Estatística II
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Estatística II
ESTATÍSTICA II 2010 Estatística II Teoria e exercícios passo-a-passo Este manual apresenta as estatísticas não paramétricas e os critérios de decisão para verificação de hipóteses. Pretendese com esta compilação de testes e teorias, capacitar o leitor para a aplicação estatística à investigação em ciências humanas (sociais, médicas, psicológicas, etc) e biológicas Margarida Pocinho 17-09-2010 1 ESTATÍSTICA II 2010 Índice Geral I - INTRODUÇÃO.................................................................................................................... 7 ESTATÍSTICA PARAMÉTRICA E NÃO PARAMÉTRICA: REVISÕES ............................................... 7 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS ....................................................................................... 13 TESTES PARA AMOSTRAS INDEPENDENTES: ........................................................... 14 TESTE DO QUI-QUADRADO .................................................................................................... 14 TESTE U DE MANN-WHITNEY ............................................................................................... 22 TESTE DE KRUSKAL-WALLIS ................................................................................................ 28 TESTES PARA AMOSTRAS RELACIONADAS .............................................................. 33 TESTE DE FRIEDMAN ............................................................................................................. 44 MEDIDAS DE CORRELAÇÃO E SUAS PROVAS DE SIGNIFICÂNCIA ............................................. 47 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO RHO DE SPEARMAN-RANK .................................................... 48 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS NO SPSS ...................................................................... 50 O TESTE DE MANN-WHITNEY ....................................................................................... 50 O TESTE DE WILCOXON: ................................................................................................ 55 TESTE H DE KRUSKAL-WALLIS: .................................................................................. 57 ANEXOS ................................................................................................................................ 60 2 ESTATÍSTICA II 2010 Programa da Unidade Curricular 2010-2011 Licenciatura: Unidade Curricular: Docente: Página Web: Contacto do Docente: Psicologia Ano: 2.º Semestre: 1 Estatística II Margarida Tenente dos Santos Pocinho http://docentes.ismt.pt/~m_pocinho/ 916784049 Objectivos Gerais: Esta Unidade Curricular (UC) visa estender os conhecimentos adquiridos em Estatística I, bem como fornecer aos alunos conhecimentos teóricos e práticos relativos a metodologias de inferência estatística não paramétrica. O conteúdo programático da unidade curricular compreende instrumentos de inferência estatística não paramétrica como as ordens, as estatísticas, as estatísticas de ordem, os estimadores e as distribuições de amostragem, a estimação não paramétrica pontual e por intervalos e os testes de hipóteses não paramétricos. São igualmente tratados aspectos essenciais de distribuições assintóticas. Os alunos devem ficar a conhecer os estimadores pontuais e as suas propriedades, construir intervalos de confiança não paramétricos e realizar testes de hipóteses não paramétricos. Relativamente a cada procedimento não paramétrico, os alunos devem saber claramente as suas condições de aplicabilidade. Esta UC tem ainda como objectivo o tratamento estatístico dos dados recolhidos, e sua análise, bem como, aprofundar o tratamento computacional de dados. Competências a Desenvolver: 1. Aprofundar os conhecimentos sobre a estatística paramétrica e não paramétrica aplicada à psicologia iniciada em Estatística I, 2. Aprofundar as estratégias estatísticas paramétricas e não paramétricas adequadas à resolução de determinado problema e aplicar as estratégias estatísticas não paramétricas quando as paramétricas não se aplicarem 3. Organizar dados em matriz informática (SPSS) para análise de dados a partir de qualquer meio de recolha de dados 4. Analisar dados e interpretar resultados resultantes quer dos cálculos manuais quer 3 ESTATÍSTICA II 2010 dos outputs informáticos Conteúdos Programáticos: Introdução: Inferência Estatística. Escala nominal, ordinal, intervalar e de razão. População, amostra, parâmetro, estatística, estatística de ordem. Métodos paramétricos, métodos robustos e métodos não paramétricos. Estimação pontual e intervalar. Testes de hipóteses. P-value. Comparação de duas populações. Amostras independentes e emparelhadas. Teste dos sinais. Teste de Wilcoxon. Teste de Mann-Whitney. Comparação de mais de duas populações. Amostras independentes ou relacionadas. Teste de Kruskal-Wallis. Comparações a posteriori. Teste de Cochran. Teste de Friedman. Teste do quiquadrado para diferenças de probabilidades. Aleatoriedade e independência. Medidas e testes de associação. Teste do qui-quadrado em tabelas de contingência, para independência.. Coeficientes de correlação de Spearman. Teste de McNemar. Análise de ajustamento. Teste do qui-quadrado. Teste de Kolmogorov-Smirnov. Teste de Shapiro-Wilk. Calculo dos testes em SPSS e interpretação de resultados Metodologia de Avaliação: Avaliação Continuada: Elemento de Avaliação Peso (%) Mínimos (%) * Data e Hora Sala Construção de uma base de dados e respectiva transformação (0,5 valor) 2,5 - Lab de Informática Sintaxe dos cálculos efectuados (0,5 valor) 2,5 - Lab de Informática Frequência teórica (9 valores) 45 - Qualquer Avaliação Prática (6) 30 - Lab de Informática Avaliação Final: Elemento de Avaliação Componente teórica (inclui a escolha de testes estatísticos adequados às variáveis em estudo e hipóteses colocadas bem como a correcta decisão de hipóteses) Peso (%) 50% Mínimos (%) * 50% Data e Hora Normal:. Recurso:. Sala Qualquer Componente prática (será avaliada através do cálculo de estatísticas não paramétricas manualmente e com recurso ao suporte informático spss) 50% 50% Normal:. Recurso:. Laboratório Informática Outras Notas sobre a Avaliação: 4 ESTATÍSTICA II 2010 Embora as faltas sejam um aspecto ponderado na avaliação (cumprimento de tarefas), a aluna ou aluno que faltar fica duplamente penalizado: por não ter assistido à matéria e por não estar presente nas tarefas pedidas e por isso não sendo avaliado nessas tarefas. Assim não é necessário o estabelecimento de percentagem de aulas obrigatórias, para que o sistema de avaliação seja justo. Política Anti Cópia e Anti Plágio: Nesta disciplina, os alunos podem e devem consultar várias fontes de informação, assim como trocar ideias com colegas acerca dos conteúdos das aulas e dos trabalhos. No entanto, os trabalhos finais apresentados pelos alunos deverão ser da sua exclusiva autoria. No contexto da disciplina, considera-se cópia ou plágio quando parte ou a totalidade de um teste ou de um trabalho entregue ao docente contém materiais não referenciados que não são da autoria do aluno mas que são apresentados como tal. A cópia e o plágio são inaceitáveis, e todos os trabalhos onde é feita cópia ou plágio, parcial ou total, devem ser desclassificados. Tal aplica-se a quem copia ou plagia conteúdos alheios, assim como a quem, deliberadamente, permite a cópia do teste ou trabalho, parcial ou integralmente. Em caso de dúvida sobre o que é considerado plágio ou cópia, o aluno deverá contactar o docente para obter esclarecimentos adicionais. Gestão da Carga Horária: N.º Aula Tipo Data Prevista Conteúdo Metodologia 1 PL 14-09-2010 Apresentação da disciplina e do docente 1 T 17-09-2010 Pré-requisitos da estatística paramétrica e princípios da estatística não paramétrica Expositiva com resolução de exercícios 2 PL 21-09-2010 Iniciação à construção da matriz de dados em SPSS que servirá de base ao trabalhos e tarefas do módulo prático da disciplina DEMONSTRATIVA INFORMÁTICOS) 2 T 24-09-2010 Pré-requisitos da estatística paramétrica e princípios da estatística não paramétrica (continuação) Expositiva com resolução de exercícios 3 PL 28-09-2010 Continuação da construção da matriz de dados em SPSS que servirá de base ao trabalhos e tarefas do módulo prático da disciplina DEMONSTRATIVA INFORMÁTICOS) 3 T 01-10-2010 Ordenações: somatórios e médias. Algoritmo e cálculo Expositiva com resolução de exercícios 4 T 08-10-2010 Cálculo das frequências esperadas Expositiva com resolução de exercícios 4 PL 12-10-2010 Verificação de pré-requisitos para decisão das estratégias estatísticas em SPSS. Analise descritiva dos dados e registo de procedimentos na sintaxe DEMONSTRATIVA INFORMÁTICOS) 5 T 15-10-2010 Qui-quadrado da aderência (X2) e qui-quadrado da Expositiva com resolução de exercícios (MEIOS (MEIOS (MEIOS 5 ESTATÍSTICA II 2010 independência 5 PL 19-10-2010 Aumento da base de dados e cálculo da variáveis transformadas DEMONSTRATIVA INFORMÁTICOS) 6 T 22-10-2010 Cálculo do x2 da (CONTINUAÇÃO) Expositiva com resolução de exercícios 6 T 29-10-2010 Cálculo do u de mann-whitney Expositiva com resolução de exercícios 7 PL 02-11-2010 Cálculo do x2 da aderência, da independência e u de mann-whitney, em SPSS DEMONSTRATIVA INFORMÁTICOS) 7 T 05-11-2010 teste H de kruskal-wallis e W de wilcoxon Expositiva com resolução de exercícios 8 PL 09-11-2010 teste H de kruskal-wallis e W de wilcoxon em SPSS DEMONSTRATIVA INFORMÁTICOS) 8 T 12-11-2010 Interpretação dos testes, diferença das leituras resultantes dos procedimentos informáticos relativamente ao procedimento manual e tabelado Expositiva com resolução de exercícios e exemplos 9 PL 16-11-2010 Interpretação dos testes, diferença das leituras resultantes dos procedimentos informáticos relativamente ao procedimento manual e tabelado DEMONSTRATIVA INFORMÁTICOS) 9 T 19-11-2010 Teste das mudanças de macnemar e q de cochran Expositiva com resolução de exercícios e exemplos 10 PL 23-11-2010 Calculo do teste das mudanças de macnemar e q de cochran em SPSS DEMONSTRATIVA INFORMÁTICOS) 10 T 26-11-2010 Friedman e esclarecimentos sobre duvidas para a frequência Expositiva com resolução de exercícios e exemplos 11 PL 30-11-2010 Cálculo do teste Friedman em SPSS e esclarecimentos sobre duvidas para a frequência EXPOSITIVA E DEMONSTRATIVA (MEIOS INFORMÁTICOS) 11 T 03-12-2010 revisões para a Frequência teórica Utilização de papel, caneta e lápis, calculadora, consulta de tabelas de valores críticos e de tabelas de decisão 12 PL 07-12-2010 revisões para a Frequência pratica DEMONSTRATIVA INFORMÁTICOS) 12 T 10-12-2010 Frequência teórica Utilização de papel, caneta e lápis, calculadora, consulta de tabelas de valores críticos e de tabelas de decisão 13 PL 14-12-2010 Frequência pratica Utilização de papel, caneta e lápis, computador com SPSS, consulta de tabelas de decisão 13 T 17-12-2010 Correcção da frequência teórica Utilização de papel, caneta e lápis, calculadora, consulta de tabelas de valores críticos e de tabelas de decisão aderência, da independência (MEIOS (MEIOS (MEIOS (MEIOS (MEIOS (MEIOS 6 ESTATÍSTICA II 2010 I - INTRODUÇÃO ESTATÍSTICA PARAMÉTR ICA E NÃO PARAMÉTRIC A: REVISÕES Paramétricos: calcula as diferenças numéricas exactas entre os resultados. Não paramétricos: apenas consideram se certos resultados são superiores ou inferiores a outros resultados. PRÉ-REQUISITOS PARA UTILIZAÇÃO DE TESTES Testes paramétricos 1. que a variável tenha sido mensurada num nível mínimo intervalar; 2. que a distribuição seja simétrica (e por vezes mesocurtica); 3. que a característica estudada (variável) tenha distribuição normal numa dada população. 4. Pressupostos Para saber se uma variável é simétrica dividimos o coeficiente assimetria (Skewness) pelo erro padrão e se o resultado estiver entre 2 e -2 a distribuição é simétrica. Para saber se uma variável é mesocurtica dividimos o coeficiente de achatamento (Kurtosis) pelo erro padrão e se o resultado estiver entre 2 e -2 a distribuição é mesocurtica. Mas se os resultados de um teste paramétrico, não cumpriram com os requisitos (no mínimo dados intervalares; distribuição simétrica, mesocurtica e normal), então não têm interpretação significativa. Quando acontecem estes factos, a maioria dos investigadores opta por testes de significância nãoparamétricos. Sempre que não se pode, honestamente, admitir a simetria e a normalidade de distribuição, ou os dados foram recolhidos num nível de mensuração inferior ao intervalar, devemos recorrer a testes que não incluem a normalidade da distribuição ou nível intervalar de mensuração. Esses testes chamam-se não paramétricos Testes não-paramétricos: podem ser utilizados, mesmo quando os seus dados só podem ser medidos num nível ordinal, isto é, quando for apenas possível ordená-los por ordem de grandeza) podem ser utilizados mesmo quando os seus dados são apenas nominais, i.e., quando os sujeitos podem apenas ser classificados em categorias. 