Maxwell-Chern-Simons em (2+1)D com condiç˜oes de fronteiras

Transcrição

UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS
FACULDADE DE MATEMÁTICA
FACULDADE DE FÍSICA
Maxwell-Chern-Simons em (2+1)D com condições
de fronteiras dinâmicas
Caio Fernando Rocha Silva
Orientador: Prof. Dr. Edney Ramos Granhen
Marabá-Pará
2016
Maxwell-Chern-Simons em (2+1)D com condições
de fronteiras dinâmicas
Trabalho de conclusão de curso apresentado a Faculdade de Matemática da Universidade Federal do Sul e Sudeste do Pará (FAMAT-UNIFESSPA) como parte dos requisitos necessários para obtenção de licenciado em Matemática.
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Edney Ramos Granhen - UNIFESSPA
Prof. Dr. João Felipe de Medeiros Neto - UFPA
Prof. Dr. Francisco Ferreira Sousa - UNIFESSPA
Prof. Dr. Thiago Martins dos Santos (Suplente) - UNIFESSPA
Marabá-Pará
2016
Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP)
Biblioteca II da UNIFESSPA. CAMAR, Marabá, PA
Silva, Caio Fernando Rocha
Maxwell – Chern- Simons em (2+1) com condições de
fronteiras dinâmicas / Caio Fernando Rocha Silva; orientador,
Edney Ramos Granhen. — 2016.
Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação) - Universidade
Federal do Sul e Sudeste do Pará, Campus Universitário de Marabá,
Instituto de Ciências Exatas, Faculdade de Matemática, Curso de
Licenciatura Plena em Matemática, Marabá, 2016.
1. Efeito Casimir. 2. Equações diferenciais. 3. Vácuo. 4.
Problemas de valores de contorno. 5. Maxwell-Chern-Simons.
I.Granhen, Edney Ramos, orient. II. Título.
CDD: 22. ed.: 530.1
i
Maxwell-Chern-Simons em (2+1)D com condições de fronteiras dinâmicas
Denomina-se Efeito Casimir o surgimento de uma força mútua entre duas placas neutras, paralelas e perfeitamente condutoras postas em uma região de vácuo, tal
efeito foi previsto teoricamente pelo fı́sico holandês Hendrik Brugt Gerhard Casimir
(1909-2000) em um trabalho publicado em 1948, de forma mais geral denomina-se
Efeito Casimir qualquer campo relativı́stico, bosônico ou fermiônico que tenha sua
energia alterada na região compreendida entre duas fronteiras fı́sicas quando estas
estão submetidas a certas condições de contorno. Do ponto de vista matemático o
efeito Casimir se mostra como um “palco”, em que magnı́ficas teorias matemáticas
são apresentadas além do contexto matemático puro e se faz determinante na descrição fiel da realidade. No presente trabalho, estudamos o efeito Casimir considerando um campo de Maxwell-Chern-Simons, massivo, em 2+1 dimensões, sujeito a
condições de contorno tipo Dirichlet. Inicialmente, abordou-se aspectos históricos
acerca da construção do conceito de vácuo que culminaram com a descrição do efeito
Casimir. Em seguida a descrição do campo de Maxwell-Chern-Simons e suas principais propriedades. Posteriormente revisitamos o cálculo da força de Casimir para
duas linhas perfeitamente condutoras eletricamente (PCE). Finalmente, é apresentada a prosposta para a obtenção da força de Casimir para o campo supra citado
em um estado dinâmico, em que uma das fronteiras move-se no vácuo, partindo
do método pertubativo de Ford-Vilenkin associado a função de Green, tal proposta
mostra-se ainda como passos iniciais para uma investigação mais profunda deste
efeito neste regime.
Palavras Chaves: Efeito Casimir. Efeito Casimir Dinâmico. Maxwell-Chern-Simons.
Condições de contorno de Dirichlet
Marabá-Pará
2016
ii
Agradecimentos
Agradeço à minha famı́lia, especialmente a minha avó, Maria do Carmo Silva,
pelo carinho, compreensão e confiança, à minha mãe, Célia Rocha Silva, mulher
de luta e superação que mesmo sozinha sempre batalhou pela educação e formação
do que sou hoje, principalmente nos momentos difı́ceis, ao meu tio Cı́cero Cláudio,
pelos momentos de compreensão e divertimento, ao meu tio Welington Cláudio, que
mesmo sem falar muito diz muita coisa . Ao meu orientador Dr. Edney Ramos Granhen, pela paciência, responsabilidade e compromisso que possibilitou-me alcançar
conhecimentos até então inimagináveis sendo, em muitos casos, pessoa fundamental
para minha formação acadêmica sem a qual este trabalho seria impossı́vel, aos meus
amigos Ruan Santos Carvalho,Fábio Monteiro Costa e Eder Abreu e aos professores
Dr.Franscico Ferreira, Dr. Pedro Cruz Nunes . Agradeço aos meus amigos da turma
de matemática 2011 pelos momentos divertidos aos amigos do IFPA da turma 2012
do curso de eletrotécnica pelo apoio e reconhecimento em especial ao professor Dr.
Weldon Carlos . À todos os professores da faculdade de Matemática e a todos que
me ajudaram direta e indiretamente para a realização deste trabalho. Meu muito
obrigado.
Sumário
Introdução
1 Alguns aspectos da teoria de Chern-Simons
9
24
1.1
A invariância de calibre do campo eletromagnético . . . . . . . . . . . 25
1.2
Teoria de Chern-Simons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3
Maxwell Chern Simons e a massa topológica . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Efeito Casimir estático no modelo de MCS
31
2.1
Aspectos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2
Aplicação das condições de fronteiras para o caso PCE . . . . . . . . 36
3 Modelo de MCS com condições de fronteiras dinâmicas
41
Considerações Finais
49
A As equações de Maxwell e suas representações
51
B Funções de Green
58
C Tensor energia-momentum simetrizado
61
D Tranformação de Lorentz para o campo
69
Referências Bibliográficas
73
Introdução
A busca pela compreensão da natureza do universo tem levado o homem a importantes avanços na ciência e tecnologia, neste processo, a relação que se dá entre a
Fı́sica e a Matemática nos tem revelado importantes ferramentas para uma descrição
cada vez mais fiel dos fenômenos naturais, o que nos possibilita, assim, desvendar
os segredos do universo, tanto na escala cosmológica quanto subatomica.
A Fı́sica como ciência também está diretamente relacionada a algumas áreas da
Filosofia, ao longo da história da humanidade conceitos fundamentais de espaço,
tempo, matéria, movimento e a própria noção de vácuo têm sido tema central em
algumas discussões dessa natureza, de forma a refletir assim, ideias e conceitos que
nos fazem entender melhor a posição da nossa civilização diante da grandeza do
universo.
Desde a Grécia antiga até o século XX o conceito de vácuo passou por profundas
mudanças em sua interpretação. Na história da filosofia grega o conceito de vácuo
estava compreendido entre duas ideias, a primeira considerava o vácuo como um
espaço vazio, descrito como a ausência absoluta de matéria, a segunda considerava
o vácuo como um espaço preenchido com algo muito sutil ( éter luminı́fero ), contrapondo a ideia da ausência absoluta de matéria. O filosófo atomista Demócrito
(460-370 a.C.) considerava o vácuo como “intervalos que separam um átomo de outro
átomo e um corpo de outro corpo, assegurando a sua natureza discreta e possibilidade
de movimento”. Platão (428-347 a.C.), afirmava ser o corpo fı́sico apenas uma parte
do espaço limitado por superfı́cies geométricas contido no espaço vazio, ambos os
filósofos concordavam da primeira ideia. Em contra partida temos Aristóteles (384
a.C-322 a.C) que defendia o segundo argumento,recusava-se a aceitar o conceito de
espaço vazio e a noção de que o vácuo era a completa ausência de matéria, para ele
Introdução
10
a noção de vácuo no sentido do vazio absoluto (ou o “nada”) não fazia sentido e
afirma que o meio que contém deve estar em todos os lugares em contato com o que
é contido, atribuindo assim ao vácuo uma impossibidade fı́sica de existência.
No século XVII, a inexistência do vácuo defendida pela doutrina aristotélica
começou a ser contestada. No ano de 1644, Evangelista Torricelli (1608-1647) inventou o barômetro de mercúrio durante suas pesquisas sobre os efeitos da pressão,
Torricelli encheu com mercúrio um tubo de vidro de aproximadamente 1 metro de
comprimento, em seguida, mantendo fechado o tubo, inverteu-o e mergulhou-o num
recepiente que também continha mercúrio. Depois, abrindo a extremidade inferior,
notou que o mercúrio descia um pouco, estabilizando num comprimento de aproximadamente 76 centimetros acima da superfı́cie livre do mercúrio. A parte superior
ficou vazia. Torricelli atribuiu que neste espaço ausente de matéria visı́vel , também
estava livre da presença de gases e que portanto um vácuo teria sido criado.
Outro experimento que ficou famoso foi realizado em 1654 pelo alemão Otto von
Guricke(1602-1686). Otto havia inventado uma bomba capaz de retirar ar de dentro
dos recipientes. Ele construiu então duas cascas semi-esféricas, de bronze. Essas
semi-esferas foram encostadas uma na outra e a seguir, por um orifı́cio, sua bomba
retirou quase todo o ar de dentro do conjunto. Desse modo, a pressão atmosférica
externa comprimiu as duas semi esferas com uma força tão intensa que dois conjuntos
de oito cavalos só conseguiram separá-las depois de muito esforço, refutando de
forma experimental a concepção medieval (aristotélica) sobre o vácuo, conduzindo o
pensamento da época para existência do vácuo como a completa ausência de matéria
e posteriormente de radiação.
No século XIX, já com o desenvolvimento da mecânica clássica estabelecido,
permitiu-se afirmar que a propagação do movimento ondulatório se daria necessariamente através de um meio fı́sico, em seguida, com o desenvolvimento da teoria eletromagnética do escocês James Clerk Maxwell (1831-1879), apresentada em
1862, apontava para a naturalidade de fenômenos ondulatórios envolvendo os campos elétricos e magnéticos. Maxwell mostrou teoricamente a existência das ondas
eletromagnéticas, entre as quais, a própria luz faz parte, onde sua velocidade de
propagação na ausência de matéria (espaço livre) era obtida diretamente das cons-
Introdução
11
√
tantes elétricas e magnéticas através da relação c = 1/ µ0 0 que está contida nas
equações de onda do eletromagnetismo.
Com base nestes argumentos, Maxwell considerou relevante e necessária a existência
de um meio para o qual as ondas eletromagnéticas deveriam se propagar de forma
a condizer com os conhecimentos da época sobre as ondas, denominando este meio
como éter, um elemento que está disperso em todo o espaço mesmo aquele onde
não há matéria. No entanto, a inserção de tal objeto trouxe consigo a ideia de
um referencial privilegiado, de forma que a velocidade de propagação da luz mudava conforme o sentido de movimento em relação ao meio no qual se propagava
(conforme as transformações de Galileu).
Na busca para a constatação do éter, foi que em 1888, A. Michelson e E. Morley,
usando um interferômetro óptico de grande precisão, tentaram medir a velocidade do
planeta Terra em relação ao sistema do éter, tido como absoluto, buscando alguma
alteração para a velocidade da luz em diferentes direções em que o planeta se situava
de forma a comprovar a existência do éter. Tais verificações experimentais revelaram
a inexistência da mudança da velocidade da luz, de forma que esta se propagava com
a mesma velocidade para qualquer referencial. Esta experiência refutava novamente
a existência do éter, de forma a culminar, consequentemente, para a formulação da
teoria especial da relatividade de Einstein em 1905, a partir dos dois postulados da
relatividade, em que um trata da invariância da velocidade da luz para qualquer
referencial e o outro da imutabilidade das leis fı́sicas conforme a passagem de um
referencial para o outro.
No século XX, com o desenvolvimento da mecânica quântica a partir dos trabalhos sobre a radiação de um corpo negro de Max Planck (1858-1947), a concepção
de vácuo muda novamente, as equações conduziam a necessidade de se introduzir o
conceito de energia de ponto zero, decorrente das flutuações do vácuo quântico, consequentemente surgiram outras interpretações teóricas que tinham sua relação com o
vácuo, como por exemplo a interpretação da criação e aniquilação de párticulas, contrariando o conceito clássico de vácuo, tido como um espaço vazio, inerte e insensı́vel
a qualquer estı́mulo externo, configurando-se de forma mais moderna como vácuo
quântico, um espaço sem matéria e radiação, mas pleno de flutuações quânticas
Introdução
12
sensı́veis a estı́mulos externos.
No âmbito da Fı́sica, mas precisamente no contexto da Teoria Quântica de Campos (TQC) o conceito de vácuo mostra-se adverso ao pensamento do senso comum
por apresentar propriedades e efeitos interessantes que foram previstos teoricamente
e comprovadas em laboratório como é o caso, por exemplo, do chamado Efeito Casimir.
Efeito Casimir
Denomina-se Efeito Casimir o surgimento de uma força mútua entre duas placas
neutras, paralelas e perfeitamente condutoras postas em uma região de vácuo, tal
efeito foi previsto teoricamente pelo fı́sico holandês Hendrik Brugt Gerhard Casimir
(1909-2000) em um trabalho publicado em 1948, intitulado “Sobre a atração entre
duas placas perfeitamente condutoras”do original On the attraction between two
perfectly conducting plates [1].
A motivação inicial para a previsão teórica surgiu a partir do problema da força
de Van der Walls do tipo dispersiva entre moléculas eletricamente neutras, sem momento de dipolo permanente (apolares) mas polarizáveis, neste contexto o estudo
da atração entre dois corpos neutros não era nenhuma novidade, tendo em vista
que London já explicara este fenômeno [2] em 1930 para o caso de dois dipolos instantaneamente induzidos, no entanto, o formalismo e método que Casimir utilizou,
baseado no conceito de energia de ponto zero, é que torna seu trabalho relevante.
Para o caso dispersivo, London obteve a expressão para o potencial de interação
entre dois átomos ou moléculas sem momento de dipolo, após supor a existência
