Lu´ıs Filipe Pereira Silva Estudo sobre inclus˜ao de - ppgel

Transcrição

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Associação Ampla
entre UFSJ e CEFET-MG
Luı́s Filipe Pereira Silva
Estudo sobre inclusão de desempenho na sı́ntese de
controladores para sistemas discretos no tempo com atrasos nos
estados
Belo Horizonte
Fevereiro de 2011
estados
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa
de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, associação ampla entre UFSJ e CEFET-MG, como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do tı́tulo
de mestre em Engenharia Elétrica.
Área de concentração: Modelagem e Controle de
Sistemas.
Linha de Pesquisa: Sistema de Controle
Orientador: Prof. Dr. Valter Júnior de Souza Leite
Co-Orientador: Prof. Dr. Márcio Fantini Miranda
Belo Horizonte
Fevereiro de 2011
iii
Engenheiro Eletricista – CEFET-MG
estados
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa
de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, associação ampla entre UFSJ e CEFET-MG, como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do tı́tulo de mestre em Engenharia Elétrica. Área de
concentração: Modelagem e Controle de Sistemas.
Linha de Pesquisa: Sistema de Controle.
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Pedro Luis Dias Peres
UNICAMP/FEEC
Prof. Dr. Gleison Fransoares Vasconcelos Amaral
UFSJ/DEPEL
Prof. Dr. Eduardo Nunes Gonçalves
CEFET-MG/DEE
Prof. Dr. Valter Júnior de Souza Leite
CEFET-MG/Campus Divinópolis
Belo Horizonte
Fevereiro de 2011
v
Dedico esse trabalho à minha mãe, Ángela. Uma mulher
forte que diante de grandes
problemas soube superá-los e
hoje é uma pessoa muito feliz
e um dos pilares para a maravilhosa famı́lia que tenho.
vii
Agradecimentos
Agradeço,
a Deus.
ao Prof. Valter por todo o tempo dedicado a me orientar (lembro no último domingo que passei
em Divinópolis, era aproximadamente 20 horas, nós tivemos uma reunião. Ao invés de curtir
sua famı́lia, ele veio me orientar.). Sua orientação não se restringiu somente a assuntos do nosso
projeto, ela se estendeu a assuntos relacionados à carreira profissional e também familiares.
Após um ano e meio de trabalho posso dizer, sem sombra de dúvidas, que o Valter é um excelente orientador e um ótimo amigo.
ao Prof. Márcio que sempre que possı́vel me orientou e me ajudou no desenvolvimento desse
trabalho.
à Bruna. Com o seu intercâmbio para Alemanha passamos seis meses separados. Nesse tempo
de solidão enfiei a cara no trabalho e com isso pude terminar o mestrado com aproximadamente
um ano e meio. Mas não a agradeço por isso, agradeço pelos seus carinhos, pelo seu amor, por
deixar a minha vida mais prazerosa e mais alegre e pelo apoio que nunca faltou de sua parte na
minha escolha pela carreira acadêmica, mesmo isso custando um matrimônio a curto e médio
prazo.
ao André (Faixa Branca). Dividimos o quarto na casa da Marileia em Divinópolis. Nessa convivência pude conhecê-lo melhor e perceber o tanto que ele é engraçado, amigo e companheiro.
O Faixa termina logo seu mestrado e vamos para Florianópolis.
à minha famı́lia, que sempre me apoiou nas minhas decisões profissionais. Porém, esse apoio não
se restringiu somente às questões de motivação, uma vez que nunca me faltou o apoio financeiro.
aos Profs. Anı́sio e Eduardo Coppoli por terem me incentivado a seguir a vida acadêmica.
à Rosi por sempre se mostrar bastante prestativa na resolução de alguns problemas administrativos que tive no decorrer do mestrado.
ao CEFET-MG e a todos os professores que participaram da minha formação.
ix
Se fiz descobertas valiosas, foi mais por ter paciência do que qualquer outro talento.
Isaac Newton
xi
Resumo
Novas condições na forma de desigualdades matriciais lineares para análise de D(α, r)estabilidade e sı́ntese de controladores robustos por realimentação de estado que
garantam D(α, r)-estabilidade de sistemas discretos no tempo com atraso no vetor
de estado são apresentadas nesta dissertação. Para isso, é introduzido um sistema
equivalente com múltiplos atrasos no vetor de estado pelo qual o estudo de Schur
estabilidade assegura a D(α, r)-estabilidade do sistema original. São também desenvolvidas novas condições de análise da D(α, r)-estabilidade com estimação do custo
garantido H∞ , na forma de desigualdades matriciais lineares, e as correspondentes
condições de sı́ntese de controladores robustos para realimentação de estados que
garantam D(α, r)-estabilidade com minimização do custo garantido H∞ de sistemas
discretos no tempo com múltiplos atrasos nos estados, na forma de desigualdade
matriciais bilineares. Nesse caso, é proposta uma relaxação que envolve, em cada
passo, a solução de uma desigualdade matricial linear. Em todos os casos, são estudados os sistemas incertos em que os parâmetros de incerteza são invariantes no
tempo e pertencem a um politopo com vértices conhecidos. Alguns exemplos são
desenvolvidos para demonstrar a eficiência das formulações propostas.
Palavras-chave: Sistemas incertos com atraso nos estados, D(α, r)-estabilidade, custo
H∞ , desigualdades matriciais lineares, desigualdade matriciais bilineares.
xiii
Abstract
New conditions in terms of linear matrix inequalities for the D(α, r)-stability analysis
and synthesis of robust state feedback controls assuring D(α, r)-stability of discretetime systems with time delay in the state vector are presented in this work. It is
introduced an equivalent system with multiple delays in the state vector by which
the study of Schur stability assures the D(α, r)-stability of the original system. Also,
new conditions for D(α, r)-stability analysis with H∞ -guaranteed cost computation,
given in terms of linear matrix inequalities, and the corresponding conditions for
synthesis of robust state feedback controls that guarantee D(α, r)-stability with the
minimization H∞ -guaranteed cost of the discrete-time system with multiple time
delays in the state vector, given in terms of bilinear matrix inequalities, are developed. In this last case, it is proposed a relaxation that involves at each iteration
the solution of a linear matrix inequality. In all cases are studied uncertain systems
with time-invariant parameters belonging to a polytope with known vertices. Some
examples are developed to demonstrate the efficiency of the proposed formulations.
Key-words: Uncertain systems with time delay in the state, D(α, r)-stability, cost
H∞ , linear matrix inequalities, bilinear matrix inequalities.
xv
Sumário
Lista de Figuras
xx
Lista de Tabelas
xxi
Lista de Acrônimos e Notação
xxiii
Introdução Geral
1
1 Preliminares e Definições
1.1 Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 O Segundo Método de Lyapunov . . . . . . . .
1.1.3 Estabilidade Robusta e Estabilidade Quadrática
1.1.4 D-estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Controle H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Sistema Discreto no Tempo com Atrasos nos Estados .
1.2.1 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Estabilização . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 D(α, r)-estabilidade: proposta de sistema equivalente
2.1 Colocação do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Sistema equivalente com múltiplos atrasos . . . . . . .
2.3 Matriz para mudança de base . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Condições para análise e sı́ntese de D(α, r)-estabilidade
2.4.1 Análise de D(α, r)-estabilidade . . . . . . . . .
2.4.2 Sı́ntese de controladores . . . . . . . . . . . . .
2.5 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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23
23
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32
34
37
3 Aplicações de modelo equivalente para D(α, r)-estabilidade
3.1 Preliminares e formulação dos problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Aplicação ao sistema com atraso incerto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Análise de D(α, r)-estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xvii
39
39
41
45
3.2.2 Sı́ntese de controladores . . . . . . . . . . .
3.3 Aplicação ao caso incerto . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Análise de D(α, r)-estabilidade robusta . . .
3.3.2 Sı́ntese robusta de controladores . . . . . . .
3.3.3 Abordagem pela estabilidade quadrática . .
3.4 Aplicação ao sistema incerto com atraso conhecido .
3.4.1 Sı́ntese robusta de controladores . . . . . . .
3.5 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Análise e sı́ntese D(α, r)-estabilidade com custo
4.1 Preliminares e formulação do problema . . . . .
4.2 Principais resultados . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Análise robusta . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Sı́ntese robusta . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Abordagem pela estabilidade quadrática
4.2.4 Controle Descentralizado . . . . . . . .
4.3 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Conclusões e Perspectivas
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garantido H∞
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101
A Ferramentas
103
A.1 Desigualdades Matriciais Lineares – LMIs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
A.2 Complemento de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A.3 Lema de Finsler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Bibliografia
107
xviii
Lista de Figuras
1.1 Plano complexo e região de alocação de autovalores para sistemas discretos no
tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Região D no plano complexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Autovalores do sistema em malha aberta, Exemplo 2.3 . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Autovalores do sistema de malha fechada realimentação dos estados atuais e
atrasados, Exemplo 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Simulação temporal do sistema realimentado, Exemplo 2.4 . . . . . . . . . . . .
2.4 Comportamento dos raios mı́nimos em relação aos valores de α, Exemplo 2.4 . .
2.5 Razão dos raios mı́nimos, Exemplo 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Autovalores do sistema de malha fechada realimentação dos estados atuais e
atrasados, Exemplo 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Autovalores do sistema de malha fechada realimentação dos estados atuais, Exemplo 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Simulação temporal do sistema realimentado atraso 3, Exemplo 3.2 . . . . . . .
3.7 Razão dos raios mı́nimos, uk = Kxk , Exemplo 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Razão dos raios mı́nimos, uk = Kxk + Kτ xk−τ , Exemplo 3.2 . . . . . . . . . . .
3.9 Nuvem de autovalores do sistema de malha fechada realimentação dos estados
atuais e atrasados, Exemplo 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
atuais, Exemplo 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xix
11
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66
atuais e atrasados, Exemplo 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
atuais, Exemplo 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.25 Comparação condições robustas e quadráticas, Exemplo 3.5 . . . . . . . . . . . .
3.30 Comparação condições robusta e quadrática, Exemplo 3.7 . . . . . . . . . . . . .
71
71
72
72
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74
74
75
77
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79
80
80
4.1
4.2
4.3
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4.8
4.9
93
93
93
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97
98
98
Diagramas de Bode sistema realimentado, lei de controle (4.41), Exemplo 4.1 . .
Nuvem de autovalores sistema realimentado, lei de controle (4.41), Exemplo 4.1
Diagrama de Bode sistema realimentado, lei de controle (4.48), Exemplo 4.2 . .
Diagrama de Bode sistema realimentado, lei de controle (4.49), Exemplo 4.2 . .
xx
70
Lista de Tabelas
2.1 Tabela dos coeficientes qi,j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tabela dos coeficientes ai,j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
31
4.1 Tabela comparativa dos custos garantidos H∞ , Exemplo 4.1 . . . . . . . . . . .
4.2 Tabela comparativa dos custos garantidos H∞ , Exemplo 4.2 . . . . . . . . . . .
4.3 Tabela de custo garantido H∞ , γ, e estrutura de controle, Exemplo 4.3 . . . . .
92
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99
xxi
xxii
Lista de Acrônimos e Notação
LMI
BMI
L-K
SISO
MIMO
desigualdade matricial linear, do inglês linear matrix inequality
desigualdade matricial bilinear, do inglês bilinear matrix inequality
Lyapunov-Krasovskii
sistema com uma entrada e uma saı́da, do inglês single input single output
sistema com múltiplas entradas e múltiplas saı́das,
do inglês multiple input multiple output
⋆
M
M̄
M̃
M̌
M >0
M ≥0
M −1
MH
MT
diag{M1 , M2 }
xk
x̌k
sk
šk
Mu
σmax
sup
ℓ2
indica bloco simétrico nas LMIs
matriz em malha fechada. Por exemplo, M = M + BK
matriz resultante da representação de um sistema com atraso
na forma aumentada e livre de atraso
matriz subtraı́da de αI e multiplicada por
M̄ − αI
1/r: M̃ =
r
matrix M̃ em uma nova base do espaço
indica que a matriz M é simétrica definida positiva
indica que a matriz M é simétrica semi-definida positiva
indica a matriz inversa da matriz M
indica a matriz Hermitiana da matriz M
(T ), pós-posto a um vetor ou matriz, indica a operação de transposição
representa a matriz bloco-diagonal formada pelas matrizes M1 e M2 sobre
a diagonal principal
vetor de estado
vetor de estado em uma nova base do espaço
vetor de estado resultante da representação de um sistema com atraso
na forma aumentada e livre de atraso
vetor de estado na forma aumentada em uma nova base do espaço
maiúscula caligráfica é usada para denotar um politopo de matrizes M.
Quando pertinente, é usado o sub indice u que pode ser oℓ , no caso
de malha aberta, ou cℓ , no caso de malha fechada
valor máximo do diagrama de magnitude de Bode para sistema SISO
valor singular máximo para sistema MIMO
valor supremo de uma função
espaço das sequências quadraticamente somáveis
xxiii
z
zk
wk
k · k2
⊗
R
N
N
n
d
I
variável da Transformada Z
saı́da ponderada de um sistema
entrada exógena
norma dois de um vetor ou matriz
denota o produto de Kronecker
conjunto dos números reais
conjunto dos números naturais (incluindo o zero)
utilizada para denotar o número de vértices de um politopo
utilizada para representar a ordem do sistemas
utilizada para representar a magnitude do atraso
matriz identidade de dimensão n × n. Se é incluı́do um sub-ı́ndice,
esse determina as dimensões da matriz
0
matriz de zeros de dimensão n × n. Se é incluı́do um sub-ı́ndice,
esse determina as dimensões da matriz
β
utilizada para representar as incertezas de um sistema
D
sub-região do plano complexo
D(α, r) região circular com raio r e centro em (α, 0) do plano complexo
α
utilizada para representar o centro da região D(α, r)
r
utilizada para representar o raio da região D(α, r)
xxiv
Ao se estudar as caracterı́sticas dinâmicas de um sistema, uma informação de suma importância de ser obtida diz respeito à estabilidade do mesmo. Caso esse sistema não seja estável
se faz necessária uma forma de estabilizá-lo. Uma alternativa eficiente de realizar essa tarefa
é por meio de controladores. Em se tratando de sistemas descritos no espaço de estados, uma
boa alternativa é utilizar a realimentação dos estados, na qual os controladores utilizados são
ganhos estáticos.
Em geral, sistemas reais apresentam incertezas. Neste trabalho, essas incertezas são tratadas
como politópicas. Uma forma de trabalhar com a classe de sistemas incertos é a partir da
função de Lyapunov. Dessa forma, em alguns casos, é possı́vel fazer a análise de estabilidade e a
sı́ntese de controladores que estabilizam essa classe de sistemas incertos por meio dessa função
de Lyapunov. Funções de Lyapunov podem ser dependente de parâmetros, como tratado em
[Che10], [STPB09] e [MS04], em que no primeiro são abordados sistema contı́nuos e discretos
no tempo e nos dois últimos são abordados somente sistemas discretos no tempo.
Nos últimos anos sistemas com atraso e sujeitos a incertezas vêm ganhando destaque na
literatura especializada com trabalhos tratando de condições de análise de estabilidade e de
sı́ntese de controladores que estabilizam os sistemas em questão. Uma alternativa utilizada
para obtenção dessas condições é por meio dos funcionais de Lyapunov-Krasovskii, para sistemas
contı́nuos no tempo, e a partir das funções de Lyapunov-Krasovskii, para sistemas discretos no
tempo. Essas ferramentas são uma extensão da função de Lyapunov para o caso com atraso nos
estados. Os trabalhos [HZ10], [LLZY10], [LM08b], [Ric03], [LY10] e [WL10] tratam de sistemas
com atraso e com incertezas, sendo os três primeiros para sistemas discretos no tempo e os três
últimos para sistemas contı́nuos no tempo. A classe de sistemas discutidos nesta dissertação é
a dos sistemas discretos no tempo com atraso(s) nos estados. As incertezas são representadas
na forma politópica.
Entradas exógenas são sinais presentes em sistemas reais. Esses sinais podem ser ruı́dos,
efeitos de carga, variações de energia fornecida ao sistema, entre outros. Com isso, é interessante que os efeitos dessas entradas sejam levados em consideração ao sintetizar controladores
que estabilizam a classe de sistemas explorada nesta dissertação. A minimização da norma H∞
é um critério de desempenho utilizado para isso. Em [dOOL+ 04] são propostas condições para
estimação do custo garantido H∞ para sistemas livres de atrasos. Veja [SPL08] para a sı́ntese de
controladores no caso de sistemas incertos do tipo neutro. Em [WLXG05], [LTP09] e [HWHS08]
1
2
são tratadas condições de sı́ntese de controladores robustos que garantem o custo H∞ da malha fechada e condições de análise de estabilidade para sistemas discretos com atraso variante
nos estados com a utilização de uma função de Lyapunov-Krasovskii. Outros resultados para
sistemas discretos no tempo podem ser obtidos em [LTP04], [MZRZ07], [ZCC06] e [ZHW06].
Uma outra forma de impor desempenho na sı́ntese de controladores é utilizando a alocação
regional dos autovalores que descrevem os sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI). Essa
formulação é conhecida como D-estabilidade, para uma sub-região do plano complexo. Nesta
dissertação é adota a nomenclatura D(α, r)-estabilidade, sendo que essa é referente a uma região
circular com raio r e centro em (α, 0) do plano complexo. Note que a D(α, r)-estabilidade é um
caso particular da D-estabilidade. Resultados sobre esse assunto podem ser vistos em [CG96] e
[Lee95] para sistemas contı́nuos no tempo e em [WHH06] e [MLP03] para sistemas discretos no
tempo, em ambos os casos os sistemas são livres de atrasos. Em [MC06] são tratadas condições
de D-estabilidade para sistemas contı́nuos no tempo com atraso nos estados. Já nos trabalhos
[Che03], [CC06], [XLZ02] e [MC09], a D-estabilidade é abordada para sistemas discretos no
tempo com atraso nos estados. Os trabalhos [SL10] e [SLMN10] são uma extensão de [MC09], no
qual são tratadas condições com D(α, r)-estabilidade associadas a uma minimização do critério
de custo H∞ .
Uma forma de se tratar os problemas na área de controle robusto é por meio de métodos
convexos de otimização baseados em desigualdades matriciais lineares (LMIs, do inglês Linear
Matrix Inequalities). Além da simplicidade e consistência algébrica, a existência de algoritmos
computacionais eficientes para programação convexa fizeram com que os métodos de análise
e sı́ntese de controladores baseados em LMIs se popularizassem. Em alguns casos, as condições propostas neste trabalho são formuladas por desigualdade matriciais bilineares (BMIs, do
inglês Bilinear Matrix Inequalities). Nesses casos não se tem um problema de programação
convexa. Apesar disso, a partir de algoritmos auxiliares essas BMIs podem ser resolvidas como
um conjunto de LMIs, como acontece em [BOAP10], [RN09] e [RNHZ10].
No presente trabalho são desenvolvidas condições para análise da D(α, r)-estabilidade e para
a sı́ntese de controladores para garantir a D(α, r)-estabilidade da classe de sistemas discretos
no tempo com atraso conhecido no vetor de estados e para a classe de sistemas discretos no
tempo com atraso incerto no vetor de estados. Essas condições podem ser utilizadas em sistemas
incertos, sendo que tais incertezas são representadas na forma politópica e podem afetar todas as
matrizes dos sistemas. As formulações propostas são escritas como problemas de otimização na
forma de LMIs. Uma mudança de base se faz necessária na classe de sistemas tratada por essas
formulações. Essa mudança de base é feita via transformação de similaridade. Outras condições
desenvolvidas neste trabalho são condições de análise da D(α, r)-estabilidade com estimação do
custo H∞ e a sı́ntese de controladores que garantam a D(α, r)-estabilidade com minimização
do custo H∞ de sistemas incertos discretos no tempo com múltiplos atrasos (valem também
para atraso simples) nos estados. Nesse caso, as condições de análise são formuladas em termos
de LMIs, já as condições de sı́nteses são formuladas como BMIs, sendo que é fornecido um
algoritmo para que essas sejam resolvidas iterativamente como um conjunto de LMIs. Vários
exemplos numéricos são desenvolvidos para demonstrar a eficiência dos resultados e sempre que
possı́vel houve a comparação com resultados já existentes na literatura.
3
Portanto, este trabalho apresenta as seguintes contribuições:
1. Apresentação de um modelo equivalente para estudos de D(α, r)-estabilidade em sistemas
com atrasos nos estados;
2. Condições de análise de D(α, r)-estabilidade e de sı́ntese de controladores que garantam a
D(α, r)-estabilidade de sistemas discretos no tempo com atraso nos estados; e
3. Condições de análise de D(α, r)-estabilidade com estimação do custo garantido H∞ e de
sı́ntese de controladores que D(α, r)-estabilizam com minimização do custo garantido H∞
sistemas incertos discretos no tempo com múltiplos atrasos nos estados.
Esta dissertação está organizada da seguinte forma:
Capı́tulo 1
São apresentadas as definições e conceitos abordados ao longo do trabalho, como: conceitos
de estabilidade e de D-estabilidade no sentido de Lyapunov, robusta e quadrática; definição
do controle H∞ para sistemas precisamente conhecidos e para sistemas incertos; e uma análise
sobre sistemas discretos no tempo com atraso no vetor de estado.
Capı́tulo 2
Primeiramente, é proposta uma lei de formação para a matriz Q(α, r, τ ) que é a matriz
utilizada para fazer uma mudança de base na classe de sistemas discretos no tempo com atraso
nos estados. Essa mudança de base é efetuada via transformação de similaridade. Em seguida,
com o sistema na nova base são desenvolvidas condições de análise da D(α, r)-estabilidade e
de sı́ntese de controladores que D(α, r)-estabilizam a classe de sistemas em questão. Vários
exemplos numéricos são apresentados ao longo do capı́tulo.
Capı́tulo 3
São propostas condições LMIs de análise da D(α, r)-estabilidade e a sı́ntese de controladores
que D(α, r)-estabilizam sistemas discretos no tempo com atraso no vetor de estado. Essas condições são desenvolvidas a partir da mudança de base dos sistemas em questão via transformação
de similaridade a partir da matriz Q(α, r, τ ) apresentada no Capı́tulo 2. Primeiramente, é considerado que esses sistemas são precisamente conhecidos com atraso incerto. Em seguida, são
considerados que os sistemas são incertos, assim como os atrasos. Por último, os sistemas são
incertos com atrasos conhecidos. Vários exemplos numéricos, com comparação de resultados já
existentes na literatura, são propostos para demonstrar a eficiência dos métodos desenvolvidos.
Capı́tulo 4
São propostas condições LMIs de análise da D(α, r)-estabilidade com estimação do custo
garantido H∞ e condições BMIs de sı́ntese de controladores com minimização do custo garantido
H∞ para sistemas incertos discretos no tempo com múltiplos atrasos no vetor de estados. Vários
exemplos numéricos, com comparação de resultados já existentes na literatura, são propostos.
4
Capı́tulo 5
São apresentadas as conclusões, perspectivas para trabalhos futuros e os artigos produzidos
diretamente relacionados com esta dissertação.
Capı́tulo
1
Preliminares e Definições
Neste capı́tulo é apresentada uma breve revisão dos principais conceitos e técnicas utilizadas
nesta dissertação. Para isso, ele está dividido em duas partes. A primeira parte trata de alguns
fundamentos dentro dos quais são abordados conceitos de estabilidade e de controle H∞ . A
segunda parte consiste na abordagem de sistemas discretos no tempo com atraso nos estados.
Vale ressaltar que os resultados obtidos nesta dissertação estão no domı́nio do tempo discreto,
sendo assim somente esse domı́nio é explorado neste primeiro capı́tulo.
1.1
Fundamentos
Nesta seção são apresentados os fundamentos teóricos que têm correlação com os resultados
obtidos neste trabalho. Primeiramente, é feita uma apresentação da teoria de estabilidade de
sistemas lineares, abrangendo os conceitos de estabilidade: no sentido de Lyapunov, assintótica, robusta, quadrática e D-estabilidade. Esses conceitos e considerações sobre estabilidade
apresentados nesta dissertação foram extraı́dos de [Bha07]. Em seguida, é feita uma explanação sobre controle H∞ apresentando a formulação do problema e conceitos sobre o projeto de
controladores por realimentação de estados que garante um custo H∞ .
1.1.1
Estabilidade
Um aspecto fundamental do estudo da dinâmica de sistemas em geral é a análise da estabilidade. Uma ideia intuitiva para caracterizar o conceito de estabilidade de um sistema qualquer,
para essa situação não importando a natureza desse sistema, é: considere que esse esteja em um
ponto de equilı́brio e receba uma perturbação, se o mesmo retornar para o ponto de equilı́brio
ou parar em um outro ponto esse sistema é estável. Porém, se na presença de perturbação
o sistema não retornar para o ponto de equilı́brio e não parar em nenhum outro ponto, esse
sistema é instável. No âmbito de sistemas reais a condição de instabilidade pode proporcionar
danos à planta, como queimar, desintegrar ou saturar componentes [Che99]. Nesse sentido a
caracterização da condição de estabilidade de um dado sistema é de suma importância.
A estabilidade de um sistema pode ser analisada via estabilidade interna ou via estabilidade
entre o sinal de entrada e saı́da. Um sistema pode ser estável a partir da análise de estabilidade
5
6
Capı́tulo 1. Preliminares e Definições
entre entrada e saı́da, mas pode ser instável internamente. No entanto, se um sistema é estável
internamente, a estabilidade entre entrada e saı́da está garantida. Neste trabalho, o interesse
foi obter resultados referentes à estabilidade interna. Diante disso, os conceitos apresentados
nesta Subseção são relacionados à estabilidade interna de um sistema.
Antes de abordar os conceitos de estabilidade são apresentadas noções de estado de equilı́brio
e estabilidade. Para isso, considere o sistema dinâmico discreto no tempo descrito pela equação
diferença
xk+1 = f (xk , k), xk0 = x0 ,
(1.1)
sendo k ∈ N o instante de amostragem, xk ∈ Rn o vetor de estados e f (xk , k) ∈ Rn um vetor
cujos elementos são funções de x1 , x2 , . . . , xn e k. Um ponto de equilı́brio ou estado de equilı́brio
é um vetor constante xeq tal que
f (xeq , k) = xeq ,
∀k,
(1.2)
sendo (1.2) a solução constante, também denominada solução de equilı́brio, da equação diferença
(1.1). Sem perda de generalidade, é possı́vel considerar que o(s) ponto(s) de equilı́brio ocorre(m)
na origem, por meio de uma mudança de variáveis:
x̄ = x − xeq .
(1.3)
Assim, tem-se
f (0, k) = 0,
∀k.
(1.4)
Após a apresentação dos conceitos de ponto de equilı́brio e estabilidade da solução nula são
apresentadas as definições formais de estabilidade no sentido de Lyapunov. Essas definições
foram introduzidas no trabalho fundamental de Lyapunov (1857-1918) [Bha07].
Definição 1.1 Um estado de equilı́brio xeq é denominado estável se, para qualquer k0 e qualquer ǫ > 0, existe δ = δ(k0 , ǫ) positivo tal que, se kx0 − xeq k < δ, então kx(x0 , k) − xeq k < ǫ
para todo k ≥ k0 .
Definição 1.2 Um estado de equilı́brio xeq é denominado convergente ou atrativo, se, para
qualquer k0 , existe δ1 = δ1 (k0 ) tal que se kx0 − xeq k < δ1 , então
lim x(x0 , k) = xeq .
k→∞
(1.5)
Definição 1.3 Um estado de equilı́brio xeq é denominado assintoticamente estável se for estável e atrativo.
Definição 1.4 Um estado de equilı́brio xeq é denominado instável se existe ǫ > 0 tal que
qualquer δ > 0, existe x0 tal que se kx0 − xeq k < δ, então kxk1 − xeq k ≥ ǫ para algum k1 > k0 .
Considere o sistema linear discreto no tempo descrito por
xk+1 = Axk ,
(1.6)
sendo A ∈ Rn×n a matriz dinâmica de estados. Uma forma de analisar a estabilidade do sistema
apresentado por (1.6) é a partir dos autovalores da matriz A.
Definição 1.5 A solução nula do sistema (1.6) é assintoticamente estável se todos os autovalores de A possuı́rem magnitude menor que um. Nesse caso esse sistema é dito Schur estável.
1.1. Fundamentos
1.1.2
7
O Segundo Método de Lyapunov
Em 1892, A. M. Lyapunov apresentou dois métodos para determinar a estabilidade de sistemas dinâmicos descritos por equações diferenciais ordinárias e que servem, portanto, para a
análise de estabilidade de (1.6). O primeiro método de Lyapunov consiste em procedimentos em
que a forma explı́cita da solução das equações diferenciais é usada para a análise. O segundo
método de Lyapunov não requer as soluções das equações diferenciais [Oga85], [Che99]. Esse é
baseado na diminuição da energia total do sistema até que o estado de equilı́brio seja alcançado.
Por esse motivo, o segundo método pode ser usado para a análise de estabilidade de sistemas
não lineares ou lineares com incertezas.
Para um dado sistema, busca-se uma candidata à função de Lyapunov V (xk , k), sendo essa
uma representação da função de energia desse sistema. Tal função deve ser definida positiva e
a sua variação ao longo do tempo tem de ser sempre definida negativamente. Isso verificado,
implica que quando o tempo aumenta, V (xk , k) deve assumir valores cada vez menores. Nesse
caso, o sistema é assintoticamente estável [Oga85]. Tudo isso é formalizado a seguir no Teorema
principal de Lyapunov.
Teorema 1.1 (Teorema principal de Lyapunov) Considere o sistema discreto no tempo
descrito por (1.1), obedecendo a condição (1.4). Se existir uma função escalar V (xk , k) que
satisfaça as seguintes condições:
1. V (0, k) = 0, para todo k ≥ 0;
2. V (xk , k) → ∞, quando kx(k)k → ∞;
3. V (xk , k) > 0, para todo x(k) 6= 0 para todo k ≥ 0; e
4. ∆V (xk , k) < 0,
para todo x(k) 6= 0 para todo k ≥ 0,
então o sistema (1.1) é dito assintoticamente estável ou Schur estável.
Análise de estabilidade para sistemas lineares discretos no tempo precisamente
conhecidos
Considere o sistema linear discreto e invariante no tempo descrito pela equação (1.6). A
Schur estabilidade desse sistema pode ser investigada a partir do segundo método de Lyapunov.
Para o sistema em questão uma possı́vel função candidata à função de Lyapunov é a função
quadrática:
V (xk , k) = xTk P xk .
(1.7)
Para que as condições do Teorema principal de Lyapunov 1.1 sejam satisfeitas, P , denominada
matriz de Lyapunov, tem que ser uma matriz simétrica definida positiva, ou seja, P T = P > 0.
A variação de V (xk , k) em relação a k ao longo das trajetórias de (1.6) é definida a seguir:
∆V (xk , k) = V (xk+1 , k + 1) − V (xk , k)
= xTk+1 P xk+1 − xTk P xk
= xTk AT P Axk − xk P xk
= xTk (AT P A + P )xk .
(1.8)
8
Para que a última condição do Teorema de Lyapunov 1.1 seja satisfeita é necessário que o
resultado da variação de V (xk , k) seja definida negativa. Portanto, uma condição necessária e
suficiente para a Schur estabilidade do sistema discreto no tempo (1.6) é que exista P T = P ∈
Rn×n tal que
P > 0 e AT P A + P < 0.
(1.9)
1.1.3
Estabilidade Robusta e Estabilidade Quadrática
Considere o sistema linear discreto no tempo apresentado em (1.6). Suponha que a matriz
A não seja precisamente conhecida e que seja função de um vetor β, que representa a incerteza
do sistema que não varia com o tempo. Assim, tem-se
xk+1 = A(β)xk .
(1.10)
Definição 1.6 Se o sistema (1.10) é Schur estável para todo β admissı́vel, então esse é robustamente estável.
A partir da Definição 1.6, uma condição para a estabilidade robusta do sistema incerto em
questão é dada pela existência de matrizes de Lyapunov P (β) = P (β)T ∈ Rn×n tais que
P (β) > 0;
A(β)T P (β)A(β) − P (β) < 0.
(1.11)
Suponha que o sistema incerto discreto no tempo pertença a um politopo, ou seja, A(β) ∈
Aoℓ . Nesse caso, qualquer matriz A(β) dentro do domı́nio de incertezas pode ser escrita como a
combinação convexa dos vértices Aj , j = 1, . . . , N do politopo, sendo
(
)
N
X
Aoℓ = A(β) ∈ Rn×n : A(β) =
βj Aj , β ∈ Ω
(1.12)
j=1
e
Ω=
(
β:
β ∈ RN ,
N
X
βj = 1,
j=1
βj ≥ 0,
j = 1, . . . , N
)
.
(1.13)
Suponha também que as matrizes incertas de Lyapunov pertençam a um politopo de incertezas
P. Dessa forma, qualquer matriz P (β) dentro do domı́nio de incertezas pode ser escrita como
a combinação convexa dos vértices Pj , j = 1, . . . , N, ou seja, P (β) ∈ P sendo
(
)
N
X
P = P (β) ∈ Rn×n : P (β) =
βj Pj , β ∈ Ω ,
(1.14)
j=1
com Ω definido em (1.13).
Considere que seja aplicado o Lema de Finsler, que está apresentado no Apêndice A.3, na
condição similar a (1.8) para sistemas incertos, ou seja,
xTk+1 P (β)xk+1
−
xTk P (β)xk
x
< 0 =⇒ k+1
xk
T P (β)
0
xk+1
< 0,
0
−P (β)
xk
(1.15)
1.1. Fundamentos
9
xk+1
P (β)
0
sendo que ϕk =
e Q(β) =
. Com isso:
xk
0
−P (β)
xk+1
B(β)ϕk = 0 =⇒ −I A(β)
= 0.
xk
(1.16)
Para:
Q(β) + X (β)B(β) + B(β)T X (β)T < 0,
(1.17)
F (β)
sendo X (β) =
, em que F (β) ∈ Rn×n e G(β) ∈ Rn×n são variáveis de folga, tem-se
G(β)
P (β) − F (β) − F (β)T
F (β)A(β) − G(β)T
< 0.
A(β)T F (β)T − G(β) −P (β) + G(β)A(β) + A(β)T G(β)T
(1.18)
Note que a condição (1.18) é de dimensão infinita em β. Isso ocorre pelo fato de se ter produtos
entre duas matrizes que estão em função de β. Caso seja introduzido um conservadorismo nessa
condição, considerando que F (β) = F e G(β) = G, essa se torna de dimensão finita em β. Com
isso, se A(β) ∈ Aoℓ e P (β) ∈ P, então (1.18) é verificada por
Pj − F − F T
F Aj − GT
< 0,
ATj F T − G −Pj + GAj + ATj GT
(1.19)
sendo que (1.19) é uma condição já existente na literatura, veja em [LMdO+ 04]. A verificação
da condição (1.19) é suficiente para a verificação da condição (1.11). Considere que (1.19) seja
multiplicada por βj ≥ 0 e somada de j = 1 até j = N, como mostrado a seguir
N
X
j=1
Pj − F − F T
F Aj − GT
βj
< 0.
ATj F T − G −Pj + GAj + ATj GT
Desenvolvendo a operação, resulta-se em
"P
#
PN
N
T
T
β
(P
−
F
−
F
)
β
(F
A
−
G
)
j
j
j
j
j=1
Pj=1
PN
< 0.
N
T T
T T
β
(A
F
−
G)
β
j
j=1 j
j=1 j (−Pj + GAj + Aj G )
De acordo com as definições dos politopos Aoℓ e P fornecidas, respectivamente, por (1.12) e
(1.14), tem-se a seguinte condição
P (β) − F − F T
F A(β) − GT
< 0.
A(β)T F T − G −P (β) + GA(β) + A(β)T GT
(1.20)
T A(β)
A(β)
Se pré e pós-multiplicar a condição (1.20) por
e
, respectivamente, a condição
I
I
(1.11) é recuperada. Dessa forma, mostra-se que a verificação de (1.19) é suficiente para a
verificação da condição (1.11).
10
Estabilidade quadrática
Considerando o caso particular em que se tem uma matriz de Lyapunov independente de
β, ou seja, P (β) = P , resulta em uma condição necessária e suficiente para a estabilidade dita
quadrática do sistema incerto e discreto no tempo. Sendo assim, esse sistema é quadraticamente
estável se existir uma matriz P T = P ∈ Rn×n tal que
P > 0 e A(β)T P A(β) − P < 0.
(1.21)
Considere que A(β) ∈ Aoℓ , como já dito para o caso da estabilidade robusta, essa condição
pode ser verificada com a análise da estabilidade dos vértices do conjunto convexo formado
por A(β). Isso faz com que a condição (1.21) seja equivalente à verificação da existência de
P = P T ∈ Rn×n tal que
P > 0 e ATj P Aj − P < 0;
j = 1, . . . , N.
(1.22)
Considere que seja aplicado o complemento de Schur, que está apresentado no Apêndice A.2,
na condição (1.22). Sendo assim,
P
P Aj
> 0; j = 1, . . . , N,
(1.23)
ATj P
P
em que (1.23) é uma condição já existente na literatura, veja em [LMdO+ 04]. Essa condição
(1.23) é equivalente à condição (1.22). Considere que (1.23) seja multiplicada por βj ≥ 0 e
somada de j = 1 até j = N, como mostrado a seguir
N
X
P
P Aj
βj
> 0.
ATj P
P
j=1
" P
#
PN
N
β
P
β
P
A
j
j
j
j=1
PN j=1 T
P
> 0.
N
β
A
P
j
j
j=1
j=1 βj P
Com isso encontra-se
P
P A(β)
> 0.
A(β)T P
P
(1.24)
Aplicando o complemento de Schur nessa última condição é encontrada a condição (1.21).
A estabilidade quadrática implica estabilidade robusta em um sistema, porém o contrário não
é verdadeiro. A estabilidade quadrática fornece resultados, relativos à análise de estabilidade,
mais conservadores do que a estabilidade robusta. Isso, ocorre pelo fato de se ter que obter
uma única P , para todo o domı́nio de incertezas, que satisfaça as desigualdades apresentadas
em (1.21) ou (1.24), enquanto que, no caso da estabilidade robusta, é necessário obter P (β) que
satisfaça as desigualdades (1.11). Porém, a existência dessas matrizes P (β) é apenas condição
suficiente para a estabilidade robusta, ao passo que a existência de uma matriz P é condição
necessária e suficiente para a estabilidade quadrática [LMdO+ 04] e [Bar85]. Contudo, caso P (β)
seja considerado um polinômio homogêneo de grau genérico, a condição de estabilidade robusta
passa a ser condição necessária e suficiente para a análise de estabilidade [OP07] e [dOP07].
1.1. Fundamentos
1.1.4
11
D-estabilidade
O comportamento dinâmico de um sistema linear invariante no tempo está diretamente
ligado à localização no plano complexo dos autovalores que compõem esse sistema. Isso é válido
tanto para resposta à entrada nula, quanto para resposta ao estado nulo. A partir da localização
regional dos autovalores no plano complexo de um sistema linear invariante no tempo é possı́vel
caracterizar o desempenho do mesmo. Resultados relacionados a isso podem ser encontrados em
[Lee95] e [MC06] para o caso contı́nuo no tempo; em [WHH06] e [SFL10] para o caso discreto
no tempo e em [PABB00], [LP03] e [WB02] que abordam os casos contı́nuo e discreto no tempo.
Na Figura 1.1 é apresentado o plano complexo com a região de estabilidade para sistemas
discretos no tempo: o cı́rculo unitário centrado na origem. Nessa figura está definida uma subregião, no interior do circulo unitário, caracterizada por um cı́rculo hachurado internamente.
Esse tipo de sub-região pode ser usada para assegurar ao sistema discreto no tempo caracterı́sticas dinâmicas desejáveis, tais como limitação da frequência natural e da frequência natural
amortecida, entre outras. Essa sub-região é denominada região D.
Imag
1
−1
11111
00000
00000
11111
00000
11111
00000
11111
Real
1
e−σ
−1
Figura 1.1: Plano complexo e região de alocação de autovalores para sistemas discretos no
tempo.
Definição 1.7 Quando todos os autovalores de um sistema discreto e invariante no tempo
estão localizados no interior de uma região D, diz-se que esse sistema é D-estável.
Alguns trabalhos que tratam de D-estabilidade são [PABB00], [GX04], [LP03] e [CG96]. Os
três primeiros definem a região D como
T ∗
D = z ∈ C : R11 + R12 z + R12
z + R22 zz ∗ < 0 ,
(1.25)
T
T
sendo R11 = R11
∈ Rs×s e R22 = R22
∈ Rs×s , com R22 ≥ 0 para se ter região convexa, são
submatrizes de R ∈ R2s×2s tais que
R11 R12
R=
,
(1.26)
T
R12
R22
12
sendo que s representa a ordem da região. Vale ressaltar que, se se considerar R22 = 0, a região
D definida em (1.26) é a mesma definida em [CG96].
A partir da definição da região D apresentada em (1.25) é possı́vel fazer a representação de
vários formatos dessa região, assim como um cı́rculo, região D da figura 1.1. Para isso, basta
parametrizar as submatrizes R11 , R12 e R22 . Neste trabalho adota-se como região D um cı́rculo
com centro em (α, 0) e raio r como apresentado na Figura 1.2.
Definição 1.8 Um sistema linear invariante no tempo é considerado D(α, r)-estável se todos os seus autovalores estiverem confinados no cı́rculo de centro em (α, 0) e raio r do plano
complexo.
Imag
r
α
Real
Figura 1.2: Região D no plano complexo.
No caso discreto no tempo, deve-se considerar que |α| + r < 1 para que a região D esteja
toda no interior do cı́rculo unitário centrado na origem do plano complexo.
Considere o sistema discreto e invariante no tempo (1.6). Deseja-se fazer a análise da D(α, r)estabilidade assintótica desse sistema, para isso considere a seguinte operação
Ã =
A − αI
,
r
(1.27)
sendo α ∈ R o centro do cı́rculo e r, o raio. Essa operação mapeia os autovalores da matriz A
localizados no interior da região D(α, r), Figura 1.2, no cı́rculo de raio unitário [HB92]. Com
isso, a análise de D(α, r)-estabilidade é feita, na verdade, utilizando as técnicas de análise de
(Schur) estabilidade convencional. Diante disso, uma condição necessária e suficiente para a
análise da D(α, r)-estabilidade do sistema em questão é que exista P = P T ∈ Rn×n tal que
P > 0 e ÃT P Ã − P < 0.
(1.28)
No caso em que a matriz A não é precisamente conhecida, uma condição suficiente para a
análise da D(α, r)-estabilidade robusta do sistema incerto é dada pela existência de uma matriz
de Lyapunov P (β) = P (β)T ∈ Rn×n dependente do parâmetro β, tal que
P (β) > 0;
Ã(β)T P (β)Ã(β) − P (β) < 0,
sendo
Ã(β) =
A(β) − αI
.
r
(1.29)
(1.30)
1.1. Fundamentos
13
Caso a matriz incerta do sistema, A(β), e a matriz de Lyapunov, P (β), pertençam aos politopos de incertezas Aoℓ e P, em que esses estão definidos em (1.12) e (1.14), respectivamente,
então qualquer matriz A(β) ou P (β) no domı́nio de incertezas pode ser escrita como a combinação convexa dos vértices Aj e Pj , j = 1, . . . , N, respectivamente. Note que os passos seguintes
são uma repetição dos passos feitos na Subseção 1.1.3 tanto para o estudo da estabilidade robusta, quanto para o estudo da estabilidade quadrática. Dessa forma, a D(α, r)-estabilidade
robusta e D(α, r)-estabilidade quadrática podem ser analisadas a partir da substituição de Aj
por Ãj nas condições (1.19) e (1.22) ou (1.23), respectivamente.
Ao se fazer a sı́ntese de controladores robustos que garantem D(α, r)-estabilidade de sistema
lineares invariantes no tempo, sendo esses incertos ou não, além da estabilidade, é assegurada
uma especificação de desempenho [LMP04]. Essa é uma vantagem em se fazer projeto de
controladores que D(α, r)-estabilizam comparado com projeto de controladores que somente
estabilizam sistema lineares invariantes no tempo.
1.1.5
Controle H∞
O controle H∞ aborda o problema de redução da sensitividade de um sistema em malha
fechada, tanto para perturbações aditivas injetadas em entradas desse sistema, quanto para
incertezas nos próprios parâmetros do mesmo. Na década de 1970, George Zames propôs um
trabalho sobre controle H∞ . Contudo, na época, as ferramentas computacionais disponı́veis
representavam um gargalo dessa abordagem [Tak98]. A partir daı́, com o desenvolvimento dos
computadores, esse tema foi sendo abordado por vários autores e nos últimos anos continua
sendo recorrente em pesquisas na área de sistemas e teoria de controle.
Formulação do problema: sistema precisamente conhecido
Dado o sistema linear discreto e invariante no tempo:
xk+1 = Axk + Bu uk + Bw wk
S:
,
yk = Cxk + Du uk + Dw wk
(1.31)
sendo que xk ∈ Rn , uk ∈ Rq , wk ∈ Rℓ e yk ∈ Rp denotam o vetor de estados, a entrada de
controle, a entrada exógena e a saı́da controlada, respectivamente. As matrizes A ∈ Rn×n ,
Bu ∈ Rn×q , Bω ∈ Rn×ℓ , C ∈ Rp×n , Du ∈ Rp×q e Dω ∈ Rp×ℓ são matrizes que definem o sistema.
Considere a lei de controle de realimentação estática dos estados definida por
uk = Kxk ,
sendo K ∈ Rq×n , o que resulta em um sistema em malha fechada
xk+1 = Axk + Bw wk
S:
,
yk = Cxk + Dw wk
(1.32)
(1.33)
em que as matrizes A e C são definidas como
A = A + Bu K
e C = C + Du K.
(1.34)
14
A matriz de transferência do sistema em malha fechada (1.33) de wk para yk é dada por
H(z) = C(zI − A)−1 Bw + Dw .
(1.35)
Sendo H(z) uma matriz de transferência estável sem polos sobre o cı́rculo unitário [Zho99], sua
norma H∞ é definida como
kH(z)k∞ = sup σmax H(ejω ) .
(1.36)
ω∈R
Em sistemas com uma entrada e uma saı́da, SISO (do inglês Single Input Single Output), a
norma H∞ corresponde ao valor máximo do diagrama de magnitude de Bode. Para sistemas
com múltiplas entradas e múltiplas saı́das, MIMO (do inglês Multiple Input Multiple Output),
a norma H∞ é o máximo valor do diagrama de valores singulares [OP10].
Estimação do custo garantido H∞
Se o sistema em malha fechada (1.33) possui condições iniciais nulas e é Schur estável,
determina-se γ tal que, para yk ∈ ℓ2 e wk ∈ ℓ2 , sinais de energia finita:
kyk k2 ≤ γkwk k2 .
(1.37)
Nesse caso, todo γ que satisfaça (1.37) é um custo garantido H∞ . Já ao considerar o menor
valor de γ que satisfaz (1.37) tem-se o custo garantido H∞ ótimo, γ ∗ . Todo γ > γ ∗ é subtótimo.
Sı́ntese de controlador com custo garantido H∞
Para o sistema em malha aberta (1.31) busca-se determinar o ganho K tal que a lei de
controle dada em (1.32) Schur estabilize e minimize o custo garantido H∞ do sistema em malha
fechada. Com isso é introduzida uma medida de robustez no desempenho do controlador [Tak98].
Formulação do problema: sistema incerto
Considere que o sistema (1.31) seja composto por matrizes incertas. Assim, tem-se o seguinte
sistema incerto discreto e invariante no tempo:
xk+1 = A(β)xk + Bu (β)uk + Bw (β)wk
S(β) :
.
(1.38)
yk = C(β)xk + Du (β)uk + Dw (β)wk
As dimensões das matrizes incertas são as mesmas definidas para o caso precisamente conhecido.
O sistema em malha fechada, resultante da lei de controle (1.32), é o seguinte
xk+1 = A(β)xk + Bw (β)wk
S(β) :
,
(1.39)
yk = C(β)xk + Dw (β)wk
em que as matrizes A(β) e C(β) são definidas como
A(β) = A(β) + Bu (β)K
e C(β) = C(β) + Du (β)K.
(1.40)
A matriz de transferência do sistema em malha fechada (1.39) de wk para yk é dada por
H(z, β) = C(β)(zI − A(β))−1 Bw (β) + Dw (β)
(1.41)
1.2. Sistema Discreto no Tempo com Atrasos nos Estados
15
e a norma H∞ é definida como
kH(z, β)k∞ = max sup σmax H(ejω , β) ,
β
(1.42)
ω∈R
sendo que H(z, β) é estável e não tem polos sobre o cı́rculo unitário.
Para sistemas incertos SISO a norma H∞ corresponde ao valor máximo do diagrama de
magnitude de Bode do conjunto de incertezas. Para sistemas incertos MIMO a norma H∞ é o
supremo valor do diagrama de valores singulares do conjunto de incertezas.
Para esse caso, em que o sistema é incerto, a estimação do custo H∞ segue o mesmo raciocı́nio
descrito para o caso precisamente conhecido. Considerando que ao se estimar o custo garantido
H∞ de um sistema incerto o valor encontrado para γ que satisfaça a condição (1.37) é maior
ou igual ao custo garantido ótimo, γ ∗ . A ideia apresentada para a sı́ntese de controladores
que minimizam o custo garantido H∞ para sistemas precisamente conhecidos é a mesma para
sistemas incertos.
1.2
Sistema Discreto no Tempo com Atrasos nos Estados
Atraso ocorre frequentemente em diferentes sistemas reais, tais como, sistemas mecânicos,
sistemas elétricos e sistemas biológicos. O atraso em sistemas pode causar degradação de desempenho ou mesmo instabilidade [MZRZ07], [ZCC06]. Nos últimos anos, o atraso tem sido um
tema recorrente em trabalhos publicados, como, [LY10], [Ric03], [SLRW08], [XL10] e [AG07] que
tratam de sistemas contı́nuos no tempo e [XLS+ 07], [HZ10], [LM08a] e [LM08c] que abordam
sistemas discretos no tempo.
Os atrasos podem estar localizados no sinal de controle, no sinal medido pelo sensor ou nos
estados. Para o trabalho em questão, a classe de sistemas explorada é a que apresenta atraso
nos estados, sendo que esses podem ser compostos de múltiplos atrasos ou de um único atraso.
Uma forma de tratar sistemas discretos no tempo com atraso nos estados é a abordagem
que utiliza um vetor de estado aumentado resultando em um sistema livre de atrasos, como
proposto em [ÅW84] e [KH98], sendo que o sistema livre de atrasos contém todos os autovalores
do sistema com atrasos nos estados. No entanto, essa técnica apresenta limitações para o estudo
da estabilidade de sistemas com incertezas, sistemas de grandes dimensões, sistemas com atrasos
incertos e com atrasos variantes no tempo [KH98], [ML08], [MZRZ07], [ZHW06], [LTP04] e
[LTP09]. Assim, considere o sistema incerto discreto no tempo com atraso nos estados
xk+1 = A(β)xk + Ad (β)xk−d ,
(1.43)
com condições inicias nulas para se ter unicidade de soluções. Sendo que xk ∈ Rn representa o
vetor de estados, d ∈ N é o atraso do sistema e A(β) e Ad (β) ∈ Rn×n são matrizes invariantes
no tempo, incertas e pertencentes ao politopo A′oℓ
(
)
N
X
A Ad (β) : A Ad (β) =
A Ad j βj , β ∈ Ω ,
A′oℓ =
(1.44)
j=1
com Ω está definido em (1.13) e os vértices
cidos.
Aj Adj
=
A Ad
j
, são precisamente conhe-
16
Considerando que o atraso d no sistema (1.43) seja conhecido, esse sistema pode ser representado por um sistema aumentado incerto discreto no tempo livre de atraso, ou seja,
sk+1 = Ā(β, d)sk ,
sendo