7 ESTATÍSTICA II 2010 PODER DE UM TESTE O poder de um teste é a probabilidade de rejeitarmos a H0 quando ela é realmente nula Os testes mais poderosos (os que têm maior probabilidade) de rejeição de H0, são testes que possuem pré-requisitos mais difíceis de satisfazer (testes paramétricos como t e F). As alternativas não paramétricas exigem muito menos pré-requisitos mas produzem testes de significância com menos poder que os correspondentes paramétricos. Em consequência Ao rejeitar-se a H0 sem preencher as exigências mínimas dos testes paramétricos, é mais provável que essa rejeição seja falsa (se rejeitar a H0 quando ela é verdadeira comete um erro de tipo I; se aceitar a H0 quando ela é falsa comete um erro de tipo II). Quando os requisitos de um teste paramétrico são violados, torna-se impossível conhecer o seu poder e a sua dimensão () É obvio que os investigadores querem, a todo o custo, rejeitar a H0 quando ela é mesmo falsa, evitando um erro de tipo I. O teste ideal seria aquele que =0 e =1, o que implicaria que o teste conduziria sempre à decisão correcta, contudo o teste ideal raramente existe. A probabilidade do erro de 1ª espécie deve ser reduzida, fixando teórico em 0,1; 0,05 ou 0,01. o valor fixado para depende da importância que se dá ao facto de rejeitar a H0 quando esta é verdadeira. Uma ilustração deste ponto de vista pode ser feita com o seguinte exemplo: Uma pessoa é inocente até prova do contrário H0: A pessoa é inocente H1: A pessoa é culpada Erro I: A pessoa é condenada mas está inocente Erro II: A pessoa é absolvida mas é culpada Naturalmente a justiça procura reduzir a possibilidade de ocorrer o erro de 1ª espécie, pois entende-se que é mais grave condenar inocentes que absolver criminosos. Para certos sistemas judiciais um = 0,1 é demasiado elevado, optando por =0,01; noutros sistemas judiciais pode admitir que = 0,05 é um valor razoável. ASSIM … Fixada a probabilidade do erro de tipo I (dimensão do teste), o teste mais potente é aquele em que a escolha da região crítica minimiza a probabilidade do erro de 2ª espécie. Diz-se também que esta região crítica é a mais potente. 8 ESTATÍSTICA II 2010 Facilmente se conclui que o teste mais potente é aquele que, uma vez fixada a probabilidade de rejeitar a H0, quando ela é verdadeira, maximiza a potência ou a capacidade para rejeitar a mesma hipótese quando esta é falsa. ESTRATÉGIAS ESTATIST ICAS DE ANÁLISE DE D ADOS Para escolher qualquer tipo de teste estatístico Distinguir se a nossa amostra é constituída pelos mesmos sujeitos em todas as situações ou se é formada por diferentes sujeitos para cada situação Inter-sujeitos ou design não-relacionado este tipo de design é utilizado quando um indivíduo ou objecto é avaliado apenas uma vez. A comparação é efectuado entre os grupos de sujeitos/ objectos cujos resultados são não-relacionado. Desvantagem: conjunto das diferenças individuais na forma como os sujeitos reagem ou respondem à tarefa. Intra-sujeitos ou design relacionado A comparação é feita entre os mesmos sujeitos (sujeitos do mesmo grupo). A importância destes designs é a eliminação de quaisquer particularidades individuais, uma vez que ficam igualizadas em todas as situações. Desvantagem: Efeito de memória e aprendizagem. Amostras emparelhadas Igualizam-se sujeitos diferentes mas emparelhados, em termos de idade, sexo, profissão e outras características gerais que parecem importantes para cada pesquisa em particular. estes tipos de designs podem ser considerados de designs relacionados, uma vez que é controlado nas suas características relevantes. Desvantagem: Dificuldade em encontrar sujeitos que permitam o emparelhamento de todas as características relevantes. Dificuldades arranjar grandes amostras. A maioria dos investigadores principiantes enfrenta sérias dificuldades quando tem de usar a análise estatística. É apontado como prováveis causas o ensino de Estatística que, frequentemente, tem um enfoque matemático ou de receita que não conduzem ao aproveitamento desta ferramenta e o consequente despoletar de uma “ansiedade matemática”, que pode levar os estudantes a evitar o seu 9 ESTATÍSTICA II 2010 uso. Essa situação conduz, não raras vezes, à dependência de outros para seleccionar a estatística adequada ao seu projecto. O objectivo desta lição é ajudar a ter uma ideia da potencialidade da estatística apropriada a sua pesquisa. Primeiro examine seu estudo, identifique o que quer com sua análise estatística, devendo, para isso, especificar claramente as várias questões a que quer que sua análise estatística responda (conhecer a associação ou verificar as diferenças). Comece por escrever as suas questões de pesquisa e hipóteses. Depois identifique a variável dependente e independente bem como os seus níveis de mensuração. Após estar na posse dessa informação consulte a figura que se segue e vai ver que tudo começa a ficar mais fácil. Como segundo passo na escolha da estatística apropriada, verifique se sua variável dependente é adequada para a estatística paramétrica. A estatística paramétrica envolve pelo menos dois 10 ESTATÍSTICA II 2010 pressupostos iniciais: o primeiro é se a variável dependente segue uma distribuição normal e, o segundo é se os dados entre diferentes sujeitos são independentes ou emparelhados/relacionados. Portanto, uma variável dependente qualitativa ou categórica não se enquadra neste tipo de estatística, devendo usar o enfoque da estatística não paramétrica. Assim recorremos a estatística paramétrica quando analisamos variáveis dependentes contínuas. Se essas variáveis violam os pressupostos e não tem como corrigir essa violação, então deve utilizar a estatística não paramétrica. Só tem duas opções: ou aprende a lidar com a Estatística não paramétrica ou então aumenta o tamanho da amostra. Examine cada variável dependente uma por uma nesse processo. Nem todas terão as mesmas características. Um erro comum, por exemplo, é assumir que pode usar sempre o mesmo teste estatístico se os grupos experimentais são equivalente em idade, género, anos de estudos e outras variáveis demográficas. Idade e anos de estudo são duas variáveis geralmente analisadas com estatística paramétrica. O género e a etnia são variáveis nominais e por isto devem ser analisadas com Estatística não paramétrica. Definir quais as estratégias estatísticas a utilizar exige o conhecimento das lições anteriores. As mais robustas estratégias estatísticas exigem que as variáveis apresentem propriedades intervalares para que sejam obtidos resultados fidedignos. Contudo na investigação com seres humanos nem sempre é possível termos variáveis quantitativas, por isso para cada teste estatístico paramétrico existe um equivalente não paramétrico mas destes últimos existem vários que não tem equivalente paramétrico. Por exemplo se tanto a nossa variável dependente (VD) quanto a independente (VI) forem nominais e quisermos conhecer a associação entre elas podemos recorrer ao qui-quadrado (x2) da independência; se ambas forem ordinais podemos recorrer ao rho de spearman mas se forem quantitativas e cumprirem com os restantes pré-requisitos da estatística paramétrica (simétricas, mesocurticas e distribuição normal) podemos utilizar o teste r de Pearson. Se em vez de querermos ver umas associação ou correlação pretendermos verificar se existem diferenças na distribuição de uma variável (VD) em função de outra com nível de mensuração nominal e dicotómica (VI) então podemos utilizar o teste t de student para amostras independentes (caso estejam cumpridos os pré-requisitos impostos à VD isto é, quantitativa, simétrica e apresente distribuição aproximadamente normal) ou o seu equivalente não paramétrico u de Mann-Whitney (caso não estejam cumpridos os pré-requisitos da estatística paramétrica mas a VD tenha um nível de mensuração no mínimo ordinal). Se a figura anterior não o deixou muito esclarecido experimente consultar o quadro que se segue. Os testes estatísticos paramétricos estão assinados com um asterisco (*) 11 ESTATÍSTICA II 2010 NIVEIS DE MENSURAÇÃO Nominal Testes para uma amostra TESTE DE QUI-QUADRADO DA ADERÊNCIA Ordinal/ grupo TESTE DE KOLMOROGOVSMIRNOV TESTE DE QUI-QUADRADO DA ADERÊNCIA Quantitativa -TESTE DE KOLMOROGOVSMIRNOV -TESTE T PARA UMA AMOSTRA * Variáveis Independentes Qualitativas Nominal/ dicotómica/ grupo Quantitativa Ordinal/ Grupo Qui-Quadrado da Independencia Nominal Kappa de Cohen (Tabelas Quadradas) Macnemar (2x2) Qui-Quadrado da Independencia (Variáveis Grupo) Variáveis Dependentes Q de Cochran (Dicotómicas) Ordinal Teste Qui-Quadrado da Independencia Rho de Spearman Teste U de Mann-Whitney W de Wilcoxon (Igual Escala) Teste H de Kruskal-Wallis Kappa de Cohen (Tabelas Quadradas) Rho de Spearman Qui-Quadrado da Independencia (Variáveis Grupo) Quantitativa t de Student p/ dados Independentes * T de Student p/ dados Emparelhadas * U de Mann-Whitney W de Wilcoxon Anova a um critério e respectivo PostHoc * Rho de Spearman R de Pearson * Rho de Spearman H de Kruskal-Wallis e U Por Grupo Anova Para Medidas Repetidas * Friedman Supondo que suas variáveis dependentes tivessem uma distribuição normal ou que sua amostra fosse suficientemente grande, deve verificar todas as possibilidades de análise: univariada, bivariada, múltipla e multivariada, se for o caso. A análise univariada é quando a variável é analisada per se, análise bivariada quando uma variável dependente é relacionada com uma única variável independente, análise múltipla quando se analisa uma variável dependente em função de várias variáveis independentes, e análise multivariada, quando se analisa várias variáveis dependentes contínuas em função de variáveis independentes categóricas ou quando se analisa a estrutura das variáveis, visando a redução do número de variáveis. O quadro anterior não esgota as analises estatísticas, aliás existem outras tantas quantas as que apresentamos aqui, contudo mostra as mais utilizadas nas análises univariadas e bivariadas. 12 ESTATÍSTICA II 2010 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS Frank Wilcoxon (1892 - 1965) tornou-se conhecido por ter desenvolvido dois testes não paramétricos muito utilizados: o Teste de Soma de Postos Wilcoxon Rank Sum Test que é equivalente ao teste de Mann-Whitney, e o Teste de Postos com Sinais ou Wilcoxon Signed Rank Test (Rosner, 1995). A estatística não paramétrica é de distribuição livre: • Não incorpora as suposições restritivas, características dos testes paramétricos. • Os dados não precisam estar normalmente distribuídos (Free Distribution). É necessário, apenas, que eles sejam ordenáveis. • São baseados em postos das observações e não em seus valores, como no caso dos paramétricos. • Podem ser aplicados para variáveis quantitativas, falsas intervalares( também chamadas de semi-quantitativas) e qualitativas. Desvantagens • Menos sensíveis aos erros de medida e rápidos para pequenas amostras. • Se as suposições básicas de um teste paramétrico são satisfeitas, então os testes nãoparamétricos são menos poderosos do que a técnica paramétrica correspondente (exigirá uma amostra maior); • As hipóteses testadas por testes não-paramétricos tendem ser menos específicas; • Por usarem postos, em vez do valor da observação, esses testes não aproveitam toda a informação disponível sobre a distribuição dos dados; • Se existem muitas distribuições empatadas, as estatísticas serão superestimadas, exigindo correções. O posto de uma observação é a sua posição relativa às demais observações, quando os dados estão em ordem crescente. É uma forma de medir a posição relativa da observação, sem usar o valor observado diretamente. Os postos correspondentes às observações de uma variável X1, X2,..., Xn são: • Colocam-se as observações em ordem crescente, X1 < X2,...,< Xn. • Associam-se valores, correspondendo às suas posições relativas na amostra. O primeiro elemento recebe o valor 1, o segundo o valor 2, e assim por diante, até que a maior observação receba o valor n. 13 ESTATÍSTICA II • 2010 Se todas as observações são distintas, ou seja, se Xi Xj para todo i, j, os postos R1, R2,...,Rn são iguais aos valores associados às observações no passo anterior. Para observações iguais, associam-se postos todos iguais à média de suas posições relativas na amostra. Exemplo: Considere uma amostra de 8 idades de crianças do ambulátorio do IC, apresentada na tabela abaixo: Os postos devem ser cuidadosamente atribuídos, pois os testes serão baseados nesses valores. TESTES PARA AMOSTRAS INDEPENDENTES: TESTE DO QUI-QUADRADO O Qui-quadrado (X2) é um teste estatístico não paramétrico, sendo um dos mais utilizados e bastante aplicado em diferentes planos experimentais. O X2 é muito usado mesmo ao nível da estatística multivariada (no sentido de obter o grau de aderência entre o modelo obtido e o teórico). Existem vários testes baseados no qui-quadrado, contudo só dois tem esse nome: o teste do quiquadrado da aderência ou ajustamento (para uma amostra) e o teste do qui-quadrado da independência. O Qui-quadrado (X2) de aderência consiste em comparar os dados obtidos experimentalmente com os dados esperados de acordo com a lei. Das comparações surgem diferenças que podem ser grandes ou pequenas: se forem grandes, a hipótese nula (H0) que pressupõe um bom ajustamento deverá ser rejeitada em favor da hipótese alternativa (H1); se forem pequenas, a hipótese nula não será rejeitada e as diferenças são atribuíveis ao acaso. O objectivo é comparar frequências observadas com frequências teóricas ou esperadas, ou seja, verificar o seu grau de aproximação, que pode ser grande (=0) ou pequeno (> 0). 