prof h p ostermann

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prof h p ostermann

Einführung in die
Wahrscheinlichkeitsrechnung
bedinge Wahrscheinlichkeit
Laplace-Wahrscheinlichkeit
p = 0.356
Zufallsexperiment
???
Randwahrscheinlichkeit
1
Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann
Übersicht
Was ist
Wahrscheinlichkeit?
Rechenregeln
Der
Multiplikationssatz
Axiomatische
Herleitung
Unabhängigkeit
Satz von der
totalen Wahrscheinlichkeit
Die Axiome
von
Kolomogoroff
Bedingte
Wahrscheinlichkeit
Theorem
von Bayes
2
Was ist Wahrscheinlichkeit
... wahrscheinlich wird es morgen regnen ...
... höchstwahrscheinlich komme ich morgen vorbei ...
... mit hoher Wahrscheinlichkeit werde ich zum 1.Vorsitzenden gewählt
...
Quantifizierung, ob ein Ereignis eintritt
Zufallsexperiment
3
1
Beispiel
Herbert D. ist begeisterter Tischtennisspieler, und seit nunmehr zehn
Jahren spielt er für seinen Verein in der Kreisliga A. In diesen zehn
Jahren hat er insgesamt 20-mal gegen seinen Angstgegner Lothar G.
gespielt und dabei 17-mal verloren.
Die Wahrscheinlichkeit, dass er beim nächsten Aufeinandertreffen
gewinnen wird, beträgt demzufolge 0.15 oder 15%.
4
Beispiel
Die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Freitag im Standesamt der Stadt
Biebelberg drei Brautpaare getraut werden, beträgt 0.20 oder 20%.
Denn in den letzten fünf Jahren sind an den insgesamt 250 Freitagen, an
denen das Standesamt geöffnet war, an 50 Tagen jeweils drei Brautpaare
getraut worden.
Beispiel
Liegen in einer Urne drei rote und vier schwarze Kugeln, so wird man
mit einer Wahrscheinlichkeit von 3/7 oder 42.86% eine rote Kugel
ziehen.
5
Die Zuordnung einer Wahrscheinlichkeit zu einem zufälligen Ereignis
stellt selbstverständlich eine Abstraktion dar, der wir unter folgenden
Bedingungen eine Bedeutung beimessen wollen:
1. Es handelt sich um Vorgänge (Versuche), die beliebig oft unter den
gleichen Bedingungen ablaufen (oder als beliebig oft wiederholbar
gedacht werden können), so dass von einer relativen Häufigkeit
gesprochen werden kann, mit der ein bestimmtes Ereignis in einer
langen Serie von Versuchen eintritt.
6
2
2. Stellt man nach jedem dieser Versuche die relative Häufigkeit neu
fest, mit der das Ereignis bis dahin insgesamt eingetreten ist, so
ergibt sich jedesmal ein etwas anderer Wert; mit wachsender Anzahl
der Versuche nähert sich jedoch die relative Häufigkeit einem
bestimmten Zahlenwert.
Diese Zahl heißt die Wahrscheinlichkeit des zufälligen Ereignisses.
7
Axiomatische Herleitung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes
Anzahl der günstigen Fälle
Anzahl der möglichen Fälle
Jakob Bernoulli
Pierre Simon de Laplace
Chancen bei Glücksspielen
Grundraum/Ereignisraum Ω
Einelementige („atomare“) Ereignisse: Elementarereignisse
8
Vereinigung zweier Ereignisse: Ai ∪ A j
Ω
Ai
Aj
9
3
Durchschnitt zweier Ereignisse: Ai ∩ A j
Ω
Ai
Aj
10
Das Komplement zum Ereignis Ai: Ai
Ω
A
Aii
11
Zwei disjunkte Ereignisse Ai und Aj
Ω
Ai
Aj
12
4
Die Differenz der Ereignisse Ai und Aj : Ai \ A j
Ω
Ai
Aj
13
Beispiel
Beim einfachen Würfelwurf sind als Ergebnisse die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5,
und 6 möglich.
Der Grundraum Ω ist damit Ω = {1,2,3,4,5,6}.
Die Elementarereignisse sind die Zahlen {1},...,{6}.
Diese Elementarereignisse sind disjunkt, denn es können nicht zwei
Zahlen gleichzeitig auftreten.
Ein mögliches zusammengesetztes Ereignis sind die geraden Zahlen
({2,4,6}).
