6. Funktionen von mehreren Variablen

Analysis für die Naturwissenschaften
6. Funktionen von mehreren
Variablen
Prof. Dr. Erich Walter Farkas
24.11.2011
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Analysis für die Naturwissenschaften
Funktionen von mehreren Variablen
n ∈ {1, 2, 3, ...} =: N .
Rn := {(x1 , ..., xn ) | x1 , ..., xn ∈ R} =
Menge aller n-Tupel reeller Zahlen
x := (x1 , ..., xn ) ; xi ∈ R (i = 1, 2, ..., n)
Rn , ”n-dimensionaler Raum”
n = 1 : R1 = {(x) | x ∈ R} , {x ∈ R} = R ⇒ Gerade
n = 2 : R2 = {(x, y) | x, y ∈ R} ⇒ Ebene
n = 3 : R3 = {(x, y, z) | x, y, z ∈ R} ⇒ Raum
n = 4, 5, 6, ...
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Funktionen von mehreren Variablen
Definition:
Eine Funktion in n Variablen ist eine Abbildung
f: D→R,
D ⊆ Rn ,
welche jedem n-Tupel (x1 , ..., xn ) eine Zahl
f (x1 , ..., xn ) ∈ R
zuordnet.
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Graph einer Funktion von zwei Variablen
D ⊆ R2 ; f : D → R ; (x, y) 7→ f (x, y)
Graph von f :
G = G(f ) := {(x, y, f (x, y)) | (x, y) ∈ D}
z = f (x, y)
z = f (x, y)
f (x0 , y0 )
G
(x0 , y0 , f (x0 , y0 ))
y0
y
y
D
x0
x
x
G = {(x, y, z) | z = f (x, y)} , Fläche im Raum R3 , die über D liegt.
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Beispiel: Lineare Funktion in zwei Variablen
f (x, y) = ax + by + c ; (a, b, c ∈ R)
G = {(x, y, z) ∈ R3 | ax + by + c = z}
= {(x, y, z) ∈ R3 | ax + by − z + c = 0}
Die Ebene G schneidet: ...
z = f (x, y)
1. ... die x-Achse in (− ac , 0, 0) ;
c
(a = 0, c 6= 0 ⇒ kein Schnittpunkt)
(a = 0, c = 0 ⇒ x-Achse liegt in G)
G
2. ... die y-Achse in (0, − bc , 0) ;
(b = 0, c 6= 0 ⇒ kein Schnittpunkt)
(b = 0, c = 0 ⇒ y-Achse liegt in G)
− bc
y
− ac
x
3. ... die z-Achse in (0, 0, c) .
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Beispiel: Rotationsparaboloid
z = f (x, y) = x 2 + y 2
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Beispiel: Halbkugelfläche
z = f (x, y) =
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p
1 − x2 − y2 ⇔
p
x 2 + y 2 + z2 = 1
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Beispiel: Sattelfläche
z = f (x, y) = xy
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Niveaulinien
Eine Methode, Funktionen von zwei Variablen anschaulich
darzustellen, beruht auf der Verwendung von sogenannten
Niveaulinien.
Wenn wir uns die in den obigen Beispielen dargestellten Flächen als
Landschaften mit Bergen und Tälern vorstellen, so sind die
Niveaulinien nichts anderes als die von der Landkarte her bekannten
Höhenkurven.
Man wählt eine Zahl c (die Höhe) und bestimmt alle Punkte (x, y),
deren Funktionswert f (x, y) = c ist.
Die Menge dieser Punkte bildet für ein festes c im Normalfall eine
Kurve in der x-y-Ebene.