14 ESTATÍSTICA II 2010 Utiliza-se quando os dados são nominais, pelo que em vez de se medirem resultados dos sujeitos apenas se podem distribuir os sujeitos por uma ou mais categorias. O Qui-quadrado (X2) testa a hipótese experimental que prevê quantos sujeitos de cada grupo são distribuídos por uma determinada categoria. O X2 de independência serve para ajudar a decidir se as duas variáveis estão ou não "amarradas" uma à outra por uma relação de dependência. Utiliza-se quando os dados são qualitativos e se pretende saber como é que se comportam os dados quando as variáveis se cruzam, isto é qual a contingência entre as variáveis. O objectivo é comparar as frequências observadas em cada uma das células de uma tabela de contingência com as diferenças esperadas. O teste compara o número de sujeitos que se distribuem por uma determinada categoria com o número de sujeitos que se esperaria se distribuíssem por essa mesma categoria, caso não existissem diferenças. O teste do X2 reflecte o tamanho das diferenças entre as frequências observadas e esperadas. Para ser significativo, o valor de X2 deverá ser igual ou superior aos valores críticos da tabela. TESTE DO QUI-QUADRADO DA ADERENCIA PASSO-A-PASSO 1. Calcular as frequências esperadas (E) para cada célula, somando as frequências observadas e dividindo pelo número total de categorias. Em que O = frequências observadas para cada categoria C = número de categorias 2. Calcular X2: 3. Calcular os graus de liberdade: g.l. = (C-1) Se X2 observado X2 crítico rejeita-se H0 Se X2 observado <X2 crítico aceita-se H0 15 ESTATÍSTICA II 2010 Exemplo: A depressão acontece mais em homens ou em mulheres. Estudo efectuado com base na recolha de dados provenientes de uma amostra aleatória de indivíduos diagnosticados com depressão nos últimos 5 anos, que foram ou estão a ser acompanhados na consulta de um determinado hospital central. FO FE Resíduos Feminino 45 50 -5 Masculino 55 50 +5 100/2=50 X2 = ((-5)2/50) + (( 5)2/50) X2 = 1 O X2 observado é igual a 1 O X2 crítico é igual a 3,84 O valor observado é inferior ao valor crítico, logo, aceito a hipótese nula: a distribuição de deprimidos por sexo é homogénea. TESTE DO QUI-QUADRADO DA INDEPENDENCIA PASSO-A-PASSO 1. Numerar as "células" que representam cada uma das categorias e calcular as frequências esperadas (E) para uma, multiplicando os dois totais parciais relevantes para cada uma e dividindo pelo número total de sujeitos. 16 ESTATÍSTICA II 2010 2. Calcular X2: em que O = frequências observadas para cada célula E = frequências esperadas para cada célula 3. Calcular os graus de liberdade: g.l. = (r-1) (c-1) em que r = número de linhas da tabela de contingência c = número de colunas da tabela de contingência Exemplificando: para uma tabela de dupla entrada 2*2: g.l. = (número de colunas - 1) (número de linhas - 1) = 1*1 = 1 consulta-se a tabela dos valores critico e, Se X2 observado X2 crítico rejeita-se H0 Se X2 observado < X2 crítico aceita-se H0 Exemplo: Suponha que quer saber se os estudantes de ciências sociais utilizam um método de estudo significativamente diferente daquele que é utilizado pelos estudantes de tecnologia. A amostra prevista ficou constituída por dois grupos, um composto por 50 estudantes de ciências sociais e o outro por 50 estudantes de tecnologia. Enviou-se, então, via mail, um questionário aos 100 estudantes 17 ESTATÍSTICA II 2010 pedindo-lhes que indicassem se o seu método de estudo era regular (diário), irregular (só em épocas de avaliações) ou misto (estudar diariamente um pouco com maior intensidade nos períodos de avaliações). Foram recebidas 44 respostas dos estudantes de ciências sociais e 42 dos estudantes de tecnologia. A hipótese experimental (H1) era: H1: O tipo de estudo varia em função curso frequentado Os resultados são apresentados na forma de uma tabela 2*3, designada por tabela de contingência (crosstab). Regular 6 10 Grupo 1-Estudantes de Ciências Sociais Grupo 2-Estudantes de Tecnologia Tipo de estudo Irregular 15 8 Misto 23 24 Instruções Passo-a-Passo: enumerar as células, obter os totais e calcular as frequência esperadas (E) Regular Grupo 1 Grupo 2 Totais E1= 6 E4= 10 16 Tipo de estudo Irregular E2= 15 E5= 8 23 Misto Total 23 44 24 42 47 N=86 E3= E6= Resolva: 18 ESTATÍSTICA II 2010 Confira: Célula 1: E1 = 16X44 / 86 = 8,19 Célula 2: E2 = 23X44 / 86 = 11,77 Célula 3: E3 = 47X44 / 86 = 24,05 Célula 4: E4 = 16X42 / 86 = 7,81 Célula 5: E5= 23X42 / 86 = 11,23 Célula 6: E6 = 47X42 / 86 = 22,95 2. Aplicar a fórmula do x2 e proceder ao cálculo do teste X2 = (6-8,19)2 + (15-11,77)2 + (23-24,05)2 + (10-7,81)2 + (8-11,23)2 + (24-22,95)2 8,19 11,77 24,05 7,81 11,23 22,95 X2 = 0,59 + 0,89 + 0,05 + 0,61 + 0,93 + 0,05 = 3,12 3. Calcular os graus de liberdade (gl) g.l. = (r - 1) (c - 1) = (2 -1) (3 - 1) = 2 4. Consultar a tabela dos valores críticos Para p=0,05 e gl=2 x2 critico=5,99 Conclusões: Dado que o valor observado de X 2 é apenas de 3,12, ou seja, inferior ao valor crítico de 5,99 para p < 0,05, o resultado da experiência não é significativo. Aceita-se hipótese nula de que os padrões de estudo dos estudantes de ciências sociais e de tecnologia não diferem, rejeitando-se desta forma a nossa hipótese experimental (H1). 19 ESTATÍSTICA II 2010 Ao estudarmos as diferenças entre dois grupos podemos utilizar grupos relacionados/emparelhados ou grupos independentes. No caso de duas amostras independentes determinamos se as diferenças nas amostras constituem uma evidência convincente de uma diferença nos processos de tratamento a elas aplicados. Apesar do uso de duas amostras relacionadas em projectos de pesquisa ter méritos indiscutíveis, a sua aplicação, em geral, não é prática. Frequentemente, a natureza da variável dependente impede a utilização dos indivíduos como seus próprios controlos, tal como ocorre quando a variável dependente é o suicídio tentado; um problema que pode acontecer uma única vez. Pode ser também impossível delinear um projecto que utilize pares de dados, talvez por desconhecimento, por parte do investigador, de variáveis úteis que possam formar pares, ou pela impossibilidade de obter mensurações adequadas de alguma variável de reconhecida importância ou, enfim, porque simplesmente não se dispõe de “pares” adequados. Quando a utilização de duas amostras relacionadas não é prática ou adequada, podemos utilizar duas amostras independentes. Em tais projectos, as duas amostras podem ser obtidas por um de dois métodos: Podem ser extraídas aleatoriamente de duas populações; Podem decorrer da atribuição aleatória de dois tratamentos aos membros de uma amostra de origem arbitrária. Nota: Em nenhum destes casos se exige que as amostras tenham o mesmo tamanho. PROCEDIMENTOS PARA O RDENAÇÃO DE RESULTAD OS Os testes não paramétricos U de Mann-Whitney; Wilcoxon; H de Kruskal-Wallis; rho de Spearman; tau de Kendall e Friedman, exigem o recurso a ordenações de resultados para efectuar os seus cálculos. Neste sentido começaremos por explicar os procedimentos de ordenação de resultados Ordenamento global de resultados (designs não-relacionados para sujeitos diferentes), utilizados nas estatísticas U de Mann-Whitney, H de Kruskal-Wallis e rho de Spearman: 20 ESTATÍSTICA II 2010 Para se ordenar resultados, atribui-se a ordem 1 (ordem mais baixa) ao sujeito que fuma menos, a ordem 2 ao seguinte, e por aí adiante, tal como no exemplo que se segue: n.º de cigarros/ dia 6 3 12 4 7 5 8 ordem 4 1 7 2 5 3 6 n.º de cafés/ dia 1 3 2 4 6 5 8 ordem Sempre que exista um resultado 0 (zero) é contado como o valor observado mais baixo, sendo-lhe atribuída a ordem 1, tal como no exemplo que se segue: 2.ª feira 3.ª feira 4.ª feira 5.ª feira 6.ª feira n.º de consultas 6 3 0 4 5 ordem 5 2 1 3 4 ordem 2.ª feira 3.ª feira 4.ª feira 5.ª feira 6.ª feira Sábado Domingo n.º de telefonemas 60 30 40 24 75 15 0 21 ESTATÍSTICA II 2010 Quando existem resultados iguais são-lhe atribuídas a média das posições ou das ordens, calculadas com base na globalidade das ordens que deviam ter sido atribuídas a estes resultados, tal como no exemplo que se segue: absentismo no mês de Dezembro ordem 2 1 4 2 2 1 6,5 4 2 1 5 3 6,5 4 9 6 8 5 Assim os sujeitos com uma falta são 3 (1+1+1) que ocupariam o 1.º - 2.º - 3.º lugar, então 3+2+1=6:(1+1+1)=2; com 4 faltas temos 2 sujeitos que ocupariam o 6.º e 7.º lugar, então 6+7=13:(1+1)=6,5 Refeições de carne 100 200 111 412 111 30 412 600 500 ordem Refeições de peixe 120 230 11 42 121 30 30 30 120 ordem TESTE U DE MANN-WHITNEY Quando Utilizar Dadas duas amostras, de tamanhos n1 e n2, é possível, mediante a prova U de Mann-Whitney, saber se ambas as amostras podem ser consideradas provenientes da mesma população. Como já se sabe, a estatística paramétrica só pode ser usada desde que os dados tenham sido mensurados, no mínimo, no nível intervalar. Além disso, as amostras devem ser aleatórias, independentes e a variável observacional precisa de ter distribuição normal na população. 22 ESTATÍSTICA II 2010 O teste U de Mann-Whitney deve ser utilizado em designs com duas situações, não-relacionado, quando são utilizados sujeitos diferentes em cada uma das situações experimentais. MANN-WHITNEY-WILCOXON: TESTE PARA PEQUENAS AMOSTRAS O cálculo da estatística do teste (U critico), e a consequente regra de decisão, depende do tamanho da amostra. Se qualquer dos grupos (n A ou nB) menor que 10 o valor crítico é obtido da tabela. Vejamos um exemplo em que o grupo A tem 4 sujeitos e o grupo B 5 e se pretende verificar se têm desempenhos significativamente diferentes. Um conjunto de 9 atletas 4 da equipa A e 5 da Equipa B vão em competição e chegara à meta nas seguintes posições Os tempos foram contabilizados e os atletas ordenados da seguinte forma: Qual o valor de U critico? Para o obter somamos as posições da equipa A e as posições da equipa B e obtemos UB=9+8+6+3+2= 28 UA=7+5+4+1= 17 23 ESTATÍSTICA II 2010 A seguir vamos à tabela dos valores críticos e cruzamos o número de indivíduos de uma equipa com o número de indivíduos da outra: Como podemos observar os valores de aceitação da H0 ( que não existem diferenças entre os grupos) estão entre 11 e 29 e os valores observados são 17 e 28 o que está dentro do intervalo. Logo podemos concluir que as equipas não têm desempenhos significativamente diferentes. Exercício: Um estudo visa a comparar, ao nível de significância de 5 %, se a taxa de creatinina é a mesma em dois grupos de pacientes renais: um grupo com 6 indivíduos que apresentavam insuficiência renal aguda (IRA), e outro, com 5 indivíduos, que não apresentavam IRA. H0: os grupos não são estatisticamente diferentes. HA: os grupos são estatisticamente diferentes. Taxa de Creatinina (mg/100ml) Paciente com IRA sem IRA 1 3,3 0,9 2 3,0 0,8 3 4,0 0,6 4 1,5 0,7 5 2,4 0,8 6 0,9 Ordene, confira com as soluções e conclua com base na consulta da tabela RA 10 9 11 7 8 5,5 50,5 RB 5,5 3,5 1 2 3,5 15,5 24 ESTATÍSTICA II 2010 MANN-WHITNEY-WILCOXON: TESTE PARA GRANDES AMOSTRAS Se ambos os grupos têm pelo menos dez observações, podemos usar a chamada forma assintótica do teste, na qual a estatística do teste pode ser aproximada por uma Normal. Procedimento: • Calculam-se as estatísticas padronizadas UA e UB, onde: UU A B nA nB nA (nA 1) RA ; 2 UU B A nA nB nB (nB 1) RB 2 U = min (U1 , U2) Mann-Whitney-Wilcoxon Forma Assintótica • Calculam-se a média e a variância de U, dadas por: E (U ) • nA nB 2 var(U ) Calcula-se a variável padronizada zU, dada por: zU • nA nB (nA nB 1) ; 12 U E (U ) 0, 5 ; var(U ) Compara-se o valor absoluto de zU com o valor de z crítico (tabela z), para o nível de significância desejado. 25 ESTATÍSTICA II 2010 Exemplo:Considere as distribuições de scores de idade mental normalizados de duas populações de crianças que sofrem de fenilcetonúria. Indivíduos com essa disfunção são incapazes de metabolizar a proteína fenilalanina. Desconfia-se de que um elevado nível sérico dessa proteína aumenta a probabilidade de deficiência mental da criança. Deseja-se comparar dois grupos de crianças: um com baixa exposição à fenilalanina (menos que 10 mg/dl diários) e outro com alta exposição (acima de 10 mg/dl diários). Não há evidências de que os scores normalizados de idade mental sejam normalmente distribuídos nos pacientes com essa disfunção. Os scores de idade mental normalizados para as duas amostras de crianças sofrendo de fenilcetonúria estão na tabela abaixo: Baixa Exp. 39.5 40.0 45.5 47.0 47.0 47.5 48.7 49.0 51.0 51.0 52.0 53.0 54.0 54.0 55.0 Alta Exp. 35.0 37.0 37.0 43.5 44.0 45.5 46.0 48.0 48.3 48.7 51.0 52.0 53.0 53.0 54.0 As estatísticas padronizadas de UA são: Para de 5% (bicaudal), o ZU de -1,2051, o que conclui? 