Das hierzu komplementäre Ereignis sind die ungeraden Zahlen
({1,3,5}).
Die Differenz der beiden Ereignisse „gerade Zahl“ und {2} ist das
Ereignis {4,6}.
14
Die Axiome von Kolmogoroff
Nichtnegativität: Für jedes Ereignis Ai , i = 1, L , ∞, gilt:
0 ≤ P ( Ai ) ≤ 1
Normiertheit: Für den Grundraum Ω gilt: P(Ω) = 1.
Additivität: Sind die Ereignisse Ai ( i = 1, L, ∞ ) paarweise disjunkt, so
gilt:
∞  ∞
P U Ai  = ∑ P ( Ai ) ≤ P(Ω ) = 1


 i =1  i =1
∞
(Hierbei bezeichnet iU
=1
vielen Ereignissen.)
die Vereinigung von abzählbar unendlich
15
5
Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten
1. Wahrscheinlichkeiten sind niemals negativ, sondern können nur
Werte zwischen Null und Eins (oder entsprechend 0 und 100 Prozent)
annehmen.
2. Der Grundraum Ω als das sichere Ereignis hat eine
Wahrscheinlichkeit von Eins. Dadurch ist die
Wahrscheinlichkeitsfunktion normiert.
3. Werden paarweise disjunkte (unvereinbare) Ereignisse vereinigt
und die Wahrscheinlichkeit hiervon betrachtet, so ist dies gleich der
Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten und höchstens so groß wie
die Wahrscheinlichkeit des Grundraumes Ω.
16
Beispiel Würfelwurf
Beim einfachen Würfelwurf beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine 1, 2, 3,
4, 5 oder 6 zu würfeln jeweils
.
P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) = 1 6
Für den Grundraum
Ω = {1,2,3,4,5,6}
gilt
P(Ω ) = 1
Für die disjunkten Elementarereignisse gilt
P({1}∪ {2}∪ {3}∪ {4}∪ {5} ∪ {6})
= P({1}) + P({2}) + P({3}) + P({4}) + P({5}) + P({6})
=
1 1 1 1 1 1
+ + + + + =1
6 6 6 6 6 6
.
Die Kolmogoroffschen Axiome sind damit erfüllt.
17
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
Regel 1 Sind die Ereignisse Ai und Aj disjunkt, so gilt:
(
)
( )
P Ai ∪ A j = P( Ai ) + P A j
Regel 2 Sind die Ereignisse Ai und Aj disjunkt, so gilt:
(
)
P Ai ∩ A j = P(∅ ) = 0.
Regel 3 Für zwei beliebige Ereignisse Ai und Aj gilt:
(
)
( ) (
P Ai ∪ A j = P( Ai ) + P A j − P Ai ∩ A j
)
18
6
Regel 4 Für ein beliebiges Ereignis Ai gilt:
(
)
( )
P Ai ∪ Ai = P( Ai ) + P Ai = 1,
Regel 5 Für ein beliebiges Ereignis Ai gilt:
( )
P Ai = 1 − P( Ai )
Regel 6 Für zwei beliebige Ereignisse Ai und Aj gilt:
(
)
(
P A i \ A j = P( Ai ) − P Ai ∩ A j
)
19
Regel 7
Regeln von De Morgan
Für zwei beliebige Ereignisse Ai und Aj gilt:
(
) (
)
(
) (
)
P Ai ∪ A j = P Ai ∩ A j
P Ai ∩ A j = P Ai ∪ A j
20
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Wurf eines fairen Würfels, eine
gerade Zahl zu erhalten?
(Ein fairer Würfel besitzt die Eigenschaft, dass alle Zahlen mit gleicher
Wahrscheinlichkeit, nämlich mit 1/6, geworfen werden!)
P(Gerade Zahl) = P({2,4,6}) = P({2}) + P({4}) + P({6})
=
1 1 1 3 1
+ + = =
6 6 6 6 2
.
21
7
Beispiel Urne
In einer Urne befinden sich zwei rote und drei schwarze Kugeln.
Darüber hinaus besitzen eine rote und eine schwarze Kugel ein Loch.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
•
•
•
•
eine rote Kugel,
eine rote Kugel oder eine Kugel mit Loch,
eine rote Kugel ohne Loch
eine schwarze Kugel mit Loch
zu ziehen?
