Numero 10 - Abril de 2003

Transcrição

FAMAT em Revista
www.famat.ufu.br
Revista Científica Eletrônica da
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG
f
Número 10 - Abril de 2008
e-mail: [email protected]
Comitê Editorial: Ednaldo Carvalho Guimarães - Famat/Ufu
Luis Antonio Benedetti - Famat/Ufu
Marcos Antônio da Câmara - Famat/Ufu
Gabriela Aparecida dos Reis - Petmat - Famat/Ufu
Claiton José Santos - Petmat - Famat/Ufu
Maria Luisa Maes - DAMAT - Famat/Ufu
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A Revista FAMAT em Revista chega a sua décima edição cumprindo a
proposta de ser uma forma ágil de promover a circulação de idéias, de estimular o
estudo da Matemática e despertar a curiosidade intelectual dos estudantes e de todos
aqueles que se interessam pelo estudo de Matemática.
O Comitê editorial desta décima edição é composto por:
Ednaldo Carvalho Guimarães – Editor Responsável
Marcos Antonio da Câmara – Tutor do PET/Matemática
Luis Antonio Benedetti – Coordenador do Curso de Matemática
Gabriela Aparecida dos Reis - Aluna do Pet/Matemática
Claiton José Santos – Aluno do Pet/Matemática
Maria Luiza Maes - Representante do DAMAT
O décimo número da revista contempla as atividades desenvolvidas no
segundo semestre de 2007 e parte do primeiro semestre de 2008.
O sucesso e a aceitação da revista no meio acadêmico ficam evidenciados pelo
consistente número de artigos submetidos para a publicação, tanto na seção de
trabalhos completos de iniciação científica como na seção de trabalhos desenvolvidos
em sala de aula.
Convidamos o leitor a “navegar” pelas páginas desta décima edição onde
encontrará 13 trabalhos na seção “Trabalhos Completos de Iniciação Científica” e 5
trabalhos na seção “Em Sala de Aula”.
As resoluções dos problemas apresentados na nona edição e quatro novos
problemas proposto para a décima edição encontram-se em “Problemas e Soluções”.
Na seção “Reflexões sobre o Curso de Matemática”, o Prof. Luiz Antônio
Benedetti, Coordenador de Curso de Graduação em Matemática, apresenta a segunda
parte do artigo “A Beleza da Matemática”.
Em “E o Meu Futuro Profissional” temos uma interessante entrevista com
José Eduardo Ferreira Lopes sobre a Estatística no Mercado de Trabalho, mostrando
uma área de atuação em franco desenvolvimento para o profissional formado em
Matemática e Estatística.
Nas seções, “Merece Registro”, “Iniciação Científica em Números” e
“Eventos” são apresentados alguns fatos de destaque na Faculdade de Matemática, as
orientações e os projetos de Iniciação Científica desenvolvidos ou em
desenvolvimento, no período, e registramos também alguns importantes eventos que
ocorrerão ao longo de 2008.
Esperamos que os leitores apreciem esta décima edição da FAMAT em Revista
e contamos com contribuições e sugestões para edições futuras.
Comitê Editorial
Índice de Seções
Seção 1: Trabalhos Completos de Iniciação Cientı́fica
7
Seção 2: Problemas e Soluções
177
Seção 3: Eventos
183
Seção 4: Reflexões sobre o Curso de Matemática
189
Seção 5: Em Sala de Aula
195
Seção 6: Iniciação Cientı́fica em Números
261
Seção 7: E o meu Futuro Profissional?
271
Seção 8: Merece Registro
277
FAMAT em Revista
www.famat.ufu.br
Trabalhos Completos de
Iniciação Científica
PBIIC-FAPEMIG-UFU - Programa de Bolsas Institucionais de Iniciação Científica da
Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais
PETMAT-UFU - Programa de Educação Tutorial da Faculdade de Matemática
PIBIC-CNPq-UFU - Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica do
Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico
PROMAT-UFU - Programa Institucional de Iniciação Científica e Monitoria da Faculdade de Matemática
IM-AGIMB - Instituto do Milênio - Avanço Global e Integrado da Matemática Brasileira
Comitê Editorial da Seção
Trabalhos Completos de Iniciação Científica
do Número 10 da FAMAT EM REVISTA:
Ednaldo Carvalho Guimarães (coordenador da seção)
Valdair Bonfim
Marcos Antônio da Câmera
Instruções para submissão de Trabalhos
A Seção de Trabalhos de Iniciação Cientı́fica visa divulgar trabalhos que estejam associados a projetos cadastrados na(o) PBIIC-FAPEMIG / PETMAT / PIBIC-CNPq /
PROMAT ou IM-AGIMB e orientados por docentes da FAMAT.
Trabalhos completos em nı́vel de iniciação cientı́fica dos programas acima listados
submetidos para publicação na Revista Eletrônica “Famat em Revista” estarão sujeitos
a apreciação pelo Comitê Editorial responsável por essa seção de artigos e, se for o caso,
por consultores ad hoc ligados à área ou subárea do trabalho. Caso se faça necessário,
sugestões para o aperfeiçoamento do trabalho serão dirigidas aos interessados pelo Comitê
Editorial.
Além da redação clara e concisa que todo trabalho submetido à boa qualidade deve
possuir, pede-se evitar o estilo árido e extremamente técnico caracterı́stico de algumas
publicações matemáticas, não perdendo de vista que o público-alvo ao qual se destina a
revista é constituı́do por alunos de graduação.
Os trabalhos submetidos até o final de um semestre letivo serão publicados na edição
da revista lançada no inı́cio do semestre letivo subseqüente.
Quanto às normas técnicas para submissão dos trabalhos:
1) Formato do arquivo: PDF
2) Tamalho da Folha: A4
3) Margens: 2,5 cm (portanto, área impressa: 16 cm x 24,7 cm)
4) Tamanho de fonte (letra): 12 pontos (exceto tı́tulos, subtı́tulos, notas
de rodapé, etc, que ficam submetidos ao bom senso)
5) Espaçamento entre linhas: Simples
6) Orientador(es), tipo de programa e orgão de fomento (se houver)
devem constar no trabalho.
Envio:
Por e-mail: [email protected]
Índice de Trabalhos
Os co-senos expressáveis com radicais reais
13
Rafael Afonso Barbosa e Antonio Carlos Nogueira
O uso do gráfico de controle X̄ e no monitoramento
do volume de envase de refrigerante
21
Mateus Araújo Kappel e Aurélia Aparecida de Araújo Rodrigues
Aplicação do método dos elementos finitos mistos
e hı́bridos na obtenção da velocidade de Darcy - Sistema
Linear resultante resolvido pelo método dos gradientes conjugados
32
Ernani Magno de Freitas Júnior e César Guilherme de Almeida
Os componentes da Análise de Variância explicados
via Álgebra Linear
45
Marteus Bartolo Guerreiro e Edmilson Rodrigues Pinto
Um estudo de caso sobre o nı́vel de conhecimento em
Probabilidade e Estatı́stica dos alunos concluintes do Ensino Médio
62
Denise Nunes de Melo e Edmilson Rodrigues Pinto
Análise quantitativa da relação entre notas de tarefas e notas
de provas bimestrais: estudo de caso das 5a séries da ”Escola
Estadual de Uberlândia”
81
Juscelina Dias Mendonça e Ednaldo Carvalho Guimarães
Classificação do Coeficiente de Variação da Unidade
do Solo em experimentação Agrı́cola
94
Franciella Marques da Costa, Juliana Maria de Oliviera, Marcelo Tavares
e Ednaldo Carvalho Guimarães
Efeito de tendência no ajuste de Semivariogramas Esféricos
Alessandra Ribeiro da Silva, Marcelo Tavares e Ednaldo Carvalho Guimarães
102
Polı́gonos Regulares e Complexidade Algébrica 2 e 3: alguns
problemas de Geometria Euclidiana Plana
112
Luciana Yoshie Tsuchiya, Gabriela Aparecida dos Reis e Edson Agustini
Aplicação Normal de Gauss em Superfı́cies Regulares: parabolóides
osculadores
125
Thiago Rodrigues da Silva e Edson Agustini
O Uso da Álgebra Linear nas Equações Diferenciais
143
Letı́cia Garcia Polac e Lúcia Resende Pereira Bonfim
Algumas Aplicações da Teoria dos Grafos
155
Giselle Moraes Resende Pereira e Marcos Antônio da Câmara
Novas Operações com Matrizes: Algumas de Suas
Propriedades e Aplicações
Otoniel Nogueira da Silva e Valdair Bonfim
167
CO-SENOS EXPRESSÁVEIS COM
RADICAIS REAIS
Rafael Afonso Barbosa
Bolsista do programa PETMAT - Faculdade de Matemática - Universidade Federal de Uberlândia
Antonio Carlos Nogueira
Professor Doutor da Faculdade de Matemática - Universidade Federal de Uberlândia
1. OBJETIVO:
Um dos principais temas que aprendemos ao estudar trigonometria é o valor numérico
do seno e do co-seno de alguns ângulos específicos, por exemplo:
Com isso podemos ver imediatamente que há ângulos ( e ) cujo co-seno é
um número racional, e ângulos ( e ) cujo co-seno não é um número racional,
mas pode se expressar partindo dos números racionais mediante alguma combinação de
somas, produtos e extração de raízes reais. Seja como for, há muitos ângulos da forma
para os quais não conhecemos o valor do seno ou do co-seno. Existe alguma
expressão racional para o co-seno ou o seno de ou ? Podemos encontrar uma
fórmula na qual só apareçam somas, produtos, quocientes e radicas de números racionais, para
o seno ou co-seno de qualquer ângulo do tipo
?
Então o objetivo principal deste trabalho é descobrir algum critério que nos diga
quando um certo ângulo do tipo com ,
possui o co-seno e o seno expressos apenas por combinações de números racionais e radicais
2. ALGUMAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
a) c) d) b) e) f) g) Identidade de Bézout
Se , então existem de modo que .
Em particular quando e são primos entre si, ou seja, temos que
sempre existem tais que .
3. DESENVOLVIMENTO
Analisando a relação fundamental podemos perceber que ,
daí vemos que se o co-seno de um ângulo qualquer pode ser expresso com números racionais
e radicais o seu seno também poderá. Assim reduzimos o caso do estudo do seno ao estudo de
co-seno. Vamos apresentar alguns casos particulares que ilustram tal afirmação:
1) sabendo que o substituindo na identidade acima teremos que,
é um ângulo do terceiro quadrante sabemos que
, como
.
substituindo novamente encontraremos
2) sabemos também que que, , positivo já que
é ângulo do
seu seno é negativo então primeiro quadrante.
Podemos observar então dois casos em que o co-seno é expresso por radicais reais e
por conseguinte seu seno também é.
Sabemos também que . logo, é
o
expresso por radicas se, e só se o o for. Podemos deduzir do e . Mas, de maneira geral, o poderá se expressar
com racionais e radicais se, e somente se, para todos , também for .
pode ser expresso com
?
racionais e radicais, o que podemos dizer de Observando que,
Chegamos assim à seguinte questão, se o pode ser expresso por radicais e como o também será , então
também poderá, supomos então que para o também poderá ser
utilizando indução matemática chegamos a conclusão que expresso satisfatoriamente para todo . Sendo assim o nosso estudo fica reduzido em
pode ser expresso mediante números racionais e raízes
analisar quais casos o racionais.
Propomos então o estudo dos casos e os casos do tipo
quando sabemos de antemão que e podem ser
expressos com radicais.
Sabendo que o 1. Estudando o caso :
!
uma raiz quinta da unidade é raiz da equação
teremos que .
é raiz de , então
, logo teremos que
vem que , que é equivalente a
, usando a
identidade (b) temos,
, substituindo por teremos a
, como
equação . Resolvendo-a encontraremos Supondo
, teremos que .
2. Estudando o caso :
Supondo
!
uma raiz sétima da unidade teremos que
.
é raiz da equação
, logo teremos que
é raiz de ,
então temos que
que é
, realizando as somas necessárias teremos
. Usando as identidades
. Logo, trigonométricas, "
é raiz da equação cúbica acima.
3. Estudando o caso :
Supondo
!
uma raiz sétima da unidade teremos que
" .
é raiz da equação
é raiz de,
, logo teremos que
"
então temos que,
"
que é
, realizando as somas necessárias
"
. Usando
teremos novamante as identidades trigonométricas teremos
"
. Logo, é raiz da equação cúbica
acima.
Ao resolvermos as equações cúbicas dos casos e vemos que
aparecerão radicais de números negativos e não somente radicais reais, portanto não é claro
que tais co-senos possam ser expressos como queremos.
Observação: Usando um racicínio análogo ao realizado para os ângulos acima
podemos demonstrar que o também pode ser expresso usando apenas somas,
produtos, quocientes e radicas de números racionais.
em que e podem
ser expressos com radicais, com e primos entre si.
4. Estudemos agora o caso do Temos então da identidade de Bézout, que sempre existem e inteiros tais que
, já que #$% . Visto que usando o co-seno da soma teremos
. Logo, o
será expresso com racionais e radicais se, e somente se, também são o
e o .
Sabendo então que , , e são
expressáveis por radicais reais façamos todas as combinações possíveis para com
. Pensando assim construímos a tabela:
1
2
3
"
4
Como provamos que se o é expressável por radicais reais o
com também será, temos então que todos os ângulos da forma:
, , ... , , .
também poderão ser expressos mediante alguma combinação de somas, produtos, quocientes,
raízes reais de números racionais.
pode ser expresso através de somas,
produtos, quocientes, raízes reais de números racionais.
Teorema: Para todo o Demonstraremos usando o princípio de indução matemática.
Assumindo agora que para teremos que o poderá ser expresso
usando apenas radicais reais.
Provemos então que para o mesma maneira. Temos então:
também poderá ser expresso da
Como pode ser expresso usando apenas radicais reais. Temos que o
também poderá.
É fácil observar que usando este teorema podemos criar mais uma infinidade de
ângulos que satisfarão as condições exigidas.
4. Conclusão
Durante o desenvolvimento do trabalho percebemos que encontrar todos os ângulos
cujo co-seno pode ser expresso por radicais reais não é uma tarefa simples. Para isso é
necessário conhecer algumas complexas técnicas matemáticas que estão fora do nosso
alcance. No entanto, demonstramos aqui algumas condições interessantes que tais
ângulos devem satisfazer e apresentamos algumas maneiras de encontrá-los. Desta
forma, conseguimos apresentar em nosso estudo uma infinidade de ângulos cujo coseno pode se expressar partindo dos números racionais mediante alguma combinação
de somas, produtos e extração de raízes reais como havíamos proposto.
O uso do gráfico de controle X e R no monitoramento do volume de envase de
refrigerante
Mateus Araújo Kappel 1
[email protected]
Aurélia Aparecida de Araújo Rodrigues 2
[email protected]
Resumo
O monitoramento efetivo das características da qualidade de um processo de produção
depende freqüentemente de ferramentas estatísticas para a detecção, identificação e análise
das causas significantes responsáveis por variações que afetam o comportamento do processo
de maneira imprevisível. Os gráficos de controle são ferramentas estatísticas utilizadas com
sucesso no monitoramento do desempenho de diferentes processos industriais. O objetivo
deste trabalho é utilizar os gráficos de controle X e R para monitorar o processo de envase de
refrigerantes da Indústria de Refrigerantes Ltda (IRL) e verificar se o processo está
estatisticamente em controle. A variável monitorada aqui foi o volume de envase de
refrigerantes em embalagens PET de 2 litros. Utilizou-se o software Minitab para
implementar o gráfico X e R.
Palavras-chave: gráficos de controle, controle estatístico de processos, gráficos X e R.
1. INTRODUÇÃO
Em um processo produtivo, as características dos produtos apresentam variabilidade
(desvio em relação ao valor desejado), ou seja, nunca é possível produzir dois produtos ou
itens exatamente iguais. Existem dois tipos de causas de variação que podem estar presentes
em um processo de produção: as causas especiais e as causas comuns. As causas especiais
podem ser localizadas e eliminadas, como por exemplo, diferenças entre máquinas, variações
entre lotes de matérias-primas e diferenças entre fornecedores; já as causas comuns de
variação, são intrínsecas ao processo, naturais e não podem ser eliminadas. Assim, coloca-se a
questão de reconhecer quando a variabilidade observada no processo é natural ou se há causas
especiais presentes.
A qualidade de um produto está relacionada com essa variabilidade, no sentido de que,
quanto menor o desvio, melhor a qualidade do produto. Assim, controlar a qualidade é
controlar a variabilidade. Produzir com mais qualidade e menor custo são palavras essenciais
no mercado competitivo das empresas.
O controle estatístico do processo (CEP) consiste de um conjunto de técnicas
estatísticas que permitem a redução sistemática da variabilidade nas características da
qualidade de interesse, contribuindo para a melhoria da qualidade intrínseca, da
produtividade, da confiabilidade e do custo do que está sendo produzido (Ribeiro, 2000).
A ferramenta utilizada para monitorar os processos de produção é o gráfico de
controle. Em 1924, Walter A. Shewhart, da Bell Telephone Laboratories, foi quem primeiro
desenvolveu e aplicou os gráficos de controle, com o objetivo de observar se a variabilidade
do processo é devida às causas especiais de variação. Para sua operação, o processo é
1
2
Aluno de graduação em Engenharia Mecânica (UFU) e de Iniciação Científica (PROMAT).
Orientadora.Professora Adjunto da Faculdade de Matemática (UFU).
monitorado da seguinte maneira: periodicamente, retira-se uma amostra de certo número de
itens do processo, calcula-se uma ou mais estatísticas amostrais (como média e/ou amplitude
ou desvio-padrão) e registram-se seus valores no(s) gráfico(s) de controle.
A figura 1 mostra um esquema ilustrativo de um gráfico de controle. A variação
devida a causas especiais está sinalizada por pontos acima do limite superior de controle
(LSC) ou abaixo do limite inferior de controle (LIC). As causas especiais de variação devem
ser, de modo geral, localizadas e eliminadas. E, além disso, devem-se adotar medidas para
evitar sua reincidência. Se nenhuma causa especial é sinalizada pelo gráfico e somente causas
comuns estão agindo no processo, diz-se que o processo está em controle. Caso contrário, isto
é, se alguma causa especial estiver atuando no processo, tem-se, então, um processo fora de
controle.
LSC
LM
LIC
Variação devida a
causas especiais
Variação devida
a causas comuns
Variação devida
a causas especiais
Figura 1: Ilustração esquemática de um gráfico de controle
O modelo geral de um gráfico de controle tradicional, ou gráfico de controle de
Shewhart, é, como foi visto , composto pela Linha Média (LM) e pelos limites LIC e LSC,
cujos valores (coordenadas no eixo vertical) são calculados por:
LSC = Pw + LVw
(1)
LM = Pw
(2)
LIC = Pw – LVw
(3)
onde w é a estatística de interesse, Pw e Vw são sua média e seu desvio-padrão na hipótese de o
processo estar em controle, e L é a distância dos limites de controle em relação à linha média,
expressa em unidades de desvios-padrão Vw. Quando os valores de Pw e Vw forem
desconhecidos, esses valores deverão ser estimados a partir de amostras preliminares do
processo, num período de tempo em que se acredite que ele está em controle (Montgomery,
2004)
Se a característica de qualidade de interesse for representada por variáveis contínuas
(mensuráveis), como por exemplo, teor de carbono em uma liga metálica, diâmetro de um
eixo, volume de saquinhos de leite ou volume de latas de refrigerante, então, os tipos de
gráfico indicado para monitorar o processo são os gráficos de controle por variáveis.
Os gráficos de controle para variáveis resultam na utilização do gráfico da média ( X ),
que é o mais usado para controlar a média de um processo, e do gráfico da amplitude (R) ou
do gráfico do desvio-padrão (S), que controlam a variabilidade do processo. Em certas
situações é recomendável e usual a implantação simultânea dos gráficos de X e R ou S para
controlar a média e a variabilidade do processo.
A Indústria de Refrigerantes Ltda (IRL), que é mais conhecida como Refrigerantes
Golé, foi inaugurada em 1º de Setembro de 1966. Atualmente, com sede em Uberaba - Minas
Gerais, na região do Triângulo Mineiro, a IRL atende quase todo Triângulo e Alto Paranaíba,
atendendo cidades como: Uberlândia, Araguari, Araxá, Nova Ponte, Conceição das Alagoas,
Delta e outras.
Na IRL, a equipe responsável pelo controle de qualidade retira amostras de 2 garrafas
a cada meia hora para medir a quantidade de gás carbônico e o volume de envase de
refrigerante das garrafas. Além disso, ocorre também inspeção visual constante após a
rotulagem, onde um funcionário inspeciona o nível do volume e a presença de alguma não
conformidade da produção.
Através do monitoramento é possível observar e analisar o comportamento do volume
de refrigerante no processo de envase, que deve ser mantido em níveis adequados com a
finalidade de evitar tanto perdas por excesso de volume nas garrafas como apresentar um
volume abaixo do seu volume nominal, ou seja, aquele volume citado no rótulo do produto,
que poderá causar multas geradas pelo organismo responsável pela fiscalização, resultando
insatisfação ou até perda de clientes.
Alternativamente, é possível monitorar o volume de refrigerantes no processo de
envase utilizando os gráficos de controle, que é uma ferramenta estatística simples de
construir e fácil de utilizar, o qual pode complementar ou substituir com vantagens o método
de controle adotado pela IRL. A eficácia de um gráfico de controle é medida pela rapidez com
que esse método detecta e sinaliza alterações no processo, o que permite que ações sejam
tomadas para evitar que itens não conformes sejam produzidos.
O objetivo deste trabalho é utilizar o gráfico de controle X e R para monitorar o
processo de produção de refrigerantes da Indústria de Refrigerantes Ltda (IRL) e verificar se o
volume de envase nas embalagens PET (politereftalato de tila) de 2 litros está estatisticamente
em controle.
2. MATERIAL E MÉTODOS
2.1 Coleta de dados
Para a realização do trabalho, os dados foram fornecidos pela Indústria de
Refrigerantes Ltda (IRL) de Uberaba-MG, que é mais conhecida pelos consumidores, como
Refrigerantes Golé, a qual produz e/ou engarrafa refrigerantes de vários sabores, água
mineral, refrescos e bebida ice (mistura levemente gaseificada de vodka com suco de limão).
O Controle de Qualidade de qualquer empresa tem como objetivo acompanhar e dar
suporte em todo processo de fabricação, mantendo um padrão e assegurando as características
do produto final para o consumidor. Na IRL, esse controle inicia com a chegada da matériaprima na fábrica, que passa por dois laboratórios (microbiologia e físico-química) de controle
de qualidade (IRL, 2008). Após aprovação da matéria-prima pelos laboratórios, inicia-se o
processo de produção, que também é acompanhado continuamente pelos técnicos do setor até
obtenção do produto final. Além disso, para avaliação desse produto, os técnicos da empresa
coletam periodicamente amostras (uma amostra por lote fabricado) nos mais variados pontos
de venda (IRL, 2008).
Para a qualidade do refrigerante, é muito importante o acompanhamento diário e
eficiente do sistema de envase. Na IRL, o processo de envase de refrigerante ocorre em um
local, com acesso restrito, onde há inspeção de características como o volume de envase e a
higiene. Posteriormente, as embalagens envasadas são rotuladas e codificadas (datadas e
numeradas com o número do lote). Finalizado o processo de produção, as garrafas são
embaladas e armazenadas.
Neste trabalho, a variável de interesse é o volume de envase de refrigerante em
garrafas PET de 2 litros, cuja peça fundamental do processo é a máquina envasadora,
fabricada pela KHS, vide Figura 2. A envasadora contém 28 bicos injetores independentes, a
qual funciona com sistema a vácuo. Para facilitar o enchimento, a máquina envasadora é
dotada de bombas que retiram o ar antes da entrada da bebida. Nestas bombas, o vácuo é
obtido por colunas barométricas, equipamento que utiliza jatos de água para produzir pressão
negativa numa tubulação. Nesse tipo de sistema, em geral, perde-se água, uma vez que parte
da água sai junto com o ar que é expelido das garrafas.
Fonte: KHS (2008)
Figura 2: Ilustração de uma máquina de envase atual -KHS
A máquina envasadora da IRL possui um número grande de bicos injetores, os quais
são independentes. Neste trabalho, a fim de facilitar o processo de coleta de dados e análise,
foram coletadas amostras de volumes de envase em apenas um bico. Vale ressaltar que o
gráfico de controle aqui aplicado pode ser estendido para a implementação do monitoramento
dos demais bicos injetores e, assim, promover um monitoramento simultâneo de todos os
bicos do processo de envase.
Como não se dispunha de um histórico do volume de envase, foi durante a fase inicial,
chamada fase 1, que se obteve amostras preliminares a fim de identificar os parâmetros do
processo (média e desvio padrão) e determinar os limites de controle ideais dos gráficos X e
R, sem a influência de causas especiais. Uma discussão sobre o planejamento do número de
amostras m, do tamanho n dessas amostras e do intervalo entre cada amostra t é encontrada
em Montgomery (2004).
Neste trabalho, para a fase 1 do monitoramento da produção, foram coletadas vinte
amostras (m = 20) de tamanho 5 (n = 5), com intervalos de 15 minutos entre cada amostra
(t = 15 min). Cada amostra foi medida através de proveta graduada e registrada na tabela 1.
Para a implementação da fase 2, que visa o monitoramento futuro da produção, foram
coletadas mais quinze amostras (m = 15) de tamanho 5 (n = 5), com intervalos de 15 minutos
entre cada amostra (t = 15 min). Cada amostra foi medida através de proveta graduada e
registrada na tabela 2.
Tabela 1: Volume de refrigerante, em ml, fase 1
Amostra
Xi1
Xi2
Xi3
Xi4
Xi5
Xi
Ri
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2020,0
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2010,0
2025,0
2020,0
2005,0
2005,0
2000,0
1998,0
2000,0
2005,0
2000,0
1995,0
2012,0
2007,0
1996,0
1999,6
2000,4
2002,8
2000,2
2001,2
2002,0
2001,2
2010,4
2009,0
2002,0
2006,0
1999,6
1997,2
2002,0
2006,0
2002,0
1998,6
25,0
10,0
20,0
2,0
4,0
5,0
7,0
4,0
5,0
12,0
25,0
20,0
5,0
10,0
2,0
7,0
5,0
10,0
5,0
5,0
X = 2002,8 R = 9,4
Tabela 2: Volume de refrigerante, em ml, fase 2.
Amostra
Xi1
Xi2
Xi3
Xi4
Xi5
Xi
Ri
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2000,0
1990,0
2010,0
2000,0
2000,0
2020,0
2005,0
2000,0
2000,0
1990,0
2005,0
2010,0
2005,0
2010,0
2005,0
2000,0
2005,0
2010,0
2005,0
2005,0
2010,0
2020,0
2005,0
2003,0
2000,0
2005,0
2000,0
2000,0
2010,0
2000,0
1980,0
2000,0
2000,0
2000,0
2005,0
2010,0
2020,0
2005,0
2010,0
2010,0
2000,0
2005,0
2010,0
2020,0
2010,0
1980,0
1990,0
2020,0
2010,0
2005,0
2010,0
2020,0
2000,0
2010,0
2010,0
2020,0
2010,0
2005,0
2010,0
2005,0
1995,0
1995,0
2000,0
1990,0
2005,0
2020,0
2010,0
2010,0
2010,0
2000,0
2010,0
2025,0
2010,0
2000,0
2010,0
1991,0
1996,0
2008,0
2001,0
2004,0
2014,0
2015,0
2004,0
2006,6
2002,0
2008,0
2010,0
2006,0
2010,0
2006,0
20,0
15,0
20,0
20,0
5,0
10,0
15,0
10,0
10,0
20,0
20,0
25,0
10,0
20,0
10,0
X = 2005,4 R = 5,3
2.2 Gráficos de controle para X e R
Neste trabalho, será utilizado o gráfico de controle X e R, que é recomendado para
monitorar, respectivamente, a média e a variabilidade de um processo cuja variável de
interesse é contínua , por exemplo volume de refrigerante (Montgomery, 2004).
O monitoramento é feito através da análise periódica de amostras: a cada intervalo de
tempo h retira-se uma amostra de tamanho n para análise. Para cada amostra, é calculada a
média X dos valores medidos e a amplitude amostral R, que é a diferença entre o maior e o
menor valor da amostra. Os valores de X e R das várias amostras são plotados,
respectivamente, nos gráficos da média e da amplitude.
Sendo a característica de qualidade X, com distribuição normal e o processo em
controle, têm-se
n
¦X
X
ij
j 1
Xi
(4)
n
normalmente distribuída com média e variância dadas, respectivamente, por
EX Var X (5)
P0
(6)
V 02 n
onde Xij é o j-ésimo elemento do i-ésimo amostra, n é o tamanho das amostras.
Logo, os limites de controle do gráfico de X , com os limites de 3V propostos por Shewhart,
fazendo L = 3 nas equações (1) a (3) são:
LSC X = P 0 3V 0 / n
(7)
LM X = P0
(8)
LIC X = P0 3V 0 / n
(9)
Já os limites de controle para o gráfico R, também situados usualmente a três desviospadrão de afastamento da média, são:
LSCR = d2V0 + 3d3V0
(10)
LMR = d2V0
(11)
LICR = d2V0 - 3d3V0
(12)
As constantes d2 e d3 dependem apenas do tamanho da amostra n, vide quadro 1.
Quadro 1:Valores das constantes d2 e d3
n
2
1,128
3
1,693
4
2,059
5
2,326
6
2,534
7
2,704
8
2,847
9
2,970
10
3,078
11
3,173
12
3,258
0,853
0,888
0,880
0,864
0,848
0,833
0,820
0,808
0,797
0,787
0,778
Fonte: Costa et al. (2004)
Segundo Costa et al. (2004), na prática, os valores de P0 e V0 não são conhecidos com
exatidão absoluta, e, portanto, suas estimativas disponíveis são utilizadas em seu lugar. De um
conjunto inicial de m amostras, a estimativa usual para P0 é o valor médio das médias das
amostras:
m
¦ Xi
X
i 1
(13)
m
onde X i é a média da i-ésima da amostra, enquanto que a estimativa para V0, em caso de se
estar utilizando o gráfico de X em conjunto com um gráfico de R, é
R
d2
Sd
(14)
sendo R é a média aritmética dos m valores de Ri
m
¦R
i
R
(15)
i 1
m
Aqui, Sd é adotado como estimativa do desvio-padrão do processo, por ser robusto às
alterações na média do processo e por ser simples de calcular (Costa et al ,2004).
Suspeita-se que um processo esteja fora de controle quando um ponto se encontra
acima do limite de controle superior ou abaixo do limite de controle inferior, ou ainda, se os
pontos apresentam um padrão, como por exemplo, pontos consecutivos crescendo ou
decrescendo. Outras regras que identificam indícios de processos fora de controle foram
desenvolvidas e são chamadas de regras suplementares (Costa et al., 2004).
Quando for localizado um ponto fora dos limites de controle ou identificado um
comportamento não aleatório dos pontos no gráfico, passa-se, então, ao processo de
investigação para descobrir se, de fato, o processo está fora de controle; e se ele, de fato,
estiver, as causas especiais devem ser removidas.
3. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Primeiramente, será verificado se as médias amostrais ( X i ) do volume de envase de
refrigerante em garrafas PET de 2 litros, as quais serão usadas nas fases 1 e 2, seguem uma
distribuição normal.
Através do gráfico de probabilidade normal e do teste de normalidade de KolmogorovSmirnov, mostrados na figura 3, conclui-se que as médias amostrais do volume de envase de
refrigerante em garrafas PET de 2 litros, obtidas das tabelas 1 e 2, se comportam como uma
distribuição aproximadamente normal.
Fase 2
99
99
95
95
90
90
80
80
70
Probabilidade
Probabilidade
Fase 1
60
50
40
30
20
70
60
50
40
30
20
10
10
5
5
1
1990
1995
2000
2005
Médias
2010
2015
Kolmogorov-Smirnov: 0,196
p-valor: 0,045
2020
1
1980
1990
2000
2010
2020
2030
Médias
Kolmogorov-Smirnov: 0,110
p-valor: >0,15
Figura 3: Gráfico de probabilidade normal e teste de normalidade Kolmogorov-Smirnov
3.1. Fase 1: análise retrospectiva
Foi durante a fase inicial (fase 1) que se obteve amostras preliminares a fim de
identificar os parâmetros do processo (média e desvio padrão) e determinar os limites de
controle ideais dos gráficos X e R, os quais não são influenciados pelas causas especiais.
Abaixo, no gráfico 1, apresentam-se os gráficos X e R que foram construídos para os dados
da tabela 1, utilizando no software Minitab.
1
1
Sample Mean
2010
1
UCL=2008,18
2005
_
_
X=2002,76
2000
LCL=1997,34
1
1995
1
1
3
5
7
9
11
Sample
1
13
15
17
19
1
24
Sample Range
1
1
UCL=19,88
18
12
_
R=9,4
6
0
LCL=0
1
3
5
7
9
11
Sample
13
15
17
19
Gráfico 1: Gráfico X e R para o volume de envase - Fase 1.
Interpretação do gráfico 1: os pontos referentes às amostras 1, 3, 11, 12 e 16, estão
fora do limite de controle, indicando presença de causas especiais. Após investigação,
constatou-se que essas observações foram influenciadas por causas especiais (má regulagem
das válvulas e dos bicos de enchimento da máquina envasadora, má estocagem e utilização
não sistemática das garrafas PET, vazamento e perda de pressão na tubulação, excesso de “set
up” em decorrência do uso da linha para a produção de mais que um produto, falta de um
controlador que atue diretamente na regulagem do sistema, troca de operadores, excesso de
cuidado para não obter produtos com volume abaixo do valor nominal e sofrer penalizações
do INMETRO e erros atribuídos a medição da proveta). Portanto, as observações 1, 3, 11, 12
e 16 foram eliminadas. Restaram as 15 observações que são mostradas na tabela 3.
Tabela 3: Volume de refrigerante após eliminação, em ml, fase 1
Amostra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Xi1
2010,0
2000,0
2000,0
2000,0
2000,0
2000,0
2005,0
1998,0
2005,0
2010,0
2000,0
2000,0
2000,0
2005,0
2000,0
Xi2
2010,0
2000,0
1998,0
2002,0
2003,0
2004,0
2000,0
2000,0
2000,0
2010,0
2000,0
2005,0
2005,0
2000,0
2000,0
Xi3
2010,0
2000,0
2002,0
2002,0
2000,0
2002,0
2000,0
1998,0
2000,0
2000,0
1998,0
2005,0
2010,0
2000,0
1998,0
Xi4
2005,0
1998,0
2000,0
2005,0
2002,0
2000,0
2005,0
2000,0
2000,0
2005,0
2000,0
2000,0
2010,0
2005,0
2000,0
Xi5
2000,0
2000,0
2002,0
2005,0
1996,0
2000,0
2000,0
2010,0
2005,0
2005,0
2000,0
2000,0
2005,0
2000,0
1995,0
Xi
2007,0
1999,6
2000,4
2002,8
2000,2
2001,2
2002,0
2001,2
2002,0
2006,0
1999,6
2002,0
2006,0
2002,0
1998,6
Ri
10,0
2,0
4,0
5,0
7,0
4,0
5,0
12,0
5,0
10,0
2,0
5,0
10,0
5,0
5,0
X = 2002,04 R = 6,07
A seguir, no gráfico 2, apresenta-se o gráfico de controle X e R após a eliminação
dos pontos influenciados por causas especiais.
2008
1
1
Sample Mean
2006
1
UCL=2005,54
2004
_
_
X=2002,04
2002
2000
LCL=1998,54
1
2
3
4
5
6
7
8
Sample
9
10
11
12
13
14
15
UCL=12,83
Sample Range
12
9
_
R=6,07
6
3
0
LCL=0
1
2
3
4
5
6
7
8
Sample
9
10
11
12
13
14
15
Gráfico 2: Gráfico X e R para o volume de envase, após eliminação, fase 1.
Interpretação do gráfico 2: os pontos referentes às amostras 1, 10 e 13 estão fora do
limite de controle, indicando presença de causas especiais. Após investigação, não se
constatou que essas observações foram influenciadas por causas especiais. Portanto, o
conjunto das observações da tabela 3 será usado com referência para calcular os limites de
controle da fase 2.
De qualquer forma, como há mais de um ponto fora dos limites, suspeita-se que o
processo não esteja estável. O ideal seria voltar à etapa inicial e prolongar o período de coleta
de dados até obter observações suficientes (Costa et al , 2004). Se esta recomendação fosse
seguida, provavelmente a faixa entre os limites de controle seria muito “estreita”, tornando o
monitoramento extremamente rigoroso, com sinais de alerta freqüentes, o que não é desejável
na prática. Aqui, optou-se por faixa “larga” entre limites com o compromisso de reavaliá-los
periodicamente, ou seja, a busca pelo processo ideal será feita de forma gradativa e contínua.
3.2. Fase 2: Monitoramento da produção
A tabela 3 apresenta os valores de Xij , X e R das 15 amostras de tamanho 5 ( m = 15,
n = 5), sem observações influenciadas por causa especiais. Logo, utilizando a equação (13)
R
6,07
obtém-se P̂ 0 = X = 2002,04 e utilizando a equação (14) obtém-se V̂ 0 =
= 2,61.
=
d 2 2,326
Para se obter os limites de controle que serão usados no monitoramento futuro a seguir
no gráfico 3, P̂ 0 e V̂ 0 foram substituídas nas equações (7) a (12).