1 Test Statistics b FENIL Mann-Whitney U Wilcoxon W Z Asymp. Sig. (2-tailed) Exact Sig. [2*(1-tailed Sig.)] 83,500 203,500 -1,205 ,228 a ,233 26 ESTATÍSTICA II 2010 Racional: O racional que está por trás do teste U de Mann-Whitney é bastante semelhante ao do teste de Wilcoxon. A diferença fundamental entre as duas reside no facto do segundo se aplicar a designs relacionados e o U se aplicar a designs não-relacionado, utilizando, portanto, sujeitos diferentes. O teste de Wilcoxon analisa as diferenças entre a performance dos mesmos sujeitos (ou pares de sujeitos emparelhados) submetidos a duas situações experimentais. Com um design não-relacionado não temos uma base que nos permita comparar diferenças entre pares de resultados. Assim, o teste U de MannWhitney ordena os resultados de todos os sujeitos em ambas as situações como se fossem apenas um conjunto simples de resultados. 27 ESTATÍSTICA II 2010 Se as diferenças entre as situações forem aleatórias, como é postulado pela hipótese nula, então os resultados devem ser aproximadamente os mesmos e, consequentemente, as ordens devem ser também aproximadamente as mesmas para as duas situações. Se houver uma preponderância de ordens altas ou baixas numa situação ou na outra, então é porque a diferença no total dos resultados ordenados para cada situação é devida aos efeitos previstos da variável independente e não ao acaso. Se a soma total das ordens for muito baixa para uma das situações, então terá de haver uma preponderância de ordens elevadas na outra situação. Quanto menor for U mais significativas serão as diferenças entre as ordens das duas situações. O investigador pode precisar de decidir se diversas variáveis independentes devem ser consideradas como procedentes da mesma população. Os valores amostrais quase sempre são um tanto diferentes e o problema é determinar se as diferentes amostras observadas sugerem realmente diferenças entre as populações ou se são apenas variações casuais que podem ser esperadas entre amostras aleatórias da mesma população. Apresentamos técnicas para comparar a significância de diferenças entre três ou mais grupos de amostras independentes, ou seja, para comprovar a hipótese de nulidade de que K amostras independentes tenham sido extraídas da mesma população ou de populações idênticas. As provas não-paramétricas têm a vantagem de permitir estudar, quanto à significância, dados que são inerentemente classificados (escala nominal) ou se apresentam em postos (escala ordinal). Exercicio: Suponha que quer investigar o n.º de queixas dolorosas durante um tratamento a um mesmo problema terapêutico (controlada a gravidade e a extensão da lesão) em que se utilizaram duas técnicas diferentes. A hipótese experimental supõe que é durante a utilização da técnica B que o doente se apresenta mais queixoso. Paciente A 1 2 3 3 4 2 Ordem (T1) 3 4 1,5 9 7 5 11 9 5,5 4 5 6 TOTAL MÉDIA 6 2 5 22 3,67 7,5 1,5 5,5 10 6 8 45 7,5 12 7,5 10 T1=23 B Ordem (T2) T2=55 TESTE DE KRUSKAL-WALLIS Requisitos para o uso do teste de Kruskal-Wallis O teste de Kruskal-Wallis pressupõe as seguintes condições para o seu adequado uso: 1. Comparação de três ou mais amostras independentes; 28 ESTATÍSTICA II 2010 2. O teste de Kruskal-Wallis não pode ser usado para testar diferenças numa única amostra de respondentes mensurados mais de uma vez; 3. Dados cujo nível de mensuração seja no mínimo ordinal; 4. Esta prova exige dados que possam ser ordenados e aos quais, por isso mesmo, seja possível atribuir postos ou ordens; 5. O tamanho mínimo de cada amostra deve ser de 6 para se poder recorrer ao x 2. Quando n > 5 por grupo de respondentes, a significância de H pode ser determinada por recorrência à Tabela do Qui-quadrado (Anexo I). Para testar diferenças entre amostras de tamanho inferior a 6, deve recorrer a tabelas especiais (Anexo IV). Quando utilizar Este teste pode ser considerado uma extensão do teste U de Mann-Whitney quando necessitamos de utilizar três ou mais situações. Deve ser utilizado em designs não-relacionado quando sujeitos diferentes são distribuídos por três ou mais situações. Exemplo: Suponha que estamos interessados em descobrir se existem diferenças no acesso a uma página da internet em função da característica: muito ilustrada, com algumas ilustrações e, sem ilustrações. Alocámos três páginas na internet com o mesmo assunto e titulo durante 4 meses. A seguir verificámos o número de vezes que foram acedidas durante quatro sábados seguidos. Os resultados foram. Sujeitos do grupo 1 (página muito ilustrada) Sábado 1 Sábado 2 Sábado 3 Sábado 4 TOTAL MÉDIA Resultados 19 21 17 16 73 18,25 Ordem 10 11 9 8 38 Sujeitos do grupo 2 (página com algumas ilustrações) Resultados Ordem 14 6 15 7 9 1 38 12,67 14 Sujeitos do grupo 3 (Página sem ilustrações) Resultados 12 12 13 10 47 11,75 Ordem 3,5 3,5 5 2 14 Racional Este teste pretende determinar se os resultados são significativamente diferentes para três ou mais grupos. Uma vez que todos os resultados foram, em princípio, obtidos por sujeitos diferentes a única forma de verificarmos as diferenças entre as situações é ordená-las em conjunto, como se tratassem apenas de um conjunto de resultados, tal como havíamos efectuado no teste U de Mann-Whitney. Isto acontece porque, não temos uma base para comparar resultados dos mesmos sujeitos ou de sujeitos emparelhados em diferentes situações, como com o teste U de Mann-Whitney para designs relacionados. Este ordenamento global, quando posteriormente adicionamos as ordens de cada coluna em separado, permite-nos obter o total das ordens para cada situação. Se existirem apenas diferenças aleatórias entre as situações, como é postulado na hipótese nula, é de esperar que ordens altas e baixas se distribuam de forma aproximadamente equivalente pelas diferentes situações. Mas, se pelo 29 ESTATÍSTICA II 2010 contrário, houver uma preponderância de altos ou baixos resultados em qualquer uma das situações, é provável que tal facto reflicta diferenças significativas devidas à variável independente. O valor das diferenças entre os totais das ordens é dado pela estatística designada por H. Desde que a hipótese experimental preveja a existência de diferenças significativas entre as situações, o valor que obtivermos de H deverá ser igual ou superior ao valor crítico da Tabela, para que possa ser considerado significativo. Instruções passo-a-passo para calcular H Ordene todos os grupos do design como se tratasse apenas de um conjunto de resultados, atribuindo a Ordem 1 ao menor resultado e assim sucessivamente. Para um ordenamento global dos resultados, veja as colunas ordem para os grupos 1, 2 e 3, em que todos os resultados são considerados em conjunto Adicione os totais das ordens para cada situação. Calcule o valor de H a partir da fórmula OU em que: Número total de sujeitos nc número de sujeitos em cada grupo N=11 n1=4; n2=3; n3=4 Tc=total de ordens para cada situação, ou seja, os totais das ordens para cada coluna Tc2=total das ordens para cada situação, cada um elevado ao quadrado T1=38;T2=14;T3=14 T12=382;T22=142; T32=142 =soma dos quadrados dos totais das ordens para cada situação dividido pelo número de sujeitos dessa situação (nc) 30 ESTATÍSTICA II 2010 Cálculo de H Calcule os graus de liberdade, ou seja, o número de situações/categorias (C) menos uma. gl = C – 1 = 3 – 1 = 2 Consulta da significância na tabela A Tabela (Anexo IV) utiliza-se em experiências com três grupos de sujeitos, e com um máximo de cinco sujeitos em cada grupo. Para um maior número de sujeitos, deve ser utilizada a Tabela do Qui-quadrado (Anexo I). Quando não são utilizados mais de três grupos, poderá localizar na coluna da esquerda da Tabela o número de sujeitos de cada grupo. Localize então a combinação que procura (no nosso caso: 4, 4, 3). Note que a ordem do número de sujeitos não é importante, mas a combinação apropriada na Tabela é 4, 4 e 3. Para essa combinação encontrará os valores críticos de H para várias probabilidades. Se o valor de H que obteve for igual ou superior ao valor crítico de um determinado nível de significância pode rejeitar a hipótese nula. No nosso exemplo, o valor obtido de H=7,26 é superior ao valor crítico de 7,1439 para p<0,01, pelo que podemos aceitar a hipótese experimental a este nível de significância. Se possuir mais de três situações, e/ou sujeitos em cada situação, deverá procurar o valor crítico na Tabela do Qui-quadrado. Repare que para isso terá que calcular os graus de liberdade. Localize os 31 ESTATÍSTICA II 2010 valores dos graus de liberdade (no nosso exemplo, gl=2) ao longo da coluna do lado esquerdo e verifique ao longo da linha os valores críticos para as diferentes probabilidades. O valor que obtivemos H=7,26 é superior ao valor crítico de 5,99 para p<=0,05, pelo que podemos aceitar que o resultado é significativo a este nível. Dará conta que esta probabilidade é menos significativa de que quando utilizamos a Tabela anterior. Isso acontece porque essa Tabela é especialmente concebida para nos dar as probabilidades com um pequeno número de sujeitos e de situações. Notará também que o teste de Kruskal-Wallis apenas lhe pode dizer que existem diferenças globais nos resultados entre as situações experimentais. Na tabela apresentada parece existir uma tendência para consultar páginas com mais ilustrações do que sem ilustrações. Mas para poder testar se essa tendência realmente existe, terá de utilizar um teste de tendência. 32 ESTATÍSTICA II 2010 TESTES PARA AMOSTRAS RELACIONADAS Empregam-se as provas estatísticas de duas amostras quando o investigador deseja determinar se dois tratamentos são diferentes ou se um tratamento é “melhor” do que o outro. Em cada caso, compara-se o grupo em que se aplicou o tratamento com outro que não sofreu nenhum tratamento ou que sofreu tratamento diferente. Em tais comparações de dois grupos observam-se, por vezes, diferenças significativas que não são resultantes do tratamento aplicado. Uma das maneiras de superar a dificuldade decorrente da introdução de diferenças “extrínsecas” entre dois grupos consiste em utilizar na pesquisa duas amostras relacionadas, isto é, relacionar de alguma forma as duas amostras estudadas. Tal relacionamento pode ser conseguido utilizando-se cada indivíduo como seu próprio controlo ou então formando pares de indivíduos e, em seguida, associando os dois membros de cada par às duas condições. Quando um indivíduo “serve como o seu próprio controlo”, ele é submetido a ambos os tratamentos em ocasiões diferentes. Quando se utiliza o método do emparelhamento devem procurar seleccionar-se, para cada par, indivíduos que sejam tão semelhantes quanto possível em relação a quaisquer variáveis extrínsecas que possam influenciar os resultados da pesquisa. Sempre que possível, o método de utilização do indivíduo como o seu próprio controlo (contrabalançando a ordem em que se aplicam os tratamentos ou métodos) é preferível ao método de emparelhamento. E a razão disso é que é limitada a nossa capacidade para formar os pares adequadamente, em consequência do nosso desconhecimento das variáveis relevantes que determinam o comportamento. A validade por emparelhamento está na razão directa do investigador para determinar como formar os pares, e essa capacidade é quase sempre muito limitada. Essa dificuldade é contornada quando se utiliza cada indivíduo como seu próprio controlo; não se pode pretender relacionamentos mais precisos do que a própria identidade. Ordenamento de diferenças entre resultados (designs relacionados para os mesmos sujeitos ou emparelhados): Em geral, a atribuição de ordens às diferenças entre resultados efectua-se tal como fizemos para os resultados, sendo atribuída a ordem mais baixa à menor diferença e por aí adiante; Diferenças idênticas entre resultados são ordenadas da mesma forma que resultados idênticos, atribuindo-se uma ordem média resultante da globalidade de ordens que essas diferenças deveriam ocupar; Resultados nulos de 0 são contados como o resultado mais baixo possível quando se calculam diferenças entre resultados; 33 ESTATÍSTICA II 2010 Contudo, quando existe igualdade entre resultados que originem uma diferença nula entre as situações experimentais, estes não são ordenados, sendo retirados da análise; Diferenças positivas e negativas são ordenadas em conjunto como se tratasse de um ordenamento simples de resultados, ignorando os sinais positivos e negativos. Exemplo: Suponha que quer ordenar as diferenças entre o número de frases correctas que um grupo de crianças com suspeita de perda auditiva produziu antes da colocação de um aparelho auditivo e após a colocação daquele. Quadro 14: Ordenação para Amostras Relacionadas ou Emparelhadas Sujeitos Nº de frases correctas antes do aparelho auditivo Nº de frases correctas depois do aparelho auditivo diferenças ordem 1 5 6 1 2 2 5 7 2 4 3 2 3 1 2 4 1 5 4 6,5 5 4 5 1 2 6 2 5 3 5 7 1 5 4 6,5 8 4 4 0 - 9 1 7 6 9 10 1 6 5 8 Ao contrário do que acontece nos casos das amostras relacionadas quando a diferença entre 2 situações é nula nas amostras relacionas a este tipo de resultado não é atribuída nenhuma ordem, sendo que o resultado nem sequer é considerado na análise. No ordenamento de resultados negativos em amostras relacionadas ignoram-se os sinais quando se ordenam os resultados. PROVA DE MCNEMAR PARA A SIGNIFICÂNCIA DE MUDANÇAS Quando utilizar A prova de McNemar para a significância de mudanças é particularmente aplicável aos planeamentos do tipo “antes e depois”, em que cada indivíduo é utilizado como o seu próprio controlo e a mensuração se faz ao nível de uma escala nominal ou ordinal. Pode, assim, ser usada para testar a eficiência de determinada técnica (reuniões, folhetos, visita, etc.) sobre as preferências eleitorais a respeito de vários candidatos. Nestes casos, cada pessoa pode servir como o seu próprio controlo, utilizando-se a mensuração em escala nominal para avaliar as alterações da situação “após” em relação à situação “antes”. 