22
Beispiel Urne
P(rote Kugel ) =
2
= 0.4
5
P(rote Kugel oder Kugel mit Loch )
= P(rote Kugel ) + P(Kugel mit Loch ) − P(rote Kugel mit Loch )
=
2 2 1 3
+ − = = 0.6
5 5 5 5
P(rote Kugel ohne Loch ) = P(rote Kugel ) − P(rote Kugel mit Loch )
=
2 1 1
− = = 0.2
5 5 5
P(schwarze Kugel mit Loch ) =
1
= 0.2
5
23
Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit
Beispiele
•
Beeinflussen sich die Ergebnisse beim doppelten Würfelwurf, d.h.,
beeinflusst das Ergebnis des ersten Wurfes das Ergebnis des zweiten
Wurfes?
•
Beeinflusst die Schulbildung das jährliche Einkommen?
•
Beeinflusst die Körpergröße das Körpergewicht?
24
8
Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse Ai und Aj aus dem Grundraum Ω heißen (stochastisch)
unabhängig, falls gilt:
(
)
( )
P Ai ∩ A j = P( Ai ) ⋅ P A j
Die Ereignisse A1, ... ,Am, 2 < m ≤ n, heißen (stochastisch) unabhängig,
falls
(
) ( ) ( )
( )
P Ai1 ∩ Ai2 ∩ L ∩ Aik = P Ai1 ⋅ P Ai2 ⋅ L ⋅ P Aik
für alle möglichen Teilstichproben vom Umfang k aus den m
ursprünglichen Ereignissen gilt.
25
Unabhängigkeit
Beim doppelten Würfelwurf sind die beiden Ereignisse
•
•
A = „im 1.Wurf eine ‘6’“
B = „im 2.Wurf eine ‘6’“
unabhängig voneinander, denn es ist
P ({6,6}) =
1 1 1
= ⋅ = P({6}) ⋅ P({6}) .
36 6 6
26
Unabhängigkeit
Beim einfachen Würfelwurf sind die beiden Ereignisse
•
•
A = „Zahl ist durch zwei ganzzahlig teilbar“,
B = „Zahl ist durch fünf ganzzahlig teilbar“
abhängig voneinander, denn es ist
P( A) ⋅ P ( B ) =
1 1 1
⋅ =
≠ 0 = P(∅ ) = P( A ∩ B ) .
2 6 12
27
9
Bedingte Wahrscheinlichkeit
(
P Ai A j
)
ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von Ai gegeben Aj
(die bedingte Wahrscheinlichkeit von Ai unter der Bedingung Aj)
und ist definiert durch
(
) P(APi(A∩ A) j )
j
P Ai A j =
28
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Sind Ai und Aj unabhängig, so ist
(
) P(APi(A∩ A) j ) = P( APi )(A⋅ P()A j ) = P( Ai )
j
j
P Ai A j =
29
Die Wahrscheinlichkeit, beim doppelten Würfelwurf als Augensumme
den Wert 12 zu erhalten, beträgt 1/36, denn dazu ist es notwendig,
zweimal die „6“ zu erhalten.
Die Wahrscheinlichkeit beim doppelten Würfelwurf als Augensumme den
Wert 12 zu erhalten unter der Bedingung, daß im 1.Wurf schon einmal
die „6“ aufgetreten ist, beträgt 1/6, denn nun ist es nur noch notwendig,
auch im zweiten Wurf die „6“ zu erhalten.
30
10
Der Multiplikationssatz
(
) P(APi(A∩ A) j )
j
P Ai A j =
(
) (
) ( )
P Ai ∩ A j = P Ai A j ⋅ P A j
P( A1 ∩ L ∩ Am )
= P( A1 ) ⋅ P (A2 A1 )⋅ P (A3 A1 ∩ A2 )L P (Am A1 ∩ L ∩ Am −1 )
31
Beispiel Jugendheim
Diskjockey Hubert K. legt im Jugendheim Klingeltown gerne die Beatles
auf.
Der Heimleiter Heinz-Georg A. macht ihm aber zur Auflage, dass er bei
25 gespielten Platten nur achtmal die Beatles auflegen darf.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Heimleiter, wenn er zufällig
bei den ersten 25 Liedern die Diskothek dreimal betritt, jedesmal die
Beatles hört?
32
Beispiel Jugendheim
Sei A1 das Ereignis, dass er zum 1.Mal die Diskothek betritt und die
Beatles hört.