de momento de dipolos instantâneos induzidos pelas flutuações quânticas do campo
eletromagnético entre estes corpos [2], para o caso de dois dipolos separados por
uma pequena distância r, London obteve uma expressão proporcional a r −6 .
Em 1947, Verwei e Overbeek [3] trabalharam com o equilibrio de suspensões
de partı́culas coloidais e desenvolveram experimentos que eram perfeitamente descritos pela teoria de London sobre as forças dispersivas de Van der Walls, dessas
experiências os resultados obtidos por Verwei e Overbeek contrastavam de forma sig-
Introdução
13
nificativa com a teoria proposta por London. O fato era que para grandes distâncias
a força atrativa deveria cair mais rapidamente que r −6 devido a finitude da velocidade da luz, por causar um retardamento na interação eletromagnética, como
causadora do comportamento “estranho”.
Com base nos resultados de Verwey e Overbeek, Casimir em conjunto com Dirk
Polder publicaram em 1948 um trabalho [4] que considerava os efeitos da finitude da
velocidade da luz na descrição dos fenômenos até então observados. Neste trabalho
apresentaram a expressão para a interação entre uma placa perfeitamente condutora e um átomo ou molécula com polarizabilidade estática no limite de grandes
distâncias o que, consequentemente, levou à uma mudança da lei do potencial efetivo para duas partı́culas e que , de fato, a finitude da velociadade da luz leva o
potencial assintótico a decair com r −7 . Ainda neste mesmo ano Casimir e Polder
reobteram os mesmos resultados teóricos a partir de cálculos baseados nas flutuações
da energia de ponto zero do campo eletromagnético devido à presença de objetos
neutros porém polarizáveis devido a uma sugestão feita por Niels Bohr em 1947,
conforme sugere uma carta de Casimir para Peter Milionni em março de 1992 [5].
No verão ou outono de 1947 (mas não estou absolutamente certo de que não
tenha sido um pouco antes ou depois), mencionei meus resultados a Niels Bohr,
durante uma caminhada. “Isto é ótimo,”disse ele. “Isto é algo novo.”Disse-lhe que
estava intrigado com a forma extremamente simples das expressões para a interação
a grandes distâncias e ele resmungou algo sobre a energia do ponto zero. Isto foi
tudo, mas colocou-me em uma nova pista. Descobri que calcular as variações da
energia do ponto zero leva realmente aos mesmos resultados dos cálculos que fiz com
Polder...
Em 29 de maio de 1948 apresentei meu trabalho Sobre a atração entre duas
placas perfeitamente condutoras à Academia Real Holandesa de Artes e Ciências. O
trabalho foi publicado no decorrer daquele ano...”
Era o surgimento de uma nova teoria que mais tarde seria denominada de Efeito
Casimir.
Casimir e Polder consideraram uma cavidade cúbica de volume L3 delimitada
por paredes perfeitamente condutoras, com uma placa quadrada perfeitamente con-
Introdução
14
dutora de lado L posta nessa cavidade paralela à face xy e compararam a situação
na qual essa placa está a uma distância pequena da face xy com a situação em que
está a uma distância muito grande (de forma a simular a ausência da placa), por
exemplo L/2. Levando em consideração, para ambos os casos, a energia de ponto
X
~ωn de modo que o somatório indica soma sobre todas as
zero como sendo 21
n
frequências possı́veis de ressonância da cavidade, como vemos estas somas são divergentes e destituı́das
de significado
fı́sico,
Casimir
"
#
"
# mostrou que a diferença entre
X
X
as duas situações 12
~ωn
− 12
~ωn
, tem um valor finito e bem
n
n
comC.C
semC.C
definido e esse valor será interpretado como a interação entre a placa e a face xy.
Um inconveniente que surge naturalmente quando abordamos este problema na
perspectiva da Teoria Quântica de Campos (TQC) é o fato de que a energia dentro
e fora da cavidade ambas serem divergentes (tende ao infinito), conforme indica os
somatórios, tal resultado nos motiva a adotar algum método que garanta resultados qualitativamente significativos, o primeiro destes se trata da regularização e o
segundo da chamada renormalização. A regularização da energia do vácuo consiste
em substituir a energia infinita E do vácuo, por uma expressão do tipo E (λ) onde
λ é um parâmetro regularizador que pode assumir um determinado valor λ0 , de tal
modo que
lim E (λ) = E0
λ→λ0
Onde E0 é o valor da energia agora finita. No processo de renormalização calculamos a variação da energia regularizada entre o vácuo com os objetos interagentes
e o vácuo sem estes. Assim a energia de Casimir será dada por:
"
"
#
#
1X
1X
EC =
~ωn
−
~ωn
2 n
2 n
comC.C
(1)
sem.C.C
em que C.C indica condições de contorno, o resultado desta operação tem valor
finito e bem definido quando considerado estes dois métodos.
Considerando um campo eletromagnético em uma cavidade cúbica contendo duas
placas metálicas paralelas e neutras, de áreas A e separação L, com o lado da placa
quadrada muito maior que a separação L, os modos normais da cavidade são dados
Introdução
15
pelo vetor número de onda K = (kx , ky , nπ/L),com n inteiro, ao realizarmos o processo de quantização os modos de vibração se tornam bem descritos por osciladores
harmônicos quânticos, cuja frequêcia é ω = kc, em que k corresponde ao módulo do
vetor número de onda, e com energia do estado fundamental E = ~ω/2, aplicando
a teoria de regularização e renormalização (para isso é utilizada uma função de
corte para as frequências maiores) na região compreendida entre as placas, Casimir
e Polder encontraram a força de interação entre as placas como sendo:
F =−
π 2 ~c
A.
240L4
Mostrando que a interação entre as placas se dá de forma atrativa (devido o sinal
negativo), essa força é interpretada como uma pressão de ponto zero das ondas
eletromagnéticas[1], segundo o próprio Casimir “Embora o efeito seja pequeno, uma
confirmação experimental não parece infactı́vel e pode ser de algum interesse.”.
Verificação Experimental
A primeira tentativa da verificação experimental do efeito Casimir se deu com
uma publicação de Sparnnay [6] em 1958, quase uma década após a elaboração da
teoria, embora tal verificação tivesse tido boa aceitação por grande parte dos fı́sicos
da época o próprio Spannay foi cauteloso em suas conclusões ao afirmar que os
resultados de seu experimento “não eram inconsistentes com a teoria”, mantendo
assim uma certa imparcialidade sobre a existência do efeito, isso porque o grau de
dificuldade durante a realização da experiência culminava com uma considerável
incerteza da medida entre a separação das placas agregados a outros fatores de
natureza externa, como por exemplo, vibrações mecânicas residuais, irregularidades
na superfı́cie das placas, distribuição irregular sobre as placas de cargas elétricas
estáticas e diferenças de potencial espúrias entre as placas era alguns dos fatores que
geravam grandes erros no processo de medida da força, fazendo do efeito Casimir
um verdadeiro desafio experimental para a época.
Em 1997, quase quatro décadas após a primeira tentativa, Steve Lamoreaux[7],
em Los Alamos National Laboratory, Umar Mohideen e Anushrre Roy [8] da University of California at Riverdale, realizaram de forma independente, experimentos
Introdução
16
mais precisos para a detecção da força, mas utilizando uma placa parelela e uma
esfera de raio relativamente grande e obtiveram resultados mais precisos, cerca de 5
por cento de erro, demonstrando de forma significativa a validade da teoria e que de
fato o vácuo exerce uma influência sobre objetos macroscópicos quando são postas
condições de contorno a estes.
A descrição para o efeito Casimir parte da mudança da energia de ponto-zero do
campo eletromagnético e sua influência sobre as placas [9], utilizando o formalismo
da TQC, Casimir previu o efeito associado apenas ao campo eletromagnético, no
entanto tal efeito não é exclusivo a este, de forma que qualquer campo relativı́stico,
bosônico ou fermiônico tem sua energia alterada na região compreendida entre duas
fronteiras fı́sicas quando estas estão submetidas a condições de contorno[10]. Estas
condições tornam o estudo do Efeito Casimir mais interessante quando são devidamente combinadas, como por exemplo, quando se considera uma placa perfeitamente
condutora a força torna-se repulsiva [11].
As condições de contorno
No estudo do Efeito Casimir os resultados teóricos comprovam a relevância de
certos elementos externos e suas influências para o efeito, de forma que fatores
geométricos(configurações geométricas de cavidades e diferentes topologias) e as
condições impostas ao campo sobre as placas (condições de fronteira) podem alterar
o sentindo e a intensidade da força obtida.
As condições mais presentes na literatura em que este efeito é estudado são do
tipo Dirichlet (que determina valor nulo para o campo nas fronteiras), Neumann
(de forma que a derivada normal do campo se anule nas fronteiras) e de Robin (
denominada de condição mista, onde são as combinações das condições de Dirichlet
e Neumann na mesma fronteira).
A determinação das condições de fronteira não são necessárias somente apenas
do ponto de vista matemático, para a posterior solução do campo, mas também
seguem preceitos fı́sicos de forma a se perceber mudanças detectáveis no fenômeno,
por exemplo, considere o Efeito Casimir para o caso (1+1)dimensões e considerando
Introdução
17
um campo escalar não massivo ψ(t, x) que satisfaz a seguinte equação de onda1
∂ 2 ψ(t, x) ∂ 2 ψ(t, x)
−
= 0.
∂t2
∂x2
(2)
Impondo condições de contorno de Dirichlet, em que
ψ(t, 0) = ψ(t, L) = 0,
(3)
de forma que o campo se anule nas fronteiras (placas) situadas em x = 0 e x = L.
Resolvendo a equação de onda e considerando as condições de contorno, podemos encontrar a expressão para as frequências possı́veis no interior da cavidade,
agora considerando a equação 1 com os respectivos valores das frequências encontrados na solução de 2 e respeitando as condições dadas em 3, obtemos a diferença
entre a energia de ponto zero dentro e fora das fronteiras dada por (energia ainda
regularizada):
∞
Ecas
1 X ~nπ
=
−
2 i=1 L
Z
∞
−∞
1
L
|kx | dkx .
2
2π
(4)
Para obtermos um resultado finito e dotado de sentido fı́sico devemos utilizar
algum método de regularização, para isso tomamos, por exemplo, uma função exponencial de corte para altas frequências, segundo o própio Casimir “o significado
fı́sico para tal função parte do fato de que para ondas muito curtas (raios X) a placa
dificilmente será um obstáculo e, portanto, a energia de ponto zero dessas ondas
não será influenciada pela posição dessa placa” [1], assim, as altas frequências não
contribuem para a energia na região compreendida entre as fronteiras,com isso a
energia de Casimir associada ao campo considerado é:
( +∞
)
Z
1 X nπ − nπ s
L +∞
Ecas (L) = lim
e L −
|kx | e−|kx |s dkx
s→0
2 n=1 L
4π −∞
(
Z +∞
+∞
1 ∂ X − nπ s L ∂
L
Ecas (L) = lim −
e
+
e−|kx |s dkx
s→0
2 ∂s n=1
4π ∂s −∞
1
Ecas (L) = lim
2 s→0
1
(
π
1
πs
L 4 sinh2 ( 2L
)
Neste trabalho estamos considerando c = ~ = 1
!
L
− 2
πs
(5)
)
(6)
)
(7)
Introdução
18
Fazendo a expansão em série de Laurent de
π
1
=
πs
L 4 sinh2 ( 2L
)
1
π
πs ,(já
L 4 sinh2 ( 2L
)
que o ”s”tende a zero):
L
π
2
+ O(s )
−
πs2 12L
Vamos considerar até a primeira ordem, então:
L
L
π
1
−
−
Ecas (L) =
2 πs2 12L πs2
Ecas (L) = −
π
.
24L
(8)
Derivando 8 em relação a L obtemos a expressão para a força de Casimir
Fcas (L) = −
π
,
24L2
(9)
o sinal negativo na expressão 9 indica uma força atrativa.
Ainda considerando o mesmo campo, porém, impondo condições de Robin sobre
as fronteiras
ψ(t, 0) + β
∂ψ(t, x)
|x=0 = 0,
∂x
em que β é uma constante, segue da referência [12] quee a força de Casimir para a
condição de contorno considerada torna-se:
F (L) =
π
48L2
a partir dessa expressão podemos concluir que a força de Casimir também pode ser
repulsiva, de forma a comprovar teoricamente a influência das condições de contorno
sobre as fronteiras fı́sicas quando à estas são postas determinadas condições. O estudo do efeito Casimir torna-se intrigante devido a uma impossibilidade de antecipar
o caráter atrativo ou repulsivo da força , que depende do tipo de campo estudado
e das condições de contorno impostas a esse campo, esta caracterı́stica é conhecida
na literatura como o “mistério da força de Casimir”.
Introdução
19
Efeito Casimir Dinâmico
Uma outra vertente do efeito Efeito Casimir ocorre em um estado dinâmico,
denominado de Efeito Casimir Dinâmico (ECD)2 , assim nomeado em virtude do
movimento de uma das fronteiras ou pela mudança nas propriedades materiais desta
ao longo do tempo [13] , sendo possı́vel detectar a criação de partı́culas a partir do
vácuo.
O ECD foi previsto primeiramente por Moore [14] em 1970 em que este procurou estudar o caso considerando um campo escalar sem massa num espaço-tempo
bidimensional, (1+1)dimensões, ao impor a condição de Dirichlet para o campo e
ao mesmo tempo uma lei de movimento prescrita para as duas fronteiras (também
nomeadas de espelhos) formadoras da cavidade, em seu artigo, intitulado Quantum
theory of the electromagnetic field in a variablelength cavity, ele descreve o comportamento quântico da luz ao propaga-se em uma cavidade unidimensional formada
por dois espelhos ideais, infinitos, paralelos e planos que se movem em trajetórias
arbitrárias e externamente prescritas, como motivação Moore aponta que sua teoria pode ser “...relevante para o entendimento da operação de lases com espelhos
móveis, um assunto que tem atraı́do algum interesse na literatura”.
Tomando como ponto de partida as equações 2 e 3, Moore pôde encontrar um
conjunto de soluções da forma:
"
b x) =
φ(t,
∞
X
#
b
an φn (t, x) + H.c. ,
(10)
i=1
onde
φn (t, x) = einπR(t+x) − einπR(t−x) ,
(11)
e que H.c indica Hermitiano Conjugado e as funções de fase R satisfazem a
