Lösungshinweise

Georg Nöldeke
Frühjahr 2011
Entscheidung unter Unsicherheit
Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 3
1. Die Ableitungen der Bernoulli-Nutzenfunktion u(x) = x2 sind
u0 (x) = 2x,
u00 (x) = 2 > 0.
Da u00 (x) > 0 für alle x > 0 gilt, ist die Nutzenfunktion nicht konkav, sondern streng
konvex. Ein Individuum mit einer solchen Bernoulli-Nutzenfunktion ist nicht risikoavers sondern streng risikofreudig.
2. Die Ableitungen der Bernoulli-Nutzenfunktion
1
u(x) = x − bx2 mit b > 0
2
sind
u0 (x) = 1 − bx,
u00 (x) = −b.
Da u00 (x) < 0 für alle x ∈ X gilt, ist die Funktion streng konkav und stellt somit eine
streng risikoaverse Präferenzrelation dar. Das Mass der absoluten Risikoaversion ist
ρA (x) = −
u00 (x)
b
=
.
0
u (x)
1 − bx
Da der Nenner eine streng fallende Funktion von x ist, ist dieses eine streng steigende
Funktion von x, so dass das Mass der absoluten Risikoaversion steigend ist, d.h. es
liegt steigende absolute Risikoaversion vor.
3. (a) Für die Nutzenfunktion u(x) = a − b exp{−rx} gilt:
u0 (x) = br exp{−rx} > 0
u00 (x) = −br2 exp{−rx} < 0
br2 exp{−rx}
=r>0
br exp{−rx}
ρR (x) = rx
ρA (x) =
Diese Bernoulli-Nutzenfunktion hat also die Eigenschaft der konstanten absoluten
Risikoaversion.
Hinweis: Es gibt keine anderen streng konkaven Bernoulli-Nutzenfunktionen,
welche konstante absolute Risikoaversion aufweisen. Da zudem die Konstanten a
und b > 0 keinen Einfluss auf die dargestellte Präferenzrelation haben, kann man
sich auf Bernoulli-Nutzenfunktionen der Form u(x) = − exp{−rx} mit r > 0
beschränken.
1
(b) Für die Nutzenfunktion a + b ln(x) gilt
b
>0
x
b
u00 (x) = − 2 < 0
x
1
ρA (x) = > 0
x
ρR (x) = 1
u0 (x) =
Diese Nutzenfunktion ist also streng steigend und streng konkav. Sie besitzt die
Eigenschaften der fallenden absoluten und konstanten relative Risikoaversion.
Hinweis: Wiederum haben die Konstanten a und b > 0 keinen Einfluss auf
die dargestellte Präferenzrelation, so dass man sich aus dieser Klasse auf die
Nutzenfunktion u(x) = ln(x) beschränken kann.
(c) Für die Nutzenfunktion u(x) = x1−β /(1 − β) gilt:
u0 (x) = x−β > 0
u00 (x) = −βx−β−1 < 0
β
ρA (x) =
x
ρR (x) = β
Diese Bernoulli-Nutzenfunktion ist also streng steigend und zugleich streng konkav. Sie hat fallende absolute und konstante relative Risikoaversion.
Hinweis: Zusammen mit der in der vorhergehenden Teilaufgabe betrachteten
Bernoulli-Nutzenfunktion, die in Bezug auf die Masse der Risikoaversion dem
Fall β = 1 entspricht, lassen sich so alle streng risikoaversen Präferenzrelationen
mit konstanter relativer Risikoaversion darstellen.
4. Eine Bernoulli-Nutzenfunktion u (genauer: Ein Individuum, dessen Präferenzrelation
über Lotterien durch diese Bernoulli-Nutzenfunktion dargestellt werden kann) ist laut
Satz aus der Vorlesung genau dann risikoaverser als eine Bernoulli-Nutzenfunktion v,
wenn die Masse der absoluten Risikoaversion
ρA (x, u) ≥ ρA (x, v)
(1)
für alle x gilt.
Für u(x) = ln(x) wurde bereits in der vorhergehenden Aufgabe ρA (x, u) = 1/x gezeigt.
Für v(x) = ln(x + 3) gilt:
1
> 0,
x+3
1
v 00 (x) = −
< 0,
(x + 3)2
v 0 (x) =
und somit
ρA (x, v) = −
v 00 (x)
1
=
.
v 0 (x)
(x + 3)
Nun gilt offenkundig 1/x > 1/(x + 3), so dass (1) sogar mit strenger Ungleichung gilt.
Also ist u streng risikoaverser als v.
2
5. (a) Der Erwartungswert ist
E[L] = p1 x1 + p2 x2 = 0.25 · 1 + 0.75 · 9 = 7.
(b) Das Sicherheitsäquivalent c ist die Lösung der Gleichung
p
u(c(L)) = p1 u(x1 ) + p2 u(x2 ) ⇔ c(L) = 0.25 · 1 + 0.75 · 3 = 2.5.
Also gilt c(L) = 6.25.1 Die Risikoprämie ist die Differenz zwischen Erwartungswert und Sicherheitsäquivalent also
π(L) = 7 − 6.25 = 0.75.
(c) Nun gilt
u(c(L)) = p1 u(x1 ) + p2 u(x2 ) ⇔ c(L)2 = 0.25 · 1 + 0.75 · 81 = 61
√
und das Sicherheitsäquivalent beträgt
somit c(L) = 61 ≈ 7.81. Die Risikoprämie
√
ist entsprechend π(L) = 7 − 61 ≈ −0.81. Die Risikoprämie ist hier negativ,
da die betrachtete Bernoulli-Nutzenfunktion streng risikofreudig ist – vergleiche
Aufgabe 1.
6. Das Individuum zieht die Lotterie L2 vor, da
1√
1√
0+
4=1
2
2
und
7√
1√
10
>1
1+
9=
8
8
8
gilt und somit Lotterie L2 den grösseren Erwartungsnutzen hat. Beachte, dass dieses
der Fall ist obgleich L2 die grössere Varianz hat und beide Lotterien den gleichen
Erwartungswert besitzen.
7. Siehe Abbildung 1.
1 Beachten Sie: das Sicherheitäquivalent ist nicht der Erwartungsnutzen der Lotterie - hier 2.5 - sondern
der sichere Geldbetrag, der diesen Nutzen liefert - hier 6.25.
3
√
Abbildung 1: Die Indifferenzkurven zu der Bernoulli-Nutzenfunktion u(x) = x sind blau
dargestellt. Dieses sind parallele Geraden mit Steigung 2. Die Steigung 2 ergibt sich daraus,
dass die Lotterie e2 indifferent zu der Lotterie (1/3, 0, 2/3) ist, die im Machina-Dreieck
durch den Punkt (1/3, 2/3) dargestellt wird. Diese Indifferenzkurven unterscheiden sich
von den, hier schwarz dargestellten, Indifferenzkurven eines risikoneutralen Individuums
dadurch, dass sie steiler verlaufen. Ein risikoneutrales Individuum ist nämlich zwischen e2
und der Lotterie (5/9, 0, 4/9) indifferent, die im Machina-Dreieck durch den Punkt (5/9, 4/9)
dargestellt wird. Die Steigung der schwarzen Indifferenzkurven ist also 4/5.
4