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Niveaulinien
D ⊆ R2 ; f : D → R ; (x, y) 7→ f (x, y)
c∈R
Niveaulinie von f auf der Höhe c :
Nc (f ) := {(x, y) ∈ D | f (x, y) = c}
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Niveaulinien: ... anschaulich
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Niveaulinien: Halbkugelfläche
f (x, y) =
p
1 − x2 − y2 = c ;
c = 0; 41 ; 21 ; 34 ; 1
y
1
−1
c=0
c = 41
c = 21
c = 43
c=1
1
x
−1
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Niveaulinien: Sattelfläche
f (x, y) = xy = c ;
c = −2; −1; 0; 1; 2
y, c = 0
c = −2
c=2
1-
c = −1
c=1
c=2
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c=1
p
1
c = −1
x, c = 0
c = −2
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Aufgabe: Bestimme die Niveaulinien!
f (x, y) = x 2 (y + 1) = c ;
c = −1; 0; 1
y
1-
p
p
p
p
1
p
p
-
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x
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Partielle Funktionen
D ⊆ R2 ; f : D → R ; (x, y) 7→ f (x, y) ; (x0 , y0 ) ∈ D
Partielle Funktionen von f in (x0 , y0 ) :
Partielle Funktion in Richtung x durch y0 :
x 7→ f (x, y0 ) =: ϕ(x)
”y0 festhalten, x laufen lassen”
Partielle Funktion in Richtung y durch x0 :
y 7→ f (x0 , y) =: ψ(y)
”x0 festhalten, y laufen lassen”
Partielle Funktionen lassen sich auch im Fall von mehr als zwei
Variablen definieren.
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Partielle Funktionen: ... anschaulich
D ⊆ R2 ; f : D → R ; (x, y) 7→ f (x, y) ; (x0 , y0 ) ∈ D
Partielle Funktionen: ϕ(x) = f (x, y0 ) und ψ(y) = f (x0 , y)
E = Ebene parallel zur x-z-Ebene durch (x0 , y0 )
F = Ebene parallel zur y-z-Ebene durch (x0 , y0 )
Graph ϕ = Schnittkurve des Graphen von f mit E
Graph ψ = Schnittkurve des Graphen von f mit F
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Darstellung von Graphen mit partiellen Funktionen
Bestimmt man nun mehrere partielle Funktionen und zeichnet diese
in einer räumlichen Skizze in den entsprechenden Ebenen parallel
zur x-z- bzw. y-z-Ebene ein, so erhält man ein anschauliches Bild
des Graphen.
Achsenparallele Vertikalschnitte:
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Achsenparallele Vertikalschnitte: Halbkugelfläche
z = f (x, y) =
p
1 − x2 − y2
Für konstant gehaltene y0 bzw. x0 lauten die Gleichungen der
partiellen Funktionen:
q
z = ϕ(x) = 1 − x 2 − y02
z 2 + x 2 = 1 − y02
z = ψ(y) =
q
1 − x02 − y 2
z 2 + y 2 = 1 − x02
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Achsenparallele Vertikalschnitte: Sattelfläche
z = f (x, y) = xy
Für konstant gehaltene y0 bzw. x0 lauten die Gleichungen der
partiellen Funktionen:
z = ϕ(x) = f (x, y0 ) = xy0
z = ψ(y) = f (x0 , y) = x0 y
Es handelt sich hier um lineare Funktionen.
Die Schnittkurven des Graphen von f mit den Ebenen parallel zur
x-z- bzw. zur y-z-Ebene sind somit Geraden!
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Achsenparallele Vertikalschnitte: Beispiel
z = f (x, y) = x 2 (y + 1)
Partielle Funktionen:
in x-Richtung (y konstant):
f (x, −2) = −x
2
f (x, −1) = 0
f (x, 0) = x
2
f (x, 1) = 2x 2
f (x, 2) = 3x 2
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in y-Richtung (x konstant):
f (−1, y) = y + 1
1
(y + 1)
4
f (0, y) = 0
f (−1/2, y) =
1
(y + 1)
4
f (1, y) = y + 1
f (1/2, y) =
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Achsenparallele Vertikalschnitte: Beispiel
z = f (x, y) = x 2 (y + 1)
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Partielle Ableitungen - Einführung
Eine Funktion von mehreren Variablen kann nach jeder dieser
Variablen einzeln abgeleitet werden.
Auf diese Weise erhält man die sogenannten partiellen
Ableitungen dieser Funktion.
