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ANÁLISE DE MÉTODOS
MÁTEMÁTICOS
PROGRESSÕES
Leia e descubra que eu não vim
do além
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO
PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva
1
As seqüências numéricas estão estreitamente associadas aos
processos de contagem e ao desenvolvimento dos sistemas de
numeração. Por essa razão, encontramos registros de
problemas envolvendo diversos tipos de seqüências nos
principais documentos das civilizações antigas.
Os babilônios (aproximadamente 2000 a.C) possuíam tábuas
de cálculo onde era comum encontrar seqüências de
quadrados e cubos de números inteiros. Nesse mesmo
período, os egípcios utilizavam seqüências numéricas para
fazer a decomposição de frações em somas de outras frações,
como indicam os registros encontrados no papiro de Ahmés
(entre 2000 e 1700 a.C.)
2
Na civilização grega, encontramos diversos exemplos de
seqüências numéricas notáveis. Entre elas destacam-se
aquelas estudadas pela escola Pitagórica (século VI a.C) que
envolviam os números denominados figurados e o crivo de
Eratóstenes, processo pelo qual se obtém a seqüência dos
números primos.
Também entre os chineses, hindus e árabes, encontramos
diversos exemplos de estudos de seqüências numéricas. No
século XIII, na Europa, o italiano Leonardo de Pisa (11751240), também conhecido como Fibonacci, publicou a obra
Liber Abacci, na qual apresenta seqüências numéricas que
também se tornaram notáveis.
3
Até hoje em dia, diversos matemáticos desenvolvem estudos
sobre seqüências numéricas, aplicando-as aos mais diversos
campos de atividade.
Na natureza encontramos uma grande variedade de padrões
geométricos e numéricos. Há muitos séculos o homem
contempla e estuda a beleza desses padrões.
Os padrões geométrico são diretamente observáveis na flora,
na fauna e em diversos fenômenos naturais. As espirais
encontradas nas conchas de moluscos e na flor do girassol,
os favos hexagonais de um de uma colméia, o padrão
hexagonal dos flocos de neve e as diversas simetrias
poligonais que se observam nas carapaças de certos
habitantes dos mares são exemplos de padrões geométricos.
4
Os padrões numéricos, por sua vez, nem sempre são
observação direta, pois dependem, em geral, de uma
interpretação da natureza e de uma posterior associação de
valores numéricos ao fenômeno estudado. Um bom exemplo
de padrão numérico é a seqüência de Fibonacci:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,...
Fibonacci em seu livro Liber Abacci (1202), propôs um
problema que consiste em determinar de que forma varia o
número de casais de coelhos que se originam de um casal
inicial, supondo que este gere um casal a cada mês. Cada
casal gerado dá origem a um novo casal, após dois meses de
seu nascimento, e, assim, sucessivamente..
5
A solução do problema proposto por Fibonacci
deu origem à seqüência numérica que se tornou
célebre: 1,1,2,3,5,8,13,...
A lei de formação desta seqüência por ser escrita
por:
⎧a1 = 1, a 2 = 1
⎨
⎩an +1 = an + an −1
(n ∈ Ν * e n ≥ 2
6
Além do problema dos coelhos, a seqüência de
Fibonacci pode ser associada a outros fenômenos
naturais. A genealogia do zangão (macho da abelha),
a disposição das folhas nos ramos das plantas para
obtenção do máximo de iluminação para cada folha
e o crescimento dos galhos de certas espécies
botânicas são exemplos desses fenômenos: o caule
inicial dá origem a 2 outros; estes desdobram-se em
3, dos quais surgem 5, que originam 8, e assim por
diante.
7
Em relação às progressões temos registros que o
termo foi utilizado pela primeira vez, em 1249, para
designar determinados tipos de seqüências, por J.
Holiwood – conhecido por Sacrobosco -, em sua obra
Tractatus de Arte Numerandi, publicado somente em
1488.
Apesar de o nome ter sido introduzido apenas no
século XIII, progressões elementares já eram
conhecidas dos babilônios e dos egípcios,
encontrando-se registros no papiro de Ahmés (século
XVII a.C.).