No gráfico 3, observações 1 a 15 correspondem aos dados da tabela 3 e as observações
de 16 a 30 correspondem aos dados do monitoramento da tabela 2,
Sample M ean
1
2010
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2000
U C L=2005,54
_
_
X=2002,04
LC L=1998,54
1
1990
1
1
4
7
10
13
16
Sample
19
22
25
28
1
24
Sample Range
1
18
1
1
1
1
1
1
1
U C L=12,84
12
_
R=6,07
6
0
LC L=0
1
4
7
10
13
16
Sample
19
22
25
28
Gráfico 3: Gráfico X e R para monitoramento do volume de envase, fase 2
Interpretação do gráfico 3: os pontos 16 e 17, correspondentes respectivamente às
observações 1 e 2 da tabela 2, estão abaixo do limite inferior; o que indica presença de causas
especiais. Após análise dos dados, observa-se que essas observações foram coletadas no início
do turno, o que pode ter afetado o processo. Os pontos 18 a 30 correspondem,
respectivamente, às observações 3 a 15 da tabela 2. Note que a maioria desses pontos
ultrapassou os limites de controle, o que mostra que houve alteração na média e na
variabilidade. O gráfico 3 sinalizou a variação na média das observações monitoradas, ou
seja, a média deslocou de 2002,04 ml (fase 1) para 2005,4 ml (fase 2)
4. CONCLUSÃO
Os gráficos de controle são uma das principais técnicas do controle estatístico de
processos. Seu uso é vantajoso para monitorar a variabilidade natural do processo sinalizando
uma falta de controle diante da presença de uma causa especial. Além disso, estas técnicas
estatísticas produzem informações através do valor de seus parâmetros e sua estabilidade
sobre o tempo que permitem a estimativa da capacidade do processo. Quando fontes não
comuns de variação estão presentes, pode aparecer a demarcação de pontos fora dos limites de
controle ou alguma forma de seqüência e/ou tendência. Isto é um sinal que alguma
investigação deve ser feita no processo com a tomada de ação corretiva para remover as
fontes de variabilidade. O uso sistemático de gráficos de controle é uma excelente maneira de
reduzir a variabilidade (Alves, 2003).
Neste trabalho, foi utilizado o gráfico de controle X e R para monitorar o processo
de envase de refrigerantes da empresa IRL (Indústria de Refrigerantes Ltda). O gráfico de
controle X e R sinalizou alterações na média e na variabilidade desse processo,
identificando, portanto, que o processo de envase de refrigerantes em embalagens PET de 2
litros não apresentava estabilidade estatística. Se o monitoramento tivesse sido feito em tempo
real, algumas medidas poderiam ter sido tomadas já no primeiro ponto fora dos limites de
controle, a fim de evitar que produtos com a média de volume acima da que foi
preestabelecida na fase 1 continuassem sendo produzidos.
O processo de envase de refrigerantes em embalagens PET de 2 litros, assim como
qualquer outro, deve ser monitorado continuamente. Recomenda-se rever periodicamente os
limites, mesmo que o processo permaneça estável. Os limites devem ser revistos quando
melhorias no processo são feitas (Montgomery e Runger, 2003).
A implementação de técnicas de controle estatístico de processo, em qualquer
ambiente, pode ser feita por um funcionário que possua conhecimentos de estatística básica e
que tenha sido adequadamente treinado para implementar o gráfico de controle. O uso dessas
técnicas promoverá um aumento na capacidade de produção, com diminuição do custo de
fabricação e elevação da produtividade, sem qualquer investimento adicional em novos
equipamentos e utilizando os dados que são habitualmente gerados.
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALVES, C. C. Gráficos de Controle CUSUM: um enfoque dinâmico para a análise estatística
de processos. Dissertação de Mestrado, UFSC, 2003.
COSTA, A. F. B.; EPPRECHT, E. K.; CARPINETTI, L. C. R. Controle Estatístico de
Qualidade. São Paulo: Editora Atlas, 2004.
IRL. Indústria de Refrigerantes Ltda (homepage
<http://www.gole.com.br>. Acesso em 06/04/2008.
internet)
Disponível
em
KHS. Indústria de Máquinas Ltda (homepage
<http://www.khs.com>. Acesso em 06/04/2008.
internet)
Disponível
em
na
MONTGOMERY, D. C. Introduction to Statistical Quality Control. 5. ed. New York: John
Wiley, 2004.
MONTGOMERY, D. C.; Runger G. C. , Estatística Aplicada e Probabilidade para
Engenheiros.São Paulo, LTC, 2003.
RIBEIRO, J. L. D., TEN CATEN, C. S. Controle Estatístico do Processo. Série monográfica
Qualidade. Apostila do programa de pós graduação em engenharia de produção – PPGEP
– UFRGS, Porto Alegre, 2000
APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MISTOS E HÍBRIDOS
NA OBTENÇÃO DA VELOCIDADE DE DARCY – SISTEMA LINEAR
RESULTANTE RESOLVIDO PELO MÉTODO DOS GRADIENTES CONJUGADOS
Ernani Magno de Freitas Júnior – [email protected]
Bolsista PETMAT, Universidade Federal de Uberlândia, Faculdade de Matemática
CEP: 38408-100 – Uberlândia, MG, Brasil
César Guilherme de Almeida – [email protected]
Universidade Federal de Uberlândia, Faculdade de Matemática
CEP: 38408-100 – Uberlândia, MG, Brasil
Resumo. O objetivo deste trabalho é apresentar uma técnica de aproximação para a solução
de equações elípticas, utilizando espaços de Raviart-Thomas de baixa ordem. Em especial,
será considerada a equação que fornece a velocidade de Darcy para escoamentos em meios
porosos, levando-se em conta malhas regulares e domínio retangular. A técnica empregada é
conhecida como o método dos elementos finitos mistos e híbridos. Neste caso, a variável
principal do sistema linear oriundo da discretização é denominada Multiplicador de
Lagrange e está associada a cada uma das arestas dos elementos finitos (formulação
híbrida). Na formulação mista, são considerados dois espaços apropriados: um contém
funções escalares e o outro contém funções vetoriais. Assim, pode-se aproximar,
simultaneamente, a pressão e o gradiente de pressão.
Palavras-chaves: Elementos finitos, Métodos numéricos, Equações diferenciais parciais
1.
INTRODUÇÃO
Aplicações científicas e tecnológicas em contextos tais como recuperação terciária em
reservatórios de petróleo e transporte de contaminantes em aqüíferos tem motivado pesquisas
que visam o desenvolvimento de simuladores para o estudo de escoamentos de fluidos
miscíveis em meios porosos com o auxílio de métodos numéricos precisos.
O deslocamento miscível é um processo de recuperação de petróleo de alto custo, que
tem atraído atenção considerável da indústria de petróleo nos últimos 40 anos. Este processo
envolve a injeção de um solvente em certos poços num reservatório de petróleo, com a
intenção de deslocar o óleo residente para outros poços, chamados de produção. Este óleo
pode ter sido deixado para trás depois de uma produção primária, devido à pressão existente
no reservatório, e depois de uma produção secundária, por injeção de água no reservatório. A
economia do processo é precária, pois exige uma etapa química muito cara para separar as
componentes da mistura (óleo mais solvente) e, ainda por cima, o sucesso do deslocamento
não é garantido. Um comportamento físico complexo determinará se a recuperação de
petróleo será suficientemente boa, justificando então o alto investimento do processo.
Matematicamente, o processo de recuperação terciária é descrito por uma equação
diferencial parcial parabólica dominada por convecção, para cada componente química no
sistema. Estas equações são não-lineares e fortemente acopladas. Somando-se as equações
componentes, obtém-se uma equação que determina a pressão no sistema. Esta equação nãolinear é elíptica ou parabólica, dependendo se o sistema é incompressível ou compressível.
Então, este problema envolve uma equação elíptica, ou parabólica, acoplada a uma equação
aproximadamente hiperbólica, dando origem a um sistema com comportamento não-linear
complicado.
Este é um problema de difícil aproximação numérica e bons modelos numéricos são
primordiais para a indústria, pois as previsões de custo de um projeto têm como base
simulações numéricas precisas.
O primeiro passo para se iniciar simulações de um reservatório, consiste no
desenvolvimento de um bom modelo físico que descreva adequadamente, e de forma
significativa, o fenômeno de escoamento de um fluido. É a natureza do modelo físico que
indicará quais os modelos matemáticos e numéricos mais convenientes. O modelo matemático
considerado neste trabalho, para o processo de deslocamento miscível em um meio poroso,
consiste em equações diferenciais parciais do tipo convecção-difusão, cujas soluções
apresentam o movimento das frentes de ondas, que são bem acentuadas, porém contínuas.
O processo de convecção, ou transporte físico, dos fluidos através do meio poroso
aparece tanto em deslocamento miscível, como no imiscível. Em nível macroscópico (escala
de laboratório), este processo é governado pela lei de Darcy. Deve-se salientar que em nível
microscópico, na escala de um poro, a convecção é altamente irregular. Na verdade, a lei de
Darcy foi derivada rigorosamente a partir da equação de Stokes (veja, por exemplo, Souto,
2005) por um processo de médias sobre amostras de volumes. Detalhes sobre dispersão
podem ser encontrados em Russel & Wheeler (1983).
A lei descoberta, em 1856, pelo engenheiro Henry D’Arcy é comumente empregada em
modelos de regimes de escoamentos de fluidos em meios porosos. Esta lei estabelece a
relação básica entre a taxa volumétrica do fluxo (Q) e o gradiente de pressão (∇p; p = p(x,y) ≡
p(x)), afirmando que a taxa volumétrica é diretamente proporcional ao gradiente de pressão
do fluido e à área (A) da seção transversal normal à direção do fluxo e inversamente
proporcional à viscosidade (μ =μ(x)) do fluido. Isto permite definir o conceito de
permeabilidade (K = K(x)), que quantifica a capacidade do meio poroso em transportar fluido.
Desprezando-se os efeitos gravitacionais, a velocidade superficial do fluido é dada por
u = Q/A = -(K/μ)∇p, ∀ x ∈ Ω,
(1)
onde Ω = [0, X] × [0, Y] ⊂ 42 é um domínio retangular.
Simulações numéricas com alta resolução, envolvendo cálculos acurados da velocidade
de Darcy, Eq. (1), são essenciais para se obter uma descrição precisa de fenômenos
multiescala em escoamentos multifásicos e monofásicos em meios porosos, tais como
problemas de contaminação de aqüíferos e processos de recuperação secundária e terciária de
petróleo. Isto justifica a obtenção de métodos numéricos eficientes, de baixo custo
computacional e de rápida convergência.
As técnicas de discretização utilizadas neste trabalho são aplicadas em uma equação
elíptica,
∇.u = q ( q = q(x) é um termo de fonte),
(2)
associada ao deslocamento de dois fluidos miscíveis e incompressíveis; mas também podem
ser aplicadas em equações provenientes de outros tipos de escoamento em meios porosos. A
metodologia aqui apresentada será útil, por exemplo, na investigação de técnicas numéricas
para o cálculo de permeabilidades efetivas (ou equivalentes) em meios porosos heterogêneos.
Um estudo sobre este assunto foi desenvolvido no artigo de Durlofsky (1991), utilizando um
tensor de permeabilidade.
Seguindo a mesma técnica sugerida em Chavent e Roberts (1991), mas considerando,
também, a possibilidade de se trabalhar com um tensor de permeabilidade K, ao invés de
considerar apenas permeabilidade escalar, a discretização da equação da pressão, Eq. (2),
usará elementos finitos mistos e híbridos.
Maiores informações sobre elementos finitos mistos e híbridos podem ser obtidas nos
artigos de Douglas, Furtado e Pereira (1997) (escoamento imiscível), e de Almeida, Douglas e
Pereira (2002) (escoamento miscível).
A matriz do sistema linear proveniente da aproximação da equação elíptica, por
elementos finitos, será simétrica e definida positiva. Desta forma, os métodos numéricos
usuais, como o Método dos Gradientes Conjugados, poderão ser empregados na resolução
deste sistema. Neste trabalho, pretende-se enfatizar a técnica de pré-condicionamento.
2.
FORMULAÇÃO FRACA PARA A VELOCIDADE DE DARCY
É importante salientar que a função escalar p (pressão) pertence ao espaço H1(Ω) = {f ∈
L2(Ω); fx ∈ L2(Ω) e fy ∈ L2(Ω)}: espaço de Sobolev, onde f e suas derivadas parciais de
primeira ordem, fx e fy, são de quadrado integrável em Ω. Já a função u (velocidade de Darcy)
pertence ao espaço H(div, Ω) = {F = (f, g) ∈ L2(Ω) × L2(Ω); ∇.F ∈ L2(Ω)}: espaço das
funções vetoriais cujo divergente é de quadrado integrável, com funções coordenadas também
de quadrado integrável em Ω.
Em um primeiro momento, considere a permeabilidade uma função escalar. Sendo assim,
denote por a o valor de K/μ > 0, na Eq. (1). Então, o objetivo é obter uma formulação fraca
para a equação: u = - a∇p. Para esta finalidade, será exibido a seguir um espaço vetorial que
fornecerá aproximações para o campo de velocidades.
2.1 Espaço de Raviart-Thomas
Denote, respectivamente, nx e ny os números de subintervalos de [0, X] e [0, Y]
(associados ao domínio retangular Ω), e, hx = X/nx, hy = Y/ny, os comprimentos desses
subintervalos. Então, considerando-se a partição do domínio em elementos retangulares do
tipo E = [xi-1, xi] × [yj-1, yj], onde xi = ihx, 1 ≤ i ≤ nx, yj = jhy, 1 ≤ j ≤ ny, x0 = 0, y0 = 0, o
espaço vetorial de Raviart-Thomas, sobre tal elemento, é gerado pelas funções vetoriais:
WR =
1
(x – xi-1, 0),
hx h y
WL =
1
(x - xi, 0);
hx h y
(3)
WU =
1
(0, y – yj-1 ),
hx h y
WD =
1
(0, y - yj ).
hx h y
(4)
Observe que as quatro funções base são linearmente independentes, portanto, o espaço
vetorial gerado por tais funções possui dimensão quatro. É este espaço que fornecerá
aproximações para o campo de velocidades em E. As letras R, L, U e D são referentes às
arestas direita, esquerda, de cima e de baixo, respectivamente, do elemento E. Assim, a
velocidade de Darcy, neste elemento, é aproximada por:
u = uRWR + uLWL + uUWU + uDWD ≡ Σα uα Wα,
(5)
onde uα, α ∈ {R, L, U, D}, são denominadas componentes ortogonais do fluxo através das
interfaces na direção normal exterior. Como exemplo, considere a aresta R com vetor unitário
1
normal exterior dado por ηR = (1, 0). Note que ³³E u.ηR dx =
³³E uR dx dy = uR (a área de
hx h y
E é igual a hx hy).
2.2 Relação entre as componentes do fluxo, os multiplicadores de Lagrange e a pressão
A forma variacional para a Eq. (1) (velocidade de Darcy) é expressa pela seguinte
equação integral:
³³E (1/a) u.W dx = - ³³E ∇p.W dx,
∀ W ∈ H(div, E).
A formulação fraca da equação anterior é obtida considerando que: u satisfaz à Eq. (5); a
função a é constante em cada elemento E, assumindo aí o valor aE; a função p é constante em
cada elemento E, com valor pE no interior, e com valores ƐE,β constantes em cada uma das
arestas que compõe a fronteira de E; e, finalmente, W = Wβ, β ∈ {R, L, U, D}. Desta forma,
obtém-se a seguinte equação:
³³E (1/a) Σα uα Wα .Wβ dx ≡ (1/aE )Σα uα ³³E Wα .Wβ dx = - ³³E ∇p. Wβ dx.
(6)
Para facilitar as contas que surgirão no desenvolvimento da Eq. (6), use a seguinte troca
de variáveis: x = xi-1 + χ hx, y = yj-1 + γ hy. Assim,
WR = (1/hy ) (χ , 0),
WL = (1/hy) (χ -1, 0);
(7)
WU = (1/hx ) (0, γ ),
WD = (1/hx) (0, γ -1).
(8)
Seja AE,βα = hx hy ³³εε Wα .Wβ dχ dγ, onde ε é o quadrado [0, 1] × [0, 1]. Com o objetivo
de construir a matriz AE = (AE,βα), β, α ∈ {R, L, U, D}, considere as seguintes definições.
Arestas Conjugadas. Se α = L, então α* = D; se α = R, então α* = U; se α = D, então
α* = L; se α = U, então α* = R.
Arestas Opostas. Se α = L, então α’ = R; se α = R, então α’ = L; se α = D, então α’ =
U; se α = U, então α’ = D.
Arestas Transversais. Se α = R (ou α = L), então α⊥ ∈ {U, D}; se α = U (ou α = D),
então α⊥ ∈ {R, L}.
Agora, observe que Wβ = (Wβ,1, Wβ,2) possui a seguinte propriedade:
Wβ, 2 = 0, se β ∈ {R, L}
e
Wβ,1 = 0, se β ∈ {U, D}
(9)
Desta forma, segue-se que
1
1
0
0
AE,β β = hx hy ³ Wβ2,1 dχ, se β ∈ {R, L} e AE,β β = hx hy ³ Wβ2, 2 dγ, se β ∈ {U, D}.
Em relação às arestas transversais, vale a seguinte propriedade:
Wβ,i Wβ⊥,i = 0, i ∈ {1, 2}.
(10)
Assim, AE,β β⊥ = 0, para toda aresta β ∈ {R, L, U, D}. Já para as arestas opostas vale a seguinte
propriedade:
Wβ,2 = Wβ’,2 = 0, se β ∈ {R, L} e Wβ,1 = Wβ’,1 = 0, se β ∈ {U, D}.
(11)
Logo, obtém-se que
1
1
0
0
AE,β β’ = hx hy ³ Wβ ,1 Wβ’,1 dχ, se β ∈ {R, L} e AE,β β’ = hx hy ³ Wβ , 2 Wβ’,2 dγ, se β ∈ {U, D}.
É fácil perceber que existe uma similaridade entre os elementos da matriz AE. Então,
calculando-se, por exemplo, AE,RR e AE,RL, imediatamente, por analogia, obtém-se os demais
elementos da matriz. A razão r = hx/hy, ou r-1, aparece nos cálculos destes elementos.
Utilizando esta notação tem-se que
AE,RR = hx hy ³ χ 2 dχ = r/3;
hy
0
1
2
1
AE,RL = hx hy ³
0
χ ( χ − 1) dχ = -r/6.
2
hy
Dos cálculos anteriores pode-se concluir que
0
0 ·
§ r /3 − r /6
¨
¸
0
0 ¸
¨− r /6 r /3
AE = ¨
0
0
r −1 / 3 − r −1 / 6 ¸
¨
¸
¨ 0
0
− r −1 / 6 r −1 / 3 ¸¹
©

§ 4r −1
¨ −1
¨ 2r
(AE) -1 = ¨
¨ 0
¨ 0
©
2r −1
4r −1
0
0
0
0
4r
2r
0·
¸
0¸
. (12)
2r ¸¸
4r ¸¹
Nestas matrizes a primeira, a segunda, a terceira e a quarta linha correspondem às arestas R,
L, U e D, respectivamente. O mesmo vale para as colunas.
Voltando a atenção para o lado direito da Eq. (6), observe que o divergente da função
vetorial pWβ é calculado como:∇⋅(pWβ) = ∇p⋅Wβ + p∇⋅Wβ ∇p⋅Wβ = ∇⋅(pWβ) - p∇⋅Wβ.
∂Wβ , 2
∂Wβ ,1
1
Das Eqs. (3) e (4) segue que ∇⋅Wβ =
. Lembre que a função p é
+
=
∂x
∂y
hx h y
constante em cada elemento E, assumindo em seu interior o valor pE. Aplique o Teorema da
Divergência no campo pWβ: ³³E ∇.(pWβ) dx = ³∂E pWβ.η dS, onde ∂E é a fronteira do elemento
E, que possui normal exterior unitária denotada por η. Como a integral é efetuada na fronteira
da região E, então a diferencial passa a ser denotada por dS. Assim, o lado direito da Eq. (6)
pode ser reescrito como:
- ³³E ∇p.Wβ dx = ³³E p∇.Wβ dx - ³∂E pWβ.η dS = pE - ³∂E pWβ.η dS.
³∂E
A fronteira de E possui quatro arestas, denotadas por Γα, α ∈ {R, L, U, D}. Desta forma
pWβ.η dS = Σα ³ p Wβ.ηα dSα. Considere a notação: hL = hR = hx; hD = hU = hy. De acordo
Γα
com as expressões de Wβ, Eqs. (3) e (4), as seguintes propriedades são obtidas:
Wβ ( Γβ’) = 0, para toda aresta β;
(13)
Wβ ( Γβ) =(1/hβ*)ηβ, para toda aresta β;
(14)
Wβ . ηβ⊥ = 0, para toda aresta β;
(15)
Assim, como p é constante na interface Γβ, com valor ƐE,β (chamado de multiplicador de
Lagrange), obtém-se que
³∂E pWβ.η dS =
³ p Wβ.ηβ dSβ = ƐE,β (o comprimento da aresta Γβ é hβ*).
Γβ
A forma matricial associada à formulação fraca, Eq. (6), da velocidade de Dacy é dada
por
AE (uE,R uE,L uE,U uE,D)T = aE {pE (1 1 1 1)T - (ƐE,R ƐE,L ƐE,U ƐE,D)T},
(16)
onde o sobrescrito T indica transposta de matriz. Observe que ficou evidenciada a
dependência das variáveis em relação ao elemento E. Utilizando a inversa da matriz AE,
obtém-se a relação entre as componentes de fluxo, a pressão e os multiplicadores de
Lagrange:
(uE,R uE,L uE,U uE,D)T = aE {pE (AE)-1(1 1 1 1)T - (AE)-1(ƐE,R ƐE,L ƐE,U ƐE,D)T}.
(17)
Com a finalidade de se obter uma expressão mais compacta, considere a seguinte notação
para a soma das linhas da matriz ÂE ≡ (AE)-1: sE,β = Σα ÂE,βα. Como a matriz é simétrica, este
valor também representa a soma das colunas de ÂE, ou seja, sE,β = Σα ÂE,αβ. Consultando a
Eq.(12), obtém-se que sE,β = 6rβ, onde rβ = r-1 , se β ∈ {R, L} e rβ = r, se β ∈ {U, D}. Logo,
uE,β = aE pE sE,β - aE Σα ÂE,βα ƐE,α, ∀ β ∈ {R, L, U, D}.
(18)
2.3 Relação de continuidade do fluxo
Dado um elemento E da partição do domínio Ω escolha uma aresta β qualquer deste
elemento. A notação para o elemento vizinho de E em relação à aresta β é dada por ̈́. Por
exemplo, se β = L, então ̈́ será o elemento vizinho à esquerda de E (na Fig. 1, ̈́ = Ei-1,j).
Ei,j+1
Ei-1,j
Eij
Ei+1,j
Ei,j-1
Figura 1. Elemento E = Ei,j da partição do domínio Ω e seus vizinhos.
As expressões de WE,β e de Ẅ́,β são completamente análogas. De onde segue que
ǘ,β’ = ä́ p̈́ s̈́,β’ - ä́ Σα Â̈́,β’α Ɛ̈́,α, ∀ β ∈ {R, L, U, D}.
(19)
Seguindo o mesmo raciocínio da subseção anterior, é fácil mostrar que AE = Ä́.
A continuidade do fluxo é garantida impondo-se a seguinte condição: ǘ,β’ + uE,β = 0.
Então, utilizando as duas equações anteriores, Eqs. (18) e (19) obtém-se que
ä́ p̈́ s̈́,β’ + aE pE sE,β = aE Σα ÂE,βα ƐE,α + ä́ Σα Â̈́,β’α Ɛ̈́,α.
3.
(20)
FORMULAÇÃO FRACA PARA A EQUAÇÃO ELÍPTICA
Agora, o interesse é obter uma formulação fraca para a equação elíptica, Eq. (2),
considerando-se a seguinte formulação variacional:
³³E v∇.u dx = ³³E vq dx, ∀ v ∈ L2(E).
(21)
A formulação fraca associada à Eq. (21), leva em consideração que: u pertence ao espaço
de Raviart-Thomas construído na Subseção 2.1 (veja a Eq. (5)); v e q são constantes no
elemento E, assumindo aí os valores vE e qE, respectivamente. A partir daí, lembrando que o
divergente de Wβ é o inverso da área de E, obtém-se Σβ uE,β ³³E∇.Wβ dx = qE hx hy. Assim, a
formulação fraca desejada é dada por
Σβ uE,β = qE hx hy ≡ ΦE.
(22)
Utilizando as expressões das componentes de fluxo dadas na Eq. (18), a equação anterior
torna-se Σβ {aE pE sE,β - aE Σα ÂE,βα ƐE,α} = ΦE aE pE Σβ sE,β - aE Σβ Σα ÂE,βα ƐE,α = ΦE.
Denote por SE o somatório Σβ sE,β e considere os comentários feitos antes da Eq. (18), para
obter:
aE pE SE - aE Σα sE,α ƐE,α = ΦE.
(23)
4.
FORMULAÇÃO HÍBRIDA - ELIMINAÇÃO DA VARIÁVEL PRESSÃO
Com a finalidade de se eliminar a variável pE do sistema de equações, defina a matriz σE
= (σE,βα ), β, α ∈ {R, L, U, D}, onde σE,β α = sE,α sE,β (SE)-1. Observe que tal matriz é simétrica.
Sabendo que sE,β = 6rβ (veja o parágrafo após a Eq. (17)), então SE = 12(r + r-1) = 12[(r2 +
1)/r] . Assim, σE,β α = 3[r/(r2 + 1)] rα rβ , onde rα rβ = (rβ)2, se α = β , ou se α = β’, e rα rβ = 1,
se α = β⊥. Desta forma, obtém-se
§ r −2
¨
¨ r −2
2
σE = 3[r/(r + 1)] ¨
¨ 1
¨ 1
©
r −2
r
−2
1
1
1
r2
1
r2
1·
¸
1¸
¸.
r2 ¸
r 2 ¸¹
Com a notação anterior, pode-se escrever a Eq. (23) da seguinte forma
aE pE sE,β = aE Σα { sE,α sE,β (SE)-1 ƐE,α } + ΦE sE,β (SE)-1 = aE Σα σE,β α ƐE,α + ΦE sE,β (SE)-1.
Seja ̈́ o elemento vizinho de E em relação a uma aresta β qualquer. Então, substituindose os valores de aE pE sE,β e ä́ p̈́ s̈́,β’ na Eq. (20) (continuidade do fluxo) obtém-se
ä́ Σα σ̈́,β’α Ɛ̈́,α + Φ̈́ s̈́,β’ (S̈́)-1 + aE Σα σE,βα ƐE,α + ΦE sE,β (SE)-1 =
= aE Σα ÂE,βα ƐE,α + ä́ Σα Â̈́,β’α Ɛ̈́,α,
ou seja,
aE Σα (ÂE,βα - σE,βα )ƐE,α + ä́ Σα (Â̈́,β’α - σ̈́,β’α )Ɛ̈́,α = ΦE sE,β (SE)-1 + Φ̈́ s̈́,β’ (S̈́)-1. (24)
De acordo com as definições anteriores é fácil mostrar que SE = S̈́ e que σ̈́ = σE.
Se β for uma aresta na fronteira do domínio denominada do tipo Neumann, na qual se
conhece o fluxo uE,β – condição de fronteira do tipo Neumann –, então a equação envolvendo
apenas os multiplicadores de Lagrange é obtida substituindo-se o valor de aE pE sE,β na Eq.
(18). Ou seja
aE Σα (ÂE,βα - σE,βα )ƐE,α = ΦE sE,β (SE)-1 - uE,β.
(25)
Impondo uma condição de Dirichlet na fronteira direita do domínio Ω, p = 0, por
exemplo, e uma condição de fluxo nulo (uE,β = 0, se β for uma aresta do tipo Neumann) nas
demais fronteiras do domínio, obtém-se um sistema linear com matriz simétrica e definida
positiva. As incógnitas deste sistema são os multiplicadores de Lagrange, conforme as Eqs.
(24) e (25).
Resolvendo-se o sistema linear, os multiplicadores de Lagrange são obtidos e a partir
deles é possível calcular, em cada Elemento E, a pressão (através da Eq. (23)) e, também, as
componentes ortogonais de fluxo (através da Eq. (18)). Atualmente, um código
computacional está sendo desenvolvido para resolver este sistema linear pelo Método dos
Gradientes Conjugados pré-condicionado, utilizando um pré-condicionador baseado na
decomposição incompleta de Cholesky da matriz dos coeficientes (veja, por exemplo,
Axelsson e Barker (1984)).
5.
FORMULAÇÃO HÍBRIDA USANDO UM TENSOR DE PERMEABILIDADES
§ k11 k ·
¸¸ simétrico e definido positivo na Eq. (1) e seguindo
Utilizando um tensor K = ¨¨
© k k 22 ¹
os mesmos passos desenvolvidos nas seções anteriores, obtém-se (no elemento E):
§ B11
(AE) -1 = ¨¨
© B21
B12 ·
¸;
B22 ¸¹
com blocos dois por dois dados por
B11 = (k22 r)-1 det(K)M,
B22 = (k11 r-1)-1 det(K)M,
§ −1 1 ·
¸¸ ,
B12 = B21 = -k ¨¨
© 1 − 1¹
onde
§4 +κ
M = ¨¨
©2 −κ
2 −κ ·
¸¸ , com κ = det(K-1)k2;
4 +κ ¹
§ C11 C12 ·
¸¸ ;
C
C
21
22
©
¹
σE = 3ρ ¨¨
onde ρ =[r det(K-1)k22k11]/[r2k22 + k11]
e os blocos dois por dois são dados por
C11 = [(r-1det(K))/k22] 2N; C22 = [(rdet(K))/k11] 2N; C12 = C21 = [det(K)] 2/(k11 k22)N,
§ 1 1·
¸¸ .
onde N = ¨¨
© 1 1¹
As equações correspondentes à Eq. (24) e à Eq. (25) são obtidas a partir das informações
anteriores. Observe que, no caso de um tensor de permeabilidades, as matrizes Ä́ e σ̈́ deixam
de coincidir com as matrizes AE e σE, pois, em geral, KE ≠ K̈́.
6. CONSTRUÇÃO DA MATRIZ GLOBAL DOS MULTIPLICADORES DE
LAGRANGE
Para se ter uma idéia da numeração das arestas correspondentes à partição do domínio em
malhas retangulares, veja o seguinte modelo:
13
17
21
7
8
12
4
9
16
5
11
1
6
15
2
10
20
19
3
14
18
Figura 2. Numeração da malha regular.
Utilizando a numeração apresentada na Fig. 2 obtém-se o seguinte modelo de matriz
global dos Multiplicadores de Lagrange (somente a diagonal e a parte inferior são exibidas,
pois a matriz é simétrica; X corresponde aos elementos não nulos da matriz, espaços em
branco são elementos nulos):
Figura 3. Modelo da matriz global – parte triangular inferior.
Para efeitos computacionais, a matriz anterior é armazenada em submatrizes construídas
da seguinte forma: i) Para cada tipo de aresta associa-se uma matriz que contém os elementos
da matriz global – parte triangular inferior e diagonal –; as arestas são dos seguintes tipos: αL:
numeração das arestas que pertencem à fronteira vertical esquerda do domínio retangular; αR:
numeração das arestas verticais que estão no interior do domínio, exceto aquelas
correspondentes à última interface vertical antes da fronteira direita do domínio; αFR:
numeração das arestas verticais que pertencem à última interface antes da fronteira direita do
domínio; αD: numeração das arestas que pertencem à fronteira inferior do domínio retangular;
αU: numeração das arestas horizontais que estão no interior do domínio retangular; αFU:
numeração das arestas horizontais que pertencem à fronteira superior do domínio retangular.
ii) As submatrizes que armazenam a diagonal e a parte inferior do sistema global são: ML,
MR, MFR, MD, MU, MFU. Os termos independentes são armazenados nos vetores: BL, BR,
BFR, BD, BU, BFU.
Observação: Na fronteira direita do domínio é imposta a condição de Dirichlet: ƐR = 0 –
pressão nula. Nas demais fronteiras a condição imposta é de fluxo nulo.
Considere, por exemplo, a aresta de número 8 na Fig. 2 (veja o destaque na Fig. 3); tratase de uma aresta interna do tipo αR. Observe que esta aresta está relacionada com as seguintes
arestas: 7, 8, 9, 12, 13, 16, 17, as quais pertencem aos elementos que contém a aresta 8. A
fórmula de sete pontos para esta aresta, obtida da Eq. (24), é dada por:
ƐE,L r-1aE {2 - [3/ (r2 + 1)]} + ƐE,R r-1(aE + ä́ ) {4 - [3/ (r2 + 1)]} +
Ɛ̈́,R r-1ä́ {2 - [3/ (r2 + 1)]} - ƐE,D aE [3 r/(r2 + 1)] - ƐE,U aE [3 r/(r2 + 1)] Ɛ̈́,D ä́ [3 r/(r2 + 1)] - Ɛ̈́,U ä́ [3 r/(r2 + 1)] = (qE + q̈́)hx hy [1/2( r2 + 1)].
7.
(25)
O MÉTODO DOS GRADIENTES CONJUGADOS
O método dos gradientes conjugados, aplicado a sistemas lineares, baseia-se na seguinte
equivalência: p* é solução de Ap = b ⇔ p* é ponto de mínimo de J(p) = ½ (pTA p) - pTb,
onde p*, p e b são vetores do 4n, A é simétrica (AT = A) e definida positiva (pTA p > 0, ∀ p ∈
4n, p ≠ 0 (vetor nulo), onde n é a ordem da matriz A.) e J é um funcional quadrático.
As definições apresentadas a seguir serão úteis para a compreensão do método.
Definição 7.1: Sejam p e P vetores do 4n. O produto interno canônico entre p e P é definido
por <p,P> = PTp.
No espaço vetorial 4n, são válidas as igualdades: <P,p> = pTP = PTp = <p,P>.
Definição 7.2: Seja A uma matriz quadrada de ordem n, simétrica e definida positiva. Sejam p
e P vetores do 4n. A seguinte operação define um produto interno em 4n: <p,P>A = PTA p =
<Ap,P>.
Da simetria da matriz A, conforme a definição 7.2, segue que <p,P>A = <P,p>A, ou,
equivalentemente, <Ap, P> = <p, AP>.
Definição 7.3: p e P, em 4n, são ditos A-conjugados se <p,P>A = 0.
Seja um sistema linear Ap = b, onde A é matriz de ordem n, simétrica e definida positiva;
o método dos gradientes conjugados consiste em obter aproximações, p(k+1), para a solução
do sistema linear – denotada por p* –, partindo de um vetor inicial p(0) e seguindo os passos:
i) r(0) = b – Ap(0) (resíduo inicial); d(0) = r(0) (direção inicial); ii) p(k+1) = p(k) + αk d(k) ; iii) r(k+1)
= b – Ap(k+1) = r(k) - αk Ad(k); iv) d(k+1) = r(k+1) + βk d(k), onde o escalar αk minimiza o funcional
quadrático J na direção d(k), ou seja, αk é ponto de mínimo da função g(α) = J(p(k) + α d(k)),
logo, p(k+1) é o ponto de mínimo de J na direção d(k); a nova direção, d(k+1), depende do
parâmetro βk, que é escolhido de modo que esta direção e a anterior sejam A- conjugadas, ou
seja, v) <d(k), d(k+1)>A = 0.
Com algumas manipulações algébricas chega-se a αk = (<r(k), d(k)>)(<d(k), d(k)>A)-1. Por
indução finita, pode-se mostrar que <r(k), d(k)> = <r(k), r(k)>, utilizando-se os itens i e iv
anteriores. Assim, vi) αk = (<r(k), r(k)>)(<d(k), d(k)>A)-1.
Dos itens iii, iv, v e vi segue que βk = (<r(k+1), r(k+1)> - <r(k+1), r(k)>)(<r(k), r(k)>)-1. Por
indução finita, pode-se mostrar que <r(k+1), r(k)> = 0, utilizando-se os itens i, iii, iv, v e vi
anteriores. Portanto, vii) βk = (<r(k+1), r(k+1)>)(<r(k), r(k)>)-1.
O lema apresentado a seguir (sem demonstração) garantirá a convergência do método dos
gradientes conjugados em n passos.
Lema 7.1: O conjunto {r(0), r(1), r(2), ..., r(k)} é ortogonal, ou seja, <r(i), r(j)> = 0, se i ≠ j; o
conjunto {d(0), d(1), d(2), ..., d(k)} é A-ortogonal, ou seja, <d(i), d(j)>A = 0, se i ≠ j; para todos os
valores inteiros de i e j variando de 0 a k.
Agora é fácil ver que r(n) = 0, pois, caso contrário, {r(0), r(1), r(2), ..., r(n-1) , r(n)} seria um
conjunto ortogonal de vetores não nulos em 4n e, portanto, linearmente independente. Assim,
o conjunto gerado por estes vetores: [r(0), r(1), r(2), ..., r(n-1) , r(n)] ⊂ 4n, teria dimensão n + 1, o
que seria um absurdo, já que dim(4n) = n.
7.1 Pré-condicionamento de matriz
A técnica de pré-condicionamento utiliza o seguinte procedimento. Dada uma matriz G
invertível, os sistemas lineares Ap = b e G-1A(G-1)TGTp = G-1b são equivalentes. Chame de C
a matriz G-1A(G-1)T. Se A for simétrica e definida positiva, então C terá estas mesmas
propriedades: CT = [G-1A(G-1)T] T = G-1AT(G-1)T = G-1A(G-1)T = C e, pTCp = pTG-1A(G-1)Tp
=[(G-1)Tp] TA(G-1)Tp > 0, ∀ p ∈ 4n, p ≠ 0 .
Agora, sejam y = GTp e B = G-1b. Aplicando-se o método dos gradientes conjugados ao
sistema Cy = B, obtém-se: i’) R(0) = B - Cy(0) (resíduo inicial); D(0) = R(0) (direção inicial); ii’)
y(k+1) = y(k) + αk D(k) ; iii’) R(k+1) = R(k) - αk CD(k); iv’) D(k+1) = R(k+1) + βk D(k); v’) <D(k),
D(k+1)>C = 0; vi’) αk = (<R(k), R(k)>)(<D(k), D(k)>C)-1; vii’) βk = <R(k+1), R(k+1)>(<R(k), R(k)>)-1.
Utilizando as definições da matriz C e dos vetores B e y e lembrando que r(k) = b – Ap(k),
conclui-se que R(k) = B - Cy(k) = G-1r(k). Sejam z(k) = (GGT)-1r(k) e D(k) = GTd(k). Note que D(0) =
R(0) GTd(0) = G-1r(0) d(0) = (GT)-1G-1r(0) = (GGT)-1r(0) = z(0). Assim, vi’’) αk = (<r(k),
z(k)>)(<d(k), d(k)>A)-1; vii’’) βk = (<r(k+1), z(k+1)>)(<r(k), z(k)>)-1. Desta forma, obtém-se o
seguinte algoritmo: A1) k = 0; r(0) = b – Ap(0); A2) enquanto r(k) ≠ 0, resolva (GGt)z(k) = r(k);
A3) k = k + 1; se k = 1, d(1) = z(0); A3) senão, βk = <r(k-1), z(k-1)>/<r(k-2), z(k-2)> e d(k) = z(k-1) +
βkd(k-1); A4) αk = <r(k-1), z(k-1)> / <Ad(k), d(k)>, p(k) = p(k-1) + αkd(k), r(k) = r(k-1) - αkAp(k), fim;
A5) p = p(k).