Um die partielle Ableitung von f nach einer Variablen, z.B. nach x,
zu berechnen, denkt man sich alle Variablen ausser x konstant und
leitet dann mit den üblichen Differentiationsregeln nach x ab.
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Partielle Ableitungen - Definition
D ⊆ R2 ; f : D → R ; (x, y) 7→ f (x, y) ; (x0 , y0 ) ∈ D
ϕ(x) := f (x, y0 ) differenzierbar in x0
ψ(y) := f (x0 , y) differenzierbar in y0
Partielle Ableitung von f nach x an der Stelle (x0 , y0 ) :
∂f
(x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 ) := ϕ0 (x0 )
∂x
Partielle Ableitung von f nach y an der Stelle (x0 , y0 ) :
∂f
(x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) := ψ 0 (y0 )
∂y
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Partielle Ableitungen - Definition
Die partielle Ableitung fx (x0 , y0 ) von f nach x an der Stelle
(x0 , y0 ) ist die gewöhnliche Ableitung der partiellen Funktion
ϕ(x) = f (x, y0 ) in Richtung x an der Stelle x0 .
fx (x0 , y0 ) =
f (x, y0 ) − f (x0 , y0 )
∂f
(x0 , y0 ) = lim
x→x0
∂x
x − x0
Rezept: ”y konstant halten, nach x ableiten.”
Analog gilt für fy (x0 , y0 ) :
fy (x0 , y0 ) =
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f (x0 , y) − f (x0 , y0 )
∂f
(x0 , y0 ) = lim
y→y0
∂y
y − y0
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Partielle Ableitungen - geometrische Interpretation
D ⊆ R2 ; f : D → R ; (x, y) 7→ f (x, y) ; (x0 , y0 ) ∈ D
G = {(x, y, z) | f (x, y) = z}
Partielle Funktionen: ϕ(x) = f (x, y0 ) und ψ(y) = f (x0 , y)
E = Ebene parallel zur x-z-Ebene durch (y = y0 )
F = Ebene parallel zur y-z-Ebene durch (x = x0 )
Geometrische Interpretation der partiellen Ableitungen:
fx (x0 , y0 ) = Steigung der Schnittkurve G ∩ E in (x0 , y0 , z0 ) .
= Steigung der Tangente an den Graphen von ϕ an der Stelle x0 .
fy (x0 , y0 ) = Steigung der Schnittkurve G ∩ F in (x0 , y0 , z0 ) .
= Steigung der Tangente an den Graphen von ψ an der Stelle y0 .
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Partielle Ableitungen - geometrische Interpretation
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Höhere partielle Ableitungen
D ⊆ R2 ; f : D → R ; fx : D → R ; fy : D → R partiell differenzierbar
fxx = Ableitung von fx nach x :
∂2f
(x, y) = fxx (x, y) := (fx )x (x, y)
∂x 2
Es gibt noch folgende zusätzliche Möglichkeiten :
∂2f
(x, y) = fxy (x, y) := (fx )y (x, y)
∂y∂x
∂2f
(x, y) = fyx (x, y) := (fy )x (x, y)
∂x∂y
∂2f
(x, y) = fyy (x, y) := (fy )y (x, y)
∂y 2
fxx , fxy , fyx , fyy heissen partielle Ableitungen zweiter Ordnung.
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Höhere partielle Ableitungen
Sind die 2. partiellen Ableitungen fxy (x, y) und fyx (x, y) beide
stetig, so ist
fxy = fyx .
Der Prozess lässt sich (entsprechende Differenzierbarkeit
vorausgesetzt) weiter fortführen. So kann man etwa fxx nach x
oder nach y partiell differenzieren usw. und erhält so partielle
Ableitungen 3. und höherer Ordnung:
fxxx =
∂3f
∂3f
, fxxy =
, etc.
3
∂x
∂y∂ 2 x
Aufgabe: Finde die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung!
1. f (x, y) = x 3 y + xey
2. f (x, y, z) = x + yz + x 3 y 3 z 3
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