8
Os pitagóricos (século VII a.C.), estudando o
comportamento de cordas vibrantes, descobriram que os sons
por elas produzidos tinham freqüências de vibração que
formavam seqüências matemáticas.
Euclides (século III a.C.) apresentou no livro IX de Os
Elementos uma regra que se destinava ao cálculo da soma
dos termos de determinadas seqüências, que hoje são
denominadas progressões geométricas. Diofanto de
Alexandria (século III d.C.) desenvolveu uma fórmula para
o cálculo da soma dos termos de progressões que hoje
chamamos de progressões aritméticas.
9
Em 499 d.C., o matemático hindu Aryabhata
publicou um livro intitulado Aryabhatiya no qual
trata especificamente de progressões, sem justificar,
contudo, as regras que propõe.
No século XIII, Fibonacci, em seu livro Liber
Abacci, também apresenta estudos sobre as
progressões. Estudos mais completos, com
fundamentações mais precisas, foram publicados
durante o século XVIII pelo matemático francês:
Abraham De Moivre e pelos suícos Daniel Bernonilli
e Leonhard Euler.
10
Não podemos esquecer do notável matemático
alemão, Johann Friedrich Carl Gauss (1777-1885)
que conforme registros históricos em 1787, em sua
pequena escola da aldeia do principado alemão de
Braunschweig, seu professor Büttner para desafiar
seus alunos propôs-lhes um problema fácil, porém
trabalhoso; pediu-lhes que obtivessem a soma dos
100 primeiros números inteiros positivos:
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99 + 100
11
Com essa tarefa, esperava ele manter os alunos ocupados por um bom
espaço de tempo. No entanto, após três minutos um menino de 10 anos
aproximou-se da mesa do mestre e apresentou-lhe o valor correto da
soma:
5.050
Para chegar a esse resultado, o menino não percorreu o trabalhoso
caminho que consiste em dispor as parcelas um abaixo da outra e
depois somá-las. Ao invés disso, raciocinando sobre o problema, ele
percebeu que:
somando o primeiro e o último número, obtinha: 1 + 100 = 101;
somando o segundo e o penúltimo número, obtinha: 2 + 99 = 101;
somando o terceiro e o antepenúltimo número, obtinha: 3+ 98 = 101;
e assim por diante.
Logo, o problema pede a soma de 50 parcelas iguais a 101, a última
das quais é:
50 + 51 = 101. Calculando-a, obtemos:
50 . 101 = 5 050
12
Embora aborrecido com o menino que
sabotara seu estratagema, o professor Büttner
percebeu seu invulgar talento e estimulou-o a
estudar Matemática.
Seus grandes feitos não parou por aí, em 1796
foi o primeiro a construir um polígono regular
de 17 lados com o auxílio de régua e compasso.
Em 1798 doutorou-se em Matemática; em sua
tese fazia a demonstração do teorema
fundamental da álgebra, segundo o qual toda
equação polinomial f(x) = 0 tem pelo menos
uma raiz.
13
No começo do século XIX optou por dedicar-se à Astronomia
e passou a estudar as órbitas dos satélites, o que lhe valeu o
cargo de diretor do observatório de Göttingen. Deixou
também contribuições nos campos da Geodésia e do
Eletromagnetismo.
Em 1885, ano do falecimento de Gauss, o rei Jorge V de
Hannover fez cunhar, em sua homenagem, uma moeda com
os dizeres: Mathematicorum princeps (“príncipe dos
matemáticos”).
O brilhante raciocínio que Gauss empregou para obter a
soma 1 + 2 + 3 + ...+ 99+ 100, pode ser generalizado para
qualquer seqüência de um determinado tipo. Essas
seqüências são denominadas progressões aritméticas.
14
MÁTEMÁTICOS I
SUCESSÃO OU SEQÜÊNCIA
NUMÉRICA
15
Seqüência
Definição: Denomina-se seqüência qualquer
função f cujo domínio é N*.
(0,2,4,6,8,10,...) an= 2n
(1,3,5,7,9,11)
an =2n+1
Existe uma lei de formação dos termos de
uma seqüência
16
Duas formas diferentes de definir uma
seqüência
-Pelo
termo geral – Nesse caso, a seqüência é
definida por uma fórmula que dá o valor de
cada termo an em função de sua posição n na
seqüência
Exemplo: an= (2n -1)/4
17
Duas formas diferentes de definir uma
seqüência
-Por
recorrência – Nesse caso, a seqüência é
definida atribuindo determinado valor a um de seus
termos (geralmente o primeiro) e indicando uma
fórmula que permite calcular cada termo,
conhecendo o valor do termo anterior da seqüência.