7.2 O Pré-condicionamento de Cholesky
Se uma matriz A de ordem n é simétrica e definida positiva, então existe uma única
matriz triangular inferior * de ordem n, com diagonal positiva, tal que A = * * t – Fatoração
de Cholesky (veja Ruggiero & Lopes, 1997). Obtido o fator *, o sistema linear Ap = b é
decomposto em dois sistemas triangulares: * y = b (triangular inferior) e * t p = y (triangular
superior), pois Ap = b ⇔ (* * t)p = b.
Observação: O código computacional que está sendo desenvolvido para resolver o sistema
linear para a pressão utiliza o método dos Gradientes Conjugados pré-condicionado, com précondicionador baseado na decomposição incompleta de Cholesky da matriz dos coeficientes
(veja, por exemplo, Axelsson & Barker (1984)). Logo, o pré-condicionador é da forma GGT,
onde a matriz G corresponde à fatoração incompleta de Cholesky da matriz A, isto é, se Aij
for diferente de zero, então Gij = * ij; caso contrário Gij = 0, onde * é o fator da
decomposição de Cholesky de A.
8. CONCLUSÃO
A formulação desenvolvida nas seções anteriores será muito útil na investigação de
técnicas numéricas para o cálculo de permeabilidades efetivas (ou equivalentes) em meios
porosos heterogêneos. O desenvolvimento dos códigos computacionais, levando-se em conta
uma função escalar de permeabilidades e um tensor de permeabilidades, já está em
andamento.
O método numérico produzido com a metodologia apresentada neste trabalho deverá
apresentar boas aproximações para a velocidade de Darcy, devido a uma diferença
fundamental em relação a outros métodos (Almeida, Douglas e Pereira (2002); Douglas,
Furtado e Pereira (1997)): as integrais que aparecem na Eq. (6) não são aproximadas por
métodos numéricos. A regra do trapézio, por exemplo, facilita muito a resolução do sistema
para a pressão; porém, a solução do sistema sofre influência do erro de integração e, portanto,
torna-se imprecisa. Utilizando a mesma malha computacional (os mesmos valores de hx e hy),
o método proposto será capaz de melhorar a aproximação para esta solução, ou seja, a
aproximação será melhorada sem a necessidade de se fazer refinamentos de malha
(diminuições dos valores de hx e hy), que acarretariam no aumento do esforço computacional.
O método dos elementos finitos mistos e híbridos vai gerar um sistema linear, associado à
equação da pressão, que possui matriz simétrica e definida positiva. Estas propriedades da
matriz garantem a existência e a unicidade de solução do sistema linear, além de permitir que
o método dos Gradientes Conjugados seja utilizado na resolução do mesmo.
A continuação natural deste trabalho é o desenvolvimento de um método numérico
para simular escoamentos miscíveis incompressíveis em meios porosos heterogêneos (veja
Russel e Wheeler (1983)). Para isto será preciso fazer o acoplamento da equação elíptica (que
fornece a velocidade de Darcy) com uma equação diferencial do tipo convecção-difusão (veja
Russel e Wheeler (1983)). Dois tipos de problemas serão investigados: o problema linear do
Traçador Passivo (Almeida (2000)) e o problema não-linear (Almeida (2000)), em que as
equações diferenciais parciais que governam o escoamento não são lineares.
REFERÊNCIAS
Almeida, César Guilherme; (2000), “Escoamentos miscíveis em formações heterogêneas: novos métodos
numéricos e modelagem estocástica”, Tese de Doutorado em Matemática Aplicada, IMECC/Unicamp,
Campinas.
Almeida, César Guilherme; Douglas, J. Jr. e Pereira, Felipe (2002), “A new characteristics-based numerical
method for miscible displacement in heterogeneous formations”, Computational and Applied Mathematics,
vol. 21, fascículo 2, 573-605.
Axelsson, O. e Barker, V. A. (1984), “Finite element solution of boundary value problems. Theory and
computation”, Academic Press, Orlando, Florida.
Chavent, G. e Roberts, J. E. (1991), “A unified physical presentation of mixed, mixed-hybrid finite element
and standard finite difference aproximations for the determination of velocities in waterflow problems”, Adv.
Water Resources, vol. 14, 6, 329-348.
Douglas JR., Jim; Furtado, Frederico e Pereira, Felipe (1997), “On the numerical simulation of waterflooding of
heterogeneous petroleum reservoirs”, Computational Geosciences, vol. 2, n.1, 155–190.
Durlofsky, L. J. (1991), “Numerical calculation of equivalent grid block permeability tensors for heterogeneous
porous media”, Water resources research, 27 (5), 699 -708.
Ruggiero, M. A. G., Lopes, V. L. da Rocha (1997), “Cálculo Numérico: aspectos teóricos e computacionais”,
MAKRON, São Paulo, segunda edição.
Russel, T. F. e Wheeler, M. F (1983), “Finite Element and finite difference methods for continuos flows in
porous media”, Frontiers in applied mathematics – SIAM, The mathematics of reservoir simulation, 35 -106.
Souto, H.P. Amaral (2005) “Introdução à técnica da media volumétricas”, in I Escola em Modelagem
Computacional Multiescala, M. A. Murad, F. Pereira, H. A. Souto, M. Cruz e G. Braga (ed.), Gráfica LNCC,
Petrópolis.
UM ESTUDO DE CASO SOBRE O NÍVEL DE CONHECIMENTO EM
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DOS ALUNOS CONCLUINTES DO
ENSINO MÉDIO
Denise Nunes de Melo 1
Edmilson Rodrigues Pinto 2
Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Matemática
[email protected]
[email protected]
RESUMO
Com os avanços da informática e da tecnologia, o ser humano passou a ter acesso a uma grande
quantidade de informação, principalmente via internet. Os conceitos de estatística e de
probabilidade são ferramentas essenciais na modelagem, no resumo e no entendimento dessas
informações. Desde 1997, o Ministério da Educação tornou obrigatório o ensino de probabilidade
e estatística nos programas das disciplinas de matemática do ensino fundamental e médio. Assim,
cada vez mais, se faz necessárias pesquisas na área de educação estatística com o objetivo de
fornecer subsídios, que ajudem aos professores de matemática a aprimorarem o ensino de
probabilidade e estatística nas escolas. Em Minas Gerais, não se conhece nenhum estudo
específico sobre o desempenho dos alunos concluintes do ensino médio nos conteúdos de
probabilidade e estatística. O objetivo deste trabalho é apresentar, a nível local, o resultado de um
estudo de caso, realizado com alunos regularmente matriculados no 3o ano do ensino médio, nas
escolas particulares e públicas da cidade de Patrocínio-MG, a fim de saber o nível de
conhecimento desses alunos em relação aos conteúdos de probabilidade e estatística.
Adicionalmente, também foi feito um paralelo entre o grau de conhecimento dos alunos das
escolas públicas e particulares nesses dois conteúdos.
Palavras-chave: O aprendizado de probabilidade e estatística no ensino médio, educação
estatística.
1. INTRODUÇÃO
Com os avanços da informática e da tecnologia, o ser humano passou a buscar, cada
vez mais, saciar suas dúvidas através de pesquisas que, freqüentemente, utilizam conceitos
probabilísticos e estatísticos. E, é claro que com esse desenvolvimento todo, os cálculos
pesados e gigantescos que eram feitos antigamente, hoje, os programas computacionais os
resolvem de maneira fácil e rápida, sendo que um dos frutos desse avanço da ciência foi a
popularização dos conceitos de probabilidade e de estatística, com a necessidade, cada vez
maior, de entender a realidade.
Até o início da década de 1990, se falava nesses dois conteúdos apenas na sociedade
acadêmica onde sua aplicação sempre foi vasta e incentivada, onde alguns poucos detinham o
saber, e as aplicações eram muito limitadas. Atualmente, o acesso a esse tipo de conhecimento
1
2
.
Aluna do curso de Especialização em Matemática da Universidade Federal de Uberlândia.
Orientador, Professor da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia.
foi facilitado por computadores cada vez mais velozes e pela criação de softwares específicos
para a análise probabilística e estatística. O resultado disso tudo foi a disseminação da
importância e da relevância do uso das ferramentas trabalhadas nos dois conteúdos em vários
campos da sociedade.
Com a crescente necessidade de se ter um cidadão consciente, crítico e bem
informado, capaz de compreender as informações que recebe, tomar decisões e ser apto para
analisar resultados, é que foi implantado, nos conteúdos básicos do ensino de matemática, a
obrigatoriedade do ensino de probabilidade e a estatística.
Os parâmetros curriculares nacionais (Brasil, 1997) destacam dois aspectos básicos no
ensino da matemática: o primeiro consiste em relacionar observações do mundo real com
representações (esquemas, tabelas, figuras) e o segundo consiste em relacionar essas
representações com os princípios e conceitos matemáticos. Nesse processo, a comunicação
tem grande importância e deve ser estimulada, levando o aluno a “falar” e a “escrever” sobre
matemática; a trabalhar com representações gráficas, desenhos, construções; e a aprender
como organizar e tratar conjuntos de dados.
Esse artigo tem como objetivo analisar como está sendo trabalhado e o que se está
tendo como resultado ao se ensinar os conteúdos de probabilidade e estatística no ensino
médio, no caso particular, da cidade de Patrocínio-MG. Adicionalmente, também foi feito um
paralelo entre os alunos das escolas públicas e particulares, com relação ao grau de
conhecimento em probabilidade e estatística.
O trabalho realizado constituiu-se em um estudo de caso, onde se tomou por base a
cidade de Patrocínio, no estado de Minas Gerais. Os dados analisados neste trabalho foram
obtidos através de uma avaliação aplicada aos alunos, do período diurno, que estavam
terminando o 3° ano do ensino médio nas escolas particulares e públicas, envolvendo
problemas e questões que abordavam conceitos básicos de probabilidade estatística.
O objetivo da avaliação foi verificar se os conteúdos de probabilidade e estatística,
referidos nos parâmetros curriculares nacionais de 1997 (Brasil, 1997), estavam sendo
trabalhados pelos professores e como estava o nível de conhecimento dos alunos nesses
conteúdos.
Na época da pesquisa, dezembro de 2007, a cidade de Patrocínio contava, no período
diurno, com, aproximadamente, 928 alunos cursando o 3o ano do ensino médio. Esses alunos
estavam matriculados em sete escolas públicas, aproximadamente, 775 alunos e em quatro
escolas particulares, aproximadamente, 153 alunos.
O tipo de amostragem considerado foi amostragem estratificada e por conglomerados.
O procedimento de amostragem consistiu, em um primeiro estágio, de dividir a população de
alunos em dois estratos: alunos das escolas públicas e alunos das escolas particulares. Em um
segundo estágio, considerou-se uma nova estratificação, onde cada uma das escolas públicas e
particulares foi considerada como um estrato. Dentro de cada estrato (escola), num terceiro
estágio, considerou-se uma amostragem por conglomerados, onde tanto nas escolas públicas,
quanto nas particulares, os conglomerados foram as turmas do 3o ano, ou seja, a classe onde
os alunos estudavam. Nas escolas particulares, devido ao número de turmas ser pequeno, a
avaliação foi aplicada a todas elas e, portanto, a todos os alunos dessas turmas, presentes no
dia da avaliação. No caso das escolas públicas, realizou-se, para cada escola, um sorteio das
turmas que iriam participar da pesquisa. Depois das turmas terem sido selecionadas, todos os
alunos, presentes no dia avaliação, fizeram a prova. Das quatro escolas particulares, somente
duas participaram da pesquisa.
De acordo com o procedimento de amostragem, definido anteriormente, a avaliação
foi aplicada a 49 alunos das escolas particulares e a 311 alunos das escolas públicas, num total
de 360 alunos. O erro amostral foi calculado após se ter o número exato de alunos
participantes da pesquisa. De posse desse valor, considerando uma confiança de 95%, o erro
calculado, para a proporção de alunos que compreende os conceitos de probabilidade e
estatística no ensino médio, foi de, aproximadamente, de 5%.
A avaliação foi feita de maneira individual pelos alunos e sem nenhum acesso a
material de consulta. Veja, nos Apêndices 2 e 3, os gráficos, referentes aos resultados de cada
questão da avaliação para as escolas públicas e particulares, respectivamente.
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO
A avaliação, aplicada aos alunos concluintes do último ano do ensino médio, das escolas
públicas e particulares de Patrocínio, constituiu de 10 questões de múltipla escolha com 5
alternativas cada, das quais uma era a resposta correta do problema; duas eram valores
estratégicos, que poderiam causar confusão ao aluno; outra que negava o aprendizado que foi
proposto pelo problema e uma outra que permitia ao aluno informar se ele tinha conhecimento
sobre o tema da questão, mas não se lembrava como poderia ser feita sua resolução (veja
Apêndice 1). A Tabela 1 fornece uma síntese dos temas abordados em cada questão.
Tabela 1 – Área abordada e conteúdos de cada questão da avaliação
ÁREA
QUESTÃO
TÓPICO ABORDADO
Estatística
Questão 1
Conceitos básicos (definição de amostra)
Questão 2
Medidas de tendência central (Média)
Questão 3
Medidas de tendência central (Mediana e Moda)
Questão 4
Medidas de variabilidade (cálculo do desvio-padrão)
Questão 5
Conceitos básicos (Freqüência absoluta)
Questão 6
Conceitos básicos (Freqüência relativa)
Questão 7
Conceitos básicos de Probabilidade
Questão 8
Análise gráfica e conceitos básicos de probabilidade
Questão 9
Conceitos básicos de Probabilidade
Questão 10
Interpretação e análise gráfica
Probabilidade
Estatística
Os resultados da avaliação, feita com os 49 alunos das escolas particulares de Patrocínio-MG,
são apresentados na Tabela 2.
A Tabela 2 fornece uma visão geral das dificuldades dos alunos das escolas
particulares em relação às questões propostas. Os conceitos de média, de interpretação gráfica
e os tópicos básicos de probabilidade são os conteúdos em que os alunos obtiveram maior
êxito. Nesse caso, suspeita-se que a alta porcentagem de acerto nesses conteúdos seja devido
ao fato deles estarem presentes no cotidiano dos alunos. Por exemplo, o conceito de média
aritmética, um dos conteúdos em que o índice de acerto foi alto (93,88 %), é usado
constantemente pelos alunos para acompanhar suas notas. Outros exemplos poderiam ser, a
interpretação gráfica (91,84 %), que está presente em jornais, telejornais e revistas; e os
conceitos básicos de probabilidade (89,80 %), que se constituem de questões lógicas, de fácil
interpretação.
Tabela 2 - Resultados apresentados pelas escolas particulares
PERCENTUAIS (%)
QUESTÃO TÓPICO ABORDADO
Acertaram Erraram Reconhecem
Desconhecem
Em
branco
Questão 1
38,77%
44,90%
10,20%
6,13%
0,00%
Questão 2
93,88%
4,08%
2,04%
0,00%
0,00%
Questão 3
Medidas de tendência central (Mediana e Moda)
20,41%
40,82%
30,61%
4,08%
4,08%
Questão 4
Medidas de variabilidade (cálculo do desvio-padrão)
14,28%
30,61%
38,77%
16,33%
0,00%
Questão 5
71,43%
22,45%
0,00%
6,12%
0,00%
Questão 6
48,98%
24,49%
10,21%
14,28%
2,04%
Questão 7
Conceitos básicos de probabilidade
89,80%
6,12%
4,08%
0,00%
0,00%
Questão 8
Análise gráfica e conceitos básicos de probabilidade
81,63%
10,20%
8,17%
0,00%
0,00%
Questão 9
Conceitos básicos de probabilidade
67,35%
20,40%
12,25%
0,00%
0,00%
Questão 10
91,84%
6,12%
0,00%
0,00%
2,04%
Na Figura1, tem-se, em porcentagem, um levantamento em relação às questões de
probabilidade, no que diz respeito às cinco opções colocadas em cada questão. Desta forma,
foram considerados os seguintes casos: Acertos – representando que o aluno respondeu
corretamente a questão; Erros – representando que o aluno respondeu a questão de forma
errada; Reconhece – representando que o aluno não respondeu a questão, contudo reconhece o
assunto, porém não se lembra como resolve-lo; Desconhece – representando que o aluno não
respondeu a questão porque desconhece (não estudou) o assunto abordado e Branco –
representando as questões deixadas em branco, sem a marcação de nenhum dos cinco itens.
100%
79,59%
80%
60%
40%
12,24%
20%
8,16%
0,00%
0,00%
0%
Acertos
Erros
Reconhece
Desconhece
Branco
Figura 1 – Resultado percentual em relação ao conteúdo de probabilidade nas escolas particulares
Na Figura 1, também se verifica que a porcentagem de alunos que desconhece o
conteúdo e que deixou é nula. Esse resultado e o fato de que houve quase 80% de acerto,
permitem supor que o conteúdo de probabilidade está sendo bem assimilado pelos alunos das
escolas particulares.
Em relação ao conteúdo de Estatística, nota-se que houve somente 54,23% de acertos,
valor pequeno, comparado à porcentagem de acertos em probabilidade (79,59%). Observando
a Figura 2 tem-se uma visão geral dos resultados para o conteúdo de estatística. Assim, pode-
se supor que os alunos das escolas particulares têm mais dificuldade nos conteúdos de
estatística do que nos de probabilidade.
100%
80%
54,23%
60%
40%
24,78%
13,12%
20%
6,17%
1,16%
0%
Acertos
Erros
Reconhece
Desconhece
Branco
Figura 2 – Resultado percentual em relação ao conteúdo de Estatística nas escolas particulares
3.1 Resultados apresentados pelas escolas públicas
A mesma análise, realizada para os alunos das escolas particulares, é agora repetida para
os alunos das escolas públicas. Os resultados, em porcentagem, são mostrados na Tabela 3.
Tabela 3 - Resultados apresentados pelas escolas públicas
PERCENTUAIS (%)
QUESTÃO
TÓPICO ABORDADO
Acertaram
Erraram
Reconhecem
Desconhecem
Em branco
Questão 1
57,56%
36,66%
1,93%
3,53%
0,32%
Questão 2
64,31%
26,04%
6,43%
2,58%
0,64%
Questão 3
Medidas de tendência central (Mediana e
Moda)
24,44%
42,76%
12,86%
18,98%
0,96%
Questão 4
Medidas de variabilidade (desvio-padrão)
23,47%
23,47%
20,58%
31,19%
1,29%
Questão 5
45,98%
37,94%
8,68%
7,40%
0,00%
Questão 6
41,80%
29,26%
12,54%
12,86%
3,54%
Questão 7
Conceitos básicos
51,45%
33,76%
12,54%
1,29%
0,96%
Questão 8
Análise gráfica e conceitos básicos de
probabilidade
56,59%
29,58%
11,25%
1,62%
0,96%
Questão 9
Conceitos básicos
30,87%
52,73%
14,48%
0,96%
0,96%
Questão 10
64,95%
27,65%
4,51%
1,93%
0,96%
Ao analisar a Tabela 3, dois fatos que chamam atenção são: a porcentagem de alunos
que reconhecem os conteúdos das questões, mas não sabem como resolvê-los; e a
porcentagem de alunos que desconhecem os conteúdos abordados. Na Tabela 3 também pode
ser observado que não existe questão com mais de 65% de acertos, o que pode dar uma
indicação de que, nas escolas públicas, os conteúdos de probabilidade e estatística não estão
sendo assimilados corretamente pelos alunos.
Da mesma forma como foi feito para as escolas particulares, será feito um
levantamento, em porcentagem, em relação às questões avaliadas de probabilidade estatística.
A Figura 3 mostra o resultado obtido pelos alunos das escolas públicas no conteúdo de
probabilidade. Observa-se na Figura 3 que o percentual de alunos que desconhecem ou
deixaram em branco as questões propostas, dentro do conteúdo de probabilidade, é pequeno.
Esse resultado permite supor que o conteúdo de probabilidade está sendo ensinado pelos
professores.
100%
80%
60%
46,30%
38,69%
40%
12,76%
20%
1,29%
0,96%
0%
Acertos
Erros
Reconhece
Desconhece
Branco
Figura 3 – Resultado percentual em relação ao conteúdo de probabilidade nas escolas públicas
Com relação ao conteúdo de Estatística, na da Figura 4, nota-se que a porcentagem de
alunos que desconhecem, reconhecem e que deixaram em branco as questões corresponde a
um valor considerável. Na Tabela 2, nota-se que as questões que envolveram desvio padrão,
medidas de tendência central e freqüência relativa foram as que mais receberam respostas
desconhece ou reconhece, mas não sabe resolver.
100%
80%
60%
46,06%
31,96%
40%
20%
9,68%
11,20%
1,10%
0%
Acertos
Erros
Reconhece
Desconhece
Branco
Figura 4 – Resultado percentual em relação ao conteúdo de estatística nas escolas públicas
Na Figura 5 é apresentado, em porcentagem, um paralelo entre as escolas públicas e
particulares, em relação aos tópicos: Acertos, Erros, Reconhece, Desconhece e Branco, como
definidos anteriormente.
100%
80%
61,84%
60%
46,14%
Públicas
Particulares
33,99%
40%
21,02%
20%
10,58%11,63% 8,23%
4,69% 1,06%
0,82%
0%
Acertos
Erros
Reconhece
Desconhece
Branco
Figura 5 – Paralelo entre as escolas públicas e particulares, em relação às porcentagens de acertos, erros,
reconhecimento do assunto sem saber resolver, desconhecimento do assunto e questões deixadas em branco.
As Figuras 6 e 7 mostram os resultados apresentados em cada questão relacionando as
escolas particulares e públicas, verificando, respectivamente, os acertos e erros.
ACERTOS
Interpretação e
análise gráfica
91,84%
64,95%
Conceitos básicos Probabilidade
67,35%
30,87%
81,63%
Análise gráfica
56,59%
Conceitos básicos Probabilidade
89,80%
51,45%
Freqüência
relativa
48,98%
41,80%
Freqüência
absoluta
71,43%
45,98%
Cálculo do desviopadrão
14,29%
23,47%
20,41%
Mediana e Moda
24,44%
93,88%
Média
64,31%
38,77%
Definição de
amostra
57,56%
0%
20%
40%
Pública
60%
80%
100%
Particular
Figura 6 – Paralelo entre os resultados das escolas públicas e particulares, em relação à porcentagem de acertos
para cada questão.
ERROS
Interpretação e
análise gráfica
6,12%
27,65%
20,41%
Conceitos básicos
- Probabilidade
52,73%
10,20%
Análise gráfica
29,58%
6,12%
Conceitos básicos
- Probabilidade
33,76%
24,49%
29,26%
Freqüência
relativa
Freqüência
absoluta
22,45%
37,94%
Cálculo do desviopadrão
30,61%
23,47%
40,82%
42,76%
Mediana e Moda
4,08%
Média
26,04%
Definição de
amostra
44,91%
36,66%
0%
20%
40%
Pública
60%
80%
100%
Particular
Figura 7 – Paralelo entre os resultados das escolas públicas e particulares, em relação à porcentagem de erros
para cada questão.
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Acredita-se que os conteúdos de estatística e probabilidade têm um papel essencial na
formação do cidadão, uma vez que possibilitam lidar com a aleatoriedade e o acaso,
permitindo uma análise de fatos complexos que, sob uma visão determinista, tornam-se
impossíveis de serem tratados. Ao lidar chances e com dados estatísticos, o educando vai
formando a consciência da utilização social da matemática, de sua interação com outras
disciplinas e mesmo com outros tópicos da própria matemática.
Os resultados da pesquisa mostraram que os alunos, tanto da rede pública, quanto da
rede particular de ensino da cidade de Patrocínio, têm um bom conhecimento dos conceitos
básicos de probabilidade e estatística. Esses resultados refletem os resultados anunciados pela
Agência Minas (Agência Minas, 2007) sobre o expressivo crescimento do desempenho dos
alunos em Minas Gerais. Entretanto, a pesquisa também mostra que ensino em probabilidade
e em estatística ainda precisa ser melhorado, tanto nas instituições públicas, quanto nas
particulares.
Embora o resultado da pesquisa tenha sido satisfatório para o grau de conhecimento
em probabilidade e em estatística há muito a ser feito para o aperfeiçoamento do ensino
desses dois conteúdos. A elaboração de textos didáticos em probabilidade e estatística, bem
como o uso de softwares para a manipulação de dados e construção de gráficos e tabelas seria
de grande importância. Outro aspecto que poderia ser melhorado seria a criação de cursos de
aperfeiçoamento voltados para o ensino de probabilidade e de estatística, por parte das
instituições de ensino superior, e o incentivo, por parte do governo, para que os professores de
matemática pudessem participar de tais programas de capacitação.
5. BIBLIOGRAFIA
Agência Minas, (2007). “Alunos da rede pública estadual de ensino melhoram desempenho”.
Notícias do Governo de Minas Gerais. Publicado em 24/04/2007. Disponível em
<http://www.agenciaminas.mg.gov.br/detalhe_noticia.php?cod_noticia=12150> Acesso em 15 Mar 2008
Brasil, (1997). Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemáticas: 1º e 2º ciclos do Ensino
Fundamental. Secretaria de Educação Fundamental, Ministério da Educação, Brasília,
DF.
Brasil, (2001). Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. 3a edição, Secretaria de
Educação Fundamental, Ministério da Educação, Brasília, DF.
Echeveste, S. S., Bayer, A., (2003). “Estatística no Ensino Fundamental e Médio: Como os
Professores de Matemática estão se Preparando para este desafio”. In: II Seminário
Internacional de pesquisa em Educação Matemática, Santos, SP.
APÊNDICE 1 - Avaliação aplicada aos alunos do ensino médio nas escolas de
Patrocínio – MG.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM MATEMÁTICA
AVALIAÇÃO DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Prezado aluno:
O objetivo desta avaliação é verificar o conhecimento dos alunos do 3º ano do Ensino Médio sobre
Probabilidade e Estatística. É de suma importância que você resolva as questões individualmente procurando
demonstrar com sinceridade o que realmente aprendeu sobre os conteúdos. Desde já agradeço a sua participação.
Orkut é uma comunidade on-line que conecta pessoas através de
uma rede de amigos confiáveis proporcionando um ponto de
encontro on-line com um ambiente de confraternização, onde é
possível fazer novos amigos e conhecer pessoas que têm os mesmos
interesses. Um grupo de 6 participantes escolhidos de uma certa
comunidade no orkut tem a seguinte quantidade de amigos em
sua rede:
Joana
60
amigos
Carlos
80
amigos
Patrícia
50
amigos
Carla
30
amigos
Gilberto
80
amigos
QUESTÃO 4
O desvio padrão para esses dados está entre:
a)
b)
c)
d)
e)
10 e 14
14 e 19
20 e 25
Não sei o que é desvio padrão
Já ouvi falar em desvio padrão, mas não me recordo
de como se calcula
Daniel
90
amigos
Baseado nas informações do texto acima, marque a opção que
melhor represente a resposta das questões 1, 2, 3 e 4.
QUESTÃO 1
A amostra dessa pesquisa foi de:
a)
6 participantes
b)
390 amigos
c)
A comunidade do orkut
d)
Não sei o que é amostra
e)
Já ouvi falar em amostra, mas não me lembro o que é.
QUESTÃO 2
O número médio de amigos participantes desta amostra é de:
a) 80 amigos
b) 70 amigos
c) 65 amigos
d) Não sei o que é número médio.
e) Já ouvi falar em médias, mas não me lembro como se
calcula.
QUESTÃO 3
A mediana e a moda do número de amigos dos 6 participantes
escolhidos nesta amostra são, respectivamente:
a) 70 e 80
b) 65 e 90
c) 75 e 80
d) Não sei o que é mediana e moda
e) Já ouvi falar em mediana e moda, mas não me lembro como
encontrar esses valores.
A distribuição dos salários de uma empresa é dada na
tabela a seguir.Com base nessa tabela, responda as
questões 5 e 6
Salário (em R$)
N° de funcionários
500,00
11
1 000,00
4
2 000,00
10
5 000,00
5
Total
30
QUESTÃO 5
A freqüência relativa dos funcionários que recebem
R$ 2 000,00 ou mais é de:
a) 30%
b) 40%
c) 50%
d) Não sei o que é freqüência relativa.
e) Já ouvi falar no conteúdo, mas não sei resolver.
QUESTÃO 6
A freqüência absoluta dos salários de R$ 1 000,00 e
R$ 2 000,00 são , respectivamente, de:
a)
b)
c)
d)
e)
4 e 10
10 e 5
13,3% e 46,6%
Não sei o que é freqüência absoluta.
Já ouvi falar em freqüência absoluta, mas não sei
resolver a questão.
QUESTÃO 7
QUESTÃO 9
Um ciclo completo de um semáforo demora 120
segundos. Em cada ciclo, o semáforo está verde
durante 50 segundos, no amarelo durante 10 segundos
e no vermelho durante 60 segundos. Se o semáforo for visto ao
acaso a probabilidade de que ele esteja no verde é de:
a) 41,66%
QUESTÃO 10
QUESTÃO 8
(Adaptação- ENEM-2007)
Temperatura do pescado nas peixarias
ºC
s
ut
ro
a
Ca
O
rin
ta
ra
a
nt
Ri
o
Associação Brasileira de Defesa do Consumidor
Uma das principais causas da degradação de peixes frescos é a
contaminação por bactérias. O gráfico apresenta resultados de um
estudo acerca da temperatura de peixes frescos vendidos em cinco
peixarias. O ideal é que esses peixes sejam vendidos com
temperaturas entre 2°C e 4°C. Selecionando-se aleatoriamente uma
das cinco peixarias pesquisadas, a probabilidade de ela vender
peixes na condição ideal é igual a:
l
V
Su
IV
do
III
e
II
nd
I
Gr
a
0
ná
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
2,3
3
o
6
Pa
8,9
9
Sa
10,5
ul
12
s
13,2
Pa
14,0
Produção (%)
15
A Cultura Do Figo
O figo está entre as vinte principais frutas exportadas pelo
Brasil e vem mantendo a terceira posição no ranking de
volume comercializado, entre as frutas de clima temperado,
com 0,9 mil toneladas. Fica atrás apenas da maçã com
153,0 mil toneladas e da uva com 28,8 mil toneladas,
atingindo o patamar de US$ 2,109 milhões em 2004.
Participação da produção de figo por Unidade
Federativa, Brasil, 2003.
ai
Nunca ouvi falar em probabilidade
o
e)
Sã
Desconheço como se resolve esse exercício.
er
d)
a) 0,044
b) 0,075
c) 0,0075
d) Desconheço como se resolve essa atividade
e) Nunca ouvi falar em probabilidade.
G
62,41%
s
c)
ina
58,33%
M
b)
O resultado de uma pesquisa realizada pelo Ipesp,
verificou-se que de 1000 pessoas, 17% fumam e, dentre os
fumantes 44% são mulheres. Se nesse grupo de 1000
pessoas uma é escolhida ao acaso, a probabilidade de ela
ser fumante e mulher é:
a)
b)
c)
d)
e)
um meio
um quarto
um quinto
Desconheço como se resolve essa atividade
Nunca ouvi falar em probabilidade.
Fonte:
www.iea.sp.gov.br/out/verTexto.php?codTexto=2314
Analisando a reportagem e o gráfico acima, podemos
afirmar que a porcentagem da participação da produção de
figo do Rio Grande do Sul, Minas Gerais e Paraná, juntos é
de:
a) 85%
b) 75%
c) 70%
d) Não entendi o gráfico.
e) Nunca analisei algo parecido.
Avaliadora: Denise Nunes de Melo.
Orientador: Edmilson Rodrigues Pinto.
Ano: 2007
Apêndice 2 - Resultado, por questão, apresentado pelas escolas públicas.
sua rede:
Joana
60
amigos
Carlos
80
amigos
Patrícia
50
amigos
Carla
30
amigos
Gilbert
o
80
amigos
Danie
l
90
amigos
QUESTÃO 1
a) 6 participantes
b) 390 amigos
c) A comunidade do orkut
d) Não sei o que é amostra
e) Já ouvi falar em amostra, mas não me lembro o que é.
QUESTÃO 2
a) 80 amigos
b) 70 amigos
c) 65 amigos
calcula.
200
179
150
100
64
50
50
11
6
0
A)
B)
250
C)
D)
E)
200
200
150
100
54
27
50
8
20
0
A)
QUESTÃO 3
a) 70 e 80
b) 65 e 90
c) 75 e 80
e) Já ouvi falar em mediana e moda, mas não me lembro
como encontrar esses valores.
120
100
80
B)
C)
D)
E)
102
76
59
60
40
31
40
20
0
A)
B)
C)
D)
E)
QUESTÃO 4
a)
b)
c)
d)
e)
10 e 14
14 e 19
20 e 25
Já ouvi falar em desvio padrão, mas não me recordo de
como se calcula
120
97
100
73
80
60
38
40
64
35
20
0
A)
B)
C)
D)
E)
A distribuição dos salários de uma empresa é dada na tabela a
seguir.Com base nessa tabela, responda as questões 5 e 6
Salário (em R$)
500,00
1 000,00
2 000,00
5 000,00
Total
11
4
10
5
30
QUESTÃO 5
A freqüência relativa dos funcionários que recebem R$ 2 000,00
ou mais é de:
a) 30%
b) 40%
c) 50%
e) Já ouvi falar no conteúdo,mas não sei resolver
200
143
150
100
70
48
50
23
27
0
A)
QUESTÃO 6
A freqüência absoluta dos salários de R$ 1 000,00 e R$ 2 000,00
são , respectivamente, de:
a)
b)
c)
d)
e)
4 e 10
10 e 5
13,3% e 46,6%
Já ouvi falar em freqüência absoluta, mas não sei resolver
a questão.
140
120
100
80
60
40
20
0
B)
C)
D)
E)
130
59
40
32
A)
B)
C)
D)
29
39
39
E)
QUESTÃO 7
a) 41,66%
200
160
150
b)
58,33%
100
c)
62,41%
50
d)
e)
76
4
0
A)
B)
C)
D)
E)
QUESTÃO 8
ºC
15
14,0
13,2
12
10,5
8,9
9
6
2,3
3
0
I
II
III
IV
V
a)
b)
c)
d)
e)
um meio
um quarto
um quinto
200
176
150
100
50
38
54
35
5
0
A)
B)
C)
D)
E)
QUESTÃO 9
O resultado de uma pesquisa realizada pelo Ipesp, verificou-se que
de 1000 pessoas, 17% fumam e, dentre os fumantes 44% são
mulheres. Se nesse grupo de 1000 pessoas uma é escolhida ao
acaso, a probabilidade de ela ser fumante e mulher é:
a)
b)
c)
d)
e)
0,044
0,075
0,0075
140
120
100
80
60
40
20
0
124
96
40
45
3
A)
B)
C)
D)
E)
QUESTÃO 10
A Cultura Do Figo
O figo está entre as vinte principais frutas exportadas pelo Brasil e
vem mantendo a terceira posição no ranking de volume
comercializado, entre as frutas de clima temperado, com 0,9 mil
toneladas. Fica atrás apenas da maçã com 153,0 mil toneladas e da
uva com 28,8 mil toneladas, atingindo o patamar de US$
2,109 milhões em 2004.
Participação da produção de figo por Unidade Federativa,
Brasil, 2003.
s
ut
ro
a
Ca
Sa
nt
a
O
ta
ra
ul
Pa
Pa
o
Sã
rin
ná
o
s
ai
er
G
s
ina
M
Ri
o
Gr
a
nd
e
do
Su
l
Produção (%)
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Fonte: www.iea.sp.gov.br/out/verTexto.php?codTexto=2314
Analisando a reportagem e o gráfico acima, podemos afirmar que a
porcentagem da participação da produção de figo do Rio Grande do
Sul, Minas Gerais e Paraná, juntos é de:
a)
b)
85%
75%
c)
70%
d)
e)
Não entendi o gráfico.
Nunca analisei algo parecido.
250
202
200
150
100
50
37
49
14
6
0
A)
B)
C)
D)
E)
Apêndice 3: Resultado, por questão, apresentado pelas escolas particulares.
sua rede:
Joana
60 amigos
Carlos
80 amigos
Patrícia
50 amigos
Carla
30 amigos
Gilberto
80 amigos
Daniel
90 amigos
QUESTÃO 1
a) 6 participantes
b) 390 amigos
c) A comunidade do orkut
d) Não sei o que é amostra
e) Já ouvi falar em amostra, mas não me lembro o que é.
20
19
19
15
10
5
3
5
3
0
A)
QUESTÃO 2
a) 80 amigos
b) 70 amigos
c) 65 amigos
calcula.
B)
C)
D)
E)
46
50
40
30
20
10
1
1
1
0
0
A)
QUESTÃO 3
a) 70 e 80
b) 65 e 90
c) 75 e 80
e) Já ouvi falar em mediana e moda, mas não me lembro
como encontrar esses valores.
B)
C)
D)
E)
18
20
15
15
10
10
5
2
2
0
A)
B)
C)
D)
E)
QUESTÃO 4
a)
b)
c)
d)
e)
10 e 14
14 e 19
20 e 25
Já ouvi falar em desvio padrão, mas não me recordo de
como se calcula.