equação:
R(t + L(t)) − R(t − L(t)) = 2,
2
(12)
O termo efeito Casimir Dinâmico surgiu como popularização dada por J.Schwinger apenas no
inicio dos anos 90
Introdução
20
conhecida na literatura como equação de Moore. Como conclusão Moore mostra em
seu trabalho a não existência para uma representação de Schrödinger, isso antecede
do fato, demonstrado em seu artigo, de que não existe uma hamiltoniana que descreva a evolução temporal do campo e mais relevante, mostra que ” fótons podem
ser criados a partir do vácuo pelo efeito de excitação que os espelhos móveis tem
sobre a energia de ponto zero do campo.“ Ele calculou a taxa de emissão de fótons
dentro de uma cavidade móvel em 1+1 dimensões, concluindo que o efeito de criação
de partı́culas é muito pequeno e que sua detecção é muito difı́cil.
Vale ressaltar que as partı́culas não são criadas necessariamente do nada, o
fenômeno em questão parte diretamente do princı́pio da conservação de energia
em que partı́culas virtuais ( estas geralmente estão em constante estado de criação
e aniquilação) tornam-se reais como consequência direta da excitação do campo
provocada pelo movimento da fronteira e suas respectivas condições de contorno.
Outro trabalho foi proposto por S.A. Fulling e P. Davies [15] em 1976, em que
estes se propuseram a calcular a força dissipativa sobre uma fronteira móvel, considerando para isto um campo escalar sem massa em (1+1) dimensões com a fronteira
movendo-se arbitrariamente em um limite não relativı́stico, onde a velocidade do movimento da fronteira é menor do que a da luz, na qual o valor do campo considerado
se anula na fronteira.
O método de Fulling e P. Davies, assim como o de Moore, é baseado no contexto das transformações conforme, no qual este busca “traduzir”matematicamente
o caso dinâmico para um caso estático, consiste também, em essência, obter o valor
esperado para densidade de energia representada pela componente T00 do tensor
momento e energia
1
b t)2 + h∂t φ(x,
b t)2 i}.
hT00 i = {h∂x φ(x,
2
(13)
O problema para o estudo do Efeito Casimir passa a se tornar mais relevante
ainda quando passamos a considerar dimensões mais altas, tendo em vista que os
modelos dos autores citados anteriormente levam em consideração (1+1) dimensões,
onde nas palavras de Mintz [10] o Efeito Casimir de um campo escalar sem massa
é comparado a um modelo de brinquedo, posto em condições ideais e não muito
Introdução
21
realistas mas que não perde seu caráter de importância enquanto laboratório teórico.
A fim de contornar este incômodo e motivados a obter novas previsões em dimensões mais altas, foi que em 1983, Ford e Vilenkin propuseram um método pertubativo para o cálculo da força de Casimir em seu caso dinâmico [16], tornando
assim o estudo mais realista.
O método de Ford e Vilenkin consiste em considerar o campo φ como sendo
a solução do problema estático correspondente acrescido de um fator ligeiramente
modificado de forma que podemos escrever a solução como sendo
φ(t, x) = φ0 (t, x) + δφ(t, x)
(14)
em que φ0 corresponde a solução para o problema estático obedecendo as respectivas
condições de fronteiras. O método também é válido para campos massivos, e claro,
para o caso de (2+1) dimensões nos fornecendo assim um método ideal para o estudo
da força de Casimir em outros contextos, como por exemplo, utilizando o modelo
Maxwell-Chern-Simons (MCS), o qual será discutido neste trabalho.
Verificação experimental do ECD
O ECD tem sido alvo de grandes estudos teóricos e também experimentais ao
mesmo tempo que tem repercutido de forma notória no meio cientı́fico tido como um
fenômeno “estranho‘”pela sua propriedade de criar luz a partir do “nada”. Neste
sentido, propostas promissoras para a verificação experimental do ECD tem tido
cada vez mais resultados positivos que comprovam a teoria, podemos dizer que o
primeiro resultado que confirma os resultados teoricos do ECD foram publicados
por Wilson et al [17] em 2011. O experimento consiste em simular um espelho que
oscila com velocidade relativamente considerável em relação a velocidade da luz
usando um circuito supercondutor composto por uma linha de transmissão coplanar
com comprimento elétrico variável. O efeito de mudança do comprimento elétrico
é causado por um dispositivo supercondutor de interferência quântica (SQUID)3 ,
localizado em uma das extremidades da linha de transmissão e cuja indutância
também se modifica.
3
Sigla derivada do inglês para Dispositivo Supercondutor de Interferência Quântica.
Introdução
22
Um pouco sobre a eletrodinâmica quântica planar
O estudo da Eletrodinâmica Quântica Planar (EDQP) (SQED, sigla em Inglês
para Surfaces Quantum Electrodynamics) recebeu grande destaque no inicio dos
anos 80, a principio foi desenvolvida como uma extrapolação da eletrodinâmica
quântica convencional, tratada em (3+1) dimensões.
Assim a EDQP, onde os
fenômenos são considerados em (2+1) dimensões, foi sendo desenvolvida como um
ferramental teórico apropriado para lidar com questões fundamentais da Teoria
Quântica de Campos e partı́culas motivada pela sua possı́vel conexão com as teorias quadridimensionais no regime de temperatura finita[18].
As Teorias de campos em (2+1) dimensões tem ganhado notável interesse na comunidade cientı́fica, tendo em vista sua significativa capacidade de descrever e prever
com grande precisão comportamentos presentes em alguns fenômenos de natureza
quântica, figurando-se como um ferramental teórico mais explorado no estudo de
fenômenos fı́sicos ligados a sua natureza planar, sendo esta apropriada para explicar
o Efeito Hall Quântico (EHQ)[19]4 , Supercondutividade em alta temperatura [20] e
mais recentemente o próprio Efeito Casimir [21], propondo dessa forma contribuições
importantes no âmbito da fı́sica teórica e da matéria condensada [22].
No contexto da construção da Eletrodinâmica Planar podemos considerar dois
esquemas teóricos em seu desenvolvimento, o primeiro nos permite a redução dimensional de 4 para 3 dimensões o outro consiste na definição intrı́nseca da eletrodinâmica já em 2+1 dimensões [23], de tal forma que neste aspecto o formalismo da
teoria omite a terceira componente espacial.
Os modelos teóricos mais comuns que partem da prerrogativa de omitir a terceira
componente espacial dentro do contexto da EDQP são: Eletrodinâmica planar de
Maxwell, Eletrodinâmica de Chern-Simons (CS) e a Eletrodinâmica de MaxwellChern-Simons (MCS) dada como combinação direta das duas anteriores. Como
veremos a seguir a eletrodinâmica de (MCS) apresenta caracterı́sticas interessantes
4
O EHQ é caracterizado pela quantização da condutividade Hall (σxy = ne2 /h onde n é inteiro)e
pela quase anulação da condutividade longitudinal(σxx → 0) de um gás de elétrons bidimensional
submetido à ação de um intenso campo magnético (B > 10T ) ortogonal, a baixas temperaturas
(T < 4K).
Introdução
23
devido a inserção do termo topológico em sua teoria, este termo nos conduz a uma
nova fı́sica de forma a mudar o campo e as interações entre as grandezas envolvidas ,
entretanto o termo acrescido não vem alterar as quantidades fundamentais contidas
no tensor Energia Momentum.
O modelo de MCS consiste em uma variante do eletromagnetismo clássico Maxwell
partindo diretamente do acoplamento da lagrangeana da teoria de Maxwell com a de
Chern-Simons (CS) ao mesmo tempo em que se considera (2+1) dimensões, assim
o ponto de partida para a discussão da teoria é dada pela lagrangeana:
1
m
LM CS = − Fµν F µν + µνλ Aµ ∂ν Aλ ,
4
2
(15)
o motivo de se considerar a teoria de CS, dada por:
LCS =
m µνλ
Aµ ∂ν Aλ
2
(16)
é que esta desempenha um papel crucial na descrição de fenômenos planares.
No presente trabaho pretendemos investigar o Efeito Casimir Dinâmico no modelo de Maxwell-Chern-Simons afim de obtermos a expressão para a sua respectiva
força impondo condições de contorno de Dirichlet ao campo massivo e considerado em um espaço-tempo de (2+1) dimensões, partindo da teoria de Chern-Simons
pretendemos elucidar alguns aspectos importantes pertinentes a teoria e, posteriormente, investigando-a no contexto do Efeito Casimir tanto estático quanto dinâmico.
O estudo do Efeito Casimir nos conduz a um considerável entendimento da natureza quântica dos fenômenos e sua relação com o mundo macroscópico, nos possibilitando a aplicação deste efeito em vários sistemas fı́sicos de interesse teórico e experimental como, por exemplo, sistemas de partı́culas elementares, fı́sica atômica e molecular e nanotecnologia [24] com a construção de componentes nano-eletromecânicos.
Do ponto de vista matemático o efeito Casimir se mostra como um “palco”, em
que magnı́ficas teorias matemáticas são apresentadas além do contexto matemático
puro e se faz determinante na descrição fiel da realidade. Diante do exposto, o Efeito
Casimir evidencia mais uma vez o triunfo da fı́sica teórica mediante a previsão de
resultados com sua posterior comprovação em laboratório.
Capı́tulo 1
Alguns aspectos da teoria de
Chern-Simons
Durante a evolução da ciência o homem sempre precisou de uma linguagem que
pudesse transmitir de forma fiel as observações fı́sicas, neste sentido, é notável a
interação mútua em que se dá a evolução da Matemática e da Fı́sica, de forma que
as abordagens fı́sicas estimulam o avanço matemático da mesma maneira que teorias
matemáticas prontas são melhor compreendidas e até generalizadas por argumentos
de natureza fı́sica 1 [23], é neste aspecto que podemos considerar, assim como tantas
outras, a teoria de Chern-Simons.
A teoria de Chern-Simons nasceu com os estudos da Topologia e Geometria no
que concerne a teoria de fibrados topológicos na tentativa de se derivar uma fórmula
combinatorial para um invariante sobre uma variedade quadri-dimensional. A formulação original da teoria foi proposta inicialmente por Shiin-Shen Chern e James
Simons em 1974 em um trabalho intitulado “ Characteristic Form and Geometric
Invariants”[25], posteriormente, em 1975, Belavin, Polyankov, Schwarz e Tyupkin
no campo da fı́sica, estavam utilizando de métodos topológicos e geométricos para
encontrar a solução exata da equação de campo de Yang-Mills [26] deste trabalho
podemos dizer que outras áreas de estudos, como, por exemplo, a própria Teoria
Quântica de Campos Topológica, foram desenvolvidas, de forma a vir se descobrir
1
Como exemplo podemos considerar uma completa formulação da teoria da relatividade graças
a formulação matemática da geometria diferencial e Riemanniana.
1.1 A invariância de calibre do campo eletromagnético
25
uma nova área de pesquisa em fı́sica matemática.
1.1
A invariância de calibre do campo eletromagnético
Classicamente podemos escrever a teoria eletromagnética de Maxwell em termos
~ e da quadricorrente J ν = (ρ, J),
~ nos quais os campos
do quadripotencial Aµ = (φ, A)
elétricos e magnéticos estão resumidos como componentes de um único campo eletromagnético dado por F µν , denominado tensor eletromagnético, definido por (ver
Ref. [27, 28]):
F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ .
(1.1)
Esta construção garante automaticamente as definições dos campos E e B,
B = ∇ × A,
(1.2)
E = −∂t A − ∇A0 .
(1.3)
Desta forma a formulação lagrangeana da teoria eletromagnética de Maxwell com
fonte é:
1
LM = − Fµν F µν − Aµ J µ .
4
(1.4)
Usando o princı́pio variacional, do qual obtemos a equação de Euler-Lagrange:
∂µ
∂L
∂L
−
= 0,
∂(∂µ Aν ) ∂Aν
(1.5)
obtemos as equações que descrevem os campos:
∂µ F µν = J ν ,
(1.6)
ou a equação da onda para Aν , obtida a partir da equação não-homogênea de
Maxwell (1.6):
Aν − ∂ ν (∂µ Aµ ) = J ν
(1.7)
em que é operador D’ALembertiano definido aqui como := −∂t + ∂x + ∂y .
Como é conhecido que o quadripotencial não é uma quantidade observável diretamente e também não é univocamente determinado, uma transformação local de
1.2 Teoria de Chern-Simons
26
calibre adicionado de uma quadri-gradiente de uma função escalar χ(t, x), como (ver
Ref. [28]):
A0µ = Aµ + ∂ µ χ
(1.8)
não modifica a intensidade do tensor eletromagnético F µν , Eq. (1.1), ou seja, F 0 µν =
F µν e nem a equação da onda (1.7). A liberdade na escolha de um potencial, como
mostrado pela equação (1.8) impede, por exemplo, a quantização da componente
momentum canônico generalizado π 0 , visto que π 0 = ∂L/∂(∂t A0 ) = 0. A própria
lagrangeana (1.4), sob essa transformação de calibre (1.8), não é invariante, embora
R
a ação dtL seja. Todos estes problemas podem ser contornados se for “fixado” o
calibre2 apropriado, de modo que estas questões sejam resolvidas de ante mão. A
escolha de um cailbre não muda as propriedades fı́sicas do campo eletromagnético
e satisfaz o requerimento de que a corrente seja conservada, ou seja, ∂µ J µ = 0 [29].
Os tipos de escolhas de calibre mais comuns na literatura são os calibres de Lorentz
e Coulomb,respectivamente definidos por:
∂µ Aµ = 0, Calibre de Lorentz
∇ · A = ∂i Ai = 0, Calibre de Coulomb
(1.9)
(1.10)
Fixando uma escolha de calibre as soluções para as equações do campo eletromagnético tornam-se univocamente definidas, facilitando os cálculos e a abordagem
que será dada a teoria. Dependendo do problema torna-se conveniente que a escolha seja o calibre de Lorentz (1.9) ou o calibre de Coulomb (1.10). A seguir vamos
tratar do análogo eletromagnético em duas dimensões, conhecido como Teoria de
Maxwel-Chern-Simons.
1.2
Teoria de Chern-Simons
Na teoria Chern-Simons o campo eletromagnético, em analogia à teoria eletromagnética de Maxwell, definida no espaço tempo (2+1) dimensões, duas coordenadas espaciais e uma temporal, tem o tensor, antisimétrico, eletromagnético definido
2
Na literatura é comum encontrarmos o termo em inglês como sendo Gauge
1.2 Teoria de Chern-Simons
27
como (ver as Ref. [30, 31]):