xk
xk−1 


sk =  .. 
 . 
xk−d
A(β) 0n×(d−1)n Ad (β)
.
e Ā(β, d) =
Idn
0dn×n
(1.45)
(1.46)
Observe que sk ∈ R(n+1)d é o vetor de estados aumentado, e Ā(β, d) ∈ Rn(d+1)×n(d+1) é a matriz
de estados aumentada. Considere que essa matriz incerta Ā(β, d) pertença ao politopo Aoℓ
definido em (1.12) substituindo-se A(β) por Ā(β, d) e Aj por Ā(d)j e compatibilizando-se as
dimensões.
1.2.1
Estabilidade
No estudo da estabilidade de sistemas discretos no tempo com atraso(s) nos estados existem
duas classificações, tanto para condições de análise, quanto para condições de sı́ntese: as que
são independentes do atraso e as que são dependentes do atraso [ML08] [ZCC06] [ZHW06]. A
primeira condição garante a estabilidade do sistema não importando o tamanho do(s) atraso(s).
Já na segunda há uma dependência explı́cita do tamanho do(s) atraso(s) [dSJL07]. Um fato
importante com relação a essas duas abordagens para condições de análise e de sı́ntese de
estabilidade de sistemas com atraso é que condições dependentes do atraso são geralmente
menos conservadoras que as condições independentes do atraso [XLS+ 07].
Por outro lado, condições independentes do atraso não podem, em geral, serem obtidas como
um caso limite de condições dependentes do atraso a partir da imposição de um valor máximo
para o atraso, dmax → ∞. Por exemplo, se uma condição dependente do atraso é aplicada
em um sistema independente do atraso, as conclusões obtidas serão, em geral, conservadoras
[LM08b].
Análise de estabilidade via sistema aumentado
A análise de estabilidade do sistema incerto discreto no tempo com atraso nos estados, como
o apresentado em (1.43), pode ser investigada a partir da representação (1.45)–(1.46). Como esse
último é um sistema livre de atraso a investigação pode ser feita por meio das condições de análise
de estabilidade apresentadas na subseção 1.1.3. Essas condições são desenvolvidas a partir do
teorema de Lyapunov. Pela forma construtiva dessa abordagem, a análise de estabilidade será
sempre do tipo dependente do atraso [dSJL07].
Como já dito, a estratégia de estudar a estabilidade de um sistema discreto com atraso nos
estados por meio da representação do sistema aumentado livre de atraso apresenta algumas
limitações. Se for considerado o caso em que o sistema discreto no tempo com atraso nos
estados, (1.43) é precisamente conhecido, assim como o seu atraso, ou seja, d = τ , então essa
17
abordagem de sistema aumentado é apropriada para ser utilizada. Dessa forma, o sistema em
questão é Schur estável se existir P T = P ∈ R(τ +1)n×(τ +1)n tal que satisfaça
sendo
P > 0 e Ā(τ )T P Ā(τ ) − P < 0,
(1.47)
A 0n×(τ −1)n
Ad
.
Ā(τ ) =
Iτ n
0τ n×n
(1.48)
Pd > 0 e Ā(d)T Pd Ā(d) − Pd < 0,
(1.49)
Por outro lado, se for considerado o caso em que apenas atraso é incerto, ou seja, d ∈ 1, τ ,
então a análise de estabilidade via sistema aumentado apresenta uma particularidade: o estudo
da Schur estabilidade do sistema deve ser feito para cada valor que o atraso d pode assumir.
Sendo assim, esse sistema é Schur estável se existirem as matrizes PdT = Pd ∈ R(d+1)n×(d+1)n ,
sendo d = 1, . . . , τ , tais que satisfaçam
sendo
Ā(d) =
A 0n×(d−1)n
Idn
Aj 0n×(d−1)n
Idn
Ad
0dn×n
.
(1.50)
Considere o caso, em que tanto as matrizes do sistema, quanto o atraso sejam incertos. Esse
T
sistema é robustamente estável se, por exemplo, existirem Pj,d
= Pj,d ∈ R(d+1)n×(d+1)n , Fd ∈
R(d+1)n×(d+1)n e Gd ∈ R(d+1)n×(d+1)n , sendo d = 1, . . . , τ , tais que satisfaçam
Pj,d − Fd − FdT
F A(d)j − GTd
< 0; j = 1, . . . , N,
(1.51)
A(d)Tj FdT − Gd −Pj,d + Gd A(d)j + A(d)Tj GTd
sendo
Ā(d)j =
Adj
.
0dn×n
(1.52)
Se na condição anterior for considerado Pj,d = Pd , d = 1, . . . , τ e j = 1, . . . , N, então tem-se
a análise de estabilidade quadrática. Portanto, sistema é quadraticamente estável se existirem
PdT = Pd ∈ R(d+1)n×(d+1)n , sendo d = 1, . . . , τ , tais que satisfaçam
Pd > 0 e Ā(d)Tj Pd Ā(d)j − Pd < 0;
j = 1, . . . , N,
(1.53)
sendo Ā(d)j definido conforme (1.52).
Análise de estabilidade: abordagem de Lyapunov-Krasovskii
O Teorema de Lyapunov 1.1, apresentado na Subseção 1.1.2, pode ser estendido para sistemas
discretos no tempo com atraso nos estados a partir da teoria de Lyapunov-Krasovskii. Por meio
dessa teoria é possı́vel tratar sistemas com grandes atrasos, atrasos incertos e atrasos variantes
no tempo. Uma candidata à função de Lyapunov-Krasovskii (L-K) é
V (xk , β) =
xTk P (β)xk
+
0
X
i=−d
xTk+i S(β)xk+i,
(1.54)
18
sendo que essa função já é conhecida na literatura, veja [SDM07].
Para garantir a estabilidade do sistema descrito por (1.43) é suficiente que: V (xk , β) > 0, o
que é assegurado fazendo P (β) > 0, S(β) > 0 e ∆V (xk , β) < 0. Essas condições são somente
suficientes para a análise de estabilidade, pelo fato de (1.54) não ser uma função de L-K completa
[GKC03]. Desenvolvendo ∆V (xk , β) < 0, tem-se:
xTk+1 (P (β) + S(β))xk+1 − xTk P (β)xk − xTk−d S(β)xk−d < 0.
Substituindo xk+1 = A(β)xk + Ad (β)xk−d , encontra-se
T
xk
T
xk xk−d Ξ(β)
<0
kk−d
(1.55)
(1.56)
que pode ser verificada testando
A(β)T (P (β) + S(β))A(β) − P (β)
A(β)T (P (β) + S(β))Ad (β)
Ξ(β) =
< 0. (1.57)
⋆
Ad (β)T (P (β) + S(β))Ad (β) − S(β)
Essa condição é conhecida como de estabilidade robusta para sistemas incertos discretos no
tempo com atraso nos estados. Observe que essa condição é de dimensão infinita em β.
As matrizes incertas A(β) e Ad (β) pertencem ao politopo A′oℓ , apresentado em (1.44), P (β)
e S(β) pertencem aos politopos P e S, sendo o primeiro apresentado em (1.14) e o segundo
definido a seguir:
(
)
N
X
S = S(β) ∈ Rn×n : S(β) =
βj Sj , β ∈ Ω ,
(1.58)
j=1
com Ω definido em (1.13). Com isso, quaisquer matrizes A(β), Ad (β), P (β) e S(β), dentro do
domı́nio de incertezas, podem ser escritas como as combinações convexas dos vértices Aj , Adj ,
Pj e Sj , para j = 1, . . . , N, respectivamente. Considere que seja aplicado o Lema de Finsler na
condição (1.55). Sendo assim,
xTk+1 (P (β) + S(β))xk+1 − xTk P (β)xk − xTk−d S(β)xk−d

T
xk+1
< 0 =⇒  xk 
xk−d


P (β) + S(β)
0
0
xk+1
0
−P (β)
0   xk  < 0, (1.59)
×
0
0
−S(β)
xk−d




P (β) + S(β)
0
0
xk+1
0
−P (β)
0 . Com isso:
sendo que ϕk =  xk  e Q(β) = 
0
0
−S(β)
xk−d



xk+1
B(β)ϕk = 0 =⇒ −I A(β) Ad (β)  xk  = 0.
xk−d
(1.60)
19
Para:


Q(β) + X (β)B(β) + B(β)T X (β)T < 0,
(1.61)
F (β)
sendo X (β) =  G(β) , em que F (β) ∈ Rn×n , G(β) ∈ Rn×n e H(β) ∈ Rn×n são variáveis de
H(β)
folga, tem-se

P (β) + S(β) − F (β) − F (β)T
F A(β) − G(β)T

⋆
−P (β) + G(β)A(β) + A(β)T G(β)T
⋆
⋆

F Ad (β) − H(β)T
 < 0. (1.62)
G(β)Ad (β) + A(β)T H(β)T
T
T
−S(β) + H(β)Ad (β) + Ad (β) H(β)
Introduzindo conservadorismo na condição (1.62), ou seja, considerando F (β) = F , G(β) = G
e H(β) = H, obtém-se


P (β) + S(β) − F − F T
F A(β) − GT
F Ad (β) − H T
 < 0.

⋆
−P (β) + GA(β) + A(β)T GT
GAd (β) + A(β)T H T
T
T
⋆
⋆
−Sj + HAd (β) + Ad (β) H
(1.63)
′
Como A(β) e Ad (β) pertencem ao politopo Aoℓ , P (β) e S(β) pertencem aos politopos P e S,
então (1.63) é verificada a partir de


P j + Sj − F − F T
F Aj − GT
F Adj − H T

 < 0.
⋆
−Pj + GAj + ATj GT
GAdj + ATj H T
T
T
⋆
⋆
−Sj + HAdj + Adj H
(1.64)
Essa condição, (1.64), é suficiente para (1.57): considere que (1.64) seja multiplicada por βj ≥ 0
e somada de j = 1 até j = N, como mostrado a seguir


P j + Sj − F − F T
F Aj − GT
F Adj − H T
 < 0.
⋆
−Pj + GAj + ATj GT
GAdj + ATj H T
βj 
T
T
j=1
⋆
⋆
−Sj + HAdj + Adj H
N
X
 PN

PN
T
T
β
(P
+
S
−
F
−
F
)
j
j
j
j=1
j=1 βj (F Aj − G )
PN
T T
⋆
j=1 βj (−Pj + GAj + Aj G )
⋆
⋆

