Grandezas Proporcionais

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Grandezas Proporcionais
MÓDULO XIII
GRANDEZAS PROPORCIONAIS
“A soma dos antecedentes está para a soma dos
conseqüentes assim como cada antecedente está para o
correspondente conseqüente.”
A razão entre dois números a e b ≠ 0, nessa ordem,
a
é o quociente .
b
O número a é chamado de antecedente ou primeiro
termo e o número b é chamado de conseqüente ou
segundo termo.
Exemplo:
O número irracional π pode ser obtido através da
razão entre a medida do comprimento de uma
circunferência e a medida do seu diâmetro, ou seja,
C
π
2r
Exemplo: Determinando o valor de x na proporção
x 3 1
, obtemos:
6 x 2
x 3 1
 (x – 3).2 = (6 – x).1  2x – 6 = 6 – x 
6 x 2
 2x + x = 6 + 6  3x = 12  x = 4.
1. Razão
Exercícios Propostos
EP.03) Uma miniatura de um automóvel foi construída na
escala 1:40. As dimensões da miniatura são: comprimento
12,5cm e largura 5cm. Quais as dimensões reais do
automóvel em metros?
Exercícios Propostos
EP.01) Um produto que custa R$ 18,00 para ser fabricado
é vendido por R$ 27,00. Determine a razão entre:
a) o preço de venda e o preço de custo.
b) o lucro e o preço de venda.
EP.02) Em um retângulo a medida da base é 3cm maior
que a altura. Calcule a área desse retângulo sabendo que
4
a razão entre a medida da base e a medida da altura é .
3
2. Proporção
Os números a, b, c e d , com b ≠ 0 e d ≠ 0, formam,
nessa ordem, uma proporção se, e somente se, a razão
entre a e b for igual a razão entre c e d, ou seja:
a c
b d
e lê-se a está para b assim como c está para d.
Os números a e d são chamados de extremos e os
números b e c são chamados de meios.
3. Propriedades das proporções
Se os números a, b, c e d formam, nessa ordem,
uma proporção, então:
a c
P1.
a.d = b.c
b d
“O produto dos extremos é igual ao produto dos
meios.”
P2.
a
b
c
a b c d
d
b
d
“A soma dos dois primeiros está para o segundo,
assim como a soma dos dois últimos está para o último.”
P3.
a
b
c
d
a c
b d
a
b
c
d
EP.04) Determine o valor de x na proporção
x 2 5x
2
3.
EP.05) A soma das idades de Paulo e José é igual a 50
anos. Se a idade de Paulo está para a de José assim
como 3 está para 2, encontre a idade de cada um deles.
4. Grandezas
Entendemos por grandezas tudo aquilo que pode
ser medido, contado.
O volume, a massa, a superfície, o comprimento, a
capacidade, a velocidade, o tempo, são alguns exemplos
de grandezas.
No nosso dia-a-dia encontramos várias situações
em que relacionamos duas ou mais grandezas.
Em uma corrida quanto maior for a velocidade,
menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as
grandezas são velocidade e tempo.
Numa construção, quanto maior for o número de
funcionários, menor será o tempo gasto para que esta
fique pronta. Nesse caso, as grandezas são o número de
funcionários e o tempo.
5. Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas são chamadas diretamente
proporcionais, quando, dobrando uma delas a outra
também dobra; triplicando uma delas a outra também
triplica.
Relacionamos
duas
grandezas
diretamente
y
k ou y = k.x, onde k é um
proporcionais pela equação
x
número real, chamado de constante de proporcionalidade.
As grandezas diretamente proporcionais possuem
uma variação linear e seu gráfico é uma reta que passa
pela origem.
Matemática Básica XIII.2 1
Exemplo:
Em um determinado mês do ano o litro de gasolina
custava R$ 1,50. Tomando como base esse dado,
podemos formar a seguinte tabela:
Quantidade de gasolina
Valor a pagar
(em reais)
(em litros)
1
2
3
1,50
3,00
4,50
E também obtemos o seguinte gráfico:
6. Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são chamadas inversamente
proporcionais, quando, dobrando uma delas a outra se
reduz para a metade; triplicando uma delas a outra se
reduz para a terça parte e assim por diante.
Relacionamos duas grandezas inversamente
k
proporcionais pela equação y.x = k ou y
onde k é um
x
número real, chamado de constante de proporcionalidade.