F
µν

0
Ex Ey




=  −Ex 0
B ,


−Ey −B 0
(1.11)
De modo que a métrica adotada tem sua assinatura g = (−, +, +) o fato de termos
a invariância do campo eletromagnético sob uma escolha de calibre em (3+1) dimensões, descrito pela (1.8), no caso de termos (2+1) dimensões, tal densidade de
lagrangeana não se torna única [30, 31]:
LCS =
m µνλ
Aµ ∂ν Aλ − Aµ J µ
2
(1.12)
tal densidade de lagrageana é conhecida na literatura como teoria de Chern-Simons,
de forma que o termo acima descrito é invariante de Lorentz, viola a paridade e a
invariância por reversão temporal, no qual m é termo caracterizado como a massa
topológica da teoria, o sı́mbolo µνρ é o tensor Levi-Civita, para o qual assumimos
012 = 1, ou seja:
µνρ =









1, para permutações pares de 0, 1 e 2.
−1, para permutações ı́mpares de 0, 1 e 2.
(1.13)
0, qualquer outra combinação.
Podemos notar que a teoria de Maxwell, em (3 + 1) é semelhante a teoria de
Chern-Simons, em (2 + 1), no sentido de que ela também pode ser invariante de
calibre, com uma pequena diferença entre elas, o campo magnético é uma grandeza
(pseudo-) escalar, definido por B = ij ∂i Aj , enquanto que em (3 + 1) o campo
magnético é dado pela equação (1.2) ao passo que o sistema apresenta apenas três
graus de liberdade, sendo dois associados ao campo elétrico e o terceiro ao campo
magnético. Na forma em que se encontra, a lagrangeana (1.12) ou densidade de
R
Lagrange não é invariante, no entanto a ação SCS = d3 xLCS será uma grandeza
invariante de calibre [31]. Sendo assim, obtemos a equação do campo para a teoria
de Chern-Simons usando (1.5):
m µαβ
Fαµ = J β .
2
(1.14)
1.3 Maxwell Chern Simons e a massa topológica
28
Usando a definição para as componentes dos campos dadas em (1.11), temos que:
ρ = mB
(1.15)
J i = mij Ej .
(1.16)
e
Dessas duas equações podemos perceber o acoplamento entre a carga e o fluxo de
campo magnético, indicado pela proporcionalidade da densidade de carga com o
campo magnético. A teoria livre de Chern-Simons (J µ = 0) não apresenta qualquer novidade, por isso é sempre associada acoplando-se com outras teorias, como
exemplo:
• Acoplamento com campos dinâmicos (Eq. (1.15) e Eq. (1.16)).
• Acoplamento com a teoria de Maxwell (teoria de calibre abeliana3 ).
• Acoplamento com a teoria de Yang-Mill (teoria de calibre não-abeliana).
• Acoplamento com a gravidade.
A discussão de uma teoria da gravidade em (2 + 1) é um assunto muito interessante,
tanto a teoria clássica quanto a teoria quântica, encontramos mais sobre o assunto
em [30].
1.3
Maxwell Chern Simons e a massa topológica
Na teoria clássica de Maxwell a partı́cula mediadora das interações é o fóton, que
não apresenta massa, na Teoria de Chern-Simons este termo é responsável pelo mecanismos gerador de massa do campo fundamental Aµ . Dessa forma, caracterizamos
o acoplamento da teoria de Chern-Simon com Maxwell como uma teoria massiva.
Seguindo [32] e [33], teremos:
1
m
LM CS = − Fµν F µν + µνλ Aµ ∂ν Aλ − Aµ J µ ,
4
2
3
(1.17)
Teorias de Calibre ou gauge, são teorias associadas à uma simetria, quando a ordem em que
efetuamos as transformações de gauge não são importantes dizemos que temos uma teoria de gauge
Abeliana.
29
cuja equação de movimento, obtida a partir de (1.5) é:
∂α F αβ +
m µαβ
Fαµ = J β .
2
(1.18)
Podemos ainda escrever a equação (1.18) em termos do tensor dual, cuja definição
é:
F̃ ν =
µαβ
Fµα .
2
(1.19)
Desta forma obtemos:
−νµλ ∂µ + mg νλ F̃λ = J ν .
(1.20)
O qual definimos um operador de derivada que é um tensor de segunda ordem,
Dνλ := −ενµλ ∂µ + mg νλ , de modo a simplificar a equação (1.20):
Dνλ F̃λ = J ν .
(1.21)
Tomando novamente este operador derivada Dλν em (1.20), obtemos uma equação
análoga a equação da onda, para o campo dual, mostrando assim, que a Teoria de
Maxwell-Chern-Simons tem aspectos de uma teoria de campo massiva:
[ + m2 ]F̃ρ = mJρ + ρθν J ν .
(1.22)
Esta equação pode ser reduzia a equação de Klein-Gordon com massa, caracterizando mais ainda a teoria de Chern-Simon como uma teoria massiva, se fizermos
o caso sem fonte (J µ = 0), a saber:
[ + m2 ]F̃ρ = 0.
(1.23)
Dessa forma, o termo m permanece como vı́nculo fundamental das interações do
campo de calibre Aµ e tem dimensão de massa. A este termo, é dado o nome de
´´campo de calibre topologicamente massivo”[34] . O termo topológico advém do
fato de que m não altera o tensor energia e momento da teoria e nem a métrica [23].
Neste capitulo, abordamos alguns aspectos da teoria de Chern-Simons, procuramos explanar de maneira dedutiva, a invariância de calibre do campo Aµ , e exploramos o acoplamento da teoria de Maxwell com a teoria de Chern-Simon, destacando
as semelhanças e diferenças. A Teoria de Chern-Simon por si só, livre (sem fontes)
não tem muita novidade, mas torna-se muito interessante quando acoplado a outra
30
teoria de calibre, tornando-a promissora para modelar sistemas fı́sicos principalmente em Fı́sica de Matéria Condensada, fenômenos planares, em (2 + 1) dimensão,
como Efeito Hall Quântico e até mesmo com a Gravidade. Mostramos que a teoria
de Maxwell-Chern-Simon recebe o mesmo tratamento de uma teoria de campo massiva, como podemos demonstrar na equação (1.23). Como peculiaridade podemos
destacar que o termo de massa na teoria, chamado de massa topológica é responsável
por conferir um campo magnético escalar a teoria, enquanto que o campo elétrico
continua sendo um vetor no plano. A teoria de Maxwell-Chern-Simons é um importante laboratório teórico na descrição de alguns fenômenos que ainda são objetos de
pesquisa, como é o caso da força de Casimir (ver mais sobre este assunto nas Ref.
[35, 36]).
Capı́tulo 2
Efeito Casimir estático no modelo
de MCS
Neste capı́tulo pretendemos calcular o efeito Casimir em seu regime estático levando em consideração um campo de Maxwell-Chern-Simons e impondo a condição
de contorno para linhas perfeitamente condutoras (PCE)[36] , de forma que as
condição de fronteiras são dadas por F1 = 0 o que implica em E = 0 (campo elétrico
nulo) em ambas as linhas. Para a obtenção dos resultados aplicamos o método da
função de Green.
2.1
Aspectos Gerais
O método da função de Green está relacionado a um método local
1
do cálculo
da força de Casimir e leva em conta na sua formulação o valor esperado do tensor
energia-momentum do campo considerado sobre as fronteiras, outro ponto a ser considerado em relação ao método é que este já leva em si o processo de renormalização,
este método também é usado nas referências [24], [31], [35]e [37] . Começamos a
teoria dada pela Lagrangiana:
1
m
LM CS = − Fµν F µν + µνλ Aµ ∂ν Aλ .
4
2
(2.1)
Podemos definir o tensor dual e reescrever a Lagrangiana em termos deste tensor
1
Para mais sobre o método o leitor poderá consultar a ref. [38]
2.1 Aspectos Gerais
32
definido por :
F̃ β =
µαβ
Fµα = µαβ ∂α Aβ ,
2
(2.2)
de forma a reescrevermos a lagrangiana como:
1
m
LM CS = − F µ Fµ + Aµ Fµ .
2
2
(2.3)
As equações de movimento da teoria de MCS podem ser obtidas a partir da
lagrangiana (2.1) quando esta é inserida nas equações de Euler-Lagrange (1.5) vindo
a resultar em:
∂α F αβ +
m µαβ
Fαµ = 0,
2
(2.4)
que em termos do dual (2.2) toma a forma:
− αµν ∂µ F̃ν + mF̃ α = 0.
(2.5)
No contexto da teoria quântica de campos e da relatividade geral, é sabido que
o tensor energia-momentum é a quantidade tensorial usada para descrever o fluxo
de matéria e energia em um determinado campo. Mais especificamente, voltado ao
nosso caso, temos o tensor energia-momentum canônico que é obtido da aplicação
do teorema de Noether, este tensor é definido como sendo:
∂L
λµ
T(c) =
∂ λ Aβ − g λµ L.
∂ (∂µ Aβ )
(2.6)
Inserindo 2.1 em 2.6 obtemos:
1
1
λµ
T(c)
= F µβ ∂ λ Aβ − g λµ Fα F α + m Aα αµβ ∂ λ Aβ − g λµ F α Aα ,
2
2
(2.7)
em que no caso m = 0 recuperamos o tensor energia-momentum canonônico para o
campo de Maxwell[31]
1
λµ
T(c)
= F µβ ∂ λ Aβ − g λµ Fα F α
2
(2.8)
Podemos ver facilmente que o tensor energia-momentum canônico não é simetrizado sob a troca dos ı́ndices µ ↔ ν, casos como este, onde este tensor não é
simétrico, o substituimos usualmente por um outro, simétrico, que lhe é equivalente
enquanto densidade de energia e momento [40] [41], isso significa que observadores
diferentes obtêm resultados diferentes para o mesmo observável fı́sico [31].
2.1 Aspectos Gerais
33
Para encontrar o tensor energia-momentum simentrizado precisamos acrescentar
um termo de divergência total ∂σ Ωσµν a Eq.2.6:
µν
T µν = T(c)
+ ∂σ Ωσµν
(2.9)
onde Ωσµν é obtida de:
1
Ωσµν = − (H σµν − H µνσ + H νσµ ),
2
(2.10)
com
H σµν = i
∂L
(I σν )αβ Aβα ,
∂µ ∂Aα
(2.11)
e
(I σν )αβ = −i(η σα δβν − η να δβρ ),
(2.12)
após as devidas manipulações algébricas, levando em consideração as expressões
acima, obtemos a expressão para o tensor energia-momentum simetrizado como
sendo:
1
T µν = F µα Fαν + Fαβ F αβ g µν
4
(2.13)
que também pode ser reescrito em termos de (2.2) e se torna :
1
T µν = F̃ µ F̃ ν − F̃ α F̃α g µν .
2
(2.14)
Como podemos notar, o tensor energia-momentum descrito acima não depende
do termo de massa o que confere à teoria o seu caráter topológico, este objeto
matemático traz consigo a descrição energética do sistema e sua relação com o
espaço-tempo em suas proximidades, sendo assim a força de Casimir por unidade de
comprimento pode ser obtida tomando o valor esperado da componente T 11 , na qual
indica pressão e leva em consideração as condições de contorno para a obtenção de
seu valor. Outras componentes deste tensor também são relevantes no contexto da
TQC, como por exemplo, a componente T 00 que representa a densidade de energia
e as componentes T 0ν ou T µ0 que representam a desensidade de momentum.
Tomando o valor esperado de T 11 na a Eq.(2.14), pode-se escrever:
1 0
1 1
1 2
0
0
1
0
2
0
11
hT i = lim0 hF (x)F (x )i + hF (x)F (x )i − hF (x)F (x )i ,
2
2
2
x→x
(2.15)
2.1 Aspectos Gerais
34
onde x = (t, x, y) e as componentes do tensor dual F̃µ ( no qual compõe os campos E
e B da teoria) estão relacionados com as componentes das funções de Green através
da equação:
Z
F̃µ (x) =
0
dx0 Gµν (x, x0 )Jν (x ),
(2.16)
em que Gµν é a função de Green que devemos encontrar associada à Eq.( 2.5). Neste
caso, a equação diferencial satisfeita por Gµν , é dada por:
(µαβ ∂ α + mgµβ )Gβρ (x, x0 ) = −δµρ δ(x − x0 ).
(2.17)
Seguindo a Ref.[21], podemos reescrever os valores esperados hFµ (x)Fν (x0 )i como:
0
hFµ (x)Fν (x0 )i = −iνλσ ∂ Gσµ (x, x0 ).
(2.18)
Por simplicidade na obtenção da solução podemos introduzir a transformada de
Fourier de Gµν
µν
0
Z
dω −iω(t−t0 )
e
2π
G (x, x ) =
Z
=
Z
dω −iω(t−t0 )
e
2π
dk ik(y−y0 )
e
2π
Z
Z
d$ −i$(x−x0 ) µν
e
G (K)
2π
dk ik(y−y0 ) µν
e
G (κ, ω; x − x0 ),
2π
(2.19)
(2.20)
onde K representa as variáveis (ω, $, κ) e
µν
0
G (κ, ω; x − x ) =
Z
d$ −i$(x−x0 ) µν
e
G (K),
2π
assim podemos reescrever os valores esperados como sendo:
1 ∂G02 ∂G01
0
hF0 (x)F0 (x )i =
−
i ∂x0
∂y 0
Z
Z
dω −iω(t−t0 ) dk ik(y−y0 ) 1 ∂G 02
01
=
e
e
+ κG
2π
2π
i ∂x0
1
∂G12 ∂G10
hF1 (x)F1 (x )i =
− 0 −
i
∂t
∂y 0
Z
Z
dω −iω(t−t0 ) dk ik(y−y0 ) 10
=
e
e
κG − ωG 12
2π
2π
(2.21)
(2.22)
0
1 ∂G20 ∂G21
hF2 (x)F2 (x )i =
−
i ∂x0
∂t0
Z
Z
dω −iω(t−t0 ) dk ik(y−y0 ) 1 ∂G 20
21
=
e
e
+ ωG
2π
2π
i ∂x0
(2.23)
0
(2.24)
2.1 Aspectos Gerais
35
Subtituindo as expressões acima na Eq.(2.15)e organizando a equação em termos
semelhantes concluı́mos que:
Z
11
hT i = − lim0
x→x
dω −iω(t−t0 )
e
2π
Z
dκ iκ(y−y0 ) 11
e
t ,
2π
(2.25)
onde
11
t
1 ∂
ω 12
κ 01
10
21
02
20
=
(G − G ) + (G + G ) − (G + G ) .
2i ∂x0
2
2
(2.26)
As componentes G µν podem ser obtidas com auxilio da Eq.(2.17) lenvando em
conta que µ, ν = 0, 1, 2. Assim, obtemos que as componentes G 01 , G 11 e G 21 satisfazem o seguinte sistema de equações diferenciais acopladas [24]



ikG 01 − mG 11 − iωG 21 = δ(x − x0 )



∂ 21
mG 01 − ikG 11 +
G =0

∂x


∂ 01


G − iωG 11 + mG 21 = 0
∂x
Por outro lado, as componentes G 00 , G 10 e G 20 satisfazem:

∂ 20


mG 00 − ikG 10 +
G = δ(x − x0 )


∂x

ikG 00 − mG 10 − iωG 20 = 0



∂


− G 00 + iωG 10 − mG 20 = 0
∂x
Por último, G 22 , G 12 e G 02 satisfazem:

∂


− G 02 + iωG 12 − mG 22 = δ(x − x0 )