34 ESTATÍSTICA II 2010 Racional Para comparar a significância de qualquer mudança observada, por este método, constrói-se uma tabela de frequências de 4 casas para representar o 1º e o 2º conjunto de reacções dos mesmos indivíduos. As características gerais desta tabela são as que se apresentam a seguir, em que se utilizam os sinais “+” e “-” para indicar diferentes reacções. DEPOIS ANTES + + A B - C D Note-se que os casos que acusam modificações entre a 1ª e a 2ª reacção aparecem nas células A e D. Um indivíduo é localizado na célula A se passou de “+” para “-” e na célula D se passou de “-“ para ”+”. Na ausência de modificação, o indivíduo é classificado na célula B (reacção “+” antes e depois) ou na célula C (reacção “-” antes e depois). Como A e D representa o número total de indivíduos que acusam modificação, a perspectiva, sob a hipótese de nulidade, seria que ½ (A+D) acusassem modificações num sentido e ½ (A+D) acusassem modificações noutro sentido. Ou seja, ½ (A+D) é a frequência esperada, sob H0, tanto na célula A como na célula D. Na prova de McNemar de significância de mudança, estamos interessados apenas nas células A e D. Portanto, A=número de casos observados na célula A, D=número de casos observados na célula D e ½ (A+D)=número esperado de casos tanto nas células A como D, Então com graus de liberdade=1 CORRECÇÃO DE CONTINUIDADE A aproximação, pela distribuição do Qui-quadrado, da distribuição amostral da fórmula torna-se excelente se introduzir uma correcção de continuidade. Tal correcção é necessária, porque se utilizou um distribuição contínua (Qui-quadrado) para aproximar uma distribuição discreta. Quando todas as frequências esperadas são pequenas, tal aproximação pode ser fraca. A correcção de continuidade (Yates, 1934) constitui uma tentativa de remoção dessa fonte de erro. Com a correcção de continuidade, tem-se: com graus de liberdade=1 35 ESTATÍSTICA II 2010 Esta expressão indica que se deve subtrair 1 do valor absoluto da diferença entre A e D antes de elevar ao quadrado. O grau de significância de qualquer valor observado de Qui-quadrado, tal como calculado através da fórmula, é determinado mediante referência a uma Tabela (Anexo I). Se o valor observado de Qui-quadrado é igual a, ou maior do que, o valor exibido na Tabela para determinado nível de significância com gl=1, a implicação é que existe efeito “significativo” nas reacções “antes” e “depois”. Instruções passo-a-passo para calcular x2 Enquadrar as frequências observadas numa tabela de 4 casas. Determinar as frequências esperadas nas células A e D E=1/2 (A+D) Se as frequências esperadas são inferiores a 5, empregar a prova binomial em substituição à prova de McNemar. Se as frequências esperadas não são inferiores a 5, calcular o valor de X 2 através da fórmula Mediante referência à Tabela (Anexo I), determinar a probabilidade, sob H0, associado a um valor tão grande quanto o valor observado de X2. Se trata de uma prova unilateral, dividir por 2 o valor da probabilidade exibido na Tabela. Se o valor de p, dado pela Tabela para o valor observado de X2 com gl=1, não supera p, rejeita-se H0 em favor de H1. Exemplo: Suponha que um profissional de saúde está interessado em estudar os comportamentos resultantes da iniciação de obesos à prática do exercício físico. Este profissional observou ao longo dos anos que os obesos utilizam preferencialmente o elevador para se dirigirem à sua consulta cujo consultório era no 1.º andar. Coloca a hipótese de que os obesos que tiveram com terapêutica exercício físico começariam a usar preferencialmente as escadas. A fim de testar a hipótese o técnico observa 25 doentes em que ministrou como exercício físico caminhar uma hora por dia cinco vezes por semana. Decorrido um mês de exercício observa os mesmos 25 doentes e faz a classificação comportamentos. Os dados são os seguintes: Preferência após 30º dias de exercício Escadas Preferência terapêutica antes da Elevador Elevador 4 (A) 14 (B) Escadas 4 (C) 3 (D) 36 ESTATÍSTICA II 2010 Hipótese de nula (H0): Para os obesos que modificaram a sua atitude, a probabilidade de mudar o percurso do elevador para as escadas (PA) é igual à probabilidade de mudar de mudar das escadas para o elevador (PD) e ambas são iguais a ½. Isto é, H0: PA=PD=1/2 H1: PA>PD Prova estatística: Utiliza-se a prova de McNemar para significância de mudanças, porque o estudo utiliza duas amostras relacionadas, é do tipo antes-e-depois e utiliza a escala de medida nominal (classificativa). Nível de significância: p=0,05 N=25 Distribuição amostral: A distribuição Qui-quadrado com 1 grau de liberdade dá uma boa aproximação da distribuição amostral de Qui-quadrado, tal como calculada pela fórmula. Região de Rejeição: Como H1 especifica o sentido da diferença prevista, a região de rejeição é unilateral. Consiste de todos os valores de Qui-quadrado que são tão grandes que acusem uma probabilidade unilateral, associada à sua ocorrência sob H0 não superior a 0,05. Decisão: Estamos interessados nos obesos cujo comportamento acusa alteração: representados nas células A e D. Para os dados, temos: Sendo 0 valor observado de x2=0, devemos consultar a tabela (Anexo I) para obter o valor crítico, não esquecendo que temos uma amostra unicaudal a um nível de 0,05. consultando a tabela observamos um x2 critico de 5,41. 37 ESTATÍSTICA II 2010 TESTE DOS SINAIS DE WILCOXON Teste de Wilcoxon ou Wilcoxon Signed Rank Test ou Teste de postos com sinais (equivalente do teste t emparelhado) Quando utilizar O teste de Wilcoxon deve ser utilizado num design experimental relacionado, com duas situações experimentais quando são utilizados os mesmos sujeitos ou sujeitos emparelhados em ambas as situações. Exemplo: Suponha que quer investigar se existe alguma diferença na quantidade de vocabulário utilizado por crianças que usam um aparelho auditivo ou por crianças que não usam. Este é um bom exemplo dum caso em que é essencial a utilização de sujeitos emparelhados. Como é óbvio, não é possível utilizar os mesmos sujeitos, uma vez que nenhuma criança que não precisa de usar aparelho auditivo usa um mesmo tempo. Por outro lado, não podemos escolher aleatoriamente os sujeitos para cada grupo. Pode dar-se o caso, por exemplo, de os sujeitos que usam aparelho auditivo serem mais velhos. Qualquer efeito encontrado neste grupo pode ficar a dever-se unicamente a esta diferença. Os dois grupos “com aparelho” e “sem aparelho” necessitam de ser emparelhados em termos de idade, sexo, inteligência e todas as outras variáveis que achemos necessário serem controladas. Apresentamos depois às crianças um teste que meça o seu vocabulário, traduzindo-o em resultados, tal como é mostrado na tabela seguinte. Par de Situação A Situação B sujeitos (com aparelho) (sem aparelho) 3 4 3 1 5 2 3 4 1 3 5 5 2 5 4 5 5 4 5 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TOTAL 29 45 d (A-B) -2 -1 +1 -4 +1 -3 -2 0 -4 -2 Ordem de d 5(-) 2(-) 2(+) 8,5(-) 2(+) 7(-) 5(-) 8,5(-) 5(-) Ordem das Ordem das diferenças diferenças positivas negativas 5 2 2 8,5 2 7 5 8,5 5 4 41 RACIONAL O objectivo do teste dos sinais de Wilcoxon é comparar as performances de cada sujeito (ou pares de sujeitos) no sentido de verificar se existem diferenças significativas entre os seus resultados nas duas situações. Os resultados da Situação B são subtraídos dos da Situação A e à diferença resultante (d) é 38 ESTATÍSTICA II 2010 atribuído o sinal mais (+) ou, caso seja negativa, o sinal menos (-). Estas diferenças são ordenadas em função da sua grandeza (independentemente do sinal positivo ou negativo). O ordenamento assim obtido é depois apresentado separadamente para os resultados positivos e negativos. O menor dos valores dá-lhe o valor de uma “estatística” designada por W, que pode ser consultada na Tabela de significância apropriada. A ideia é que se existirem apenas diferenças aleatórias, tal como é postulado pela hipótese nula, então haverá aproximadamente o mesmo número de ordens elevadas e de ordens inferiores tanto para as diferenças positivas como negativas. Caso se verifique uma preponderância de baixos resultados para um dos lados, isso significa a existência de muitos resultados elevados para o outro lado, indicando uma diferença em favor de uma das situações, superior àquilo que seria de esperar se os resultados se devessem ao acaso. Dado que a estatística W reflecte o menor total de ordens, quanto menor for o W mais significativas serão as diferenças nas ordenações entre as duas situações. INSTRUÇÕES PASSO-A-PASSO PARA CALCULAR W Calcule a diferença d entre cada par de resultados, atribuindo o sinal mais ou menos. Veja a coluna d(A-B) Ordene as diferenças por ordem de grandeza desde a ordem inferior até à superior, ignorando os sinais positivos e negativos. Veja a coluna ordenamento de d Em separado, junte também a ordenação correspondente aos sinais diferentes (+ ou -). Veja os totais para ordenamentos de diferenças positivas e de diferenças negativas nas respectivas colunas Considere o menor dos totais das ordens como W. Valor observado de W=4, uma vez que o total das ordens para as diferenças positivas é o menor Conte o número de pares de sujeitos N (não considere as igualdades). N=10-1=9 Consulta da significância na tabela A tabela anexada (Anexo III) apresenta-lhe o nível de significância de w tanto para os testes unicaudais como bicaudais. Na coluna da esquerda encontra os valores de N. Uma vez que não efectuámos uma previsão da direcção (como por exemplo, que obteríamos melhores resultados no vocabulário de criança em jardim de infância) teremos de utilizar os níveis de significância para uma hipótese bicaudal. Seleccione o valor adequado N=9 e verifique ao longo dessa linha se o valor de W é significativo. Uma vez que se convencionou utilizar o menor valor das ordens, então o valor obtido de W terá de ser igual ou inferior ao valor crítico da Tabela. Como o valor obtido W=4 é inferior ao 39 ESTATÍSTICA II 2010 valor crítico de 6 para p<0,05 (bicaudal), pode rejeitar a hipótese nula e concluir que existe uma diferença significativa entre os resultados no vocabulário dos dois grupos de sujeitos emparelhados. Suponha que tinha efectuado uma previsão numa dada direcção, por exemplo, que as crianças que usam aparelho auditivo (Situação B) obtêm resultados mais elevados no teste de vocabulário. O valor obtido de W=4, é inferior a 6, que é o valor crítico de W para p<0,025 (hipótese unicaudal), uma probabilidade inferior e, consequentemente, mais significativa do que o nível de significância para uma hipótese bicaudal p<0,05. As estatísticas para K amostras relacionadas servem para comprovar a significância de diferenças entre três ou mais grupos, ou seja, para comparar a hipótese de nulidade de que K (3 ou mais) amostras tenham sido extraídas da mesma população ou de populações idênticas. As circunstâncias exigem, por vezes, o recurso a um experimento que nos permita estudar simultaneamente mais de duas amostras ou condições. Quando se trata de comparar três ou mais amostras ou condições de um experimento, é necessário aplicar uma prova estatística que indique se há alguma diferença global entre as K amostras ou condições, antes que possamos cogitar de comprovar a significância da diferença entre duas amostras quaisquer. Só quando uma prova global (prova de K amostras) nos autoriza a rejeitar a hipótese nula é que podemos empregar um processo para determinar diferenças significativas entre duas quaisquer das K amostras. Estas provas não-paramétricas têm a vantagem de permitir o estudo da significância de dados que, inerentemente, se apresentam apenas sob a forma classificativa ou em postos. Há dois planos básicos para comparar K grupos: No primeiro deles, as K amostras de igual tamanho são postas em correspondência de acordo com determinado(s) critério(s) que podem afectar os valores das observações. Nalguns casos, essa correspondência obtém-se comparando os mesmos indivíduos ou casos sob todas as K condições ou então cada um dos N grupos pode ser mensurado sob todas as K condições. Em tais planos, devem usar-se provas estatísticas para K amostras relacionadas; O segundo plano envolve K amostras aleatórias independentes (não necessariamente do mesmo tamanho), uma de cada população. Em tais casos, devemos usar as provas estatísticas para K amostras independentes. 