As grandezas inversamente proporcionais possuem
uma variação cujo gráfico é uma hipérbole.
Exemplo:
Um professor de matemática tem 24 livros para
distribuir igualmente entre os seus melhores alunos. Se
ele escolher apenas 2 alunos, cada um deles receberá 12
livros. Se ele escolher 4 alunos, cada um receberá 6 livros.
Se ele escolher 6 alunos, cada um deles receberá 4 livros.
Observe a tabela:
Custos (Reais)
6,0
4,5
3,0
Números de alunos
Números de livros
escolhidos
para cada aluno
2
4
6
12
6
4
1,5
0
1
2
3
4
Litros
Se a quantidade de gasolina dobra, o preço a ser
pago também dobra.
Se a quantidade de gasolina triplica, o preço a ser
pago também triplica.
Neste caso as duas grandezas envolvidas, quantia
a ser paga e quantidade de gasolina, são chamadas
grandezas diretamente proporcionais.
E também obtemos o seguinte gráfico:
Livros
12
De maneira geral, se A = (a1 ,a2 , a3, ... ) e B = (b1,
b2, b3, ... ) forem grandezas diretamente proporcionais,
então:
a1 a 2 a 3
... k
b1 b 2 b 3
onde o número k é a constante de
proporcionalidade.
Exercícios Propostos
EP.06) Se ( 3, x, 14,... ) e ( 6, 8, y,... ) forem grandezas
diretamente proporcionais, então o valor de x + y vale:
EP.07) Quando um automóvel é freado no momento em
que sua velocidade é 27km/h, ele ainda percorre 9m até
parar. Sabe-se que essa distância percorrida até parar é
proporcional ao quadrado da velocidade do momento da
freada. Determine a distância que o automóvel percorrerá
até parar, se freado a 45km/h.
9
6
4
0
1
2
3
4
5
6
Alunos
Se o número de alunos dobra, a quantidade de
livros cai pela metade.
Se o número de alunos triplica, a quantidade de
livros cai para a terça parte.
Neste caso as duas grandezas envolvidas, número
de alunos e número de livros, são chamadas grandezas
inversamente proporcionais.
De maneira geral, se A = (a1 ,a2 , a3, ... ) e B = (b1,
b2, b3, ... ) forem grandezas inversamente proporcionais,
então:
a1.b1 a2 .b 2 a3 .b 3 ... k
onde o número k é a constante de
proporcionalidade.
Matemática Básica XIII.2 2
Exercícios Propostos
EP.08) Determinar x e y sabendo-se que (1, 2, x, ... ) e
(12, y, 4, ... ) são grandezas inversamente proporcionais.
EP.09) Segundo a lei de Boyle-Mariotte, sabe-se que: "A
uma temperatura constante, os volumes de uma mesma
massa de gás estão na razão inversa das pressões que
produzem". Se sob a pressão de 5 atmosferas, uma
3
massa de gás ocupa um volume de 0,6dm , a expressão
que permite calcular a pressão P, em atmosferas, em
3
função do volume V, em dm , ocupado por essa massa de
gás, é
3
a) P
V
V
b) P
3
5
c) P
6V
6V
d) P
5
25
e) P
3V
7. Divisão proporcional
Dividir um número N em partes diretamente
proporcionais aos números a, b, e c, significa determinar
os números x, y, e z, de tal modo que:
(I) as seqüências (x, y, z) e (a, b, c,) sejam diretamente
proporcionais;
(II) x+y+z = N
No caso da divisão do número N em partes
inversamente proporcionais, teríamos:
(I) as seqüências (x, y, z) e (a, b, c,) sejam inversamente
proporcionais;
(II) x+y+z = N
Exercícios Propostos
Resolução:
Montando a tabela, colocando em cada coluna as
grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as
grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Área
Energia
1,2m 2
1,5m 2
400watts
x
Observe que: aumentando o valor da área de
absorção, deve aumentar a energia produzida. Portanto a
relação é diretamente proporcional (nas duas grandezas
colocamos setas no mesmo sentido).
Então as grandezas nas seqüências (1,2, 400) e
(1,5, x) são diretamente proporcionais logo:
1,2 400
 1,2.x = (1,5).400 
1,5
x
 1,2.x = 600  x = 500 watts.
Logo, a energia produzida será igual a 500 watts.
ER.02) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média
de 400km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em
quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade
utilizada fosse de 480km/h?