19
20
15
10
10
7
8
5
5
0
A)
B)
C)
D)
E)
A distribuição dos salários de uma empresa é dada na tabela a
seguir.Com base nessa tabela, responda as questões 5 e 6
Salário (em R$)
500,00
1 000,00
2 000,00
5 000,00
Total
11
4
10
5
30
QUESTÃO 5
A freqüência relativa dos funcionários que recebem R$ 2 000,00
ou mais é de:
a) 30%
b) 40%
c) 50%
e) Já ouvi falar no conteúdo, mas não sei resolver
40
35
30
20
10
8
3
3
0
0
A)
QUESTÃO 6
A freqüência absoluta dos salários de R$ 1 000,00 e R$ 2 000,00
são , respectivamente, de:
30
25
a)
b)
c)
d)
e)
4 e 10
10 e 5
13,3% e 46,6%
Já ouvi falar em freqüência absoluta, mas não sei resolver
a questão.
a) 41,66%
b)
58,33%
c)
62,41%
d)
e)
C)
D)
E)
24
20
12
15
7
10
5
5
0
0
A)
QUESTÃO 7
B)
50
B)
C)
D)
E)
44
40
30
20
10
1
2
2
0
0
A)
B)
C)
D)
E)
QUESTÃO 8
ºC
15
14,0
13,2
12
10,5
8,9
9
6
2,3
3
0
I
II
III
IV
V
50
30
20
10
a)
b)
c)
d)
e)
um meio
um quarto
um quinto
40
40
2
4
3
0
0
A)
B)
C)
D)
E)
QUESTÃO 9
O resultado de uma pesquisa realizada pelo Ipesp, verificou-se que
de 1000 pessoas, 17% fumam e, dentre os fumantes 44% são
mulheres. Se nesse grupo de 1000 pessoas uma é escolhida ao
acaso, a probabilidade de ela ser fumante e mulher é:
a)
b)
c)
d)
e)
0,044
0,075
0,0075
35
30
25
20
15
10
5
0
33
5
5
6
0
A)
B)
C)
D)
E)
QUESTÃO 10
A Cultura Do Figo
O figo está entre as vinte principais frutas exportadas pelo Brasil e
vem mantendo a terceira posição no ranking de volume
comercializado, entre as frutas de clima temperado, com 0,9 mil
toneladas. Fica atrás apenas da maçã com 153,0 mil toneladas e da
uva com 28,8 mil toneladas, atingindo o patamar de US$
2,109 milhões em 2004.
Participação da produção de figo por Unidade Federativa,
Brasil, 2003.
s
ro
ut
rin
Ca
Sa
nt
a
O
ta
ra
ul
Pa
Pa
o
Sã
a
ná
o
s
ai
er
G
s
ina
M
Ri
o
Gr
a
nd
e
do
Su
l
Produção (%)
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Fonte: www.iea.sp.gov.br/out/verTexto.php?codTexto=2314
Analisando a reportagem e o gráfico acima, podemos afirmar que a
porcentagem da participação da produção de figo do Rio Grande do
Sul, Minas Gerais e Paraná, juntos é de:
a)
85%
50
b)
c)
d)
e)
75%
70%
Não entendi o gráfico.
Nunca analisei algo parecido.
40
45
30
20
10
3
0
0
0
0
A)
B)
C)
D)
E)
ANÁLISE QUANTITATIVA DA RELAÇÃO ENTRE NOTAS DE TAREFAS E
NOTA DE PROVAS BIMESTRAIS: ESTUDO DE CASO DAS 5ª SÉRIES DA
“ESCOLA ESTADUAL DE UBERLÂNDIA”1.
JUSCELIA DIAS MENDONÇA2, EDNALDO CARVALHO GUIMARÃES3
RESUMO
A escolha de um método de avaliação que se adeque a certa turma e a certa série é algo
que sempre deixa o professor em dúvida, principalmente na disciplina de Matemática na
qual, em geral, os alunos apresentam baixo rendimento. Este trabalho tem por objetivo
analisar estatisticamente a eficácia da avaliação contínua das tarefas feitas pelos alunos
das 5ª séries da Escola Estadual de Uberlândia. Durante o ano letivo de 2007, foi feita a
coleta de dados dessa pesquisa; a professora verificou periodicamente (por meio de
visto nos cadernos) as atividades feita pelos alunos, atribuindo determinada nota para a
quantidade e qualidade de tarefas feitas por cada aluno. Fundamentalmente esta
pesquisa verifica a relação das notas obtidas pelos alunos com a realização das tarefas e
as notas obtidas por eles nas provas bimestrais. Para a verificação estatística dos dados
foram utilizados o teste qui-quadrado e análise de regressão. Os resultados
comprovaram que houve relação entre as notas dos vistos e as notas da prova, pois, eles
sempre aumentavam de forma diretamente proporcional e que, a verificação periódica
das atividades feitas pelos alunos é mais uma ferramenta que o professor pode utilizar
em suas aulas.
Palavras-Chave: metodologia de ensino, análise estatística, eficácia de metodologia de
ensino.
1
Monografia apresentada à Faculdade de matemática, da Universidade Federal de Uberlândia para a
obtenção do grau de especialista em Matemática ( VIII Curso de Especialização em Matemática).
2
Aluna do Curso de Especialização em Matemática - Av. João Naves de Ávila, 2160, Bairro Santa
Mônica, Uberlândia –MG, CEP: 38400-900- [email protected]
3
Prof. Orientador – FAMAT/UFU – Av. João Naves de Ávila, 2160, Bairro Santa Mônica, Uberlândia –
MG, CEP: 38400-900 – [email protected]
1. INTRODUÇÃO
A 5ª série é, para alunos novatos algo novo e desafiador, pois os alunos que
anteriormente só tinham a professora regente, que ministrava todas as matérias, passam
agora a ter um professor para cada matéria, o que para muitos é motivo de temor, visto
que cada professor tem suas regras e seu modo de ensinar e os alunos terão que se
adaptar a cada um deles.
Um elemento relevante é o fato que muitos pais acham que, por seus filhos
estarem cursando a 5ª série, estes já são amadurecidos e possuem responsabilidade para
prosseguirem na escola sem que os pais tenham que acompanhar de perto os estudos de
seus filhos.
Quando os pais tomam conhecimento das notas de seus filhos, procuram a escola
e seus professores para saber o que está acontecendo e se assustam ao saber que eles,
que antes eram alunos dedicados, agora não fazem mais tarefas, não copiam matérias
em sala e muitas vezes até estão “matando” aulas.
Autores como Helene (2008) afirmam que a grande utilidade de um sistema de
avaliação é permitir o estabelecimento de políticas que venham a corrigir os problemas
detectados. Segundo o autor, infelizmente, não é esse o caso do Brasil. Para Gris (2003)
citado por Santos (2006), a prática deixa muito a desejar. Faz-se necessário questionar
os valores e princípios que fundamentam essa prática educativa ineficiente e
responsável pelo fracasso escolar tão arraigada nos Estabelecimentos de Ensino. Os
professores, apesar de tantas informações a respeito do sistema de avaliação, ainda
permanecem com posicionamentos seculares, construindo o contexto avaliativo à sua
revelia.
Por esses e outros motivos citados anteriormente é que vários professores,
principalmente, das 5ª séries utilizam-se dos “vistos” nos cadernos com o objetivo de
ajudar os alunos que ficam atordoados e com os modos diferentes de trabalhar. Estes
“vistos” também ajudam a suprir a falta de acompanhamento de alguns pais e, além de
tudo, estimulam o hábito de estudo contínuo.
Este trabalho tem como objetivo analisar estatisticamente a relação entre a nota
obtida pelos alunos com os “vistos” nos cadernos e suas respectivas notas nas provas.
Para a realização da presente pesquisa, foram coletados dados durante todo ano
letivo de 2007 dos alunos das 5ª séries A, B, C e D da Escola Estadual de Uberlândia.
O ano escolar na referida escola é constituído de 4 bimestres sendo que, os dois
primeiros valem 20 pontos cada e, os dois últimos valem 30 pontos cada. A professora
combinou com os alunos que, dos 20 pontos que valem os 1º e 2º bimestres, 5 seriam
distribuídos em vistos nos cadernos e 8 seriam distribuídos através de uma prova
bimestral. Já nos 3º e 4º bimestres, devido a uma mudança da distribuição de notas da
escola, dos 30 pontos iniciais, 2 foram distribuídos em vistos nos cadernos e 15 na
prova bimestral, os demais pontos dos referidos bimestres foram distribuídos em outras
atividades.
Os vistos citados referem-se a uma verificação da professora de tarefas feitas,
tanto em casa como em sala, a professora utilizando-se de uma ficha marcava mais, para
tarefas totalmente feitas, mais ou menos, para tarefas parcialmente feitas e menos para
tarefas não feitas, esta verificação era feita esporadicamente, mas era feita
continuamente de forma que, durante as cinco aulas semanais, em pelo menos 2 aulas
aconteciam os vistos.
É válido ressaltar que durante os “vistos”, a professora não verificava se as
tarefas estavam ou não corretas, seu objetivo era verificar se elas estavam ou não feitas.
A professora só dava “visto” em tarefas com cópia de enunciados, pois, vários alunos
tinham problemas sérios de caligrafia e interpretação de textos.
Através do programa Excell, foi obtido o gráfico de dispersão dos dados, em
seguida foi adicionada uma linha de tendência e sua respectiva equação e o valor do
coeficiente de determinação, os ajustes foram feitos usando-se uma confiança de
estimativa de 95%. Foi aplicado também o teste qui-quadrado, no qual as notas dos
vistos e das avaliações de cada aluno foi transformada em conceitos seguindo a regra:
Muito Crítico ( MC), se a nota fosse menor ou igual a 50%; bom (B) se a nota estivesse
entre 50 e 80% e ótima (OT), se a nota fosse superior a 80 %. Para esta análise não foi
considerada a turma do aluno, ou seja, para cada bimestre avaliaram-se todos os alunos
independentemente de qual turma pertenciam.
Aplicou-se o teste de qui-quadrado (F2) para verificar a dependência (relação)
entre o conceito obtido pelo aluno nos vistos e o conceito obtido nas avaliações. A
estatística de F2 é calculada por:
F
2
( foi fei ) 2
¦
fei
i 1
k
em que: foi é a freqüência observada na classe i; fei é a frequência esperada na classe i
supondo independência; k é o número de classes.
A significância do teste é verificada por meio da distribuição de F2 com graus
de liberdade igual ao produto do número de linhas menos um e o número de colunas
menos um da tabela de contingência.
Foi avaliado também o coeficiente de contingência para verificar o grau de
associação entre a nota obtida no visto e a nota obtida na avaliação. O coeficiente de
contingência máximo é obtido em função do número de linhas e colunas da tabela de
contingência (Spiegel, 1993). As equações de C e de Cmax são:
C
F2
F2 N
C max
( L 1)
L
em que: F2 é a estatística calculada pelo teste; N é o número de observações e L é o
número de linhas e/ou colunas da tabela de contingência.
Os testes de F2 e os coeficientes de contingências (C) foram obtidos, utilizandose o programa computacional BIOESTAT 4.0 (Ayres et al, 2005).
As análises estatísticas foram realizadas, utilizando metodologias descritas em
Spiegel (1993) e Hoffman e Vieira (1987).
3.1. ANÁLISE DE REGRESSÃO
Na Figura 1 é apresentado o gráfico de desempenhos ideais para o 1ºe 2º
Bimestres e para o 3º e 4º Bimestres, respectivamente.
É importante ressaltar que o gráfico ideal seria o gráfico em que um aluno que
tirasse zero nos “vistos”, obtivesse zero também na prova e da mesma forma, um aluno
que tirasse nota máxima nos “vistos”, também tirasse nota máxima na prova.
y = 1,6x
R2 = 1
Gráfico Ideal 3º e 4º Bimestres
y = 7,5x
R2 = 1
16
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
14
Nota da Prova
Nota da Prova
Gráfico Ideal 1º e 2º Bimestres
12
10
8
6
4
2
0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0
6,0
0,5
1
1,5
2
2,5
Nota dos Vistos
Nota dos vistos
Figura 1 - Desempenho ideal dos alunos, com relação à nota dos vistos e da prova no:
a) 1º e 2º bimestres b) 3º e 4º bimestres .
Como no 1º e 2º bimestres, a nota dos vistos foi 5,0 pontos e a nota da prova 8,0
e nos 3º e 4º bimestres a nota dos vistos foi 2,0 e da prova 15,0, observamos que a
equação da reta do ajuste linear do 1º e 2º bimestres é y = 1,6x ,ou seja, para cada ponto
obtido no visto espera-se 1,6 pontos na prova . Já a equação da reta do ajuste do 3º e 4º
bimestres é y=7,5x, ou seja, para cada ponto obtido nos vistos esperamos 7,5 pontos
obtidos na prova, em condições ideais.
A análise do desempenho real da 5ª série turma A, ao longo do 1º, 2º, 3º e 4º
bimestres, é apresentado na Figura 2.
Observando os gráficos e seus ajustes, verificamos que os valores do Coeficiente
de Determinação (R2) são significativos, o que nos mostra que o ajuste linear está dentro
do esperado, considerando uma confiança de estimativa de 95%.
Gráfico 1º Bimestre 5ª A
y = 0,8331x + 0,5503
R2 = 0,1407
Gráfico2º Bimestre 5ª A
8,0
6,0
Nota da Prova
Nota da Prova
7,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
y = 1,1278x + 0,6458
R2 = 0,5498
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
0,0
6,0
1,0
2,0
4,0
5,0
6,0
Gráfico 5ª A 4º Bimestre
y = 3,0938x + 4,5862
R2 = 0,2819
16,0
16,0
14,0
14,0
12,0
12,0
Nota da Prova
Nota da Prova
Gráfico 3º Bimestre 5ª A
3,0
Nota dos Vistos
Nota dos Vistos
10,0
8,0
6,0
4,0
2,0
y = 4,2797x + 3,5046
R2 = 0,2425
10,0
8,0
6,0
4,0
2,0
0,0
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
Nota dos Vistos
2,0
2,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Nota dos Vistos
Figura 2-Desempenho dos alunos da 5ªA, com relação à nota dos vistos e da prova no:
a) 1º bimestre b) 2° bimestre c)3° bimestre d) 4° bimestre
A análise do desempenho real da 5º série turma B e da 5º série turma C , ao
longo do 1º, 2º, 3º e 4º bimestres é apresentado, respectivamente, nas Figura 3 e 4.
Gráfico 5ª B 1º Bimestre y = 0,6478x + 1,3049
Gráfico 2º Bimestre 5ª B
R2 = 0,1627
8,0
6,0
Nota da Prova
Nota da Prova
7,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
0,0
6,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
Nota dos vistos
Nota dos Vistos
Grafico 3º Bimestre 5ª B
y = 0,0407x + 7,3583
R2 = 0,0157
Gráfico 4º Bimestre 5ª B
16,0
16,0
14,0
14,0
12,0
12,0
Nota da Prova
Nota da Prova
y = 0,6355x + 2,7372
R2 = 0,2146
10,0
8,0
6,0
4,0
y = 1,3395x + 6,8058
R2 = 0,0253
10,0
8,0
6,0
4,0
2,0
2,0
0,0
0,0
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
0,0
40,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Nota dos Vistos
Nota dos Vistos
Figura 3-Desempenho dos alunos da 5ªB, com relação à nota dos vistos e da prova no:
a) 1° bimestre b) 2° bimestre c) 3° bimestre d) 4° bimestre
Gráfico 5ª C 2º Bimestre
y = 0,8878x - 0,034
R2 = 0,3811
7,0
8,0
6,0
7,0
5,0
6,0
Nota da prova
Nota da Prova
4,0
3,0
2,0
1,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
0,0
-1,0 0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
0,0
1,0
2,0
Nota do Visto
3,0
4,0
5,0
6,0
Notas do Visto
y = 2,7192x + 4,8691
R2 = 0,2777
16,0
16,0
14,0
14,0
12,0
12,0
Nota da Prova
Nota da Prova
y = 0,9686x + 1,2289
R2 = 0,3277
10,0
8,0
6,0
4,0
2,0
y = 3,2318x + 5,594
R2 = 0,1702
10,0
8,0
6,0
4,0
2,0
0,0
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
Notas dos Vistos
2,0
2,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Notas dos Vistos
Figura 4-Desempenho dos alunos da 5ªC, com relação à nota dos vistos e da prova no:
a) 1º bimestre b) 2° bimestre c) 3° bimestre d) 4° bimestre
Pode-se observar que na 5ª B, nos 3º e 4º bimestres, o Coeficiente de
Determinação (R2) foi não significativo, o que mostra que o ajuste não foi adequado. Já
para a 5ª C, o valor do R2 foi significativo para todos os bimestres.
A análise do desempenho real da 5º série turma D, ao longo do 1º, 2º, 3º e 4º
bimestres é apresentado na Figura 5.
Gráfico 5ª D 1º Bimestre y = 0,9904x - 0,2475
Gráfico 5ª D 2º Bimestre
8,0
8,0
7,0
7,0
6,0
6,0
Nota da Prova
Nota da Prova
R2 = 0,3845
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
0,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
0,0
1,0
2,0
Nota dos Vistos
3,0
4,0
5,0
6,0
Nota dos Vistos
y = 2,9399x + 4,2713
R2 = 0,5404
14,0
16,0
12,0
14,0
10,0
12,0
Nota da Prova
Nota da Prova
y = 0,6681x + 2,1779
R2 = 0,2081
8,0
6,0
4,0
2,0
y = 1,9767x + 5,3653
R2 = 0,1164
10,0
8,0
6,0
4,0
2,0
0,0
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
Nota dos Vistos
2,0
2,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Nota dos Vistos
Figura 5-Desempenho dos alunos da 5ªD, com relação à nota dos vistos e da prova no:
a) 1º bimestre b) 2° bimestre c) 3° bimestre d) 4/ bimestre
Na 5ª série D, o valor de R2 foi significativo para o 1º,2º e 3º bimestres e não foi
significativo para o 4º bimestre.
Em todos os bimestres verificou-se que as retas dos ajustes lineares sempre
foram crescentes, ou seja, as notas dos “vistos” e as notas das provas aumentaram de
forma diretamente proporcional; quanto maior a nota obtida no “visto”, maior a nota
obtida na prova.
Os coeficientes angular e linear das retas de todos os bimestres se diferenciaram
entre sí, essa variação justifica-se pelos seguintes fatos: i) no 1º bimestre os alunos não
estão habituados a fazer as tarefas, nem à verificação contínua das tarefas. Muitos só se
conscientizam de que a realização das tarefas é um item importante, tanto para sua
aprendizagem quanto na nota obtida por elas através dos “vistos”, depois de obterem
desempenho abaixo da média (“vermelho”) no 1º bimestre; ii) no 2º bimestre os alunos
já estão habituados aos vistos e nota-se uma maior freqüência nas atividades feitas em
todas as salas, pois, o coeficiente angular das retas de todos os ajustes aumentou
consideravelmente em relação ao 1º bimestre, assim como os valores dos coeficientes
de determinação; iii) no 3º bimestre devido às normas da escola, a nota do “visto” que
antes representava 25% da nota do bimestre passou a representar 6,6% da nota do
bimestre. É claro que esse fato afetou o interesse dos alunos pela nota obtida através dos
“vistos”, talvez por isso o valor do coeficiente de determinação diminuiu em todas as
salas. Esse é um dos fatores que podem explicar o fato de que na 5ª B o coeficiente de
determinação ficou menor que 0,05 no 3º e 4º bimestres; iv) No 4º bimestre observamos
que o coeficiente de determinação de todas as turmas diminuiu com relação aos
coeficientes do 3º bimestre, tal fato se justifica pelo desinteresse de alguns alunos que já
não acreditavam que fossem concluir a 5ª série naquele ano.
É importante ressaltar que todas as salas eram muito heterogêneas, isto é, havia
alunos em diferentes níveis de aprendizagem, muitos alunos eram analfabetos
funcionais e por tal motivo, mesmo fazendo as atividades, não conseguiam tirar nota na
prova por falta de pré-requisitos básicos para aprenderem as matérias. Além disso, a 5ª
B foi a única sala em que os coeficientes de determinação foram inferiores a 0,05; essa
sala era considerada por todos os professores a sala com alunos com piores níveis de
aprendizado, tal fato pode ser comprovados pelas reuniões de Conselho de Classe.
As taxas de aprovação das turmas foram:
5ªA: 55%; 5ªB: 48%; 5ªC: 63%; 5ªD: 57,15%
Verifica-se que a menor taxa de aprovação ocorreu para a 5º B , associando este
resultado com os das figuras da regressão, observa-se que nessa turma foram obtidos,
por duas vezes, coeficientes não significativos.
3.2. COEFICIENTES ANGULARES E LINEARES DE CADA SÉRIE:
Nas Tabelas de 1 a 4 são apresentados os valores dos coeficientes linear e
angular dos modelos de regressão com os respectivos intervalos de confiança.
Tabela 1 – Coeficientes lineares e angulares dos modelos de regressão com os
respectivos intervalos de confiança para a 5ªA.
Bimestre
1º
2º
3º
4ª
a(Coef. Linear)
0,550283175
1,113608024
4,586153905
3,50456126
Lim. Inf
-2,08387
-0,3031
1,86967
-1,02074
Lim. Sup.
3,184431
2,530314
7,302638
8,029867
b(Coef. Ang)
0,83309815
1,01479005
3,09377635
4,27970955
Lim. Inf.
0,078813
0,614577
1,218504
1,351307
Lim.Sup.
1,587383775
1,41500318
4,969048462
7,20811173
Tabela 2 – Coeficientes lineares e angulares dos modelos de
respectivos intervalos de confiança para a 5ªB.
Bimestre a(Coef. Linear) Lim. Inf Lim. Sup. b(Coef. Ang)
1º
1,304874
-0,47703 3,086779 0,647809
2º
2,737238
1,282873 4,191604 0,635513
3º
4,150714
1,567618 6,73381
2,897298
4ª
6,805833
2,153984 11,45768 1,339501
Tabela 3 – Coeficientes lineares e angulares dos modelos de
respectivos intervalos de confiança para a 5ªC.
Bimestre a(Coef. Linear) Lim. Inf Lim. Sup. b(Coef. Ang)
1º
-0,03399
-1,66119 1,593215 0,887758
2º
1,228888
-0,57252 3,030296 0,968637
3º
4,869109
2,200888 7,537329
2,71921
4ª
5,594039
1,190181 9,997897 3,231771
regressão com os
Lim. Inf.
0,12741
0,197713
1,132742
-1,75786
Lim.Sup.
1,168208
1,073312
4,661854
4,436864
regressão com os
Lim. Inf.
0,480381
0,441663
0,951168
0,292234
Lim.Sup.
1,295135
1,495611
4,487252
6,171307
Tabela 4 – Coeficientes lineares e angulares dos modelos de regressão com os
respectivos intervalos de confiança para a 5ªD.
Bimestre a(Coef. Linear)
1º
-0,24746
2º
2,177935
3º
4,271346
4ª
5,36533
Lim. Inf
-1,99953
0,36516
2,899326
1,954125
Lim. Sup. b(Coef. Ang)
1,504618 0,990383
3,990709 0,668056
5,643366 2,939876
8,776535 1,976714
Lim. Inf.
0,5314
0,173052
1,846997
-0,26662
Lim.Sup.
1,449365
1,163059
4,032756
4,220044
A analise dos resultados acima, permite inferir que com relação ao coeficiente
linear e angular não houve diferença significativa, pois ao comparar os intervalos do 1º
com o 2º bimestre e, da mesma forma, os intervalos do 3º com o 4º bimestres, observase
que houve uma sobreposição de intervalos. Além disso, verifica-se que os
coeficientes angulares foram significativos para os bimestres analisados, exceto para o
4º bimestre da 5ª D e para os 3º e 4º bimestres 5ª B.
3.3 TESTE QUI-QUADRADO
A relação entre os conceitos de vistos e os conceitos de avaliação, para as turmas
de 5a série, em cada bimestre são apresentadas nas Tabelas 5 a 8.
Tabela 5. Tabela de contingência para os conceitos de vistos e de avaliação dos alunos
de 5a série no primeiro bimestre e estatística F2 e coeficiente de contingência (C e
Cmax).
Avaliação – 1 Bim
Visto – 1
Bim
Total
B
MC
OT
B
18
40
1
59
13.3%
29.6%
0.7%
43.7%
MC
6
23
0
29
4.4%
17.0%
0.0%
21.5%
OT
26
15
6
47
19.3%
11.1%
4.4%
34.8%
Total
50
78
7
135
37.0%
57.8%
5.2%
100.0%
F2 = 23,905 (p = 0,000) C= 0,388 Cmax = 0,816
de 5a série no segundo bimestre e estatística F2 e coefeciente de contingência (C e
Cmax).
Visto – 2
Bim
Total
B
MC
OT
B
22
20
6
48
17.3%
15.7%
4.7%
37.8%
MC
10
29
5
44
7.9%
22.8%
3.9%
34.6%
OT
17
4
14
35
13.4%
3.1%
11.0%
27.6%
Total
49
53
25
127
38.6%
41.7%
19.7%
100.0%
F2 = 28.435 (p =0,0000) C= 0,428 Cmax =0,819
de 5a série no terceiro bimestre e estatística F2 e coeficiente de contingência (C e
Cmax).
Visto – 3
Bim
Total
B
MC
OT
B
17
14
2
33
14.0%
11.6%
1.7%
27.3%
MC
11
28
0
39
9.1%
23.1%
0.0%
32.2%
OT
30
10
9
49
24.8%
8.3%
7.4%
40.5%
Total
58
52
11
121
47.9%
43.0%
9.1%
100.0%
F2 = 26,924 (p =0,0000) C=0,427 Cmax = 0,819
de 5a série no quarto bimestre e estatística F2 e coeficiente de contingência (C e Cmax).
Visto – 4
Bim
Total
B
MC
OT
B
22
12
12
46
18.8%
10.3%
10.3%
39.3%
MC
7
16
2
25
6.0%
13.7%
1.7%
21.4%
OT
15
12
19
46
12.8%
10.3%
16.2%
39.3%
Total
44
40
33
117
37.6%
34.2%
28.2%
100.0%
F2 = 16,952 (p =0,002) C= 0,356 Cmax = 0,819
Verifica-se que, no primeiro bimestre, apenas 21,5% dos alunos obtiveram MC
nos “vistos”. Já, na avaliação, 57,8% deles obtiveram MC. Nota-se também que um
grande número de alunos que obtiveram B nos “vistos” não mantiveram o desempenho
na avaliação. Isto pode estar associado ao fato de que como a professora não verificava
se as tarefas estavam ou não feitas corretamente, muitos alunos tentavam “enganar” a
professora, colocando respostas incorretas só para ganhar a nota do “visto” ou, até
mesmo, copiavam dos colegas.
Nos demais bimestres observa-se que o número de alunos que obtiveram B em
vistos e MC em avaliação reduziu, ou seja, devido às notas baixas obtidas nas provas,
muitos repensaram suas atitudes com relação às tarefas diárias.
O teste de qui-quadrado mostrou-se altamente significativo para todos os
bimestres, indicando que existe uma relação (associação) entre as notas obtidas no visto
e a nota obtida na avaliação. O menor grau de associação foi verificado no quarto
bimestre com valor de C= 0,356 sendo que o máximo a ser atingido seria de 0,819,
portanto existe uma relação de aproximadamente 43% entre as notas de visto e de
avaliação. Este valor se assemelhou ao do primeiro bimestre com C= 0,388, ou seja,
47% de associação entre visto e avaliação. Para o segundo e terceiro bimestre obteve-se
também valores parecidos de C representando aproximadamente 52% de associação.
Nota-se que, no geral, a associação entre conceitos de vistos e avaliações são
consideradas médias, entretanto altamente significativas.
Além disso, podemos perceber claramente 4 grupos de alunos;
x
Grupo que faz as tarefas de qualquer forma, só para ganhar o “visto” ou que mesmo
fez a tarefa incorretamente e não entendeu a matéria com a correção. Este é o grupo
dos alunos que tiraram OT no visto e MC na prova.
1º B 11,1%; 2º B 3,1 % ; 3º B 8,3 %; 4º B 10,3 %
x
Grupo que não faz as tarefas e mesmo assim tira nota boa na prova. Este é o grupo
dos alunos que tiraram MC no visto e OT na prova .
1º B 0%; 2º B 3,9 %; 3º B 0 %; 4º B 1,7 %
x
Grupo que faz verdadeiramente as tarefas e tira nota boa na prova. Este é o grupo
dos alunos que tiraram OT no visto e OT na prova .
1º B 4,4%; 2º B 11 %; 3º B 7,4 %; 4º B 16,2 %
x
Grupo que não faz as tarefas e não consegue boas notas nas provas. Este é o grupo
dos alunos que tiraram MC no visto e MC na prova .
1º B 17%; 2º B 22,8%; 3º B 23,1 %; 4º B 13,7 %
4. CONCLUSÃO
Verifica-se que os alunos que fazem continuamente as tarefas obtêm maiores
notas e por isso o visto contínuo dos cadernos é uma grande ferramenta do professor,
pois incentiva o hábito de estudo nos alunos.
Pouquíssimos alunos conseguem aprender a matéria apenas assistindo às aulas e
é grande a porcentagem dos alunos que não fazem as atividades e tiram notas ruins nas
prova
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFIA
AYRES, M.; AYRES Jr, M.;AYRES,D. L.; SANTOS, A. S. dos. BioEstat 4.0:
Aplicações estatísticas nas áreas das ciências biológicas e médicas. Belém: Sociedade
Civil Mamirauá; Brasília: CNPa, 2005,324 p.
HELENE, O. A. Avaliação do ensino e compromisso social. Disponível em:
http://www.andifes.org.br/entrevistas/Otaviano.php. Acessado em: 24 demarço de 2008
SANTOS, T. R. Desempenho dos alunos de 5a a 8a series na prova de estudos
independentes. Monografia (Especialização em Estatística Aplicada). FAMAT/UFU.
Uberlândia, 2006, 24 p.
SPIEGEL, M. R. Estatística. 3 ed. São Paulo: Makron Books, 1993, 643 p.
HOFFMANN, R.; VIEIRA, S. Análise de Regressão: Uma Introdução à Econometria.
2 ed. São Paulo: Hucitec, 1987, 379 p.
CLASSIFICAÇÃO DO COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DA UMIDADE DO SOLO EM
EXPERIMENTAÇÃO AGRÍCOLA1
FRANCIELLA MARQUES DA COSTA2; JULIANA MARIA DE OLIVEIRA3; EDNALDO
CARVALHO GUIMARÃES4; MARCELO TAVARES5
RESUMO
A variabilidade de dados relacionados a atributos de solos com aplicação na área
agronômica é uma preocupação dos pesquisadores que atuam nesta área. Contudo,
geralmente os pesquisadores têm dificuldades em definir limites de variabilidade por
meio do coeficiente de variação. Este trabalho teve o objetivo de realizar um estudo
sobre o comportamento de coeficientes de variação da umidade do solo e de propor
limites para a classificação da variabilidade desse atributo tendo como base a
distribuição de probabilidades dos coeficientes de variação. Foram levantadas
informações de coeficientes de variação publicadas em periódicos nacionais. A
normalidade dos coeficientes de variação dos atributos foi avaliada por meio do teste
de Lilliefors. A classificação dos coeficientes de variação em graus de variabilidade
foi feita utilizando-se a mediana e os pesudo-sigmas (pseudos desvios padrões).
Verificou-se que os coeficientes de variação para a umidade do solo não
apresentaram distribuição normal e as faixas de variabilidade foram propostas com
base na metodologia não paramétrica. As faixas de graus de variabilidade do
atributo umidade do solo proposta neste trabalho não coincide com as faixas usuais
da literatura.
PALAVRAS-CHAVE: coeficiente de variação, grau de variabilidade, umidade do
solo
1
Projeto de Iniciação Científica desenvolvido no PROMAT?FAMAT – março/07 a fev/08
Acadêmica do Curso de Graduação em Matemática – UFU/FAMAT – Campus Santa Mônica – CEP: 38400902 – Uberlândia – MG - [email protected]
3
Acadêmica do Curso de Graduação em Matemática – UFU/FAMAT – Campus Santa Mônica – CEP: 38400902 - [email protected]
4
Prof. Orientador – FAMAT/UFU – [email protected]
5
Prof. Colaborador – FAMAT/UFU – [email protected]
2
1. INTRODUÇÃO
A umidade do solo é um atributo de grande importância na experimentação
agrícola e está relacionada com outros atributos que caracterizam o solo agrícola e
as condições de cultivo. Este é um atributo muito utilizado em projetos de irrigação,
pois a decisão do momento de irrigar está associada à quantidade de água presente
no solo.
Também pode-se verificar que atributos como a densidade do solo,
resistência do solo a penetração, entre outros, apresentam relações com a umidade
do solo.
Na pesquisa agronômica, a interpretação da análise estatística de variáveis
de determinados experimentos gera incertezas no momento de avaliar a precisão
com que esses estudos foram conduzidos; sobretudo quando tal precisão é
expressa por medidas que, geralmente, não tem referencial ou que necessitam de
ser avaliada comparativamente, como é o caso do coeficiente de variação.
O coeficiente de variação é definido na estatística como o desvio padrão em
relação a média (Triola, 1999) e é utilizado frequentemente para inferir sobre o grau
de variabilidade do atributo ou sobre a precisão experimental.
Em periódicos da área agrícola é comum observar referências sobre
variabilidade alta ou variabilidade baixa, contudo, é raro ter estabelecido, na área, os
limites considerados altos ou baixos para o coeficiente de variação, sendo estas
inferências feitas apenas visualmente e a critério do observador ou, então, com base
em limites fixos e únicos.
O coeficiente de variação que recebe a classificação de alto ou baixo para
determinada variável, não necessariamente precisará receber a classificação de alto
ou baixo para outra variável analisada.
Mead & Curnow, (1983) argumentam que o CV é uma medida relativa, desta
forma ele possuirá valores muito semelhantes em um grande grupo de experimentos
se, em cada um desses, o desvio padrão for diretamente proporcional à média
individual.
Nas pesquisas relacionadas à atributos de solos utiliza-se, com freqüência, a
proposta de Pimentel Gomes (1990) como referencial do grau de variabilidade do
atributos. Esse autor classifica a variabilidade como sendo baixa se o CV for inferior
a 10%, media se estiver entre 10 e 20%, alta entre 20 e 30% e muito alta para CV
acima de 30%. Contudo, verifica-se que os atributos apresentam variabilidades
distintas na área de solos e esses limites de graus de variabilidade podem não
expressar adequadamente a variabilidade do atributo.
Para algumas características das culturas de eucaliptos Garcia (1989) propôs
tabelas de classificação do CV e utilizou para este fim a relação entre as médias e
desvios padrões de CV de vários experimentos.. Seguindo a linha proposta por
Garcia (1989), Scapim et al. (1995) fizeram a classificação para atributos
relacionados à cultura do milho, Clemente e Muniz (1998) para forrageiras, Amaral
et al (1997) com citros, Judice et al (1999) com experimentação com suínos, dentre
outros autores.
A proposta de Garcia (1989) considera a distribuição dos CV como sendo
normal. Entretanto, Costa et al. (2002) trabalhando com dados da cultura do arroz de
terras altas verificaram que para alguns atributos a condição de normalidade dos Cv
não era observada. Estes autores sugeriram um método alternativo de classificação
dos coeficientes de variação que pode ser aplicado independentemente da
distribuição de probabilidade dos valores de CV. Este método baseou-se no uso da
mediana (Md) e do pseudo-sigma (PS), medidas estas, segundo o autor, mais
resistentes que a média e o desvio-padrão.
Diante do exposto, este trabalho teve o objetivo de propor graus de
variabilidade para a umidade do solo, utilizando o coeficiente de variação e a
metodologia proposta por Costa et al (2002).
O trabalho foi desenvolvido aproveitando-se valores de coeficientes de
variação (CV) da umidade do solo de artigos científicos que foram publicados em
períodos com abordagem agrícola e com solos brasileiros. Foram utilizados 61
valores de umidade do solo.
No presente trabalho, não foi especificado os delineamentos experimentais,
considerando a conclusão de Estefanel et al. (1987), segundo a qual, tais aspectos
não influenciaram significativamente os valores de CV, pressupondo-se que a forma
de disposição do experimento visa, em princípio, atenuar a possibilidade do erro
experimental. Também não se fez a especificação de profundidade de amostragem
e de determinação dessa umidade.
Os dados de Coeficiente de variação (CV) obtidos nos artigos científicos
foram dispostos em bancos de dados para se proceder à análise estatística. A
primeira análise realizada foi a visualização da distribuição dos CV utilizando-se o
histograma, acompanhado do teste de normalidade dos CV por meio do método de
Kolmogorov-Smirnov, modificado por Lilliefors (1967).
O teste de normalidade pode ser utilizado para a seleção da metodologia a
ser empregada na classificação do CV, ou seja, se os dados apresentarem Cv com
distribuição normal pode-se aplicar a proposta de feita por Garcia (1989) e caso não
seja normal aplica-se a proposta de Costa et al (2002). Por ser uma metodologia de
distribuição livre, neste trabalho, adotou-se a metodologia de Costa et al (2002).
Portanto, o histograma e o teste de normalidade tiveram a função de análise
descritiva neste trabalho.
A metodologia proposta por Costa et al (2002) se baseia mediana (Md) e nos
pseudo-sigmas (PS), definidos por: Md = (Q1 + Q3)/2 é a mediana dos coeficientes
de variação, Q1 e Q3 são o primeiro e terceiro quartil respectivamente, os quais
delimitam 25% de cada extremidade da distribuição dos CV e, PS = IQR/1,35 é o
pseudo-sigma, sendo IQR a amplitude interquartílica (Q3 – Q1), que é uma medida
resistente que indica o quanto os dados estão distanciados da mediana.
Os limites de classificação dos CV são definidos conforme Tabela 1.
Tabela 1. Limites de classificação dos Coeficientes de Variação de acordo com a
proposta de Costa et al (2002)
CLASSIFICAÇÃO
INTERVALO
BAIXO
CV d (Md – PS)
MÉDIO
(Md – PS) CV d (Md + PS)
ALTO
Md + PS) CV d (Md + 2PS)
MUITO ALTO
CV > (Md + 2PS)
Costa el al (2002) argumenta que o pseudo-sigma corresponderia ao desvio
padrão que uma distribuição normal precisaria ter para produzir a mesma distância
interquartílica com os dados utilizados e daí vem o fator 1,35 apresentado na
fórmula do IQR. Os autores argumentam ainda que se os dados não apresentarem
distribuição normal o uso do pseu-sigma é uma medida de dispersão mais resistente
que o desvio padrão, já para distribuição normal tem-se que desvio padrão e
pseudo-sigma são aproximadamente iguais.
A Figura 1 mostra a distribuição de freqüências da umidade do solo com o
respectivo teste de Lilliefors para a normalidade.
Figura 1. Histograma dos coeficientes de variação da umidade do solo com o teste
de normalidade.
A distribuição de freqüências e o teste de normalidade revelaram que os
coeficientes de variação da umidade do solo se afastaram da distribuição normal.
Este fato não permite o uso da metodologia descrita em Garcia (1989) para a
classificação da variabilidade desse atributo baseado nos coeficientes de variação.