40 ESTATÍSTICA II 2010 PROVA DE COCHRAN Quando utilizar A prova de McNemar para duas amostras pode ser estendida para aplicação a pesquisas que envolvem mais de duas amostras. Essa extensão, que constitui a prova Q de Cochran para K amostras relacionadas, proporciona um método para comparar se três ou mais conjuntos correspondentes de frequências ou proporções diferem entre si significativamente. A correspondência pode basear-se em características relevantes dos diferentes indivíduos ou no facto de os mesmos indivíduos serem observados sob condições diferentes. A prova Q de Cochran adapta-se especialmente ao caso em que os dados se apresentam numa escala nominal ou sob a forma de informação ordinal dicotomizada. Exemplo: Suponha que estamos interessados em saber se a atitude de um entrevistador influencia a aceitação de participação num estudo por inquérito. Poderemos treinar o entrevistador para efectuar as suas entrevistas de três maneiras diferentes: Demonstrando interesse, cordialidade, entusiasmo; Demonstrando formalismo, reserva e cortesia; Demonstrando modo abrupto, formalismo e aspereza. Exemplo: O entrevistador visitaria 3 grupos de 18 casas, aplicando o tipo 1 de entrevista a um grupo, o tipo 2 a outro grupo e o 3 ao terceiro grupo. Teríamos, assim, 18 conjuntos de potenciais inquiridos com três deles correspondendo em cada conjunto. Em cada conjunto atribuir-seiam aleatoriamente aos três membros as três condições (tipos de entrevista). Teríamos, então, 3 amostras relacionadas (correspond entes) com 18 elementos cada uma (N=18). Poderíamos, pois, comprovar se as diferenças fundamentais nos tipos de entrevista influenciariam o número de respostas afirmativas “sim” dadas para aceitação de participação pelos 3 grupos de correspondentes. Conjunto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Resposta à entrevista 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 Resposta à entrevista 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 Resposta à entrevista 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 Respostas “Sim” (1) e “Não” (2) dadas por donas de casa a três tipos de entrevistas Hipótese nula: A probabilidade de um “Sim” é a mesma para os três grupos de entrevistas. H1: As probabilidades de um “Sim” diferem conforme o tipo de entrevista. Prova estatística: Escolhe-se a prova Q de Cochran, porque os dados se referem a mais de dois grupos relacionados (K=3) e apresentam-se dicotomizados sob a forma “Sim” e “Não”. Nível de significância: p=0,01 N=18 41 ESTATÍSTICA II 2010 Decisão: Recodificámos “Sim” por 1 e “Não” por 0. Conjunto Resposta à entrevista 1 Resposta à entrevista 2 Resposta à entrevista 3 Li Li2 (soma em linha) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 1 2 2 1 1 0 3 3 2 2 2 3 2 2 0 4 1 0 1 4 4 1 1 0 9 9 4 4 4 9 4 4 Total G1=13 G2=13 G3=3 Li=29 Li2=63 Li=número total de respostas “Sim” para cada linha K=número de colunas Número de linhas Substituindo estes valores na fórmula, vem: Em que K= n.º de grupos Gj= n.º total de sucessos A Tabela (Anexo I) indica que Q 16,7 tem uma probabilidade de ocorrência, sob H0, p < 0,001, quando gl=K-1=3-1=2. Essa probabilidade é inferior ao nível de significância de p=0,01. O valor de Q está na região de rejeição e, consequentemente, a nossa decisão é rejeitar H0 em favor de H1, concluindo que o número de respostas “Sim” difere significativamente em relação aos tipos 1, 2 e 3 de entrevista. 42 ESTATÍSTICA II 2010 Racional Se os dados de uma pesquisa se dispõem numa tabela de dupla entrada com N linhas e K colunas, é possível testar a hipótese de nulidade de que a proporção ou frequência de respostas de determinado tipo seja a mesma em cada coluna, exceptuando as diferenças devidas ao acaso. Cochran mostrou que se a hipótese de nulidade é verdadeira, isto é, se não há diferença na probabilidade, digamos de “Sucesso” sob cada condição (o que equivale a dizer que os “Sucessos” ou “Fracassos” se distribuem aleatoriamente pelas linhas e colunas da tabela de dupla entrada), então, se o número de linhas é muito pequeno tem distribuição aproximadamente Qui-quadrado com gl=K-1, em que: Gj=número total de “Sucessos” na coluna j G=média dos Gj Li=número total de “sucessos” na linha i Uma expressão equivalente à fórmula anterior, e facilmente dedutível dela, mas que simplifica os cálculos é: Instruções passo-a-passo para calcular Q Para dados dicotomizados, atribuir a pontuação “1” a cada “Sucesso” e “0” a cada “Falha”. Dispor os dados numa tabela K.N, com K colunas e N linhas (Número de condições em cada um dos grupos). Determinar o valor de Q, aplicando a fórmula. A significância do valor observado de Q pode ser determinada mediante a observação do Anexo I, pois Q recorre à distribuição do Qui-quadrado com gl=K-1. Se a probabilidade associada à ocorrência, sob H0, de um valor tão grande quanto um valor observado de Q não supere p, rejeita-se H0. 43 ESTATÍSTICA II 2010 TESTE DE FRIEDMAN Quando utilizar Este teste pode ser considerado uma extensão do teste de Wilcoxon, quando é necessário utilizar três ou mais situações experimentais. Deve ser utilizado para um design relacionado quando os mesmos sujeitos (ou sujeitos emparelhados) são distribuídos por três ou mais situações experimentais. Exemplo: Suponha que um editor de livros de estatística produziu uma série de livros e quer escolher de entre três tipos de ilustrações, aquele que é mais eficaz para os estudantes. É pedido a oito universitários que classifiquem as obras numa escala de cinco pontos, desde “nada boa” até “muito boa”. Obtiveram-se os resultados apresentados na tabela seguinte. Sujeitos 1 2 3 4 5 6 7 8 TOTAL MÉDIA Situação 1 (Ilustração A) Resulta. 2 1 3 3 2 1 5 1 18 2,25 Ordem 1 1 1 2 1 1 3 1 11 Situação 2 (Ilustração B) Resulta. 5 5 5 5 3 4 3 4 34 4,25 Ordem 3 3 2,5 3 2 2,5 2 3 21 Situação 3 (Ilustração C) Resulta. 4 3 5 2 5 4 2 3 28 3,50 Ordem 2 2 2,5 1 3 2,5 1 2 16 Racional Uma vez que se trata de um design relacionado no qual o mesmo sujeito obtém resultados em todas as situações, é permitido comparar os resultados de cada sujeito através de todas as situações, no sentido de verificarmos em que situação obtém maiores e menores resultados. Uma vez que existem mais do que duas situações, não é possível calcular as diferenças nos resultados de duas situações, como era o caso do teste de Wilcoxon. Pelo contrário, o ordenamento dos resultados de cada sujeito para as três condições será feita horizontalmente ao longo das linhas, tal como mostra a tabela. Por exemplo, aos resultados do sujeito 1, respectivamente 2 na Situação 1, 5 na Situação 2 e 4 na Situação 3, são atribuídas três ordens, do menor resultado para o maior: Ordem 1 para a Situação 1, Ordem 2 para a Situação 3 e Ordem 3 para a Situação 2; este procedimento é 44 ESTATÍSTICA II 2010 semelhante para todos os sujeitos. Claro que se existissem quatro situações experimentais, os resultados de cada sujeito seriam ordenados de 1 a 4. O próximo passo é calcular os totais de ordens para cada situação. Se existirem apenas diferenças aleatórias entre os resultados de todas as situações, como é postulado pela hipótese nula, é de esperar que estes totais sejam aproximadamente iguais partindo do princípio de que surgiriam algumas ordens baixas (baixos resultados) e algumas ordens altas (altos resultados). Contudo, se as situações forem significativamente diferentes, é de esperar que se obtenham totais das ordens significativamente diferentes, com algumas situações a terem uma preponderância de ordens baixas e outras, uma preponderância de ordens altas. O tamanho das diferenças entre os totais das ordens é-nos dado por uma estatística designada por Xr2. Se o valor de Xr2 for igual ou superior aos valores críticos das Tabelas C e D (Anexo V), isso implica que as diferenças nos totais das ordens são suficientemente grandes para que se possam considerar significativas. Instruções passo-a-passo para calcular w Ordene os resultados de cada sujeito em separado, ao longo de cada linha, atribuindo a Ordem 1 ao menor resultado e por aí adiante. (Veja as colunas das Ordens na tabela. Note que a ordem para cada linha de resultados corresponde às ordens 1,2 e 3, dado existirem três situações) Calcule o total das ordens para cada situação. Calcule o valor de XR2 ou Fr a partir da fórmula k 12 Fr R 2j 3N (k 1 Nk (k 1) j 1 ou em que C=número de situações Número de sujeitos C=3 N=8 Tc=total de ordens para cada situação T1=11;T2=21;T3=16 Tc2=quadrado do total de ordens para cada situação T12=112;T22=212; T32=162 Tc =soma dos quadrados dos totais das ordens para cada situação: 11 2+212+162 2 45 ESTATÍSTICA II 2010 Cálculo de XR2 Calcule os graus de liberdade, ou seja, o número de situações menos uma. (gl = C – 1 = 3 – 1 = 2) Consulta da significância na tabela Existem duas tabelas para consultar os valores críticos de Xr 2. Uma delas, a Tabela C (Anexo V), é utilizada quando o número de situações e de sujeitos é pequeno. A Tabela C (1) apresenta os valores de Xr2 para três situações quando N (número de sujeitos) se situa entre 2 e 9. A Tabela C (2) apresenta os valores de Xr2 para quatro situações quando N (número de sujeitos) é de 2, 3 ou 4. A Tabela D (Anexo V) é a tabela de distribuição do Qui-quadrado; pode utilizá-la quando a amostra de sujeitos for superior às das Tabelas C (1) e C (2), uma vez que o Xr 2 tem uma distribuição semelhante à do Quiquadrado. A Tabela que deve utilizar para consultar o valor de Xr2, no caso desta experiência, é a Tabela C (1), uma vez que se trata de 8 sujeitos expostos a 3 situações experimentais. Aquilo que temos de fazer é encontrar a coluna apropriada para N (número de sujeitos ou pares de sujeitos emparelhados) e descobrir na coluna p a probabilidade mais próxima que seja inferior aos níveis de significância convencionais. Consultando as probabilidades para N=8, o valor obtido de Xr 2=6,25 é equivalente a uma probabilidade de p<0,047, que é inferior aos níveis de significância convencionais (p<0,05=). Para considerarmos o nível de significância de p<0,01 o nosso valor de Xr 2 teria de ser 9,00, dado que p<0,009 é inferior a p<0,01. Se o valor de Xr2 não for apresentado na Tabela, deverá considerar o valor seguinte mais próximo quando consulta as probabilidades. Por exemplo, se o valor de Xr 2 for 5,95 terá de considerar a probabilidade apresentada para 5,25, ou seja, p<0,079, que é superior a p<0,05 e, consequentemente, não significativa. Para consultar os valores da Tabela C (2) deverá proceder tal como para a Tabela C (1). Se tiver mais situações e/ou sujeitos e tiver de consultar a Tabela D, aquilo que tem a fazer é localizar os valores dos graus de liberdade ao longo da coluna da esquerda (no nosso exemplo, gl=2, ou seja, número de situações-1). Depois siga ao longo da linha de probabilidades até que encontre um dos níveis de significância convencionais. O valor que obtivemos de Xr 2=6,25 é superior ao valor crítico de 5,99 apresentado na Tabela do Qui-quadrado, pelo que podemos aceitar que os nossos resultados 46 ESTATÍSTICA II 2010 são significativos ao nível de significância de p<0,05. Apesar disso, e dado que o nosso valor de Xr 2 é inferior ao valor crítico de 9,21 para p<0,01, não podemos rejeitar a hipótese nula a este nível de significância. A partir da análise estatística da experiência pode concluir que as crianças mostram preferências significativamente diferentes pelos três tipos de ilustrações. Em função das médias apresentadas na tabela, sabemos que preferem a Ilustração B, que recolheu as ordens mais elevadas, seguindo-se a Ilustração C e, por último, a Ilustração A. Contudo, o teste de Friedman pode apenas indicar que existem diferenças globais entre as situações. Para verificar se existe uma tendência para uma determinada ordem de preferência das Ilustrações, necessita de utilizar um teste de tendência. MEDIDAS DE CORRELAÇÃ O E SUAS PROVAS DE SIGNIFICÂNCIA Frequentemente, o investigador quer saber se dois resultados estão relacionados e qual o grau desse relacionamento. Apresentam-se medidas não-paramétricas de correlação e de provas estatísticas para determinar a probabilidade associada à ocorrência de uma correlação tão grande quanto a observada na amostra, sob a hipótese de nulidade de que as variáveis sejam não-relacionadas na população. Mas é de muito maior interesse poder afirmar se determinada associação observada numa amostra indica, ou não, a probabilidade de associação entre as variáveis na população da qual se extraiu a amostra. O coeficiente de correlação, por si só, representa o grau de associação. As provas de significância sobre aquele coeficiente determinam, a um certo nível de probabilidade, se existe a associação na população da qual se extraiu a amostra que serviu de base para o cálculo do coeficiente. Interpretação: O coeficiente de correlação obtido pode se interpretado com base em: Para Cardoso: r 0,2 Correlação muito baixa (valores desprezíveis) 0,2 < r 0,5 Correlação baixa 0,5 < r 0,7 Valores significativos 0,7 < r 0,9 Alta correlação 0,9 < r 1 Muito alta correlação 47 ESTATÍSTICA II 2010 Para Borg: 0,20 < r 0,35 Ligeira relação entre as variáveis, embora já possam ser estatisticamente significativas 0,35 < r 0,65 Correlação estatisticamente significativa para além do nível de 1% 0,65 < r 0,85 Correlações que tornam possíveis predições do grupo de que são dignas r > 0,85 Íntima relação entre as variáveis correlacionadas Para Bryman e Cramer (1995), citando Cohen e Holliday (1982) se Eta, r, rho, phi: 0,2 Correlação muito fraca e sem significância 0,2 < r 0,39 Correlação fraca 0,4 < r 0,69 Correlação moderada 0,7 < r 0,89 Correlação forte 0,9 < r 1 Correlação muito elevada Coeficiente de correlação dá-nos: A direcção que é indicada pelo sinal + ou A intensidade ou força que é dada pelo valor que varia entre -1 e 1. Se a correlação for zero não existe correlação entre as