Resolução:
Montando a tabela, colocando em cada coluna as
grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as
grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Velocidade
400 km
h
480 km
h
Tempo
3 horas
x
Observe que: aumentando a velocidade do trem,
deve diminuir o tempo do percurso. Portanto a relação é
inversamente proporcional (nas duas grandezas
colocamos seta com sentidos contrários).
Então as grandezas nas seqüências (400, 3) e
(480, x) são inversamente proporcionais logo:
480.x = 3.400 
EP.10) Dividir o número 160 em três partes diretamente
proporcionais aos números 2, 3 e 5.
 480.x = 1200  x = 2,5 horas ou x = 2h 30min.
Logo, o tempo necessário no percurso na segunda
situação é igual a 2 horas e 30 minutos.
EP.11) Dividir 188 em partes inversamente proporcionais a
3, 4 e 5.
9. Várias grandezas proporcionais. Regra de três
composta
8. Regra de três simples
Se uma grandeza X é diretamente proporcional às
grandezas d1, d2, ... dn e inversamente proporcional às
grandezas i1, i2, ... im, então estas grandezas juntas
satisfazem uma relação da forma
d .d .d ... d n
X k. 1 2 3
i1 .i2 ... im
Os problemas que envolvem grandezas diretamente
ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos
através de um método prático, chamado de regra de três,
onde se calculam proporções entre as grandezas
envolvidas.
Exercícios Resolvidos
ER.01) Com uma área de absorção de raios solares de
2
1,2m , uma lancha com motor movido à energia solar
consegue produzir 400 watts por hora de energia.
2
Aumentando-se essa área para 1,5m , qual será a energia
produzida?
Onde k é um valor constante chamado de
proporcionalidade
Chamaremos a expressão acima de Função de
Proporcionalidade.
A função de proporcionalidade é útil, especialmente,
na Física e na Química quando queremos descrever
matematicamente a relação entre várias grandezas
proporcionais.
Matemática Básica XIII.2 3
Exercício Resolvido
ER.03) Em uma gás a pressão é diretamente proporcional
à temperatura e inversamente proporcional ao volume.
Sabendo isso
a) Escreva a relação que expressa este fato
b) Ache o valor da constante de proporcionalidade
sabendo que à temperatura de 20 o volume é 60 e a
pressão é 5
c)Com o valor da constante obtido em (b) calcule o volume
se a temperatura for 14 e a pressão for 35
Resolução:
Exercícios Propostos
T
V
b) com os dados do problema temos:
a) P
k.
20
k 15
60
c) agora sabemos a função de proporcionalidade que é:
T
P 15.
V
Substituindo os valores de P e T dados:
5
35
k.
15.
14
V
Achando K com os dados iniciais do problema:
10.3.4
H k.
k 10
30.8
Então a versão definitiva da função é
c.l.p
H 10.
d.h
Para resolver o problema basta substituir od valores finais
dados:
12.5.3
H 10.
H = 30
10.6
V
9
Exercícios Proposto
EP.12) Verificou-se, experimentalmente que a resistência
elétrica R de um fio condutor homogêneo e de seção
transversal constante é diretamente proporcional ao seu
comprimento L e inversamente proporcional à área S de
sua seção transversal.
a) escreva a relação que expressa este fato
b) se para um fio de comprimento e seção transversal 5 a
resistência é 1, qual o comprimento de um fio do mesmo
material que representa seção 3 e resistência 4?
A função de proporcionalidade é o método mais
eficiente para resolver problemas de Regra de Três
Composta como mostra o seguinte
EP.13) Na bula de um determinado remédio pediátrico
recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2kg
do “peso” da criança. Se uma criança tem 12kg, qual será
a dosagem correta?
EP.14) Um carro à velocidade de 100km/h, faz certo
percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse de
80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso?
EP.15) A ração para 12 animais, durante 8 dias custa R$
24.000,00. O custo da ração para 18 animais, durante 6
dias, é de:
EP.16) Uma indústria metalúrgica produziu 40.000 peças
em 20 dias, com 12 máquinas operando 10 horas por dia.
Quantos dias serão necessários para produzir 60.000
peças com 18 dessas máquinas trabalhando 8 horas por
dia?
Exercícios Complementares
EC.01) Determine o valor de x nas proporções abaixo:
x 5 4
a)
2
3
3x 2
7
b)
4
30
c) 4x 100
5
EC.02) Dividindo o número de 420 em partes
proporcionais a 2, 7 e 5, quais números obteremos?