Die Ereignisse A2 und A3 seien analog definiert.
Dann ist B das Ereignis, dass er bei allen drei Besuchen die Beatles hört.
Somit gilt:
P(B ) = P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P( A1 )⋅ P(A2 A1 )⋅ P(A3 A2 ∩ A1 )
=
8 7 6
⋅ ⋅
= 0.0243 .
25 24 23
33
11
Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Ω
A1
A2
B
A3
A5
A4
A6
34
n
Partition:
U Ai = A1 ∪ A2 ∪ L ∪ An = Ω,
i =1
B = ( A1 ∩ B ) ∪ ( A2 ∩ B ) ∪ L ∪ ( An ∩ B ) =
n
U ( Ai ∩ B )
i =1
n
 n
 n
P(B ) = P U ( Ai ∩ B ) = ∑ P( Ai ∩ B ) = ∑ P (B Ai )P( Ai )


i =1
 i =1
 i =1
35
Beispiel Tischtennis
Der begeisterte Tischtennisspieler Herbert D. gewinnt mit einer
Wahrscheinlichkeit von 0.8, wenn er am Abend vor dem Spiel kein Bier
trinkt.
Er gewinnt nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.3, falls er am
Vorabend Bier trinkt.
Herbert D. trinkt an 3 Abenden in der Woche Bier.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt er sein nächstes Spiel?
36
12
Sei A1 = „Bier am Vorabend“
und A2 = „kein Bier am Vorabend“
sowie B = „Sieg“.
Damit ist
P( A1 ) = 3 7
P( A2 ) = 4 7
P (B A1 ) = 0.3
P (B A2 ) = 0.8
P (B ) = P (B A1 )⋅ P ( A1 ) + P (B A2 )⋅ P ( A2 )
4 3 3 8 4
3
= 0.3 ⋅ + 0.8 ⋅ = ⋅ + ⋅
7 10 7 10 7
7
9 + 32 41
=
=
≈ 0.586 .
70
70
37
Beispiel Freunde
Petra hat zur Zeit drei Freunde (F1, F2, F3), mit denen sie abwechselnd in
die Diskothek geht.
Sie wird von F1 an drei, von F2 und F3 jeweils an zwei von sieben Tagen
begleitet.
Während sie von F1 und F2 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.6 mit dem
Auto nach Hause gebracht wird, beträgt diese Wahrscheinlichkeit bei F3
sogar 0.9.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Petra an einem x-beliebigen Tag
nach Hause gebracht?
38
Beispiel Freunde
Sei H = „wird nach Hause gebracht“, so ergibt sich
P (F1 ) = 3 7
P (F2 ) = P (F3 ) = 2 7
P (H F1 ) = P (H F2 ) = 0.6,
P (H F3 ) = 0.9
P(H ) = P(H F1 ) ⋅ P(F1 ) + P(H F2 ) ⋅ P(F2 ) + P(H F3 ) ⋅ P(F3 )
3
2
2 6⋅3+ 6⋅2 + 9⋅2
+ 0.6 ⋅ + 0.9 ⋅ =
7
7
7
10 ⋅ 7
18 + 12 + 18 48
=
=
≈ 0.686
.
70
70
= 0 .6 ⋅
39
13
Das Theorem von Bayes
n
U Ai = A1 ∪ A2 ∪ L ∪ An = Ω
,
i =1
P ( Ai B ) =
P (B Ai )⋅ P( Ai )
P( Ai ∩ B ) P (B ∩ Ai )
=
=
n
P(B )
P(B )
∑ P B Aj ⋅P Aj
(
) ( )
j =1
40
Wollen wir bei Herbert D. die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass er am
Vorabend Bier getrunken hat, wenn er gerade sein Spiel gewonnen hat,
so ist
P( A1 B ) =
P(B A1 ) ⋅ P( A1 )
P (B )
=
3 10 ⋅ 3 7 9 70
9
=
=
≈ 0.22
41 70
41 70 41
41
Beispiel Freunde
Möchten wir bestimmen, mit welcher Wahrscheinlichkeit Freund F2
Petra nach Hause gebracht hat, so ergibt sich
P(F2 H ) =
P(H F2 ) ⋅ P(F2 )
P (H )
=
6 10 ⋅ 2 7 12 70 12
=
=
= 0.25
48 70
48 70 48
42
14

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