Entretanto, pode-se utilizar a metodologia proposta por Costa et al (2002) que
independente da distribuição de probabilidade desses coeficientes.
Na Tabela 2 são apresentadas as estatísticas do coeficiente de variação do
atributo resistência do solo a penetração, utilizadas na determinação dos limites dos
graus de variabilidade.
Tabela 2. Estatísticas dos coeficientes de variação da umidade do solo utilizadas
para a determinação de limites de graus de variabilidade.
Estatísticas
Umidade
Q3
16,70
Q1
7,62
IQR
9,08
Mediana (Q2)
10,77
n
61,00
média do CV
12,56
pseudo sigma
6,73
maior valor
34,00
menor valor
3,88
amplitude
30,12
Analisando os quartis (Q1, Q2 e Q3) e adotando a classificação de Pimentel
Gomes (1990) a variabilidade do atributo seria classificada como média ou alta para
pelo menos 50% dos dados avaliados, ou seja, dos artigos publicados. O menor
coeficiente de variação encontrado na literatura para esse atributos foi de 3,88% e o
maior de 34,00% que, de acordo com o mesmo autor, teria a classificação de baixa
e de alta magnitude, respectivamente. Pode-se verificar por estes resultados que a
classificação de variabilidade sugerida por esse autor não se aplica adequadamente
à umidade do solo. Deve-se ressaltar que a classificação de Pimentel Gomes (1990)
foi proposta baseando-se em experimentos com delineamentos experimentais e
para atributos agrícolas com relativa estabilidade e que, portanto, não deve ser
generalizada.
Considerando que os coeficientes de variação para a umidade do solo
apresentaram distribuição de probabilidade que se afastou da normal, adotou-se a
metodologia de classificação dos coeficientes de variação proposta por Costa el al
(2002).
Os resultados da classificação dos coeficientes de variação são apresentados
na Tabela 3.
Tabela 3. Classificação dos coeficientes de variação da umidade do solo de acordo
com o grau de variabilidade experimental.
Coeficiente de Variação (CV%)
Umidade
Baixo
Médio
Alto
Muito Alto
CV < 4,04
4,04 < CV < 17,50
17,50 < CV < 24,22
CV > 24,22
Verifica-se que a classificação do grau de variabilidade utilizando-se a
proposta de classificação feita por Costa et al (2002) difere daquela classificação
geralmente utilizada em trabalhos científicos que utiliza limites fixos qualquer que
seja a variável analisada.
A variabilidade é considerada baixa para o caso da umidade do solo se o
coeficiente de variação for inferior a 4,04 e é considerada muito alta para CV
maiores que 24,22. Já na classificação de Pimentel Gomes (1990) tem-se que estes
limites são de 10% e de 30%, respectivamente, mostrando que este atributo do solo
apresenta maior estabilidade que aqueles estudados pelo referido autor.
4. CONCLUSÃO
A classificação do grau de variabilidade de experimentos agrícolas que
envolvam o atributo umidade do solo não deve seguir os parâmetros fixos propostos
na literatura de experimentação agrícola.
O grau de variabilidade desse atributo e de outros atributos na
experimentação agrícola deve ser classificado utilizando a proposta de Costa et al
(2002) e ser adaptada para cada atributo avaliado.
5. REFERÊNCIAS:
AMARAL, A.M., MUNIZ, J.A., SOUZA, M. Avaliação do coeficiente de variação como
medida da precisão na experimentação com citros. Pesq. Agropec. Bras., Brasília,
vol.32, n.12, p.1221-1225, 1997.
CLEMENTE, A. L.;
MUNIZ, J. A. Avaliação da precisão de experimentos com
plantas forrageiras. In: CONGRESSO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA UFLA, 11.
Resumos... Lavras, UFLA, 1998, p. 141.
COSTA, N.H.A.D., SERAPHIN, J.C., ZIMMERMANN, F.J.P. Novo método de
classificação de coeficientes de variação para a cultura do arroz de terras altas.
Pesq. Agropec. Bras., vol.37, n.3, p.243-249, 2002.
ESTEFANEL, V.; PIGNATARO, I.A.B.; STORCK, L. Avaliação do coeficiente de
variação de experimentos com algumas culturas agrícolas. In: SIMPÓSIO DE
ESTATÍSTICA APLICADA À EXPERIMENTAÇÃO AGRONÔMICA, 2., 1987,
Londrina. Anais... Londrina: Univ. Estadual de Londrina / Região Brasileira da
Sociedade Internacional de Biometria, 1987. p.115-131.
GARCIA, C.H. Tabelas para classificação do coeficiente de variação. Piracicaba:
IPEF, 1989. 12p. (Circular técnica, 171).
JUDICE, M. G., MINIZ, J. A., CARVALHEIRO, R. Avaliação do coeficiente de
variação na experimentação com suínos. Ciênc. e Agrotec., vol. 23, n.1, p.170-173,
1999.
LILLIEFORS, H. W. On the Kolmogorov-Smirnov test for normality with mean and
variance unknown. J. Am. Stat. Assoc., Washington, vol.62, p.399-402, 1967.
MEAD, R.; CURNOW, R.N. Statistical methods in agriculture and experimental
biology. New York: Chapman and Hall, 1983. 335p.
PIMENTEL GOMES, F. Curso de Estatística Experimental. 12.ed. Piracicaba:
Nobel, 1990. 467p.
SCAPIM, C.A.; CARVALHO, C.G.P. de; CRUZ, C.D. Uma proposta de classificação
dos coeficientes de variação para a cultura do milho. . Pesq. Agropec. Bras.,
Brasília, v.30, p.683-686, 1995.
TRIOLA, M. F. Introdução a estatística. LTC: 7 edição. 1999.
EFEITO DE TENDÊNCIA NO AJUSTE DE SEMIVARIOGRAMAS ESFÉRICOS
EFFECT OF TREND IN THE ADJUSTMENT OF SPHERICAL SEMIVARIOGRAM
Alessandra Ribeiro da Silva1, Ednaldo Carvalho Guimarães2, Marcelo Tavares3
Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Matemática
Av. João Naves de Ávila,2160 – Campus Santa Mônica
CEP: 38400-902 – Uberlândia – MG – Brasil
1
Aluna do Curso de Matemática – UFU –
Bolsista: PET-SESu\MEC – e-mail: [email protected]
2
Professor Orientador – e-mail: [email protected]
3
Professor Colaborador – e-mail: [email protected]
ABSTRACT
The study and the determination of the spatial or temporal dependence of regionalized aleatory
variables can be carried out through the semivariogram that permits determinate the range of the
spatial dependence of the variable in the study and also defines the structure of the spatial
behavior. The presence of a trend in the evaluated data makes it difficult the adjustment of
adequate models to the spatial behavior of the variable. The aim of this study was to show,
through graphic analyses, the behavior alteration of spherical semiovariogram when sampling
data presents different types of trends. It was taken data of bulk density with spherical behavior
described by the spherical semivariogram model, after that it was added to the data, polynomial
and cyclical trends. The semivariogram was again adjusted and it was verified that a polynomial
trend caused semivariogram model without a defined platform and the cyclical trend caused
semivariogram also cyclical or periodical. As a conclusion it could be noticed that the presence
of a trend, in the analyzed variable, can induce adjustments of spatial dependence in a different
way of the real model.
Key-words: geostatistics, spherical semivariogram, trend
RESUMO
O estudo e a determinação da dependência espacial ou temporal de variáveis aleatórias
regionalizadas podem ser realizados através do semivariograma que permite a determinação da
amplitude da dependência espacial da variável em estudo e também define a estrutura do
comportamento espacial. A presença de tendência nos dados avaliados dificulta o ajuste de
modelos adequados ao comportamento espacial da variável. Este trabalho teve o objetivo de
mostrar, por meio de análise gráfica, a alteração no comportamento de semivariogramas
esféricos quando os dados amostrais apresentarem diferentes tipos de tendências. Foram
utilizados dados de densidade do solo com comportamento espacial descrito pelo modelo de
semivariograma esférico, em seguida, foram adicionadas a estes dados tendências polinomiais e
cíclicas. O semivariograma foi novamente ajustado e verificou-se que a tendência polinomial
acarretou modelos de semivariogramas sem patamar definido e que a tendência cíclica acarretou
semivariogramas também cíclicos ou periódicos. Concluiu-se que a presença de tendência, na
variável analisada, pode induzir ajustes de modelos de dependência espacial diferente do
modelo real.
Palavras-chave: geoestatística, semivariograma esférico, tendência.
1. INTRODUÇÃO
O estudo e a determinação da dependência espacial ou temporal de variáveis aleatórias
regionalizadas podem ser realizados utilizando a metodologia geoestatística. Uma das mais
importantes ferramentas dessa metodologia é o semivariograma que permite a determinação da
amplitude da dependência espacial da variável e também define a estrutura do comportamento
espacial.
Vieira (1997) argumenta que as duas principais ferramentas de análise da dependência
espacial são o autocorrelograma e o semivariograma, tendo o segundo a vantagem de ser menos
restritivo que o primeiro e, portanto, o preferido entre os pesquisadores.
Basicamente o semivariograma mede o grau de semelhança entre amostras vizinhas,
esperando-se que quanto mais próximas, espacialmente ou temporalmente, forem selecionadas
as amostras, maior será a semelhança entre elas e, portanto, menor será a variância e quanto
mais afastada menor será a semelhança, até que estas diferenças sejam atribuídas tão somente
ao acaso.
O semivariograma tem aplicação imediata na realização de estimativas por meio da
krigagem e estas são utilizadas para mapear as variáveis.
Um dos problemas na determinação do semivariograma é a presença de tendência nos
dados avaliados, ou seja, a não estacionaridade da variável, dificultando o ajuste de modelos
adequados ao comportamento espacial da variável Vieira (1997) e Guimarães (2004). É comum
entre os usuários da metodologia geoestatística surgir à dúvida de qual modelo de tendência
deve ser utilizado para a variável em estudo e para uma melhor definição do semivariograma,
principalmente entre usuários de áreas aplicadas.
Estas tendências influenciam diretamente no ajuste de semivariogramas e produzem
efeitos diferenciados nos modelos. Vieira et al (1983) argumentam que quando a variável
apresentar tendência esta deve ser removida antes do ajuste do semivariograma e sugerem o uso
de superfície de tendência para a remoção.
Espera-se, com este trabalho, mostrar padrões de comportamento de semivariogramas
quando submetidos a diferentes tipos de tendência.
2. METODOLOGIA DE EXECUÇÃO
Os dados experimentais desse estudo se referem às densidades de um solo agrícola
levantados por Guimarães (1993) e apresentam dependência espacial com modelo esférico. A
partir dos dados originais de densidade foram criadas novas variáveis adicionando-se as
tendências polinomiais e cíclicas.
O cálculo da semivariância foi feito por meio da Equação 1.
2
N (h)
J (h)
¦ [Z ( xi ) Z ( xi h)]
i 1
(1)
2 N ( h)
em que: J (h) é a semivariância para uma distância h; Z(xi) e Z(xi+h) são observaçaões da
variável Z nas posições xi e xi+h; N(h) é o número de pares obtidos para a distância h.
A partir dos valores de J (h) e de h constroi-se o semivariograma.
A fórmula e a representação gráfica do modelo esférico podem ser visualizadas na
Equação 2 e Figura 1.
J ( h)
°C0 C1[1,5( h / a ) 0,5( h / a )3 ]
®
°̄C0 C1
onde C0: efeito pepita; C0+C1: patamar;
separação entre as observações.
0ha
hta
(2)
a: alcance do semivariograma; h: distância de
Figura 1: Semivariogramas esféricos: (A) sem efeito pepita e (B) com efeito pepita.
Utilizou-se, portanto uma variável regionalizada Z(x, y) e variáveis Z*(x, y),
respectivamente, sem e com a presença de tendência.
Os dados foram gerados em uma malha com 63 pontos amostrais separados entre si de
20m e dispostos em uma malha retangular de 9 linhas e 7 colunas.
A análise exploratória da variável Z, com tendências e sem a tendência, foi realizada
para verificar o efeito de diferentes tendências na análise descritiva. Na análise geoestatística
foram determinados os semivariogramas para as diferentes situações do estudo.
Os procedimentos da análise geoestatística foram realizados de acordo com Vieira et
al (1983) e as análises foram feitas no programa GS+ Versão 7 (Gamma Design Software,
2004).
As tendências polinomiais e cíclicas foram feitas de acordo com as equações gerais
(Equação 3 e Equação 4).
Polinomial:
y = a+bx+cy+dxy+ex2+...
(3)
y = a+sen(x) +...
(4)
Cíclica:
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO.
Na Figura 2 é apresentado o comportamento dos dados de densidade do solo.
Figura 2: Comportamento da densidade do solo.
Nota-se um comportamento errático da variável com valores altos e baixos de
densidade distribuídos por toda superfície, conseqüentemente, impossibilitando o ajuste de
modelos determinísticos (matemáticos) para explicar a variável.
Na Figura 3 observa-se o comportamento dos dados quando adicionamos a tendência
linear do tipo (Equação: 5).
f (x, y) = 0,3+0,002x
(5)
Figura 3: Comportamento da densidade do solo com tendência linear.
Nota-se que, neste caso, foi adicionada a tendência linear apenas na direção X e
percebe-se o efeito desta tendência nesta direção (Figura 3). Os valores mais baixos
concentram-se na parte inferior da figura.
quadrática do tipo (Equação: 6).
f (x, y) = 0,000005x2+0,00001xy+0,000005 y2+0,2
(6)
Figura 4: Comportamento da densidade do solo com tendência quadrática.
Na Figura 4 foi adicionada uma superfície quadrática aos dados de densidade e como
se pode notar o efeito ocorre tanto na direção X quanto na direção Y e de forma não linear.
cíclica do tipo (Equação: 7).
f (x, y) = 0,3+0,2sen(x)+0,4sen(y)
(7)
Figura 5: Comportamento da densidade do solo com tendência cíclica.
A Figura 5 mostra o efeito de uma função cíclica.A tendência cíclica promove a
formação de picos e vales na superfície dos dados quando representados espacialmente.
Considerando as observações feitas nas representações espaciais dos dados (Figuras 2
a 5) percebe-se que este tipo de análise descritiva pode ser utilizada como uma pré-análise para
verificar se a variável analisada esta ou não sob a influência de tendência.
Na Tabela 1 são apresentadas as estatísticas dos dados originais de densidade do solo e
as estatísticas dos dados com tendência.
Tabela 1-Estatísticas da densidade do solo (g/cm3) para
os dados originais e dados com tendência.
Estatísticas Densidade Linear Quadrático Seno
Média
1,15
1,65
1,53
1,55
Mediana
1,15
1,66
1,52
1,57
Desvio padrão
0,07
0,13
0,13
0,32
Coef. Variação
6,15
8,18
8,57
20,54
Curtose
1,54
0,46
0,33
-0,97
Assimetria
-0,07
-0,02
0,01
-0,27
Mínimo
0,93
1,27
1,14
0,93
Máximo
1,35
2,01
1,81
2,12
Contagem
63
63
63
63
A Tabela 1 mostra que a tendência tem influência sobre a variabilidade dos dados,
pois esta geralmente provoca um aumento no coeficiente de variação. Verificou-se também que
a tendência cíclica (função seno) aumentou a assimetria dos dados. Sabe-se que o coeficiente de
variação alto e o coeficiente de assimetria e de curtose que se afastam do valor zero podem ser
um indicativo da presença de tendência nos dados e este fato dificulta a determinação de
modelos de semivariogramas com patamar definido.
Contruiu-se, a partir dos dados da densidade do solo, o semivariograma esférico que
pode ser visto na Figura 6.
Figura 6: Semivariograma esférico para a densidade do solo.
Ajustou-se o modelo de dependência espacial esférico com alcance de 100,800000m,
patamar de 0,004970m e efeito pepita de 0,002480m conforme mostrou a Figura 3.
Esta figura mostra o comportamento geral da distribuição espacial com o modelo
esférico. Esse modelo mostrou que até uma distância de separação entre as amostras de 100,8m
existe a dependência espacial e que a partir dessa distância não ocorre mais a dependência.
Adicionou-se aos dados de densidade tendências polinomiais expressas pelas
Equações 5 e 6 e obteve-se os seguintes semivariogramas ( Figuras 7 e 8) :
Figura 7: Semivariograma com tendência linear.
Figura 8: Semivariograma com tendência quadrática.
Percebe-se que nos semivariogramas com tendência linear e quadrática (Figuras 5 e 7)
não foi possível determinar o alcance da dependência, isso ocorreu devido a adição da
tendência, ou seja, em dados experimentais quando não se consegue detectar o patamar do
semivariograma, deve-se investigar a presença de tendência e conforme recomenda Vieira et
al (1983) deve-se ajustar superfícies de tendência polinomiais e fazer a extração dessa
tendência dos dados. O semivariograma deve ser ajustado com os resíduos, posterior a
tendência deve novamente ser adicionada.
Verificou-se que na presença da tendência linear e quadrática não ocorreu patamar
neste tipo de semivariograma e esperava-se que o gráfico tridimensional caracterizasse bem o
modelo de tendência.
Adicionou-se também aos dados de densidade tendência cíclica expressa pela Equação
5 e obteve-se o seguinte semivariograma (Figura 9).
Figura 9: Semivariograma com tendência cíclica (seno).
A análise desta figura mostrou que a determinação do patamar não é clara e as
semivariâncias flutuam ao redor da variância, portanto, na presença da função seno verifica-se
que os dados do semivariograma experimental apresentam uma certa periodicidade e esta é
refletida no modelo de semivariograma.
Portanto,
verificou-se
que
a
tendência
polinomial
acarretou
modelos
de
semivariogramas sem patamar definido e que a tendência cíclica apresentou semivariogramas
também cíclicos ou periódicos.
4. CONCLUSÕES
Concluiu-se que a presença de tendência, na variável analisada, pode induzir ajustes de
modelos de dependência espacial diferente do modelo real.
[1] GAMMA DESIGN SOFTWARE. GS+: Geostatistics for the Enviromental Sciences, 2004.
[2] GUIMARÃES, E. C. Geoestatistica Básica e aplicada, 77p, 2004. Disponível em:
www.famat.ufu.br/ednaldo/ednaldo.htm Acessado em 10/08/2004.
[3] GUIMARÃES, E. C. Variabilidade espada} da umidade e da densidade do solo em um
Latossolo Roxo. Campinas, SP, 1993. 135 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Agrícola Área de concentração: Água e Solo) - Faculdade de Engenharia Agrícola, Universidade
Estadual de Campinas.
[4] VIEIRA, S. R.. Variabilidade espacial de argila, silte e atributos químicos em parcela
experimental de um Latossolo Roxo de Campinas (SP). Bragantia, 56(1), p. 181-190, 1997.
[5] VIEIRA, S. R.; HATFIELD, J. L.; NIELSEN, D. R.; BIGGAR, J. W. Geostatistical theory
and application to variability of some agronomical properties. Hilgardia, 31(3), 75 p, 1983.
Polı́gonos Regulares e Complexidade
Algébrica 2 e 3: alguns problemas de
geometria euclidiana plana
Luciana Yoshie Tsuchiya∗
Gabriela Aparecida dos Reis†
Edson Agustini‡
Faculdade de Matemática - Famat
Universidade Federal de Uberlândia - Ufu - MG
Abril de 2008
Resumo
Este trabalho de iniciação cientı́fica está baseado na dissertação de mestrado “Complexidade em Geometria Plana Euclidiana”, de S. M. R. Lopes, ref. [2].
O conceito de complexidade algébrica em demonstrações de geometria euclidiana
plana está associado ao grau de dificuldade que tal demonstração apresenta. Nos
trabalhos [3] e [4], introduzimos o conceito de complexidade algébrica e analisamos
alguns teoremas importantes de geometria à luz desse conceito. Neste trabalho,
retomamos a complexidade algébrica sob um ponto de vista mais didático, trabalhando com polı́gonos regulares. Problemas associados ao estudo de polı́gonos
regulares de 3, 4, 5, 6 ou 10 lados em geometria plana são resolvidos analiticamente por expressões quadráticas, ou seja, possuem complexidade algébrica 2. No
entanto, é fácil dar exemplos de problemas geométricos ingênuos e difı́ceis onde figuram ângulos múltiplos de 20o e 50o. Alguns desses problemas estão relacionados
às expressões algébricas cúbicas associadas aos polı́gonos regulares de 9 e 18 lados,
ou seja, possuem complexidade algébrica 3. Neste trabalho introduzimos o estudo
de algumas propriedades e configurações geométricas associadas a polı́gonos regulares de 5, 9 e 18 lados e apresentamos ferramentas que facilitam a resolução de
problemas geométricos de complexidade algébrica 2 e 3.
Palavras-chave: complexidade algébrica, polı́gonos, trigonometria.
1
Polı́gonos regulares com 3, 4, 5, 6 e 10 lados: complexidade algébrica 2
Os problemas de Geometria Euclidiana Plana do Ensino Médio geralmente envolvem
apenas ângulos de 30o, 45o, 60o e 90o, nos quais as funções trigonométricas possuem
os valores memorizados pelos alunos. Esses ângulos estão relacionados aos polı́gonos
regulares de 3, 4 e 6 lados, que nos são mais familiares, e o estudo desses polı́gonos se
∗
[email protected] - Pet - Programa de Educação Tutorial - Famat - Ufu.
[email protected] - Pet - Programa de Educação Tutorial - Famat - Ufu.
‡
[email protected] Professor orientador.
†
faz essencialmente com expressões quadráticas. No triângulo equilátero abaixo, obtemos,
utilizando o Teorema de Pitágoras, a seguinte equação quadrática:
30º
a
a2 =
h
a 2
2
+ h2 ⇒ h2 = a2 −
a2
⇒
4
√
3 2
3
h = a ⇒h=a
4
2
2
60º
a
2
Daı́ tiramos
√
h
3
cos (30o) = sen (60o) = =
a
2
e
sen (30o) = cos (60o) =
a
2
1
= .
a
2
No quadrado, também utilizando o Teorema de Pitágoras, obtemos a equação:
45º
a 2
45º
a
h2 = a2 + a2 ⇒ h =
√
2a
a
Donde tiramos
√
a
2
cos (45 ) = √ =
2
2a
o
e
√
a
2
sen (45 ) = √ =
.
2
2a
o
Para o hexágono fica evidente que seu estudo se faz por meio de equações quadráticas, já
que podemos decompô-lo em seis triângulos equiláteros.
Embora não tão estudado no Ensino Médio, ao pentágono e ao decágono também podemos
associar equações quadráticas, o que nos permite trabalharmos com ângulos de 18o, 36o
e 72◦ . De fato, para 36o, consideremos a figura:
B
36º
36º
r
O
l10
72º 72º
36º
C
A
Por semelhança de triângulos temos
r
l10
OB
BA
=
=⇒
=
.
l10 r − l10
BA
AC
Sem perda de generalidade podemos supor r = 1.
Logo,
2
√
2
(l10) = 1 − l10 ⇒ (l10) + l10 − 1 = 0 ⇒ l10 =
5−1
.
2
Utilizando a Lei dos Senos, temos
√
5−1
2
sen (36o)
√
sen (72o)
√
√
5−1
2
5−1
2
5−1
2
=
1
=⇒
sen (72o)
= sen (36o) =⇒
sen (2 (36o)) − sen (36o) = 0 =⇒
2 cos (36o) sen (36o) − sen (36o) = 0 =⇒
sen (36o)
√
5 − 1 cos (36o) − 1 = 0
Mas sen (36o) = 0, então
√
1
5 − 1 cos (36o) − 1 = 0 =⇒ cos (36o) = √
.
5−1
Por envolverem expressões quadráticas, os problemas associados ao estudo de polı́gonos
com 3, 4, 5, 6 e 10 lados têm o que chamamos de Grau de Complexidade Algébrica 2.
Vejamos dois problemas com grau de complexidade algébrica 2.
1.1
Construção geométrica de uma tabela exata de senos e cossenos
de ângulos múltiplos de 3o
Nesta subseção vamos, de uma forma distinta da apresentada anteriormente, estudar
as relações entre os lados e as diagonais do pentágono para calcular o valor de cosseno
de 18o. Utilizando esse valor e valores já conhecidos do cosseno, além de identidades
trigonométricas, montaremos uma tabela trigonométrica exata com todos os senos e
cossenos de ângulos múltiplos inteiros de 3o.
Seja ABCDE um pentágono regular de lado medindo 1 e P o ponto de intersecção das
diagonais AD e BE, conforme figura.
D
18º
E
1
2l
C
36º
H
d
P
1
º
36 l
A
36º
B
Observemos que os triângulos AED e BAE são isósceles, então, como os ângulos internos
= 36o e AEP
= 36o. Assim, DEP
= AED
−
do pentágono medem 108o, temos EDA
o
o
AEP = 72 e, conseqüentemente, EPD = 72 e o triângulo PDE é isósceles. Então, temos
DE = DP = 1.
1
Determinando que AP = , temos que o comprimento da diagonal do pentágono é dado
λ
por
1
d=1+ .
λ
= 72o,
No triângulo PBA obtemos, pela soma dos ângulos internos do triângulo, que PAB
= 36o e APB
= 72o (ângulo oposto de EPD).
= 108o−PAB
=
pois ABE
Logo, temos EAP
1
36o e, portanto, o triângulo APE também é isósceles e, conseqüentemente, EP = AP = .
λ
Do triângulo isósceles EDP obtemos o triângulo retângulo EDH, em que H é o ponto em
que a altura encontra o lado EP, de onde tiramos
sen (18o) =
1
2λ
1
.
Observemos que os triângulos ABD e PDE são semelhantes, então podemos obter a
seguinte relação:
d
1
= .
1
1
λ
1
Como d = 1 + , chegamos à equação quadrática
λ
λ2 − λ − 1 = 0 ,
de onde obtemos
√
1+ 5
λ=
.
2
Assim,
o
sen (18 ) =
2
1
√
√ 1+ 5
2
=
5−1
4
e, usando a identidade trigonométrica sen2 (18o) + cos2 (18o) = 1, obtemos
o
cos (18 ) =
√
10 + 2 5
.
4
Com o cosseno de 45o e 30o podemos encontrar o valor do cosseno de 15o usando a
identidade trigonométrica da diferença de ângulos:
cos (15o) = cos (45o − 30o)
= cos (45o) cos (30o) + sen (45o) sen (30o)
√
√ √
2 3
21
+
=
2 2
2 2
√ √
2
3+1
=
.
4
Usando a mesma identidade para os ângulos de 15o e 18o encontramos o cosseno de 3o:
cos (3o) = cos (18o − 15o) = cos (18o) cos (15o) + sen (18o) sen (15o)
√
√ √2 √3 + 1
√
10 + 2 5
5−18−4 3
+
=
4 4
4
16
√
√ √
√ √
20 + 4 5 + 1 + 3
10 − 2
1− 3
.
=
16
e, a partir daı́, usando a identidade trigonométrica para a soma dos ângulos encontramos as
funções trigonométricas para os ângulos múltiplos inteiros de 3o, conforme tabela abaixo.
α
3o
6o
9o
12o
15o
18o
21o
24o
27o
30o
33o
36o
39o
42o
45o
1.2
sen (α)
cos (α)
√
√ √
√
√
√
(1− 3) 20+4 5+(1+ 3)( 10− 2)
16
√
√
√ √
√
3( 5−1) 10+2 5
5+1
+
8
16 √
√ √
√ √
√
2( 5+1)
2( 5−1) 10+2 5
−
8√
16
√ √ √
10+2 5− 3( 5−1)
8√
√
2(1− 3)
4
√
5−1
4
√
√
√ √
√
√
√
√
2(1− 3)( 5+1)
2(1+ 3)(1− 5) 10+2 5
−
16
32
√
√
√ √
√
3(1+ 5)
(1− 5) 10+2 5
+
8 √
16 √
√ √
2
10+2 5− 5+1
√
√ √
√
√
√
(1+ 3) 20+4 5−(1− 3)( 10− 2)
16
√
√
√
√ √
( 5−1) 10+2 5
3 5+1
+
8
16 √
√ √
√ √
√
2( 5+1)
2( 5−1) 10+2 5
+
8
16
√ √
√ √
3 10+2 5+ 5−1
8√
√
2(1+ 3)
√ 4 √
10+2 5
4
√
√
√ √
√
√
√
√
2(1+ 3)( 5+1)
2(1− 3)(1− 5) 10+2 5
+
16
32
√
√
√ √
√
5(−1+ 5) 10+2 5
(1+ 5)
+
8
16 √ √
√ √
2
10+2 5+ 5−1
8
1
2
√
√ √
√
√ √ √
2( 3−1) 10+2 5+ 2( 3+1)( 5−1)
16
√
√
√
( 5−1) 10+2 5
18
√
√ √
√
√ √
√
√
2( 3+1)( 5+1)
2( 3−1)( 5−1) 10+2 5
−
16
32
√ √
√ √
3 10+2 5− 5+1
√8
2
2
√8
3
2
√
√ √
√
√ √ √
2( 3+1) 10+2 5− 2( 3−1)( 5−1)
16
√
5+1
4
√
√ √
√
√ √
√
√
2( 3−1)( 5+1)
2( 3+1)( 5−1) 10+2 5
+
16
32
√
√ √ √
10+2 5+ 3( 5−1)
√8
2
2
Uma conseqüência: senos e cossenos de sucessivos arcos
metade
Por meio das identidades trigonométricas podemos obter muitos resultados interessantes,
como por exemplo, os senos e cossenos dos sucessivos arcos metade dos ângulos de 45o,
15o e 18o.
Consideremos
2 + 2 cos (2θ)
1 + cos (2θ)
2
⇒ cos (θ) =
.
cos (θ) =
2
2
Fazendo θ =
α
temos
2
cos
α
2
=
2 + 2 cos (α)
=
2
8 + 8 cos (α)
.
4
α
na fórmula obtemos
2
√
α
α
2+2cos(α)
α
2 + 2 cos 2
2
+
2 + 2 cos (α)
2+2
2
cos 2 = cos 2 =
=
=
.
2
2
2
2
2
Aplicando o arco metade de
α
Assim, aplicando sucessivamente o arco metade de n−1 na fórmula obtemos
2
⎛ α ⎞
2
+
2
+
·
·
·
+
2 + 2 cos (α)
n−1
α
.
cos ⎝ 2 n ⎠ = cos n =
2
2
2
que terá n raı́zes quadradas.
Para o seno dos sucessivos arcos metade, consideremos
α 2 − 2 cos (α)
8 − 8 cos (α)
=
=
,
sen
2
2
4
Temos
2 − 2 − · · · − 2 − 2 cos (α)
α
,
sen n =
2
2
com n raı́zes quadradas.
Então, para os cossenos e senos dos sucessivos arcos metades de 45o, 15o e 18o temos
⎧
⎪
√ ⎪
⎪
2
⎪
√
2
+
2
+
·
·
·
+
2
+
2
⎪
⎪
2
o
⎪
2
+
2
+
·
·
·
+
2
+
2
⎪
45
⎪
⎪
=
cos
=
⎪
⎪
⎨
2n
2
2
,
⎪
⎪
⎪
√ ⎪
⎪
⎪
2
⎪
√
2
−
2
−
·
·
·
−
2
−
2
⎪
2
⎪
o
⎪
2
−
2
−
·
·
·
−
2− 2
⎪
45
⎪
⎩ sen
=
=
2n
2
2
ambos com n + 1 raı́zes quadradas,
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
o
⎪
⎪
15
⎪
⎪
=
cos
⎪
⎪
⎨
2n
√ √
2( 3+1)
2 + 2 + · · · + 2 + 2
4
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
o
⎪
⎪
⎪
15
⎪
⎩ sen
=
2n
√ √
2( 3−1)
2 − 2 − · · · − 2 − 2
4
2+
=
2
2 + ··· +
2+
√ √
2( 3+1)
2
2
,
2−
=
2
2 − ··· −
√
2−
√
2( 3−1)
2
2
ambos com n + 1 raı́zes quadradas e
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
o
⎪
⎪
18
⎪
⎪
=
cos
⎪
⎪
⎨
2n
√
√ 10+2
5
8 + 8 + · · · + 8
4
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
o
⎪
⎪
⎪
18
⎪
⎩ sen
=
2n
√
√ 10+2 5
8 − 8 − · · · − 8
4
4
4
ambos com n + 2 raı́zes quadradas.
=
8+
8 + ··· +
√
2 10 + 2 5
4
,
=
8−
√
8 − · · · − 2 10 + 2 5
4
2
Polı́gonos regulares com 9 e 18 lados: complexidade algébrica 3
Problemas geométricos que não costumam aparecer no Ensino Médio são os que envolvem os ângulos de 20o e 100o, que apresentam grau de complexidade algébrica 3, por
estarem associados às expressões cúbicas como, por exemplo, a que relaciona cos (20◦ )
1
com cos (60o) = .
2
Vejamos: no caso particular de multiplicação de números complexos em que todos os
fatores são iguais e de módulo unitário, obtemos a chamada Fórmula de Moivre:
(cos (θ) + i sen (θ))n = cos(nθ) + i sen(nθ), ∀n ∈ Z.
Para n = 3, temos
cos(3θ) + i sen(3θ) = (cos (θ) + i sen (θ))3
= cos3 (θ) + 3 cos2 (θ) (i sen (θ)) − 3 cos (θ) sen2 (θ) − i sen3 (θ)
= cos3 (θ) − 3 cos (θ) sen2 (θ) + 3 cos2 (θ) sen (θ) − sen3 (θ) i,
Logo,
cos (3θ) = cos3 (θ) − 3 cos (θ) sen2 (θ)
.
sen (3θ) = 3 cos2 (θ) sen (θ) − sen3 (θ)
Então,
⎧
⎪
1
⎪
o
o
⎪
))
=
(60
)
=
(20
= cos3 (20o) − 3 cos (20o) sen2 (20o)
cos
cos(3
⎪
⎪
2
⎨
√
⎪
⎪
⎪
3
⎪
o
o
⎪
= 3 cos2 (20o) sen (20o) − sen3 (20o)
⎩ sen(3 (20 )) = sen (60 ) =
2
.
Daı́ já podemos perceber que o grau de dificuldade de se trabalhar com esses ângulos em
problemas é maior, e isso também se deve ao fato de esses ângulos estarem relacionados
aos polı́gonos regulares de 9 e 18 lados que nos são menos familiares.
Dois desses problemas envolvendo triângulos e considerados difı́ceis no Ensino Médio por
terem grau de complexidade algébrica 3 são os que apresentamos abaixo.
= 100o. Marque o
Problema 1: Seja ABC um triângulo isósceles de ângulo principal A
ponto D na reta AB tal que AD = BC. Encontre o valor do ângulo α = BCD.
A
100º
B
D
a
C
= 20o. Considere
Problema 2: Seja ABC um triângulo isósceles de ângulo principal A
= 60o.
= 50o e CBP
o ponto P e Q nos lados AB e AC, respectivamente, tais que BCP
Encontre o valor de β = BQP.
B
P
60º
20º
a
50º
A
Q
C
Resolvemos esses dois problemas usando propriedades dos lados e diagonais do eneágono
e octadecágono regulares. Para tanto, consideremos os lemas seguintes.
Lema 1: Dado um eneágono regular, denotemos por 1 o comprimento do lado do
eneágono, e por 2 e 4 os comprimentos das diagonais que subentendem, respectivamente, dois e quatro lados do eneágono. Então, 1 + 2 = 4 .
1
4
2
Demonstração.
Consideremos a figura a seguir, na qual o octadecágono circunscreve o eneágono.
Assim, AB é o diâmetro do octadecágono e I é o ponto de intersecção entre AB e a
diagonal CE. Por simetria, a diagonal FD também intersecta AB em I. Notemos que as
diagonais CF, DE e CE têm comprimentos 1 , 2 e 4 , respectivamente.
= 20o, pois FDC
é
Sabendo-se que o ângulo central do eneágono mede 40o temos FDC
= 40o, pois este é metade do arco ED
metade do ângulo central. Temos também ECD
que mede 80o.
+ IDC
= FIC = DIE,ou
Pelo teorema dos ângulos externos de um triângulo temos, ICD
seja, FIC = 40o + 20◦ = 60o.
Além disso, pela simetria da figura, temos CI = IF e DI = IE,logo os triângulos FIC e
EID são isósceles de ângulo principal 60◦ ,o que significa que eles são equiláteros.
Portanto, CF + DE = CE, ou seja, 1 + 2 = 4 , como querı́amos .
Resolução do Problema 1.
= 100o, temos que ABC pode
Como o triângulo ABC é isósceles de ângulo principal A
ser inscrito em um eneágono regular. De fato, consideremos a figura abaixo.
A
100º
B
1
P
º
40
14
E
0º
a
C
D
Consideremos E o vértice entre A e C e P um ponto em BC tal que BP = BD.Usando as
denotações do Lema 1, AB = AC = 2 e AD = BC = 4 .
Logo, pelo Lema 1,podemos esvrever,
BP = BD = AD − AB = 4 − C = 1 .
é um ângulo externo de ABC.Assim, o
= 140o, pois DBP
Além disso temos o ângulo DBP
triângulo DBP é isósceles de lados BD = BP = 1 e ângulo principal 140◦ e portanto congruente ao triângulo AEC pelo caso LAL.Disso tiramos que PD = AC = 2 . Novamente,
utlizando o Lema 1, temos
PC = BC − PB = 4 − 1 = 2 = PD.
= 160o, de onde podemos concluir que
Logo, DCP é isósceles com ângulo principal DPC
α = 10o.
Lema 2: O octadecágono regular tem quatro diagonais não diametrais que se intersectam
em um único ponto sobre um diâmetro.
Demonstração.
Consideremos no plano complexo o octadecágono regular de vértices 1, w, w2, ..., w17 e
w18 = 1, conforme figura.
4
w
w
6
w2
w
I
9
w = -1
1 =w
18
17
w
16
w
12
w
14
w
Mostremos que as diagonais que unem w a w12, w2 a w14, w4 a w16 e w6 a w17
intersectam-se em um único ponto I. Para isto, basta mostrar que as diagonais de w
a w12 e de w2 a w14 intersectam-se em um único ponto. As demais seguem por simetria.
Escrevendo as duas retas que contêm as diagonais mencionadas na forma paramétrica
temos
t −→ w + t(w12 − w), t ∈ R
e
s −→ w2 + s(w14 − w2), s ∈ R.
Queremos mostrar que existem únicos s e t tais que
w + t(w12 − w) = w2 + s(w14 − w2).