Exercício Resolvido
ER.04) Cinco homens (H) trabalhando 8 horas (h) por dia
levam 30 dias (d) para cavar uma vala de 10m de
comprimento (c) 3m de largura(l) 4 4m de profundidade
(d).
Quantos homens serão necessários para cavar, em 10
dias de 6h de trabalho, uma vala com 12m de
comprimento 5 /m de largura e 3m de profundidade?
EC.03) Os números 35, 14 e x são proporcionais aos
números y, 16 e 24, nessa ordem. Determine x e y.
Resolução:
EC.05) Reparta a quantia de R$ 945,00 em partes
inversamente proporcionais aos números 6 e 8.
EC.04) Uma pessoa aplicou R$ 840,00 em uma caderneta
de poupança e R$ 560,00 em outra, ambas durante o
mesmo período, no mesmo banco. Se no final desse
período as duas juntas renderam R$ 490,00, qual foi o
rendimento de cada uma?
A função de proporcionalidade é
H
c.l.p
k.
d.h
EC.06) Dois sócios, Paulo e Rafael, repartiram o lucro final
de um negócio, que foi de R$ 4.900,00, de forma
proporcional à quantia que cada um investiu. Sabe-se que
Rafael investiu R$ 2.000,00 a mais que Paulo e seu lucro
foi de R$ 700,00 a mais que o de Paulo. Qual foi o
investimento de cada um nesse negócio?
Matemática Básica XIII.2 4
EC.07) Um determinado medicamento deve ser
administrado a um doente três vezes ao dia, em doses de
5ml cada vez, durante 10 dias. Se cada frasco contém
3
100cm do medicamento, qual o número de frascos
3
necessários? (lembre-se: 1ml = 1cm ).
EC.08) Uma pessoa comprou 10m de corda por R$ 5,00.
Quanto outra pessoa pagará por 16m da mesma corda?
EC.09) Com 10 pedreiros podemos construir um muro em
2 dias. Quantos dias levarão 5 pedreiros para fazer o
mesmo trabalho?
EC.10) Uma torneira foi aberta para encher uma caixa
com água amarela. A cada 15 minutos é medida a altura
do nível de água e os dados so registrados na tabela
abaixo:
EC.14) A órbita de um satélite é uma elipse que tem a
Terra em um de seus focos. Esse satélite atinge
velocidade máxima e mínima nos pontos de menor e
maior distância da Terra respectivamente, quando então
essas velocidades são inversamente proporcionais às
distâncias do satélite à Terra (com mesma constante de
proporcionalidade). Calcule a excentricidade da órbita do
satélite, sabendo também que a velocidade máxima é o
dobro da velocidade mínima. (A excentricidade, como se
sabe, é o quociente da distância entre os focos pelo
comprimento do eixo maior).
EC.15) A soma dos tempos (em horas) gastos por três
carros para percorrerem determinada distância foi igual a
7,4 horas. Determine:
a) Quanto tempo levou cada carro, sabendo-se que suas
velocidades médias foram, respectivamente, 40km/h,
50km/h e 60km/h?
Tempo (minutos)
Altura (centímetros)
15
50
b) Qual a distância percorrida?
30
100
Na questão abaixo analise apenas a alternativa 04
45
150
Num determinado momento ao fazer a mediço, a altura
do nível da água era de 4,5 metros. Quanto tempo havia
decorrido desde que a torneira foi aberta?
EC.11) A sombra de uma pessoa que tem 1,80m de altura
mede 60cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra
projetada de um poste mede 2,00m. Qual a altura do poste
em metros.
Exercícios Adicionais
EA.01) Sobre a relação entre a abertura dos poros
estomáticos e a concentração de um íon específico nas
células-guarda, mostrada no gráfico a seguir, assinale o
que for correto.
EC.12) As rodas dianteiras de um trator têm um perímetro
de 1,80m e as traseiras têm 3m de perímetro. Enquanto a
roda menor dá 90 voltas, quantas voltas dará a roda
maior?