 ∂x
∂ 22
02
12
+mG
−
iκG
+
G =0

∂x




−ikG 02 + iωG 22 + mG 12 = 0
(2.27)
(2.28)
(2.29)
Desta forma, para obtermos o valor esperado de T 11 precisamos determinar as
componentes de G µν da função de Green que estão contidas no tensor de forma
univoca e assim obter a força de Casimir por unidade de comprimento, no entanto
as componentes de G µν precisam ser conhecidas, e estas por sua vez são soluções
de equações diferenciais de primeira e de segunda ordem, tais soluções só serão
possı́veis mediante o conhecimento das condições relacionadas com cada uma das
componentes de G µν , tais condições são estabelecidas mediante a determinação das
condições de fronteiras do sistema em estudo[31]. Assim pretendemos investigar a
influência da condição simétrica nas fronteiras tomando duas linhas PCE.
2.2 Aplicação das condições de fronteiras para o caso PCE
2.2
36
Aplicação das condições de fronteiras para o
caso PCE
Como havı́amos discutido anteriormente as condições de contorno não são apenas
importantes do ponto de vista matemático, elas podem trazer consigo mudanças na
descrição do fenômeno fı́sico em questão ocasionadas pela interação que o campo
tem com fronteira, podendo ser do tipo Dirichlet, Neumann ou Robin [37]. No
presente caso vamos impor ao campo que uma das componentes do campo elétrico
seja paralelo as linhas localizadas em x = 0 e em x = a, seja nulo, ou seja, F1 = 0,
o que implica em Ey (0) = Ey (a) = 0 que em termos de Gµν são dadas por:
G1µ (x = 0) = G1µ (x = a) = 0
(2.30)
Tais condições, são necessárias para a solução das equações diferenciais que aparecem acopladas nos sistemas acima. Podemos, com um pouco de trabalho,manipular
o sistema (2.27) e desacoplar a equação diferencial G 11 como sendo:
∂2
κ + 2
∂x
2
G
11
=
1 ∂2
m−
m ∂x2
δ(x − x0 )
(2.31)
onde κ2 = ω 2 − m2 − k 2 . Podemos realizar uma transformação conveniente na
Eq.(2.31) e fazer G̃ 11 = G 11 + (1/m)δ(x − x0 ) e obtermos:
∂2
κ2
11
2
κ + 2 G̃ = m +
δ(x − x0 )
∂x
m
(2.32)
ou
∂2
κ + 2
∂x
2
G̃ 11 = −
ρ2
δ(x − x0 )
m
(2.33)
onde ρ2 = k 2 − ω 2 .
Para a solução da Eq.(2.33) é aplicado o método da continuidade, conforme
sugere a referência [39], na qual se aplica a condição G 11 (x = 0 ou a) = 0. Como
solução obtivemos:
G̃ 11 = −
ρ2 (ss)
,
mκ sin κa
onde foi empregada as seguintes notações [37].
(2.34)
37
(ss) = sin κx< sin κ(x> − a)

 sin κx cos κ(x0 − a) se x < x0 ,
(sc) =
 cos κx0 sin κ(x − a) sex > x0 ,
(2.35)
(cc) = cos κx< cos κ(x> − a)

 cos κx sin κ(x0 − a) se x < x0 ,
(cs) =
 sin κx0 cos κ(x − a) se x > x0 ,
(2.37)
(2.36)
(2.38)
nas expressões acima x> (x< ) indicam o maior (menor) de x e x0 .
Ainda com relação ao sistema(2.27) podemos escrever G 21 em termos de G 11 ,
m
ik ∂
11
G =− 2
iω −
G 21 ,
(2.39)
(k + m2 )
m ∂x
em que desprezamos o termo referente a δ(x − x0 ) pelo fato de tomarmos o lim x0 →
x. Escrevendo G 21 como uma combinação linear dos termos em (2.36 e 2.38) nós
encontramos a solução para G 21
G
21
i
ω
k
=
(cs) − (ss) .
sin κa m
k
Da mesma forma, nós podemos calcular G 01 a partir da equação:
∂
iω
+ ikm G 01 = (m2 − ω 2 )G 11 ,
∂x
(2.40)
(2.41)
obtendo
G
01
i
ω
k
(cs) − (ss) .
=
sin κa m
κ
(2.42)
Utilizando do mesmo raciocı́nio podemos resolver os sistemas (2.28) e (2.29)
encontrando a solução para a equação diferencial das componentes G 10 e G 12 da
função de Green. As equações diferenciais são:
∂2
ω ∂2
10
2
κ + 2
G =i k+
δ(x − x0 )
∂ x
m ∂ 2x
∂2
k ∂
2
12
κ + 2
G =i ω+
δ(x − x0 )
∂ x
m ∂x
(2.43)
(2.44)
38
com suas respectivas soluções:
G
10
i
k
ω
=
(ss) − (sc)
sin κa κ
m
(2.45)
G
12
i
ω
k
=
(ss) − (sc)
sin κa κ
m
(2.46)
e
a partir dessas e com auxı́lio das:
∂
ωk
ik ∂
02
+ iω G =
−
G 12
m ∂x
∂x
m
ω ∂
m ∂
20
m+
G =
− iω G 10
k ∂x
ik ∂x
(2.47)
(2.48)
podemos encontrar, por combinação linear de (2.36 e 2.38), as componentes G 20
e G 02 que são respectivamente:
ω2
k2
kκ
1
mkω
20
(ss) − 2 (sc) − 2 (cs) +
(cc)
G =
sin κa ρ2 κ
ρ
ρ
mρ2
(2.49)
e
G
02
1
mkω
ω2
k2
kκ
=
(ss) − 2 (cs) − 2 (sc) +
(cc)
sin κa ρ2 κ
ρ
ρ
mρ2
(2.50)
Com isso obtivemos as componentes das funções de Green que compõem o tensor
energia-momento em (2.26). Inserindo estas funções e realizando algumas simplificações, nós obtemos.
1 ∂
t (x) = lim0
x→x
2i ∂x0
11
1
2
2
(ω [(sc) − (cs)] + k [(cs) − (sc)]
ρ2 sin κa
1 kω
1 ωk
+
[(sc) − (cs)] −
[(sc) − (cs)] ,
i sin κa 2 m
i sin κa 2 m
(2.51)
nos termos restantes nós usamos
lim0
x→x
∂
(sc) = −κ sin κx sin κ(x − a),
∂x0
(2.52)
∂
(cs) = κ cos κ cos κ(x − a),
∂x0
(2.53)
iκ
cot κa.
2
(2.54)
lim0
x→x
para obter
t11 (x = 0 ou x = a) = −
39
Assim a partir do valor obtido para t11 obtém-se a seguinte expressão para a força
de Casimir:
i
f (m) = hT i =
2
11
Z
dω dk
κ cot κa,
2π 2π
ou , introduzindo as variáveis euclidianas ω → iξ e κ → iλ,
Z
2
dξdk λ
1 + 2λa
,
f (m) = −
(2π)2 2
e −1
(2.55)
(2.56)
onde λ2 = ξ 2 +m2 +k 2 . Omitindo o termo constante 2 , pode-se reescrever a expressão
para a força como:
Z
f (m) = −
dξdk
λ
2
2λa
(2π) e − 1
(2.57)
Dessa forma o resultado é o mesmo obtido na Ref.[37] para o caso de duas linhas
PCE, em que a expressão para a força por unidade de comprimento é a mesma da
referência supracitada ou seja:
1
f (m) = −
16πa3
∞
y2
dy y
e −2
2ma
Z
(2.58)
precisamos resolver a integração acima submetendo para isso o termo m aos seguintes
limites, primeiramente para m → 0 e posteriormente para ma >> 1.
Para o primeiro caso, em que (m → 0) a integração resulta em:
f (m = 0) = −
1
ζ(3),
8πa3
(2.59)
em que ζ(n) para n = 3 é a função Zeta de Riemann. Para ma >> 1 a integração
2
Segundo Miltonet al. no cálculo da força de Casimir os termos constantes são omitidos basi-
camente por três motivos: (1) pode ser considerado como um termo de contato; (2) por ser um
termo que seria cancelado por uma contribuição devida ao campo externo; e (3) por ser um termo
que não depende da distância entre as placas
40
pode ser aproximada pela seguinte expressão
f (m) ≈ −
1
(2m2 a2 + 2ma + 1)e−2ma
8πa3
(2.60)
e ser compreendida através do gráfico
f HΑL
2.0
1.5
1.0
0.5
Α
2
4
6
8
Figura 2.1: Modulo da Força de Casimir para o caso de linhas PCE, em que α = 2ma.
Mostrando que a força de Casimir é atrativa e diminui exponencialmente conforme o aumento da massa.
Capı́tulo 3
Modelo de MCS com condições de
fronteiras dinâmicas
Nos capı́tulos 1 e 2 deste trabalho dissertamos sobre o efeito Casimir em seu caso
clássico (descrito primeiramente por H.B.G. Casimir) bem como do efeito Casimir
no contexto da teoria de Maxwell-Chern-Simons, respectivamente, ambos no regime
estático. Neste capı́tulo pretendemos investigar a força de Casimir em seu estado
dinâmico no modelo de Maxwell-Chern-Simons, em que uma fronteira movendo-se
no vácuo faz surgir uma força dissipativa ao mesmo tempo que promove a criação
de partı́culas ocasionada pela “excitação”do campo no interior da cavidade, assim
pretendemos encontrar uma expressão para tal força.
O efeito Casimir dinâmico é um dos fenômenos fı́sicos mais surpreendentes pelo
seu caráter não intuitivo de que o vácuo possa exercer algum tipo de influência
sobre objetos macroscópicos ao passo que pode fazer surgir partı́culas a partir do
“nada”, foi investigado inicialmente por Moore [14] e por Fulling e Daves [15], ambos investigaram o efeito Casimir dinâmico considerando um campo escalar real não
massivo em (1+1)dimensões a partir da solução exata do campo obtida via transformações conformes. A pesar desse método resolver o problema para o caso sem
massa e em (1+1)dimensões ele não é geral para dimensões mais altas e nem para
o caso massivo, em contra partida temos o método de Ford e Vilenkin baseado em
um método pertubativo que apesar de apresentar desvantagem em relação ao de
CAPÍTULO 3. MODELO DE MCS COM CONDIÇÕES DE
FRONTEIRAS DINÂMICAS
42
Moore e de Fulling-Daves para o caso unidimensional e sem massa, admite resultados satisfatórios quando se considera dimensões mais altas associadas a campos
massivos.
No contexto experimental o efeito Casimir dinâmico ganhou notável repercussão
ao ser confirmado em sua primeira observação com o auxı́lio de um circuito supercondutor denominado de SQUID[17]. Motivados por esses fatos, pretendemos
agora investigar o efeito Casimir dinâmico no modelo de Maxwell-Chern-Simons
abordando o problema através do método de Ford-Vilenkin.
Como mencionado anteriormente,o método de Ford-Vilenkin é pertubativo e consiste em considerar o campo φ como sendo a solução do problema estático acrescido
de um termo, em primeira ordem, que represente tal pertubação ocasionada pela
movimentação da fronteira, isso nos permite escrever:
φ(t, x) = φ0 (t, x) + δφ(t, x),
(3.1)
Na equação acima, não estamos interessados no campo φ(t, x), nosso campo de
interesse é o campo Fν , ao aplicarmos a ideia de Ford-Vilenkin devemos tratar a
solução como sendo na forma:
Fν = Fν(0) + δFν ,
(0)
com Fν
(3.2)
sendo a solução para o caso estático.
Podemos estender a pertubação definida para o campo em (3.2), também para
a função de Green com auxilio da
Z
Fν = Gνµ (x, x0 )J ν (x0 )dx0 ,
(3.3)
de forma a escrevermos a função de Green na forma:
0
0
Gρν (x, x0 ) = G(0)
ρν (x, x ) + δGρν (x, x ).
(3.4)
Agora partindo da lagrangeana (2.1), podemos encontrar as equações de movimento com auxilio das equações de Euler-Lagrange
− νµλ ∂ν F̃λ + mF̃ ν = J ν ,
(3.5)
43
onde agora se tem o termo de fonte J ν , com essa consideração e após as devidas manipulações algébricas podemos encontrar a equação de Klein-Gordon para a mesma,
como sendo
( + m2 )F̃ρ = mJρ + ρθλ ∂ θ J λ
(3.6)
Como de usual no método da função de Green podemos escrever a solução do
campo Fν através da (3.3), substituindo essa última em (3.6) e igualando alguns
integrandos obtemos:
( + m2 )Gρν (x, x0 ) = mgρν δ 3 (x − x0 ) + ρθν ∂ θ δ(x − x0 ).
(3.7)
Ainda podemos desenvolver a equação acima com a informação contida em (3.4),
resultando em:
0
2
0
0
θ
0
( + m2 )G(0)
ρν (x, x ) + ( + m )δGρν (x, x ) = mgρν δ(x − x ) + ρθν ∂ δ(x − x ). (3.8)
(0)
No entanto, a função de Green não pertubada Gρν obedece a equação do caso
estacionário que é equivalente à
0
0
θ
0
( + m2 )G(0)
ρν (x, x ) = mgρν δ(x − x ) + ρθν ∂ δ(x − x ),
(3.9)
tendo em vista que são conhecidas as equações satisfeitas por Fν e Fν0 (o que é
(0)
válido também para Gρν e Gρν ), assim como suas respectivas condições de contorno
[16]. Substituindo esta última equação em (3.8) e cancelando os termos simétricos,
concluı́mos que:
( + m2 )δGρν (x, x0 ) = 0.
(3.10)
Partindo da ideia contida no caso estático, em que calculamos o valor esperado
do tensor Tµν com auxilio das componentes da função de Green Gµν , aqui a ideia
permanece a mesma com o fato de que agora as funções de Green estão acrescidas
de δGρν (x, x0 ), tal consideração nos leva a escrever
hT11 i = hT11 i0 + δhT11 i
(3.11)
em que hT11 i0 é o valor esperado do tensor energia-momentum para o caso estático
e δhT 11 i é o valor esperado da pressão provocada pela pertubação. Agora nossa
pretensão é calcular δhT 11 i, cuja expressão é:
Z
Z
dω −iω(t−t0 ) dκ iκ(y−y0 )
δhT11 i = − lim0
e
e
δt11 ,
x→x
2π
2π
(3.12)
44
em que,
ω
1 ∂
k
01
10
12
21
02
20
=
(δG − δG ) + (δG + δG ) − (δG + δG ) .
2i ∂x0
2
2
δt11
(3.13)
Precisamos obter as soluções das seguintes componentes das funções de Green perturbadas que definem o respectivo tensor energia-momentum.
Na tentativa de encontrar as funções de Green que compõem (3.13), podemos
resolver analogamente como no caso estático, de forma a montarmos três sistemas
de equações diferenciais com auxı́lio da equação
(µαβ ∂ α + mgµβ )Gβρ (x, x0 ) = −δµρ δ(x − x0 ),
(3.14)
substituindo a Eq. (3.4) em (3.14).
Para calcular as soluções do problema dinâmico partimos do conjunto de equações
diferenciais para a função Gµν , fazendo uso das Eqs. (2.4) e (3.3):
µαβ ∂ α Gβν + mGµν + g µν δ(x − x0 ) = 0
(3.15)
e usando (3.4) podemos obter um conjunto de equações semelhantes:
µαβ ∂ α δGβν + mδGµν = 0.
(3.16)
Teremos, a tı́tulo de exemplo, uma das equações que compõem um dos três
sistemas de equações diferenciais acoplados, sem considerar as transformadas de
Fourier das componentes de Gµν , quando consideramos µ = ρ = 0 em (3.15):
− mG00 + ∂y G10 − ∂x G20 = −δ(x − x0 ),
(3.17)
no entanto, devemos nos atentar ao fato de que as componentes acima são da forma
(3.4), o que implica em:
00
10
10
20
20
0
− m(G00
(0) + δG ) + ∂y (G(0) + δG ) − ∂x (G(0) + δG ) = −δ(x − x ),
(3.18)
no entanto,
10
20
0
− m(G00
(0) ) + ∂y (G(0) ) − ∂x (G(0) ) = −δ(x − x )
(3.19)
substituindo esta última na (3.18) realizando as devidas simplificações obteremos:
− mδG00 + ∂y δG10 − ∂x δG20 = 0
(3.20)
45
Utilizando do argumento acima podemos montar os sistemas de equações diferenciais acoplados de modo que as componentes δG 01 ,δG 11 , δG 21 devem satisfazer:


 −iκδG 01 + mδG 11 + iωδG 21 = 0



∂
mδG 01 − iκδG 11 +
δG 21 = 0
(3.21)

∂x



 ∂ δG 01 − iωδG 11 + mδG 21 = 0
∂x
Por outro lado, as componentes δG 00 , δG 10 e δG 20 devem satisfazer:

∂

00
10

−mδG
+
iκδG
−
δG 20 = 0


∂x

−iκδG 00 + mδG 10 + iωδG 20 = 0




 ∂ δG 00 − iωδG 10 + mδG 20 = 0
∂x
Por último, δG 22 , δG 12 e δG 02 satisfazem:

∂


δG 02 = 0
mδG 22 − iωδG 12 +


∂x

∂
δG 22 − iκδG 12 + mδG 02 = 0

∂x



 iωδG 22 + mδG 12 − iκδG 02 = 0
(3.22)
(3.23)
Seguindo [36], adotamos as condição de contorno de linhas condutoras, ou seja,
F1 = 0, o que impõe para a função de Green em ambas fronteiras:
G1ν (x = 0) = 0; G1ν (x = a + εδq (t)) = 0,
(3.24)
ε é a amplitude do movimento. Mesmo sabendo que na situação estática temos:
(0)
(0)
G1ν (x = 0) = 0; G1ν (x = a) = 0
(3.25)
podemos mostrar que a condição de contorno transferida para a variação da função
de Green é:
(0)
δG1ν (x = a, x0 ) = −εδq (t) ∂x G1ν (x = a, x0 )
(3.26)
δG1ν (x = 0) = 0,
(3.27)
e
respectivamente. Introduzindo a transformada de Fourier espacial para as coordenadas transversais, juntamente com uma transformada de Fourier no tempo, para
as variações da função de Green:
Z
Z
dω −iω(t−t0 ) dk ik(y−y0 )
0
δGµν (x, x ) =
e
e
δGµν (k, ω; x, x0 ),
2π
2π
(3.28)
a condição de contorno, o torna-se:
Z
dω 0
(0)
0
δQ (ω − ω 0 ) ∂x G1ν (k, ω 0 ; x = a, x0 )
δG1ν (k, ω; x = a, x ) = −ε
2π
δG 1ν (k, ω; x = 0, x0 ) = 0
46
(3.29)
(3.30)
(0)
onde as funções G1ν são conhecidas e são soluções do problema estático. As equações
diferenciais são:
∂2
2
κ + 2 δG 11 = 0,
∂x
∂2
2
κ + 2 δG 10 = 0,
∂x
(3.31)
(3.32)
e
∂2
2
κ + 2 δG 12 = 0.
∂x
Resolvendo estas equações obtivemos as seguintes soluções:
2
Z
ρ (SS)
11
0
0
δG (x, x ) = χ(ω, ω , a)
dω
m
12
0
Z
δG (x, x ) = i κ
k
ω0
χ(ω, ω , a)
(SC) − (SS) dω 0
m
κ
0
0
(SS) =
(CC) =
(SC) =
(CS) =
χ(ω, ω 0 , a) =
Z
0
(3.34)
ω0
k
δG (x, x ) = iκ χ(ω, ω , a)
(SC) − (SS) dω 0 .
m
κ
Em que usamos as seguinte notações:
10
(3.33)
(3.35)

 sin κ (x0 + a) sin κ x x < x0
 sin κ x sin κ x0
x > x0

 cos κ x cos κ (x0 − a) x < x0
 cos κ x0 cos κ x
x > x0

 sin κ x cos κ (x0 − a) x < x0
 cos κ x0 sin κ x
x > x0

 cos κ x sin κ (x0 − a) x < x0
 sin κ x0 cos κ x x > x0

 − δQ(ω−ω0 ) cos(aκ)
x < x0
2π (sin(aκ))2
 δQ(ω−ω0 )
x > x0
2π (sin(aκ))2
(3.36)
(3.37)
(3.38)
(3.39)
(3.40)
(3.41)
47
As demais componentes podem ser encontradas por intermédio das relações:
ik ∂
(k + m )δG = −m iω −
δG 21
m ∂x
∂
+ ikm δG 01 = (m2 − ω 2 )δG 11
iω
∂x
ik ∂
∂
ωk
02
+ iω δG =
−
δG 12
m ∂x
∂x
m
ω ∂
m ∂
20
m+
δG =
− iω δG 10
k ∂x
ik ∂x
2
2
11
(3.42)
(3.43)
(3.44)
(3.45)
Dessa forma as soluções obtidas são:
21
k
ω0
χ(ω, ω , a) −(CS) + (SS)
m
κ
Z
0
δG (x, x ) = iκ
01
Z
0
δG (x, x ) = iκ
0
dω 0
k
ω0
χ(ω, ω , a) (SS) − (CS)
dω 0
κ
m
0
(3.46)
(3.47)
As solução para a componente G 20 :
20
Z
0
δG (x, x ) = κ
0
χ(ω, ω , a)
kκ ω 0
ω 02
(CC)
−
(SC) +
mρ2
ρ2
k2
kmω 0
+ 2 (CS) −
(SS) dω 0 . (3.48)
ρ
κρ2
A solução para a componente G 02 é:
20 2
ω0 mκ2 − mω03
ω k κ + κ m2 ω02
− (CS)
+
δG (x, x ) = κ χ(ω, ω , a) −(SS)
(k 2 + m2 ) ρ2
k (k 2 + m2 ) ρ2
2 2
−k κ + k 2 ω02
−kκ m2 ω0 − k 3 κ ω0
+(SC)
+ (CC)
dω 0 (3.49)
(k 2 + m2 ) ρ2
m (k 2 + m2 ) ρ2
02
Z
0
0
Ao substituir estas na componente δT 11 do tensor energia-momentum, levando
em consideração x < x0 , x > x0 e avaliando respectivamente em x = 0 e x = a
obtivemos respectivamente:
Z
δt11 (0) = iκ
#
2
02
0
2
2
κ
m
k
+
ω
−
2kω
(
κ
+
ρ
)
µ(ω, ω 0 , a) cot (aκ)
dω 0
2
2 mρ
"
(3.50)
48
e
Z
δt11 (a) = iκ
cot (aκ)
µ(ω, ω , a)
2ρ2
0
h
kmω 0 κ2
−
k +ω κ + 2
(k + m2 )
kω 0 ρ2 − κ2
mω 0 2
− 2
+ 2
dω 0 (3.51)
2ρ
m
(k + m2 )
2
02
i
quando avaliado na fronteira em movimento.
Em que:
µ(ω, ω 0 , a) =
δQ (ω − ω 0 ) cos (aκ)
.
2π sin (aκ)
(3.52)
Os resultados obtidos até o momento são inconclusivos e sugerem outra alternativa para abordar este tipo de problema, tendo em vista que as expressões para o
valor médio do tensor energia-momentum não fornece um resultado dotado de significado fı́sico aparente em virtude das assimetrias definidas nas funções de Green
para o caso dinâmico. Até o presente momento não foi encontrada a técnica para
a obtenção de resultados satisfatórios, também não observou-se na literatura o tratamento para tal caso envolvendo problemas em (2+1)D com campos vetoriais e
massivos que apontassem para uma forma de abordar o problema, permanecendo
este ainda em aberto e tornando-o uma fonte de perspectivas para continuação do
presente trabalho.
Considerações Finais
Nesta monografia estudamos o efeito Casimir no contexto da teoria de ChernSimons, abordando, primeiramente, este tema em uma perspectiva histórica, revendo
o pensamento grego a cerca do conceito de vácuo e a relação deste com o desenvolvimento da fı́sica clássica e posteriormente um desenvolvimento mais técnico da
teoria.
Com o desenvolvimento da mecânica quântica percebemos uma mudança profunda a cerca da interpretação da manifestação do vácuo quântico, decorrente das
flutuações do vácuo, contrariando o conceito clássico, tido como um espaço vazio,
inerte e insensı́vel a qualquer estı́mulo externo, configurando-se agora de forma mais
moderna como vácuo quântico, um espaço sem matéria e radiação, mas pleno de
flutuações quânticas sensı́veis a estı́mulos externos, é nesta perspectiva em que surge
a previsão teórica do efeito Casimir feita por H.B.G. Casimir em 1948, tido como
a força de atração entre duas placas perfeitamente condutoras em uma região de
vácuo.
No capı́tulo 1 dissertamos a cerca do desenvolvimento de alguns aspectos da
teoria de Chern- Simons, uma teoria puramente matemática mas que teve sua relevância reconhecida no âmbito das aplicações para a descrição de sistemas fı́sicos
planares, ainda neste mesmo capı́tulo procurou-se desenvolver a teoria de ChernSimons acoplada à teoria eletromagnética de Maxwell, uma vez que a lagrangeana
de Chern- Simons por si só não faz sentido em um contexto fı́sico, como resultado
deste acoplamento obtivemos uma teoria de caráter massivo na qual as equações
de movimento apontavam para uma nova fı́sica associada ao eletromagnetismo no
plano, diferentemente da teoria eletromagnética de Maxwell, a consequência deste
CONSIDERAÇÕES FINAIS
50
acoplamento provoca uma mudança, o campo magnético é visto como um pseudoescalar no qual seu fluxo acompanha a carga, também percebeu-se que m aparece
como vı́nculo fundamental das interações do campo de Calibre Aµ e tem dimensão
de massa, a este termo é dado o nome de campo de calibre topologicamente massivo.
No capı́tulo 2 estudamos o efeito Casimir no modelo de Maxwell-Chern-Simons
em uma situação estática à temperatura nula através do método da função de Green
para tal caso revisitamos a referência [36], refazendo os cálculos obteve-se a expressão
da força de Casimir em tal situação como sendo a Eq. (2.54), diferindo a menos
de um sinal da referencia suprecitada, o motivo disso está na definição do tensor
de Levi Civita onde considerou-se αµν = −αµν ao invés de αµν = αµν conforme a
referência [36].
No capı́tulo 3 procurou-se apresentar novos resultados considerando ainda o
modelo de Maxwell-Chern-Simons à temperatura nula, no entanto em um regime
dinâmico, em que uma das fronteiras da cavidade permanece em movimento, considerouse o método da função de Green associado ao método pertubativo de Ford-Vilenkin.
Como resultado podemos dizer que obtivemos uma tentativa para a descrição
do efeito Casimir neste regime, tendo como uma das motivações a não observância
deste caso na literatura , permanecendo este ainda em aberto em muitos aspectos e
tornando-o uma fonte de perspectivas para continuação do presente trabalho.
Apêndice A
As equações de Maxwell e suas
representações
Neste apêndice faremos uma breve apresentação da teoria clássica do eletromagnetismo de Maxwell dando enfoque nas representações em sua forma clássica,
descrita pelos operadores diferenciais, e em sua forma covariante, destacando a teoria eletromagnética como uma teoria de calibre caracterizada por sua liberdade na
escolha de calibre concernentes aos potenciais escalar e vetorial.
As equações de Maxwell
A teoria eletromagnética de Maxwell provou mais uma vez à humanidade a capacidade da representação matemática nos fenômenos fı́sicos através de uma linguagem
própria, destacando a teoria eletromagnética como sendo um dos maiores feitos da
mente humana a cerca da natureza.
Podemos descrever a teoria eletromagnética, basicamente, por dois campos veto→
−
→
−
riais: o campo elétrico E e o campo indução magnética B ;,ambos vetoriais, sendo
estes as representações das soluções das equações de Maxwell, representas em sua
forma diferencial por:
→
−
ρ
∇· E =
→
−
∇· B =0
→
−
→
−
∂B
∇× E =−
∂t
(A.1)
(A.2)
(A.3)
52
→
−
→
−
→
−
∂E
∇ × B = µ J + µ
∂t
(A.4)
sendo estas, respectivamente,a Lei de Gauss para a eletricidade, Lei de Gauss
para o magnetismo,Lei de Faraday e a Lei de Ampère. Tais equações estão
escritas em de acordo com o sistema internacional de unidades.
→
−
A densidade de carga ρ(x, t) e de corrente J (x, t) são de fato as fontes dos
campos e estão relacionados entre si através da equação:
→
−
−
J = ρ→
v
(A.5)
sendo que o fato destas distribuições não estarem relacionadas nas(A.3)e(A.2)dão a
essas a denominação de equações homogêneas de Maxwell, enquanto que as demais
são ditas não homogêneas.
Manipulando devidamente as equações de Maxwell, podemos encontrar
→
−
∂ρ
+ ∇ · J = 0,
∂t
(A.6)
chamada de equação da continuidade, que exprime um princı́pio de conservação, no
caso, o da carga elétrica.
Exite um teorema no qual afirma que qualquer campo vetorial que cujo seu
divergente seja nulo então tal campo é derivado do rotacional de um outro campo.
Com essa afirmação e observando a Eq.(A.2) podemos introduzir a seguinte equação:
→
−
→
−
B =∇× A
(A.7)
→
−
onde A é um campo auxiliar denominado de potencial vetor.
Utilizando a (A.7) na (A.3) obtemos:
"
→
−#
→
−
∂A
∇× E +
=0
∂t
(A.8)
→
−
→
−
O vetor E + ∂ A /∂t terá, dessa forma, rotacional nulo e poderá ser expresso como
o gradiente de um escalar:
→
−
→
−
∂A
E = −∇ϕ −
∂t
(A.9)
Ao substituir (A.7) e (A.9) em (A.4), teremos que
→
−
→
−
→
−
∂
∇ × (∇ × A − ∇2 A = J +
∂t
→
−!
∂A
−∇ϕ −
.
∂t
(A.10)
53
Utilizando a identidade vetorial
temos
→
−
→
−
→
−
∇ × ∇ × F = ∇(∇ · F ) − ∇2 F
(A.11)
→
−
→
−
−
→
−
∂ϕ ∂ 2 A
2→
−
∇(∇ · A ) − ∇ A = J − ∇
,
∂t
∂t2
(A.12)
que,ao agruparmos as funções cujo operador gradiente está nestas aplicado
→
−
−
→
−
→
−
∂2 A
∂ϕ
2→
.
−∇ A = J +∇ ∇· A +
∂t2
∂t
(A.13)
Neste ponto é interessante destacarmos a existência de uma infinidade de pares
→
−
→
− →
−
(ϕ, A ) que geram ( E , B ). Por conveniência podemos escolher esses potenciais de
tal forma que:
→
−
∂ϕ
∇· A +
= 0.
∂t
(A.14)
A identidade acima é uma escolha conveniente da relação entre os potenciais denominada Calibre de Lorentz, o que nos leva a reescrever (A.13)como sendo
→
−
→
−
→
−
∂2 A
− ∇2 A = J
2
∂t
(A.15)
Uma outra escolha de calibre que também é permitida pode ser feita tomando
→
−
∇ · A = 0 que na literatura é conhecido como Calibre de Coulomb
→
−
→
− →
−
Como existem uma infinidade de pares de (ϕ, A ) que geram ( E , B ), podemos
→
−
→
−
tomar outros pares (ϕ0 , A 0 ) relacionados a (ϕ, A ) da seguinte forma:
→
−0
∂Λ
ϕ 7−→ ϕ −
∂t
(A.16)
→
−0
→
−
A 7−→ A + ∇Λ
(A.17)
donde Λ = Lambda((x), t) é uma função escalar continua que também satisfaz
o calibre de Lorentz. Esta liberdade de escolha para os potenciais é denominada de
Liberdade de Calibre do Eletromagnetismo.
54
O Eletromagnetismo de Maxwell
Em fı́sica já se é sabido e aceito o fato de que as leis fundamentais que regem a natureza não podem agir diferentemente conforme nossas convenções matemáticas,isso
inclui desde as representações até a escolha de coordenadas, sendo assim podemos
dizer que as leis fı́sicas são invariantes conforme a passagem de um referencial para
outro. Matematicamente, podemos representar tal fato mediante uma notação compacta e elegante que justifique tais fatos introduzindo os tensores.
Admitindo que as equações de Maxwell admitem uma representação covariante
→
−
e tomando isso como verdad temos que as distribuições de carga ρ e de corrente j
relacionadas entre si como
→
−
j µ = (ρ, j ),
(A.18)
denominada de quadri-corrente, que por sua vez,gera um campo da forma
→
−
Aµ = (ϕ, A )
(A.19)
denominado de quadri-potencial.
Note ainda que a escolha dos calibres dadas por (A.16) e (A.17) podem ser
escritas em uma única equação na forma
A0µ 7−→ Aµ − ∂µ Λ,
(A.20)
→
−
Como podemos perceber, os potenciais ϕ e A são objetos matemáticos importantes dos quais derivam os campos, assim sendo podemos afirmar que são justamente os campos derivados dos potenciais,logo esperamos que os campos estejam
escritos em forma covariante que de alguma maneira envolva as derivadas dos quadripotenciais,com isso definimos o chamado Tensor de Maxwell-Faraday ou Tensor
do Campo Eletromagnético, dado pela seguinte definição:
Fµν := ∂µ Aν − ∂ν Aµ ,
(A.21)
que é um tensor de segunda ordem1 , tomando como base esta definição e conhecendo o quadri-potencial em (A.19) podemos construir as componentes do tensor
1
A quantidade de ı́ndices indica a ordem do tensor, no caso de F µν há dois ı́ndices µ e ν, o
que indica um tensor de segunda ordem, com isso podemos afirmar que um escalar também é um
tensor, porém de ordem zero
55
Fµν
Fixando µ = 0 e variando ν em 0, 1, 2, 3
2
na equação (A.21). Logo temos que
para ν = 0:
F00 = ∂0 A0 − ∂0 A0
o que resulta em:
F00 = 0
(A.22)
F01 = ∂0 A1 − ∂1 A0
(A.23)
Para ν = 1
que também podemos reescrever
F01 = −
∂Ax ∂ϕ
−
,
∂t
∂x
(A.24)
que corresponde a componente x do gradiente de ϕ e a derivada temporal da
→
−
componente x do campo A , assim
→
−!
∂A
F01 = −∇ϕ −
∂t
x
que segundo a Eq.() fica
F01 = Ex
(A.25)
De forma análoga teremos para ν = 2:
F02 = ∂0 A2 − ∂2 A0
que fica
F02 = Ey
e finalmente para ν = 3:
F03 = ∂0 A3 − ∂3 A0
2
devemos ter em mente que cada número representa uma coordenada,no caso uma temporal,
representada por 0 e as demais espaciais x, y, z representadas pelos números 1, 2, 3 respectivamente
56
de onde vem
F03 = Ez
Agora se fizermos µ fixo e variarmos ν fazendo uso de (A.21) podemos encontrar
as componentes F10 , F20 , F30 como sendo:
F10 = −Ex
(A.26)
F20 = −Ey
(A.27)
F30 = −Ez
(A.28)
Note que a partir da própria definição do tensor do Campo Eletromagnético
(A.21) as componentes deste para os quais µ = ν são nulas, portanto prosseguiremos
com os cálculos unicamente para µ 6= ν.
Para ν = 2
F12 = ∂1 A2 − ∂2 A1 ,
F12 = −Bz
(A.29)
Para ν = 3:
F13 = ∂1 A3 − ∂1 A3
F13 = By
(A.30)
E finalmente as contribuições não nulas que ainda nos resta calcular virão ao
assumirmos µ = 2 e ν = 3, logo
F23 = ∂2 A3 − ∂3 A2 ,
F23 = −Bx
(A.31)
Realizando os cálculos para todas as combinações de µ e ν que ainda restam
podemos encontrar as demais componentes do tensor que diferem das já encontradas
a menos de um sinal. Então podemos escrever o tensor do Campo Eletromagnético
em sua forma matricial como
57