PN
βj (F Adj − H T )
j=1
PN

β (GAdj + ATj H T )
 < 0.
PN j=1 j
T
T
j=1 βj (−Sj + HAdj + Adj H )
De acordo com as definições dos politopos A′oℓ , P e S chega-se na condição (1.63).
20
Se na condição (1.64) for considerado Pj = P e Sj = S é obtida uma condição para análise
de estabilidade quadrática dada por
T
Aj (P + S)Aj − P
ATj (P + S)Adj
< 0.
(1.65)
⋆
ATdj (P + S)Adj − S
Nesta dissertação é usada a candidata a função de L-K (1.54) que resulta em condições
independentes do atraso. Atualmente existem candidatas muito mais elaboradas que podem
levar a resultados menos conservadores. Os estudos realizados nesta dissertação podem ser
estendidos para essas funções de L-K mais completas com relativa facilidade.
1.2.2
Estabilização
Nesta subseção são abordadas somente as formulações de estabilização obtidas a partir das
condições de estabilidade via sistema aumentado. Formulações de estabilização a partir de
condições de L-K são estudadas nos Capı́tulos 2 e 3, por isso são omitidas nesta subseção.
Considere o sistema incerto discreto no tempo com atraso nos estados
xk+1 = A(β)xk + Ad (β)xk−d + Bu (β)uk ,
(1.66)
em que xk ∈ Rn e uk ∈ Rq representam o vetor de estado e a entrada de controle, respec tivamente, o atraso é incerto d ∈ 1, τ e A(β), Ad (β) ∈ Rn×n , Bu (β) ∈ Rn×q são matrizes
invariantes no tempo, incertas e pertencentes ao politopo Aoℓ
)
(
N
X
A Ad Bu j βj , β ∈ Ω , (1.67)
A Ad Bu (β) : A Ad Bu (β) =
Aoℓ =
j=1
com Ω definido em (1.13) e os vértices Aj Adj Buj = A Ad Bu j , são conhecidos.
O primeiro caso a ser analisado é considerando o sistema (1.66) precisamente conhecido,
assim como o atraso, ou seja, d = τ . Para essa situação tem-se que esse sistema é Schur
estabilizável se existirem Z ∈ R(τ +1)n×q e 0 < P T = P ∈ R(τ +1)n×(τ +1)n , tais que satisfaça
−P P Ā(τ ) + Z B̄uT (τ )
< 0,
(1.68)
⋆
−P
em que Ā(τ ) é definido em (1.48),
(1.69)
K̄(τ ) = Z T P −1 .
(1.70)
Bu
Bu (τ ) =
0τ n×q
e a matriz do controlador utilizado para realimentação dos estados K̄(τ ) ∈ Rq×(τ +1)n
A lei de controle utilizada para a representação do sistema aumentado é
em que
uk = K̄(τ )sk ,
(1.71)
K̄(τ ) = K 0n×τ n
(1.72)
21
e sk está definido em (1.46). Observe que para calcular K̄(τ ) com o formato definido em (1.72) é
necessário impor estruturas às matrizes P e Z, sendo que a primeira
tem que ser bloco diagonal,
Zn×q
com blocos de dimensões n × n e τ n × τ n e a segunda ser
. Note que K̄(τ ) poderia ser
0τ n×q
calculado sem imposição de estrutura. Nesse caso, a matriz dos controladores calculada poderia
ser “cheia”. Porém, isso implicaria em um sistema em malha fechada com múltiplos atrasos nos
estados, sendo essa uma situação que será evitada nesta dissertação.
Considere o caso em que o sistema (1.66) é precisamente conhecido com atraso incerto,
no qual d ∈ 1, τ . Sendo assim, o sistema em questão é Schur estabilizável se existirem
Zd ∈ R(d+1)n×q , Fd ∈ R(d+1)n×(d+1)n e 0 < PdT = Pd ∈ R(d+1)n×(d+1)n , d = 1 . . . , τ , tais que
satisfaçam
Pd − Fd − FdT F Ā(d)T + Zd B̄uT (d)
< 0,
(1.73)
⋆
−Pd
sendo Ā(d) definido em (1.50),
(1.74)
K̄(d) = ZdT Fd−T .
(1.75)
Bu
B̄u (d) =
0dn×q
e a matriz do controlador utilizado para realimentação dos estados K̄(d) ∈ Rq×(d+1)n
A lei de controle utilizada para a representação do sistema aumentado é
em que
uk = K̄(d)sk ,
(1.76)
K̄(d) = K 0n×dn
(1.77)
e sk está definido em (1.46). Observe que, para sintetizar os ganhos do controlador a partir
das condições (1.73), é necessário impor estruturas às matrizes Fd e Zd . A matriz Fτ deve
conter Fτ −1 , essa deve conter Fτ −2 e assim por diante, sendo que essas matrizes devem ser bloco
diagonal,em que
a dimensão de cada bloco é igual a n. As matrizes Zd devem ter estruturas
Zn×q
iguais a
, d = 1 . . . , τ . Note que para essa situação não é necessário impor estrutura
0dn×q
para as matrizes Pd .
Considere o caso em que o sistema (1.66) é incerto, assim como o atraso,sendo que esse
tenha o mesmo intervalo descrito para a situação anterior. Com isso, o sistema em questão é
T
robustamente estabilizável se existirem Zd ∈ R(d+1)n×q , Fd ∈ R(d+1)n×(d+1)n e 0 < Pj,d
= Pj,d ∈
(d+1)n×(d+1)n
R
, d = 1 . . . , τ , tais que satisfaçam
T
Pj,d − Fd − FdT Fd Āj (d)T + Zd B̄uj
(d)
< 0, j = 1, . . . , N,
(1.78)
⋆
−Pj,d
sendo Ā(d) definido em (1.52),
Buj
B̄uj (d) =
0dn×q
(1.79)
e a matriz do controlador utilizado para realimentação dos estados K̄(d) ∈ Rq×(d+1)n é dada em
(1.75), sendo que essa tem a mesma estrutura apresentada em (1.77). Como para o caso em que
22
o sistema é precisamente conhecido e o atraso é incerto para essa situação é necessário impor
estruturas às matrizes Fd e Zd .
Se na condição (1.73) for considerado que Pj,d = Pd , j = 1, . . . , N e d = 1, . . . , τ , temse a condição de estabilização quadrática, ou seja, o sistema incerto discreto no tempo com
atraso incerto nos estados (1.66) é quadraticamente estabilizável se existirem Zd ∈ R(d+1)n×q ,
Fd ∈ R(d+1)n×(d+1)n e 0 < PdT = Pd ∈ R(d+1)n×(d+1)n , d = 1 . . . , τ , tais que satisfaçam
T
Pd − Fd − FdT Fd Āj (d)T + Zd B̄uj
(d)
< 0, j = 1, . . . , N,
(1.80)
⋆
−Pd
sendo Ā(d) definido em (1.52), B̄uj e K̄(d) ∈ Rq×(d+1)n definidos em (1.52), (1.79) e (1.75),
respectivamente. Note que para esse caso também é necessário impor estruturas às matrizes Fd
e Zd .
Capı́tulo
2
D(α, r)-estabilidade: proposta de sistema
equivalente
Neste capı́tulo é proposto um sistema equivalente com múltiplos atrasos para o estudo de
D(α, r)-estabilidade de sistemas lineares discretos no tempo com um atraso nos estados. A
obtenção desse sistema equivalente utiliza a representação de um sistema discreto com um
atraso no vetor de estado na forma aumentada e livre de atrasos. Em seguida, o sistema obtido
tem seus autovalores deslocados de −α em relação ao eixo real multiplicados por um fator
1
. Com isso, se o sistema original é D(α, r)-estável, então o novo sistema será Schur-estável,
r
isto é, possuirá os autovalores localizados no interior da região D(0, 1). Esse sistema é então
representado em uma nova base no espaço, de forma que seja possı́vel a recuperação de um
sistema com múltiplos atrasos nos estados, de mesma ordem do sistema original.
A contribuição principal deste capı́tulo consiste na caracterização da matriz de mudança de
base que relaciona o sistema discreto no tempo com um atraso com o sistema discreto no tempo
com múltiplos atrasos, permitindo o estudo da D(α, r)-estabilidade por meio da Schur estabilidade. Utilizando essa matriz de mudança de base, são determinadas regras para a construção
direta do sistema equivalente com múltiplos atrasos. Essa representação permite melhor compreensão dos limites teóricos da D(α, r)-estabilização de sistemas com atrasos nos estados. Além
disso, o sistema equivalente proposto possibilita a obtenção de formulações convexas, do tipo
LMI, tanto para a análise de D(α, r)-estabilidade quanto para a sı́ntese de ganhos estabilizantes,
de realimentação de estados. Essa abordagem é baseada em funções de Lyapunov-Krasovskii
para sistemas com múltiplos atrasos. Exemplos numéricos são apresentados para ilustrar a
aplicações das condições propostas.
2.1
Colocação do problema
As condições desenvolvidas neste capı́tulo são de análise e de sı́ntese de controladores para a
D(α, r)-estabilidade de um sistema discreto no tempo com atraso nos estados. Para a utilização
dessas condições é necessário que esse sistema discreto no tempo com um único atraso nos
estados seja descrito em termos de um sistema discreto no tempo com múltiplos atrasos nos
estados. Esse sistema é obtido a partir de uma transformação de similaridade aplicada em um
23
24
Capı́tulo 2. D(α, r)-estabilidade: proposta de sistema equivalente
sistema aumentado e livre de atraso que é equivalente ao sistema com atraso
S : xk+1 = Axk + Ad xk−τ + Bu uk ,
(2.1)
em que xk ∈ Rn e uk ∈ Rq denotam o vetor de estado e o vetor de entrada de controle,
respectivamente, k ∈ N é o instante de amostragem, o atraso é denotado por τ e as matrizes
A ∈ Rn×n , Ad ∈ Rn×n e Bu ∈ Rn×q .
Considere a lei de controle:
uk = Kxk + Kτ xk−τ ,
(2.2)
sendo K ∈ Rq×n e Kτ ∈ Rq×n . Essa lei de controle resulta no sistema em malha fechada
S : xk+1 = Axk + Ad xk−τ ,
(2.3)
sendo
A = A + Bu K
e Ad = Ad + Bu Kτ .
(2.4)
Note que, se for considerado Kτ = 0, é feita somente a realimentação dos estados atuais.
Diante disso, é apresentado o problema tratado neste capı́tulo:
Problema 2.1 Determinar um sistema equivalente a (2.3)–(2.4) ou a (2.1)–(2.2) de forma
que a análise de Schur estabilidade ou a sı́ntese para Schur estabilização desse sistema equivalente corresponda à análise de D(α, r)-estabilidade ou sı́ntese de ganhos K e Kτ para a D(α, r)estabilização de (2.3)–(2.4) ou (2.1)–(2.2), respectivamente.
2.2
Sistema equivalente com múltiplos atrasos
Considere o sistema (2.1)–(2.4) descrito na Seção 2.1. A análise de D(α, r)-estabilidade
de (2.3)–(2.4) e a sı́ntese de ganhos, K e Kτ para (2.2), que D(α, r)-estabilizam (2.1) não é
trivial. Algumas das dificuldades envolvidas nessas tarefas podem ser percebidas ao se analisar
a equação caracterı́stica de (2.3). Para isso, considere a aplicação da transformada Z em (2.3),
o que resulta em:
zX(z) = AX(z) + Ad z −τ X(z); X(0) = 0,
(2.5)
em que X(z) = Z{xk }. Colocando X(z) em evidência pode-se determinar o polinômio caracterı́stico de (2.3), como sendo:
θ(z) = det z τ +1 I − Az τ − Ad
(2.6)
que possui grau (τ + 1)n. Portanto, fica claro que a análise de estabilidade no caso de sistemas
discretos no tempo com atraso nos estados envolve τ n raı́zes a mais que o caso livre de atrasos,
cujo polinômio caracterı́stico tem grau n.
A dificuldade para a sı́ntese de ganhos K e Kτ , tais que (2.1) controlado por (2.2) possua
autovalores pré-estabelecidos, pode ser percebida substituindo-se A e Ad em (2.6) por suas respectivas expressões dadas em (2.4). Igualando o resultado dessas substituições a um polinômio,
p(z), de grau (τ + 1)n, que possui as raı́zes desejadas para o sistema em malha fechada, tem-se:
det z τ +1 I − (A + Bu K)z τ − (Ad + Bu Kτ ) = p(z).
(2.7)
2.2. Sistema equivalente com múltiplos atrasos
25
Assim, devem-se encontrar os valores dos ganhos K e Kτ que levam o sistema em malha fechada
a ter os autovalores nas posições desejadas, resolvendo a igualdade polinomial (2.7). Note que
a alocação de todos os autovalores do sistema em malha fechada envolve a solução (τ + 1)n + 1
equações obtidas da igualdade dos coeficientes de mesmo grau em (2.7). Em geral, essa alocação
é uma tarefa impossı́vel de ser realizada a partir de um controlador que tem acesso a apenas xk
e xk−τ , ou seja, 2n valores escalares dos estados. Diante disso, uma forma alternativa de tratar
a alocação de autovalores é fazer a alocação regional de autovalores.
Uma técnica para efetuar a alocação regional de autovalores pode ser adaptada do caso livre
de atraso. Essa abordagem consiste em aumentar o vetor de estados do sistema (2.1) até que
esse possa ser descrito por [ÅW84], [KH98]; como descrito no capı́tulo anterior:
sk+1 = Ā(τ )sk + B̄u (τ )uk ,
(2.8)
sendo


xk
xk−1 


sk =  ..  ∈ R(τ +1)n ,
 . 
xk−τ
e
A 0n×(τ −1)n
Ad
Ā(τ ) =
∈ R(τ +1)n×(τ +1)n
Iτ n
0τ n×n
(2.9)
Bu
B̄u (τ ) =
∈ R(τ +1)n×q .
0τ n×q
(2.10)
uk = K̄(τ )sk ,
(2.11)
K̄(τ ) = K 0q×(τ −1)n Kτ ∈ Rq×(τ +1)n .
(2.12)
sk+1 = Ā(τ )sk ,
(2.13)
Ā(τ ) = Ā(τ ) + B̄u (τ )K̄(τ ).
(2.14)
Para esse caso a lei de controle (2.2) é expressa por
sendo
Aplicando (2.11)–(2.12) em (2.8)–(2.10) resulta em
em que
Se Ā(τ ) é Schur estável, então

A − αI
0n×n(τ −1)
r


 I
αI

−
0

r
 r
I
αI
Ā(τ ) − αI 
 0
−
= 
Ã(τ ) =
r
r

r
..
..
..

.
.
.



0
0
0


0
0
0
··· 0
··· 0
. . ..
. .
I
···
r
··· 0
0
Ad
r



0 

.. 
. 

αI 
− 
r 

I
r nτ ×nτ









0

 0 




 .. 

 . 




 0 

 αI 


−
r nτ ×n 
(2.15)
26
tem autovalores na região D(α, r) [HB92]. O mapeamento (2.15) desloca os autovalores de Ā(τ )
de “−α” em relação ao eixo real e multiplica seus respectivos módulos pelo fator “1/r”. Portanto,
adotando o raciocı́nio na direção inversa, se Ã(τ ) é Schur estável então Ā(τ ) = r Ã(τ ) + αI é
D(α, r)-estável. Com isso, para τ conhecido, a D(α, r)-estabilidade de (2.3) pode ser analisada
estudando-se a Schur estabilidade de
sk+1 = Ã(τ )sk ,
(2.16)
ou seja, verificando se existe P = P T ∈ R(τ +1)n×(τ +1)n tal que
P > 0 e Ã(τ )T P Ã(τ ) − P < 0.
(2.17)
A partir disso, tem-se o seguinte lema:
Lema 2.1 Se o sistema (2.16) é Schur estável, então o sistema (2.3) é D(α, r)-estável.
Suponha que o mapeamento (2.15) seja utilizado em (2.8). Com isso, obtém-se
sk+1 = Ã(τ )sk + B̃u (τ )uk ,
(2.18)
em que

e
A − αI
0n×n(τ −1)
r


 I
αI

−
0

r
 r
I
αI
Ā(τ ) − αI 

0
−

= 
Ã(τ ) =
r
r
 .
r
..
..
 ..
.
.


 0
0
0


0
0
0
··· 0
··· 0
. . ..
. .
I
···
r
··· 0
0
Ad
r



0 

.. 
. 

αI 
− 
r 

I
r nτ ×nτ
"
#
Bu
B̄u (τ )
B̃u (τ ) =
=
.
r
r
0τ n×q









0

 0 




 .. 

 . 




 0 

 αI 


−
r nτ ×n 
(2.19)
(2.20)
Uma condição de sı́ntese para determinar ganhos robustos de realimentação de estados, K̄(τ ),
pode ser obtida a partir de (2.17), tal que sejam encontrados K e Kτ que estabilizam o sistema
(2.18) a partir da lei de controle (2.11)–(2.12). Ao utilizar essa lei de controle no sistema (2.1),
esse torna-se-á D(α, r)-estável. Uma alternativa para o estudo da D(α, r)-estabilidade de (2.3)
seria, ao invés de (2.17), utilizar uma condição semelhante a (1.65), apresentada no Capı́tulo 1,
para o caso em que as matrizes do sistema são precisamente conhecidas, isto é:
T
A (P + S)A − P
AT (P + S)Ad
< 0.
⋆
ATd (P + S)Ad − S
2.3. Matriz para mudança de base
2.3
27
Matriz para mudança de base
Para tornar possı́vel a utilização de uma condição semelhante a (1.65) para a análise ou
sı́ntese de controladores para D(α, r)-estabilidade busca-se uma base no espaço R(τ +1)n , dada
por Q(α, r, τ ) tal que
šk+1 = Q(α, r, τ )Ã(τ )Q(α, r, τ )−1 šk + Q(α, r, τ )B̃(τ ) uk = Ǎ(α, r, τ )šk + B̌(α, r, τ )uk
|
{z
}
|
{z
}
Ǎ(α,r,τ )
com
(2.21)
B̌(α,r,τ )

 

xk
x̌k
xk−1  x̌k−1 

 

šk = Q(α, r, τ )sk = Q(α, r, τ )  ..  =  .. 
 .   . 
xk−τ
(2.22)
x̌k−1
torne Ǎ(α, r, τ ) e B̌(α, r, τ ) com as seguintes estruturas:
Ǎτ
B̌u
Ǎ0 Ǎ1 · · · Ǎ(τ −1)
Ǎ(α, r, τ ) =
e B̌(α, r, τ ) =
,
Iτ n
0τ n×n
0τ n×q
(2.23)
em que Ǎm ∈ Rn×n , m = 0, . . . , τ e B̌u ∈ Rn×q . Note que essas matrizes são funções de α, r e
τ , porém por simplicidade essas dependências são omitidas sempre que o contexto deixar claro.
De acordo com a estrutura de Ǎ(α, r, τ ) e B̌(α, r, τ ) é possı́vel representar o sistema livre de
atrasos (2.21)–(2.23) por um sistema com múltiplos atrasos nos estados:
x̌k+1 =
τ
X
Ǎm x̌k−m + B̌u uk ,
(2.24)
m=0
em que x̌k−m , m = 0, . . . , τ , compõem o vetor šk dado em (2.22). Suponha a seguinte lei de
controle para esse sistema:
τ
X
uk =
Ǩm x̌k−m ,
(2.25)
m=0
em que Ǩm , m = 0, . . . , τ , são obtidos da transformação de similaridade, ou seja,
Ǩ(α, r, τ ) = K̄(τ )Q(α, r, τ )−1 = Ǩ0 · · · Ǩτ .
(2.26)
Note que Ǩm ∈ Rq×n , m = 0, . . . , τ , dependem de α, r e τ . Utilizando (2.25)–(2.26) em (2.24)
se produz o sistema discreto no tempo com múltiplos atrasos nos estados em malha fechada
x̌k+1 =
τ
X
Ǎm x̌k−m ,
(2.27)
m=0
em que
Ǎm = Ǎm + B̌u Ǩm ,
m = 0, . . . , τ.
(2.28)
Observe que é desejável encontrar Q(α, r, τ ) tal que Ǎm e Ǩm , m = 1, . . . , τ − 1 sejam nulos.
Nesse caso, a D(α, r)-estabilidade de (2.3) poderia ser estudada por meio de (2.27) usando,
por exemplo, uma condição semelhante a (1.65). Porém não é, em geral, possı́vel encontrar tal
transformação.
28
Fato 2.1 A matriz Q(α, r, τ ) que relaciona (2.23) com (2.19)–(2.20) é triangular superior.
Prova: A matriz de mudança de base que relaciona o sistema original (2.18) e o sistema na
nova base dado por (2.21)–(2.23) é dada por
Q(α, r, τ ) = CˇC˜−1 ,
(2.29)
em que Cˇ e C˜ são as matrizes de controlabilidade do sistema na nova base e do sistema original,
respectivamente. Essas matrizes de controlabilidade são calculadas da seguinte forma:
Cˇ = B̌u ǍB̌u Ǎ2 B̌u · · · Ǎτ B̌u
e C˜ = B̃u ÃB̃u Ã2 B̃u · · · Ãτ B̃u .
(2.30)
Por construção, observa-se que essas duas matrizes de controlabilidade são triangulares superiores por causa das estruturas das matrizes Ǎ, B̌u , Ã e B̃u . Assim, a inversa da matriz C˜ também
é uma matriz triangular superior. Como a matriz resultante de um produto de duas matrizes
triangulares superiores é uma matriz triangular superior, tem-se Q(α, r, τ ) triangular superior.
Fato 2.2 A matriz Q(α, r, τ ) de mudança de base que relaciona Ã(τ ) dada em (2.19) com
Ǎ(α, r, τ ) dada em (2.23) é

q1,1 I q1,2 αI q1,3 α2 I q1,4 α3 I
 0
q2,2 rI q2,3 rαI q2,4 rα2 I

 0
0
q3,3 r 2 I q3,4 r 2 αI

Q(α, r, τ ) =  0
0
0
q4,4 r 3 I

 ..
..
..
..
 .
.
.
.
0
0
0
0
em que
qi,j =

···
q1,(τ +1) ατ I
· · · q2,(τ +1) rατ −1I 

· · · q3,(τ +1) r 2 ατ −2 I

,
· · · q4,(τ +1) r 3 ατ −3 I


..
..

.
.
···
(2.31)
q(τ +1),(τ +1) r τ I
(−1)i+j , para i = j ou i qualquer e j = τ + 1
.
(−1)i+j |q(i−1),(j−1) | + |q(i−1),j |, para i = 2, . . . , τ e j = i + 1, . . . , τ
(2.32)
Note que cada coluna da matriz Q(α, r, τ ) representa um polinômio homogêneo em α e r,
sendo que a ordem desses polinômios é igual a j − 1, em que j representa o número da coluna
em Q(α, r, τ ). Esses polinômios começam com o maior grau em α e terminam com o maior grau
em r.
Para a obtenção da lei de formação da matriz Q(α, r, τ ) foi utilizado o software Mathematica
carregado com o pacote NCAlgebra [dH03b], [dH03a] e [dH06], que permitiu fazer as operações
não comutativas para diversos valores de n e τ . Com isso, foi possı́vel observar a regra de
formação de Q(α, r, τ ).
Exemplo 2.1 — Considere o sistema com atraso nos estados dado por:
0.1 1
0 0
1
xk+1 =
x +
x
+
u .
0.05 0.9 k
0 0.1 k−3
0.6 k
(2.33)
29
A representação desse sistema por um sistema com vetor de estado aumentado é definido por
sk+1



=


0.1 1
0.05 0.9
I
0
0
0 0
0 0
I 0
0 I

 
0 0
1



0 0.1 
 0.6 



0
 sk +  0n×q  uk ,

 0n×q 
0
0
0n×q


xk
xk−1 

sk = 
xk−2  .
xk−3
(2.34)
Fazendo o mapeamento desse sistema aumentado utilizando as operações apresentadas em (2.19)
e (2.20), obtém-se
 0.1 − α
sk+1
 r

 0.05

 r

 1

 r


 0

=

 0



 0




 0


0
1
r
0.9 − α
r
0
1
r
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0



0.1 

0
0
0
0
0
 1 
r 


 r 
α
 
−
0
0
0
0
0 

 0.6 
r

 
 r 

α
 
0 −
0
0
0
0 

 
r
 sk +  0  u k .
 0 

1
α
 
0 −
0
0
0 

 0 
r
r
 

 0 

1
α

 
0
0 −
0
0 
 0 
r
r


0
1
α

0
0
0 −
0 

r
r

α
1
0
0
0
0 −
r
r
(2.35)
A matriz Q(α, r, 3) utilizada para fazer a transformação de similaridade, šk = Q(α, r, 3)sk , é:

1
0

0

0
Q(α, r, 3) = 
0

0

0
0

0 −3α
0
3α2
0
−α3
0
1
0
−3α
0
3α2
0
−α3 

2
0
r
0
−2αr
0
α r
0 

0
0
r
0
−2αr
0
α2 r 
,
0
0
0
r2
0
−αr 2
0 

0
0
0
0
r2
0
−αr 2 

0
0
0
0
0
r3
0 
0
0
0
0
0
0
r3
(2.36)
em que os coeficientes qi,j foram obtidos conforme (2.32) e são apresentados na tabela que segue.
A partir da transformação de similaridade Ǎ = QÃQ−1 e B̌ = QB̃, obtém-se
30
Tabela 2.1: Tabela dos coeficientes qi,j
i\j 1 2 3 4
1 1 -3 3 -1
2 – 1 -2 1
3 – – 1 -1
4 – – – 1

šk+1








=







4α − 0.1
r
0.05
r
1
0
0
0
0
0
1
r
0.9 − 4α
r
0
1
0
0
0
0
0.3α − 6α2
r2
0.15α
r2
0
0
1
0
0
0
0.3α2 − 4α3
3α2
r3
r3
0.15α2
2.7α2 − 4α3
r3
r3
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1


3
α
1 

 r 
r4

 

3
4
 0.6 
0.9α − α + 0.1 
 

 r 

r4
 

 0 

0

 šk + 
 0  uk . (2.37)

0



 0 

0
 

 0 

0
 

 0 

0
0
0
3α
r2
2.7α − 6α2
r2
0
0
0
1
0
0
α4 − 0.1α3
r4
0.05α3
r4
0
0
0
0
0
0
A partir do Fato 2.2 podem ser definidas as leis de formação das matrizes Ǎm , Ǩm , m =
0, . . . , τ , e B̌u que compõem o sistema na nova base,
Fato 2.3 Se o sistema discreto no tempo com múltiplos atrasos nos estados (2.27)–(2.28) é
Schur estável com:

A − (τ + 1)αI



, para m = 0


r m+1

m
am,τ −1 Aα − am+1,τ α
I
Ǎm =
(2.38)
, para m = 1, . . . , τ − 1 ,
m+1

rτ

τ
+1


Aα + Ad − α I


, para m = τ
r τ +1
B̌u =
Bu
r
(2.39)
e
Ǩm =









31
K, para m = 0
αm
am,τ −1 m K, para m = 1, . . . , τ − 1 ,
r
Kτ + α τ K
, para m = τ
rτ
(2.40)
em que os coeficientes ai,j são calculados da seguinte forma:
ai,j


j + 1, para i = 1 e j = 1, . . . , τ
a
=
,
(i−1),(j−1) + 1, para i = j = 2, . . . , τ

a(i−1),(j−1) + ai,(j−1) , para i = 2, . . . , τ − 1 e j = i + 1, . . . , τ
(2.41)
então o sistema discreto no tempo com atraso nos estados (2.3)–(2.4) é D(α, r)-estável.
Utilizando a matriz Q(α, r, τ ) definida no Fato 2.2 para fazer a transformação de similaridade
(2.21), as matrizes do sistema resultante apresentam estruturas semelhantes às apresentadas em
(2.23). Dessa forma, a D(α, r)-estabilidade do sistema discreto no tempo com atraso nos estados
(2.3)–(2.4) pode ser analisada a partir do estudo da Schur estabilidade do sistema discreto no
tempo com múltiplos atrasos nos estados (2.27).
Para exemplificar a aplicação de (2.41) foi montada a tabela a seguir composta pelos valores
dos coeficientes ai,j para τ = 5.
Tabela
i\j
1
2
3
4
5
..
.
2.2:
1
2
—
—
—
—
..
.
Tabela dos coeficientes ai,j
2
3
4
5 ···
3
4
5
6 ···
3
6 10 15 · · ·
— 4 10 20 · · ·
— — 5 15 · · ·
— — — 6 ···
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
Exemplo 2.2 — Considere o sistema com atraso nos estados (2.33). Para aplicar o Fato 2.3,
considere apenas as três primeiras linhas e colunas da Tabela 2.2, uma vez que esse sistema
possui τ = 3. Com isso, tem-se:
x̌k+1
1 0.1 − 4α
α 0.3 − 6α
1
3
=
x̌ +
x̌
0.05
0.9 − 4α k r 2
0.15
2.7 − 6α k−1
r
α2 0.3 − 4α
1 α3 (0.1 − α)
3
α3
+ 3
x̌
+
x̌
0.15
2.7 − 4α k−2 r 4
0.05α3
α3 (0.9 − α) + 0.1 k−3
r
1 1
+
uk . (2.42)
r 0.6
Observe que se for montado o sistema aumentado de (2.42) obtém-se o mesmo sistema resultante
da mudança de base mostrado em (2.37).
32
2.4
Condições para análise e sı́ntese de D(α, r)-estabilidade
Após a representação dos sistemas discretos no tempo com um atraso nos estados por sistemas discretos no tempo com múltiplos atrasos nos estados são apresentadas condições de
D(α, r)-estabilidade e de D(α, r)-estabilização. Essas condições utilizam os sistemas discretos
no tempo com múltiplos atrasos nos estados para a análise da Schur estabilidade e a sı́ntese de
controladores que Schur estabilizam os mesmos. Mas, ao fazer isso asseguram-se a análise da
D(α, r)-estabilidade e a sı́ntese de controladores que D(α, r)-estabilizam os sistemas discretos
no tempo com atraso nos estados originais, isto é, antes da mudança de base.
2.4.1
Análise de D(α, r)-estabilidade
Teorema 2.1 Se existirem matrizes Fm ∈ Rn×n , m = 0, . . . , τ + 1, 0 < P T = P ∈ Rn×n e
T
0 < Sm
= Sm ∈ Rn×n , m = 1, . . . , τ , tais que

τ
X
P
+
Sm − F0 − F0T
F0 Ǎ0 − F1T
F0 Ǎ1 − F2T


m=1

T
T

⋆
−P + F1 Ǎ0 + Ǎ0 F1T
F1 Ǎ1 + Ǎ0 F2T

T
Πτ = 
⋆
⋆
−S1 + F2 Ǎ1 + Ǎ1 F2T


..
..
..

.
.
.


⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
F0 Ǎτ −1 − FτT
T
F1 Ǎτ −1 + Ǎ0 FτT
T
F2 Ǎτ −1 + Ǎ1 FτT
..
.
F0 Ǎτ − FτT+1
T
F1 Ǎτ + Ǎ0 FτT+1
T
F2 Ǎτ + Ǎ1 FτT+1
..
.
T
T
−Sτ −1 + Fτ Ǎτ −1 + Ǎτ −1 FτT
Fτ Ǎτ + Ǎτ −1 FτT+1
T
⋆
−Sτ + Fτ +1 Ǎτ + Ǎτ FτT+1
···
···
···
..
.
···
···





 < 0, (2.43)




em que as matrizes Ǎm , m = 0, . . . , τ são calculadas conforme o Fato 2.3 substituindo-se Ǎm
por Ǎm , então o sistema discreto no tempo com atraso nos estados (2.3) é D(α, r)-estável.
Prova: O sistema discreto com múltiplos atrasos nos estados (2.27) pode ter a Schur estabilidade avaliada a partir da seguinte candidata à função de Lyapunov-Krasovskii
V (x̌k ) =
x̌Tk P x̌k
+
τ X
0
X
x̌Tk+i Sj x̌k+i .
(2.44)
j=1 i=−j
Note que V (x̌k ) > 0 é assegurada com P > 0 e Sj > 0, j = 1, . . . , τ . Desenvolvendo essa função
obtém-se:
!
!
τ
τ
τ
X
X
X
V (x̌k ) = x̌Tk P +
Sj x̌k +
x̌Tk−i
Sj x̌k−i .
j=1
i=1
j=i
2.4. Condições para análise e sı́ntese de D(α, r)-estabilidade
33
A variação dessa função em k deve ser negativa para que a mesma seja uma função de L-K.
Assim,
!
τ
τ
X
X
∆V (x̌k ) = x̌Tk+1 P +
Sj x̌k+1 − x̌Tk P x̌k −
x̌Tk−j Sj x̌k−j < 0.
(2.45)
j=1
j=1
Note que (2.43) pode ser escrita da seguinte forma:
Πτ = Q + X B + BT X T < 0,
(2.46)
em que

τ
X
Sm 0
0
P +

m=1

0
−P
0

Q=
0
0 −S1


..
..
..

.
.
.
0
0
0
···
···
···
..
.
···

0 


0 
,
0 
.. 
. 
−Sτ

F0
F1
F2
..
.







X =





Fτ +1


−I
 T
Ǎ0 
 T
T

e B =
Ǎ1  < 0.
 .. 
 . 
(2.47)
T
Ǎτ
Pré e pós-multiplicando Πτ em (2.46) por ykT B⊥T e B⊥ yk , respectivamente, com

Ǎ0 Ǎ1
 I
0

0
⊥
I
B =
 ..
..
 .
.
0
0

· · · Ǎτ
··· 0 

··· 0 

.. 
..
. . 
··· I

x̌k
x̌k−1 




e yk = x̌k−2  ,
 .. 
 . 
x̌k−τ

(2.48)
obtém-se:
ykT B⊥T QB⊥ yk < 0,
x̌k+1
⊥
⊥
pois BB = 0n×n(τ +1) . Note que B yk =
e, portanto
šk
T x̌k+1
x̌k+1
Q
< 0,
šk
šk
(2.49)
(2.50)
que é equivalente a (2.45) com x̌k+1 substituı́do por (2.27).
Exemplo 2.3 — Considere o sistema com atraso nos estados (2.33). Utilizando a condição
(2.43), sendo α = 0 e r = 1 a condição não é factı́vel. Isso não significa que o sistema seja
instável, uma vez que a condição usada é apenas suficiente para a análise de estabilidade.
Entretanto, na Figura 2.1 são mostrados os autovalores desse sistema em malha aberta. A
partir dessa figura é possı́vel observar que existe um autovalor desse sistema que tem o seu
módulo superior à unidade. Dessa forma, pode-se afirmar que o mesmo é instável em malha
aberta.
34
1
0.8
0.6
0.4
Imag
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1
−0.5
0
0.5
1
Real
Figura 2.1: Autovalores do sistema em malha aberta (2.33).
2.4.2
Sı́ntese de controladores
Teorema 2.2 Se existirem matrizes F0 ∈ Rn×n , Z ∈ Rn×q , Zτ ∈ Rn×q , 0 < P T = P ∈ Rn×n
T
e 0 < Sm
= Sm ∈ Rn×n , m = 1, . . . , τ , tais que

τ
X
α
Sm − F0 − F0T F0 ǍT0 + Z B̌uT F0 ǍT1 + a1,τ −1 Z B̌uT · · ·
 P+
r

m=1

⋆
−P
0
···


Θτ = 
⋆
⋆
−S1
···

..
..
..
..

.
.
.
.