Conjugando os dois lados desta equação:
w + t(w12 − w) = w2 + s(w14 − w2) ⇒ w + t(w12 − w) = w2 + s(w14 − w2).
Mas, observando que w1 = w17, w12 = w6, w2 = w16 e w14 = w4 temos
w17 + t(w6 − w17) = w16 + s w4 − w16 .
Então, devemos mostrar que o sistema linear:
2
12
14
w
−
w
t
+
w
−
w
s = w2 − w
6
w − w17 t + w16 − w4 s = w16 − w17
possui uma única solução.
Calculando o determinante da matriz dos coeficientes, temos
12
w − w w2 − w14 12
2
6
16
4
14
6
w − w17
w − w17 w16 − w4 = w − w w − w − w − w
= w28 − w16 − w17 + w5 − w8 + w19 + w20 − w31
= w10 − w16 − w17 + w5 − w8 + w + w2 − w13
= −w + w7 − w17 + w5 + w17 + w + w2 + w4
= w2 + w4 + w5 + w7
= 0.
Logo o sistema de fato possui uma única solução.
Resta mostrar agora que o ponto I pertence ao diâmetro que une w9 = −1 a w18 = +1
sobre o eixo real.
Pela regra de Cramer, temos
12
2
w −w
w
−
w
6
17
16
17
w −w
w −w w2 + w7
.
=
s = 12
w2 + w4 + w5 + w7
w2 − w14 w6 − w
w − w17 w16 − w4 No entanto,
4π
4π
14π
14π
w + w = cos
+ i sen
+ cos
+ i sen
18
18
18
18
2
e
7
4π
8π
8π
4π
+ i sen
+ cos
+ i sen
+
w + w + w + w = cos
18
18
18
18
10π
14π
14π
10π
+ i sen
+ cos
+ i sen
+ cos
18
18
18
18
2
4
5
7
Mas,
⎧
4π
14π
⎪
⎪
cos
= − cos
⎪
⎪
⎨
18
18
⎪
⎪
10π
8π
⎪
⎪
= − cos
⎩ cos
18
18
Daı́,
.
+ sen 14π
sen 4π
18
18 4π 8π 10π
.
s=
sen 18 + sen 18 + sen 18 + sen 14π
18
Ou seja, s é real.
Logo,
I = w2 + s w14 − w2
14
w2 + w17
2
w − w2
=w +
2
4
5
7
w +w +w +w
w3 + w6
= 2
w + w4 + w5 + w7
w15 + w12
= 16
w + w14 + w13 + w11
= I.
Mas sabemos que um número complexo é igual ao seu conjugado, apenas se estiver sobre
o eixo real, ou seja I é um númeo real e portanto pertence ao diâmetro que une −1 a +1,
como querı́amos.
Resolução do Problema 2.
Consideremos o triângulo inicial ABC inscrito em um octadecágono e os vértices D, E, F,
G, H, X e Y, conforme figura.
A
D
E
20º
F
Q
I
Y
P
G
H
X
a
50º
B 60º
C
= 80◦ ,pois ele é metade do ângulo central do arco AC = 160◦ .
Obesrve que ABC
= ABC
− QBC
= 80o − 60o = 20◦
Assim QBA
Portanto, o triângulo ABQ é isósceles com AQ = BQ.
Pelo Lema 2, as diagonais EB, FC, GD e HA encontram-se no ponto I no diâmetro XY
e, além disso pelo teorema dos ângulos alternos internos AH // DB e AC // EB, donde
tiramos que o quadrilátero AQBI é um losango.
= QBP
=
Daı́, os triângulos AIP e AQP são congruentes (critério LAL) e o ângulo PBI
o
o
20 , daı́, BIP = 30 .
Mas os triângulos BIP e BQI também são congruentes (critério LAL), de onde concluı́mos
que α = 30o.
3
Referências Bibliográficas
[1] Avila, G. Variáveis Complexas e Aplicações. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos
e Cientı́ficos Editora. 1990.
[2] Lopes, S. M. R. Complexidade em Geometria Plana Euclidiana. (Dissertação de
Mestrado). Rio de Janeiro: PUC - Pontifı́cia Universidade Católica. 2002.
[3] Reis, G. A., Tsuchiya, L. Y. & Agustini, E. “Complexidade Algébrica em
Demonstrações de Geometria Euclidiana Plana:o Teorema de Napoleão e Propriedades”.
FAMAT em Revista. N. 09, out. 2007, pp. 231-258.
[4] Tsuchiya, L. Y., Reis, G. A. & Agustini, E. “O Teorema de Barlotti”. FAMAT
em Revista. N. 09, out. 2007, pp. 147-174.
Aplicação Normal de Gauss em Superfı́cies
Regulares: parabolóides osculadores
Thiago Rodrigues da Silva∗
Edson Agustini†
Faculdade de Matemática - Famat
Universidade Federal de Uberlândia - Ufu - MG
Abril de 2008
1
Introdução
Um dos objetivos deste trabalho é realizar um estudo do quão rápido uma superfı́cie
regular S bidimensional se afasta do seu plano tangente em um ponto p ∈ S. Isto equivale
a estudar a “velocidade” com que a direção de um vetor normal e unitário a S em p varia
em uma vizinhança V de p em S.
Considerando S como sendo uma superfı́cie regular orientável, é possı́vel considerar um
campo diferenciável de vetores normais unitários em S, o que equivale dizer que uma
orientação em S foi fixada. Este estudo remete-nos a uma aplicação de S em S2 que surge
de maneira natural: a Aplicação Normal de Gauss, N : S → S2, que associa a cada ponto
p ∈ S o vetor normal e unitário a S, N (p) ∈ S2.
Doravante trabalharemos com superfı́cies S nas hipóteses dos parágrafos acima.
Pelo fato de estarmos trabalhando com um campo diferenciável de vetores temos, como
conseqüência imediata, que N é diferenciável. Logo, podemos tomar a diferencial de N
em p, dNp : Tp S → TN(p)S2. Como Tp S e TN(p)S2 são planos paralelos, podemos fazer a
identificação Tp S ≡ TN(p)S2. Assim dNp : Tp S → Tp S.
Vamos explorar alguns aspectos geométricos de dNp e, para isso, tomemos uma curva
α : I ⊂ R → S parametrizada em S tal que 0 ∈ I e α (0) = p. Logo, N (α (t)) , t ∈ I
ab
é uma curva em S2. O vetor tangente a α em p é α (0) ∈ Tp S. Logo, dNp (α (0)) pode
ser pensada como a taxa de variação dos vetores normais restritos à curva α em uma
vizinhança de p.
Como α é uma curva arbitrária passando por p, temos que dNp mede a taxa de variação
dos vetores normais a S em uma vizinhança de p, ou seja, o quão rápido S se afasta de
Tp S em uma vizinhança de p.
∗
thiago [email protected] - Promat - Programa Institicional de Iniciação Cientı́fica e Monitoria da Faculdade de Matemática - Famat - Ufu.
†
[email protected] Professor orientador.
2
Preliminares da Aplicação Normal de Gauss
Antes de explorarmos algumas propriedades de N, precisamos da seguinte definição:
Definição. Dizemos que uma operador linear L : V → V, sendo V espaço vetorial munido
de produto interno, é auto-adjunto quando L (v) , w = v, L (w) , ∀v, w ∈ V.
Com respeito a N temos a seguinte proposição.
Proposição. Sejam S uma superfı́cie regular orientável com orientação fixada, ou seja,
com N : S → S2 Aplicação Normal de Gauss definida e p ∈ S. Então, a diferencial de N
em p, dNp : Tp S → Tp S, é um operador linear auto-adjunto.
Demonstração:
A diferencial dNp é linear, logo, basta tomarmos uma base B = {e1, e2} de Tp S e mostrarmos que dNp (e1) , e2 = e1, dNp (e2) .
Seja
X (U) ⊂ S ⊂ R3
X : U ⊂ R2 −→
ab
(u, v)
−→ (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v))
uma parametrização local de S em p. Seja q ∈ U tal que X(q) = p. Desta forma, os
vetores Xu (q) e Xv (q) formam um base para Tp S.
Assim, basta mostrar que dNp (Xu (q)) , Xv (q) = Xu (q) , dNp (Xv (q)) .
Sejam ε > 0, I = (−ε, ε) ⊂ R e C curva regular em S parametrizada por α : I → S tal
que α(0) = p. Assim, definindo
β : I −→
U
,
t −→ X−1 (α (t)) = (u (t) , v (t))
temos α (t) = X (u (t) , v (t)) e (u (0) , v (0)) = X−1 (α (0)) = X−1 (p) = q.
Desta maneira,
α(t) = X(u(t), v(t)) ⇒
α (t) = Xu (u (t) , v (t)) u (t) + Xv (u (t) , v (t)) v (t) ⇒
α (0) = Xu (u (0) , v (0)) u (0) + Xv (u (0) , v (0)) v (0) ⇒
α (0) = Xu (q) u (0) + Xv (q) v (0) ,
ou seja, α (0) = (u (0) , v (0)) na base {Xu (q) , Xv (q)} de Tp S.
Seja a Aplicação Normal de Gauss
N:
S
−→
S2
(u, v) .
(x, y, z) −→ N (X (u, v)) = N
Fazendo N restrita a α temos
(u (t) , v (t)) ⇒
N (α (t)) = N
(u (t) , v (t)) ⇒
N (α (t)) = N
u (u (t) , v (t)) u (t) + N
v (u (t) , v (t)) v (t) ⇒
dNα(t) (α (t)) = N
u (u (0) , v (0)) u (0) + N
v (u (0) , v (0)) v (0) ⇒
dNα(0) (α (0)) = N
u (q) u (0) + N
v (q) v (0) ⇒
dNp (Xu (q) u (0) + Xv (q) v (0)) = N
u (q) u (0) + N
v (q) v (0) ⇒
dNp (Xu (q)) u (0) + dNp (Xv (q)) v (0) = N
u (q) u (0) = N
v (q) − dNp (Xv (q)) v (0) .
dNp (Xu (q)) − N
Notemos que, como a curva α regular passando por p é arbitrária e u (0) e v (0) são as
coordenadas do vetor velocidade α (0) na base {Xu (q) , Xv (q)} de Tp S (que não depende
de α), então a única maneira da última equação acima ficar satisfeita é quando os vetores
u (q) e N
v (q) − dNp (Xv (q)) (que não dependem de α) forem nulos.
dNp (Xu (q)) − N
Logo:
u (q)
dNp (Xu (q)) = N
v (q) .
dNp (Xv (q)) = N
Desta forma, para mostrar que dNp é auto-adjunta, basta mostrar que Nu (q) , Xv (q) =
v (q) .
Xu (q) , N
Xv (q) = 0 (pois ambos são ortogonais em p).
Temos que N(q),
Xu (q) = 0 e N(q),
Derivando em relação a v e a u, respectivamente, temos
⎧ v(q), Xu (q) + N(q),
⎨ N
Xuv (q) = 0
.
u(q), Xv (q) + N(q),
⎩ N
Xvu (q) = 0
Como Xuv = Xvu, pois X é diferenciável, temos
v(q), Xu (q) = Xu (q) , N
v (q) ,
u(q), Xv (q) = N
N
como querı́amos.
Antes de avançarmos mais nas propriedades da Aplicação Normal de Gauss, é conveniente
ter em vista alguns resultados de álgebra linear.
O fato de dNp ser um operador linear auto-adjunto permite-nos associar a dNp a forma
bilinear
R
B : Tp S × Tp S −→
.
(u, v)
−→ dNp (u), v
Podemos checar facilmente que B(u, v) = B(u, v) e, assim, concluı́mos que B é uma forma
bilinear simétrica.
Podemos também associar a B a forma quadrática
Q : Tp S −→
R
.
v −→ B(v, v) = dNp (v), v
De posse destes resultados, temos os seguintes lema, proposição e teorema.
Lema. Se
−→
R
S1
2
(x, y) −→ ax + 2bxy + cy2
T:
possui um ponto crı́tico de máximo em (1, 0) , então b = 0.
Demonstração:
Em uma vizinhança V de (1, 0) em S1 podemos expressar x em função de y, ou seja,
x = x (y) . Assim, se derivarmos T (x (y) , y) em relação a y em V, temos
T (y) = 2a.x (y) .x (y) + 2b.x (y) + 2by.x (y) + 2cy.
Como em V, x (y) = 1 − y2, temos
x (y) = −
y
.
x (y)
(1)
(2)
Substituindo (2) em (1) temos
T (y) = −2ay + 2b.x (y) − 2b
No ponto (1, 0) , temos
y2
+ 2cy.
x (y)
T (0) = 2b.
Mas pela hipótese, temos que (1, 0) é ponto de máximo de T. Logo,
T (0) = 0 ⇒ 2b = 0 ⇒ b = 0,
como querı́amos.
Proposição. Dada a diferencial da Aplicação Normal de Gauss: dNp : Tp S → Tp S (e
conseqüentemente a forma bilinear simétrica B e a forma quadrática Q associada a dNp ),
então existe B = {e1, e2} , base de Tp S composta por vetores unitários e ortogonais tal
que se v ∈ Tp S, v = xe1 + ye2, então Q (v) = λ1x2 + λ2y2, para algum λ1, λ2 ∈ R. Além
disso, λ1 e λ2 são valores máximo e mı́nimo de Q em S1 ⊂ Tp S.
Demonstração:
Devido ao fato de Q ser contı́nua e S1 ⊂ Tp S ser compacto, temos que Q possui máximo
e mı́nimo em S1. Sejam λ1 um valor máximo de Q em S1 e e1 um ponto de máximo de Q
em S1. Logo, Q (e1) = λ1.
Seja e2 um vetor unitário ortogonal a e1 e seja Q (e2) = λ2. Mostremos que B = {e1, e2}
satisfaz ao enunciado.
Seja v ∈ Tp S, v = xe1 + ye2. Logo,
Q(v) = B (v, v)
= B (xe1 + ye2, xe1 + ye2)
= x2B (e1, e1) + 2xyB (e1, e2) + y2B (e2, e2) .
Como e1 é escrito com coordenadas (1, 0) na base B = {e1, e2} e é ponto de máximo de
Q em S1, temos, pelo lema anterior, que B(e1, e2) = 0. Logo,
Q (v) = Q (e1) x2 + Q (e2) y2
= λ1x2 + λ2y2.
Resta mostrar que λ2 é valor mı́nimo de Q em S1. Mas λ1 ≥ λ2, assim, para qualquer
v = xe1 + ye2, v ∈ Tp S:
Q (v) = λ1x2 + λ2y2
≥ λ2x2 + λ2y2
= λ2(x2 + y2)
= λ2 (pois x2 + y2 = 1),
o que conclui a demonstração.
Teorema. Seja dNp : Tp S → Tp S a diferencial da Aplicação Normal de Gauss. Então
existe uma base B = {e1, e2} de Tp S constituı́da de vetores unitários ortogonais tais que
dNp (e1) = λ1e1 e dNp (e2) = λ2e2, sendo λ1 ≥ λ2 valores máximo e mı́nimo da forma
quadrática Q associada a dNp em S1 ⊂ Tp S.
Demonstração:
Obs.: e1 e e2 são autovetores e λ1 e λ2 são autovalores de dNp .
Com base na proposição anterior, existe B = {e1, e2} , base de Tp S constituı́da de vetores
unitários ortogonais tais que
Q (e1) = λ1
,
Q (e2) = λ2
sendo λ1 ≤ λ2 valores máximo e mı́nimo de Q em S1.
Precisamos, portanto, mostrar que dNp (e1) = λ1e1 e dNp (e2) = λ2e2.
Ainda pela proposição anterior temos
dNp (e1) , e2 = B (e1, e2) = 0,
o que implica dNp (e1) = 0 ou dNp (e1) é paralelo a e1, ou seja,
dNp (e1) = βe1
e, neste caso, λ1 = B (e1, e1) = dNp (e1), e1 = βe1, e1 = β, o que resulta
dNp (e1) = λ1e1.
No caso dNp (e1) = 0, basta fazer λ1 = 0.
Para concluir que dNp (e2) = λ2e2, basta observar que B (e2, e1) = B (e1, e2) e aplicar o
mesmo raciocı́nio acima.
Notemos também que a matriz de dNp em relação à base B = {e1, e2} é diagonal, com os
valores λ1 e λ2 na diagonal.
Resumindo: o fato de dNp : Tp S → Tp S ser auto-adjunto, podemos associar a dNp a
forma quadrática
R
IIp : Tp S −→
v −→ − dNp (v) , v
(aqui estamos tomando IIp = −Q pois veremos que isto será conveniente e, além disso,
não altera o desenvolvimento da teoria que fizemos até então).
IIp é chamada de Segunda Forma Quadrática ou Segunda Forma Fundamental de S em
p.
Seja C uma curva regular em S tal que p ∈ C. Suponhamos que em p, C possua curvatura
k(p).
Indiquemos por n (p) o vetor normal unitário a C em p.
|α (0) × α (0)|
. Se
|α (0)|
a parametrização for pelo comprimento de arco, então k (p) = |α (0)| . Quanto ao vetor
α (0)
.
normal: n (p) = |α (0)|
Obs.: se C está parametrizada por α (t) , α (0) = p, temos k (p) =
Assim, temos um ângulo θ ∈ [0, π] entre N (p) (vetor normal e unitário a S em p) e
n (p) , que é dado por cos (θ) = n (p) , N (p) .
Definição. O número kn(p) = k(p) cos (θ) é chamado de curvatura normal de C em p.
Agora, consideremos C parametrizada pelo comprimento de arco e indiquemos por N (t) =
N (α (t)) a restrição da Aplicação Normal de Gauss a α e n(t) = n (α (t)) o vetor normal
a C em α(t).
Logo, N (t) = dNα(t) (α (t)) , ou seja, N (0) = dNp (α (0)) .
Deste modo,
N(t), α (t) = 0 ⇒
N (t), α (t) + N (t) , α (t) = 0 ⇒
N(t), α (t) = − N (t), α (t) ⇒
N(0), α (0) = − N (0), α (0) ⇒
N(0), α (0) = − dNp (α (0)) , α (0) .
Assim,
IIp (α (0)) = − dNp (α (0)), α (0))
= − N (0) , α (0)
= N (0) , |α (0)| n (0)
= |α (0)| N (0) , n (0)
= k(p) cos (θ)
= kn(p).
e aqui entra a justificativa de trabalharmos com −Q e não com Q.
Logo, a Segunda Forma Quadrática em um vetor unitário v ∈ Tp S fornece-nos a curvatura
normal de uma curva regular C qualquer em S passando por p e que possua v como
vetor tangente. Particularmente, esta curva C pode ser uma curva parametrizada pelo
comprimento de arco obtida da intersecção de S com um plano normal a S em p paralelo
a v. Daı́ a justificativa de chamarmos kn(p) de curvatura normal. Podemos, desta forma,
falar de curvatura normal de S em p segundo uma direção.
Ainda pelo que vimos acima, o fato de dNp ser auto-adjunto garante-nos a existência de
vetores e1, e2 ∈ Tp S unitários ortogonais tais que
dNp (e1) = −k1e1
e
dNp (e2) = −k2e2,
sendo k2 ≥ k1 valores máximo e mı́nimo de IIp (v) quando v percorre S1 ⊂ Tp S, o que
equivale dizer que as curvaturas normais máxima e mı́nima de S em p são os autovalores de
dNp , ou seja, os valores da diagonal de [dNp ] . Finalmente, observamos que as curvaturas
normais máxima e mı́nima de S em p ocorrem em direções ortogonais.
Chamamos as curvaturas normais máxima e mı́nima de S em p de curvaturas principais
de S em p e as direções dadas pelos vetores e1 e e2 de direções principais de S em p.
3
Visualização Geométrica das Curvaturas Principais
Nesta seção visualizaremos geometricamente o fato das curvaturas principais de S em
um ponto p ocorrerem em direções ortogonais. Para isto, aproximaremos a superfı́cie
S em p por uma quádrica tangente a S em tal ponto (que chamaremos de parabolóide
osculador ), obtida do seu Polinômio de Taylor de segunda ordem (é claro que precisaremos
parametrizar S localmente em p). Veremos que as direções principais da quádrica em p
são as mesmas que as de S em p.
Tomemos
f : U ⊂ R2 −→ R,
ab
(3)
função diferenciável tal que (0, 0) ∈ U, f (0, 0) = 0, p = (0, 0, 0) , gráfico de f contido em
S e os vetores normais a S em p possuindo a mesma direção do eixo Oz de R3. Logo,
(0, 0) é ponto crı́tico de f. Assim,
fu (0, 0) = 0
e
fv (0, 0) = 0.
Assim, aproximando S em p por seu Polinômio de Taylor de ordem dois, temos
f (u, v) = f (0, 0) + fu (0, 0) (u − 0) + fv (0, 0) (v − 0)
1
+
fuu (0, 0) (u − 0)2 + 2fuv (0, 0) (u − 0) (v − 0) + fvv (0, 0) (v − 0)2
2
+ R (u, v)
sendo
R (u, v)
lim
(u,v)→(0,0) |(u, v)|2
= 0.
Assim,
∼ 1 fuu (0, 0) u2 + fuv (0, 0) uv + 1 fvv (0, 0) v2 em U.
f (u, v) =
2
2
Definição. Denotamos o gráfico P de
g : U ⊂ R2 −→
R
(u, v)
1
1
fuu (0, 0) u2 + fuv (0, 0) uv + fvv (0, 0) v2
2
2
ab
−→
(4)
por parabolóide osculador de S em p, sendo f a aplicação (3).
3.1
Uma Expressão para dNp
Nesta subseção acharemos uma expressão para dNp em função de uma parametrização
local de S em p.
Seja
X : U ⊂ R2 −→ X (U) ⊂ S
ab
(u, v)
−→
ab
X (u, v)
uma parametrização local em p ∈ S. Sejam q ∈ U tal que X (q) = p e
α (t) = X (u (t) , v (t))
uma curva regular parametrizada em S tal que α(0) = p. Desta forma, o vetor tangente
a α em p é
α (0) = Xu (q) u (0) + Xv (q) v (0) .
Assim,
(u (0) , v (0)) = N
u (q) u (0) + N
v (q) v (0) .
dNp (α (0)) = N
v (q) são vetores de Tp S e como Xu (q) e Xv (q) formam uma base para
u (q) e N
Mas, N
Tp S, temos que existem reais aij tais que
u (q) = a11Xu (q) + a21Xv (q)
N
(5)
v (q) = a21Xu (q) + a22Xv (q)
N
Desta maneira,
dNp (α (0)) = (a11Xu (q) + a21Xv (q)) u (0) + (a21Xu (q) + a22Xv (q)) v (0)
= (a11u (0) + a12v (0)) Xu (q) + (a21u (0) + a22v (0)) Xv (q) .
Logo,
[dNp ]
na base B = {Xu (q) , Xv (q)} .
u (0)
v (0)
=
a11 a12
a21 a22
u (0)
v (0)
Uma expressão para IIp (α (0)) é dada por
IIp(α (0)) = − dNp (α (0)) , α (0)
u (q) u (0) + N
v (q) v (0) , Xu (q) u (0) + Xv (q) v (0)
=− N
= e (q) u (0)2 + 2f (q) u (0) v (0) + g (q) v (0)2 ,
sendo
⎧
(q) , Xuu (q)
u (q) , Xu (q) = N
⎪
e
(q)
=
−
N
⎪
⎪
⎨
f (q) = − Nv (q) , Xu (q) = N (q) , Xuv (q)
⎪
⎪
⎪
(q) , Xvv (q)
v (q) , Xv (q) = N
⎩ g (q) = − N
(6)
os chamados coeficientes da Segunda Forma Quadrática de S em p.
Utilizando (5) e (6), obtemos as seguintes relações:
⎧
u (q) , Xv (q) = a11F (q) + a21G (q)
⎪
−f
(q)
=
N
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
v (q) , Xu (q) = a12E (q) + a22F (q)
⎨ −f (q) = N
u (q) , Xu (q) = a11E (q) + a21F (q)
⎪
−e
(q)
=
N
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
v (q) , Xv (q) = a12F (q) + a22G (q)
⎩ −g (q) = N
sendo
(7)
⎧
⎨ E (q) = Xu (q) , Xu (q)
F (q) = Xu (q) , Xv (q)
⎩
G (q) = Xv (q) , Xv (q)
os coeficientes da Primeira Forma Quadrática.
As relações (7) podem ser escritas como:
−
e (q) f (q)
f (q) g (q)
=
a11 a12
a21 a22
E (q) F (q)
F (q) G (q)
,
de onde deduzimos
Mas
a11 a12
a21 a22
E (q) F (q)
F (q) G (q)
=−
−1
=
e (q) f (q)
f (q) g (q)
E (q) F (q)
F (q) G (q)
1
E (q) G (q) − F (q)2
−1
(8)
.
G (q) −F (q)
−F (q) E (q)
.
(9)
De (8) e (9) concluimos que
⎧
f (q) F (q) − e (q) G (q)
⎪
⎪
a11 =
⎪
⎪
⎪
E (q) G (q) − F (q)2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
g (q) F (q) − f (q) G (q)
⎪
⎪
a12 =
⎪
⎪
⎨
E (q) G (q) − F (q)2
⎪
⎪
e (q) Fv − f (q) E (q)
⎪
⎪
a21 =
⎪
⎪
⎪
E (q) G (q) − F (q)2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
f (q) F (q) − g (q) E (q)
⎪
⎪
⎪
⎩ a22 =
E (q) G (q) − F (q)2
Desta forma,
⎡
[dNp ] = ⎣
3.2
fF−eG
EG−F2
eF−fE
EG−F2
(q)
gF−fG
EG−F2
(q)
(q)
fF−gE
EG−F2
(q)
⎤
⎦.
Classificação de pontos sobre S
Localmente, toda superfı́cie regular é gráfico de uma função diferenciável f de duas
variáveis reais. Logo, podemos tomar a parametrização
X : U ⊂ R2 −→
ab
(u, v)
X (U) ⊂ S
ab
−→ (u, v, f (u, v))
(10)
tal que X (q) = p e f é dada por (3).
Podemos tomar X tal que |Xu (q)| = |Xv (q)| = 1 e Xu (q) ⊥ Xv (q) .
Logo, E (q) = 1, F (q) = 0 e G (q) = 1.
Fixemos um vetor unitário v = (a, b) ∈ Tp S, (Tp S com a base formada pelos vetores
Xu (q) e Xv (q)). Logo, a curvatura normal de S em p segundo a direção dada por v é
II(S)
p (v) = − dNp (v) , v
$
%
gF − fG
eF − fE
fF − gE
fF − eG
(q) a +
(q) b,
(q) a +
(q) b , (a, b)
=−
EG − F2
EG − F2
EG − F2
EG − F2
= − (−e (q) a − f (q) b, −f (q) a − g (q) b) , (a, b)
= e (q) a2 + 2f (q) ab + g (q) b2
sendo
⎧
⎪
(q)
= (0, 0, 1) , (0, 0, fuu (q)) = fuu (q)
e
(q)
=
N
(q)
,
X
⎪
uu
⎪
⎨
(q) , Xuv (q) = (0, 0, 1) , (0, 0, fuv (q)) = fuv (q)
f (q) = N
⎪
⎪
⎪
(q) , Xvv (q) = (0, 0, 1) , (0, 0, fvv (q)) = fvv (q)
⎩
g (q) = N
O parabolóide P osculador a S em p, está parametrizado por
Y : U ⊂ R2 −→
ab
(u, v)
Y (U) ⊂ P
ab
−→ (u, v, g (u, v))
sendo g dada em (4).
A curvatura normal do parabolóide osculador P em p segundo a direção dada por v é
dada por
2
2
II(P)
p (v) = e (q) a + 2f (q) ab + g (q) b ,
sendo
⎧
⎪
e
(q)
=
N
(q)
,
Y
(q)
= (0, 0, 1) , (0, 0, guu (q)) = fuu (q) = e (q)
⎪
uu
⎪
⎨
(q) , Yuv (q) = (0, 0, 1) , (0, 0, guv (q)) = fuv (q) = f (q) .
f (q) = N
⎪
⎪
⎪
(q) , Yvv (q) = (0, 0, 1) , (0, 0, gvv (q)) = fvv (q) = g (q)
⎩
g (q) = N
Conclusão:
IIp(S) (v) = II(P)
p (v) ,
ou seja, as curvaturas normais de S em p e de P em p são as mesmas. Particularmente,
as curvaturas principais são as mesmas.
A vantagem de se trabalhar com o parabolóide osculador e não com a superfı́cie S está
na facilidade dos cálculos das curvaturas no parabolóide.
Notemos também que na parametrização (10):
[dNp ] =
−fuu (q) −fuv (q)
−fuv (q) −fvv (q)
=
−guu (q) −guv (q)
−guv (q) −gvv (q)
.
Definições.
Seja P o parabolóide osculador de S em p.
(i) Se P é um parabolóide elı́ptico, dizemos que p é um ponto elı́ptico de S.
(equivalentemente, det [dNp ] > 0)
(ii) Se P é um parabolóide hiperbólico, dizemos que p é um ponto hiperbólico de S.
(equivalentemente, det [dNp ] < 0)
(iii) Se P é um parabolóide cilı́ndrico (tipo “calha”), dizemos que p é um ponto parabólico
de S.
(equivalentemente, det [dNp ] = 0, mas dNp = 0)
(iv) Se P é um plano, dizemos que p é um ponto planar de S.
(equivalentemente, det [dNp ] = 0 e dNp = 0)
3.3
Classificação de pontos do toro
Classificaremos os pontos do toro, segundo a definição acima, utilizando o parabolóide
osculador.
3.3.1
Ponto Parabólico
Tomemos a aplicação
f : A ⊂ R2 −→
ab
(x, y)
−→
1−
R
2
(x − 2) +
y2
2
,
−2 −1
sendo A = B3 (2, 0) − B1 (2, 0) . (Br (q) a bola aberta de centro q e raio r, Br (q) a
bola fechada de centro q e raio r)
Logo, S = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ A} é a “metade superior de um toro deitado” e a
origem do Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais é um ponto situado sobre o
“cı́rculo superior do toro deitado” (figura à esquerda).
Visualmente, o “meio toro” acima fica melhor se o gerarmos como superfı́cie de rotação
(figura à direita):
X : (0, 2π) × (−3, 3) −→ R3
2
(t, y)
−→
−y cos (t) + 2, y sen (t) , 1 − (y − 2) − 1
O parabolóide osculador P no ponto p = (0, 0, 0) é dado por
Y:
sendo
R3
R2 −→
(x, y) −→ (x, y, g (x, y))
g:
R2 −→ R
2
(x, y) −→ − x2
Visualizando o toro e o parabolóide juntos, temos:
Temos
'
&
dN(0,0,0) =
−gxx (0, 0, 0) −gxy (0, 0, 0)
−gxy (0, 0, 0) −gyy (0, 0, 0)
=
1 0
0 0
.
Logo, a curvatura normal mı́nima de S ou P em (0, 0, 0) é k1 = −1 ( k1 = − autovalor
a11) e ocorre na direção do autovetor e1 = (1, 0). A curvatura normal máxima é k2 = 0
(k2 = − auto-valor a22) e ocorre na direção do autovetor e2 = (0, 1).
Abaixo vemos curvas originadas dos cortes do plano normal a S e P em (0, 0, 0) segundo
as direções de e1 e e2.
Observando as curvas de nı́vel de S, P e dos gráficos de g e f juntas temos:
3.3.2
Ponto elı́ptico
f : [−1, 1] × [−3, 3] −→ (x, y)
−→
1−
√
(
y2
R
√
2
1−x2 +2)
1−
x2
+2 −3
S = {(x, y, f(x, y)) : (x, y) ∈ (−1, 1) × (−3, 3)} é a “metade inferior externa de um toro
‘em pé’ ” e a origem do Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais é um ponto
situado sobre o “cı́rculo máximo do toro” (figura à esquerda).
Visualmente, o gráfico acima fica melhor se o gerarmos como superfı́cie de rotação (figura
à direita):
X : (−1, 1) × (π, 2π) −→ R3
√
√
(x, t)
−→ x,
1 − x2 + 2 cos (t) , −
1 − x2 + 2 sen (t) − 3
O parabolóide osculador no ponto p = (0, 0, 0) é dado por
Y:
sendo
g:
R2 −→
R3
(x, y) −→ (x, y, g (x, y))
R
R2 −→
x2
(x, y) −→ − 2 −
y2
6
Temos
&
'
dN(0,0,0) =
−gxx (0, 0, 0) −gxy (0, 0, 0)
−gxy (0, 0, 0) −gyy (0, 0, 0)
=
1 0
0 13
.
Logo a curvatura normal mı́nima de S ou P em (0, 0, 0) é −1 e ocorre na direção do
1
autovetor e1 = (1, 0). A curvatura normal máxima é e ocorre na direção do autovetor
3
e2 = (0, 1) .
Observando as curvas de nı́vel de G, P e de G e P juntas temos:
3.3.3
Ponto hiperbólico
f : (−1, 1) × (−2, 2) −→
(x, y)
→ − 1−
−
R
√
2+2 +1
1
−
x
−
√
2
(− 1−x2 +2)
y2
S = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ (−1, 1) × (−2, 2)} é a “metade inferior interna de um toro
‘em pé’ ” e a origem do Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais é um ponto
situado sobre o “cı́rculo minimo do toro” (figura à esquerda).
à direita):
X : (−1, 1) × (π, 2π) −→ R3
√
√
(x, t)
−→ x, − 1 − x2 + 2 cos (t) , − 1 − x2 + 2 sen (t) + 1
Y:
sendo
R2 −→
R3
(x, y) −→ (x, y, g (x, y))
g:
R2 −→
(x, y) −→
R
−x2 +y2
2
Temos
&
'
dN(0,0,0) =
−gxx (0, 0, 0) −gxy (0, 0, 0)
−gxy (0, 0, 0) −gyy (0, 0, 0)
=
1 0
0 −1
.
Logo a curvatura normal mı́nima de S ou P em (0, 0, 0) é −1 e ocorre na direção do
autovetor e1 = (1, 0). A curvatura normal máxima é 1 e ocorre na direção do autovetor
e2 = (0, 1) .
3.4
Um exemplo não trivial de ponto planar
Tomemos a função
f:
R2 −→
R
2
2
(x, y) −→ − x + y2
S = (x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ R2 é a superfı́cie da figura à esquerda e a origem do Sistema
de Coordenadas Cartesianas Ortogonais é o “vértice” da superfı́cie.
à direita):
X : R × (0, π) −→ R3
(x, t)
−→ x cos (t) , x sen (t) , −x4
Y:
sendo
R3
R2 −→
(x, y) −→ (x, y, g (x, y))
g:
R2 −→ R
(x, y) −→ 0
Visualizando a superfı́cie e o parabolóide juntos, temos:
Temos
'
&
dN(0,0,0) =
−gxx (0, 0, 0) −gxy (0, 0, 0)
−gxy (0, 0, 0) −gyy (0, 0, 0)
=
0 0
0 0
.
Logo, as curvaturas normais máxima e mı́nima de S ou P em (0, 0, 0) são nulas, ou seja,
em (0, 0, 0) temos curvaturas normais constantes em qualquer direção pois qualquer vetor
não nulo é autovetor de dNp .
as direções de e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) .
4
Bibliografia
Carmo, M. P. Geometria Diferencial de Curvas e Superfı́cies. Rio de Janeiro: SBM Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção Textos Universitários). 2005.
Tenemblat, K. Introdução à Geometria Diferencial. Brası́lia: Editora da UnB. 1988.
Pogorelov, A. Geometry. Moscow: Mir Publishers. 1987.
O Uso da Álgebra Linear nas Equações Diferenciais
Letícia Garcia Polac1
Lúcia Resende Pereira Bonfim2
Faculdade de Matemática – FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia – UFU
38408 -100, Uberlândia
Abril de 2008
Resumo
Álgebra Linear é um suporte matemático para muitas áreas da ciência. Veremos
como alguns de seus resultados podem ser utilizados na resolução de sistemas lineares
de equações diferenciais.
Palavras chaves: Sistemas lineares de equações diferenciais; matriz diagonalizável;
exponencial de matrizes.
1 – Introdução.
Sistemas de equações diferenciais ordinárias aparecem frequentemente na
modelagem matemática de diversos fenômenos. Tal é o caso, por exemplo, do modelo
para a competição entre duas espécies x e y que convivem num mesmo ecossistema
competindo pelo mesmo suprimento alimentar. Se denotarmos por x(t ) e y (t ) as
populações destas espécies no instante t, então teremos
x c(t )
(1) ®
¯ y c(t )
x.H 1 V 1 x D 1 y y.H 2 V 2 y D 2 x ,
onde H 1 , V 1 , D 1 , H 2 , V 2 , D 2 são constantes positivas.
Trata-se de um sistema não-linear uma vez que aparecem os termos V 1 x 2 ,
D 1 xy , V 2 y 2 e D 2 xy . Como não é possível, em geral, resolver explicitamente os
sistemas não-lineares, é comum considerar uma aproximação linear do mesmo e,
estudando-se o sistema linearizado, tirar conclusões qualitativas do sistema original,
ver >1 @ . Neste artigo consideraremos os sistemas lineares de equações diferenciais e
veremos como os resultados da Álgebra Linear poderão nos ajudar neste objetivo. Estes
resultados da Álgebra Linear serão assumidos sem demonstração, uma vez que o
propósito aqui é motivar o estudo destes tópicos através de aplicações interessantes em
outras áreas.
1
2
Bolsista do PIBEG – E-mail :[email protected]
Professora Orientadora. E-mail: [email protected]
2 – Sistemas Lineares de Equações Diferenciais Ordinárias
Nosso objetivo é procurar soluções t x1 (t ) ,, x n (t ) para o sistema
x1c (t ) a11 x1 (t ) a12 x 2 (t ) a1n x n (t )
° x c (t ) a x (t ) a x (t ) a x (t )
°
21 1
22 2
nn n
(2) ® 2
°
°¯ x cn (t ) a n1 x1 (t ) a n 2 x 2 (t ) a nn x n (t )
em que ai j são constantes reais, para todos i , j ^1, 2 , , n ` .
O sistema (2) pode ser escrito na forma matricial z c(t )
z (t )
ª x1 (t ) º
« » e A
«
»
«¬ xn (t )»¼
A.z (t ) , onde
ª a11 a1n º
« ».
«
»
¬«a n1 a nn ¼»
1º caso: A é uma matriz diagonal.
