descritos na Tabela 2.
Tabela 2 – Condições operacionais
Variáveis
Valores
xf
0,13 (-)
Tf
323,15 K
W
15000 kg/h
UA
4x108 J/(K.h)
To
373 K
P
20000 Pa
RESULTADOS E DISCUSSÃO
335,8
335,6
335,4
Temperatura (K)
O modelo resultante foi então resolvido
obtendo-se o comportamento dinâmico das
variáveis
operacionais
de interesse. Os
resultados são apresentados pelas Figuras 3 a 7.
A solução do sistema de equações matemáticas
não lineares proposto foi realizada empregandose um método numérico de resolução de
equações
diferenciais
(Runge-Kutta)
implementado no programa MATLAB (MATrix
LABoratory).
Na
Figura
3
é
apresentado
o
comportamento da massa retida de leite (µ) no
evaporador ao longo do tempo. Verifica-se que o
estado estacionário do sistema é atingido após 4h
de operação.
A análise da Figura 4 evidencia que o leite
alimentado com 13% de sólidos sofre um
acréscimo em sua concentração, deixando o
sistema com cerca de 23%, após o mesmo atingir
o estado estacionário.
10020
10010
10000
9990
0
2
4
6
8
10
334,8
334,6
334,4
334,0
333,8
0
0,20
0,18
0,16
0,14
0,12
0
2
4
6
8
10
12
Tempo (h)
Figura 4 – Simulação da concentração do leite
(x) que deixa o evaporador ao longo do tempo.
Tal elevação da concentração do leite no
interior do evaporador, reportada na Figura 3,
causa um acréscimo da temperatura de ebulição
deste fluido como já era previsto. Este
comportamento pode ser verificado analisando-se
a Figura 5.
8
10
12
6800
6780
6760
6740
6720
6700
6680
6660
6640
6620
6600
6580
0
2
4
6
8
10
12
Tempo (h)
Figura 6 – Simulação da vazão de evaporado
(V) que deixa o evaporador ao longo do
tempo.
Vazão de leite concentrado L (kg/h)
Concentração do leite x(-)
0,22
6
Finalmente destacam-se, no estado
estacionário, as gerações de cerca de 6603 kg/h
de vapor (Figura 6) e 8396 kg/h de concentrado
(Figura 7) a serem empregados no próximo efeito
do sistema.
12
0,24
4
Figura 5 - Simulação da temperatura de
ebulição do leite (ττ) no interior do evaporador
ao longo do tempo.
Tempo (h)
Figura 3 - Simulação da massa de leite (µ
µ)
retida no evaporador ao longo do tempo.
2
Tempo (h)
Vazão de Evaporado V (kg/h)
Massa de leite (kg)
10030
335,0
334,2
10050
10040
335,2
8450
8400
8350
8300
8250
8200
8150
0
2
4
6
8
10
12
Tempo (h)
Figura 7 – Simulação da vazão do leite
concentrado (L) que deixa o evaporador ao
longo do tempo.
CONCLUSÕES
Pelos resultados obtidos é possível concluir
que o modelo matemático desenvolvido pode ser
empregado na simulação do comportamento de
evaporadores que compõem sistemas de
evaporadores de múltiplo efeito empregados na
concentração do leite. Como proposta futura,
espera-se a obtenção de dados operacionais
reais que possibilitem a validação do modelo. A
partir da validação seria possível a busca pelas
melhores condições de operação para o processo
em estudo. Vale ressaltar que tais informações
não são usualmente disponibilizadas pelas
indústrias.
NOMENCLATURA
A
Área de troca térmica (m2)
Cp(τ,x)
Calor específico do leite (J/(kg.K))
EPE
Elevação do ponto de ebulição do leite
(K)
h(Tf,xf)
Entalpia do leite na entrada
h(τ,x)
Entalpia do leite dentro do evaporador e
na saída
H(τ,P)
Entalpia do vapor gerado
L
Vazão de leite na saída do evaporador
(kg/h)
P
Pressão no interior do evaporador (Pa)
Tf
Temperatura do leite na entrada do
evaporador (K)
T0
Temperatura do vapor de aquecimento
(K)
Tr
Temperatura de referência (K)
Tsat(P)
Temperatura de saturação da água (K)
U
Coeficiente de troca térmica (J/(m2.K.h))
V
Vazão do vapor evaporado do leite que
sai do equipamento (kg/h)
V0
Vazão do vapor que alimenta e que sai
do evaporador (kg/h)
Vol
Volume de leite dentro do evaporador
(m³)
x
Concentração do leite
evaporador e na saída
xf
Concentração do leite na entrada do
equipamento (-)
W
Vazão de leite
evaporador (kg/h)
τ
Temperatura de ebulição do leite (K)
µ
Massa de leite dentro do evaporador
(kg)
que
dentro
alimenta
do
o
ρ(τ,x)
Densidade
do
leite
dentro
evaporador e na saída (kg/m³)
do
λ0
Calor latente de vaporização da água
(J/kg)
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Leche en Polvo. Evaporación y Secado por
Atomización. Niro S.A., Copenhague.
AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem à Fundação de
Apoio à Ciência & Tecnologia do Espírito Santo
(FAPES) pelo apoio financeiro.