⋆
⋆
⋆
···
⋆
⋆
⋆
···
τ −1
τ
α
Zτ + α Z
T
T
T
F0 Ǎτ −1 + aτ −1,τ −1 τ −1 Z B̌u F0 Ǎτ +
B̌uT
r
rτ
0
0
0
0
..
..
.
.
−Sτ −1
⋆
0
−Sτ






 < 0, (2.51)




em que as matrizes Ǎm e B̌u , m = 0, . . . , τ , e os coeficientes ai,j são calculadas conforme Fato
2.3, então o sistema discreto no tempo com atraso nos estados (2.1) é D(α, r)-estabilizável com
os ganhos robustos de realimentação dos estados:
K = Z T F0−T
e Kτ = ZτT F0−T .
(2.52)
Prova: Considere que na condição (2.43) as matrizes Fm = 0, m = 1, . . . , τ + 1, e as matrizes
T
Ǎm sejam substituı́das por Ǎm + B̌u Ǩm , m = 0, . . . , τ , sendo Ǩm dado conforme (2.40).
2.4. Condições para análise e sı́ntese de D(α, r)-estabilidade
35
Com isso e utilizando as mudanças de variáveis Z e Zτ por Žm , m = 0, . . . , τ , obtém-se a
condição de sı́ntese (2.51).
Exemplo 2.4 — Considere o sistema discreto no tempo com atraso nos estados (2.33). Desejase D(α, r)-estabilizar esse sistema para o menor valor de r possı́vel, sendo α = 0. Com isso é
necessário Schur estabilizar o sistema discreto no tempo com múltiplos atrasos nos estados (2.42).
Com a aplicação do Teorema 2.2 são sintetizados os ganhos K e Kτ que D(α, r)-estabilizam o
sistema discreto no tempo com atraso nos estados (2.33). Foi utilizado um algoritmo de bissecção
junto com (2.51) para determinar o menor valor de r tal que o Teorema 2.2 seja factı́vel. Com
isso, o menor valor obtido para o parâmetro r foi 0.1.
A lei de controle que D(0, 0.1)-estabiliza o sistema (2.33) é
uk = −0.0833 −1.4930 xk + 0 −0.1667 xk−3 .
(2.53)
Na Figura 2.2 são mostrados os autovalores do sistema discreto no tempo com atraso nos estados
(2.33) realimentado com a lei de controle (2.53). Observe que esses autovalores estão localizados
no interior da região D(0, 0.1), como esperado.
1
0.8
0.6
0.4
Imag
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1
−0.5
0
0.5
1
Real
Figura 2.2: Autovalores do sistema de malha fechada com realimentação dos estados atuais e
atrasados D(0, 0.1)-estabilização.
Na Figura 2.3 são apresentadas as curvas referentes à resposta à entrada nula do sistema
T
(2.33) realimentado com a lei de controle (2.53), em que x−i = 1 −1 , i = 0, . . . , 3. As
trajetórias dos estados x1 e x2 são representadas pela linha contı́nua e pela linha tracejada,
respectivamente. Observe que os estados na segunda amostra estão praticamente iguais a zero.
Na quarta amostra o estado x1 sofre a influência do atraso. Na quinta amostra essa influência
é atenuada e esse estado é, novamente, praticamente nulo.
Na Figura 2.4 são apresentadas duas curvas, sendo que a curva (a) é referente à condição
(2.51), em que houve a variação do parâmetro α e foram encontrados os menores valores do
raio, na qual se tem solução factı́vel, linha tracejada, e a curva (b) é referente à condição
36
1
0.8
0.6
0.4
x1 , x2
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−2
0
2
4
6
8
10
Amostras
Figura 2.3: Simulação temporal do sistema realimentado, em que os estados x1 e x2 são representados por linha contı́nua e linha tracejada, respectivamente.
(1.68), linha contı́nua, em que as matrizes Ā(τ ) e B̄u (τ ) foram substituı́das por Ã(τ ) e B̃u (τ ),
respectivamente, e a matriz K̄(τ ) tem a mesma estrutura apresentada em (2.12). Nessa também
houve a variação do parâmetro α e foram encontrados os menores raios em que se tem solução
factı́vel. A busca para esses menores valores de raio foi feita por meio de um algoritmo de
bissecção. A partir dessa figura é possı́vel observar que a condição (1.68) apresenta um intervalo
de α, −0.45, 0.45 , aproximadamente, 2.25 vezes maior que o intervalo fornecido pela condição
(2.51), −0.2, 0.2 .
0.8
0.7
0.6
rmin
0.5
←(a)
0.4
←(b)
0.3
0.2
0.1
0
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
α
0.1
0.2
0.3
0.4
Figura 2.4: Comportamentos dos raios mı́nimos em relação aos valores de α: (a) obtida a
partir da condição (2.51), linha tracejada, e (b) obtida por meio da condição (1.68) via sistema
aumentado, linha contı́nua.
2.5. Conclusões
37
Na Figura 2.5 é mostrado o gráfico que representa a razão entre as duas curvas obtidas na
Figura 2.4, em que a curva obtida a partir da condição (2.51) é dividida pela curva obtida por
meio da condição (1.68), sendo que o intervalo referente a α desta foi limitado pelo intervalo
daquela. A partir da Figura 2.5 é possı́vel fazer comparações com relação à amplitude dos raios
mı́nimos obtidos por ambas as condições. Com isso, percebe-se que, para os valores de α entre
−0.05, 0.05 , a condição (2.51) produz resultados relacionados aos valores de raios mı́nimos
menos conservadores que a condição (1.68). Porém, para valores de α fora desse intervalo, a
condição (2.51) é mais conservadora que a (1.68), encontrando-se valores de raio mı́nimos na
primeira até, aproximadamente, 140% maiores que os raios mı́nimos encontrados na segunda
para o mesmo valor de α.
2.5
2
razão
1.5
1
0.5
0
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
α
0.05
0.1
0.15
0.2
Figura 2.5: Curva obtida a partir da razão dos raios mı́nimos encontrados por meio da condição
(2.51) pelos raios mı́nimos obtidos a partir do sistema aumentado.
2.5
Conclusões
Uma lei de formação para uma matriz de mudança de base triangular superior, Q(α, r, d), é
proposta nesse capı́tulo. Essa matriz permite a realização de uma transformação de similaridade
em sistemas discretos no tempo com um atraso no vetor de estado para a obtenção de um
sistema equivalente com múltiplos atrasos. A Schur estabilidade desse novo sistema assegura a
D(α, r)-estabilidade do sistema na base original. A utilização do sistema equivalente permitiu a
obtenção de condições convexas para a D(α, r)-estabilidade e para a sı́ntese de controladores para
a D(α, r)-estabilidade de sistemas discretos no tempo com um atraso no vetor de estado. Essas
condições são obtidas a partir de funções de Lyapunov-Krasovskii. Exemplos numéricos foram
desenvolvidos para demonstrar as operações de mudança de base e para ilustrar a utilização das
condições propostas.
38
Capı́tulo
3
Aplicações de modelo equivalente para
D(α, r)-estabilidade
Neste capı́tulo são propostas condições robustas para análise de D(α, r)-estabilidade e de
sı́ntese de ganhos robustos de realimentação de estados que D(α, r)-estabilizam sistemas incertos
discretos no tempo com um atraso no vetor de estado. Essas condições são obtidas a partir do
uso da representação do sistema com um atraso no estado na forma equivalente descrita no
Capı́tulo 2. São considerados três casos fundamentais: i ) sistemas precisamente conhecidos
discretos no tempo com um atraso incerto no vetor de estado; ii ) sistemas incertos discretos no
tempo com um atraso incerto no vetor de estado; e iii ) sistemas incertos discretos no tempo
com um atraso conhecido no vetor de estado. Nessa última situação, assume-se que o atraso,
embora conhecido, possa, a cada funcionamento do sistema, ter um valor constante pertencente
a um intervalo previamente estabelecido. As condições são formuladas em termos de LMIs
e são obtidas a partir de funções de Lyapunov-Krasoviskii dependentes de parâmetros para
múltiplos atrasos constantes nos estados. A representação das incertezas na forma politópica é
adotada, sendo que essas incertezas podem estar presentes em todas as matrizes dos sistemas.
Exemplos numéricos são desenvolvidos para ilustrar a aplicação das condições propostas, que
são comparadas com a abordagem que utiliza um sistema aumentado e livre de atrasos.
3.1
Preliminares e formulação dos problemas
As condições abordadas neste capı́tulo são de análise de D(α, r)-estabilidade e de sı́ntese
de controladores que D(α, r)-estabilizam sistemas discretos no tempo com atraso nos estados.
Primeiramente, são desenvolvidas condições para sistemas discretos no tempo precisamente
conhecidos com atraso incerto no vetor de estado. Em seguida, são abordados os casos em
que o sistema discreto no tempo é incerto, assim como o atraso. Por último, são tratados
os casos em que o sistema discreto no tempo é incerto, porém o atraso é conhecido em cada
instante de amostragem. Nessas duas últimas etapas são desenvolvidas condições de análise de
D(α, r)-estabilidade e de sı́ntese de controladores que D(α, r)-estabilizam os sistemas em questão
utilizando tanto funções de L-K dependentes de parâmetros quanto, baseadas na estabilidade
quadrática.
39
40
Capı́tulo 3. Aplicações de modelo equivalente para D(α, r)-estabilidade
Considere o sistema incerto discreto no tempo com atraso incerto nos estados, sendo que
esse sistema compõe a classe mais geral dos sistemas tratados neste capı́tulo,
S(β) : xk+1 = A(β)xk + Ad (β)xk−d + Bu (β)uk ,
(3.1)
em que xk ∈ Rn e uk ∈ Rq denotam o vetor de estado e o vetor de entrada de controle,
respectivamente, k ∈ N é o instante de amostragem, o atraso é denotado por d ∈ 1, τ , em
que τ é o atraso máximo e as matrizes A(β) ∈ Rn×n , Ad (β) ∈ Rn×n e Bu (β) ∈ Rn×q definem o
sistema S(β) que é representado por A(β) Ad (β) Bu (β) ∈ Aoℓ , com
Aoℓ =
(
S(β) ∈ Rn×2n+q : S(β) =
sendo Ω definido por
Ω=
(
β ∈ RN : βj ≥ 0,
e os vértices Sj são conhecidos e dados por
Sj =
Considere a lei de controle:
N
X
j=1
N
X
βj = 1
j=1
Aj Adj Buj
)
)
(3.2)
(3.3)
.
(3.4)
uk = Kxk + Kτ xk−τ ,
(3.5)
sendo K ∈ Rq×n e Kτ ∈ Rq×n . Essa lei de controle resulta no sistema em malha fechada
S(β) : xk+1 = A(β)xk + Ad (β)xk−d + Bu (β)Kτ xk−τ ,
em que S(β) é representado por A(β) Ad (β) Bu (β)Kτ ∈ Acℓ , com
Acℓ =
(
S(β) ∈ Rn×3n : S(β) =
N
X
j=1
)
βj Sj , β ∈ Ω
(3.6)
(3.7)
com Ω definido em (3.3) e os vértices Sj dados por
sendo
Sj = Aj Adj Buj Kτ ,
(3.8)
Aj = Aj + Buj K.
(3.9)
Se d = τ , tem-se
S(β) : xk+1 = A(β)xk + Ad (β)xk−τ ,
em que S(β) é representado por A(β) Aτ (β) ∈ A′cℓ , com
A′cℓ =
(
S(β) ∈ Rn×2n : S(β) =
N
X
j=1
(3.10)
)
βj Sj , β ∈ Ω
(3.11)
3.2. Aplicação ao sistema com atraso incerto
com Ω definido em (3.3) e os vértices Sj dados por
Sj = Aj Adj ,
41
(3.12)
sendo Aj definido conforme (3.9) e
Adj = Adj + Buj Kτ .
(3.13)
Note que, se for considerado Kτ = 0, é feita somente a realimentação dos estados atuais.
Diante disso, são apresentados os problemas gerais tratados neste capı́tulo:
Problema 3.1 Determinar se o sistema linear incerto discreto no tempo com atraso nos estados (3.6)–(3.8) é D(α, r)-estável.
Problema 3.2 Determinar os ganhos robustos de realimentação de estados, K e Kτ , tais que
o sistema linear incerto discreto no tempo com atraso nos estados (3.1)–(3.4) com a lei de
controle (3.5) seja D(α, r)-estável.
3.2
Aplicação ao sistema com atraso incerto
Considere que no sistema (3.1) as matrizes sejam precisamente conhecidas e d ∈ 1, τ , sendo
τ o valor máximo que o atraso do sistema pode assumir, ou seja,
xk+1 = Axk + Ad xk−d + Bu uk .
(3.14)
Utilizando a lei de controle (3.5), é obtido
xk+1 = Axk + Ad xk−d + Bu Kτ xk−τ ,
(3.15)
A = A + Bu K.
(3.16)
xk+1 = Axk + Aτ xk−τ ,
(3.17)
Aτ = Aτ + Bu Kτ .
(3.18)
em que
Caso d = τ , obtém-se
em que A é dado em (3.16) e
A partir dos resultados obtidos no Capı́tulo 2, é possı́vel obter uma nova representação
para sistemas discretos no tempo com atraso nos estados. Diante disso, ao se estudar a Schur
estabilidade desses sistemas na nova representação, informações sobre a D(α, r)-estabilidade
dos sistemas discretos no tempo com atraso nos estados são obtidas. Os sistemas tratados no
Capı́tulo 2 são casos particulares dos sistemas abordados neste capı́tulo. Dessa forma, os resultados obtidos naquele capı́tulo são utilizados neste. Porém, isso é feito com algumas ressalvas,
pois note que, para fazer o aumento do vetor de estados e obter um sistema livre de atraso, é
necessário que esse atraso seja conhecido.
Nos sistemas tratados neste capı́tulo é considerado d ∈ 1, τ , e para fazer a alocação regional
de todos os autovalores desses sistemas é necessário montar um sistema aumentado para cada
42
valor que o atraso, d, pode assumir no intervalo considerado. Portanto, são necessários τ sistemas
livres de atraso para representar o sistema com atraso (3.14), ou seja,
S̄d : sk+1 = Ā(d)sk + B̄u (d)uk ,
d = 1, . . . , τ,
sendo sk e B̄u (d) dados em (2.9)–(2.10) e Ā(d) dado em (2.9) para d = τ ou
A 0n×(d−1)n Ad 0n×(τ −d−1)n
0
Ā(d) =
∈ R(τ +1)n×(τ +1)n ,
Iτ n
0τ n×n
(3.19)
(3.20)
para 1 ≤ d < τ . Aplicando a lei de controle
sendo
em (3.19) resulta em
uk = K̄(τ )sk ,
(3.21)
K̄(τ ) = K 0q×(τ −1)n Kτ ∈ Rq×(τ +1)n ,
(3.22)
S̄d : sk+1 = Ā(d)sk ,
d = 1, . . . , τ,
(3.23)
em que
Ā(d) = Ā(d) + B̄u (d)K̄(τ ),
d = 1, . . . , τ.
(3.24)
Como já abordado no caso em que o atraso é precisamente conhecido, os autovalores de Ā(d)
podem ser mapeados da região D(α, r) no cı́rculo unitário por meio da operação (2.15) e com
isso é possı́vel obter os seguintes sistemas
S̃d : sk+1 = Ã(d)sk ,
d = 1, . . . , τ,
(3.25)
em que Ã(d) é calculado conforme operação (2.15). A D(α, r)-estabilidade de (3.15)–(3.16),
para K e Kτ dados, pode ser analisada estudando-se a Schur estabilidade de (3.25), ou seja,
verificando se existem as matrizes Pd = PdT ∈ R(τ +1)n×(τ +1)n , d = 1, . . . , τ , tais que satisfaçam
Pd > 0 e Ã(d)T Pd Ã(d) − Pd < 0.
(3.26)
A partir disso, tem-se o seguinte lema:
Lema 3.1 Se os sistemas (3.25) são Schur estáveis, então o sistema (3.15)–(3.16) é D(α, r)estável.
Explicitando o controle em (3.25), tem-se
S̃d : sk+1,d = Ã(d)sk + B̃u (d)uk ,
d = 1, . . . , τ,
(3.27)
em que Ã(d) e B̃u (d) são calculados conforme as operações (2.19) e (2.20), respectivamente.
Assim como para o caso em que o atraso do sistema é precisamente conhecido, estudado no
Capı́tulo 2, torna-se interessante uma condição alternativa para a análise da D(α, r)-estabilidade
para a classe de sistemas em que o atraso é incerto. Isso pode ser feito por meio da transformação
43
de similaridade, com a utilização das matrizes Q(α, r, τ ), nos sistemas (3.27) e representá-los
como sistemas discretos no tempo com múltiplos atrasos nos estados, ou seja,
Šd : x̌k+1 =
d
X
Ǎm,d x̌k−m + B̌u uk ,
d = 1, . . . , τ.
(3.28)
m=0
A partir da lei de controle
uk =
τ
X
Ǩm,τ x̌k−m
(3.29)
m=0
é possı́vel obter os sistemas discretos no tempo com múltiplos atrasos nos estados em malha
fechada
τ
X
Ǎm,d x̌k−m , d = 1, . . . , τ,
(3.30)
Šd : x̌k+1 =
m=0
em que
Ǎm,d = Ǎm,d + B̌u Ǩm,τ .
(3.31)
A seguir são apresentadas as operações para obtenção das matrizes usadas em (3.31).
Fato 3.1 Os sistemas discretos no tempo com múltiplos atrasos nos estados (3.30)–(3.31) são
Schur estáveis com:

A − (τ + 1)αI


, para m = 0


r m+1


m

am,τ −1 Aα − am+1,τ α
I


, para m = 1, . . . , d − 1


m+1

r

m
m+1
am,τ −1 Aα + Ad − am+1,τ α
I
,
Ǎm,d =
, para m = d
m+1

r

m
m−d
m+1


aτ −m,τ −1 Aα + am−d,τ −(d+1) Ad α
− aτ −m,τ α
I


, para m > d

m+1

r


m
m−d
m+1

Aα + Ad α
−α
I


, para m = τ
m+1
r
(3.32)
considerando Kτ 6= 0, em que os coeficientes ai,j são dados em (2.41) e as matrizes B̌u e Ǩm,τ
são calculadas conforme o Fato 2.3, ou

A − (d + 1)αI



, para m = 0


r m+1

m
am,d−1 Aα − am+1,d α
I
Ǎm,d =
(3.33)
, para m = 1, . . . , d − 1
m+1

r



Aαd + Ad − αd+1 I


, para m = d
r d+1
e

K, para m = 0




αm
am,d−1 m K, para m = 1, . . . , d − 1 ,
Ǩm,d =
(3.34)
rd


α


K, para m = d
rd
considerando Kτ = 0, em que os coeficientes ai,j são dados em (2.41) e a matriz B̌u é calculada
conforme Fato 2.3, então o sistema discreto no tempo com atraso incerto nos estados (3.14)–
(3.15) é D(α, r)-estável.
44
Note que, ao considerar Kτ = 0, a quantidade de matrizes Ǎm,d e Ǩm,d dos sistemas com
múltiplos atrasos está diretamente relacionada com os valores que o atraso, d, assume. Ainda
considerando Kτ = 0, é necessário fazer a substituição de τ por d nas matrizes Ǩm,τ em (3.29)–
(3.31).
O exemplo a seguir ilustra como representar um sistema discreto no tempo com atraso incerto
nos estados por vários sistemas discretos no tempo com múltiplos atrasos conhecidos nos estados
a partir do Fato 3.1, considerando Kτ 6= 0 e Kτ = 0.
Exemplo 3.1 — Considere o sistema com atraso incerto nos estados descrito por:
0.1 1
0 0
1
xk+1 =
xk +
xk−d +
u ,
(3.35)
0.05 0.9
0 0.1
0.6 k
sendo d ∈ 1, 3 . Assim, os sistemas discretos no tempo com múltiplos atrasos nos estados que
representam (3.35) a partir do Fato 3.1, sendo Kτ 6= 0,
1 0.3α − 6α2
1 0.1 − 4α
1
3α
x̌ +
x̌
Š1 : x̌k+1 =
0.05
0.9 − 4α k r 2
0.15α
2.7α − 6α2 + 0.1 k−1
r
1 0.3α2 − 4α3
1 0.1α3 − α4
3α2
α3
+ 3
x̌
+
x̌
0.15α2
2.7α2 − 4α3 + 0.2α k−2 r 4
0.05α3
0.9α3 − α4 + 0.1α2 k−3
r
1 1
+
uk , (3.36)
r 0.6
1 0.1 − 4α
1 0.3α − 6α2
1
3α
Š2 : x̌k+1 =
x̌ +
x̌
0.05
0.9 − 4α k r 2
0.15α
2.7α − 6α2 k−1
r
1 0.1α3 − α4
1 0.3α2 − 4α3
3α2
α3
x̌
+
x̌
+ 3
0.15α2
2.7α2 − 4α3 + 0.1 k−2 r 4
0.05α3
0.9α3 − α4 + 0.1α k−3
r
1 1
+
uk (3.37)
r 0.6
e
1 0.1 − 4α
α 0.3 − 6α
1
3
Š3 : x̌k+1 =
x̌ +
x̌
0.05
0.9 − 4α k r 2
0.15
2.7 − 6α k−1
r
α2 0.3 − 4α
1 0.1α3 − α4
3
α3
+ 3
x̌
+
x̌
0.15
2.7 − 4α k−2 r 4
0.05α3
0.9α3 − α4 + 0.1 k−3
r
1 1
+
uk . (3.38)
r 0.6
Se Kτ = 0, isto é, apenas os estados atuais são realimentados, então:
Š1′
: x̌k+1
1 0.1 − 2α
1 0.1α − α2
α
1
=
x̌ +
x̌
0.05
0.9 − 2α k r 2
0.05α
0.9α − α2 + 0.1 k−1
r
1 1
+
uk , (3.39)
r 0.6
Š2′
: x̌k+1
e
45
α 0.2 − 3α
1 0.1 − 3α
1
2
x̌ +
x̌
=
0.05
0.9 − 3α k r 2
0.1
1.8 − 3α k−1
r
1 0.1α2 − α3
1 1
α2
+ 3
x̌
+
u (3.40)
0.05α2
0.9α2 − α3 + 0.1 k−2 r 0.6 k
r
Š3′ = Š3 .
(3.41)
Dessa forma, a partir da análise da Schur estabilidade dos sistemas (3.36)–(3.38) ou (3.39)–(3.41)
é possı́vel fazer o estudo da D(α, r)-estabilidade de (3.35).
3.2.1
Análise de D(α, r)-estabilidade
Após a representação do sistema discreto no tempo com atraso incerto nos estados por uma
famı́lia de sistemas discretos no tempo com múltiplos atrasos nos estados são apresentadas as
condições de D(α, r)-estabilidade e de D(α, r)-estabilização. Essas condições possuem caracterı́sticas semelhantes às condições apresentadas na Seção 2.2 do Capı́tulo 2.
O teorema a seguir é utilizado para fazer a análise da D(α, r)-estabilidade do sistema (3.15)–
(3.16) realimentado com a lei de controle (3.5).
Teorema 3.1 Se existirem matrizes Fm ∈ Rn×n , m = 0, . . . , τ + 1, 0 < PdT = Pd ∈ Rn×n e
T
0 < Sm,d
= Sm,d ∈ Rn×n , m = 1, . . . , τ , tais que Πd < 0, d = 1, . . . , τ , sendo

τ
X
P
+
Sm,d − F0 − F0T
F0 Ǎ0,d − F1T
F0 Ǎ1,d − F2T
 d

m=1

T
T

⋆
−Pd + F1 Ǎ0,d + Ǎ0,d F1T
F1 Ǎ1,d + Ǎ0,d F2T

T
Πd = 
⋆
⋆
−S1,d + F2 Ǎ1,d + Ǎ1,d F2T


..
..
..

.
.
.


⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
F0 Ǎτ −1,d − FτT
T
F1 Ǎτ −1,d + Ǎ0,d FτT
T
F2 Ǎτ −1,d + Ǎ1,d FτT
..
.
T
⋆
F0 Ǎτ,d − FτT+1
T
F1 Ǎτ,d + Ǎ0,d FτT+1
T
F2 Ǎτ,d + Ǎ1,d FτT+1
−Sτ −1,d + Fτ Ǎτ −1,d + Ǎτ −1,d FτT
⋆
..
.
T
Fτ Ǎτ,d + Ǎτ −1,d FτT+1
T
−Sτ,d + Fτ +1 Ǎτ,d + Ǎτ,d FτT+1

···
···
···
..
.
···
···




 < 0, (3.42)




em que as matrizes Ǎm,d , m = 0, . . . , τ e d = 1, . . . , τ , são dadas conforme o Fato 3.1
substituindo-se Ǎm,d por Ǎm,d , considerando Kτ 6= 0, então o sistema discreto no tempo com
atraso nos estados (3.15)–(3.16) é D(α, r)-estável.
Prova: Os sistemas discretos com múltiplos atrasos nos estados (3.30) podem ter a estabilidade
avaliada a partir das seguintes candidatas a funções de L-K
Vd (x̌k ) = x̌Tk Pd x̌k +
τ X
0
X
j=1 i=−j
x̌Tk+i Sj,dx̌k+i ,
d = 1, . . . , τ.
(3.43)
46
Note que Vd (x̌k ) > 0 é assegurada com Pd > 0 e Sj,d > 0, j = 1, . . . , τ e d = 1 . . . , τ .
Desenvolvendo essas funções obtém-se:
!
!
τ
τ
τ
X
X
X
Vd (x̌k ) = x̌Tk Pd +
Sj,d x̌k +
x̌Tk−i
Sj,d x̌k−i , d = 1, . . . , τ.
j=1
i=1
j=i
As variações dessas funções em k devem ser negativas para que as mesmas sejam funções de
L-K. Assim,
!
τ
τ
X
X
T
T
∆Vd (x̌k ) = x̌k+1 Pd +
Sj,d x̌k+1 − x̌k Pd x̌k −
x̌Tk−j Sj,dx̌k−j < 0, d = 1, . . . , τ. (3.44)
j=1
j=1
Note que as condições (3.42) podem ser escritas da seguinte forma:
Πd = Qd + Xτ Bd + BdT XτT < 0,
d = 1, . . . , τ,
(3.45)
em que

d
X
Pd +
Sm,d
0
0


m=1

0
−Pd
0
Qd = 

0
0
−S
1,d


..
..
..

.
.
.
0
0
0
···
···
···
..
.
···

0 


0 
,
0 

.. 
. 
−Sτ,d




Xτ = 


F0
F1
F2
..
.
Fτ +1







e
Bd = −I Ǎ0,d Ǎ1,d · · · Ǎτ,d < 0. (3.46)
Pré e pós-multiplicando Πd em (3.45) por ykT Bd⊥T e Bd⊥ yk , respectivamente, com




x̌k
Ǎ0,d Ǎ1,d · · · Ǎτ,d
x̌k−1 
 I
0 ··· 0 




x̌k−2 

I
··· 0 
e
y
=
Bd⊥ =  0

,

k



 ..
.
..
.
.
..
.. 
 .. 
 .
.
x̌k−τ
0
0 ···
I
(3.47)
obtém-se:
ykT Bd⊥T Qd Bd⊥ yk < 0, d = 1, . . . , τ,
x̌k+1
⊥
⊥
e, portanto
pois Bd Bd = 0n×n(τ +1) . Note que Bd yk =
šk
x̌k+1
šk
T
x̌k+1
< 0,
Qd
šk
d = 1, . . . , τ,
(3.48)
(3.49)
que é equivalente a (3.44) com x̌k+1 substituı́do por (3.30).
O corolário a seguir é utilizado para fazer a análise da D(α, r)-estabilidade do sistema (3.15)–
(3.16) utilizando a lei de controle (3.5), considerando Kτ = 0.
47
Corolário 3.1 Se existirem matrizes Fm ∈ Rn×n , m = 0, . . . , d + 1, 0 < PdT = Pd ∈ Rn×n e
T
0 < Sm,d
= Sm,d ∈ Rn×n , m = 1, . . . , d, tais que Π′d < 0, d = 1, . . . , τ , sendo

d
X
 Pd +
Sm,d − F0 − F0T
F0 Ǎ0,d − F1T
F0 Ǎ1,d − F2T
···


m=1

T
T

⋆
−Pd + F1 Ǎ0,d + Ǎ0,d F1T
F1 Ǎ1,d + Ǎ0,d F2T
···

′
T
Πd = 
⋆
⋆
−S1,d + F2 Ǎ1,d + Ǎ1,d F2T · · ·


..
..
..
..

.
.
.
.


⋆
⋆
⋆
···
⋆
⋆
⋆
···

T
F0 Ǎd−1,d − FdT
F0 Ǎd,d − Fd+1
T
T

T
F1 Ǎd−1,d + Ǎ0,d FdT
F1 Ǎd,d + Ǎ0,d Fd+1


T
T
T

F2 Ǎd−1,d + Ǎ1,d FdT
F2 Ǎd,d + Ǎ1,d Fd+1
 < 0, (3.50)
..
..

.
.


T
T
T
T

−Sd−1,d + Fd Ǎd−1,d + Ǎd−1,d Fd
Fd Ǎd,d + Ǎd−1,d Fdu+1
T
T
⋆
−Sd,d + Fd+1 Ǎd,d + Ǎd,d Fd+1
em que as matrizes Ǎm,d , m = 0, . . . , d e d = 1, . . . , τ , são obtidas conforme o Fato 3.1
substituindo-se Ǎm,d por Ǎm,d , considerando Kτ = 0, então o sistema discreto no tempo com
atraso nos estados (3.15)–(3.16) é D(α, r)-estável.
Prova: A prova da condição (3.50) segue passos semelhantes ao da prova da condição (3.42).
Nesse caso, é considerado que no somatório externo da candidata a função de L-K (3.43) varie
de j = 1 até j = d, ao invés de j = 1 até j = τ , como ocorre na prova da condição (3.42). A
partir disso todos os passos seguintes irão ficar em função de d e não mais de τ .
Note que no Teorema 3.1 todo Πd , d = 1, . . . , τ , possui dimensão igual a (τ + 2)n e nas
condições do Corolário 3.1 todo Π′d possui dimensão igual a (d + 2)n, d = 1, . . . , τ . Portanto, as
condições do Corolário 3.1 apresentam complexidade numérica inferior à complexidade numérica
das condições do Teorema 3.1.
3.2.2
Sı́ntese de controladores
O teorema a seguir é utilizado para sintetizar controladores que D(α, r)-estabilizam o sistema
(3.14) utilizando a lei de controle (3.5).
Teorema 3.2 Se existirem matrizes F0 ∈ Rn×n , Z ∈ Rn×q , Zτ ∈ Rn×q , 0 < PdT = Pd ∈ Rn×n
48
T
e 0 < Sm,d
= Sm,d ∈ Rn×n , m = 1, . . . , τ e d = 1, . . . , τ , tais que Θd < 0, sendo

τ
X
α
P
+
Sm,d − F0 − F0T F0 ǍT0,d + Z B̌uT F0 ǍT1,d + a1,τ −1 Z B̌uT · · ·
 d
r

m=1

⋆
−Pd
0
···


Θd = 
⋆
⋆
−S1,d
···

.
.
.
..

..
..
..
.


⋆
⋆
⋆
···
⋆
⋆
⋆
···
ατ −1
α τ Z + Zτ T
F0 ǍTτ−1,d + aτ −1,τ −1 τ −1 Z B̌uT F0 ǍTτ,d +
B̌u
r
rτ
0
0
0
0
..
..
.
.
−Sτ −1,d
⋆
0
−Sτ,d





 < 0, (3.51)




em que as matrizes Ǎm,d , m = 0, . . . , τ e d = 1, . . . , τ , B̌u e os coeficientes ai,j são calculados
conforme o Fato 3.1, considerando Kτ 6= 0, então o sistema discreto no tempo com atraso nos
estados (3.14) é D(α, r)-estabilizável com os ganhos robustos:
K = Z T F0−T
e Kτ = ZτT F0−T .
(3.52)
Prova: Considere que na condição (3.42) as matrizes Fm = 0, m = 1, . . . , τ + 1, e as matrizes
T
Ǎm,d sejam substituı́das por Ǎm,d + B̌u Ǩm,d , m = 1, . . . , τ e d = 1, . . . , τ . Com isso e
utilizando as mudanças de variáveis Z e Zτ por Žm , m = 0, . . . , τ , obtém-se as condições de
sı́ntese (3.51).
O corolário a seguir é utilizado para sintetizar controladores que D(α, r)-estabilizam o sistema (3.14) utilizando a lei de controle (3.5), sendo Kτ = 0.
Corolário 3.2 Se existirem matrizes F0 ∈ Rn×n , Z ∈ Rn×q , 0 < PdT = Pd ∈ Rn×n e 0 <
49
T
Sm,d
= Sm,d ∈ Rn×n , m = 1, . . . , d e d = 1, . . . , τ , tais que Θ′d < 0, sendo

d
X
α
 Pd +
Sm,d − F0 − F0T F0 ǍT0,d + Z B̌uT F0 ǍT1,d + a1,d−1 Z B̌uT

r

m=1

⋆
−Pd
0

′
Θd = 
⋆
⋆
−S
1,d


.
.
.
.
.
.

.
.
.


⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
F0 ǍTd−1,d
···
···
···
..
.
···
···
αd−1
αd
+ ad−1,d−1 d−1 Z B̌uT F0 ǍTd,d + d Z B̌uT
r
r
0
0
0
0
..
..
.
.
−Sd−1,d
⋆
0
−Sd,d





 < 0, (3.53)