EC.13) A figura a seguir mostra (esquematicamente e fora
de escala) a Terra, cujo centro é o ponto T, a Lua L e um
satélite de comunicações S. A Lua e o satélite (que
pesados como pontos) descrevem órbitas circulares que
estão no plano da figura e têm centros no ponto T. O raio
de órbita da Lua é 378.000km e o período dessa órbita
(tempo que a Lua gasta para percorrê-la de uma vez) será
tomado igual a 27 dias. Já o satélite S tem órbita geoestacionária, isto é, o satélite acompanha o movimento de
rotação da Terra de forma tal que o período de sua órbita
é (um) dia. A terceira Lei de Kepler diz que, para corpos
que descrevem órbitas circulares ao redor da Terra, o
quadrado do período de uma órbita é proporcional ao cubo
do raio da mesma.
Calcule o raio da órbita do satélite.
01) O potássio é o íon que está associado com o
mecanismo de abertura dos estômatos.
02) A maior concentração de potássio está associada com
maior taxa de transpiração dos vegetais.
04) O aumento na abertura dos estômatos é diretamente
proporcional à absorção de potássio.
08) A função que caracteriza o aumento na abertura dos
estômatos em relação à absorção de potássio é linear.
16) A função que caracteriza o aumento na abertura dos
estômatos em relação à absorção de potássio é crescente.
Matemática Básica XIII.2 5
Na questão abaixo escreva a expressão que relaciona as
grandezas mencionadas. (Não é preciso calcular o valor
da constante de proporcionalidade pois o problema não
fornece os dados para isto)
Na questão abaixo analise apenas a alternativa (d).
EA.04) Analise o gráfico abaixo, que mostra o efeito de
diferentes níveis de irradiância no acúmulo de biomassa
em plantas de carqueja, e assinale a alternativa correta.
EA02)A lei de Fourier para condução térmica afirma que,
“Em um regime estacionário, o fluxo de calor por condução
( ) numa camada de material homogêneo é diretamente
proporcional à área da seção transversal atravessada e à
diferença de temperatura entre os extremos e
inversamente proporcional à espessura da camada
considerada (e)”. Fixando uma área de seção com uma
diferença de temperatura entre os extremos constante,
assinale qual das figuras a seguir pode representar o
gráfico do fluxo de calor por condução em função da
espessura da camada considerada.
a)
d)
b)
e)
a) O gráfico indica que o acúmulo de biomassa é
inversamente proporcional ao aumento no nível de
irradiância.
b) O gráfico demonstra a influência da luz na síntese de
compostos orgânicos no processo de respiração.
c) O gráfico demonstra o efeito do nível de irradiância no
processo de fotossíntese.
d) O gráfico indica que o acúmulo de biomassa é
diretamente proporcional ao aumento no nível de
irradiância.
e) O gráfico indica o aumento na quantidade de clorofila
decorrente do aumento do nível de irradiância.
GABARITO
c)
Exercícios Propostos
1
3
b)
3
2
2
EP.02) 108cm
EP.03) 5m e 2m
EP.04) x = – 6 ou x = 1
EP.05) Paulo: 30 anos e José: 20 anos
EP.06) x + y = 32
EP.07) 25m
EP.08) x = 3 e y = 6
EP.09) A
EP.10) 32, 48 e 80
EP.11) 80, 60 e 48
EP.12) b) 08
EP.13) 30 gotas
EP.14) 5h
EP.15) R$ 27.000,00
EP.16) 25 dias
EP.01) a)
Na questão abaixo lembre que a força (F) é diretamente
proporcional ao alongamento (x)
EA3) A figura a seguir apresenta gráficos da relação entre
a força F aplicada a uma mola e o alongamento x dessa
mola para cinco tipos diferentes de molas (I, II, III, IV, V).
A mola que apresenta maior constante elástica é
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
Matemática Básica XIII.2 6
Exercícios Complementares
7
b) 10
c) 26,5
3
EC.02) 60, 210 e 150
EC.03) x = 21 e y = 40
EC.04) R$ 294,00 e R$ 196,00
EC.05) R$ 540,00 e R$ 405,00
EC.06) R$ 8.000,00 e R$ 6.000,00
EC.07) 1,5 frasco
EC.08) R$ 8,00
EC.09) 4 dias
EC.10) 135min ou 2h 15min
EC.11) 6m
EC.12) 54 voltas
EC.13) 42.000km
1
EC.14)
3
EC.15) a) 3h, 2,4h e 2h
b) 120km
EC.01) a)
Exercícios Adicionais
EA.01) Falsa
EA.02)
k.
a.d
e
EA.03) E
EA.04) Falsa
Matemática Básica XIII.2 7

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