variáveis (exemplo: cor dos olhos e inteligência). COEFICIENTE DE CORRE LAÇÃO RHO DE SPEARMAN-RANK Condições de utilização Este tipo de coeficiente de correlação utiliza-se quando temos: Teste não paramétrico (semelhante a uma distribuição livre), isto é, não coloca restrições quanto à forma da distribuição; Escala de medida no mínimo ordinal. Pode acontecer que os caracteres estudados não sejam mensuráveis, mas podem ser ordenados ou classificados. Por exemplo, quando se considera um grupo de candidatos a um certo lugar, eles podem 48 ESTATÍSTICA II 2010 ser examinados segundo dois pontos de vista: conhecimentos e personalidade. Estas duas qualidades não podem ser medidas, mas é possível para cada uma delas efectuar uma classificação dos candidatos. Podemos, assim, examinar se existe correlação entre estes dois caracteres; cada par de dados (xi, yi) é formado pelas ordens ocupadas por um candidato nas duas classificações. Em que: di= diferença entre as posições nas duas variáveis, isto é, di=xi-yi Para tal, temos que dar valores às posições: à pontuação mais baixa damos o valor 1 e assim sucessivamente. Quando os valores são iguais é a média dessas duas posições. Então, -1 1 Se as duas classificações são iguais, di é sempre zero e então r=1 e a correlação é perfeita. Se as ordens mais altas de uma classe estão associadas às mais baixas da outra r torna-se negativo e se as duas classificações são inversas =-1. Exemplo: Calcule , sabendo que: xi 18 17 14 yi 24 27 17 xi 18 17 14 13 13 12 11 9 7 5 posição 1 2 3 4,5 4,5 6 7 8 9 10 13 22 yi 24 27 17 22 19 20 14 11 3 6 13 19 12 20 posição 2 1 6 3 5 4 7 8 10 9 11 14 di -1 1 -3 1,5 -0,5 2 0 0 -1 1 9 11 7 3 5 6 di2 1 1 9 2,25 0,25 4 0 0 1 1 =19,5 49 ESTATÍSTICA II 2010 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS NO SPSS Mais especificamente, veremos como realizar os testes: • Teste de Mann-Whitney U para comparar duas amostras independentes; • Teste de Wilcoxon para comparar duas amostras relacionadas; • Teste de Kruskal-Wallis H para comparar duas ou mais amostras independentes; Às vezes não podemos assumir normalidade e, outras vezes os dados que dispomos não nos permite calcular a média (e.g. quando os dados são ordinais). Os Métodos Não Paramétricos são aplicáveis em tais situações. Em particular, nós os usaremos principalmente quando não pudermos afirmar que a nossa amostra foi retirada de uma população normal. Como regra geral, recomenda-se o uso de um teste paramétrico ao invés de um não paramétrico, uma vez que os testes paramétricos tendem a discriminar mais e a ser mais poderosos. Entretanto, os não paramétricos devem ser usados quando os dados não respeitam as premissas básicas que embaçam os procedimentos estatísticos (e.g. normalidade ou homogeneidade de variâncias). O TESTE DE MANN-WHITNEY O teste de Mann-Whitney é a alternativa mais comum ao teste t para amostras independentes. Pode se utilizar este teste para testar a hipótese nula que afirma que as médias populacionais são as mesmas para os dois grupos. Este teste não exige que as populações tenham a mesma variância. Para fins ilustrativos, usaremos o seguinte exemplo: Um grupo 5 de ratos foi treinado para imitar o rato líder em um labirinto a procura de alimento e outro grupo de 4 ratos (controle) foi submetido a mesma situação, porém sem 50 ESTATÍSTICA II 2010 treinamento prévio. O número de tentativas é o critério de comparação entre os grupos. Existe diferença entre os dois grupos. Treinados 78 64 75 45 82 Não treinados 110 70 53 51 No SPSS... Figura 1: Entrada dos dados no programa. Em todo software estatístico, as colunas representam variáveis. No exemplo em questão, temos apenas uma variável (nº tentativas dos ratos), então digitaremos os dados numa coluna apenas. Criaremos uma segunda variável, “ensinado”, para discriminar a origem dos dados (amostra pertencente). 51 ESTATÍSTICA II 2010 Feito isso, para realizar o teste, devemos clicar em: ANALYSE/ NONPARAMETR IS TESTS/ 2 INDEPENDENT SAMPLES... Como consequência, surgirá a seguinte caixa de diálogo: Figura 2: Caixa de diálogo referente ao teste de Mann-Whitney. 52 ESTATÍSTICA II 2010 Devemos clicar em Define Groups... Após clicar em Continue e em Ok MANN-WHITNEY TEST 53 ESTATÍSTICA II 2010 Ao observar a tabela acima, vemos que a estatística teste Mann-Whitney U = 9,000 tem uma significância (P-valor) de 0,806. Assim, concluímos que não há evidência estatística de diferença entre os grupos de ratos. 54 ESTATÍSTICA II 2010 O TESTE DE WILCOXON: Este teste é a versão não paramétrica do teste t para amostras emparelhadas. Em particular, nós usamos este teste quando temos medições repetidas de uma amostra, mas a população original não tem necessariamente o formato de uma Normal. Como o teste U de Mann-Whitney, o teste de Wilcoxon pode ser usado com dados ordinais, intervalares ou proporcionais. Os dados para esse teste consistem dos diferentes registos das medições repetidas. Essas diferenças são então classificadas da menor para a maior em valores absolutos (sem considerar o sinal). Se existir uma diferença real entre as duas medições, ou tratamentos, então os diferentes registos serão consistentemente positivos ou negativos. Por outro lado, se não houver diferença entre os tratamentos, então os diferentes registos serão misturados regularmente. A hipótese nula é que a diferença entre os registos não é sistemática e, deste modo, não existe diferença entre os tratamentos. Como ilustração, usaremos o exemplo: Um fabricante de cigarros afirma que o conteúdo de nicotina dos cigarros Y é menor do que o dos cigarros X. Um laboratório fez as seguintes determinações do conteúdo de nicotina (em miligramas) das duas marcas: X: 1,0, 1,3, 1,5, 1,1, 1,6 Y: 0,8, 1,2, 1,4, 0,9, 1,0 Concorda com a afirmação do fabricante? Por quê? 55 ESTATÍSTICA II 2010 No SPSS... CLICAR EM ANALYSE/ NONPARAMETRIS TESTS/ 2 RELATED SAMPLES... Clicando em OK... WILCOXON SIGNED RANK S TEST 56 ESTATÍSTICA II 2010 A estatística teste de Wilcoxon, convertida num score z = -2,041 tem uma significância (Pvalor) de 0,041. Assim, concluímos que os grupos são estatisticamente diferentes. TESTE H DE KRUSKAL-WALLIS: O teste H de Kruskal-Wallis é a versão não-paramétrica para medições da ANOVA de um factor independente. Nós usamos esse teste quando temos mais de duas amostras independentes e podemos assumir que elas são de populações com o mesmo formato, não necessariamente Normal. O teste H de Kruskal-Wallis pode ser usado com dados ordinais, intervalares ou proporcionais. Como o teste U de Mann-Whitney, o teste H de Kruskal-Wallis classifica todos os resultados observados. Se existirem diferenças entre os grupos, então os resultados das várias amostras serão sistematicamente agrupados (cluster) em ordem de classificação. Alternativamente, se não existirem diferenças entre os grupos, os resultados serão misturados com toda a ordem de classificação. A hipótese nula estabelece que mão há diferença entre os grupos, logo os resultados não irão se agrupar sistematicamente. Exemplo: Considerem os dados abaixo para estudar a hipótese da igualdade das médias do aumento dos pesos dos porcos alimentados com as rações A, B e C. Use α = 0,01. A: 3 1 5 2 4 B: 8 7 10 6 9 C: 14 13 12 11 57 ESTATÍSTICA II 2010 >ANALYSE > NONPARAME TRIC TESTS >K INDEPE NDENT SAMPLES... >Clique em “Define Range” (definir variação).... A próxima caixa de diálogo nos leva a designar valores máximo e mínimo para a variável agrupada. No nosso arquivo de dados, os grupos foram rotulados de 1 a 3. Clicando em Continue e em OK... 58 ESTATÍSTICA II 2010 KRUSKAL-WALLIS TEST A estatística teste de Kruskal-Wallis (Qui-quadrado) é igual a 11,571 com significância de 0,003. Assim, concluímos que há evidência estatística de aumento de peso devido ao tipo de ração. 59 ESTATÍSTICA II 2010 ANEXOS 60 ESTATÍSTICA II 2010 ANEXO I Tabela do Quiquadrado (x2):Valores críticos gl 0,995 0,99 0,975 0,95 0,9 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 1 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879 2 0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597 3 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838 4 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860 5 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 9,236 11,070 12,832 15,086 16,750 6 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548 7 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278 8 1,344 1,647 2,180 2,733 3,490 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955 9 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589 10 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188 11 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757 12 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 18,549 21,026 23,337 26,217 28,300 13 3,565 4,107 5,009 5,892 7,041 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819 14 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319 15 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801 16 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267 17 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718 18 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 25,989 28,869 31,526 34,805 37,156 19 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582 20 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997 21 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401 22 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796 23 9,260 10,196 11,689 13,091 14,848 32,007 35,172 38,076 41,638 44,181 24 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 33,196 36,415 39,364 42,980 45,558 25 10,520 11,524 13,120 14,611 16,473 34,382 37,652 40,646 44,314 46,928 26 11,160 12,198 13,844 15,379 17,292 35,563 38,885 41,923 45,642 48,290 27 11,808 12,878 14,573 16,151 18,114 36,741 40,113 43,195 46,963 49,645 28 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 37,916 41,337 44,461 48,278 50,994 29 13,121 14,256 16,047 17,708 19,768 39,087 42,557 45,722 49,588 52,335 30 13,787 14,953 16,791 18,493 20,599 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672 31 14,458 15,655 17,539 19,281 21,434 41,422 44,985 48,232 52,191 55,002 32 15,134 16,362 18,291 20,072 22,271 42,585 46,194 49,480 53,486 56,328 33 15,815 17,073 19,047 20,867 23,110 43,745 47,400 50,725 54,775 57,648 34 16,501 17,789 19,806 21,664 23,952 44,903 48,602 51,966 56,061 58,964 35 17,192 18,509 20,569 22,465 24,797 46,059 49,802 53,203 57,342 60,275 36 17,887 19,233 21,336 23,269 25,643 47,212 50,998 54,437 58,619 61,581 37 18,586 19,960 22,106 24,075 26,492 48,363 52,192 55,668 59,893 62,883 38 19,289 20,691 22,878 24,884 27,343 49,513 53,384 56,895 61,162 64,181 39 19,996 21,426 23,654 25,695 28,196 50,660 54,572 58,120 62,428 65,475 40 20,707 22,164 24,433 26,509 29,051 51,805 55,758 59,342 63,691 66,766 61 ESTATÍSTICA II 2010 ANEXO II Tabela de U para 0,05 This table gives critical values of U. Decide on n 2, the number of data belonging to the majority group, and n1, the number of data belonging to the minority group. n 1 and n2 may be the same. Look up the corresponding critical value of U. E.g., for n2=6 and n1=3, the critical value is 2. If the calculated value of U is equal to or less than this value, then the majority group and the minority group are significantly different. Thus in the example given above, the value of U=2 for n 2=6 and n1=3, and the two groups are significantly different from one another. n2 n1 3 4 5 6 7 8 3 0 0 1 2 2 3 1 2 3 4 5 4 5 6 8 7 8 10 11 13 4 5 6 7 8 15 Note: The table gives critical values for rejecting, as having a probability of 0.05 or less, the null hypotheses that the average values of the majority group and the minority group are the same. 62 ESTATÍSTICA II 2010 Tabela Z z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 z 0,00000 0,00399 0,00798 0,01197 0,01595 0,01994 0,02392 0,02790 0,03188 0,03586 0,03983 0,04380 0,04776 0,05172 0,05567 0,05962 0,06356 0,06749 0,07142 0,07535 0,07926 0,08317 0,08706 0,09095 0,09483 0,09871 0,10257 0,10642 0,11026 0,11409 0,11791 0,12172 0,12552 0,12930 0,13307 0,13683 0,14058 0,14431 0,14803 0,15173 0,15542 0,15910 0,16276 0,16640 0,17003 0,17364 0,17724 0,18082 0,18439 0,18793 0,19146 0,19497 0,19847 0,20194 0,20540 0,20884 0,21226 0,21566 0,21904 0,22240 0,22575 0,22907 0,23237 0,23565 0,23891 0,24215 0,24537 0,24857 0,25175 0,25490 0,25804 0,26115 0,26424 0,26730 0,27035 0,27337 0,27637 0,27935 0,28230 0,28524 0,28814 0,29103 0,29389 0,29673 0,29955 0,30234 0,30511 0,30785 0,31057 0,31327 0,31594 0,31859 0,32121 0,32381 0,32639 0,32894 0,33147 0,33398 0,33646 0,33891 0,34134 0,34375 0,34614 0,34849 0,35083 0,35314 0,35543 0,35769 0,35993 0,36214 0,36433 0,36650 0,36864 0,37076 0,37286 0,37493 0,37698 0,37900 0,38100 0,38298 0,38493 0,38686 0,38877 0,39065 0,39251 0,39435 0,39617 0,39796 0,39973 0,40147 0,40320 0,40490 0,40658 0,40824 0,40988 0,41149 0,41308 0,41466 0,41621 0,41774 0,41924 0,42073 0,42220 0,42364 0,42507 0,42647 0,42785 0,42922 0,43056 0,43189 0,43319 0,43448 0,43574 0,43699 0,43822 0,43943 0,44062 0,44179 0,44295 0,44408 0,44520 0,44630 0,44738 0,44845 0,44950 0,45053 0,45154 0,45254 0,45352 0,45449 0,45543 0,45637 0,45728 0,45818 0,45907 0,45994 0,46080 0,46164 0,46246 0,46327 0,46407 0,46485 0,46562 0,46638 0,46712 0,46784 0,46856 0,46926 0,46995 0,47062 0,47128 0,47193 0,47257 0,47320 0,47381 0,47441 0,47500 0,47558 0,47615 0,47670 0,47725 0,47778 0,47831 0,47882 0,47932 0,47982 0,48030 0,48077 0,48124 0,48169 0,48214 0,48257 0,48300 0,48341 0,48382 0,48422 0,48461 0,48500 0,48537 0,48574 0,48610 0,48645 0,48679 0,48713 0,48745 0,48778 0,48809 0,48840 0,48870 0,48899 0,48928 0,48956 0,48983 0,49010 0,49036 0,49061 0,49086 0,49111 0,49134 0,49158 0,49180 0,49202 0,49224 0,49245 0,49266 0,49286 0,49305 0,49324 0,49343 0,49361 0,49379 0,49396 0,49413 0,49430 0,49446 0,49461 0,49477 0,49492 0,49506 0,49520 0,49534 0,49547 0,49560 0,49573 0,49585 0,49598 0,49609 0,49621 0,49632 0,49643 0,49653 0,49664 0,49674 0,49683 0,49693 0,49702 0,49711 0,49720 0,49728 0,49736 0,49744 0,49752 0,49760 0,49767 0,49774 0,49781 0,49788 0,49795 0,49801 0,49807 0,49813 0,49819 0,49825 0,49831 0,49836 0,49841 0,49846 0,49851 0,49856 0,49861 0,49865 0,49869 0,49874 0,49878 0,49882 0,49886 0,49889 0,49893 0,49896 0,49900 0,49903 0,49906 0,49910 0,49913 0,49916 0,49918 0,49921 0,49924 0,49926 0,49929 0,49931 0,49934 0,49936 0,49938 0,49940 0,49942 0,49944 0,49946 0,49948 0,49950 0,49952 0,49953 0,49955 0,49957 0,49958 0,49960 0,49961 0,49962 0,49964 0,49965 0,49966 0,49968 0,49969 0,49970 0,49971 0,49972 0,49973 0,49974 0,49975 0,49976 0,49977 0,49978 0,49978 0,49979 0,49980 0,49981 0,49981 0,49982 0,49983 0,49983 0,49984 0,49985 0,49985 0,49986 0,49986 0,49987 0,49987 0,49988 0,49988 0,49989 0,49989 0,49990 0,49990 0,49990 0,49991 0,49991 0,49992 0,49992 0,49992 0,49992 0,49993 0,49993 0,49994 0,49994 0,49994 0,49994 0,49995 0,49995 0,49995 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,49993 >0,49995 0,00 etc ... 