Quando A é uma matriz diagonal, isto é, aij
0 para todo i z j , o sistema
consiste de n equações.
x1c (t )
a11 x1 (t ) , , x nc (t )
a nn x n (t ) ,
cuja solução é imediata pelo fato destas equações estarem desacopladas uma da outra:
x1 (t )
e a11 t . x1 (0) , , x n (t )
e ann t . x n (0) .
2º caso: A é uma matriz diagonalizável.
Quando A é diagonalizável, isto é, quando existe uma base ^ v1 , v 2 ,, v n ` de Rn
composta de autovetores de A, podemos formar uma matriz P quadrada de ordem n
cujas colunas são as coordenadas destes autovetores. Veremos na proposição seguinte
que esta matriz tem uma propriedade muito interessante, a qual permitirá fazer uma
mudança de variável que desacoplará o sistema de equações diferenciais ordinárias (2).
ªO1 0 º
Proposição 1: P é inversível e P . A.P D , onde D «« »» é a matriz
«¬ 0 On »¼
diagonal cujos elementos da diagonal principal são os autovalores de A, isto é,
A .vi Oi .vi .
1
Prova:
Suponha que a matriz A seja diagonalizável, isto é, que existem n autovetores
linearmente independentes de A: ^v1 , v2 ,..., vn `.
Digamos:
ª p11 º
ª p1n º
«
»
v1 « » ,..., vn «« »»
«¬ pn1 »¼
«¬ pnn »¼
e O1 , O2 ,..., On , sejam os autovalores correspondentes.
Seja P uma matriz quadrada de ordem n, cujas colunas são as coordenadas
destes autovetores.
Então:
ª p11 p1n º
P «« »»
«¬ pn1 pnn »¼
Temos:
A.P
ª a11 a1n º ª p11 p1n º
« ». « »
»
»«
«
«¬a n1 a nn »¼ «¬ p n1 p nn »¼
ª a11 . p11 ... a1n . p n1
«
«
«¬a n1 . p11 ... a nn . p n1
p
A.v1
Mas, A.vi
a11 . p1n ... a1n . p nn º
»
»
a n1 . p1n ... a nn . p nn »¼
p
A.v n
Oi .vi , i 1,2,..., n .
Consequentemente:
ªO1. p11
A.P «« «¬ O1 pn1
On p1n º ª p11 p1n º ªO1 »»
On pnn »¼
« «
«¬ pn1 »» . «« pnn »¼ «¬ 0
0º
»» P.D
On »¼
Logo, concluímos que:
A.P P.D P 1. A.P D
Assim P é a matriz quadrada de ordem n cujas colunas é formada pelos
autovetores de A, e P 1. A.P D é a matriz diagonal cujos os elementos da diagonal
principal são os autovalores da matriz A. Como queríamos provar.
Ŷ
Seja Q a inversa de P, ou seja, Q P 1 , onde P é a matriz cujas colunas são
formadas pelos autovetores de A.
A mudança de variável mencionada acima que desacopla o sistema é a seguinte:
(3) w(t )
Q. z (t ) .
De fato, sendo Q uma matriz constante e w(t )
Q. z (t ) , então
(4) wc(t ) Q. zc(t ) Q. A. z (t ) Q. A.Q 1. w(t ) P 1. A.P . w(t )
D.w(t ) .
Logo,
w1 (t )
c1.e
O1 t
, , wn (t )
cn .e
On t
,
e consequentemente a solução z (t ) para o sistema original será dada por:
ªc1. e O 1 t º
«
»
P . w(t ) P . « » .
On t »
«
¬cn . e ¼
(5) z (t ) Q 1.w(t )
Exemplo: No sistema linear
x c (t ) x1 3.x 2
.
(6) ® 1
¯ x 2c (t ) 3.x1 x 2
temos A
ª 1 3º
, cujo polinômio característico é p (O )
« 3
1 »¼
¬
Os autovalores de A são, portanto, O 1
4 e O2
(O 4).(O 2) .
2 .
Calculando autovetores v1 e v 2 associados a O 1 e O2 , respectivamente,
encontramos:
v1
ª1º
ª 1º
« 1 » e v 2 « 1 » ,
¬ ¼
¬ ¼
e portanto
ª 1 1º
P «
»
¬ 1 1 ¼
e
P 1
ª1
«2
«1
«
¬2
1º
»
2
1 »
»
2 ¼
Assim, como vimos acima, a mudança de variável

w
°° 1
(7) ®
°w
°¯ 2
renderá o sistema desacoplado
1
1
x1 x2
2
2
1
1
x1 x2
2
2
w1c (t ) 4.w1 (t )
,
®
¯w2c (t ) 2.w2 (t )
cuja solução geral é
c1 .e 4t , w2 (t )
(8) w1 (t )
c 2 .e 2t .
Invertendo o sistema (7) encontramos
x1 w1 w2
,
®
¯ x2 w1 w2
e usando (8) chegamos à solução geral do sistema (6):
° x1
(9) ®
°̄ x2
c1 e 4 t c2 e 2 t
c1 e 4 t c2 .e 2 t
,
ª x (t ) º
Se pretendemos determinar a solução específica « 1 » que satisfaz à condição
¬ x 2 (t )¼
ª x ( 0) º ª a º
inicial « 1 » « » , basta fazer t 0 em (9) e resolver o sistema linear
¬ x 2 (0)¼ ¬b ¼
c1 c2 a
®
¯ c1 c2 b
nas variáveis c1 e c 2 , obtendo
c1
ab
e c2
2
ab
.
2
Logo, esta solução específica será
a b 4 t a b 2 t

e e
°° x1 (t )
2
2
,
®
b
a
a
b
4
t
2
t
°x
e e
°¯ 2
2
2
que pode ser escrita ainda na forma matricial.
ª 1 4t 1 2t
« 2 e 2 e
«
«
« 1 4t 1 2t
«¬ 2 e 2 e
ª x1 (t ) º
»
(10) «
»
«
¬ x 2 (t )¼
1 4t 1 2t º
e e »
ª x1 (0) º
2
2
» «
» .
»«
»
1 4 t 1 2 t » ¬ x 2 ( 0) ¼
e e »
2
2
¼
Observe que a fórmula (10) dá a solução específica diretamente em função da
ª x ( 0) º
condição inicial « 1 » .
¬ x 2 ( 0) ¼
O terceiro e último caso, no qual A não é necessariamente diagonalizável, será
considerado na seção 4, após introduzirmos o conceito de exponencial de matrizes.
3 – Exponencial de Matrizes.
Já sabemos que a equação diferencial ordinária x c(t ) a . x(t ) tem como solução
a função e at . x(0) . Nada mais natural, portanto, conjecturar que a solução do sistema
x c(t ) A . x(t ) seja dada por e tA . x(0) . Veremos que isso é verdade desde que definamos
a exponencial de matrizes de modo adequado. Lembrando que
ex
1 x 1 2 1 3
1
x x x n , x R ,
2!
3!
n!
isso sugere a seguinte definição de exponencial de matrizes:
Definição: Dada uma matriz quadrada M de ordem n, definimos
eM
I M 1
1
1
M 2 M 3 M n ,
2!
3!
n!
em que I é a matriz identidade.
É possível provar que a série acima converge para uma matriz, recém batizada
de e , qualquer que seja a norma considerada no espaço das matrizes quadradas de
ordem n. Não vamos nos ocupar deste fato agora, que pertence mais à Análise e à
Topologia, pois como já dissemos o nosso foco neste trabalho está centrado na
utilização das técnicas da Álgebra Linear na resolução dos sistemas lineares de
equações diferenciais. Vamos agora provar, de forma pouco rigorosa, algumas
propriedades interessantes da exponencial de matrizes.
M
Propriedade 1: e 0 = I .
Prova: Imediata.
Propriedade 2: Se P é inversível, então e P . A . P
1
P . e A . P 1 .
Prova: Esta propriedade segue do fato que P . A . P 1
natural k. De fato,
e P . A. P
1
f
1
P. A.P 1
¦
k 0 k!
f
¦ k1! P.A .P
k
Propriedade 3: Chamando X (t )
k
1
k 0
e t A então X c(t )
k
P . A k . P 1 , para todo número
§ f 1
·
P.¨ ¦ A k ¸.P 1 P. e A .P 1 .
© k 0 k!
¹
A . X (t ) para todo número real t.
Prova ( negligenciando detalhes importantes, tais como a questão da convergência e da
derivação termo a termo ):
X c(t )
½
d
t2
t3 3
tk
2
k
® I t. A A A A ¾
dt ¯
2!
3!
k!
¿
A t. A 2 t2 3
t k 1
A Ak 2!
(k 1)!

½
t2
t k 1
A . ® I t. A A 2 A k 1 ¾ A.e tA
2!
(k 1)!
¯
¿
A . X (t ) .
c
Observação: Como o resultado vale para toda matriz A, então e t A Propriedade 4: e t A é inversível t , e e t A
1
A . e t A .
e t A . Em particular, e A
1
eA
Prova: Utilizando a Regra de Leibinitz para um produto de matrizes obtemos
d t A t A
e .e
dt
^
`
A . e t A . e t A e t A . ( A ) . e t A .
Como a matriz A comuta com toda potência natural de A, então A comuta com e t A , de
onde segue que
d t A t A
e .e
dt
^
`
A . e t A . e t A A . e t A . e t A 0 .
Logo e t A . e t A e 0 . A . e 0 . A I , como queríamos provar.
Propriedade 5: Dada uma matriz quadrada A de ordem n existe somente uma matriz
quadrada Y (t ) de ordem n satisfazendo Y c(t ) A.Y (t ) , Y (0) I .
c
Prova: A propriedade 3 mostra a existência, pois e t A A . e t A e e 0 . A I .
Resta mostrar a unicidade. Para isso, seja Y (t ) tal que Y c(t ) A.Y (t ) e Y (0)
d t A
e .Y (t )
dt
^
`
I . Então
A . e t A .Y (t ) e tA .Y c(t ) A. e t A .Y (t ) e t A . A.Y (t ) ,
e como A comuta com e t A obtemos ainda que
d t A
e .Y (t )
dt
^
`
A. e t A .Y (t ) A . e t A .Y (t ) 0 .
Logo e t A .Y (t ) e 0 . A .Y (0) I , e consequentemente Y (t )
et A .
Propriedade 6: Dadas matrizes quadradas A e B de ordem n temos:
A . B B . A e ( A B ) t e A t . e B t , para todo número real t.
Em particular, A . B B . A e A B
e A.e B .
Prova: Seja X (t ) e t A . e t B . Então X c(t ) A. e t A . e t B e t A . B . e t B . Como B comuta com
A por hipótese, então B comuta com todas as potências naturais de A, e portanto comuta
com e t A . Logo, X c(t ) A. e t A . e t B B . e t A . e t B ( A B ) . e t A . e t B ( A B ) . X (t ) e
X (0) I . Da unicidade provada anteriormente temos que e ( A B ) t e A t . e B t .
4 – De volta aos sistemas de equações diferenciais ordinárias.
Tendo definido e t A , o candidato à solução do sistema x c(t )
x(t )
A . x(t ) é
§
·
t2
t3
e t A . x(0) ¨¨ I t. A A 2 A 3 ¸¸ x(0) ,
2!
3!
©
¹
ou seja,
t2
t3 3
2
x(t ) x(0) t . A . x(0) A . x(0) A . x(0) .
2!
3!
Esta expressão de fato fornece a solução do sistema x c(t ) A . x(t ) , pois
assumindo que a derivação termo a termo conduz à derivada x c(t ) teremos
x c(t )
A.x(0) t. A 2 .x(0) t2 3
A . x ( 0) 2!
§
·
t2
A . ¨¨ x(0) t . A. x(0) A 2 . x(0) ¸¸ A . x(t )
2!
©
¹
Embora a exponencial de matrizes forneça uma resposta bem simples para o
sistema x c(t ) A . x(t ) , pode ser uma tarefa complicada calcular a exponencial de uma
matriz através da sua definição como soma de uma série infinita, exceto nos casos
particulares em que A é uma matriz diagonal ou uma matriz nilpotente.
( i ) Cálculo de e t A no caso em que A é uma matriz diagonal.
ªO1k
«
«
«0
¬
ªO1 0 º
« » , então A k
»
«
«¬ 0 O n »¼
Sendo A
0º
»
» k 1, 2 , 3 ,.
Okn »¼
Logo,
ªO1k
t «
« ¦
k 0 k!
«0
¬
f
et A
k
0º
»
»,
Okn »¼
ou ainda,
et A
ª f tk k
«¦ O1
« k 0 k!
«
«
0
«
¬
º
»
»
» .
f
tk k »
¦ On
»
k 0 k!
¼
0
Portanto,
et A
ªe O 1 t
«
« « 0
¬
0 º
»
» .
O t
e n »
¼
( ii ) Cálculo de e t A no caso em que A é uma matriz nilpotente.
Ser nilpotente significa que existe um numero natural r tal que A r 0 .
O menor inteiro r tal que A r 0 é denominado índice de nilpotência de A.
Exemplos de matrizes nilpotentes são as matrizes quadradas de ordem n cujas
entradas são todas nulas, exceto as entradas imediatamente abaixo da diagonal principal,
que são todas iguais a 1. Abaixo vemos o caso particular em que n 4 .
A
ª0
«1
«
«0
«
¬0
0
0
1
0
0
0
0
1
0º
0»»
; A2
0»
»
0¼
ª0
«0
«
«1
«
¬0
0
0
0
1
0
0
0
0
0º
0»»
; A3
0»
»
0¼
ª0
«0
«
«0
«
¬1
0
0
0
0
0
0
0
0
0º
0»»
; A4
0»
»
0¼
Portanto esta matriz é nilpotente, com índice de nilpotência 4.
ª0
«0
«
«0
«
¬0
0
0
0
0
0
0
0
0
0º
0»»
.
0»
»
0¼
Para matrizes nilpotentes de índice r o cálculo da exponencial se resume à uma
soma finita, precisamente,
et A I t . A t2
t r 1
A2 . A r 1 ,
2!
(r 1)!
e esta soma sempre pode ser efetuada. Claro que se o índice r e a ordem n forem
grandes, um bom computador será imprescindível.
Estamos aptos agora a resolver o sistema x c(t ) A . x(t ) no caso em que A não é
necessariamente diagonalizável. Para isso será útil o seguinte Teorema:
Teorema ( Forma de Jordan ): Dada uma matriz quadrada A de ordem n, existe uma
matriz inversível P de mesma ordem tal que P. A.P 1 fica uma matriz composta de
blocos J O 1 , ... , J O k dispostos ao longo da diagonal principal,
P. A.P 1
ªª
««
««
««
«¬
«
«
«
«
«
«
«
«
«
«
«
«¬
JO1
º
»
»
»
¼
ª
«
«
«
¬
JO2
º
»
»
»
¼
ª
«
«
«
¬
J Ok
º
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
º»
»»
»»
»»
¼ »¼
onde O1 , ... , O k são os autovalores de A e J O é o chamado O -bloco de Jordan, cuja
forma é
JO
º
ªO
»
«1 O
»
«
»
«
1 O
» .
«
O
1
»
«
»
«
»
«
1 O ¼»
¬«
Ver > 2 @ .
Observação: As entradas não escritas são todas iguais a zero.
Note que cada bloco J O pode ser decomposto na soma
JO
DO N O ,
onde DO é uma matriz diagonal e N O é nilpotente, precisamente
DO
ªO
«
O
«
«
«
«
«
«
«¬
O
º
»
»
»
» e NO
O
»
»
»
O »¼
º
ª0
»
«1 0
»
«
»
« 1 0
» .
«
1 0
»
«
»
«
»
«
1 0»¼
«¬
Chamando
ªª
««
««
««
«¬
«
«
«
D «
«
«
«
«
«
«
«
¬«
DO 1
º
»
»
»
¼
ª
«
«
«
¬
DO 2
º
»
»
»
¼
ª
«
«
«
¬
DO k
º
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
º»
»»
»»
»»
¼ ¼»
e
ªª
««
««
««
«¬
«
«
«
N «
«
«
«
«
«
«
«
«¬
NO1
º
»
»
»
¼
ª
«
«
«
¬
NO 2
º
»
»
»
¼
ª
«
«
«
¬
N Ok
º
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
º»
»»
»»
»»
¼ »¼
então
P. A.P 1 D N , ou ainda A P 1 . ( D N ) . P ,
e portanto
e t A P 1 . e t D t N . P ,
e como D.N
N .D obtemos ainda
e t A P 1 . e t D . e t N . P .
Sendo D diagonal e N nilpotente então não é necessário realizar uma soma
infinita para o cálculo de e t D e e t N , e portanto a solução x(t ) e t A . x(0) do sistema
x c(t ) A.x(t ) pode efetivamente ser calculada.
Como o Problema de Valor Inicial
x c(t ) A . x(t )
®
¯ x ( 0) x 0
tem solução única, então a matriz que aparece na fórmula (10) deste trabalho é
exatamente a exponencial e t A , ou seja:
etA
ª 1 4t 1 2t
« 2 e 2 e
«
«
« 1 4t 1 2t
«¬ 2 e 2 e
1 4t 1 2t º
e e »
2
2
».
»
1 4t 1 2t »
e e »
2
2
¼
Bibliografia
[ 1 ] Neves, A. J.F. e Figueiredo, D. G. Equações Diferenciais Aplicadas – Coleção
Matemática Universitária – IMPA – RJ.
[ 2 ] Hirsch, M. e Smale, S. Differential; Equations, Dynamical Systems and Linear
Algebra. Academic Press, 1974.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
Giselle Moraes Resende Pereira (PET Matemática – SESu-MEC)
[email protected]
Marcos Antônio da Câmara (Tutor do PET Matemática)
[email protected]
Algumas Aplicações da Teoria dos Grafos
1. INTRODUÇÃO
Ao contrário de muitos ramos da matemática, nascidos de especulações puramente teóricas, a
teoria dos grafos tem sua origem no confronto de problemas práticos. A teoria dos grafos
estuda objetos combinatórios -os grafos- que são um bom modelo para muitos problemas em
vários ramos da matemática, da informática, da engenharia, da química, da psicologia e da
indústria. Muitos dos problemas sobre grafos tornaram-se célebres porque são um interessante
desafio intelectual e porque têm importantes aplicações práticas. É inevitável esbarrar em
questões de complexidade computacional, pois muitos dos problemas da teoria dos grafos têm
motivação algorítmica.
2. BREVE HISTÓRICO
Enquanto outros temas de matemática têm uma longa e gloriosa história, isto não acontece
com a Teoria de Grafos. O primeiro problema cuja solução envolveu conceitos do que veio a
ser a teoria dos grafos (séc. XVII) foi resolvido por Euler e não passava de uma especulação
matemática.
Acredita-se que um dos primeiros exemplos da utilização de grafos teria surgido devido as
Pontes de Königsberg. Na cidade de Königsberg (atual Kaliningrado), antiga capital da
Prússia Oriental, o rio Pregel circunda uma ilha e separa a cidade em quatro zonas que, no
séc. XVII estavam ligadas por sete pontes como na figura 1:
Figura 1
3. CONCEITOS PRELIMINARES
Um Grafo G(V, E) é uma estrutura matemática constituída pelos conjuntos:
V, finito e não vazio de n vértices, e
E, de m arestas, que são pares não ordenados de elementos de V.
Graficamente é representado por uma figura com Nós ou vértices, unidos por um traço
denominado Aresta configurando a relação imaginária, vejam figura 2.
Figura 2: Esta figura é um desenho do grafo cujos vértices são
V
^t , u, v , w, x, y , z` e cujas arestas são
E
^vw, uv, xw, xu, yz, xy` e o grafos trivial.
Embora seja conveniente a representação de grafos através de diagramas de pontos ligados
por linhas, tal representação é inadequada se desejamos armazenar grandes grafos em um
computador.
3.1 Matriz de adjacência: Se G é um grafo com vértices {1,2,3,...,n}, sua matriz de
adjacência é a matriz n X n cujo elemento ij é o número de arestas ligando o vértice i ao
vértice j.
v1 v 2 v3 v 4
v1 ª1
v 2 ««1
v 3 «0
«
v 4 ¬0
1
0
2
0
0
2
0
0
0º
0»»
0»
»
0¼
3.2 Matriz de incidência: Se G é um grafo com vértices {1,2,3,...,n} e arestas {1,2,3,...,m},
sua matriz de incidência é a matriz n X m cujo elemento ij é o número de vezes em que o
vértice i é incidente à aresta j.
e1 e2 e3 e4
v1 ª1
v 2 ««1
v 3 «0
«
v 4 ¬0
0 0 2º
1 1 0»»
1 1 0»
»
0 0 0¼
3.3 Adjacências de vértices e arestas:
3.3.1 Dois vértices x e y são ditos adjacentes ou vizinhos se existe uma aresta unindo-os.
3.3.2 Duas arestas são adjacentes se elas têm ao menos um vértice em comum.
3.4 Incidências: Os vértices x e y são ditos incidentes na aresta, se eles são extremos da
aresta.
3.5 Vértices isolados: Qualquer vértice de grau zero é um vértice isolado.
3.6 Laços: Laço é uma aresta que une um par de vértices idênticos.
3.7 Arestas paralelas: Quando existe mais de uma aresta entre o mesmo par de vértices.
Exemplificando, na figura 3 está representado um grafo de V
E ^(1,2), (3,2), (2,2), (1,5), (6,1), (6,5), (5,2)`.
Vértices
adjacentes
Laço
1
2
^1, 2, 3, 4, 5, 6`
e
Arestas
paralelas
3
Vértice
isolado
Arestas
adjacentes
6
5
4
Figura 3
3.8 Passeio entre nós: É a seqüência alternantes de nós e arestas.
3.9 Caminho: Um caminho é qualquer grafo da forma ( ^v1 , v 2 , ..., v n ` , ^vi vi 1 :1 d i n` ). Em
outras palavras, um caminho é um passeio que não contém nós repetidos.
3.10 Ciclo ou Circuito: Um ciclo é um grafo da forma ( ^v1 , v 2 , ..., v n ` , ^vi vi 1 :1 d i n`
^v n v1 `) com n t 3 . Em outras palavras, um ciclo é um caminho fechado sem vértices
repetidos.
3.11 Grau de um vértice: Grau de um vértice v (g(v)) é o número de arestas que incidem em
v.
O grau de um vértice v também pode ser definido como o número de arestas adjacentes a v.
Obs.: Um laço conta duas vezes para o grau de um vértice.
Figura 4
g(b) = 3
g(d) = 2
g(a) = 2
g(c) = 3
3.12 Dígrafo: Um Grafo Direcionado ou Dígrafo D(V,E) é uma estrutura matemática
constituída pelos conjuntos:
•
V, finito e não vazio de n vértices, e
•
E, de m arestas, que são pares ordenados de elementos de V.
3.13 Conexidade: Um grafo é conexo se, para qualquer par {v,w} de seus vértices, existe um
caminho com extremos v e w. E um grafo é não conexo se existir ao menos um par de
vértices que não é unido por nenhum caminho.
Figura 5: a) grafo conexo; b) e c) grafos não conexos
3.14 Grafo Bipartido: Um grafo é dito ser bipartido quando seu conjunto de vértices V puder
ser particionado em dois subconjuntos V1 e V2, tais que toda aresta de G une um vértice de
V1 a outro de V2 (figura 6).
Figura 6
3.15 Grafo Rotulado: Um grafo G(V,E) é dito ser rotulado em vértices (ou arestas) quando a
cada vértice (ou aresta) estiver associado um rótulo (figura 7).
Figura 7
3.16 Grafo valorado: Um grafo G(V, E) é dito ser valorado quando existe uma ou mais
funções relacionando V e/ou E com um conjunto de números (figura 8).
Figura 8
Teorema 1: Em todo grafo, a soma dos graus dos vértices é igual ao dobro do número de
arestas. Ou seja, todo G(V, E) satisfaz a identidade ¦ vV g (v) 2 A
Demonstração: Uma aresta com vértices x e y contribui uma unidade para g(x) e uma unidade
para g(y). Portanto, cada aresta contribui exatamente duas unidades para a soma ¦ vV g (v) .
Corolário 1: O número de nós de grau ímpar de um grafo é par.
Demonstração: Como a soma dos graus é igual a 2 A , considere o grafo G(N, A).
Denotando por d i o grau do nó i, temos:
2 A = ¦ di
i1
¦d
d i par
i
¦d
i
d i ímpar
Como 2 A é par então a soma das duas parcelas também será par.
Observe que para ter uma soma de parcelas ímpares resultando em um número par, devemos
ter um número par de parcelas, o que conclui a demonstração.
4. OPERAÇÕES DE ARESTAS E VÉRTICES
Seja G(V, E) um grafo constituído de um conjunto V, finito e não vazio de n vértices, e um
conjunto E de m arestas.
4.1 Inclusão da aresta (v,w)
Exigência: os vértices v e w devem pertencer a V.
Grafo resultante: G (v, w) definido por V e E ^(v.w)`.
Caso (v,w) já pertença a G, o grafo resultante terá pelo menos um par de arestas paralelas. Se
v = w, há o surgimento de um laço.
4.2 Exclusão da aresta (v,w)
Exigência: a aresta (v,w) deve pertencer a E.
Grafo resultante: G-(v,w) definido por V e E-{(v,w)}
4.2.1 Situação Problema I: Rede viária com mão direcional do trânsito
Fato: Houve um rompimento na rede de fornecimento de água em uma região da cidade
impedindo o trânsito nessa região.
Ação: Interrupção do trânsito no trecho de rua.
Solucionando o problema do trânsito:
Acionar o Departamento de Trânsito para alterar o tráfego local.
Divulgar aos interessados as ações em andamento.
Reparar a pavimentação da rua.
Restabelecer o trânsito da região.
A interrupção do trânsito no trecho de rua implica na exclusão da aresta associada.
Dígrafo resultante da exclusão da aresta
associada
4.3 Inclusão do vértice v
Exigência: o vértice v não deve pertencer a V.
Grafo resultante: G+v definido por V ^v` e E.
4.4 Exclusões do vértice v
Exigência: o vértice v deve pertencer a V e n ! 1 .
Grafo resultante: G-v definido por V-{v} e E-{(v,u), u adjacente a v}.
A restrição n ! 1 garante que, mesmo após a exclusão do vértice, a estrutura remanescente
continue sendo um grafo.
Figura 9. Exemplos de inclusão e exclusão de vértices e arestas.
4.5 Fusão dos vértices v e w
Exigência: os vértices v e w devem pertencer a V.
Grafo resultante: G vw definido por (V ^v, w` ^vw` e (( E ^v, u`, u adjacente a v}) – {(w,
u) u adjacente a w}) {(vw, u), u adjacente a v ou w em G}.
4.6 Explosão do vértice v
Exigência: o vértice v deve pertencer a V e grau(v)>0.
Grafo resultante G *v : Para obter o grafo deve-se quebrar o vértice v em grau(v) pedaços de
modo que as arestas que o têm como extremo também pertençam ao novo grafo, embora não
sejam mais adjacentes.
Figura 10. Exemplos de Fusão e Explosão de vértices.
4.6.1 Situação Problema II: Rede de água de uma região.
Fato: Houve um rompimento na rede de fornecimento de água em uma região da cidade.
Ação: Recompor o funcionamento da rede de água da região.
Fechar registro significa: Explodir vértices
Figura 11. Área atendida x Área Atingida
5. GRAFOS EULERIANOS
Ciclo euleriano é aquele que possui todas as arestas do grafo exatamente uma vez.
Um Grafo euleriano é aquele que possui um ciclo euleriano, em outras palavras, um grafo é
euleriano se pudermos desenhá-lo sem tirar o lápis do papel e voltar ao ponto de partida, sem
passar mais de uma vez por nenhuma aresta.
5.1 As pontes de Königsberg
Na cidade de Königsberg (atual Kaliningrado), antiga capital da Prússia Oriental, o rio Pregel
circunda uma ilha e separa a cidade em quatro zonas que, no séc. XVII estavam ligadas por
sete pontes como na figura 12:
Figura 12.
Acredita-se que esse foi um dos primeiros exemplos da utilização de grafos. O problema
consiste em partir de uma dessas regiões e determinar um trajeto pelas pontes segundo o qual
se possa retornar à região de partida após atravessar cada ponte somente uma vez.
Este problema trata-se de um grafo euleriano, no qual não é possível fazer o percurso de
iniciar em uma ponte, passar por todas as outras uma só vez e retornar ao ponto de origem,
pois, um grafo só pode ser percorrido de tal maneira, se o diagrama tiver somente vértices de
grau par, o que não acontece com o problema citado.
Teorema (Euler 1736): Um grafo conectado G é euleriano se e somente se o grau de cada
vértice de G é par.
Demonstração: Ida: Seja G um grafo euleriano. Logo, ele contém um ciclo euleriano. Por
cada ocorrência de vértice desse ciclo, existe uma aresta que chega nesse vértice e associada a
ela, outra que sai desse vértice. Como toda aresta faz parte do ciclo, isto é, nenhuma aresta
fica fora do ciclo, necessariamente o número de arestas por cada vértice é par.
Volta: Suponhamos que todos os vértices possuem grau par. Seja vi um vértice do grafo.
Tentemos, a partir de vi , construir uma cadeia que não passa duas vezes pela mesma aresta, e
até que não seja possível continuar. Como todos os vértices possuem um grau par, sempre
será possível entrar e sair de um vértice. A única exceção é o vértice vi onde a cadeia vai
terminar. Se essa cadeia, que chamaremos C1 , contém todas as arestas de G, temos um ciclo
euleriano. Senão, retiramos de G todas as arestas que fazem parte de C1 . No grafo resultante
G', todos os vértices também possuem grau par e necessariamente um deles faz parte de C1 ,
senão o grafo não seria conexo.
Recomeçamos o mesmo processo com o grafo G', partindo de um vértice comum com C1 ,
obtendo assim um novo ciclo C 2 . A figura abaixo mostra que dois ciclos que têm um vértice
em comum podem formar um ciclo único: chegando ao vértice comum em um dos dois ciclos,
continuamos o percurso no outro ciclo. Continuando esse processo, necessariamente
obteremos um ciclo único que contém todas as arestas de G.
6. GRAFOS HAMILTONIANOS
Um grafo G é hamiltoniano se existe um ciclo em G que contenha todos os seus vértices,
sendo que cada vértice só aparece uma vez no ciclo. Este ciclo é chamado de ciclo
hamiltoniano.
Sendo assim, um grafo é hamiltoniano se ele contiver um ciclo hamiltoniano.
A título de exemplo, considere os grafos G1 e G 2 da figura 14. É fácil notar que G1 contém o
ciclo v1 , v 2 , v3 , v 4 , v5 , v1 que é hamiltoniano. Logo, G1 é um grafo hamiltoniano. O mesmo
não acontece com G 2 .
Figura 14.
O problema do cálculo do ciclo hamiltoniano, embora semelhante ao problema do cálculo do
euleriano, é muito mais complexo, pois não são conhecidas as condições necessárias e
suficientes para que um grafo genérico contenha um ciclo hamiltoniano nem tampouco
métodos eficientes para construir tal ciclo.
Há diversos teoremas específicos para determinados tipos de grafos, fornecendo condições
que são, na maior parte dos casos, suficientes – porém não necessárias.
Este problema está intimamente relacionado ao problema do caixeiro viajante, o qual consiste
em encontrar um caminho que passe por todas as cidades uma única vez e retorne ao ponto de
partida escolhendo para isso um caminho de custo mínimo.
6.1 Problema do Caixeiro Viajante
É um problema de grafo hamiltoniano, que consiste em passar por todos os vértices de um
grafo, não repetindo nenhum, a fim de encontrar um caminho ótimo.
Suponha que a área de venda de um caixeiro viajante inclua várias cidades, as quais, aos
pares, estão conectadas por rodovias. O trabalho do caixeiro requer que ele visite cada cidade
pessoalmente. Sob que condição seria possível para ele estabelecer uma viagem circular (que
o leve ao ponto de partida) de forma que ele visite cada cidade exatamente uma vez?
Este problema pode ser modelado por um grafo G(V, E), onde:
V = {c | c é uma cidade}
E = {( c1 , c 2 ) | há uma estrada que conecta as cidades c1 e c 2 , sendo que ela não passa
por nenhuma outra cidade neste trajeto}.
Modelado desta forma, a solução deste problema passa por verificar se o grafo G é
hamiltoniano.
Como exemplo, considere o seguinte problema:
Um viajante deve visitar clientes instalados em sete cidades do estado de Minas Gerais
- Brasil - .
Procura-se determinar qual o percurso mais econômico tendo em atenção, exclusivamente,
as distâncias quilométricas entre as cidades.
O estudo a seguir trata de um problema de grafos considerado complexo e de algoritmos que
possam solucioná-lo. Neste sentido, são investigados o algoritmo dos mínimos sucessivos e o
algoritmo da ordenação do peso das arestas.
Representa-se abaixo a respectiva rede de cidades e uma tabela das distâncias quilométricas.
Araguari Araxá
Patos de
Minas
Patrocínio Uberaba Uberlândia
Belo
Horizonte
Araguari
-------
213
215
146
133
41
571
Araxá
Patos de
Minas
Patrocínio
Uberaba
Uberlândia
Belo
Horizonte
213
215
-----189
189
--------
116
73
124
242
186
217
374
417
146
133
41
571
116
124
186
374
73
242
217
417
------173
148
426
173
-------107
494
148
107
-------556
426
494
556
--------
Representação gráfica:
Estudamos dois algoritmos executáveis para resolução de problemas desta natureza.
Tarefa:
Considerar os dois algoritmos (Algoritmo dos Mínimos Sucessivos e Algoritmo por
Ordenação dos Pesos das Arestas) para resolver PCVs, (PCV = Problema do Caixeiro
Viajante), e aplique-os à situação do caixeiro viajante que tem de visitar as sete cidades
mineiras, referidas no grafo completo e valorado (distâncias em quilômetros).
- As soluções que encontrou são boas?
- Seria fácil encontrar a solução ótima?
- Quanto tempo demoraria a encontrar a solução ótima por um método exaustivo?
Compensaria?
6.2 ALGORITMO DOS MÍNIMOS SUCESSIVOS
Começa-se por escolher uma cidade para início do circuito. A partir dessa cidade, visita-se a
mais próxima e assim sucessivamente, até completar o circuito; por vezes não é possível
escolher a cidade mais próxima, quer por já ter sido visitada, quer por se fechar o circuito;
nesse caso escolhe-se a mais próxima ainda não visitada; terminado o circuito somam-se os
quilômetros percorridos. Repete-se este procedimento de forma a obter sete circuitos
hamiltonianos, cada um dos quais com início numa das cidades.
O quadro obtido encontra-se representado a seguir.
Note-se que esta solução se baseia numa escolha sucessiva da melhor etapa, o que pode não
conduzir à melhor solução global. No entanto, o resultado é aceitável se tivermos em conta
outros critérios, nomeadamente a economia de tempo.
De fato, o número de circuitos hamiltonianos possíveis é determinado pela fórmula
(n 1)! , o que, para o caso vertente, nos conduz a (7 1)! 720
360 hipóteses.
2
2
2
Ora, testar 360 circuitos "à unha" não é tarefa recomendável.
A análise do quadro nos leva a concluir que existem dois melhores circuitos (mais
econômicos). São os que se iniciam em:
• Araxá e segue por Patrocínio, Patos de Minas, Araguari Uberlândia, Uberaba, Belo
Horizonte e Araxá, voltando à Araxá, num total de 1420 Km.
•
Belo Horizonte e segue por Araxá, Patrocínio. Patos de Minas, Araguari, Uberlândia e
Uberaba, voltando a Belo Horizonte, num total de 1420 Km.
Observe que o ciclo é o mesmo nos dois casos.
6.3 ALGORITMO DA ORDENAÇÃO DO PESO DAS ARESTAS
Ordenam-se todas as arestas por ordem crescente do respectivo peso (distância).
Em seguida, tenta-se encontrar um circuito hamiltoniano que utilize as arestas de menor peso,
tendo em conta o seguinte:
(1) Nunca se toma a terceira aresta incidente num mesmo vértice e (2) nunca se fecha o
ciclo enquanto houver vértices não visitados.
As 5 primeiras arestas não apresentam qualquer problema. Mas, as 11 seguintes não podem
ser utilizadas por não verificarem as condições enunciadas.
Uberlândia
Patrocínio
Uberlândia
Patrocínio
Uberaba
Belo Horizonte
Belo Horizonte
Araguari
Patos de Minas
Uberaba
Araxá
Araxá
Patos de Minas
Araguari
41
73
107
116
124
417
571
1449
Continuando o processo chega-se à solução acima indicada, que nos conduz a um circuito
com um comprimento total de 1449 km. Logo, pior que a anterior.
Conclusões: Os algoritmos podem se mostrar eficientes para problemas complexos. Além
disto, eles permitem trabalhar com problemas matematicamente complexos sem necessitar
conhecimento prévio sobre o mesmo.
Novas Operações com Matrizes:
Algumas de Suas Propriedades e Aplicações.
Otoniel Nogueira da Silva 1 e Valdair Bonfim 2
1 – Introdução:
O presente trabalho originou-se durante o desenvolvimento de um projeto do
Programa Institucional de Bolsas para o Ensino de Graduação – PIBEG – da Universidade
Federal de Uberlândia. Este programa visa a melhoria do ensino de graduação, e o referido
projeto foi desenvolvido junto à disciplina de Álgebra Linear. Mais precisamente, quando
introduzimos o conceito de exponencial de matrizes para o posterior estudo dos sistemas de
equações diferenciais lineares de primeira ordem, surgiu a curiosidade de responder às
perguntas:
- É possível calcular a raiz quadrada de uma matriz A de ordem n ?
- É possível calcular a raiz n-ésima de A?
- É possível definir o seno e o co-seno de tal matriz?
- Em caso afirmativo, será que vale a identidade sen 2 A cos 2 A
I?
- Que tipo de problema prático estes conceitos ajudam a resolver?
Veremos como os resultados da Álgebra Linear podem nos ajudar no sentido de
fornecer respostas elegantes para tais questões, pelo menos em alguns casos particulares.
2 – A raiz quadrada de uma matriz.
Definição 1: Denomina-se raiz quadrada real de uma matriz A qualquer matriz B com
entradas reais tal que B 2 A .