F µν
0
Ex
Ey
Ez




 −Ex
0
−Bz By 
,
=


 −Ey Bz
0
−Bx 


−Ez −By Bx
0
(A.32)
É importante observar que o tensor(A.32)éanti-simétrico pelo simples fato de
que
Fµν = −Fνµ
(A.33)
o que facilita na determinação das demais componentes.
Também podemos determinar as componentes contravariantes com auxilio de
um importante tensor denotado como g µν denominado de Tensor Métrico de Minkowski este objeto matemático é de suma importância nas operações de ”levantar“
e ”baixar“ı́ndices das grandezas tensoriais e é

1 0


 0 −1
g µν = gµν 

 0 0

0 0
dado explicitamente por

0
0


0
0 


−1 0 

0 −1
(A.34)
logo as componentes contravariantes são dadas por
F µν = g µρ g νβ Fρβ ,
(A.35)
logo

Fµν

0 −Ex −Ey −Ez




 Ex
0
−Bz By 
,
=


 Ey −Bz
0
−Bx 


Ez By
Bx
0
(A.36)
na qual podemos verificar a anti-simetria e cujo os elementos são as componentes
→
− →
−
dos campos vetoriais E e B .
Apêndice B
Funções de Green
A função de Green é utilizada na resolução de equações diferenciais sujeito a termos de fonte (não- homogêneas)e a condições iniciais ou de contorno determinadas.
No presente trabalho exploramos o uso das funções de Green para a soluções das
equações diferenciais que surgiram dos sistemas (2.27),(2.28) e (2.29), baseados no
método da continuidade para se resolver equações diferencias do tipo:
− (∂z2 + λ2 )G(z, z 0 ) = δ(z − z 0 )
(B.1)
considerando as condições de contorno de Dirichlet,
G(0, z 0 ) = G(a, z 0 ) = 0.
(B.2)
Este tipo de equação e método de resolução foram principalmente empregados
na referência ([36].
Para se resolver a Eq.(B.1) devemos primeiramente resolver a sua homogênea
associada.
− (∂z2 + λ2 )G(z, z 0 ) = 0
(B.3)
G = A sin λz
(B.4)
G = B sin λ(z − a),
(B.5)
cuja as soluções são:
para 0 < z < z 0 < a e
58
para 0 < z 0 < z < a. As constantes A e B são determinadas impondo a condição de
continuidade das funções de Green
lim
z→z 0 ,z 0 <z
G(z, z 0 ) =
lim
z→z 0 ,z<z 0
G(z, z 0 )
(B.6)
Pela continuidade das funções de Green expressa pela equação anterior podemos
obter a informação de que:
A sin λz 0 − B sin λ(z 0 − a) = 0
(B.7)
Para determinas as constantes, precisamos de outra equação que relacione as
mesmas. Note que a equação (B.1) não é continua em z = z 0 devido a função
delta, no entanto, quando esta é integrada ao longo do domı́nio esta passa ter algum
sentido para o caso, assim integrando a equação (B.1) temos:
Z
z 0 +
z 0 −
donde
R z0 +
z 0 −
(−∂z2 − λ2 )G(z, z 0 ) = 1.
(B.8)
δ(z − z 0 ) = 1
Efetuando a integração na primeira equação e passando o limite para tendendo
a zero, obtemos:
2
Z
z 0 +
G(z, z 0 )dz
lim(∂z G |z0 − −∂z G |z0 + ) − λ
→0
(B.9)
z 0 −
0
0
Aλ cos λz − Bλ cos λ(z − a) − λ
2
Z
z 0 +
G(z, z 0 )dz = 1
(B.10)
z 0 −
Em que onde pode-se mostrar que o termo:
Z z0 +
2
λ
G(z, z 0 ) = 0
(B.11)
z 0 −
que determina uma área proporcional ao parâmetro infinitesimal . No limite que
este tende a zero a igualdade acima se justifica, restando apenas,
Aλ cos λz 0 − Bλ cos λ(z 0 − a) = 1.
(B.12)
Combinando a B.7 e B.12 as componentes A e B podem ser agora determinadas:
A=−
1 sin λ(z 0 − a)
1 sin λz 0
,B = −
.
λ
sin λa
λ sin λa
(B.13)
Assim, a solução para 0 < z < z 0 < a é
1 sin λ(z 0 − a) sin λz
λ
sin λa
(B.14)
1 sin λz 0 sin λ(z 0 − a)
λ
sin λa
(B.15)
G(z, z 0 ) = −
e para 0 < z 0 < z < a a solução é
G(z, z 0 ) = −
Podemos combinar estas soluções em uma única equação utilizando para isso a
notação z>(z< ) para maior (menor) que z e z 0 e escrever as funções de Green como:
1
G(z, z 0 ) = − sin λz< sin λ(z> − a).
λ
(B.16)
Apêndice C
Tensor energia-momentum
simetrizado
Considera-se lagrangeana do sistema Maxwell-Chern-Simon
1
1
L = F µ Fµ + mF µ Aµ
2
2
de modo que a equação de Euler-Lagrange
∂L
∂L
∂µ
−
=0
∂ (∂µ Aβ )
∂Aβ
obtem-se:
βµρ ∂µ Fρ + mF β = 0
ou
β µρ ∂ µ F ρ + mF β = 0
(C.1)
Tentativa de demonstar o tensor energia momento do Kimball. Partimos do tensor
canônico momento energia definido como:
∂L
λµ
Θ =
∂ λ Aβ − g λµ L
∂ (∂µ Aβ )
(C.2)
redefinindo Aαβ = ∂α Aβ
∂L
∂
1
1
α
α
=
Fα F + mF Aα
∂ (Aµβ )
∂ (Aµβ ) 2
2
η
1
∂F α ∂F ρ
1
∂F α
1 ∂Fα ∂F
α
F
+
F
+
m
Aα
=
α
2 ∂ (F η ) ∂ (Aµβ )
2 ∂ (F ρ ) ∂ (Aµβ ) 2 ∂ (Aµβ )
1
∂F τ ∂F η
1
∂F α ∂F ρ
1
∂F α
α
= gατ
F
+
F
+
m
Aα
α
2
∂ (F η ) ∂ (Aµβ )
2 ∂ (F ρ ) ∂ (Aµβ ) 2 ∂ (Aµβ )
61
∂ (Aητ )
∂F ρ
= ρητ
= ρητ δηµ δτβ = ρµβ
∂ (Aµβ )
∂ (Aµβ )
∂L
∂ (Aµβ )
1
∂F ρ
1
1
= gατ δητ ηµβ F α + Fα δρα
+ mαµβ Aα
2
2
∂ (Aµβ ) 2
1
1
1
= gαη g αλ ηµβ Fλ + Fρ ρµβ + mαµβ Aα
2
2
2
1
1 λ ηµβ
1 αµβ
ρµβ
= δη Fλ + Fρ + m Aα
2
2
2
1
ρµβ
αµβ
= Fρ + mAα 2
vamos obter a expressão ∂β Aµ apartir de F α = αηβ ∂η Aβ sabendo que klm mλτ =
δk λ δl τ − δk τ δl λ
F α = αηβ ∂η Aβ
ασλ F α = σλα αηβ ∂η Aβ
h
i
ασλ F α = δση δλβ − δσβ δλη ∂η Aβ
ασλ F α = ∂σ Aλ − ∂λ Aσ
ασλ F α = Fσλ
σλα F α = Fσλ
λµ
Θ
Θλµ
∂L
∂ (∂µ Aβ )
∂ λ Aβ − g λµ L
1
1
1
ρµβ
αµβ
= Fρ + mAα ∂ λ Aβ − g λµ Fα F α − mg λµ F α Aα
2
2
2
1
1
1
= F µβ ∂ λ Aβ + mAα αµβ ∂ λ Aβ − g λµ Fα F α − mg λµ F α Aα
2
2
2
=
1
1
Θλµ = F µβ ∂ λ Aβ − g λµ Fα F α + m Aα αµβ ∂ λ Aβ − g λµ F α Aα
2
2
Podemos ver facilmente que o tensor canônico não é simetrizado sob mudança de
µ ↔ ν, então para simetriza-lo acrescentamos o o fator Ωσµν que é simétrico com
relação aos dois primeiros ı́ndices:
T µν = Θµν + ∂σ Ωσµν .
Para encontrar o termo que torna o tensor canônico momentum-energia devemos
partir do tensor momentum-angular para um campo Aµ (x) para isto nos sabemos
que o comportamento deste potencial vetor diante de uma transformação infinitesimal de Lorentz:
x0µ = xµ + δω µν xν
A transformação para o potencial
µν
1
A0µ (x0 ) = Aµ (x) + δωαβ I αβ
Aν (x)
2
O gerador infinitesimal do grupo de Lorentz pode ser facilmente determinado a
apartir da propriedades de transformação. A regra de transformação para o potencial
vetor é:
A0µ (x0 ) = Aµ (x) + δω µν Aν (x)
onde implica em:
µν
1
δωαβ I αβ
Aν = δω µν Aν
2
1
αβ µν
µν
δωαβ I
− δω
=0
2
µν
1
δωαβ I αβ
− δωαβ g µα g νβ = 0
2
1 αβ µν
αµ βν
I
−g g
=0
δωαβ
2
sabendo que
I αβ
µν
= − I βα
µν
podemos resolver
1 αβ µν
I
= δω µν
2
µν
1
1
1
1
1
= δω µν + δω µν + δω νµ − δω νµ
δωαβ I αβ
2
2
2
2
2
δωαβ
δω µν = −δω νµ
δωαβ
1 αβ µν
1
1
I
= δω µν − δω νµ
2
2
2
δωαβ I αβ
µν
= δωαβ g µα g νβ − δωαβ g να g µβ
δωαβ I αβ
µν
= δωαβ g αµ g βν − δωαβ g αν g βµ
obtendo
I αβ
µν
= g µα g νβ − g να g µβ
O tensor momento angular é obtido da definição
M µνλ = Θµλ xν − Θµν xλ +
τ
∂L
I νλ σ Aτ
∂ (∂µ Aσ )
com a redefinição do tensor canônico momentum-energia
T µν = Θµν + ∂σ Ωσµν
o tensor-momentun-angular também deve ser modificado para
M̃ µνλ = T µλ xν − T µν xλ
Esta equação implica que
M̃ µνλ = M µνλ + ∂σ η σµνλ
onde η σµνλ deve ser anti-simetrico nos dois primeiro indices
η σµνλ = −η µσνλ
substituindo as expressões dos tensores simetrizado e não simetrizado temos:
T µλ xν − T µν xλ = Θµλ xν − Θµν xλ +
τ
∂L
I νλ σ Aτ + ∂σ η σµνλ
∂ (∂µ Aσ )
Θµλ + ∂β Ωβµλ xν − (Θµν + ∂α Ωαµν ) xλ
temos:
Θµλ xν − Θµν xλ +
τ
∂L
∂ (∂µ Aσ )
∂β Ωβµλ xν − ∂α (Ωαµν ) xλ =
(C.3)
τ
∂L
∂ (∂µ Aσ )
∂xλ
∂xν
∂β Ωβµλ xν − Ωβµλ β − ∂α Ωαµν xλ + Ωαµν α = ...
∂x
∂x
∂β Ωβµλ xν − Ωβµλ δβν − ∂α Ωαµν xλ + Ωαµν δαλ = ...
∂β Ωβµλ xν − ∂α Ωαµν xλ + Ωλµν − Ωνµλ = ...
comparando ambos os lados da equação anterior encontramos a relação entre o termo
Ωλµν e o gerador da transformação infinitesimal:
Ωλµν − Ωνµλ =
τ
∂L
I νλ σ Aτ
∂ (∂µ Aσ )
com esta relação precisamente podemo encontrar o tensor simetrizado do Kimball.
a derivada da lagrangeana
∂L
1
= Fρ ρµβ + mAα αµβ
∂ (∂µ Aβ )
2
sabendo que σλα F α = Fσλ
∂L
1
= F µβ + mAα αµβ
∂ (∂µ Aβ )
2
e com a relação do gerador da álgebra I
I αβ
I αβ
µν
= g αµ g βν − g αν g βµ
µν
gσν = g αµ g βν gσν − g αν gσν g βµ
µ
I αβ σ = g αµ δσβ − δσα g βµ
logo
λµν
Ω
−Ω
νµλ
ντ λ
1
αµσ
g δσ − δσν g λτ Aτ
= F + mAα 2
1
1
= F µλ Aν − F µν Aλ + mAα αµλ Aν − mAα αµν Aλ
2
2
µσ
o termo Ω
Ω
λµν
1
µλ
αµλ
= F + mAα Aν
2
µλα Fα = F µλ
λµν
Ω
1
µλα
αµλ
= Fα + mAα Aν
2
1
= Fα + mAα αµλ Aν
2
então o tensor simetrizado será
T µν = Θµν − ∂σ Ωσµν .
(C.4)
onde
σµν
∂σ Ω
1
αµσ ν
= ∂σ Fα + mAα A
2
1
= ∂σ (Fα αµσ Aν ) + m∂σ (Aα αµσ Aν )
2
(C.5)
o primeiro termo desta relação
∂σ (Fα αµσ Aν ) = (µσα ∂σ Fα ) Aν + Fα αµσ (∂σ Aν )
(C.6)
usando a equação (C.1)
∂σ (Fα αµσ Aν ) = −mF µ Aν + Fα αµσ (∂σ Aν )
e com
1
∂ρ Aλ = − λ ρµ F µ
2
αµσ
∂σ (Fα ν
µ
ν
αµσ
A ) = −mF A + Fα 1
− ν σλ F λ
2
1
= −mF µ Aν − αµσ ν σλ Fα F λ
2