em que as matrizes Ǎm,d , m = 0, . . . , d e d = 1, . . . , τ , B̌u e os coeficientes ai,j são calculados
conforme o Fato 3.1, considerando Kτ = 0, então o sistema discreto no tempo com atraso nos
estados (3.14) é D(α, r)-estabilizável com os ganhos robustos:
K = Z T F0−T .
(3.54)
Prova: Considere que na condição (3.50) as matrizes Fm = 0, m = 1, . . . , d + 1, e as matrizes
T
Ǎm,d sejam substituı́das por Ǎm,d + B̌u Ǩm,d , m = 1, . . . , d e d = 1, . . . , τ . Com isso e
utilizando as mudanças de variáveis Z e Zτ por Žm , m = 0, . . . , τ , obtém-se as condições de
sı́ntese (3.53).
Novamente, note que todo Θd , d = 1, . . . , τ , do Teorema 3.2 possui dimensão igual a (τ + 2)n
e todo Θ′d do Corolário 3.2 tem dimensão igual a (d + 2)n, d = 1, . . . , τ . Assim, as condições do
Corolário 3.2 apresentam complexidade numérica inferior à complexidade numérica das condições do Teorema 3.2.
Exemplo 3.2 — Considere o sistema discreto no tempo com atraso nos estados (3.35) com
d ∈ 1, 3 . Esse sistema é instável em malha aberta. A partir dos sistemas discretos no tempo
com múltiplos atrasos nos estados (3.36)–(3.38) e do Teorema 3.2 é possı́vel sintetizar as matrizes de ganhos K e Kτ que D(α, r)-estabilizam o sistema (3.35). Uma outra alternativa é
utilizando os sistemas (3.39)–(3.41) com o Corolário 3.2, ou seja, realimentando apenas o estado
atual, Kτ = 0. O valor estabelecido para o parâmetro α é 0 para ambas as situações. O valor
de r utilizado foi o menor encontrado para cada situação por meio de uma busca com algoritmo
de bissecção. Dessa forma, os valores mı́nimos do raio foram 0.53, para o primeiro caso, e 0.57,
para o segundo caso.
As leis de controle que D(0, 0.53)-estabiliza e D(0, 0.57)-estabiliza o sistema (3.35) são, respectivamente,
uk = −0.0835 −1.4949 xk + 0.0040 −0.0389 xk−3
(3.55)
50
e
uk = −0.0837 −1.4833 xk .
(3.56)
Observa-se que as condições se tornam mais conservadoras comparadas aos resultados obtidos
para o exemplo em que o atraso é precisamente conhecido (Capı́tulo 2).
Nas Figuras 3.1 e 3.2 são mostrados os autovalores do sistema discreto no tempo com atraso
nos estados, em que esse atraso é incerto, realimentado com as leis de controle (3.55) e (3.56),
respectivamente, para todos os valores que o atraso pode assumir. Note que os autovalores do
sistema realimentado estão localizados no interior das regiões pré-estabelecidas para ambos os
casos, como o esperado.
d=2
0.5
Imag
d=3
1
Imag
0.5
0
−0.5
−0.5
0
Real
d=1
0.5
−0.5
0
Real
0.5
0
0.5
−1
−1
−0.5
0
Real
0.5
1
Imag
−0.5
0
−0.5
Figura 3.1: Autovalores do sistema de malha fechada com realimentação dos estados atuais e
atrasados D(0, 0.53)-estabilização.
Nas Figuras 3.3–3.5 são apresentadas as respostas temporais à entrada nula do sistema
realimentado com a lei de controle (3.55), gráfico superior, e do sistema realimentado com a
lei de controle (3.56), gráfico inferior. Em ambos os casos os valores iniciais dos estados foram
x−i = 1 −1 , i = 0, . . . , 3, em que x1 é representado pela linha contı́nua e x2 é representado
pela linha tracejada. Em cada figura é considerado um valor de atraso. Note que as respostas
de ambos os sistemas realimentados são muito próximas, distinguindo-se somente no instante
da influência do atraso. No sistema realimentado com a primeira lei de controle, o efeito desse
atraso é mais significativo do que com o sistema realimentado com a segunda lei de controle,
51
d=2
0.5
Imag
d=3
1
Imag
0.5
0
−0.5
−0.5
0
Real
d=1
0.5
−0.5
0
Real
0.5
0
−0.5
−0.5
0
Real
0.5
1
Imag
−1
−1
0.5
0
−0.5
Figura 3.2: Autovalores do sistema de malha fechada com realimentação dos estados atuais
D(0, 0.57)-estabilização.
apesar de nesse o valor de r ser maior. Isso ocorre porque no sistema realimentado com a
primeira lei de controle sempre se tem o efeito do atraso na terceira amostra.
Na Figura 3.6 são apresentadas cinco curvas: a curva (a) é referente à condição (3.53),
linha contı́nua; a curva (b) é referente ao Teorema 4 de [MC09], linha tracejada; a curva (c) é
referente à condição (1.73) via sistema aumentado, ponto traço, sendo as matrizes Ā(d) e B̄u (d)
substituı́das pelas matrizes Ã(d) e B̃u (d), em que essas três condições utilizam a lei de controle
uk = Kxk ; a curva (d) é referente à condição (3.51), bullet linha contı́nua; e a curva (e) é
referente à condição (1.73) via sistema aumentado, sendo as matrizes Ā(d) e B̄u (d) substituı́das
pelas matrizes Ã(d) e B̃u (d), sinal de mais linha contı́nua, em que essas duas últimas utilizam a lei
de controle uk = Kxk +Kτ xk−τ . Nessas cinco situações houve a variação do parâmetro α e foram
encontrados os menores valores de raio para cada caso em que se teve solução factı́vel utilizando
uma busca por meio de um algoritmo de bissecção. A partir dessa figura é possı́vel observar que
a condição (1.73) via sistema aumentado, utilizando a lei de controle uk = Kxk +Kτ xk−τ , obteve
o maior intervalo para o parâmetro α, aproximadamente, −0.35, 0.35 . Já as condições (3.51)
e (3.53) apresentam o menor intervalo para α, aproximadamente, −0.18, 0.21 , é interessante
observar que, mesmo elas utilizando leis de controle diferentes, apresentam o mesmo intervalo
para α.
52
Sistema realimentado com (3.55), d = 3
x1 , x2
1
0.5
0
−0.5
−1
−2
0
2
4
6
8
10
x1 , x2
1
0.5
0
−0.5
−1
−2
0
2
4
6
8
10
Amostras
Figura 3.3: Simulação temporal do sistema realimentado atraso 3, linha contı́nua estado x1 e
linha tracejada estado x2 .
x1 , x2
1
0.5
0
−0.5
−1
−2
0
2
4
6
8
10
x1 , x2
1
0.5
0
−0.5
−1
−2
0
2
4
6
8
10
Amostras
Na Figura 3.7 são apresentadas duas curvas: uma referente à razão dos valores dos raios
mı́nimos obtidos a partir da condição (3.53) pelos valores dos raios mı́nimos obtidos por meio
do Teorema 4 de [MC09], linha contı́nua, e a outra referente à razão dos valores dos raios
mı́nimos obtidos a partir da condição (3.53) pelos valores dos raios mı́nimos obtidos a partir
da condição (1.73) via sistema aumentado, linha tracejada, utilizando a lei de controle uk =
Kxk . A partir desses gráficos é possı́vel observar que a condição (3.53) apresenta resultados
menos conservadores, em relação aos valores de raios mı́nimos, para α pertencente ao intervalo
−0.1, 0.1 comparada com a condição (1.73) via sistema aumentado. Contudo, para os valores
53
x1 , x2
1
0.5
0
−0.5
−1
−2
0
2
4
6
8
10
x1 , x2
1
0.5
0
−0.5
−1
−2
0
2
4
6
8
10
Amostras
0.8
0.75
←(b)
rmin
0.7
←(c)
0.65
0.6
←(a)
(e)→
0.55
←(d)
0.5
−0.3
−0.2
−0.1
0
α
0.1
0.2
0.3
Figura 3.6: Comportamento dos raios mı́nimos em relação aos valores de α: (a) condição (3.53),
linha contı́nua; (b) o Teorema 4 de [MC09], linha tracejada; (c) condição (1.73) via sistema
aumentado, ponto traço, lei de controle utilizada uk = Kxk ; (d) condição (3.51), bullet linha
contı́nua; e (e) condição (1.73) via sistema aumentado, sinal de mais linha contı́nua, lei de
controle utilizada uk = Kxk + Kτ xk−τ .
de α fora desse intervalo a primeira condição é mais conservadora que a segunda, sendo que pode
produzir raios mı́nimos, aproximadamente, 24% maiores. Já na comparação com a condição do
Teorema 4 de [MC09], a condição (3.53) apresenta resultados menos conservadores para valores
de α pertencentes ao intervalo −0.12, 0.17 . Porém, para valores de α fora desse intervalo, essa
condição produz valores de raios, aproximadamente, 14% maiores que aquele Teorema.
54
1.25
1.2
razão
1.15
1.1
1.05
1
0.95
0.9
−0.15
−0.1
−0.05
0
α
0.05
0.1
0.15
0.2
(3.53) pelos raios mı́nimos obtidos por meio do Teorema 4 de [MC09], linha contı́nua, e raios
mı́nimos obtidos a partir da condição (1.73) via sistema aumentado, linha tracejada, lei de
controle uk = Kxk .
mı́nimos obtidos a partir da condição (3.51) pelos valores dos raios mı́nimos obtidos por meio da
condição (1.73) via sistema aumentado, linha tracejada, utilizando a lei de controle uk = Kxk +
Kτ xk−τ , e a outra referente à razão dos valores dos raios mı́nimos obtidos a partir da condição
(3.51) pelos valores dos raios mı́nimos calculados a partir da condição (3.53), linha contı́nua,
na qual a lei de controle utilizada por essa última é uk = Kxk . A partir da primeira curva é
possı́vel perceber que somente em um pequeno intervalo de α, aproximadamente −0.01, 0.05 ,
a condição desenvolvida nesta seção, (3.51), é menos conservadora, em relação a valores de
raios mı́nimos, que a condição (1.73) via sistema aumentado, sendo que para valores α fora
desse intervalo aquela condição pode produzir raios, aproximadamente, 38% maiores que essa
condição. Já ao comparar ambas as condições desenvolvidas nesta seção, segunda curva, a que
utiliza a lei de controle uk = Kxk + Kτ xk−τ , apresenta resultados menos conservadores em
praticamente todo o intervalo de α considerado.
3.3
Aplicação ao caso incerto
Nesta seção o sistema a ser tratado é o mesmo apresentado na Seção 3.1. Dessa forma,
considere o conjunto de equações (3.1)–(3.13). Esses sistemas são uma extensão dos sistemas
tratados na seção 3.2. Diante disso, não são apresentados os passos precedentes à apresentação
dos sistemas incertos discretos no tempo com múltiplos atrasos, isto é, é omitida a descrição do
aumento do vetor de estado e da transformação de similaridade por meio da matriz Q(α, r, τ ).
A partir disso, consideram-se os sistemas incertos discretos no tempo com múltiplos atrasos nos
3.3. Aplicação ao caso incerto
55
1.4
1.35
1.3
1.25
razão
1.2
1.15
1.1
1.05
1
0.95
0.9
−0.15
−0.1
−0.05
0
α
0.05
0.1
0.15
0.2
(3.51) pelos raios mı́nimos obtidos por meio da condição (3.53), linha contı́nua, e raios mı́nimos
obtidos a partir da condição (1.73) via sistema aumentado, linha tracejada, lei de controle
uk = Kxk + Kτ xk−τ .
estados
Šd (β) : x̌k+1 =
τ
X
Ǎm,d (β)x̌k−m + B̌u (β)uk ,
d = 1, . . . , τ,
(3.57)
m=0
n×n
em que Ǎm,d (β) ∈ R , m = 0, . . . , τ e d = 1, . . . , τ , e B̌u (β) ∈ Rn×q definem os sistemas Šd (β)
que são representados por Ǎ0,d (β) · · · Ǎτ,d (β) B̌u (β) ∈ Ad,oℓ , com
(
)
N
X
Ad,oℓ = Šd (β) ∈ Rn×(τ +1)n+q : Šd (β) =
βj Šd,j , β ∈ Ω ,
(3.58)
j=1
sendo Ω definido em (3.3) e os vértices Šd,j são conhecidos e dados por
Šd,j = A0,d,j A1,d,j · · · Aτ,d,j Buj .
(3.59)
A lei de controle desse sistema é a mesma apresentada em (3.29). Com isso, obtém-se:
Šd (β) : x̌k+1 =
τ
X
Ǎm,d (β)x̌k−m ,
d = 1, . . . , τ,
(3.60)
m=0
em que Šd (β) são representados por Ǎ0,d (β) · · · Ǎτ, d ∈ Ad,cℓ , com
(
)
N
X
Ad,cℓ = Šd (β) ∈ Rn×(τ +1)n : Šd (β) =
βj Šd,j , β ∈ Ω ,
(3.61)
j=1
em que Ω é definido em (3.3) e os vértices Šd,j são
Šd,j = Ǎ0,d,j Ǎ1,d,j · · · Ǎτ,d,j ,
(3.62)
56
em que
Ǎm,d,j = Ǎm,d,j + B̌u Ǩm,τ ,
(3.63)
na qual m = 0, . . . , τ , d = 1, . . . , τ e j = 1, . . . , N.
Fato 3.2 Os sistemas incertos discretos no tempo com múltiplos atrasos nos estados (3.60)–
(3.63) são Schur estáveis com:
Ǎm,d,j =
e



























Aj − (τ + 1)αI
,
r
am,τ −1 Aj αm − am+1,τ αm+1 I
,
r m+1
m
m+1
am,τ −1 Aj α + Adj − am+1,τ α
I
,
m+1
r
aτ −m,τ −1 Aj αm + am−d,τ −(d+1) Adj αm−d − aτ −m,τ αm+1 I
,
r m+1 m
m−d
m+1
Aj α + Adj α
−α
I
,
r m+1
B̌u,j =
para m = 0
para m = 1, . . . , d − 1
para m = d
para m > d
para m = τ
Bu,j
,
r
(3.64)
(3.65)
considerando Kτ 6= 0, em que os coeficientes ai,j são calculados conforme (2.41) e Ǩm,τ , m =
0, . . . , τ , dado em (2.40), ou
Ǎm,d,j =













Aj − (d + 1)αI
, para m = 0
r m+1
m
am,d−1 Aj α − am+1,d α
I
, para m = 1, . . . , d − 1 ,
m+1
rd
Aj α + Adj − αd+1 I
, para m = d > 0
r d+1
(3.66)
considerando Kτ = 0, em que os coeficientes ai,j são calculados conforme (2.41), a matriz B̌u,j ,
j = 1, . . . , N, é dada em (3.65) e Ǩm,d , m = 0, . . . , τ e d = 1, . . . , τ , é calculada conforme
operações (3.34), então o sistema incerto discreto no tempo com atraso incerto nos estados
(3.6)–(3.9) é D(α, r)-estável
Como para o caso em que os sistemas são precisamente conhecidos com atraso incerto, para
os sistemas em questão, ao considerar Kτ = 0 a quantidade de matrizes Ǎm,d,j e Ǩm,d dos
sistemas com múltiplos atrasos está diretamente relacionada com os valores que o atraso, d,
assume. Ainda considerando Kτ = 0, é necessário fazer a substituição de τ por d nas matrizes
Ǩm,τ em (3.60)–(3.63).
Exemplo 3.3 — Considere o sistema incerto discreto no tempo com atraso incerto nos estados
descrito por:
0.1 + ǫ1
1
0
0
1 + ǫ3
xk+1 =
x +
x
+
u ,
(3.67)
0.05
0.9 − ǫ1 k
0 0.1 + ǫ2 k−d
0.6 − ǫ3 k
57
em que d ∈ 1, 3 e |ǫ1 | ≤ 0.1, |ǫ2 | ≤ 0.05 e |ǫ3 | ≤ 0.1 são as incertezas do sistema. Assim,
utilizando o Fato 3.2, considerando Kτ 6= 0, tem-se:
Š1 : x̌k+1
1 ǫ1 + 0.1 − 4α
1
=
x̌
0.05
0.9 − ǫ1 − 4α k
r
1 3α(0.1 + ǫ1 − 2α)
3
+ 2
x̌
0.15
2.7α + ǫ2 − 3αǫ1 − 6α2 + 0.1 k−1
r
1 α2 (0.3 + 3ǫ1 − 4α)
3α2
x̌
+ 3
0.15α2
α(2.7α + 2ǫ2 − 3αǫ1 − 4α2 + 0.2) k−2
r
1 α3 (0.1 + ǫ1 − α)
1 1
α3
+ 4
x̌
+
u , (3.68)
0.05α3
α2 (0.9α + ǫ2 − αǫ1 − α2 + 0.1) k−3 r 0.6 k
r
α 3(+ǫ1 + 0.1 − 2α)
1 ǫ1 + 0.1 − 4α
1
3
x̌ +
x̌
Š2 : x̌k+1 =
0.05
0.9 − ǫ1 − 4α k r 2
0.15
2.7 − 3ǫ1 − 6α k−1
r
1 α2 (3ǫ1 + 0.3 − 4α)
3α2
+ 3
x̌
0.15α2
ǫ2 − 3α2ǫ1 + 2.7α2 − 4α3 + 0.1 k−2
r
1 α3 (ǫ1 + 0.1 − α)
1 1
α3
x̌
+
+ 4
u (3.69)
0.05α3
α(ǫ2 − ǫ1 α2 ǫ1 + 0.9α2 − α3 + 0.1) k−3 r 0.6 k
r
e
α 0.1 − 4α + ǫ1
α 0.3 − 6α + 3ǫ1
1
3
Š3 (β) : x̌k+1 =
x̌ +
x̌
0.05
0.9 − 4α − ǫ1 k r 2
0.15
2.7 − 6α − 3ǫ1 k−1
r
α2 0.3 − 4α + 3ǫ1
3
+ 3
x̌
0.15
2.7 − 4α − 3ǫ1 k−2
r
1 (0.1 + ǫ1 )α3 − α4
1 1 + ǫ3
α3
+ 4
x̌
+
u . (3.70)
0.05α3
(0.9 − ǫ1 )α3 − α4 + 0.1 + ǫ2 k−3 r 0.6 − ǫ3 k
r
Considerando Kτ = 0, ou seja, realimentando somente os estados atuais, tem-se:
1 0.1 − 2α + ǫ1
1
′
Š1 (β) : x̌k+1 =
x̌
0.05
0.9 − 2α − ǫ1 k
r
1 (0.1 + ǫ1 )α − α2
1 1 + ǫ3
α
+ 2
x̌
+
u , (3.71)
0.05α
(0.9 − ǫ1 )α − α2 + 0.1 + ǫ2 k−1 r 0.6 − ǫ3 k
r
Š2′ (β)
1 0.1 − 3α + ǫ1
α 0.2 − 3α + 2ǫ1
1
2
: x̌k+1 =
x̌ +
x̌
0.05
0.9 − 3α − ǫ1 k r 2
0.1
1.8 − 3α − 2ǫ1 k−1
r
1 (0.1 + ǫ1 )α2 − α3
1 1 + ǫ3
α2
+ 3
x̌
+
u (3.72)
0.05α2
(0.9 − ǫ1 )α2 − α3 + 0.1 + ǫ2 k−2 r 0.6 − ǫ3 k
r
e
Š3′ (β) = Š3 (β).
(3.73)
Observe que a partir do sistema incerto discreto com atraso incerto nos estados (3.67) são
gerados três sistemas incertos com múltiplos atrasos nos estados (3.68)–(3.70), sendo que esses
58
foram obtidos por meio do Fato 3.2 utilizando as operações referentes à consideração de que
Kτ 6= 0, e os outros três sistemas incertos com múltiplos atrasos nos estados (3.71)–(3.73) foram
gerados a partir do Fato 3.2 utilizando as operações referentes à consideração de que Kτ = 0. As
incertezas desses dois conjuntos de sistemas são as mesmas do sistema original. Os politopos que
definem cada um desses conjuntos de sistemas gerados são formados por N = 8 vértices dados
pelas combinações dos valores extremos de ǫ1 , ǫ2 e ǫ3 . Fazer a análise da Schur estabilidade do
conjunto de sistemas incertos (3.68)–(3.70) ou do conjunto de sistemas incertos (3.71)–(3.73) é
equivalente a estudar a D(α, r)-estabilidade do sistema incerto (3.67).
3.3.1
Análise de D(α, r)-estabilidade robusta
Após a representação do sistema incerto discreto no tempo com atraso incerto nos estados
por um conjunto sistemas incertos discretos no tempo com múltiplos atrasos nos estados são
apresentadas as condições de D(α, r)-estabilidade e D(α, r)-estabilização. Essas condições utilizam o conjunto de sistemas incertos discretos no tempo com múltiplos atrasos nos estados
para fazer o estudo da Schur estabilidade e a sı́ntese de controladores para Schur estabilização
dos mesmos, sendo que dessa forma é feita a análise da D(α, r)-estabilidade e a sı́ntese de controladores que D(α, r)-estabilizam o sistema incerto discreto no tempo com atraso incerto nos
estados.
O teorema a seguir é utilizado para fazer a análise da D(α, r)-estabilidade robusta do sistema
(3.6)–(3.9) que utilizam a lei de controle (3.5).
T
Teorema 3.3 Se existirem matrizes Fm ∈ Rn×n , m = 0, . . . , τ + 1, 0 < Pd,j
= Pd,j ∈ Rn×n e
T
0 < Sm,d,j
= Sm,d,j ∈ Rn×n , m = 1, . . . , τ , d = 1, . . . , τ e j = 1, . . . , N, tais que Πd,j < 0, sendo
Πd,j =

d
X
 Pd,j +
Sm,d,j − F0 − F0T
F0 Ǎ0,d,j − F1T
F0 Ǎ1,d,j − F2T


m=1

T
T

⋆
−Pd,j + F1 Ǎ0,d,j + Ǎ0,d,j F1T
F1 Ǎ1,d,j + Ǎ0,d,j F2T

T
=
⋆
⋆
−S1,d,j + F2 Ǎ1,d,j + Ǎ1,d,j F2T


..
..
..

.
.
.


⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆

···
F0 Ǎτ −1,d,j − FτT
F0 Ǎτ,d,j − FτT+1
T
T

···
F1 Ǎτ −1,d,j + Ǎ0,d,j FdT
F1 Ǎτ,d,j + Ǎ0,d,j FτT+1


T
T
T
T

···
F2 Ǎτ −1,d,j + Ǎ1,d,j Fd
F2 Ǎτ,d,j + Ǎ1,d,j Fτ +1
 < 0, (3.74)
.
.
..

..
..
.


T
T
T
T

· · · −Sτ −1,d,j + Fτ Ǎτ −1,d,j + Ǎτ −1,d,j Fτ
Fτ Ǎτ,d,j + Ǎτ −1,d,j Fτ +1
···
⋆
T
−Sτ,d,j + Fτ +1 Ǎτ,d,j + Ǎτ,d,j FτT+1
em que as matrizes Ǎm,d,j ,m = 0, . . . , τ , d = 1, . . . , τ e j = 1, . . . , N, são dadas conforme
o Fato 3.2 substituindo-se Ǎm,d,j por Ǎm,d,j , considerando Kτ 6= 0, então o sistema incerto
discreto no tempo com atraso nos estados (3.6)–(3.13) é D(α, r)-estável.
59
Prova: A prova desse Teorema segue os mesmos passos da prova do Teorema 3.1, sendo que,
para o caso em questão, os sistemas discretos com múltiplos atrasos nos estados e as funções de
L-K são incertas. Então para desenvolver a prova basta acrescentar as incertezas na prova do
Teorema 3.1 e com isso obtém-se a prova do Teorema 3.3.
O corolário a seguir é utilizado para fazer a análise da D(α, r)-estabilidade robusta do sistema
(3.6)–(3.9) que utilizam a lei de controle (3.5), considerando Kτ = 0.
T
Corolário 3.3 Se existirem matrizes Fm ∈ Rn×n , m = 0, . . . , d + 1, 0 < Pd,j
= Pd,j ∈ Rn×n e
T
0 < Sm,d,j
= Sm,d,j ∈ Rn×n , m = 1, . . . , d, d = 1, . . . , τ e j = 1, . . . , N, tais que Π′d,j < 0, sendo
Π′d,j =

d
X
 Pd,j +
Sm,d,j − F0 − F0T
F0 Ǎ0,d,j − F1T
F0 Ǎ1,d,j − F2T


m=1

T
T

⋆
−Pd,j + F1 Ǎ0,d,j + Ǎ0,d,j F1T
F1 Ǎ1,d,j + Ǎ0,d,j F2T

T
=
⋆
⋆
−S1,d,j + F2 Ǎ1,d,j + Ǎ1,d,j F2T


..
..
..

.
.
.


⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆

T
···
F0 Ǎd−1,d,j − FdT
F0 Ǎd,d,j − Fd+1
T
T

T
···
F1 Ǎd−1,d,j + Ǎ0,d,j FdT
F1 Ǎd,d,j + Ǎ0,d,j Fd+1


T
T
T
T

···
F2 Ǎd−1,d,j + Ǎ1,d,j Fd
 < 0, (3.75)
..
..
..

.
.
.


T
T
T
T

· · · −Sd−1,d,j + Fd Ǎd−1,d,j + Ǎd−1,d,j Fd
Fd Ǎd,d,j + Ǎd−1,d,j Fd+1
···
⋆
T
T
−Sd,d,j + Fd+1 Ǎd,d,j + Ǎd,d,j Fd+1
em que as matrizes Ǎm,d,j , m = 0, . . . , τ , d = 1, . . . , τ e j = 1, . . . , N, são dadas conforme
o Fato 3.2 substituindo-se Ǎm,d,j por Ǎm,d,j , considerando Kτ = 0, então o sistema incerto
Prova: A prova desse corolário segue o mesmo raciocı́nio da prova do Corolário 3.1, sendo que
para o caso em questão os sistemas discretos com múltiplos atrasos nos estados e as funções de
L-K são incertas. Então para desenvolver a prova basta acrescentar as incertezas na prova do
Corolário 3.1 e com isso obtém-se a prova do Corolário 3.3.
3.3.2
Sı́ntese robusta de controladores
O teorema a seguir é utilizado para sintetizar controladores que D(α, r)-estabilizam robustamente o sistema (3.1)–(3.4) com a utilização da lei de controle (3.5).
T
Teorema 3.4 Se existirem matrizes F0 ∈ Rn×n , Z ∈ Rn×q , Zτ ∈ Rn×q , 0 < Pd,j
= Pd,j ∈ Rn×n
T
e 0 < Sm,d,j
= Sm,d,j ∈ Rn×n , j = 1 . . . , N, m = 1, . . . , τ e d = 1, . . . , τ , tais que Θd,j < 0,
60
sendo

Θd,j
τ
X
α
T
T
Sm,d,j − F0 − F0T F0 ǍT0,d,j + Z B̌u,j
F0 ǍT1,d,j + a1,d−1,j Z B̌u,j
 Pd,j +
r

m=1

⋆
−Pd,j
0


=
⋆
⋆
−S1,d,j

..
..
..

.
.
.


⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
τ −1
F0 ǍTτ−1,d,j + aτ −1,τ −1
0
0
..
.
−Sτ −1,d,j
⋆
α
T
Z B̌u,j
F0 ǍTτ,d,j
r τ −1
···
···
···
..
.
···
···
⋆

α Z + Zτ T
+
B̌u,j 
rτ

0


0
 < 0, (3.76)

..

.


0
τ
−Sτ,d,j
em que as matrizes Ǎm,d,j e B̌u,j , m = 0, . . . , τ , d = 1, . . . , τ e j = 1, . . . , N, são calculadas
estados (3.1)–(3.4) é D(α, r)-estabilizável com os ganhos robustos K e Kτ dados em (3.52).
T
Ǎm,d,j sejam substituı́das por Ǎm,d,j + B̌u,j Ǩm,τ , m = 0, . . . , d, d = 1, . . . , τ e j = 1, . . . , N.
Com isso e utilizando as mudanças de variáveis Z e Zτ por Žm , m = 0, . . . , τ , obtém-se as
condições de sı́ntese (3.76).
O corolário a seguir é utilizado para sintetizar controladores que D(α, r)-estabilizam robustamente sistema (3.1)–(3.4) com a utilização da lei de controle (3.5), considerando Kτ = 0.
T
Corolário 3.4 Se existirem matrizes F0 ∈ Rn×n , Z ∈ Rn×q , 0 < Pd,j
= Pd,j ∈ Rn×n e
T
0 < Sm,d,j
= Sm,d,j ∈ Rn×n , j = 1 . . . , N, m = 0, . . . , d e d = 1, . . . , τ , tais que Θ′d,j < 0, sendo

Θ′d,j
d
X
α
T
T
 Pd,j +
F0 ǍT1,d,j + a1,d−1 Z B̌u,j
···

r

m=1

⋆
−Pd,j
0
···


=
⋆
⋆
−S1,d,j
···

.
.
.
..
..
..
..

.


⋆
⋆
⋆
···
⋆
⋆
⋆
···

αd−1
αd
T
T
F0 ǍTd−1,d,j + ad−1,d−1 d−1 Z B̌u,j
F0 ǍTd,d,j + d Z B̌u,j

r
r

0
0


0
0
 < 0, (3.77)

..
..

.
.


−Sd−1,d,j
0
⋆
−Sd,d,j
61
em que as matrizes Ǎm,d,j , B̌u,j , m = 0, . . . , τ , d = 1, . . . , τ e j = 1, . . . , N, são calculadas
conforme a Fato 3.2, considerando Kτ = 0, então o sistema discreto no tempo com atraso nos
estados (3.1)–(3.4) é D(α, r)-estabilizável com os ganhos robustos K dados em (3.54).
T
Ǎm,d,j sejam substituı́das por Ǎm,d,j + B̌u,j Ǩm,d , m = 0, . . . , d, d = 1, . . . , τ e j = 1, . . . , N.
Com isso obtém-se as condições de sı́ntese (3.77).
Exemplo 3.4 — Considere o sistema incerto discreto no tempo com atraso incerto nos estados
(3.67). Esse sistema é D(α, r)-estabilizável a partir da Schur estabilização dos sistemas incertos
discretos no tempo com múltiplos atrasos nos estados (3.68)–(3.70) com a utilização do Teorema
3.4, ou por meio da Schur estabilização dos sistemas incertos discretos no tempo com múltiplos
atrasos nos estados (3.71)–(3.73) com a utilização do Corolário 3.4, sendo que nessa segunda
opção é feita apenas a realimentação dos estados atuais, ou seja, considerando Kτ = 0. Os
valores de α para ambas as situações é α = 0. Já o valor do raio para a primeira situação
é r = 0.66 e o valor do raio para segunda situação é r = 0.69. Esses valores de r são os
menores em que as condições de análise e de sı́ntese fornecem resultados factı́veis obtidos a
partir de um algoritmo de bissecção. Observa-se que as incertezas nos parâmetros do sistema
deixaram a sı́ntese robusta dos controladores mais conservadora em relação ao menor valor de
r em comparação com o caso em que o sistema é precisamente conhecido, Exemplo 3.2.
uk = 0.0026 −1.4151 xk + 0.0229 −0.0346 xk−τ
(3.78)
e
uk = 0.0442 −1.4251 xk .
(3.79)
Nas Figuras 3.9 e 3.10 são apresentadas as nuvens de autovalores do sistema incerto discreto
no tempo com atraso incerto nos estados (3.67) realimentado com a lei de controle (3.78) e
a lei de controle (3.79), respectivamente, considerando as três possibilidades de valores que o
atraso pode assumir. Observe que em todos os valores que o atraso pode assumir, o sistema
realimentado com ambas as leis de controle resultam nas nuvens de autovalores localizadas no
interior das regiões D, como esperado.
Nas Figuras (3.11)–(3.13) são apresentadas as respostas à entrada nula do sistema (3.67)
realimentado com a lei de controle (3.78), gráfico superior, e realimentado com a lei de controle
(3.79), gráfico inferior, para todos os valores que o atraso d do sistema pode assumir. Em
ambos os casos os valores iniciais dos estados foram x−i = 1 −1 , i = 0, . . . , 3, em que x1 é
representado pela linha contı́nua e x2 é representado pela linha tracejada. Nessas figuras são
apresentadas somente as respostas dos sistemas nos vértices do politopo formados a partir das
incertezas. Nessas respostas é possı́vel observar que o sistema, utilizando o controlador Kτ ,
gráfico superior, sempre apresenta um sinal na amostra igual a 3. Já na condição em que há
somente realimentação dos estados atuais, gráfico inferior, os sinais existentes nessa amostra
igual a 3 apresentam valores inferiores à situação anterior. Contudo, observe que os valores das
respostas do sistema realimentado com o controlador K e Kτ apresentam amplitudes nos sinais
menores que o sistema realimentado somente com K nos instantes precedentes a amostra 3.
62
d=2
0.5
Imag
d=3
1
−0.5
0.5
Imag
0
−0.5
0
Real
d=1
0.5
−0.5
0
Real
0.5
0
−0.5
−0.5
0
Real
0.5
1
Imag
−1
−1
0.5
0
−0.5
Figura 3.9: Nuvem de autovalores do sistema de malha fechada com realimentação dos estados
atuais e atrasados D(0, 0.66)-estabilização.
Na Figura 3.14 são apresentadas cinco curvas: a curva (a) é referente à condição (3.77),
linha contı́nua; a curva (b) é referente ao Teorema 4 de [MC09], linha tracejada; a curva (c) é
referente à condição (1.78) via sistema aumentado, ponto traço, sendo que as matrizes Ā(d)j
e B̄u (d)j são substituı́das pelas matrizes Ã(d)j e B̃u (d)j , em que essas três condição utilizam
a lei de controle uk = Kxk ; a curva (d) é referente à condição (3.76), bullet linha contı́nua; e
a curva (e) é referente à condição (1.78) via sistema aumentado, sendo que as matrizes Ā(τ )j
e B̄u (τ )j são substituı́das pelas matrizes Ã(τ )j e B̃u (τ )j , sinal de mais linha contı́nua, em que
essas duas últimas utilizam a lei de controle uk = Kxk + Kτ xk−τ . Nessas cinco situações houve
a variação do parâmetro α e foram encontrados os menores valores de raio para cada caso
em que se teve solução factı́vel. Essas buscas pelos menores valores de r foram realizadas a
partir de um algoritmo de bissecção. A partir dessa figura é possı́vel observar que a condição
(1.78) via sistema aumentado, utilizando a lei de controle uk = Kxk + Kτ xk−τ , obteve o maior
intervalo para o parâmetro α, aproximadamente, −0.26, 0.25 . Já as condições (3.77) e (3.76)
apresentam o menor intervalo para α, aproximadamente, −0.14, 0.15 . É interessante observar
que, mesmo essas duas condições utilizarem leis de controle diferentes, elas apresentam o mesmo
intervalo para α.
mı́nimos obtidos a partir da condição (3.77) pelos valores dos raios mı́nimos obtidos por meio do
63
d=2
0.5
Imag
d=3
1
−0.5
0.5
Imag
0
−0.5
0
Real
d=1
0.5
−0.5
0
Real
0.5
0
−0.5
−0.5
0
Real
0.5
1
Imag
−1
−1
0.5
0
−0.5
atuais D(0, 0.69)-estabilização.
x1 , x2
1
0.5
0
−0.5
−1
−2
0
2
4
6
8
10
x1 , x2
1
0.5
0
−0.5
−1
−2
0
2
4
6
8
10
Amostras
Teorema 4 de [MC09], linha contı́nua, e a outra referente à razão dos valores dos raios mı́nimos
obtidos a partir da condição (3.77) pelos valores dos raios mı́nimos obtidos pela condição (1.78)
64
x1 , x2
1
0.5
0
−0.5
−1
−2
0
2
4
6
8
10
x1 , x2
1
0.5
0
−0.5
−1
−2
0
2
4
6
8
10
Amostras
x1 , x2
1
0.5
0
−0.5
−1
−2
0
2
4
6
8
10
x1 , x2
1
0.5
0
−0.5
−1
−2
0
2
4
6
8
10
Amostras
via sistema aumentado, linha tracejada, utilizando a lei de controle uk = Kxk . A partir desses
gráficos é possı́vel observar que a condição (3.77) apresenta raios mı́nimos maiores que a condição
(1.78) via sistema aumentado na maior parte do intervalo de α de comparação, sendo que o
valor de raio mı́nimo calculado por (3.77) pode chegar a ser 15% maior que o valor de raio
mı́nimo calculado por (1.78). Contudo, para valores de α próximos de 0.1, a condição (3.77)
produz raios mı́nimos menores que a condição (1.78) via sistema aumentado. Já na comparação
com a condição do Teorema 4 de [MC09], a condição (3.77) apresenta raios mı́nimos menores
para valores de α pertencentes ao intervalo −0.12, 0.14 . Porém, para valores de α fora desse
65
0.85
rmin
0.8
0.75
(c)→
←(b)
(a)→
(d)→
0.7
←(e)
0.65
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
α
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Figura 3.14: Comportamento dos raios mı́nimos em relação aos valores de α: (a) condição
(3.77), linha contı́nua; (b) o Teorema 4 de [MC09], linha tracejada; (c) condição (1.78) via
sistema aumentado, ponto traço, lei de controle utilizada uk = Kxk ; (d) condição (3.76), bullet
linha contı́nua; e (e) condição (1.78) via sistema aumentado, sinal de mais linha contı́nua, lei de
intervalo, e que estão incluı́dos no intervalo de comparação das duas condições, a desenvolvida
na seção em questão produz valores de raios, aproximadamente, 8% maiores que a do Teorema
4 de [MC09].
1.15
razão
1.1
1.05
1
0.95
−0.1
−0.05
0
α
0.05
0.1
0.15
controle uk = Kxk .
66
mı́nimos obtidos a partir da condição (3.76) pelos valores dos raios mı́nimos obtidos por meio
da condição (1.78) via sistema aumentado, linha tracejada, utilizando a lei de controle uk =
Kxk + Kτ xk−τ , e a outra referente à razão dos valores dos raios mı́nimos obtidos a partir da
condição (3.76) pelos valores dos raios mı́nimos calculados pela condição (3.77), linha contı́nua,
na qual a lei de controle utilizada por essa última é uk = Kxk . A partir da primeira curva é
possı́vel perceber que todo o intervalo de α em que houve a comparação das duas condições,
a desenvolvida nessa seção, (3.76), apresenta raios mı́nimos maiores que a condição (1.78) via
sistema aumentado, sendo que o raio mı́nimo encontrado pela condição (3.76) pode ser 24%
maior que o raio mı́nimo encontrado pela condição (3.76) em α, aproximadamente, −0.15.
Já ao comparar ambas as condições desenvolvidas nessa seção, a que utiliza a lei de controle
uk = Kxk +Kτ xk−τ apresenta raios menores em praticamente todo o intervalo de α considerado.
1.25
1.2
razão
1.15
1.1
1.05
1
0.95
−0.1
−0.05
0
α
0.05
0.1
0.15
3.3.3
Abordagem pela estabilidade quadrática
As condições desta subseção são obtidas a partir das condições correspondentes robustas.
Para isso, basta substituir Pd,j = Pd e Sm,d,j = Sm,d , m = 1, . . . , τ , d = 1, . . . , τ e j = 1, . . . , N.
Análise de D(α, r)-estabilidade quadrática
O teorema a seguir é utilizado para fazer a análise da D(α, r)-estabilidade quadrática do
sistema (3.6)–(3.9) que utilizam a lei de controle (3.5).
67
Teorema 3.5 Se existirem matrizes Fm ∈ Rn×n , m = 0, . . . , τ + 1, 0 < PdT = Pd ∈ Rn×n e
T
0 < Sm,d
= Sm,d ∈ Rn×n , m = 1, . . . , τ , d = 1, . . . , τ , tais que qΠd,j < 0, j = 1, . . . , N, sendo
qΠd,j =

d
X
 Pd +
Sm,d − F0 − F0T
F0 Ǎ0,d,j − F1T
F0 Ǎ1,d,j − F2T


m=1

T
T

⋆
−Pd + F1 Ǎ0,d,j + Ǎ0,d,j F1T
F1 Ǎ1,d,j + Ǎ0,d,j F2T

T
=
⋆
⋆
−S1,d + F2 Ǎ1,d,j + Ǎ1,d,j F2T


..
..
..