0,01 Tabela da Distribuição Normal Padrão 63 ESTATÍSTICA II 2010 P(Z<z) z 0,0 0,0 0,5000 0,1 0,5398 0,2 0,5793 0,3 0,6179 0,4 0,6554 0,5 0,6915 0,6 0,7257 0,7 0,7580 0,8 0,7881 0,9 0,8159 1,0 0,8413 1,1 0,8643 1,2 0,8849 1,3 0,9032 1,4 0,9192 1,5 0,9332 1,6 0,9452 1,7 0,9554 1,8 0,9641 1,9 0,9713 2,0 0,9772 2,1 0,9821 2,2 0,9861 2,3 0,9893 2,4 0,9918 2,5 0,9938 2,6 0,9953 2,7 0,9965 2,8 0,9974 2,9 0,9981 3,0 0,9987 3,1 0,9990 3,2 0,9993 3,3 0,9995 3,4 0,9997 3,5 0,9998 3,6 0,9998 3,7 0,9999 3,8 0,9999 3,9 1,0000 P(Z<z) 0,01 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719 0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920 0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982 0,9987 0,9991 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000 0,02 0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726 0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922 0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982 0,9987 0,9991 0,9994 0,9995 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 0,03 0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238 0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236 0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732 0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925 0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983 0,9988 0,9991 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 0,04 0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264 0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738 0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927 0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984 0,9988 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 0,05 0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289 0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929 0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 0,06 0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750 0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931 0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 0,07 0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340 0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756 0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932 0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985 0,9989 0,9992 0,9995 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 0,08 0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844 0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365 0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306 0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761 0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934 0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986 0,9990 0,9993 0,9995 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 0,09 0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879 0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389 0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319 0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767 0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936 0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 64 ESTATÍSTICA II z 0,0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 -0,8 -0,9 -1,0 -1,1 -1,2 -1,3 -1,4 -1,5 -1,6 -1,7 -1,8 -1,9 -2,0 -2,1 -2,2 -2,3 -2,4 -2,5 -2,6 -2,7 -2,8 -2,9 -3,0 -3,1 -3,2 -3,3 -3,4 -3,5 -3,6 -3,7 -3,8 -3,9 0,0 0,5000 0,4602 0,4207 0,3821 0,3446 0,3085 0,2743 0,2420 0,2119 0,1841 0,1587 0,1357 0,1151 0,0968 0,0808 0,0668 0,0548 0,0446 0,0359 0,0287 0,0228 0,0179 0,0139 0,0107 0,0082 0,0062 0,0047 0,0035 0,0026 0,0019 0,0013 0,0010 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0000 0,01 0,4960 0,4562 0,4168 0,3783 0,3409 0,3050 0,2709 0,2389 0,2090 0,1814 0,1562 0,1335 0,1131 0,0951 0,0793 0,0655 0,0537 0,0436 0,0351 0,0281 0,0222 0,0174 0,0136 0,0104 0,0080 0,0060 0,0045 0,0034 0,0025 0,0018 0,0013 0,0009 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0000 0,02 0,4920 0,4522 0,4129 0,3745 0,3372 0,3015 0,2676 0,2358 0,2061 0,1788 0,1539 0,1314 0,1112 0,0934 0,0778 0,0643 0,0526 0,0427 0,0344 0,0274 0,0217 0,0170 0,0132 0,0102 0,0078 0,0059 0,0044 0,0033 0,0024 0,0018 0,0013 0,0009 0,0006 0,0005 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 2010 0,03 0,4880 0,4483 0,4090 0,3707 0,3336 0,2981 0,2643 0,2327 0,2033 0,1762 0,1515 0,1292 0,1093 0,0918 0,0764 0,0630 0,0516 0,0418 0,0336 0,0268 0,0212 0,0166 0,0129 0,0099 0,0075 0,0057 0,0043 0,0032 0,0023 0,0017 0,0012 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,04 0,4840 0,4443 0,4052 0,3669 0,3300 0,2946 0,2611 0,2296 0,2005 0,1736 0,1492 0,1271 0,1075 0,0901 0,0749 0,0618 0,0505 0,0409 0,0329 0,0262 0,0207 0,0162 0,0125 0,0096 0,0073 0,0055 0,0041 0,0031 0,0023 0,0016 0,0012 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,05 0,4801 0,4404 0,4013 0,3632 0,3264 0,2912 0,2578 0,2266 0,1977 0,1711 0,1469 0,1251 0,1056 0,0885 0,0735 0,0606 0,0495 0,0401 0,0322 0,0256 0,0202 0,0158 0,0122 0,0094 0,0071 0,0054 0,0040 0,0030 0,0022 0,0016 0,0011 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,06 0,4761 0,4364 0,3974 0,3594 0,3228 0,2877 0,2546 0,2236 0,1949 0,1685 0,1446 0,1230 0,1038 0,0869 0,0721 0,0594 0,0485 0,0392 0,0314 0,0250 0,0197 0,0154 0,0119 0,0091 0,0069 0,0052 0,0039 0,0029 0,0021 0,0015 0,0011 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,07 0,4721 0,4325 0,3936 0,3557 0,3192 0,2843 0,2514 0,2206 0,1922 0,1660 0,1423 0,1210 0,1020 0,0853 0,0708 0,0582 0,0475 0,0384 0,0307 0,0244 0,0192 0,0150 0,0116 0,0089 0,0068 0,0051 0,0038 0,0028 0,0021 0,0015 0,0011 0,0008 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,08 0,4681 0,4286 0,3897 0,3520 0,3156 0,2810 0,2483 0,2177 0,1894 0,1635 0,1401 0,1190 0,1003 0,0838 0,0694 0,0571 0,0465 0,0375 0,0301 0,0239 0,0188 0,0146 0,0113 0,0087 0,0066 0,0049 0,0037 0,0027 0,0020 0,0014 0,0010 0,0007 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,09 0,4641 0,4247 0,3859 0,3483 0,3121 0,2776 0,2451 0,2148 0,1867 0,1611 0,1379 0,1170 0,0985 0,0823 0,0681 0,0559 0,0455 0,0367 0,0294 0,0233 0,0183 0,0143 0,0110 0,0084 0,0064 0,0048 0,0036 0,0026 0,0019 0,0014 0,0010 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 65 ESTATÍSTICA II 2010 ANEXO III Tabela de Wilcoxon Valores críticos: TABLE: WILCOXON SIGNED RANK TEST (CI % = 95%) Critical values: Wilcoxon Signed-Ranks Test Critical values Number (n) 2 sided 1 sided 6 0 2 7 2 3 8 3 5 9 5 8 10 8 10 11 10 13 12 13 17 13 17 21 14 21 25 15 25 30 16 29 35 17 34 41 18 40 47 19 46 53 20 52 60 21 58 67 22 65 75 23 73 83 24 81 91 25 89 100 Critical values: Wilcoxon Signed-Ranks test p=0.05 (CI% = 95%). Significant, if the calculated values presented in this table [the sum of the positive ranks or the negative ranks] is too small. 66 ESTATÍSTICA II 2010 ANEXO IV Tabela H Null Hypothesis Ho: Populations are identical versus Alternative Hypothesis vs. Ha: At least one pair of populations is different (Right-Tailed) Procedure Step 1 Rank all the data from smallest to largest (imagine they all are in one sample). Tied scores are assigned the rank equal to the mean of the rank positions that they normally occupy. Step 2 Calculate the rank sums of each sample Step 3 Calculate H Step 4: If the sample sizes are 5 or more then H is a 2 distribution with degrees of freedom (k 1). For a chi-squared distribution, the following table is needed: Chi-Squared Table Step 5 Compare H (found in step 3) with the number found in step 4 67 ESTATÍSTICA II 2010 ANEXO V Tabelas A a D (Tabelas de Friedman) Testa a hipótese de que vários grupos relacionados têm, todos, a mesma distribuição – é uma alternativa par a análise de variância com duas classificações. Aplicar este teste se possuir poucos dados amostrais e/ou as pressuposições, exigidas pela análise de variância, estiverem seriamente comprometidas. Exigência: as observações precisam ser medidas pelo menos em escala ordinal. k 12 Fr R 2j 3N (k 1) Nk (k 1) j 1 Valores Críticos para a análise de variância por número de ordem de Friedman* k 3 4 5 N 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0.10 6.00 6.00 5.20 5.33 5.43 5.25 5.56 5.00 4.91 5.17 4.77 0.05 0.01 ∞ 2 3 4 5 6 7 8 4.61 6.00 6.60 6.30 6.36 6.40 6.26 6.30 5.99 6.00 7.40 4.80 7.80 7.60 7.80 7.50 8.60 9.60 9.96 10.00 10.37 10.35 ∞ 3 4 5 6.25 7.47 7.60 7.68 7.82 8.53 8.80 8.96 11.34 10.13 11.00 11.52 ∞ 7.78 9.49 13.28 6.00 6.50 6.40 7.00 7.14 6.25 6.22 6.20 6.54 6.17 6.00 8.00 8.40 9.00 8.86 9.00 8.67 9.60 8.91 8.67 9.39 9.21 * Adaptado de Siegel, S. e Castellan Jr., N. J. Nonparametric statistics for the Behavioral Sciences, McGraw-Hill, 1988 68 ESTATÍSTICA II 2010 RHO DE SPEARMAN There are several kinds of correlation coefficient. The Spearman rank correlation coefficient demonstrated here, can safely be used with any kind of data that can be arranged in a sequence (i.e. can be ranked). The first three columns contain 'raw' data. In the example, column 1 is species names, the second column is the abundance of each species in sample 1, and column three is the abundance of species in sample 2. The test can, however, be used for any sets of paired values that can be ranked. So column two could be 'phi'-50, and column three could be macrobenthic biomass. In column 4, put the ranks of the abundances in column 2. In column 5 put the ranks of the abundances in column 3. Notice in column 5, the two ranks of 6=, which are given a score of 6.5. Because there are two rows ranked 6=, there is no rank 7. Column 6 is the difference between the ranks, and column 7 is the difference squared. - SAMPLE 1 SAMPLE 2 SAMPLE 1 SAMPLE 2 - - species abundance abundance rank rank rank difference rank difference squared A 5 3 4 5 -1 1 B 22 4 3 4 -1 1 C 3 1 6 6= (6.5) -0.5 0.25 D 1 0 8 8 0 0 E 567 24 1 2 -1 1 F 4 7 5 3 2 4 G 102 25 2 1 1 1 H 2 1 7 6=(6.5) -0.5 0.25 The formula for calculating the value of the Spearman coefficient is: ou SRDS is the 'sum of rank differences squared, 8.5 in the example; N is the number of rows of data, 8 in the present case, so (N x (N2-1) = 8 x 63 = 504; So, the example value of the rank correlation coefficient is +0.899 69 ESTATÍSTICA II 2010 Note the positive sign, implying a positive correlation - the coefficient may have any value between -1.0 and +1.0. To decide if the coefficient's value is significant (i.e. if the correlation is meaningful), look up the critical value in the following table: N critical value 5 0.9 6 0.829 7 0.714 8 0.643 9 0.6 10 0.564 12 0.506 16 0.425 20 0.377 Then compare the absolute value of the coefficient with the critical value. If the calculated value exceeds the critical value, then the correlation coefficient is significant. (To get the 'absolute' value of a negative value, replace the negative sign by a positive sign.) The critical value is 0.643 for N=8, so the example value of 0.899 is significant. There is a real correlation between the ranks of the species abundances in sample1 and sample 2. (If the calculated coefficient were -0.899, it would also be significant, but now would imply an inverse correlation. If the calculated coefficient were between -0.642 and +0.642, it would not be significant - i.e. no correlation would be apparent.) To be more precise, the hypothesis that the apparent relationship between sample 1 and sample 2 is only a result of chance, can be rejected in the exemplified case where the calculated coefficient is 0.899 for N=8, since the observed relationship would have occurred solely by chance less than 1 time in 20 (i.e. with a probability of less than 0.05). 70