ασµ ησλ
δηα
δσα
δλα


δηα
δλα
0




 σ σ σ 
= det  δη δσ δλ  = det  0 1 0



µ
µ
µ
δηµ 0 δλµ
δη δσ δλ





= δηα δλµ − δηµ δλα
αµσ ν σλ = g νη (αµσ ησλ ) = −g νη δηα δλµ − δηµ δλα
= −g νη δηα δλµ + g νη δηµ δλα
= g νµ δλα − g να δλµ
αµσ ν σλ = g νµ δλα − g να δλµ
ou
1 νµ α
(g δλ − g να δλµ ) Fα F λ
2
1 νµ
µ ν
= −mF A −
g Fλ F λ − F ν F µ
2
∂σ (Fα αµσ Aν ) = −mF µ Aν −
o segundo termo de Eq. (C.4)
1
1
1
m∂σ (Aα αµσ Aν ) = mµσα (∂σ Aα ) Aν + mAα αµσ (∂σ Aν )
2
2
2
1
1
= mF µ Aν + mAα αµσ (∂σ Aν )
2
2
com
1
∂ρ Aλ = − λ ρµ F µ
2
temos
1
1
m∂σ (Aα αµσ Aν ) = mF µ Aν
2
2
1
= mF µ Aν
2
1
= mF µ Aν
2
1
= mF µ Aν
2
3
= mF µ Aν
4
+
−
−
−
−
1 ν
1
αµσ
λ
− σλ F
mAα 2
2
1
mAα (αµσ ν σλ ) F λ
4
1
mAα (g νµ δλα − g να δλµ ) F λ
4
1 νµ
1
mg Aα F α + mAν F µ
4
4
1 νµ
mg Aα F α
4
agora temos
1 νµ
g Fλ F λ − F ν F µ
2
1
3
+ mF µ Aν − mg νµ Aα F α
4
4
1
1 νµ
1
g Fλ F λ − F ν F µ − mg νµ Aα F α
= − mF µ Aν −
4
2
4
∂σ Ωσµν = −mF µ Aν −
∂σ Ωσµν
(C.7)
somando com o tensor não simetrico
1
1
Θνµ = F µβ ∂ ν Aβ − g νµ Fα F α + m Aα αµβ ∂ ν Aβ − g νµ Aα F α
2
2
do qual ainda podemos fazer mais algumas simplificações, usando µβα Fα = F µβ e
∂ ν Aβ = − 12 β
νλ
Fλ
1 βµα
β
2
Θνµ =
νλ
1
1
Fα Fλ − g νµ Fα F α + m Aα αµβ ∂ ν Aβ − g νµ Aα F α
2
2

βµα
β
νλ
gββ
gβµ
gβα


= det  g βν g µν g αν

g βλ g µλ g αλ
= g µν g αλ − g µλ g αν


1 0
0




 = det  0 g µν g αν


0 g µλ g αλ





1
1 µν λ
g F Fλ − F ν F µ − g νµ Fα F α
2
2
1
αµβ ν
νµ
+ m Aα ∂ Aβ − g Aα F α
2
1
∂ ν Aβ = − β νλ Fλ
2
1
1 µν λ
Θνµ =
2 2
1
1 βαµ νλ
νµ
α
+ m − β
Aα Fλ − g Aα F
2
2
Θνµ =
βαµ β
νλ
= g αν g µλ − g αλ g µν
1
1 µν λ
2 2
1
1 αν µλ
νµ
α
αλ µν
Aα Fλ − g Aα F
+ m − g g −g g
2
2
Θνµ =
1
1 µν λ
2 2
1
1 ν µ
µν λ
νµ
α
+ m − A F − g A Fλ − g Aα F
2
2
Θνµ =
1
1 µν λ
2
2
1 ν µ
µν λ
− m A F + g A Fλ
4
Θνµ =
que chegamos a:
1 1
Θνµ = − F ν F µ − m Aν F µ + g µν Aλ Fλ
2
4
(C.8)
por fim montando o tensor simetrizado substituindo (C.7) e (C.6) em (C.3), temos:
T µν = Θνµ − ∂σ Ωσµν
1
1 = − F ν F µ − m Aν F µ + g µν Aλ Fλ
2
4
1
1
1
+ mF µ Aν +
g νµ Fλ F λ − F ν F µ + mg νµ Aα F α
4
2
4
T µν = Θνµ − ∂σ Ωσµν
1
1
1
= − F ν F µ + g νµ Fλ F λ − F ν F µ
2
2
2
chegando finalmente ao tensor do artigo do Kimball a menos de um sinal
1
T µν = −F ν F µ + g νµ Fλ F λ
2
Apêndice D
Tranformação de Lorentz para o
campo
Vamos trabalhar com a transformação de Lorentz para o campo vetorial em
2+1 dimensão. Vale aqui revisitar as transformações de Lorentz entre referenciais
inerciais segundo a relatividade restrita, para observadores que viajam em paralelo
a orientação do eixo x, como chamamos de Boost na direção x, com isso:



x0o = γ (x0 − βx1 )


x01 = γ (x1 − βx0 )




x02 = x2
onde xµ ≡ (x0 , x1 , x2 ) = (t, x, y), fazendo c = 1, esta equação na forma matricial
torna-se:

00
x

 01
 x

x02



0

γ
−γβ 0
x
 


 
 1 
 =  −γβ
γ
0  x 
 


0
0
1
x2
ou de forma compacta
0
x µ = Λµ ν xν ,
(D.1)
em que Λµ ν é a matriz de tranformação de Lorentz para este problema, lembrando
que β = q̇, onde x = q (t) é a posição preescrita da fronteira, então
γ=p
1
1 − β2
69
.
De acordo com o livro do Jackson [1], a relação de transformação entre os campo
para D-dimensão é:
F
e
0αβ
∂x0α ∂x0β γδ
=
F ,
∂xγ ∂xδ

γ
−γβ 0


Λµ ν =  −γβ

0
γ
0



0 ,

1
de (D.1) sabemos que:
∂x0α
= Λαγ .
∂xγ
O campo fundamental desta teoria é o campo tensorial
Aµ = A0 , A1 , A2 = (φ, Ax , Ay ) ,
cuja transformação desse se dá da mesma forma que as coordenadas (ver Jackson
[1]), logo
A0µ = Λµ γ Aγ
ou
gηµ A0µ = A0η = Ληγ g γβ Aβ = Λη β Aβ
A0η = Λη β Aβ
As derivadas se tranformam da seguinte forma:
∂µ0 =
∂x0ν ∂
∂
=
= Λν µ ∂ν .
∂x0µ
∂x0µ ∂x0ν
Supondo que a informação esteja correta lembramos que a relação entre o campo e
o tensor do dual é
F µ = µαβ ∂α Aβ ,
e no referencial em movimento esta relação é
F 0µ = 0µαβ ∂α0 A0β .
Apesar do tensor levi-civita ser escrito na forma tensorial o mesmo não se tranforma
como um tensor, portanto 0µαβ = µαβ , então
F 0µ = µαβ Λν α Λρ β ∂ν Aρ
Fazendo µ = 1
F 01 = 1αβ Λν α Λρ β ∂ν Aρ
= 10β Λν 0 Λρ β ∂ν Aρ + 11β Λν 1 Λρ β ∂ν Aρ + 12β Λν 2 ΛβΛρρ ∂ν Aρ
β
= 10β Λν 0 Λρ β ∂ν Aρ + 12β Λν 2 Λρ β ∂ν Aρ
F 01 = −Λν 0 Λρ 2 ∂ν Aρ + Λν 2 Λρ 0 ∂ν Aρ
F 01 = −Λ0 0 Λρ 2 ∂0 Aρ − Λ1 0 Λρ 2 ∂1 Aρ − Λ2 0 Λρ 2 ∂2 Aρ + Λν 2 Λρ 0 ∂ν Aρ
como

Λµ ν
0
0
0
Λ 0 Λ 1 Λ 2

 1
=  Λ 0 Λ1 1 Λ1 2

Λ2 0 Λ2 1 Λ2 2



γ
−γβ 0
 

 

 =  −γβ
γ
0 ,
 

0
0
1
F 01 = −γΛρ 2 ∂0 Aρ + γβΛρ 2 ∂1 Aρ + Λρ 0 ∂2 Aρ
F 01 = −γΛ0 2 ∂0 A0 − γΛ1 2 ∂0 A1 − γΛ2 2 ∂0 A2 + γβΛρ 2 ∂1 Aρ + Λρ 0 ∂2 Aρ
F 01 = −γ∂0 A2 + γβΛ0 2 ∂1 A0 + γβΛ1 2 ∂1 A1 + γβΛ2 2 ∂1 A2 + Λρ 0 ∂2 Aρ
F 01 = −γ∂0 A2 + γβ∂1 A2 + Λ0 0 ∂2 A0 + Λ1 0 ∂2 A1 + Λ2 0 ∂2 A2
F 01 = −γ∂0 A2 + γβ∂1 A2 + γ∂2 A0 − γβ∂2 A1
= +γ (∂2 A0 − ∂0 A2 ) + γβ (∂1 A2 − ∂2 A1 )
= +γ (−∂y φ − ∂t Ay ) + γβ (∂x Ay − ∂y Ax )
Sendo as componentes campo definidas como:
B = ∂y Ax − ∂x Ay ,
E1 = Ex = F01 = ∂0 A1 − ∂1 A0 = ∂t Ax + ∂x φ
e
E2 = Ey = F02 = ∂0 A2 − ∂2 A0 = ∂t Ay + ∂y φ
temos que (D.2), torna-se:
−Ey0 = +γ (−∂y φ − ∂t Ay ) + γβ (∂x Ay − ∂y Ax ) .
(D.2)
Por fim, esta é a relação de tranformação entre as componentes do campo que
analisaremos as condições de contorno para linha em movimento:
Ey0 = γEy − γβB
Para a condição de contorno de linhas condutoras, a componente do campo elétrico
paralela a linha é nula, fazendo analogia com o problema 3+1 do caso eletromagnético, portanto, temos:
Ey0 = 0,
sendo a condição de contorno tomada em x = q (t) , temos que a componente do
campo no referecial do laboratório será:
Ey (t, q, y) = −q̇ (t) B (t, q, y) .
Nı́tidamente vemos que esta componente do campo não representa prontamente a
condição de linha condutora no referencial de laboratório, porém se admitirmos a
condição de velocidades não-relativisticas, voltamos a obter uma condição puramente de uma linha condutora, sabendo que podemos usar a aproximação de baixas
velocidades (ou aproximação não-relativistica) admitida pelo tratamento escolhido,
que é de Ford e Vilenkin 82 (β = q̇ 1), consideramos desprezı́vel sua contribuição
e portanto:
Ey (t, q, y) ≈ 0,
para efeitos de cálculo:
Ey (t, q, y) = 0.
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Maxwell-Chern-Simons em (2+1)D com condiç˜oes de fronteiras

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