.
.
.


⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆

···
F0 Ǎτ −1,d,j − FτT
F0 Ǎτ,d,j − FτT+1
T
T

···
F1 Ǎτ −1,d,j + Ǎ0,d,j FdT
F1 Ǎτ,d,j + Ǎ0,d,j FτT+1


T
T
T
T

···
F2 Ǎτ −1,d,j + Ǎ1,d,j Fd
F2 Ǎτ,d,j + Ǎ1,d,j Fτ +1
 < 0, (3.80)
.
.
..

..
..
.


T
T
T
T

· · · −Sτ −1,d + Fτ Ǎτ −1,d,j + Ǎτ −1,d,j Fτ
Fτ Ǎτ,d,j + Ǎτ −1,d,j Fτ +1
···
⋆
T
−Sτ,d + Fτ +1 Ǎτ,d,j + Ǎτ,d,j FτT+1
o Fato 3.2 substituindo-se Ǎm,d,j por Ǎm,d,j , considerando Kτ 6= 0, então o sistema incerto
O corolário a seguir é utilizado para fazer a análise da D(α, r)-estabilidade quadrática do
sistema (3.6)–(3.9) que utiliza a lei de controle (3.5), considerando Kτ = 0.
Corolário 3.5 Se existirem matrizes Fm ∈ Rn×n , m = 0, . . . , d + 1, 0 < PdT = Pd ∈ Rn×n e
T
0 < Sm,d
= Sm,d ∈ Rn×n , m = 1, . . . , d, d = 1, . . . , τ , tais que qΠ′d,j < 0, j = 1, . . . , N, sendo
qΠ′d,j =

d
X
 Pd +
Sm,d − F0 − F0T
F0 Ǎ0,d,j − F1T
F0 Ǎ1,d,j − F2T


m=1

T
T

⋆
−Pd + F1 Ǎ0,d,j + Ǎ0,d,j F1T
F1 Ǎ1,d,j + Ǎ0,d,j F2T

T
=
⋆
⋆
−S1,d + F2 Ǎ1,d,j + Ǎ1,d,j F2T


..
..
..

.
.
.


⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆

T
···
F0 Ǎd−1,d,j − FdT
F0 Ǎd,d,j − Fd+1
T
T

T
···


T
T
T

···
 < 0, (3.81)
.
.
..

..
..
.


T
T
T
T

· · · −Sd−1,d + Fd Ǎd−1,d,j + Ǎd−1,d,j Fd
Fd Ǎd,d,j + Ǎd−1,d,j Fd+1
T
T
···
⋆
−Sd,d + Fd+1 Ǎd,d,j + Ǎd,d,j Fd+1
68
o Fato 3.2, substituindo-se Ǎm,d,j por Ǎm,d,j , considerando Kτ = 0, então o sistema incerto
Sı́ntese quadrática de controladores
O teorema a seguir é utilizado para sintetizar controladores que D(α, r)-estabilizam quadraticamente o sistema (3.1)–(3.4) com a utilização da lei de controle (3.5).
T
e 0 < Sm,d
= Sm,d ∈ Rn×n , m = 0, . . . , τ e d = 1, . . . , τ , tais que qΘd,j < 0, j = 1 . . . , N, sendo

qΘd,j
τ
X
α
T
T
Sm,d − F0 − F0T F0 ǍT0,d,j + Z B̌u,j
 Pd +
r

m=1

⋆
−Pd
0


=
⋆
⋆
−S1,d

..
..
..

.
.
.


⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
τ −1
F0 ǍTτ−1,d,j + aτ −1,τ −1
0
0
..
.
−Sτ −1,d
⋆
α
T
Z B̌u,j
F0 ǍTτ,d,j
r τ −1
···
···
···
..
.
···
···
⋆

α Z + Zτ T
+
B̌u,j 
rτ

0


0
 < 0, (3.82)

..

.


0
τ
−Sτ,d
estados (3.1)–(3.4) é D(α, r)-estabilizável com os ganhos robustos K e Kτ dados em (3.52).
O corolário a seguir é utilizado para sintetizar controladores que D(α, r)-estabilizam robustamente sistema (3.1)–(3.4) com a utilização da lei de controle (3.5), considerando Kτ = 0.
Corolário 3.6 Se existirem matrizes F0 ∈ Rn×n , Z ∈ Rn×q , 0 < PdT = Pd,j ∈ Rn×n e
69
T
0 < Sm,d
= Sm,d ∈ Rn×n , m = 0, . . . , d e d = 1, . . . , τ , tais que qΘ′d,j < 0, j = 1 . . . , N, sendo

qΘ′d,j
d
X
α
T
T
 Pd +
F0 ǍT1,d,j + a1,d−1 Z B̌u,j
···

r

m=1

⋆
−Pd
0
···

=
⋆
⋆
−S
···
1,d


.
.
.
..
..
..
..

.


⋆
⋆
⋆
···
⋆
⋆
⋆
···

αd−1
αd
T
T
F0 ǍTd−1,d,j + ad−1,d−1 d−1 Z B̌u,j
F0 ǍTd,d,j + d Z B̌u,j

r
r

0
0


0
0
 < 0, (3.83)

..
..

.
.


−Sd−1,d
0
⋆
−Sd,d
conforme o Fato 3.2, considerando Kτ = 0, então o sistema discreto no tempo com atraso nos
estados (3.1)–(3.4) é D(α, r)-estabilizável com os ganhos robustos K dados em (3.54).
Exemplo 3.5 — Considere o sistema incerto discreto no tempo com atraso incerto nos estados (3.67). Esse sistema é D(α, r)-estabilizável a partir da Schur estabilização quadrática dos
sistemas incertos discretos no tempo com múltiplos atrasos nos estados (3.68)–(3.70) com a
utilização do Teorema 3.6 ou por meio da Schur estabilização quadrática dos sistemas incertos
discretos no tempo com múltiplos atrasos nos estados (3.71)–(3.73) com a utilização do Corolário 3.6. Note que nessa segunda opção somente os estados atuais são realimentados, ou seja,
Kτ = 0. Os valores de α para ambas as situações é α = 0. Já o valor do raio para a primeira
situação é r = 0.68, e o valor do raio para segunda situação é r = 0.70. Esses valores de r são
os menores em que as condições de análise e de sı́ntese fornecem resultados factı́veis, sendo que
eles foram obtidos a partir de uma busca com algoritmo de bissecção.
uk = −0.1006 −1.4793 xk + 0.0137 −0.0357 xk−3
(3.84)
e
uk = −0.0926 −1.4859 xk .
(3.85)
Nas Figuras 3.17 e 3.18 são apresentadas as nuvens de autovalores do sistema incerto discreto
no tempo com atraso incerto nos estados (3.67) realimentado com a lei de controle (3.78) e com
a lei de controle (3.85), respectivamente, considerando as três possibilidades de valores que o
atraso pode assumir. Observe que em todos os valores que o atraso pode assumir, o sistema
realimentado com ambas as leis de controle resulta nas nuvens de autovalores localizadas no
interior das regiões D, como esperado.
70
d=2
0.5
Imag
d=3
1
−0.5
0.5
Imag
0
−0.5
0
Real
d=1
0.5
−0.5
0
Real
0.5
0
−0.5
−0.5
0
Real
0.5
1
Imag
−1
−1
0.5
0
−0.5
atuais e atrasados D(0, 0.68)-estabilização.
Nas Figuras (3.19)–(3.21) são apresentadas as respostas à entrada nula do sistema (3.67)
realimentado com a lei de controle (3.84), gráfico superior, e realimentado com a lei de controle
(3.85), gráfico inferior, para todos os valores que o atraso d do sistema pode assumir. Em
ambos os casos os valores iniciais dos estados foram x−i = 1 −1 , i = 0, . . . , 3, em que x1 é
representado pela linha contı́nua, e x2 é representado pela linha tracejada. Nessas respostas é
possı́vel observar que o sistema, utilizando o controlador Kτ , gráfico superior, sempre apresenta
um sinal na amostra igual a 3 que é o mesmo valor de τ . Já na condição em que há somente
a realimentação dos estados atuais os sinais existentes nessa amostra igual a 3 apresentam
valores inferiores à situação anterior. Contudo, observe que os valores das respostas do sistema
realimentado com o controlador K e Kτ apresentam amplitudes nos sinais menores que o sistema
realimentado somente com K nos instantes anteriores à ação de controle referente a Kτ .
Na Figura 3.22 são apresentadas cinco curvas: a curva (a) é referente à condição (3.83), linha
contı́nua; a curva (b) é referente ao Teorema 4 de [MC09], linha tracejada; a curva (c) é referente
à condição (1.80) via sistema aumentado, ponto traço, sendo que as matrizes Ā(d)j e B̄u (d)j são
substituı́das por Ã(d)j e B̃u (d)j , em que essas três condições utilizam a lei de controle uk = Kxk ;
a curva (d) é referente à condição (3.82), bullet linha contı́nua; e a curva (e) é referente à condição
(1.80) via sistema aumentado, sendo que as matrizes Ā(τ )j e B̄u (τ )j são substituı́das por Ã(τ )j
e B̃u (τ )j , sinal de mais linha contı́nua, em que essas duas últimas utilizam a lei de controle uk =
71
d=2
0.5
Imag
d=3
1
−0.5
0.5
Imag
0
−0.5
0
Real
d=1
0.5
−0.5
0
Real
0.5
0
−0.5
−1
−1
−0.5
0
Real
0.5
1
Imag
0.5
0
−0.5
atuais D(0, 0.70)-estabilização.
x1 , x2
1
0.5
0
−0.5
−1
−2
0
2
4
6
8
10
x1 , x2
1
0.5
0
−0.5
−1
−2
0
2
4
6
8
10
Amostras
Kxk + Kτ xk−τ . Nessas cinco situações houve a variação do parâmetro α e foram encontrados os
menores valores de raio para cada caso em que se teve solução factı́vel. Essa busca pelos menores
72
x1 , x2
1
0.5
0
−0.5
−1
−2
0
2
4
6
8
10
x1 , x2
1
0.5
0
−0.5
−1
−2
0
2
4
6
8
10
Amostras
x1 , x2
1
0.5
0
−0.5
−1
−2
0
2
4
6
8
10
x1 , x2
1
0.5
0
−0.5
−1
−2
0
2
4
6
8
10
Amostras
raios foi feita a partir de um algoritmo de bissecção. A partir dessa figura é possı́vel observar
que a condição (1.80) via sistema aumentado, utilizando a lei de controle uk = Kxk + Kτ xk−τ ,
obteve o maior intervalo para o parâmetro α, aproximadamente, −0.24, 0.25 . Já as condições
(3.83) e (3.82) apresentam o menor intervalo para α, aproximadamente, −0.13, 0.15 .
Na Figura 3.23 são apresentados duas curvas: uma referente à razão dos valores dos raios
mı́nimos obtidos a partir da condição (3.83) pelos valores dos raios mı́nimos obtidos por meio do
Teorema 4 de [MC09], linha contı́nua, e a outra referente à razão dos valores dos raios mı́nimos
obtidos a partir da condição (3.83) pelos valores dos raios mı́nimos obtidos pela condição (1.80)
73
0.85
rmin
0.8
0.75
(c)→
(a)→
(d)→
0.7
0.65
←(b)
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
←(e)
0
α
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Figura 3.22: Comportamento dos raios mı́nimos em relação aos valores de α: (a) condição
(3.83), linha contı́nua; (b) o Teorema 4 de [MC09], linha tracejada; (c) condição (1.80) via
sistema aumentado, ponto traço, lei de controle utilizada uk = Kxk ; (d) condição (3.82), bullet
linha contı́nua; e (e) condição (1.80) via sistema aumentado, sinal de mais linha contı́nua, lei de
via sistema aumentado, linha tracejada, utilizando a lei de controle uk = Kxk . A partir desses
gráficos é possı́vel observar que a condição (3.83) apresenta raios mı́nimos maiores que a condição
(1.80) via sistema aumentado em praticamente todo o intervalo de α de comparação, sendo que
o valor de raio mı́nimo calculado por (3.83) pode chegar a ser 14% maior que o valor de raio
mı́nimo calculado por (1.80) via sistema aumentado. Para α = 0 o raio mı́nimo encontrado
é o mesmo para ambas as condições. Já na comparação com a condição do Teorema 4 de
[MC09], a condição (3.83) apresenta raios mı́nimos menores para valores de α pertencentes ao
intervalo −0.06, 0.14 , sendo que em α = 0 tem-se o mesmo valor de raio mı́nimo para ambas as
condições. Porém, para α fora desse intervalo a condição (3.83) produz valores de raios mı́nimos
mais conservadores que as condições do Teorema 4 de [MC09], podendo a diferença entre esses
valores de raios mı́nimos chegar a, aproximadamente, 8%.
mı́nimos obtidos a partir da condição (3.82) pelos valores dos raios mı́nimos obtidos por meio da
condição (1.80) via sistema aumentado, linha tracejada, utilizando a lei de controle uk = Kxk +
Kτ xk−τ , e a outra referente à razão dos valores dos raios mı́nimos obtidos a partir da condição
(3.82) pelos valores dos raios mı́nimos calculados pela condição (3.83), linha contı́nua, na qual
a lei de controle utilizada por essa última é uk = Kxk . A partir da primeira curva é possı́vel
perceber que, no intervalo de α pertencente a 0, 0.04 , os valores de raios mı́nimos obtidos pela
condição (3.82) são menores que os encontrados pela condição (1.80) via sistema aumentado.
Contudo, para valores de α fora desse intervalo os raios mı́nimos obtidos pela condição (3.82) são
maiores do que os encontrados pela condição (1.80) via sistema aumentado, podendo os valores
dos raios da primeira condição serem, aproximadamente, 20% maiores que os valores dos raios
74
1.15
razão
1.1
1.05
1
0.95
−0.1
−0.05
0
α
0.05
0.1
0.15
controle uk = Kxk .
da segunda condição, em α = −0.14. Já ao comparar ambas as condições desenvolvidas nessa
seção, (3.82) e (3.83), a que utiliza a lei de controle uk = Kxk + Kτ xk−τ apresenta resultados
menos conservadores, em relação aos valores de raios mı́nimos, em praticamente todo o intervalo
de α considerado na comparação.
1.25
1.2
razão
1.15
1.1
1.05
1
0.95
−0.1
−0.05
0
α
0.05
0.1
0.15
3.4. Aplicação ao sistema incerto com atraso conhecido
75
Na Figura 3.25 são apresentadas duas curvas: uma é a razão entre os valores de raios mı́nimos
em relação à α encontrados pela condição (3.77) pelos raios mı́nimos obtidos a partir da condição
(3.83), linha tracejada, e a outra é a razão entre os valores de raios mı́nimos encontrados pela
condição (3.76) pelos raios mı́nimos obtidos por meio da condição (3.82), bullet linha contı́nua.
Note que em ambas as curvas são feitas comparações entre as condições com abordagem robusta,
(3.77) e (3.76), e as condições com abordagem quadrática, (3.83) e (3.82). A partir dessas curvas
é possı́vel perceber que em ambos os casos as condições com abordagem robusta produzem
resultados menos conservadores, em relação a valores de raios mı́nimos, que as condições com
abordagem quadrática para certos valores de α. Na pior das hipóteses ambos os casos produzem
os mesmos resultados para os valores de raios mı́nimos.
1.005
1
razão
0.995
0.99
0.985
0.98
0.975
−0.1
−0.05
0
α
0.05
0.1
0.15
Figura 3.25: Comparação das condições robustas e quadráticas de D(α, r)-estabilização, razão
entre condição (3.77) pela condição (3.83), linha tracejada, e razão entre condição (3.76) pela
condição (3.82), bullet linha contı́nua.
3.4
Aplicação ao sistema incerto com atraso conhecido
Nesta seção é abordado um caso particular da seção anterior, em que o atraso do sistema
pertence a um intervalo, mas ele é conhecido e assim é possı́vel realimentar o estado atrasado.
Essa caracterı́stica é encontrada em sistemas que trabalham em batelada, sendo assim é possı́vel
saber informações desses sistemas de antemão. Por se conhecer o atraso e poder realimentá-lo,
espera-se que os resultados aqui encontrados sejam menos conservadores que os encontrados na
seção anterior.
O sistema tratado nesta seção é o mesmo tratado na Seção 3.1, ou seja, considere o sistema
incerto discreto no tempo com atraso nos estados (3.1)–(3.4). A lei de controle para esse sistema
muda em relação à apresentada na seção 3.1, sendo assim,
uk = Kxk + Kd xk−d ,
d = 1, . . . , τ,
(3.86)
76
sendo K ∈ Rq×n e Kd ∈ Rq×n . Essa lei de controle resulta no sistema em malha fechada
(3.10)–(3.13).
A partir da mudança de base esses sistemas incertos discretos no tempo com atraso conhecido nos estados geram os sistemas (3.57)–(3.63). As matrizes desses sistemas são calculadas
conforme o Fato 3.2 utilizando as operações referentes à consideração de que Kτ = 0.
A condição de análise de D(α, r)-estabilidade robusta desta seção é a mesma condição de
análise da D(α, r)-estabilidade robusta apresentada no Corolário (3.75).
3.4.1
Sı́ntese robusta de controladores
T
Teorema 3.7 Se existirem matrizes F0 ∈ Rn×n , Z ∈ Rn×q , Zτ ∈ Rn×q , 0 < Pd,j
= Pd,j ∈ Rn×n
T
e 0 < Sm,d,j
= Sm,d,j ∈ Rn×n , j = 1 . . . , N, m = 0, . . . , τ e d = 1, . . . , τ , tais que Θ′′d,j < 0,
sendo

d
X
α
T
T
 Pd,j +
···

r

m=1

⋆
−Pd,j
0
···

′′
Θd,j = 
⋆
⋆
−S1,d,j
···


.
.
.
..
..
..
..

.


⋆
⋆
⋆
···
⋆
⋆
⋆
···

d−1
d
α
α Z + Zd T
T
F0 ǍTd−1,d,j + ad−1,d−1 d−1 Z B̌u,j
F0 ǍTd,d,j +
B̌u,j 
r
rd

0
0


0
0
 < 0, (3.87)

..
..

.
.


−Sd−1,d,j
0
⋆
−Sd,d,j
conforme o Fato 3.2 utilizando as operações referentes à consideração de que Kτ = 0, então
o sistema discreto no tempo com atraso nos estados (3.1)–(3.4) é D(α, r)-estabilizável com os
ganhos K e Kd são dados em (3.52), trocando τ por d na segunda matriz de ganhos.
T
Ǎm,d,j sejam substituı́das por Ǎm,d,j + B̌u,j Ǩm,d , m = 0, . . . , τ , d = 1, . . . , τ e j = 1, . . . , N.
Com isso obtém-se as condições de sı́ntese (3.87).
Exemplo 3.6 — Considere o sistema discreto no tempo com atraso nos estados (3.67). Na
Figura 3.26 são apresentadas três curvas referentes aos raios mı́nimos em função de α obtidas:
a partir da condição (3.87), curva (a), linha contı́nua, por meio da condição (1.78) via sistema
aumentado; curva (b), linha tracejada, em ambos os casos sendo a lei de controle uk = Kxk +
Kd xk−d , e a partir da condição (3.76); curva (c), bullet linha contı́nua, sendo essa a mesma
curva obtida no Exemplo 3.4, e que utiliza a lei de controle uk = Kxk + Kd xk−τ . A partir dessa
figura é possı́vel observar que dentre as três condições a (1.78) via sistema aumentado é a menos
77
conservadora no intervalo de α em que houve a comparação. Veja que o intervalo de α nessa
condição menos conservadora é de aproximadamente −0.3, 0.3 , enquanto o intervalo de α nas
outras duas condições é o mesmo, aproximadamente, −0.13, 0.13 .
0.85
0.8
rmin
0.75
0.7
(c)→
←(a)
0.65
←(b)
0.6
−0.2
−0.1
0
α
0.1
0.2
0.3
Figura 3.26: Comportamento dos raios mı́nimos em relação aos valores de α: (a) obtida a partir
da condição (3.87), linha contı́nua; (b) obtida por meio do sistema aumentado, linha tracejada;
e (c) obtida a partir da condição (3.76), bullet linha contı́nua.
Na Figura 3.27 são apresentadas as curvas obtidas a partir da razão da curva de raios
mı́nimos obtida por meio da condição (3.87) pela curva obtida pela condição (1.78) via sistema
aumentado, linha tracejada, e da razão da primeira curva dividida pela curva de raios mı́nimos
obtidas a partir da condição (3.76), linha contı́nua. A partir dessa figura é possı́vel observar
que a condição (3.87) apresenta raios menores que a condição (3.76) em praticamente todo o
intervalo de α, como era esperado. Contudo, aquela condição, (3.87), é mais conservadora, em
relação a valores de raios mı́nimos, que a condição (1.78) via sistema aumentado em todo o
intervalo de α em que houve a comparação.
Como para o caso robusto, a condição de análise quadrática de D(α, r)-estabilidade desta
seção é a mesma condição (3.81) já enunciada na seção 3.3.
78
1.35
1.3
1.25
razão
1.2
1.15
1.1
1.05
1
0.95
0.9
0.85
−0.1
−0.05
0
α
0.05
0.1
0.15
Figura 3.27: Razão entre as curvas de raios mı́nimos, linha tracejada curva de raios mı́nimos
obtida por meio da condição (3.87) dividida pela curva obtida pelo sistema aumentado e linha
contı́nua curva de raios mı́nimos obtida por meio da condição (3.87) dividida pela curva de raios
mı́nimas obtidas a partir da condição (3.76).
Sı́ntese quadrática de controladores
T
e 0 < Sm,d
= Sm,d ∈ Rn×n , m = 0, . . . , τ e d = 1, . . . , τ , tais que qΘ′′d,j < 0, j = 1 . . . , N, sendo

qΘ′′d,j
d
X
α
T
T
 Pd +
···

r
m=1


⋆
−Pd
0
···

=
⋆
⋆
−S
···
1,d


.
.
.
..
..
..
..

.


⋆
⋆
⋆
···
⋆
⋆
⋆
···

d−1
d
α
α Z + Zd T
T
F0 ǍTd−1,d,j + ad−1,d−1 d−1 Z B̌u,j
F0 ǍTd,d,j +
B̌u,j 
r
rd

0
0


0
0
 < 0, (3.88)

..
..

.
.


−Sd−1,d
0
⋆
−Sd,d
conforme o Fato 3.2 utilizando as operações referentes à consideração de que Kτ = 0, então
o sistema discreto no tempo com atraso nos estados (3.1)–(3.4) é D(α, r)-estabilizável com os
ganhos K e Kd são dados em (3.52), trocando τ por d na segunda matriz de ganhos.
79
Prova: Considere que na condição (3.87) Pd,j = Pd e Sm,d,j = Sm,d , m = 0, . . . , τ , d = 1, . . . , τ
e j = 1 . . . , N.
Exemplo 3.7 — Considere o sistema discreto no tempo com atraso nos estados (3.67). Na
Figura 3.28 são apresentadas três curvas referentes aos raios mı́nimos em função de α obtidas
a partir da condição (3.88), curva (a), linha contı́nua, por meio da condição (1.80) via sistema
aumentado; curva (b), linha tracejada, em ambos os casos a lei de controle utilizada é uk =
Kxk +Kd xk−d , e a partir da condição (3.82); curva (c), bullet linha contı́nua, sendo essa a mesma
curva obtida no Exemplo 3.5, e que utiliza a lei de controle uk = Kxk + Kd xk−τ . A partir dessa
figura é possı́vel observar que a condição (1.80) via sistema aumentado é a menos conservadora
em relação ao intervalo de α. Veja que o intervalo de α nessa condição é de aproximadamente
−0.28, 0.28 , enquanto o intervalo de α nas outras duas condições é o mesmo, aproximadamente,
−0.12, 0.13 .
0.85
0.8
rmin
0.75
0.7
(c)→
←(a)
0.65
←(b)
0.6
−0.2
−0.1
0
α
0.1
0.2
0.3
Figura 3.28: Comportamento dos raios mı́nimos em relação aos valores de α: (a) obtida a partir
da condição (3.88), linha contı́nua; (b) obtida por meio do sistema aumentado, linha tracejada;
e (c) obtida a partir da condição (3.82), bullet linha contı́nua.
Na Figura 3.29 são apresentadas as curvas obtidas a partir da razão da curva de raios mı́nimos
obtida por meio da condição (3.88) pela curva obtida a partir da condição (1.80) via sistema
aumentado, linha tracejada, e da razão da primeira curva dividida pela curva de raios mı́nimos
obtidos a partir da condição (3.82), linha contı́nua. A partir dessa figura é possı́vel observar que
a condição (3.88) é menos conservadora, em relação a valores de raios mı́nimos, que a condição
(3.82) em praticamente todo o intervalo de α em que houve a comparação, como era esperado.
Contudo, aquela condição, (3.88), apresenta raios mı́nimos maiores que a condição (1.80) via
sistema aumentado em praticamente todo o intervalo de α, sendo que em α = 0 o raio mı́nimo
de ambas as condições é o mesmo.
Na Figura (3.30) é apresentada a comparação entre os raios mı́nimos obtidos a partir da
condição (3.87) pelos raios mı́nimos encontrados por meio da condição (3.88). Note que essa
condição, abordagem quadrática, é um caso particular daquela, abordagem robusta. A partir
80
1.35
1.3
1.25
razão
1.2
1.15
1.1
1.05
1
0.95
0.9
0.85
−0.1
−0.05
0
α
0.05
0.1
0.15
Figura 3.29: Razão entre as curvas de raios mı́nimos, linha tracejada curva de raios mı́nimos
obtida por meio da condição (3.88) dividida pela curva obtida pelo sistema aumentado e linha
contı́nua curva de raios mı́nimos obtida por meio da condição (3.88) dividida pela curva de raios
mı́nimas obtidas a partir da condição (3.82).
da análise dessa figura é possı́vel perceber que a condição robusta produz resultados menos
conservadores, em relação a valores de raios mı́nimos, que a condição quadrática, sendo que na
pior das hipóteses têm-se os mesmos valores de raio mı́nimo em ambas as condições, dependendo
do valor de α, como era esperado.
1.005
1
0.995
razão
0.99
0.985
0.98
0.975
0.97
0.965
−0.1
−0.05
0
α
0.05
0.1
0.15
Figura 3.30: Comparação entre as condições (3.87) pela condição (3.88).
3.5. Conclusões
3.5
81
Conclusões
Condições convexas de análise de D(α, r)-estabilidade e de sı́ntese de ganhos robustos de
realimentação de estados que D(α, r)-estabilizam sistemas discretos no tempo com atraso no
vetor de estado são propostas nesse capı́tulo. Primeiramente, foram abordados os sistemas
precisamente conhecidos discretos com atraso incerto no vetor de estado. Em seguida, foram
tratados os sistemas incertos discretos no tempo com atraso incerto no vetor de estado. Por
último, foram obtidas formulações para tratar os sistemas incertos discretos no tempo com
atraso conhecido no vetor de estado, porém com um atraso que pode pertencer a um intervalo
pré-determinado. Todas as formulações são feitas em termos de LMIs. Para o uso dessas
condições é necessário realizar a transformação de similaridade que foi discutida no Capı́tulo 2.
Portanto, as formulações propostas nesse capı́tulo são aplicadas a um sistema equivalente com
múltiplos atrasos nos estados. As incertezas, que podem afetar todas as matrizes dos sistemas,
são descritas por politopos com vértices conhecidos. As condições propostas foram obtidas a
partir de funções de Lyapunov-Krasovskii dependentes de parâmetros. Vários exemplos são
apresentados para demonstrar a utilização das condições e compará-las com outros resultados
mais fundamentais.
A partir de análises dos resultados obtidos a partir dos exemplos explorados foi possı́vel
observar que os controladores projetados para realimentar os estados atuais e o estado com
um atraso igual a τ são, em geral, menos conservadores que os controladores projetados para
realimentar somente os estados atuais. Um outro projeto de controlador explorado nesse capı́tulo
é quando o atraso é limitado, mas ele é identificado e sendo assim é possı́vel realimentá-lo para
qualquer valor que esse atraso assuma. Em aplicações práticas, esse pode ser o caso de processos
que operam em regime de batelada. Os resultados utilizando esse controlador foram comparados
com os resultados usando o controlador em que se realimenta o estado com atraso igual a τ .
Como esperado, quando o atraso tem como ser identificado e assim ser possı́vel realimentá-lo,
são produzidos resultados menos conservadores de quando não se é possı́vel identificá-lo e assim
estima-se o pior caso para esse atraso, ou seja, igualá-lo a τ . Comparações de todas as técnicas
desenvolvidas nesse capı́tulo foram feitas com resultados já existentes na literatura, para a
mesma classe de sistemas, e utilizando a abordagem de sistemas aumentados. Na maioria
das comparações as formulações utilizando a abordagem de sistemas aumentados obtiveram
resultados menos conservadores, mas em alguns pontos as condições desenvolvidas obtiveram
resultados menos conservadores que as condições utilizando sistemas aumentados assim como
em comparação com os resultados já existentes na literatura.
82
Capı́tulo
4
Análise e sı́ntese D(α, r)-estabilidade com custo
garantido H∞
Neste capı́tulo alguns problemas de otimização são formulados para tratar a classe dos sistemas lineares incertos discretos no tempo com múltiplos atrasos nos estados por meio de: i)
desigualdades matriciais lineares (LMIs), resultando em condições suficientes para a análise
da D(α, r)-estabilidade com estimação do custo garantido H∞ ; e ii) desigualdades matriciais
bilineares (BMIs), fornecendo condições suficientes para sı́ntese de controladores robustos que
D(α, r)-estabilizam com minimização do custo garantido H∞ . Para esse segundo caso, é fornecido um algoritmo de relaxação para resolver a BMI de forma iterativa em que cada passo
envolve apenas a solução de LMIs. Tais condições são obtidas a partir de uma função de Lyapunov com matrizes de folga. Os controladores robustos sintetizados podem ser utilizados para
realimentação dos estados atuais e passados, em que é necessário conhecer os valores dos atrasos,
ou somente para a realimentação dos estados atuais, sendo que nesse caso os atrasos podem ser
incertos. As condições propostas neste capı́tulo são uma extensão das condições que tratam somente da D(α, r)-estabilidade já publicadas em [MC09]. Exemplos numéricos são apresentados
para demonstrar a eficiência das condições propostas e estabelecer comparações com resultados já existentes na literatura. Parte dos resultados apresentados neste capı́tulo podem ser
encontrados em [SL10] e [SLMN10].
4.1
Preliminares e formulação do problema
Considere o sistema linear incerto discreto no tempo com atrasos nos estados dado por
S(β) :

τ
X


Ai (β)xk−di + Bu (β)uk + Bw (β)wk

 xk+1 = A0 (β)xk +
i=1




zk = C0 (β)xk +
τ
X
,
(4.1)
Ci (β)xk−di + Du (β)uk + Dw (β)wk
i=1
sendo xk ∈ Rn , uk ∈ Rq , wk ∈ Rℓ e zk ∈ Rp denotam o vetor de estados, entrada controlada,
entrada exógena e saı́da medida, respectivamente. Os atrasos são denotados por di ∈ N∗ , i =
83
84
Capı́tulo 4. Análise e sı́ntese D(α, r)-estabilidade com custo garantido H∞
1, . . . , τ e as matrizes Ai (β) ∈ Rn×n , Ci (β) ∈ Rp×n , i = 0, . . . , τ , Bu (β) ∈ Rn×q , Bw (β) ∈ Rn×ℓ ,
Du (β) ∈ Rp×q , Dw (β) ∈ Rp×ℓ definem o sistema S(β) que é representado por
A0 (β) A1 (β) · · · Aτ (β) Bu (β) Bw (β)
∈ Aoℓ ,
(4.2)
S(β) ≡
C0 (β) C1 (β) · · · Cτ (β) Du (β) Dw (β)
com
Aoℓ =
(
S(β) ∈ Rn+p×(1+τ )n+q+ℓ : S(β) =
Ω=
(
β ∈ RN : βj ≥ 0,
N
X
N
X
j=1
(4.3)
)
(4.4)
βj = 1
j=1
)
e os vértices Sj são conhecidos e dados por
A0j A1j · · · Aτ j Buj Bwj
Sj =
.
C0j C1j · · · Cτ j Duj Dwj
(4.5)
Considere a lei de controle dada por
uk = Kxk +
τ
X
Ki xk−di ,
(4.6)
i=1
sendo K ∈ Rq×n , Ki ∈ Rq×n , i = 1, . . . , τ , o que resulta em um sistema em malha fechada

