Workshop SHARP EL 9650 – Übung 8 Mit Formeln arbeiten

Workshop SHARP EL 9650 – Übung 8
Mit Formeln arbeiten
Aufgabe 1
Für quaderförmige Körper mit einer quadratischen
Grundfläche, der Kantenlänge a und der Höhe h gelten
für das Volumen V und die Oberfläche O die Formeln
V = a2 · h bzw. O = 2·a 2 + 4·a·h.
a) Stelle für Quader mit einer festen Grundfläche (Kante a = 1 m) das Volumen und
die Oberfläche in Abhängigkeit von der Höhe h graphisch dar. Beschreibe die
Eigenschaften der Graphen und vergleiche die Maßzahlen der Oberfläche und
des Volumens.
b) Stelle für Quader mit einer festen Höhe (h = 1 m) das Volumen und die Oberfläche
in Abhängigkeit von der Kantenlänge a graphisch dar. Beschreibe die
Eigenschaften der Graphen und vergleiche die Maßzahlen der Oberfläche und
des Volumens.
c) Gibt es nach Teilaufgabe a) und b) je einen Quader bei denen die Höhe h des
einen mit der Kante a des anderen übereinstimmt und zusätzlich die Maßzahl der
Oberfläche O des ersten mit der Maßzahl des Volumens V des zweiten
übereinstimmt?
Lösungsvorschlag
a) Bei einer Kantenlänge a = 1 m gelten für die Oberfläche und das Volumen die
Formeln
V = h und O = 2 + 4·h.
Graphische Darstellung (x entspricht h, Y1 entspricht V und Y2 entspricht O):
Ergebnis: Beide Graphen sind Geraden (die Zuordnungen sind linear). Die Maßzahl
der Oberfläche ist stets größer als die Maßzahl des Volumens.
b) Bei einer Höhe h = 1 m gelten für die Maßzahlen der Oberfläche und des Volumens
die Formeln V = a 2 und O = 2·a2 + 4·a.
Graphische Darstellung mithilfe des Y-Editors (x entspricht a, Y3 entspricht V und Y4
entspricht O):
Ergebnis: Beide Graphen sind Parabeln (die Zuordnungen sind quadratisch). Die
Maßzahl der Oberfläche ist stets größer als die Maßzahl des Volumens: O – A = a 2 +
4·a > 0 für a > 0.
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Eichhorn, Höger, Reimer
Datei: ws08_formeln_sharp.doc
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c) Lösungsidee: Es ist eine Lösung der Gleichung Y2 = Y3 bzw. Y2 - Y3 = 0 gesucht.
Lösungsvorschlag 1
1) Darstellen der Graphen von Y2 und Y3 im Bereich 0  x  5; 0  y  22 , numerische
Lösung im TRACE-Modus eventuell mit Hilfe einer Wertetabelle.
TRACE-Modus liefert x  4,468.
-Taste und Pfeiltasten Tabelle liefert x  4,45
2) Schnittpunktberechnung liefert x  4,45 und (Maßzahl O = Maßzahl V)  19,8.
Lösungsvorschlag 2
Im
-Modus (Tastenfolge:
Gleichung ein.
) gibt man die
Nach
erfolgt die Eingabe eines geeigneten
Startwertes.
Eingabe des Befehls
Ergebnis: x  4,449
liefert einen Näherungswert.
Interpretation der Ergebnisse: Bei einem Quader mit einer quadratischen Grundfläche
der Kantenlänge 1 m und der Höhe 4,45 m stimmt die Maßzahl der Oberfläche (in
etwa) überein mit der Maßzahl des Volumens eines Quaders mit einer quadratischen
Grundfläche der Kantenlänge 4,45 m und der Höhe 1 m.
(Hinweis: Die exakte Länge für h und a ergibt sich aus den Lösungen x = 2  6 der
quadratischen Gleichung 2 + 4x = x2 (positive Lösung x  4,4494...).)
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Aufgabe 2
Aus einer Formelsammlung erhält man für das Volumen V und die
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Mantelfläche M eines Kegels die Formeln V     r 2  h bzw.
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M    r  s . Die Bedeutung der Variablen r, h und s ergibt sich aus der
zugehörigen Abbildung.
a) Erkläre die Formeln. Stelle eine Formel für die gesamte Oberfläche des Kegels
auf.
1
b) Begründe, dass für spezielle Kegel mit r = h die Formel V     r 3 das Volumen
3
2
und die Formel O =  r (1  2) die (gesamte) Oberfläche des Kegels in
Abhängigkeit vom Radius r angibt.
c) Stelle O und V in Abhängigkeit von r graphisch und tabellarisch dar. Vergleiche
die Maßzahlen der beiden Größen. Gibt es einen Radius, für den die Maßzahlen
gleich sind?
Aufgabe 3
Die Formel für den Abstand d zweier Punkte P(x1|y1) und Q(x2|y2) in einem
Koordinatensystem ist d =
(y 2  y 1 )2  (x 2  x 1 )2 .
a) Stelle diese Formel mit dem GTR nach folgender Idee dar:
Die Liste L 1 enthält die x-Koordinaten und die Liste L2 enthält die y-Koordinaten
der beiden Punkte (L1(1) = x1; L1(2) = x2; L2(1) = y1 und L2(2) = y2). Die Funktion Y 1
berechnet d nach der Formel Y1 = ( L 2 ( 2 )  L 2 (1)) 2  ( L 1 ( 2 )  L 1 (1)) 2 .
b) Teste die „Formel“ mit selbst gewählten Punkten.
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