Exemplo: a1= 5
e an + 1 = an +2 , n ≥ 1
18
MÁTEMÁTICOS I
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
19
Representação matemática de uma progressão
aritmética (P.A.)
an +1 = an + r , ∀n ∈ N *
Razão de uma progressão aritmética é a quantidade que
acrescenta-se a cada termo para obter o seguinte ou a
diferença entre qualquer termo, a partir do segundo, e o
anterior.
a2 − a1 = a3 − a2 = ... = an +1 − an = r
20
Progressão Aritmética
Definição: Progressão Aritmética ( PA ) é uma seqüência
numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual
ao anterior somado com um número fixo, chamado de
razão da progressão ( r ).
Termo Geral:
⎧an : n - ésimo termo.
⎪a : primeiro termo.
⎪ 1
an = a1 + ( n − 1).r onde : ⎨
⎪n : número de termos.
⎪⎩r : razão
21
Soma de Termos:
( a1 + an ).n
Sn =
2
Três termos em P.A.: x − r, x , x + r
22
MÁTEMÁTICOS I
Progressão Geométrica
23
Definição: é uma sequência de números não nulos em
que cada termo posterior, a partir do segundo, é igual
ao anterior multiplicado por um número fixo chamado
razão da progressão.
Termo Geral:
⎧an : termo geral
⎪a : primeiro termo
⎪ 1
n −1
an = a1.q
onde : ⎨
⎪n : número de termos
⎪⎩q : razão
24
Classificação de uma P.G.
Crescente:
Decrescente:
Quando a1 >0 e q>1
Quando a1 >0 e 0<q<1
Quando a1 <0 e 0<q< 1
Quando a1 <0 e q > 1
Alternante:
Constante:
Quando q<1
Quando q=0
25
Soma de Termos de uma P.G. finita:
1o caso : q = 1 ⇒ Sn = n.a1
n
a
q
− 1)
(
o
1
2 caso : q ≠ 1 ⇒ Sn =
ou
q −1
( an .q − a1 )
Sn =
q −1
` Obs. Quando a P.G. é infinita e −1 < q < 1 e q ≠ 0, a soma
dos termos fica:
a
S=
1− q
1
26
Aplicações
1.Um pintor consegue pintar uma área de 5 m2 no
primeiro dia de serviço e, a cada dia, ele pinta 2
m2 a mais do que pintou no dia anterior.
a) Quantos metros quadrados ele pintará no nono
dia?
b) Em que dia ele terá conseguido pintar 31 m2?
R: 21 m2 e 14º dia
27
Aplicações
2. Numa folha de papel cartão, estão desenhados n
quadrados. No primeiro, colocam-se 3 grãos de
arroz; no segundo, 7 grãos; no terceiro, 11 grãos e
assim sucessivamente até o quadrado de ordem n.
a) Qual o número de grãos do décimo segundo
quadrado?
b) Qual o número de grãos do enésimo quadrado?
R: 47 grãos ; 4n - 1
28
Aplicações
3. Duas pequenas fábricas de calçados A e B, têm
fabricado, respectivamente, 3000 e 1100 pares
de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a
fábrica A aumentar sucessivamente a produção
em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar
sucessivamente a produção em 290 pares
mensais, a partir de que mês a produção da
fábrica B superará a produção da fábrica A.
29
Resolução
Fabrica A: a1= 3000; r = 70
e a Fabrica B: a1= 1100; r =290
Para a fábrica B superar a produção de A, devemos ter:
anB ≥ an A
1100 + ( n − 1 ). 290 ≥ 3000 + ( n − 1 ). 70
220 n ≥ 2120 ⇒ n ≥ 9 , 6
*
Como n ∈ N , então n = 9 ,
que equivale ao mês de setembro.