τ
X


Ai (β)xk−di + Bw (β)wk

 xk+1 = A0 xk +
i=1
S(β) :
,
(4.7)
τ
X



Ci (β)xk−di + Dw (β)wk
 zk = C0 xk +
i=1
em que
S(β) ≡
com
Acℓ =
(
A0 (β) A1 (β) · · · Aτ (β) Bw (β)
C0 (β) C1 (β) · · · Cτ (β) Dw (β)
S(β) ∈ Rn+p×(1+τ )n+ℓ : S(β) =
N
X
j=1
∈ Acℓ ,
)
em que Ω é definido em (4.4) e os vértices Sj são
A0j A1j · · · Aτ j Bwj
Sj =
,
C0j C1j · · · Cτ j Dwj
sendo
A0j = A0j + Buj K, C0j = C0j + Duj K
Aij = Aij + Buj Ki , Cdj = Cij + Duj Ki , i = 1, . . . , τ.
(4.8)
(4.9)
(4.10)
(4.11)
Para utilizar a lei de controle (4.6) é necessário que os atrasos do sistema sejam conhecidos.
Caso esses atrasos sejam incertos e limitados, basta considerar Ki = 0, i = 1, . . . , τ , na lei
de controle (4.6), e que di = τi , i = 1, . . . , τ , em que τi representam os limitantes superiores
dos atrasos. Nessa situação é feita somente a realimentação dos estados atuais. Isso produz
resultados mais conservadores do que quando se conhece os atrasos e os realimentam.
Diante disso, são apresentados os problemas tratados no capı́tulo:
4.2. Principais resultados
85
Problema 4.1 Considerando que o sistema (4.7)–(4.11) seja D(α, r)-estável com condições
iniciais nulas, zk ∈ ℓ2 e wk ∈ ℓ2 , determinar γ tal que
kzk k2 ≤ γkwk k2
(4.12)
seja verificada para todo β ∈ Ω. Nesse caso, γ é um custo garantido H∞ para (4.7).
Problema 4.2 Determinar os ganhos robustos de realimentação de estados, K e Ki , i =
1, . . . , τ , quando se conhece os valores dos atrasos, ou somente K, quando não se conhece os
atrasos, tais que o sistema (4.1)–(4.5) com a lei de controle (4.6) seja D(α, r)-estável com custo
garantido H∞ dado por γ.
Os seguintes resultados são utilizados no desenvolvimento das soluções para os problemas
4.1 e 4.2. As provas desses resultados podem ser encontradas em [MC09].
Lema 4.1 Considere X, Y matrices reais e F matriz complexa com QH Q ≤ I. Então, para
algum real escalar λ > 0,
1
XQY + Y T QH X T ≤ λXX T + Y T QH QY
λ
(4.13)
Lema 4.2 O sistema (4.7) com Bw = 0 é D(α, r)-estável se
A0j − αI +
τ
X
Aij (rv + α)−τi
i=1
!H
Pj
A0j − αI +
τ
X
i=1
Aij (rv + α)−τi
!
− r 2 Pj < 0,
para |v| ≥ 1 (4.14)
em que 0 < PjT = Pj ∈ Rn×n , j = 1, . . . , N, e v é originado da troca de variável
v=
z−α
,
r
(4.15)
sendo que z é o operador avanço.
4.2
Principais resultados
Nesta seção são apresentadas condições suficientes para a análise da D(α, r)-estabilidade e
estimação do custo garantido H∞ de (4.7)-(4.11) e para a sı́ntese de controladores que assegurem
um custo garantido H∞ dado por γ e uma alocação de autoestruturas na região D(α, r) para o
sistema (4.1)-(4.6).
86
4.2.1
Análise robusta
Teorema 4.1 Se existirem as variáveis de otimização λij ∈ R+ , i = 1, . . . , τ , j = 1, . . . , N,
F1 ∈ Rn×n , F2 ∈ Rn×n , F3 ∈ Rp×n , F4 ∈ Rn×ℓ , G1 ∈ Rn×p , G2 ∈ Rn×p , G3 ∈ Rp×p , G4 ∈ Rℓ×p ,
√
0 < PjT = Pj ∈ Rn×n , j = 1, . . . , N e µ = γ ∈ R+ , tais que




Ψj = 



T T
−r 2 Pj + F1 (A0j − αI) + (A
0j − αI) F1
P
τ
+G1 C0j + CT0j GT1 + i=1 λij I
⋆
⋆
⋆
⋆
−F1 + (A0j − αI)T F2T + CT0j GT2
Pj − F2 − F2T
⋆
⋆
⋆
−G1 + (A0j − αI)T F3T + CT0j GT3 F1 Bwj + G1 Dwj + (A0j − αI)T F4T + CT0j GT4
−G2 − F3T
F2 Bwj + G2 Dwj − F4T
T
I p − G3 − G3
F3 Bwj + G3 Dwj − GT4
T
T
⋆
−µIℓ + F4 Bwj + Bwj
F4T + G4 Dwj + Dwj
GT4
⋆
⋆
Ψ15
Ψ25
Ψ35
Ψ45
Ψ55



 < 0,


j = 1, . . . , N, (4.16)
em que
Ψ15 = F1 A1j
Ψ25 = F2 A1j
Ψ35 = F3 A1j
Ψ45 = F4 A1j
+ G1 C1j · · · F1 Aτ j + G1 Cτ j ,
+ G2 C1j · · · F2 Aτ j + G2 Cτ j ,
+ G3 C1j · · · F3 Aτ j + G3 Cτ j ,
+ G4 C1j · · · F4 Aτ j + G4 Cτ j ,
Ψ55 = diag{λ1j ρ2τ1 I, λ2j ρ2τ2 I, · · · , λτ j ρ2ττ I},
e ρ = min |rv + α|, então o sistema incerto discreto no tempo com múltiplos atrasos nos estados
|v|≥1
(4.7)–(4.11) é D(α, r)-estável com custo garantido H∞ dado por γ.
Prova: Primeiramente, assume-se uma candidata à função de Lyapunov e toma-se a variação
dessa função candidata em k aliada à restrição (4.12). Em seguida, na condição (4.16) é aplicado
o complemento de Schur e algumas operações algébricas são realizadas. Com o resultado obtido
é utilizado o Lema 4.1. Por último, é feita uma transformação de congruência recuperando a
variação da candidata à função de Lyapunov aliada à restrição (4.12).
Considere a seguinte candidata à função de Lyapunov
V (β, xk ) = xTk P (β)xk ,
(4.17)
P
T
n
em que P (β) = N
j=1 βj Pj , β ∈ Ω e 0 < Pj = Pj ∈ R . Isso assegura a positividade de (4.17).
Para a estabilidade robusta é também necessário que
∆V (β, xk ) = V (β, xk+1 ) − V (β, xk ) < 0.
(4.18)
Aliando (4.18) à restrição (4.12) é possı́vel encontrar [PCE+ 05]:
∆V (β, xk ) + zkT zk − γ 2 wkT wk < 0,
(4.19)
87
ou seja,
xTk+1 P (β)xk+1 − r 2 xTk P (β)xk + zkT zk − γ 2 wkT wk < 0,
(4.20)
o que junto com a positividade de (4.17) assegura a estabilidade com custo garantido H∞ dado
por γ. Por outro lado, aplicando o complemento de Schur em (4.16) resulta:



Γj = 


T T
−r 2 Pj + F1 (A0j − αI) + (A
0j − αI) F1
P
+G1 C0j + CT0j GT1 + τi=1 λij I
⋆
⋆
⋆
Pj − F2 − F2T
⋆
⋆
 

Ψ15
 Ψ25  −1
−G2 − F3T
+

T
T
 Ψ35  Ψ55
I p − G3 − G3
F3 Bwj + G3 Dwj − G4
T
T
Ψ45
⋆
F4T + G4 Dwj + Dwj
GT4
T
× Ψ15 ΨT25 ΨT35 ΨT45 < 0. (4.21)
Essa pode ser escrita da seguinte forma:



Γj = 


−r 2 Pj + F1 (A0j − αI)
+(A0j − αI)T F1T + G1 C0j + CT0j GT1
⋆
⋆
⋆
Pj − F2 − F2T
⋆
⋆


−G2 − F3T

T
T

I p − G3 − G3
F3 Bwj + G3 Dwj − G4
T
T
⋆
F4T + G4 Dwj + Dwj
GT4


  
F1 Aij + G1 Cij
I
τ
X


 0 λij   I 0 0 0 + 1 |rv + α|−2τi  F2 Aij + G2 Cij  ×
+
 F3 Aij + G3 Cij 
 0
λij
i=1
F4 Aij + G4 Cij
0
T T
Aij F1 + CTij GT1 ATij F2T + CTij GT2 ATij F3T + CTij GT3 ATij F4T + CTij GT4 < 0. (4.22)
88
Utilizando o Lema 4.1 em (4.22) com a escolha de X T = I 0 0 0 , Q = (rv − α)−τi e
Y = ATij F1T + CTij GT1 ATij F2T + CTij GT2 ATij F3T + CTij GT3 ATij F4T + CTij GT4 , obtém-se



Γj ≥ Λ j = 


−r 2 Pj + F1 (A0j − αI)
+(A0j − αI)T F1T + G1 C0j + CT0j GT1
⋆
⋆
⋆
Pj − F2 − F2T
⋆
⋆


−G2 − F3T


Ip − G3 − GT3
T
T
T
T
⋆
−µIℓ + F4 Bwj + Bwj F4 + G4 Dwj + Dwj G4


 
F1 Aij + G1 Cij
I
τ
X
F2 Aij + G2 Cij 



 (rv − α)−τi I 0 0 0 + 0 (rv − α)−τi ×
+
F3 Aij + G3 Cij 
0
i=1
F4 Aij + G4 Cij
0
T T
Aij F1 + CTij GT1 ATij F2T + CTij GT2 ATij F3T + CTij GT3 ATij F4T + CTij GT4 < 0. (4.23)
Multiplicando Λj por βj , β ∈ Ω, e somando em j = 1, . . . , N
P

−r 2 P (β) + F1 (A0 (β) − αI + τi=1 Ai (β)(rv − α)−τi ) + (A0 (β) − αI
Pτ
P
−τi T
  +
) F1T + G1 (C0 (β) + τi=1 Ci (β)(rv − α)−τi ) 
i=1 Ai (β)(rv − α)

Pτ
−τi T

+
(C
) GT1
0 (β) +

i=1 Ci (β)(rv − α)
Λ(β) = 
⋆


⋆
⋆

 

−F1 + (A0 (β) − αI
−G1 + (A0 (β) − αI
P
P
T
T

 

+ τi=1 Ai (β)(rv − α)−τi ) F2T
+ τi=1 Ai (β)(rv − α)−τi ) F3T
Pτ
P
τ
−τi T
T
−τi T
T
+ (C0 (β) + i=1 Ci (β)(rv − α) ) G2
+ (C0 (β) + i=1 Ci (β)(rv − α) ) G3
T
P (β) − F2 − F2
−G2 − F3T
⋆
Ip − G3 − GT3
⋆
⋆

P
T
F1 Bw (β) + G1 Dw (β) + (A0 (β) − αI + τi=1 Ai (β)(rv − α)−τi ) F4T
P
T

+ (C0 (β) + τi=1 Ci (β)(rv − α)−τi ) GT4

 < 0. (4.24)
T
F2 Bw (β) + G2 Dw (β) − F4


F3 Bw (β) + G3 Dw (β) − GT4
−µIℓ + F4 Bw (β) + G4 Dw (β) + Bw (β)T F4T + Dw (β)T GT4
 
A condição (4.24) pode ser escrita da seguinte forma
em que
Λ(β) = Q(β) + X B(β) + B(β)T X T < 0,
(4.25)
Q(β) = diag −r 2 P (β), P (β), Ip , µIℓ ,
(4.26)
89
P
A0 (β) − αI P
+ τi=1 Ai (β)(rv + α)−τi −I 0n×p Bw (β)
B(β) =
,
C0 (β) + τi=1 Ci (β)(rv + α)−τi
0p×n −Ip Dw (β)
F T F2T F3T F4T F5T
X = 1T
G1 GT2 GT3 GT4 GT5
T
(4.27)
(4.28)
e v = (z − α)/r, com v e z pertencem ao plano complexo. Pré e pós-multiplicando Λ(β) dado
em (4.25) por ykT B(β)⊥T e B(β)⊥ yk , respectivamente, considerando

Pτ I
Ai (β)(rv + α)−τi
−τi
i=1 Ci (β)(rv + α)
0ℓ×n
A0 (β) − αI +
P
B(β) = 
 C0 (β) + τ
⊥
i=1

0n×ℓ
Bw (β) 

Dw (β)
Iℓ
x
e yk = k
wk
(4.29)
obtém-se
ykT B(β)⊥T Q(β)B(β)⊥ yk = ζkT Q(β)ζk < 0,
(4.30)
em que
ζk =
xTk xTk+1 zkT wkT
T
.
(4.31)
Desenvolvendo (4.30), sendo µ = γ 2 , a condição (4.20) é recuperada, assegurando a Schur
P
estabilidade do sistema vX(v) = (A0 (β) − αI + τi=1 Ai (β)(rv + α)−τi ) X(v) com desempenho
H∞ garantido dado por γ, o que pelo Lema 4.2 assegura-se a D(α, r)-estabilidade de (4.7)–(4.11).
Observação 4.1 O Teorema 4.1 pode ser usado em um problema convexo de minimização
para a estimação de um valor subótimo para o custo garantido H∞ , determinando um mı́nimo
√
γ = µ tal que (4.16) seja verificada para o sistema (4.7)-(4.11):
AH∞

min




µ > 0, λij > 0


 P = PT > 0
j
j
:
F
,
F
,
F
1
2
3 , F4 ,




G1 , G2 , G3 , G4



tal que
µ
(4.32)
Ψj < 0,
em que Ψj é dada em (4.16), i = 1, . . . , τ e j = 1, . . . , N.
4.2.2
Sı́ntese robusta
Teorema 4.2 Se existirem as variáveis de otimização λij ∈ R+ ; i = 1, . . . , τ , j = 1, . . . , N,
W ∈ Rn×n , Z ∈ Rn×q , Ki ∈ Rq×n , i = 1, . . . , τ , 0 < P̂jT = P̂j ∈ Rn×n , j = 1, . . . , N, 0 < θ < 1,
90
0 > H ∈ Rn×n e
Ξj =
Pτ
i=1







√
µ = γ ∈ R+ , tais que
λij I + H + H T −H T W T
0
0n×p
0n×ℓ
−2
T
T
T
T
⋆
−r P̂j W (A0j − αI) + ZBuj W C0j + ZDuj 0n×ℓ
⋆
⋆
P̂j − W T − W
0n×p
Bwj
⋆
⋆
⋆
−θIp
Dwj
⋆
⋆
⋆
⋆
−µIℓ
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆

0n×τ n
0n×τ n 

N1j 
 < 0,
N2j 

0ℓ×τ n 
−Ψ55
j = 1, · · · , N, (4.33)
sendo N1j = A1j + Buj K1 · · · Aτ j + Buj Kτ , N2j = C1j + Duj K1 · · · Cτ j + Duj Kτ
e τ = min |rv + α|, então o sistema linear incerto discreto no tempo com múltiplos atrasos nos
|v|≥1
estados (4.1)–(4.5) é D(α, r)-estabilizável com custo garantido H∞ dado por γ com os ganhos
robustos
K = Z T W −T
(4.34)
e Ki , i = 1, . . . , τ , obtidos diretamente da solução de (4.33).
Prova: A partir de (4.16), assuma nulas as matrizes F1 , F3 , F4 , G1 , G2 e G4 . Faça F2 = F e
G3 = G. Multiplicando a condição resultante à esquerda por T1 e à direita por T1T , em que
T1 = diag{I2 ⊗ F −1 , G−1 , Iℓ+τ n },
(4.35)
obtém-se Υj < 0, dado por:

P
−r 2 F −1 Pj (F −1 )T + τi=1 λij F −1 (F −1 )T
F −1 (A0j − αI)T

⋆
F −1 Pj (F −1 )T − (F −1 )T − F −1

⋆
⋆
Υj = 


⋆
⋆
⋆
⋆

−1 T
F C0j
0n×ℓ 0n×τ n
0n×p
Bwj
N1j 

G−1 (G−1 )T − (G−1 )T − G−1 Dwj
N2j 
 < 0, j = 1, . . . , N, (4.36)
⋆
−µIℓ 0ℓ×τ n 
⋆
⋆
−Ψ55
N1j = A1j · · · Aτ j , N2j = C1j · · · Cτ j .
Seguindo [LTP09, Teorema 3.3], com algum conservadorismo pode-se linearizar o bloco (3, 3)
dado por G−1 (G−1 )T − (G−1 )T − G−1 com −θIp , para 0 < θ < 1. Portanto, (4.36) pode ser
obtida de T2 Ξj T2T , sendo
−1 F
I
0n×(1+τ )n+p+ℓ
T2 =
(4.37)
0(1+τ )n+p+ℓ×2n I(1+τ )n+p+ℓ
e assumindo F −1 = W , A0j = A0j + Buj K, C0j = C0j + Duj K, Aij = Aij + Buj Ki , Cij =
Cij + Duj Ki , i = 1, . . . , τ e j = 1, . . . , N, Z = W K T e P̂j = W Pj W T .
91
Observação 4.2 O Teorema 4.2 pode ser usado em um problema de minimização para a
sı́ntese de ganhos K e Ki , i = 1, . . . , τ , que aloquem as autoestruturas do sistema (4.1)–(4.6)
numa região D(α, r) com minimização do custo garantido H∞ :

min
µ




µ
>
0,
λ
>
0,
ij


 P̂ = P̂ T > 0,

j

j
W,
Z, H < 0,
(4.38)
SH∞ :


0
<
θ
<
1,




Ki , i = 1, . . . , τ



tal que
Ξj < 0,
em que Ξj é dada em (4.33), i = 1, . . . , τ e j = 1, . . . , N.
Para a utilização do Teorema 4.2 para sintetizar os ganhos de realimentação dos estados
atuais, K, e os ganhos de realimentação dos estados atrasados, Ki , i = 1, . . . , τ , é necessário
conhecer os atrasos τi . Caso esses atrasos sejam incertos, as matrizes Ki , i = 1, . . . , τ são
consideradas nulas na condição desse Teorema.
Note que a condição de sı́ntese (4.33) é uma BMI, pois há um produto entre duas variáveis,
H e W . A seguir são apresentados os passos de um algoritmo para resolver essa condição como
uma sequência de LMIs. Algoritmo semelhante foi usado em [RGLP09].
Passo 0: Faça H = φI.
Passo 1: Encontre um valor para φ < 0 tal que (4.33) seja factı́vel, guarde W .
Passo 2: Resolva SH∞ com W do passo anterior, minimizando µ, µW ← µ, guarde H.
Passo 3: Resolva SH∞ com H do passo anterior, minimizando µ, µH ← µ, guarde W .
Passo 4: Se |µW − µH | < ǫ fim, senão volte ao Passo 2.
Exemplo 4.1 — Considere o problema de D(α, r)-estabilização com minimização do custo
garantido H∞ de um sistema linear incerto discreto no tempo com múltiplos atrasos nos estados
descrito por
xk+1 = A0 xk + A1 xk−1 + A2 xk−2 + Bu uk + Bw wk
,
(4.39)
zk = C0 xk + C1 xk−1 + C2 xk−2 + Du uk + Dw wk
em que
0.1 + ǫ1
1.0
0
0
0.1 − ǫ2 0
1.0 + ǫ3
A0 =
, A1 =
, A2 =
, Bu = Bω =
,
0.05
0.8 − ǫ1
0 0.1 + ǫ2
0
0
0.6 − ǫ3
C0 = 0.2 − ǫ1 1 , C1 = 0.1 − ǫ2 0 , C2 = 0 0.3 + ǫ2 , Du = Dw = 1 + ǫ3 (4.40)
e |ǫ1 | ≤ 0.1, |ǫ2 | ≤ 0.05 e |ǫ3 | ≤ 0.1.
Esse sistema foi estudado por [MC09], considerando-se apenas as matrizes A0 , A1 , A2 e
Bu . Nota-se que esse sistema não é estável em malha aberta e possui dois atrasos nos estados:
d1 = 1 e d2 = 2. O politopo que define esse sistema é composto de N = 8 vértices, dado por
92
todas as combinações dos valores extremos de ǫ1 , ǫ2 e ǫ3 . Neste exemplo, deseja-se obter os
ganhos para realimentação de estados que assegurem a alocação de autoestruturas do sistema
em malha fechada na região D(0.1, 0.65) e, simultaneamente, minimize o custo garantido H∞
entre a entrada exógena, wk , e a saı́da medida, zk . Para isso, a condição (4.33) é utilizada,
juntamente com o algoritmo fornecido para resolvê-la. Dessa forma, são obtidas as seguintes
leis de controle
e
uk = −0.0016 −1.1149 xk + 0.0019 −0.0517 xk−1 + −0.0613 −0.0174 xk−2
(4.41)
uk = 0.0050 −1.0738 xk ,
(4.42)
uk = −0.0036 −1.0479 xk ,
(4.43)
em que (4.41) é utilizado para realimentar os estados atuais e atrasados e (4.42) é utilizado para
realimentar somente os estados atuais.
Como esperado, a utilização da lei de controle (4.41) reduz o custo garantido H∞ do sistema
em malha fechada comparado com o sistema realimentado a partir da lei de controle (4.42). Os
custos garantidos H∞ são apresentados na Tabela 4.1 e comparados com os custos garantidos
H∞ obtido pela aplicação do Teorema 4.1 no sistema em malha fechada. Na quarta coluna da
Tabela 4.1 são apresentados os custos garantidos H∞ obtidos por meio do diagrama de Bode
dos sistemas incertos em malha fechada. Nesse caso, foram feitos vários diagramas de resposta
em frequência, para valores aleatórios de combinações convexas dos 8 vértices do sistema (4.39)–
(4.40) em malha fechada. Esses diagramas são apresentados nas Figuras 4.1 e 4.2, em que o
sistema (4.39)–(4.40) está realimentado com as leis de controle (4.41) e (4.42), respectivamente.
O pior caso, maior pico desses diagramas, é apresentado e corresponde ao custo garantido H∞
ótimo. A tı́tulo de comparação, na terceira linha dessa tabela são apresentados os valores obtidos
com o fechamento da malha usando
que está determinado em [MC09], para a mesma região D(0.1, 0.65) estudada neste exemplo.
Na Figura 4.3 são apresentados os vários diagramas de resposta em frequência para o sistema
em questão realimentado com a lei de controle (4.43).
Tabela 4.1: Tabela comparativa dos custos garantidos H∞
Lei de controle γ via (4.33) γ via (4.16) γ via Bode
(4.41)
4.7996
4.6438
1.4520
(4.42)
11.7588
10.8761
1.6840
(4.43)
—
12.7810
1.7010
Nas figuras 4.4 e 4.5 são apresentadas as nuvens de autovalores de (4.39)–(4.40) em malha
fechada utilizando-se, respectivamente, as leis de controle (4.41) e (4.42). Em ambos os casos
é possı́vel verificar que os autovalores do sistema incerto realimentado ficaram no interior da
região D(0.1, 0.65), como esperado.
93
1.8
1.6
|Z(z)/W (z)|
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
−1
10
0
10
1
rad/s
10
2
10
Figura 4.1: Diagramas de Bode do sistema realimentado com lei de controle (4.41).
2
1.8
|Z(z)/W (z)|
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
−1
10
0
10
1
rad/s
10
2
10
2
1.8
|Z(z)/W (z)|
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
−1
10
0
10
1
rad/s
10
2
10
4.2.3
Abordagem pela estabilidade quadrática
As condições apresentadas nesta subseção são obtidas a partir das condições (4.16) e (4.33).
Para isso, basta fazer Pj = P , j = 1, . . . , N, na condição de análise e P̂j = P̂ , j = 1, . . . , N, na
94
1
0.8
0.6
0.4
Imag
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1
−0.5
0
0.5
1
Real
Figura 4.4: Nuvem de autovalores do sistema realimentado com a lei de controle (4.41).
1
0.8
0.6
0.4
Imag
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1
−0.5
0
0.5
1
Real
condição de sı́ntese.
Análise de D(α, r)-estabilidade e estimação de custo garantido H∞
Teorema 4.3 Se existirem as variáveis de otimização λij ∈ R+ , i = 1, . . . , τ , j = 1, . . . , N,
F1 ∈ Rn×n , F2 ∈ Rn×n , F3 ∈ Rp×n , F4 ∈ Rn×ℓ , G1 ∈ Rn×p , G2 ∈ Rn×p , G3 ∈ Rp×p , G4 ∈ Rℓ×p ,
0 < P T = P ∈ Rn×n , j = 1, . . . , N e




qΨj = 



95
√
µ = γ ∈ R+ , tais que
T T
−r 2 P + F1 (A0j − αI) + (A
0j − αI) F1
P
τ
T
+G1 C0j + C0j GT1 + i=1 λij I
⋆
⋆
⋆
⋆
P − F2 − F2T
⋆
⋆
⋆
−G2 − F3T
Ip − G3 − GT3
T
T
⋆
F4T + G4 Dwj + Dwj
GT4
⋆
⋆
Ψ15
Ψ25
Ψ35
Ψ45
Ψ55



<0


j = 1, . . . , N, (4.44)
em que ρ = min |rv + α|, então o sistema incerto discreto no tempo com múltiplos atrasos nos
|v|≥1
estados (4.7)–(4.11) é D(α, r)-estável com custo garantido H∞ dado por γ.
Observação 4.3 O Teorema 4.1 pode ser usado em um problema convexo de minimização
para a estimação de um valor subótimo para o custo garantido H∞ , determinando um mı́nimo
√
γ = µ tal que (4.16) seja verificada para o sistema (4.7)-(4.11):

min
µ




µ
>
0,
λ
>
0
mj


 P = PT > 0
(4.45)
qAH∞ :
F1 , F2 , F3 , F4 ,




G1 , G2 , G3 , G4



tal que
qΨj < 0,
em que qΨj é dada em (4.44), i = 1, . . . , τ e j = 1, . . . , N.
Sı́ntese para D(α, r)-estabilidade com minimização do custo garantido H∞
Teorema 4.4 Se existirem as variáveis de otimização λij ∈ R+ ; i = 1, . . . , τ , j = 1, . . . , N,
W ∈ Rn×n , Z ∈ Rn×q , Ki ∈ Rq×n , i = 1, . . . , τ , 0 < P̂jT = P̂j ∈ Rn×n , j = 1, . . . , N, 0 < θ < 1,
√
0 > H ∈ Rn×n e µ = γ ∈ R+ , tais que
qΞj =
Pτ
T
−H T W T
0
0n×p
0n×ℓ
i=1 λij I + H + H
−2
T
T
T
T

⋆
−r P̂ W (A0j − αI) + ZBuj W C0j + ZDuj 0n×ℓ


⋆
⋆
P̂ − W T − W
0n×p
Bwj


⋆
⋆
⋆
−θI
D
p
wj


⋆
⋆
⋆
⋆
−µIℓ
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆

0n×τ n
0n×τ n 

N1j 
 < 0,
N2j 

0ℓ×τ n 
−Ψ55
j = 1, · · · , N, (4.46)
96
em que ρ = min |rv + α|, então o sistema linear incerto discreto no tempo com múltiplos atrasos
|v|≥1
nos estados (4.1)–(4.5) é D(α, r)-estabilizável com custo garantido H∞ dado por γ com os
ganhos robustos K dado em (4.34) e Ki , i = 1, . . . , τ , obtidos diretamente da solução de (4.46).
Observação 4.4 O Teorema 4.4 pode ser usado em um problema de minimização para a
sı́ntese de ganhos K e Ki , i = 1, . . . , τ , que aloquem as autoestruturas do sistema (4.1)–(4.6)
numa região D(α, r) com minimização do custo garantido H∞ :

min
µ




µ
>
0,
λ
>
0
ij



T

P̂
=
P̂
>0

W, Z, H < 0,
qSH∞ :
(4.47)


0
<
θ
<
1,




Ki , i = 1, . . . , τ



tal que
qΞj < 0,
em que qΞj é dada em (4.46), i = 1, . . . , τ e j = 1, . . . , N.
Como para o caso robusto, a utilização do Teorema 4.4 para sintetizar os ganhos de realimentação dos estados atuais, K, e os ganhos de realimentação dos estados atrasados, Ki ,
i = 1, . . . , τ , é possı́vel apenas se os atrasos τi forem conhecidos. Caso esses atrasos sejam incertos as matrizes Ki , i = 1, . . . , τ são consideradas nulas na condição do Teorema em questão.
Note que a condição de sı́ntese (4.46) é uma BMI, assim como a condição (4.33). O mesmo
algoritmo utilizado para resolver SH∞ pode ser aplicado em qSH∞ .
Exemplo 4.2 — Considere o sistema linear discreto no tempo com múltiplos atrasos nos
estados (4.39)–(4.40). Novamente, deseja-se obter ganhos para realimentação de estados que
assegurem a alocação das autoestruturas do sistema em malha fechada na região D(0.1, 0.65)
e, simultaneamente, minimize o custo garantido H∞ entre a entrada exógena, wk , e a saı́da
medida, zk . Nessa situação é utilizada a condição (4.46), juntamente com algoritmo fornecido
para resolvê-la. Assim, são obtidas as seguintes leis de controle
e
uk = −0.0150 −1.0289 xk + −0.0004 −0.0819 xk−1 + −0.0751 −0.0073 xk−2
uk = −0.0022 −0.9795 xk .
(4.48)
(4.49)
em que (4.48) é utilizado para realimentação dos estados atuais e atrasados e (4.49) é utilizado
para realimentação somente dos estados atuais.
Na Tabela 4.2 são apresentados os custos garantidos H∞ obtidos na utilização da condição
de sı́ntese na geração das leis de controle (4.48) e (4.49). Como esperado, a utilização da
primeira lei reduz o custo garantido H∞ do sistema em malha fechada comparado com o sistema
realimentado pela segunda lei. Na Tabela 4.2 também são fornecidos os custos garantidos H∞
obtidos pela aplicação do Teorema 4.3 no sistema em malha fechada. Na quarta coluna dessa
tabela são apresentados os custos garantidos H∞ obtidos por meio dos diagramas de Bode do
sistema incerto em malha fechada. Esses diagramas estão apresentados nas Figuras 4.6 e 4.7
97
Tabela 4.2: Tabela comparativa dos custos garantidos H∞
Lei de controle γ via (4.33) γ via (4.16) γ via Bode
(4.48)
5.8537
5.8504
1.468
(4.49)
23.3806
23.3783
1.834
1.8
1.6
|Z(z)/W (z)|
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
−1
10
0
10
1
rad/s
10
2
10
Figura 4.6: Diagrama de Bode do sistema realimentado com lei de controle (4.48).
2
1.8
|Z(z)/W (z)|
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
−1
10
0
10
1
rad/s
10
2
10
Figura 4.7: Diagrama de Bode do sistema realimentado com lei de controle (4.49).
para o sistema realimentado com as leis de controle (4.48) e (4.7), respectivamente. Observe
que a região D(0.1, 0.65) foi utilizada no exemplo 4.1, em que as condições (4.16) e (4.33) são
utilizadas. Com isso, é possı́vel fazer comparações dos custos garantidos H∞ obtidos com a
utilização das condições de análises e de sı́nteses desenvolvidas neste capı́tulo. A partir disso,
é possı́vel perceber que os valores para os custos garantidos H∞ fornecidos pelas condições
(4.16) e (4.33), Tabela 4.1, são menores que os valores de custos garantidos H∞ fornecidos a
partir da utilização das condições (4.44) e (4.46), Tabela 4.2. Com isso, pode-se observar que
aquelas condições são menos conservadoras que essas. Isso era esperado, pois as condições mais
conservadoras são baseadas na forma quadrática da função candidata de Lyapunov enquanto as
condições (4.16) e (4.33) são baseadas na forma robusta da função candidata de Lyapunov.
98
Nas figuras 4.8 e 4.9 são apresentadas as nuvens de autovalores de (4.39) em malha fechada
utilizando-se, respectivamente, as leis de controle (4.48) e (4.49).
Em ambos os casos é
1
0.8
0.6
0.4
Imag
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1
−0.5
0
0.5
1
Real
1
0.8
0.6
0.4
Imag
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1
−0.5
0
0.5
1
Real
possı́vel verificar que os autovalores do sistema incerto realimentado ficaram no interior da
região D(0.1, 0.65) como esperado.
4.2.4
Controle Descentralizado
O caso de ganho descentralizado é normalmente encontrado quando subsistemas interconectados precisam ser controlados somente por meio de informações locais. Nesses casos, ganhos
99
robustos descentralizados de realimentação de estados K = KD e Ki = KD,i , i = 1, . . . , τ podem ser obtidos a partir das condições dos Teoremas 4.2 e 4.4. Isso pode ser feito impondo-se
algumas estruturas para as matrizes W , Z e Ki , como se segue: W = WD = diag{W 1, . . . , W ν },
1
ν
Z = ZD = diag{Z 1 , . . . , Z ν } e Ki = KD,i = diag{KD,i
, . . . , KD,i
}, em que ν denota o número
de subsistemas.
A partir da abordagem de controle descentralizado descrita, os ganhos robustos descentrali′
zados de realimentação dos estados KD = ZD
(WD−1 )′ e KD,i , i = 1, . . . , τ são obtidos diretamente
das soluções de (4.33), para o caso robusto, e de (4.46), para o caso quadrático. Vale dizer que,
devido ao desacoplamento das matrizes do sistema, as matrizes de Lyapunov P̂ (β), abordagem
robusta, e P̂ , abordagem quadrática, não precisam sofrer restrições.
Exemplo 4.3 — Considere o sistema linear incerto discreto no tempo com múltiplos atrasos
nos estados descritos por (4.39), em que






1.42 −1.88 0.01
1.04 1.78 −0.01
0.61 −0.24 0.01
A0 = −0.06 0.10 0.05 , A1 = −0.15 0.97 0.02  , A2 = −1.59 −0.76 0.05 ,
−0.08 0.00 1.96
0.00 0.01 −1.10
0.02
0.00 0.32


−1.81 0.09
0.33
0.20
0.00
0.03
0.10
0.00
0.00  , C0 =
, C1 =
,
Bu = Bω =  1.44
0.00 −0.08 0.10
0.00 0.00 0.10
0.02 −0.70
0.00 0.10 0.00
C2 =
e Du = Dw = 02×2 , (4.50)
0.00 −0.04 0.00
em que A0 (ρ) = (0.5 − ρ)A0 , A1 (ε) = (0.08 + ε)A1 , A2 (ε) = (0.08 + ε)A2 , Bw (θ) = Bu (θ) =
(1.1 − θ)Bw , Ci (ρ) = (0.5 + ρ)Ci, i = 0, 1, 2, com |ρ| ≤ 0.05, |ε| ≤ 0.01 e |θ| ≤ 0.05. Esse sistema
produz uma representação politópica de 8 vértices. Ele não é estável em malha aberta e para
estabilizá-lo um controle robusto descentralizado é utilizado. Para isso, diferentes estruturas
foram impostas às matrizes W e Zi , i = 0, 1, 2, (BMI (4.33) e BMI (4.46)), como descrito
em 4.2.4. Os valores dos custos garantidos H∞ para os casos factı́veis são apresentados na
Tabela 4.3. Somente as três estruturas apresentadas na Tabela 4.3 foram factı́veis, tanto para a
Tabela 4.3: Tabela de custo garantido H∞ , γ, e estrutura de controle.
Estrutura γ encontrado com K γ encontrado com K
e Ki condição (4.33) e Ki condição (4.46)
• 0 0
9.2933
11.6862
0 • •
• • 0
1.3533
1.6488
0 0 •
Cheio
1.3151
1.6068
abordagem robusta, BMI (4.33), quanto para abordagem quadrática, BMI (4.46). Naturalmente,
se as especificações forem atenuadas, outras estruturas poderão ser encontradas. De acordo com
os dados apresentados na Tabela 4.3, com a segunda estrutura obtêm-se melhores resultados
do que com a primeira estrutura, nesse caso o custo garantido H∞ nesta é 686.7% maior que o
100
custo garantido H∞ naquela, para o caso robusto, enquanto para o caso quadrático essa diferença
aumenta para 708, 8%. Por outro lado, o custo garantido H∞ com o controlador “cheio” e com
a segunda estrutura são quase os mesmos, para ambas as abordagens. Isso pode indicar que
uma simples implementação — usando somente valores locais dos estados — pode conduzir à
similar rejeição a distúrbios quando o controlador “cheio” é empregado.
4.3
Conclusões
Nesse capı́tulo são desenvolvidas condições suficientes para análise robusta e quadrática da
D(α, r)-estabilidade com a estimativa do custo garantido H∞ e para sı́ntese de controladores
robustos que D(α, r)-estabilizam um sistema linear discreto com múltiplos atrasos nos estados
com minimização do custo garantido H∞ . As condições são adequadas para o tratamento de
sistemas com incertezas politópicas. As condições de análises são formuladas em termos de
LMIs, e as condições de sı́nteses são formuladas em termos de BMIs. Para esse segundo caso
é fornecido um algoritmo de relaxação para resolver essas BMIs de forma iterativa, sendo que
cada passo envolve a solução de apenas LMIs. Dessa forma, as LMIs propostas podem ser
resolvidas de forma eficiente por meio de algoritmos de pontos interiores. Por último, essas
condições foram testadas em exemplos numéricos, que ilustram a potencialidade das técnicas
apresentadas, sendo que em um desses exemplos há a comparação com resultados existentes na
literatura.
As condições de sı́ntese desenvolvidas neste capı́tulo podem ser usadas para o projeto de
ganhos de controladores para realimentação dos estados atuais e atrasados, em que os atrasos
devem ser conhecidos. Caso esses atrasos sejam incertos, as condições devem ser utilizadas
somente para o projeto de ganhos de realimentação dos estados atuais. Essa segunda opção
produz resultados mais conservadores que a primeira opção, como está mostrado nos Exemplos
4.1 e 4.2 desenvolvidos no capı́tulo. Esse resultado já era esperado, pois quando o atraso é incerto
há um desconhecimento de um parâmetro do sistema e para se trabalhar nessas condições os
resultados se tornam mais conservadoras.
Capı́tulo
5
Conclusões e Perspectivas
Nessa dissertação foram abordados os problemas de alocação regional de autoestruturas para
sistemas discretos no tempo com atraso(s) no vetor de estado. No Capı́tulo 1 foi realizada uma
revisão de conceitos e definições abordados ao longo do trabalho.
No Capı́tulo 2 foram propostas novas condições LMIs de análise da D(α, r)-estabilidade e
de sı́ntese de controladores que D(α, r)-estabilizam sistemas discretos no tempo com atraso
no vetor de estado. Para a utilização dessas condições é necessário efetuar uma mudança de
base nesses sistemas. Essa mudança de base é feita por meio da operação de transformação de
similaridade. Nesse capı́tulo é fornecida uma lei de formação para a matriz de transformação
de similaridade utilizada na operação de mudança de base.
No Capı́tulo 3 foram propostas novas condições LMIs de análise da D(α, r)-estabilidade e
de sı́ntese de controladores que D(α, r)-estabilizam sistemas discretos no tempo com atraso
no vetor de estado, sendo abordado os seguintes casos: i ) sistemas precisamente conhecidos
discretos no tempo com atraso incerto nos estados; ii ) sistemas incertos discretos no tempo com
atraso incerto nos estados; e iii ) sistemas incertos discretos no tempo com atraso conhecido
nos estados. Para a utilização dessas condições é necessário fazer a mudança de base na classe
de sistemas abordadas nesse capı́tulo, sendo que essa mudança de base é efetuada a partir da
transformação de similaridade com a utilização da matriz desenvolvida no Capı́tulo 2. Por esse
motivo, foi possı́vel desenvolver essas condições a partir de uma função de L-K dependentes de
parâmetros com matrizes de folga para sistemas discretos com múltiplos atrasos nos estados.
No Capı́tulo 4 foram desenvolvidas novas condições LMIs de análise da D(α, r)-estabilidade
com a estimação do custo garantido H∞ e novas condições BMIs de sı́ntese de controladores
que D(α, r)-estabilizam com minimização do custo garantido H∞ sistemas discretos no tempo
com múltiplos atrasos nos estados. Essas formulações foram desenvolvidas a partir da função de
Lyapunov com matrizes de folga e podem ser utilizadas em sistemas precisamente conhecidos ou
incertos. Os resultados obtidos nesse Capı́tulo podem ser encontrados em [SL10] e [SLMN10].
As condições propostas tanto no Capı́tulo 3 quanto no Capı́tulo 4 tratam as incertezas dos
sistemas como politópicas. Ao longo do desenvolvimento de todas as novas condições propostas
nessa dissertação exemplos numéricos foram abordados para demonstrar a eficiência das mesmas.
A lei de formação da matriz de mudança de base, Q(α, r, τ ), desenvolvida no Capı́tulo 2, foi
obtida por meio de observações dos resultados das operações de transformação de similaridade
101
102
Capı́tulo 5. Conclusões e Perspectivas
de sistemas com atrasos de 1 até 10. A partir disso, foi possı́vel perceber que havia uma regra
de formação para essa matriz, Q(α, r, τ ). Contudo, ainda não se tem uma prova formal para
justificar a mesma.
As formulações propostas no Capı́tulo 3 apresentam limitações perante a complexidade numérica. Elas são geradas a partir do aumento do vetor de estados e para isso é necessário que
o atraso nos sistemas em questão sejam conhecidos. Como nesse capı́tulo foram desenvolvidas
condições em que o atraso dos sistemas são incertos e limitados é necessário resolver uma LMI
para cada valor que o atraso do sistema pode assumir. Porém, em alguns testes numéricos
foi possı́vel encontrar que Π′τ +1 < 0 implica em Π′τ < 0, quando considera-se a lei de controle
uk = Kxk , ou uk = Kxk +Kd xk−d . Já para a lei de controle uk = Kxk +Kτ xk−τ alguns exemplos
numéricos mostraram que Πτ < 0 e Πτ −1 implicam em Πτ −i < 0, i = 2, . . . , τ − 1. Contudo,
esses resultados foram obtidos somente em exemplos numéricos, mas os mesmos mostram que é
interessante a investigação para um caso genérico.
Novas condições de análise e de sı́ntese podem ser obtidas a partir das condições desenvolvidas
nos Capı́tulos 2 e 3. Isso pode ser feito com relativa facilidade utilizando funções de L-K
mais completas. Com isso, espera-se obter condições menos conservadoras. Com relação às
condições de sı́nteses desenvolvidas no Capı́tulo 3, as mesmas podem ser estendidas para a
obtenção de condições de sı́ntese de controladores baseados na realimentação de saı́da, além da
implementação da minimização do custo garantido H∞ .
As condições desenvolvidas no Capı́tulo 4 podem ser estendidas para a obtenção de condições
que sintetizam controladores baseados na realimentação de saı́da. Além disso, elas também
podem ser estendidas para o caso da lei de controle uk = Kxk + Kτ xk−τ , que foi implementada
no Capı́tulo 3. Como as formulações de sı́ntese de controladores do Capı́tulo 4 têm produtos de
duas variáveis, elas não são convexas. Sendo assim, torna-se interessante o uso de algoritmos
não convexos para resolver essas BMIs e com isso obter resultados menos conservadores.
Trabalhos produzidos
- L. F. P. Silva e V. J. S. Leite, Sı́ntese robusta com alocação regional de polos e custo
garantido H∞ para sistemas discretos no tempo com múltiplos atrasos nos estados, in:
Anais do XVIII Congresso Brasileiro de Automática, Bonito, MS, Brasil. Páginas 187192. Setembro 2010.
- L. F. P. Silva, V. J. S. Leite, M. F. Miranda e E. G. Nepomuceno, D-stabilization with
minimization of the H∞ -guaranteed cost for uncertain discrete-time systems with multiple
delays in the state, in: Proceedings of the 49th IEEE Conference on Decision Control,
Atlanta, GA, USA. Pages 998-1003. December 2010.
Apêndice
A
Ferramentas
A.1
Desigualdades Matriciais Lineares – LMIs
Com o desenvolvimento de métodos de pontos interiores para problemas de programação
semidefinida, SDP (do inglês semidefinite programming problem), desigualdades matriciais lineares, LMIs (do inglês linear matrix inequalities), têm sido uma ferramenta útil para resolução
de problemas de controle. A ideia básica do método de LMIs é expressar o problema dado
como um SDP. A formulação de LMIs é relevante por várias razões. Uma dessas razões é que
escrevendo um dado problema nessa forma, as soluções numéricas podem ser encontradas de
forma eficiente [BEFB94] [GN00].
Uma desigualdade matricial linear tem a seguinte forma:
F (p) = F0 +
m
X
pi Fi > 0
(A.1)
i
em que pi ∈ Rm , para i = 1, . . . , m, são variáveis escalares a serem determinadas e Fi ∈ Rn×n ,
para i = 0, 1, . . . , m são matrizes simétricas precisamente conhecidas. A desigualdade significa
que F (p) é uma matriz definida positiva, ou seja,
z T F (p)z > 0, ∀z 6= 0, z ∈ Rn
(A.2)
Isso significa que F (p) é uma função afim dos elementos de p, que representa um vetor p =
[p1 , . . . , pm ].
A equação (A.1) é uma LMI estrita. No caso em que F (p) é semidefinida positiva, essa
seria uma LMI não estrita. A LMI estrita é factı́vel quando existe um vetor p que torna a
desigualdade verdadeira, ou seja, F (p) uma matriz definida positiva. Uma LMI não estrita
factı́vel pode ser reduzida para o caso de uma LMI estrita factı́vel equivalente. Isso pode ser
feito acrescentando um valor constante à matriz F (p), tornando essa matriz definida positiva,
ou seja, F (p) + ǫI > 0.
Uma LMI pode ser reescrita em termos de um conjunto de desigualdades escalares. De forma
mais especı́fica, considere a LMI (A.1), ela é equivalente a n desigualdades polinomiais. Para
exemplificar, considere as desigualdades apresentadas em (1.9), P < 0 e AT P A − P > 0, que
103
104
Apêndice A. Ferramentas
são LMIs, na qual
a b
A=
c d
. As desigualdades podem ser escritas em
p1 p2
1
> 0 ⇐⇒
p2 p3
0
T
A PA − P =
p1 p2
P =
p2 p3
termos das incógnitas do problema, p1 , p2 e p3 , assim
0
0 1
0 0
p +
p +
p >0
0 1
1 0 2
0 1 3
a2 p1 + 2acp2 + c2 p3
abp1 + (ad + bc)p2 + cdp3
=
abp1 + (ad + bc)p2 + cdp3
b2 p1 + 2bdp2 + d2 p3
2
2
a ab
2ac
bc + ad
c cd
p1 +
p2 +
p3 < 0
ab b2
ad + bc
2bd
cd b2
. Observe que no exemplo dado a matriz F0 é nula. De acordo com [WB95, pag 951] e [VB00], as
restrições podem ser colocadas em termos dos menores principais lı́deres de P e de AT P A − P ,
resultando em
• p1 > 0, p3 > 0, p1 p3 − p22 > 0,
• a2 p1 + 2acp2 + c2 p3 < 0, b2 p1 + 2bdp2 + d2 p3 < 0, (a2 p1 + 2acp2 + c2 p3 )(b2 p1 + 2bdp2 +
d2 p3 ) − (abp1 + (ad + bc)p2 + cdp3 )2 < 0
É interessante salientar que, ao se representar uma LMI por um conjunto n de desigualdades
polinomiais, caso n > 1, esses polinômios serão não-lineares, como acontece no exemplo dado
acima.
Uma importante propriedade das LMIs é a convexidade, ou seja, o conjunto de soluções x
que atende à desigualdade é convexo. Em um problema de otimização convexa, o mı́nimo local
encontrado é o mı́nimo global. Isso torna a solução do problema simples do ponto de vista de
otimização. Um conjunto C é convexo se λx + (1 − λ)y ∈ C para todo x, y ∈ C e λ ∈ 0, 1 .
A.2
Complemento de Schur
Considere a matriz quadrada simétrica X
A B
X=
BT C
(A.3)
O complemento de Schur pode ser usado na caracterização da positividade de X, com as seguintes propriedades:
• X > 0 se e somente se A > 0 e C − B T A−1 B > 0;
• X > 0 se e somente se C > 0 e A − BC −1 B T > 0;
• se A > 0, X ≥ 0 se e somente se C − B T A−1 B ≥ 0;
• se C > 0, X ≥ 0 se e somente se A − BC −1 B T ≥ 0.
A.3. Lema de Finsler
105
A matriz C − B T A−1 B é chamada de complemento de Schur de X em relação a A se
det(A) 6= 0. Se det(C) 6= 0, A − BC −1 B T é o complemento de Schur de X em relação a
C. Manipulações envolvendo o complemento de Schur permitem transformar desigualdades
convexas não-lineares, que regularmente aparecem em problemas de controle, em LMIs [VB00],
[OP10].
Prova: A partir da transformação de congruência, caso exista A−1 , tem-se
0
I A−1 B
A B
I
0 A
(A.4)
X=
=
I
BT C
B T A−1 I 0 C − B T A−1 B 0
{z
}
|
{z
}
|
TT
T
Como T é uma matriz não singular
A B
A
0
> 0 ⇐⇒
>0
BT C
0 C − B T A−1 B
Analogamente, se existe C −1 existe,
I
0
A B
I BC −1 A − BC −1 B T 0
X=
=
0
I
0
C C −1 B T I
BT C
e, portanto,
A.3
A B
A − BC −1 B T 0
> 0 ⇐⇒
>0
BT C
0
C
(A.5)
(A.6)
(A.7)
Lema de Finsler
O Lema de Finsler pode ser usado para expressar condições de estabilidade em termos
de desigualdades matriciais equivalentes, introduzindo ou eliminando variáveis [OP10]. Como
esse Lema tem sido utilizado frequentemente em teoria de controle para eliminar variáveis, ele
também é conhecido como Lema da Eliminação [BEFB94]. A seguir está enunciado o Lema.
Lema A.1 (Lema de Finsler) Sejam ϕ ∈ Rn , Q(β) ∈ Rn×n , simétrica, e B(β) ∈ Rm×n ,
P
β: N
j=1 βj = 1, βj ≥ 0, j = 1, . . . , N, tal que o posto(B(α)) < n. As seguintes afirmativas são
equivalentes:
1. i) ϕT Q(β)ϕ < 0, ∀ϕ : B(α)ϕ = 0, ϕ 6= 0
2. ii) B⊥ (β)T Q(β)B⊥ (β), em que B⊥ (β) denota uma base para o espaço nulo de B(β)
3. iii) ∃µ(β) ∈ R+ : Q(β) − µB(β)T B(β) < 0
4. iv) ∃X (β) ∈ Rn×m : Q(β) + X (β)B(β) + B(β)T X (β)T < 0
Prova: A prova do Lema de Finsler é baseada na demonstração apresentada em [dS01], para
o caso exato. Verifica-se i)⇔ii), pois todo x tal que B(β)x = 0 e , consequentemente, i)⇒
y T B⊥ (β)T Q(β)B⊥ (β)y < 0, para todo y 6= 0 ⇒ B⊥ (β)T Q(β)B⊥ (β) < 0. Por outro lado,
106
Apêndice A. Ferramentas
assumindo que ii) é verificada, multiplique o lado esquerdo dessa condição, à direita por y 6= 0
e à esquerda por y T para obter i).
Multiplique o lado esquerdo de iii) ou iv) à direita por B⊥ (β) e à esquerda por B⊥ (β)T
para obter ii). Assumindo que ii) é verificada, a condição iii) pode ser recuperada como segue:
fatore B(β) em um produto de matrizes de posto completo, B(β) = Bℓ (β)Br (β), defina W(β) =
T
0.5
Br (β)T Br (β)Br (β)T
Bℓ (β)T Bℓ (β)
e aplique a transformação de congruência
W(β)T
B⊥ (β)T
Q(β) − µ(β)B(β)T B(β) W(β) B⊥ (β)
W(β)T Q(β)W(β) − µ(β)I W(β)T Q(β)B⊥ (β)
=
< 0 (A.8)
⋆
B⊥ (β)T Q(β)B⊥ (β)
Como o bloco (2, 2) (A.8) é definido negativo (por hipótese), conclui-se que existe µ(β) ∈ R+
suficientemente grande tal que a condição acima seja verificada. Resta mostrar que iii)⇒iv).
Para isso, basta escolher X (β) = −µ(β)B(β)T /2.
Bibliografia
[AG07]
Y. Ariba and F. Gouaisbaut. Delay-dependent stability analisis of linear systems
with time-varying delay. In Proceedings of the 46th IEEE Conference on Decision
and Control, pages 2053–2058, New Orleans, LA, USA, December 2007.
[ÅW84]
K. J. Åström and B. Wittenmark. Computer Controlled Systems: Theory and
Design. Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1984.
[Bar85]
B. R. Barmish. Necessary and sufficient conditions for quadratic stabilizability of
an uncertain system. Journal of Optimization Theory and Applications, 46(4):399–
408, 1985.
[BEFB94]
S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, and V. Balakrishnan. Linear Matrix Inequalities in
System and Control Theory. SIAM Studies in Applied Mathematics, Philadelphia,
Pennsylvania, 1994.
[Bha07]
A. Bhaya. Enciclopédia de Automática - Controle e Automação, volume 2, chapter
Estabilidade de Sistemas Dinâmicos Lineares, pages 67–91. Editora Blücher, São
Paulo, SP, 2007.
[BOAP10]
R. A. Borges, R. C. L. F. Oliveira, C. T. Abdallah, and P. L. D. Peres. Robust H∞
networked control for systems with uncertain sampling rates. IET Control Theory
and Applications, 4:50–60, 2010.
[CC06]
S.-H. Chen and J.-H. Chou. Robust D-stability analysis for linear uncertain discrete singular systems with state delay. Applied Mathematics Letters, 19:197–205,
February 2006.
[CG96]
M. Chilali and P. Gahinet. H∞ design with pole placement constraints: An LMI
approach. IEEE Transactions on Automatic Control, 41(3):358–367, March 1996.
[Che99]
C.-T. Chen. Linear System Theory and Design. Oxford, New York, USA, 3rd
edition, 1999.
[Che03]
S.-H. Chen. Robust D-stability analysis for linear discrete singular time-delay
systems with structured and unstructured parameter uncertainties. IMA Journal
of Mathematics Control and Information, 20:153–165, 2003.
107
108
Bibliografia
[Che10]
G. Chesi. Time-invariant uncertain systems: A necessary and suficient condition
for stability and instability via homogeneous parameter-dependent quadratic Lyapunov functions. Automatica, 46:471–474, 2010.
[dH03a]
M. C. de Oliveira and J. W. Helton. Computer algebra tailored to matrix inequalities in control. In Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and
Control, pages 4973–4978, Maui, Hawaii, USA, December 2003.
[dH03b]
M. C. de Oliveira and J. W. Helton. Doing systems and control with ncalgebra,
a symbolic noncommutative algebra toolbox. In Proceedings of the 11th Mediterranean Conference on Control and Automation, pages 6242–6247, Rhodes, Greece,
June 2003.
[dH06]
M. C. de Oliveira and J. W. Helton. A symbolic procedure for computing semidefinite program duals. In Proceedings of the 45th IEEE Conference on Decision and
Control, pages 5192–5197, San Diego, CA, USA, December 2006.
[dOOL+ 04] P. J. de Oliveira, R. C. L. F. Oliveira, V. J. S. Leite, V. F. Montagner, and P. L. D.
Peres. H∞ guaranteed cost computation by means of parameter dependent Lyapunov functions. Automatica, 40(6):1053–1061, June 2004.
[dOP07]
M. C. de Oliveira, R.C.L.F. Oliveira, and P.L.D. Peres. Schur stability of polytopic
systems through positivity analysis of matrix-valued polynomials. In Proceedings of
the 46th IEEE Conference on Decision and Control, pages 6322–6327, New Orleans,
LA, USA, December 2007.
[dS01]
M. C. de Oliveira and R. E. Skelton. Stability tests for constrained linear systems.
Perspectives in Robust Control, 268:241–257, 2001. Lectures Notes in Control and
Information Sciences.
[dSJL07]
J. M. Gomes da Silva Jr. and V. J. S. Leite. Enciclopédia de Automática - Controle
& Automação, chapter Sistemas Lineares com Atrasos de Tempo, pages 108–123.
Editora Blücher, São Paulo, SP, 2007.
[GKC03]
K. Gu, V. L. Kharitonov, and J. Chen. Stability of Time-delay Systems. Control
Engineering. Birkhäuser, Boston, 2003.
[GN00]
L. E. Ghaoui and S. I. Niculescu. Advances in Linear Matrix Inequality Methods
in Control, chapter Robust Decision Problems in Engineering: A Linear Matrix
Inequality Approach, pages 3–37. Society for Industrial and Applied Mathematics,
California, USA, 2000.
[GX04]
L. Gao and A. Xue. On LMI robust D-stability condition for real convex polytopic
uncertainty. In Proceedings of the 5th World Congress on Intelligent Control and
Automatic, volume 1, pages 151–154, Hangzhou, China, June 2004.
Bibliografia
[HB92]
109
W. M. Haddad and D. S. Bernstein. Controller design with regional pole constraints. IEEE Transactions on Automatic Control, 37(1):54–69, January 1992.
[HWHS08] Y. He, M. Wu, Q.-L. Han, and J.-H. She. Delay-dependent H∞ control of linear
discrete-time systems with an interval-like time-varying delay. Internacional Journal of Systems Science, 39:427–436, April 2008.
[HZ10]
F. Hao and X. Zhao. New delay-dependent stability conditions for discrete-time
systems with time-varying delay in the state. IMA Journal of Mathematical Control
and Information, 27:253–266, July 2010.
[KH98]
V. Kapila and W. M. Haddad. Memoryless H∞ controllers for discrete-time systems
with time delay. Automatica, 34(9):1141–1144, 1998.
[Lee95]
C.-H. Lee. D-stability of continous time-delay systems subjected to a class of highly
structured perturbations. IEEE Transactions on Automatic Control, 40(10):1803–
1807, October 1995.
[LLZY10]
Z. Liu, S. Lü, S. Zhoung, and M. Ye. Stabilization analysis for discrete-time systems
with time delay. Applied Mathematical and Computation, 216:2024–2035, 2010.
[LM08a]
V. J. S. Leite and M. F. Miranda. Convex analisis and synthesis for uncertain
discrete-time systems with time-varying state delay. In Proceedings of the 2008
American Control Conference, pages 4910–4915, Seattle, Washington, USA, June
2008.
[LM08b]
V. J. S. Leite and M. F. Miranda. Robust stabilization of discrete-time systems with
time-varying delay: An LMI approach. Mathematical Problems in Engineering,
pages 1–15, 2008.
[LM08c]
V. J. S. Leite and M. F. Miranda. Stabilization of discrete time-varying delay
systems: A convex parameter dependent approach. In Proceedings of the 2008
American Control Conference, pages 4934–4939, Seattle, Washington, USA, June
2008.
[LMdO+ 04] V. J. S. Leite, V. F. Montagner, P. J. de Oliveira, R. C. L. F. Oliveira, D. C. W.
Ramos, and P. L. D. Peres. Estabilidade robusta de sistemas lineares através de
desigualdades matriciais lineares. Revista Controle & Automação, 15:24–40, Fev e
Março 2004.
[LMP04]
V. J. S. Leite, V. F. Montagner, and P. L. D. Peres. Alocação robusta de polos
através de realimentação de estados dependentes de parâmetros. Revista Controle
& Automação, 15(2):127–134, Junho 2004.
[LP03]
V. J. S. Leite and P. L. D. Peres. An improved LMI condition for robust D-stability
of uncertain polytopic systems. IEEE Transactions on Automatic Control, 48:500–
504, March 2003.
110
Bibliografia
[LTP04]
V. J. S. Leite, S. Tarbouriech, and P. L. D. Peres. Controle robusto H∞ de sistemas
discretos com atraso nos estados: Condições LMI independentes do atraso. In Anais
do XV Congresso Brasileiro de Automática, Gramado, RS, Brasil, 2004.
[LTP09]
V. S. J. Leite, S. Tarbouriech, and P. L. D. Peres. Robust H∞ state feedback
control of discrete-time systems with state delay: an LMI approach. IMA Journal
of Mathematical Control and Information, pages 1–17, August 2009.
[LY10]
Y. Liu and G. Yang. New delay-dependent stability criteria for continous-time
systems with delay. In Proceedings of the 2010 Chinese Control and Control Conference(CCDC), pages 2887–2892, Xuzhou, China, July 2010.
[MC06]
W.-J. Mao and J. Chu. D-stability for linear continous-time systems with multiple
time delays. Automatica, 42:1589–1592, March 2006.
[MC09]
W.-J. Mao and J. Chu. D-stability and D-stabilization of linear discrete time-delay
systems with polytopic uncertainties. Automatica, 45:842–846, January 2009.
[ML08]
M. F. Miranda and V. J. S. Leite. Sı́ntese convexa para sistemas incertos discretos
no tempo com atraso variantes. Revista Controle & Automação, 19(3):242–255,
Julho 2008.
[MLP03]
V. F. Montagner, V. J. S. Leite, and P. L. D. Peres. Discrete-time switched systems: Pole location and strutural constrained control. In Proceedings of the 42nd
IEEE Conference on Decision and Control, pages 6242–6247, Maui, Hawaii, USA,
December 2003.
[MS04]
O. Mason and R. Shorten. On common quadratic Lyapunov functions for stable
discrete-time LTI systems. IMA Journal of Applied Mathematics, 69:271–283, 2004.
[MZRZ07]
Y. Mao, Q. Zhang, Y. Ren, and X. Zhang. H∞ guaranteed cost control for timedelay uncertain discrete systems. IEEE Transactions on Automatic Control, pages
1–6, July 2007.
[Oga85]
K. Ogata. Engenharia de Controle Moderno. Prentice Hall Brasil, Rio de Janeiro,
Brasil, 1985.
[OP07]
R.C.L.F. Oliveira and P.L.D. Peres. Parameter dependent LMIs in robust analysis:
characterization of homogenous polinomially parameter-dependent solution via lmi
relaxations. IEEE Transactions on Automatic Control, 52(2):1334–1340, July 2007.
[OP10]
R. C. L. F. Oliveira and P. L. D. Peres. Tutoriais XV III Congresso Brasileiro
de Automática, chapter Análise e Controle de Sistemas Lineares por meio de Desigualdades Matriciais Lineares, pages 203–227. Cultura Acadêmica Editora, 2010.
[PABB00]
D. Peaucelle, D. Arzelier, O. Bachelier, and J. Bernussou. A new robust D-stability
condition for real convex polytopic uncertainty. Systems & Control Letter, 40:21–
30, May 2000.
Bibliografia
111
[PCE+ 05]
R. M. Palhares, C. D. Campos, P. Ya. Ekel, M. C. R. Leles, and M. F. S. V.
D’Angelo. Delay-dependent robust H∞ control of uncertain linear systems with
lumped delays. IEE Proceedings — Control Theory and Applications, 152(1):27–
33, January 2005.
[RGLP09]
L. A. Rodrigues, E. N. Gonçalves, V. J. S. Leite, and R. M. Palhares. Robust reference model control with LMI formulation. In Proceedings of the IASTED International Conference on Identifications, pages 127–132, Cambridge, UK, December
2009.
[Ric03]
J. P. Richard. Time-delay systems: An overview of some recent advances and open
problems. Automatica, 39:1667–1694, April 2003.
[RN09]
F. Rassol and S. K. Nguang. Quantised robust H∞ output feedback control of
discrete-time systems with random communication delays. In Proceedings of the
2009 IEEE International Conference on Control and Automation, pages 1399–1404,
New Zealand, December 2009.
[RNHZ10]
F. Rassol, S. K. Nguang, D. Huang, and L. Zhang. Quantised robust H∞ control
of discrete-time systems with random communication delays. In Proceedings of the
48th IEEE International Conference on Decision and Control and 28th Chinese
Control Conference, pages 4081–4086, Shanghai, China, December 2010.
[SDM07]
S. B. Stojanovic, D. Lj. Debeljkovic, and I. Mladenovic. A Lyapunov-Krasovskii
methodology for assimptotic stability of discrete time delay systems. Serbia Journal
of Electrical Engineering, 4(2):109–117, November 2007.
[SFL10]
M. Sun, D. Fu, and P. Lin. D-stability analysis for discrete system with time delay. In International Conference On Computer Design And Application (ICCDA),
volume 3, pages 239–242, Qinhuangdao, China, August 2010.
[SL10]
L. F. P. Silva and V. J. S. Leite. Sı́ntese robusta com alocação regional de pólos
e custo garantido H∞ para sistemas discretos no tempo com múltiplos atrasos nos
estados. In Anais do XVIII Congresso Brasileiro de Automática, pages 187–192,
Bonito, MS, Brasil, Setembro 2010.
[SLMN10]
L. F. P. Silva, V. J. S. Leite, M. F. Miranda, and E. G. Nepomuceno. D-stabilization
with minimization of the H∞ -guaranteed cost for uncertain discrete-time systems
with multiple delays in the state. In Proceedings of the 49th IEEE Conference on
Decision Control, pages 998–1003, Atlanta, GA, USA, December 2010.
[SLRW08]
X. M. Sun, G. P. Liu, D. Rees, and W. Wang. Stability of systems with controller failure and time-varying delay. IEEE Transactions on Automatic Control,
53(10):2391–2396, November 2008.
112
Bibliografia
[SPL08]
F. O. Souza, R. M. Palhares, and V. J. S. Leite. Improved robust H∞ control
for neutral systems via discretized Lyapunov-Krasovskii functional. International
Journal of Control, 81(9):1462–1474, September 2008.
[STPB09]
P. Seiler, U. Topcu, A. Packard, and G. Balas. Parameter-dependent Lyapunov
functions for linear systems with constant uncertainties. IEEE Transactions on
Automatic Control, 54(10):2410–2416, October 2009.
[Tak98]
R. H. C. Takahashi. Controle Singular de Sistemas Incertos. PhD thesis, Universidade Estadual de Campinas, Maio 1998.
[VB00]
J. G. VanAntwerp and R. D. Braatz. A tutorial on linear and bilinear matrix
inequalities. Journal of Process Control, 10:363–385, August 2000.
[WB95]
C. R. Wylie and L. C. Barret. Advanced Engineering Mathematics. McGraw-Hill,
6th edition, 1995.
[WB02]
Z. Wang and K. J. Burnham. Lmi approach to output feedback control for linear
uncertain systems with D-stability constraints. Journal of Optimization Theory
and Applications, 113:357–372, May 2002.
[WHH06]
Y. Weili, J.-F. Han, and S.-Q. Hu. On new suffcient condtions for the Schur
D-stability of discrete dynamic interval systems. In Proceedings of the 15th International Conference on Machine Learning and Cybernetics, pages 1558–1560,
Dalian, China, August 2006.
[WL10]
Z. Wang and W. Li. New delay-dependent robust stability criteria for uncertain
systems with interval time-varying delay. In Proceedings of the 2nd International
Workshop on Congress on Intelligent Control and Automation, pages 1–3, Wuhan,
Hubei, China, May 2010.
[WLXG05] Q. Wang, J. Lam, S. Xu, and H. Gao. Delay-dependent and delay-independent
energy-to-peak model approximation for systems with time-varyins delay. Internacional Journal of Systems Science, 36:445–460, June 2005.
[XL10]
S. Xu and J. Lam. A survey of linear matrix inequality techniques in stability
analysis of delay systems. International Journal of Systems Science, 39(12):1095–
1113, December 2010.
[XLS+ 07]
Y. Xia, G. P. Liu, P. Shi, D. Rees, and E. J. C. Thomas. New stability and stabilization conditions for systems with time-delay. International Journal of Systems
Science, 38(1):17–24, January 2007.
[XLZ02]
S. Xu, J. Lam, and L. Zheng. Robust D-stability analysis for uncertain discrete
singular systems with state delay. IEEE Transactions on Circuits and Systems I:
Fundamental Theory and Application, 49:551–555, April 2002.
Bibliografia
113
[ZCC06]
L. Zhang, Y. Chen, and P. Cui. Delay-dependent guaranteed cost control for
uncertain discrete -time state-delayed systems. In Proceedings of the 6th World
Congress on Intelligent Control and Automation, pages 2244–2248, Dalian, China,
June 2006.
[Zho99]
K. Zhou. Essential of Robust Control. Prentice Hall, May 1999.
[ZHW06]
X.-M. Zhang, Q.-L. Han, and M. Wu. A new finite sum inequality for delaydependent H∞ control of discrete-time delay systems. In Proceedings of the 6th
World Congress on Intelligent Control and Automation, pages 364–368, Dalian,
China, June 2006.

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