30
Aplicações
4. O fichário da clinica médica de um hospital possui
10.000
clientes
cadastrados
em
fichas
numeradas de 1 a 10.000. Um médico
pesquisador, desejoso de saber a incidência de
hipertensão arterial entre as pessoas que
procuravam a clínica, fez um levantamento,
analisando as fichas que tinham os números
múltiplos de 15. Qual o número de fichas não
analisadas?
R: 9.334
31
Aplicações – Interpolação Aritmética
5. Numa estrada existem dois telefones instalados
no acostamento: um no km 3 e outro no km 88.
Entre eles serão colocados mais 16 telefones,
mantendo-se entre dois telefones consecutivos
sempre a mesma distância. Determinar em quais
marcos quilométricos deverão ficar esses novos
telefones.
R: 8,13,18,23,28,33,38,43,48,53,58,63,68,73,78 e 83
32
Aplicações – Interpolação Aritmética
6. Uma harpa deverá ser construída tendo 13 cordas
eqüidistantes. Os comprimentos da maior e da
menor são, respectivamente, 1,8 m e 0,6 m.
Sabendo-se que os comprimentos das cordas
estão em P.A., determine-os.
R: 1,8 m; 1,7 m; 1,6 m;...; 0,7 m; 0,6 m
33
Aplicações – Soma dos termos de uma
P.A.
7. O dono de uma fábrica pretende
produção com 2000 unidades mensais
mês, produzir 175 unidades a mais.
essas condições, em um ano quantas
a fábrica terá produzida no total?
R: 35.550
iniciar a
e, a cada
Mantidas
unidades
34
P.A.
8. Um doente toma duas pílulas de certo remédio no
primeiro dia, quatro no segundo dia, seis no
terceiro dia e assim sucessivamente até terminar
o conteúdo do vidro. Em quantos dias terá
tomado todo o conteúdo, que é de 72 pílulas?
R: 8 dias
35
P.A.
9. Um ônibus de excursão percorre no primeiro dia
de viagem uma distância x; no segundo dia, o
dobro do que percorreu no primeiro; no terceiro
dia, o triplo do primeiro dia e assim por diante.
Ao final de 10 dias, percorreu 5500 km. Que
distância o ônibus percorreu no primeiro dia?
R: 100 km
36
Aplicações
10. Um agricultor precisa regar 30 árvores que se
encontram em linha reta, situando-se 3 m uma da
outra. A fonte d’água encontra-se alinhada com as
árvores, situando-se 10 m antes da primeira. Ao
encher seu regador na fonte, o agricultor só
consegue regar 3 árvores de cada vez,
considerando que o agricultor começou e
terminou na fonte, determine o tipo de progressão
que será constituída a partir da seqüência das
distâncias percorridas a cada viagem, a distância
percorrida na última viagem e o total percorrido,
em metros, para regar todas as árvores.
R: P.A. ; 194 m e 1130 m
37
Aplicações
11. Um painel luminoso circular contém 60 lâmpadas em sua
moldura. Às 20 horas, quando o painel é ligado, são
acesas as lâmpadas de números 1,5,9,13, ... A partir daí,
para dar a impressão de movimento, a cada segundo
apagam-se as lâmpadas acesas e acendem-se as
lâmpadas seguintes a elas. Seja S a soma dos números
correspondentes às lâmpadas que são acessas às 22h
33 min 13 s. Calcule o valor de S/5.
R: 90
38
Resolução
Às 22h 33 min 13 s, passaram-se 9193 s
desde que o painel foi ligado. Conclui-se
do enunciado que o painel apresenta
quatro configurações distintas no decorrer
do tempo:
39
Resolução
Tempo (s)
NO das lâmpadas acesas
0,4,8,...,9184,9188,9192
1,5,9,...,9185,9189,9193
2,6,10,...,9186,9190,9194
3,7,11,...,9187,9191,9195
1,5,9,...,53,57
2,6,10,...,54,58
3,7,11,...,55,59
4,8,12,...,56,60
40
Resolução
Logo, os números das lâmpadas acesas em t= 9193 s
forma uma P.A. com a1 = 2 ; an= 58 e r = 4
58 = 2 + ( n − 1).4
(
2 + 58).15
S 450
n = 15 ⇒ S15 =
= 450 ∴ =
= 90
2
5
5
41

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