Neste contexto vamos considerar apenas raízes quadradas com entradas reais, e no que
segue vamos referir a elas simplesmente dizendo raízes quadradas. Introduziremos aqui duas
notações para expressar a raiz quadrada de uma matriz: uma raiz quadrada de uma matriz A
será representada por A , ou também A1 / 2 .
Assim como nem todo número real admite uma raiz quadrada em R, nem toda matriz
admite uma raiz quadrada. Conforme veremos adiante, uma condição necessária para a
1
2
Bolsista do Programa de Educação Tutorial – PET; Acadêmico do Curso de Matemática da UFU.
Orientador; Professor da Faculdade de Matemática da UFU.
existência da raiz quadrada de A é que seu determinante seja não-negativo. A proposição
seguinte dá condições suficientes para a existência de raiz quadrada.
Proposição 1: Seja A uma matriz diagonal de ordem n:
ªO1
«.
«
«.
A = «
«0
«0
«
«¬ 0
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Se Oi t 0 para i ^1, 2 , , n ` , então a matriz:
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.
é uma raiz quadrada da matriz A .
Demonstração:
Basta mostrar que:
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.
Esta igualdade se demonstra comparando as entradas da matriz produto
entradas correspondentes da matriz A :
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0 »»
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. »
»
On ¼»
A . A com as
ª O1 . O1
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0º
0 »»
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».
. »
. »
»
On ¼»
A próxima proposição amplia significativamente o conjunto das matrizes que admitem
raiz quadrada.
Proposição 2: Se uma matriz A de ordem n for diagonalizável e todos os seus autovalores
forem não-negativos, então A admite uma raiz quadrada.
Demonstração:
Sendo A diagonalizável, sabemos que existe uma matriz inversível P tal que:
P. A.P 1
ªO1
«.
«
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«
«¬ 0
D
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»
On »¼
Logo, uma raiz quadrada da matriz A é dada por:
A
P 1 . D . P
De fato:
P
1
. D .P P 1 . D .P = P 1 . D .P.P 1 . D .P = P 1 . D .I . D .P = P 1 . D . D .P =
1
P .D.P ,
e esta matriz é igual a A, pois sendo
P. A.P 1 D P 1. P. A.P 1 P
A P 1 . D .P . P 1 .D.P I . A.I
P 1 .D.P A
P 1 .D.P , ou seja,
Observação 1: Para todo número natural n e toda matriz quadrada X é fácil ver que
P
1
. X .P n
P 1 . X n . P . Logo podemos generalizar a nossa procura inicial considerando as
raízes n-ésimas de A, que serão denotadas por
n
A ou A1 / n .
Proposição 3: Seja A uma matriz diagonal de ordem n:
ªO1 .
«. O
2
«
«.
.
A = «
.
«0
«0 0
«
¬« 0 0
Se Oi t 0 para i , então a matriz:
ª n O1
«
« .
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«
« 0
« 0
«
«¬ 0
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0º
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0
0
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n
a qual vamos denotar por n A ou A1 / n , é uma raiz n-ésima de A . No caso em que n é ímpar
não é necessária a condição Oi t 0 , i .
Prova: É completamente análoga à feita na proposição 1. Proposição 4: Se uma matriz A de ordem n for diagonalizável e todos os seus autovalores
forem não-negativos, então A admite uma raiz n-ésima.
Demonstração: Sendo A diagonalizável existe uma matriz inversível P tal que:
P. A.P 1
D
ªO1
«.
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0
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.
Logo P 1 . n D . P é uma raiz n-ésima de A, pois usando a observação 1 com X
obtemos:
P
1 n
. D. P
n
n
D
n
P 1 . n D . P P 1 . D . P A .
Novamente observamos que quando n é ímpar não precisamos ter Oi t 0 , i . Observação 2: A proposição 4 fornece condições suficientes, mas não necessárias para a
existência da raiz. De fato, no exemplo abaixo vemos uma matriz com autovalores negativos
que admite raiz quadrada.
0º
ª 1
Exemplo: A matriz A = «
» possui autovalores negativos, O1 O 2 1 , mas admite a
¬ 0 1¼
2º ª 1
2º ª 1
0º
2º
ª 1
ª 1
«
, pois «
raiz quadrada A «
»
»
«
» A.
»
¬ 1 1¼ ¬ 1 1¼ ¬ 0 1¼
¬ 1 1¼
A próxima proposição fornece uma condição necessária para a existência de raiz nésima, com n par. Em particular, têm-se uma condição necessária para a existência de raiz
quadrada.
Proposição 5: Se A admite raiz n-ésima, com n par, então Det A t 0 .
Demonstração:
Seja B uma raiz n-ésima de A, ou seja B n
A . Logo Det A
Det B n .
Da álgebra com matrizes sabemos que:
Det B n
Det ( B.B.....B) Det ( B) . Det ( B )..... Det ( B )
Det B n
Portanto, Det A é a n-ésima potência do número real Det B , e como n é par, segue que
Det A t 0 . Corolário: Se Det A < 0 , então a matriz A não admite raiz quadrada.
Exemplo:
A
ª 1 0º
« 0 1» não admite raiz quadrada, pois Det A 1 0 .
¬
¼
3 – O seno e o co-seno de uma matriz:
Sabemos do cálculo diferencial que para todo número real x tem-se
f
sen x
¦ (1) n
k 0
x 2 k 1
(2k 1)!
x
x3 x5 x7
,
3! 5! 7!
e também que
x 2k
(1)
¦
(2k )!
k 0
f
cos x
k
x 2 x 4 x6 x8
.
1
2! 4! 6! 8!
Assim, dada uma matriz quadrada A de ordem n, todas as potências inteiras nãonegativas A k estão bem definidas, e é bastante natural “arriscar” as definições abaixo:
A 2 k 1
(1)
¦
(2k 1)!
k 0
f
(1)
k
sen A
A3 A5 A7
,
A
3!
5!
7!
e
A 2k
(1)
¦
(2k )!
k 0
f
(2)
cos A
k
A 2 A 4 A 6 A8
,
I
2!
4!
6! 8!
em que I denota a matriz identidade.
Observe que
2 k 1
A
A 2 k 1
(1)
d
(2k 1)!
(2k 1)!
k
para todo natural k, qualquer que seja a norma considerada no espaço das matrizes quadradas
2 k 1
f
A
de ordem n, e como ¦
é uma série convergente de números reais, segue por
k 0 ( 2k 1)!
A 2 k 1
é absolutamente convergente, e portanto
(2k 1)!
k 0
convergente. De modo completamente análogo se prova que a série (2) é convergente e,
portanto, estão bem definidas as operações sen A e cos A .
f
comparação que a série
¦ (1) k
Note, por simples substituição, que se A é a matriz nula, então
sen A sen 0 0 e cos A cos 0 I ,
o que está de acordo com o seno e o co-seno do número real zero.
Agora, será que vale para as matrizes a identidade sen 2 A cos 2 A I ?
É isto que nos propomos provar no caso particular em que a matriz A é diagonalizável.
Isto será feito em duas etapas.
Etapa 1: A é uma matriz diagonal.
Ak
ªO1 0 º
Digamos que A «« »» . Então é fácil provar por indução finita que
«¬ 0 O n »¼
ªO1k 0 º
«
»
« » para todo número inteiro não-negativo k. Assim:
« 0 Okn »
¬
¼
f
sen A
¦ (1) k
k 0
A 2 k 1
(2k 1)!
ª
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«(1)
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(1) k n
¦
(2k 1)!»¼
k 0
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0 º
ª senO1 « »» .
«
«¬ 0
senO n »¼
Ou seja:
ªO1 0 º
A «« »»
«¬ 0 O n »¼

0 º
ª senO1 «
senA « »» .
«¬ 0
senO n »¼
De modo completamente análogo se prova que:
ªO1 0 º
A «« »»
¬« 0 O n ¼»

0 º
ªcos O1 «
»» .
cos A « cos O n ¼»
¬« 0
Logo,
sen 2 A cos 2 A
ª sen 2 O1 0 º
«
»
»
« « 0
sen 2 O n »¼
¬
ªcos 2 O1 0 º
«
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« « 0
cos 2 O n »¼
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0
ª sen 2 O1 cos 2 O1 º
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2
2
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0
sen
O
cos
O
n
n¼
¬
ª1 0 º
« » I .
«
»
«¬0 1»¼
Conclusão: a “relação fundamental” vale para as matrizes diagonais.
Etapa 2: A é uma matriz diagonalizável.
Sendo A diagonalizável, existe uma matriz inversível P tal que P. A.P 1 é uma matriz
diagonal D, a saber:
P. A.P 1
Assim, A
ªO1
«.
«
«.
«
«0
«0
«
¬« 0
0º
0 0 »»
. 0»
» , cujas entradas são os autovalores de A.
. . »
. . »
»
. O n ¼»
.
.
0 0
O2
.
.
.
.
.
.
0
.
.
.
.
0
0
.
P 1 . D .P , de onde segue que A m
f
senA
¦ (1) k
k 0
A 2 k 1
(2k 1)!
P 1 . D m . P para todo natural m. Logo:
f
¦ (1) k
k 0
ªf
D 2 k 1 º
P 1 . «¦ (1) k
».P
(2k 1)!¼
¬k 0
P 1 . D 2 k 1 . P
(2k 1)!
P 1 . senD . P
Analogamente,
cos A
P 1 . cos D . P .
Portanto,
sen 2 A cos 2 A
P 1 . sen 2 D . P P 1 .cos 2 D . P
P 1 . ( sen 2 D cos 2 D ). P ,
e como a relação fundamental já foi provada para as matrizes diagonais, segue que
sen 2 A cos 2 A
P 1 . I . P I ,
como afirmado.
Podemos agora enunciar, e dar por demonstrada, a seguinte proposição:
Proposição 6: Se A é uma matriz quadrada diagonalizável, então sen 2 A cos 2 A
I.
4 – As noções introduzidas nas seções anteriores tem alguma utilidade?
Sabemos que se a ! 0 então a função x : R o R definida por
x(t ) c1 . cos( a . t ) c 2 . sen( a . t )
resolve a equação diferencial de segunda ordem
x cc(t ) a . x(t ) 0 ,
quaisquer que sejam as constantes reais c1 e c 2 .
Esta equação diferencial e outras parecidas surgem na modelagem matemática de
diversos sistemas mecânicos, de onde segue sua importância.
É natural, portanto, a seguinte pergunta:
Dada uma matriz A de ordem n que admite raiz quadrada e dadas constantes vetoriais
arbitrárias C1 , C 2 Rn , será que a função X : R o Rn definida por
( ) X (t )
cos t . A .C sen t . A .C
1
2
resolve o sistema de equações diferenciais X cc(t ) A . X (t ) 0 ?
Observe que este sistema é de ordem 2 , e quando escrito por extenso fica na forma:
x1cc(t )
°
°°
() ®
°
°
°¯ x ncc (t )
a11 . x1 (t ) a1n . x n (t )
,
a n1 (t ) . x1 (t ) a nn . x n (t )
com equações que se apresentam acopladas umas às outras. Não dá para determinar, digamos,
a função escalar x1 (t ) a partir da primeira equação, pois nela aparecem as demais funções
incógnitas: x 2 (t ) , ... , x n (t ) . E ocorre o mesmo com as demais equações. Se a pergunta
acima for respondida positivamente, temos uma resposta bastante limpa e elegante para o
sistema (). Resumindo, o tratamento vetorial é bastante apropriado, e acreditamos ter
convencido o leitor de que nem toda “brincadeira” que se produz em Matemática está livre
de servir para alguma coisa de interesse prático. O leitor é convidado a provar que a pergunta
acima tem resposta positiva, e para isso basta derivar, com relação a t, as séries que definem
cos t . A . C1 e sen t . A . C 2 .
Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que
não possa um dia ser aplicado aos fenômenos do mundo real.
Lobatchevsky.
A melhor solução foi encontrada pelo Algoritmo dos Mínimos Sucessivos, que nos permitiu
determinar o melhor percurso para o caixeiro viajante. Sendo considerada ótima, pois, para ter
a certeza desta afirmação teríamos de encontrar todas as soluções pelo Método Exaustivo, o
que implica na análise de 360 percursos, tarefa pouco aconselhável.
7. CONSIDERAÇÕES FINAIS
A teoria dos grafos é essencial para resolução de problemas, desde os mais simples aos
elaborados. São problemas que justificam atenção devido ao fato de aparecerem diversas
aplicações e serem considerados difícil solução. Grafos são uma inesgotável fonte de
problemas com enunciado simples, mas que escondem, muitas vezes, uma sofisticada
estrutura matemática.
8. BIBLIOGRAFIA
[1] BARROSO, M. M. A., Operações Elementares em Grafos e Aplicações, VII SEMAT,
Uberlândia, 2007.
[2] BOAVENTURA NETTO, P. O., Teoria e Modelos de Grafos, E. Blucher, São Paulo,
1979.
[3] LUCCHESI, C. L., Introdução à Teoria dos Grafos, IMPA-CNPq, Rio de Janeiro,1979.
[4] OYNSTEIN O., Graphs and Their Uses, The Mathematical Association of America,
Editorial Committee, England, 1990.
[5] www.guiaquatrorodas.com.br
FAMAT em Revista
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Problemas e Soluções
www.famat.ufu.br
Problemas e Soluções
Luiz Alberto Duran Salomão (coordenador da seção)
Ednaldo Carvalho Guimarães
Marcos Antônio da Câmara
37. Para todo número primo p, demonstre que os números
p 1 pr
p 1 p
são ambos irracionais.
38. Demonstre que o polinômio X 2 n X n 1 é divisível pelo polinômio X 2 X 1
se, e somente se, n não é múltiplo de 3.
39. Seja ABC um triângulo que tem inraio (raio do círculo inscrito) r e circunraio (raio
do círculo circunscrito) R. Demonstre que R t 2r.
40. Seja P um ponto interior ao triângulo ABC cujos lados medem a, b e c e cuja área
vale S. Demonstre que o produto das distâncias de P aos lados do triângulo é menor do
8S 3
que ou igual a
, sendo que a igualdade ocorre somente se P for o baricentro do
27abc
triângulo.
33. Demonstre que a soma dos cubos de três números inteiros consecutivos é divisível
por 9.
3
3
1a Resolução: Veja que n 3 n 1 n 2 3n 3 9n 2 15n 9 . Portanto, bastanos mostrar que 3n 3 15n 3n n 2 5 é divisível por 9. Para n 3k , para algum
inteiro k, é claro que 3n n 2 5 é múltiplo de 9. Caso n 3k 1 , n 2 5 9k 2 6k 6 .
2
Por fim, caso n 3k 2 , n 5 9k 2 12k 9 . Assim, nos dois últimos casos, n 2 5
é, claramente, múltiplo de 3. Portanto, concluímos que 3nn 2 5 é múltiplo de 9 em
ambos os casos.
2a Resolução (enviada pelo leitor Otoniel Nogueira da Silva): Observe que
3
3
n 3 n 1 n 2 =3(n³ - n) + 9( n² + 2n +1). Portanto, é suficiente mostrar que
n 3 n é múltiplo de 3, para todo inteiro n. Ora, pelo Pequeno Teorema de Fermat,
n 3 { nmod 3 , o que quer dizer que n 3 n é, de fato, divisível por 3, para todo inteiro
n.
34. Em um tetraedro regular tomam-se seções paralelas a duas de suas arestas que não
se intersectam. Determine a seção de área máxima.
Resolução: Seja ABCD o tetraedro dado. O quadrilátero MNKL, obtido ao se intersectar
o tetraedro com o plano, é um paralelogramo, com LK paralelo a MN e LM paralelo a
NK. A área desse paralelogramo é dada pelo produto KN KL senD , onde
D é a medida do ângulo LKˆ N . Portanto, a área da seção depende apenas do produto
KN KL já que senD é uma constante para todas as seções em questão. Representando
por x o comprimento do segmento AK, teremos, como conseqüência da semelhança dos
KN AD x
KL
x
triângulos envolvidos que
e
. Multiplicando essas duas
AB
AD
CD AD
AB CD
AD x x . Daí, como o fator
igualdades termo a termo, obtemos KN KL
AD 2
AB CD
é constante, o produto KN KL será máximo quando o fator AD x x o for.
AD 2
2
2
AD · § AD ·
§
Porém, esse fator pode ser reescrito como ¨ x ¸ ¨
¸ e, assim, é fácil ver
2 ¹ © 2 ¹
©
AD
que seu valor máximo é alcançado quando x
, o que conclui o problema.
2
35. A função f ( x) cos x , definida para x t 0 , é periódica? Justifique sua resposta.
Resolução: Suponha que a resposta seja afirmativa. Assim, existe T ! 0 tal que
cos x T cos x , para todo x t 0 . Nessa última igualdade, façamos primeiramente
x 0
e,
a
seguir,
x T
e
obteremos,
respectivamente,
cos T 1 e cos 2T cos T 1 .
Daí,
teremos
simultaneamente
que
T 2kS e 2T 2lS , para determinados inteiros positivos k e l. Dessas duas
últimas igualdades, dividindo uma pela outra, tiraremos que 2 l , o que é uma
k
contradição. Portanto, a função f ( x) cos x , definida para x t 0 , não é periódica.
36. De quantas maneiras 2n, sendo n um natural, pode ser expresso como a soma de
quatro quadrados de números naturais? Justifique sua resposta.
Resolução: Suponha que a 2 b 2 c 2 d 2 2 n . Vamos representar por 2 p a maior
potência de 2 que divide os quatro inteiros a, b, c e d. Dividindo ambos os membros da
equação acima por 2 p 2 2 p , obtemos a1 b1 c1 d1
2 n 2 p , onde pelo menos
um dos quatro inteiros a1 , b1 , c1 e d1 é ímpar. Se exatamente um ou exatamente três dos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
inteiros a1 , b1 , c1 e d1 forem ímpares, então a1 b1 c1 d1 é ímpar e, portanto,
nesses casos a igualdade inicial é impossível. Se dois desses inteiros são ímpares,
digamos a1 2k 1 e b1 2l 1 , e os outros dois são pares, digamos
c1 2m e d1 2n , então podemos escrever
>
@
a1 b1 c1 d1
4k 2 4k 1 4l 2 4l 1 4m 2 4n 2 2 2k 2 k l 2 l m 2 n 2 1
o que é uma contradição, pois 2 n 2 p não pode ter um fator ímpar. Por fim, se todos os
quatro inteiros forem ímpares, digamos a1 2k 1, b1 2l 1, c1 2m 1 e d1 2n 1,
teremos
2
2
2
2
2
2
2
a1 b1 c1 d 1
2
4k 2 4k 1 4l 2 4l 1 4m 2 4m 1 4n 2 4n 1
= 4>k k 1 l l 1 mm 1 nn 1 1@ .
Note que a expressão acima, interior aos colchetes, é ímpar; ainda, seu valor só pode
2 0 1. Isso acarreta que
n 2 p 2, n 2 p 2, e k l m n 0, a1 b1 c1 d1 1, a b c d 2 p .
Concluindo, se n é ímpar, então 2 n não pode ser escrito como soma de quatro
quadrados; se n é par, n = 2p, então 2n pode ser expresso como soma de quatro
quadrados somente da seguinte maneira:
22 p
2 2 2 2 .
p 1 2
p 1 2
p 1 2
p 1 2
FAMAT em Revista
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Eventos
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Eventos
Maria Luisa Maes (coordenadora da seção)
Eventos
VIII Semana Da Matemática da Universidade Federal de Uberlândia –
UFU e VII Encontro Regional de Matemática Aplicada e
Computacional – ERMAC
Período: 28 a 31 de outubro de 2008
Informações: www.famat.ufu.br (Em construção)
53ª Reunião Anual da Região Brasileira da Sociedade Internacional de
Biometria – RBras
Período: 14 a 16 de maio de 2008
Informações: http://www.dex.ufla.br/53rbras/page.php?2
XXXI Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional –
CNMAC
Na sua trigésima primeira edição, o congresso será sediado em Belém – PA.
Período: 8 a 11 de setembro de 2008.
Informações: http://www.congresscentral.com.br/cnmac2008/
IV Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática
A IV Bienal da SBM realizar-se-á no Departamento de Matemática da Universidade
Estadual de Maringá - UEM.
Período: 29 de setembro a 03 de outubro de 2008.
Informações: http://www.dma.uem.br/bienalsbm/
XV Escola Brasileira de Geometria Diferencial
Período: 14/07 até 18/07
Informações: http://www.impa.br/opencms/pt/eventos/store/evento_0029
"Around Hilbert's 16th Problem" Conference in honor of Jean
Jacques Risler
Informações:
http://www.impa.br/opencms/pt/eventos/store/xAround_Hilbertxs_16th_Problemx_
XX Escola de Álgebra
IV Simpósio Nacional / Jornadas de Iniciação Científica
Período: 10/11 até 14/11.
Terceiro Congresso Brasileiro de Etnomatemática - CBEm3
Período: 26 a 29 de março de 2008
Informações: http://www.uff.br/cbem3/
XIV Encontro Nacional de Didática e Prática de Ensino
Período: 27 a 30 de abril
Informações: http://www.pucrs.br/eventos/endipe/
II Jornada Nacional de Educação Matemática e XV Jornada Regional
de Educação Matemática
Informações: http://www.upf.br/jem/2007/
IV Colóquio sobre História e Tecnologia no Ensino da Matemática
Período: 05 a 10 de maio de 2008.
Informações: http://www.limc.ufrj.br/htem/index.php/HTEM
Symposium on the Occasion of the 100th Anniversary of ICMI
Período: 05 a 08 de março de 2008
Informações: http://www.unige.ch/math/EnsMath/Rome2008/
I Seminário Hispano-Brasileiro de Avaliação das Atividades
Relacionadas com Ciência, Tecnologia e Sociedade
( PIEARCTS )
II Jornada Internacional de Ensino de Ciências e Matemática
Período: 27/04 a 29/04 de 2008
Informações: http://200.136.79.4/sem_cts/
IV Semana da Matemática da UFF
Informações: http://www.uff.br/semanadamatematica/
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FAMAT em Revista
Reflexões Sobre o
Curso de Matemática
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Reflexões sobre o Curso de Matemática
Valdair Bonfim
A BELEZA DA MATEMÁTICA II
Luís Antonio Benedetti
As concepções filosóficas de Verdadeiro, Bom e Belo não se encontram separadas no
conjunto do conhecimento humano. Muito embora a ciência se ocupe da investigação da
verdade, da ética e do bem e a arte se ocupe do belo, os saberes humanos se mesclam de tal
modo que a fronteira entre a arte e a ciência se torna imperceptível. A ética científica passou
a ser um tema atual principalmente em virtude das pesquisas com armamentos, transgênicos e
com o genoma humano. Alguns cientistas de vanguarda abandonaram a pesquisa por motivos
morais ou por recusarem ter suas pesquisas financiadas por organismos paramilitares.
Negligencia-se a relação entre ciência e estética em virtude da enorme explosão de
conhecimento científico utilizável do século XX, poucos são cientistas que pesquisam a fim
de obter exclusivamente satisfação intelectual de suas descobertas. Todavia o prazer derivado
de uma nova descoberta, a satisfação de uma pesquisa levada a termo com êxito continua ser
relevante no fazer científico.
Desde sua origem, no Egito e Babilônia, a geometria esteve ligada à arte da decoração,
porém foi com Platão que os conceitos de Verdade, de Bem e de Belo se fundiram, a partir daí
a matemática tornou-se o maior paradigma da união desses sustentáculos da filosofia.
Em sua obra Metafísica, Aristóteles refere-se aos matemáticos com a seguinte frase
“Do belo é sobre o que principalmente falam, e o belo é o que demonstram”.
Tanto a geometria como a teoria dos números possui um conjunto teoremas que
descrevem maravilhosas propriedades de seus objetos próprios e algumas formas do que
podemos chamar de beleza racional, distinguindo-a da beleza fundamentada unicamente no
plano sensível.
O discurso humano está repleto de concepções de belo, tais como a percepção visual
da natureza, a pintura, a poesia, a música, a harmonia musical e visual impressionam nossa
sensibilidade proporcionando-nos um prazer estético. Contudo, existe um saber bastante
específico que não está limitado à simples exibição de formas de beleza, mas principalmente
em demonstrá-las, este é o caso da matemática. O pentagrama inscrito em um círculo é uma
figura harmoniosa, perfeita, embora seja uma dentre as inúmeras figuras geométricas. Os
matemáticos não se contentam em sentir, criar ou construir concordâncias visuais ou sonoras,
que causam prazer estético, como no caso da música e da pintura, buscam uma razão
intelectual para a beleza, criando um elo entre arte e ciência, entre razão e sensibilidade. Uma
demonstração deve ser correta e elegante, mas deve também dar a razão de sua própria beleza.
A estética da matemática é extremamente sóbria, quase imperceptível. Expressões como
lim
n of
S ( n)
log n
1 ou eS i 1 0 , proporcionam um prazer intelectual a qualquer indivíduo que,
conhecendo os sentidos dos signos envolvidos, constate que é possível reuni-los em formas
aparentemente curtas, porém relacionadas a teorias matemáticas particularmente complexas.
Os pitagóricos foram os primeiros a perceber que era possível explicar a harmonia do
mundo e dos astros em termos de números, todos os fenômenos podiam ser ordenados e
normatizados, redutíveis em forma e medida à matemática. O mesmo sentimento levou
Galileu a escrever “A matemática é a linguagem na qual Deus escreveu o Universo”. No
Renascimento a teoria da perspectiva levou à criação da geometria projetiva expandindo a
relação entre matemática e beleza, o domínio da perspectiva ampliou a concepção estética e
construiu novas formas.
O mesmo se deu com o advento do cálculo diferencial, que permitiu técnicas
arquitetônicas inimagináveis como as estruturas aéreas, abóbadas de extraordinária beleza e
obras de sustentação leve. No século XVII a matemática já era suficientemente complexa;
novas curvas, figuras e estruturas matemáticas eram descobertas, a ciência contemporânea
estava sendo criada, não se limitando a descrever e dispor a natureza nestes termos, mas
também transformando-a, concebendo novas formas e fenômenos. A emergência da ciência
moderna ampliou o domínio estético com a criação de novas formas de arte, como a
fotografia, o cinema, a televisão e a simulação computacional. Devemos ter em mente que as
diversas manifestações artísticas que temos nos dias de hoje, somente foram possíveis a partir
do desenvolvimento da ótica, eletricidade e da acústica. Algumas concepções estéticas apenas
são factíveis em virtude da imensa evolução no campo da topologia, geometria e tantas outras
teorias matemáticas acompanhadas pelo desenvolvimento tecnológico, tal é o caso dos
fractais e sua realização computacional.
Leibniz imaginava construir uma característica universal, um sistema de símbolos
universais e ideogramas associados a um pequeno número de conceitos fundamentais que
serviriam de alfabeto para o pensamento humano, inteligível em todas as línguas e culturas.
Novas descobertas e idéias poderiam ser feitas por operações rotineiras segundo as regras do
cálculo lógico nesse sistema. A verdade e o erro seriam apenas questões de cálculo correto ou
errado, terminariam de uma vez por todas as controvérsias filosóficas. Essas idéias
possivelmente foram consideradas um tanto metafísicas na época, contudo o progresso do
século XX caminhou nessa direção, introduzindo profunda modificação na relação entre
membros de diversas culturas. Nada se adapta mais a característica universal de Leibniz sobre
representações simbólicas e artificiais dos objetos e idéias do que a fotografia, o cinema e a
televisão. São escritas tecnológicas e universais, igualmente perceptíveis em todas as culturas,
independentemente da língua e da distância, formam a ideografia de nosso tempo. Novas
idéias artísticas, religiosas e até mesmo políticas são criadas no interior desse sistema de
signos. O papel dá lugar à narrativa e à representação em tela, o conceito renascentista de
descoberta e conquista, aos poucos vem sendo substituído pelo de descoberta virtual de novos
mundos, a beleza tecnológica se aperfeiçoa face à beleza natural. A composição de imagens e
sons é feita por meio de sofisticados instrumentos, aumentando exponencialmente as
possibilidades de criação, impensáveis na época de Leibniz e Newton, além disso, a difusão
das informações tem um alcance e velocidade inimaginável para qualquer época anterior em
toda a civilização.
Ressalte-se que o grotesco e o sublime, o feio e o harmonioso, o gratificante e o
repugnante persistem no mundo globalizado pela ação dessas novas representações universais
artificiais, porém torna-se necessário visualizá-las sob uma perspectiva que mostre a profunda
interação entre ciência e beleza.
Até o século XVII os universos imaginários não passavam de representações do divino
e do mito. Bosch em sua tela “O Jardim das Delícias” e Goya em suas pinturas descrevem
esse tipo de reino imaginário, mas é no Carnaval com sua arte do disfarce, máscaras e
cenografias que se observa a reprodução e representação de mundos imaginários.
Escher soube expressar com genialidade e de forma perfeita as novas possibilidades
que a ciência desenvolveu, criando obras de magnífica beleza. Partindo de conceitos
topológicos e não mais geométricos, o artista pode criar espaços onde se deformam
radicalmente as estruturas do mundo físico como, por exemplo, a noção de interior e exterior.
No mundo de signos criados artificialmente o conceito de beleza se transformou
substancialmente, não há mais lugar para a ingenuidade inerente à beleza natural, os limites
artesanais são ditados pelas possibilidades que a ciência e a tecnologia desenvolveram.
Na matemática, a partir da análise de seus fundamentos no início do século XX as
demonstrações construtivas tornaram-se preferíveis, reativando o que seria sua principal
peculiaridade: a demonstração da beleza, ampliando o clássico conceito platônico do belo.
Assim como os produtores de arte na atualidade utilizam-se de várias tecnologias,
construindo novas formas de beleza, cada vez mais a descoberta científica torna-se um
trabalho de equipe. A obra adquire conotações industriais, a coletivização da beleza não se dá
apenas na difusão de informações, mas na produção. O gênio individual isolado do
Renascimento vai sendo substituído pelo coletivo que busca o êxito final da obra.
No limiar do século XXI as concepções de Verdadeiro e Belo não são mais
transcendentais, pois são investigados e expressos através de artifícios tanto teóricos como
tecnológicos, cuja criação requer a colaboração de um número grande de indivíduos.
A beleza racional da matemática clássica ainda persiste, mas assim como a
tecnológica, deixou de ser individual para ser coletiva.
O presente texto baseia-se no trabalho de Javier Schevernia publicado na revista “El
Paseante, n.4 – 1989 ”, editada pela Universidade do País Basco.
Referências adicionais:
1. Schevernia, J. “Sobre o Jogo Leibniz e Sua Obra” –U. Madrid, 1986.
2. Davis, P.J., Reuben,H., “O Sonho de Descartes” – F Alves, Rio de Janeiro, 1988.
3. – , “A Experiência Matemática” – 3e, F. Alves, Rio de Janeiro, 1986
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Em Sala de Aula
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Em Sala de Aula
Índice de Trabalhos
A assistência estudantil no curso de Ciências Sociais da UFU
198
Renata Gonçalves Silva, Bruna de Azevedo Barbieri, Gabriel Ponte
Batista, Edimar de Freitas Costa e Aurélia Aparecida de Araújo Rodrigues
A intervenção Pedagógica e a utilização de jogos no
Ensino e Matemática
204
Sheila Maria Fernandes Carrijo e Fabiana Fiorezi de Marco Matos
A construção de uma maquete: uma ferramenta para
o Ensino da Matemática
216
Lóren Grace Kellen Maia Amorim, Mariana Martins Pereira e Maria
Teresa Menezes Freitas
O Uso de Modelagem Matemática na Construção de uma Piscina
229
Stela Zumerle Soares, Karla Barbosa de Freitas e Rosana Sueli da
Motta Jafelice
Modelagem Matemática das Pistas de Skate
Danilo A. Marques, Rafael H. A. de Oliveira e Rosana S. M. Jafelice
244
A assistência estudantil no curso de Ciências Sociais da UFU
Renata Gonçalves Silva 1
[email protected]
Bruna de Azevedo Barbieri1
[email protected]
Edimar de Freitas Costa 2
[email protected]
Aurélia Aparecida de Araújo
Rodrigues 3
[email protected]
Gabriel Ponte Batista1
[email protected]
Resumo:
Na política de Educação Superior, a assistência estudantil tem como finalidade
fornecer os recursos que facilitem o bom desempenho acadêmico. Assim sendo, a assistência
estudantil é responsável pelo provimento dos recursos mínimos para a sobrevivência do
estudante tais como moradia, alimentação, transporte e recursos financeiros. Neste contexto, o
objetivo deste trabalho é avaliar a situação dos alunos do curso de Ciências Sociais da
Universidade Federal de Uberlândia (UFU) em relação ao recebimento de auxílio alimentação
e moradia. Adicionalmente, traçou-se o perfil dos estudantes entrevistados.
Palavras-chave: assistência estudantil, ensino superior.
1. INTRODUÇÃO
No segundo semestre de 2007, ocasião em que este trabalho foi desenvolvido por
alunos da disciplina Introdução à Estatística do curso de Ciências Sociais, a Universidade
Federal de Uberlândia (UFU), contava com uma comunidade universitária constituída de
cerca de 14.500 estudantes de graduação e pós-graduação, 1.318 professores (sendo 1.080
efetivos), com 1.172 vinculados ao ensino superior (972 efetivos) e 146 às unidades especiais
de ensino e 3.300 servidores técnico-administrativos em seus 35 cursos de graduação
presenciais, 1 à distancia(Administração) e 24 programas pós-graduação stricto sensu
(mestrado e doutorado). A estrutura acadêmica da instituição encontra-se subdividida em 27
unidades, distribuídas pelas diversas áreas do conhecimento e formação.
A UFU possui três campus na cidade de Uberlândia, sendo um campus no bairro
Umuarama, outro no bairro Santa Mônica, e mais um terceiro campus, especifico do curso de
Educação Física, localizado no bairro Aparecida; e um quarto campus na cidade de ItuiutabaMG, chamado Campus Pontal, o qual foi inaugurado no 1º semestre de 2007.
O curso de Ciências Sociais na Universidade Federal de Uberlândia foi aprovado pelo
Conselho Universitário através da Resolução 04/96 de abril de 1996 e reconhecido pela
comissão de especialistas do MEC, em 29 de maio de 2000, com o propósito de capacitar o
profissional em Ciências Sociais, proporcionando-lhe a aquisição de conhecimentos teóricos
fundamentais nas áreas de Antropologia, Sociologia e Ciência Política, no exercício de
pesquisa, e do saber aplicado no ensino em qualquer das áreas especificas.
1
Aluno de graduação em Ciências Sociais da UFU.
Colaborador. Aluno de graduação em Engenharia Civil da UFU.
3
Orientadora. Professora Adjunto da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia (UFU).
2
Todos os campus da UFU possuem restaurantes universitários (RU) que atendem à
comunidade universitária. No entanto, a UFU não conta com moradia universitária em
nenhum de seus campus.
A DIASE (Divisão de Assistência ao Estudante) da UFU, é responsável pela política
de distribuição de bolsas alimentação e moradia. Segundo a DIASE, as bolsas alimentação são
dos tipos A, B e C, as quais são distribuídas de acordo com a situação sócio-econômica do
aluno beneficiado; e o valor da bolsa moradia é de cem reais. O aluno que possui bolsa do
tipo A tem oferta de uma refeição de segunda a sexta-feira; do tipo B, tem de duas refeições
de segunda a sexta-feira e a bolsa tipo C, tem duas refeições de segunda a domingo. Essas
bolsas são concedidas após uma criteriosa análise da situação sócio-econômica dos alunos que
solicitam auxílio.
O objetivo deste trabalho é avaliar a situação dos alunos do curso de Ciências Sociais
da UFU em relação ao recebimento de bolsas alimentação e moradia. Adicionalmente,
traçou-se o perfil dos estudantes entrevistados.
2. METODOLOGIA
Temos aqui um estudo de caso, para o qual foram entrevistados 63 alunos
matriculados no curso de Ciências Sociais da UFU, sendo que o número total de alunos
matriculados era de aproximadamente 130. A entrevista foi feita por meio do questionário
abaixo:
Questionário nº
1)
2)
3)
4)
Sexo: ( ) masculino ( ) feminino
Idade:
___________
Você mora em Uberlândia? ( ) sim ( ) não
Você exerce algum trabalho fora do horário do Curso de Ciências Sociais?
( ) sim ( )não
5) Você possui Bolsa-Alimentação? ( )sim ( ) não . Qual?__________
6) Você possui Bolsa-Moradia? ( )sim ( )não
7) Você faz algum estagio? ( )remunerado ( ) não remunerado ( ) nenhum
8) Você mora de: ( ) aluguel ( ) casa própria
Outros_____________
Os questionários foram numerados para preservar a identidade dos entrevistados. O
software Excel foi usado na tabulação dos dados e na construção dos gráficos da seção
seguinte.
3. ANÁLISE DOS DADOS
3.1. Perfil dos estudantes entrevistados
O questionário aplicado permite analisar o perfil dos alunos entrevistados.
O gráfico 1 mostra que dos 63 alunos que participaram da pesquisa realizada, 52% são
do sexo masculino e 48% são do sexo feminino.
Gráfico 1: Sexo dos alunos entrevistados
Com relação à idade, observa-se no gráfico 2 que a idade mais freqüente foi de 20 anos. Além
disso, obteve-se que a idade média dos alunos foi igual a 20,97 anos.
25
20
20
15
11
10
10
6
5
3
3
3
1
2
1
1
1
1
26
28
31
35
0
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Gráfico 2: Idade dos alunos entrevistados
Em relação ao local de moradia, conforme mostrado no gráfico 3, dentre os alunos
entrevistados, 95% afirmam que moram na cidade de Uberlândia, sendo que o restante dos
alunos moram em cidades vizinhas.
5%
Sim
Não
95%
Gráfico 3: Alunos entrevistados que moram em Uberlândia
Sobre o tipo de moradia dos alunos entrevistados, o gráfico 4 mostra que os que 48%
deles moram em casa própria, 47% afirmam que moram de aluguel e os 5% restantes residem
em outro tipo de moradia, por exemplo, moram em pensionatos ou em residência de amigos
ou em residência de parentes.
5%
Aluguel
47%
Casa própria
Outros
48%
Gráfico 4: Tipo de moradia dos alunos entrevistados
Os gráficos seguintes são referentes às atividades realizadas pelos alunos fora do
horário das aulas do curso de Ciências Sociais. O gráfico 5 mostra que 59% dos entrevistados
não trabalham fora do horário das aulas. Sendo que outros 41% afirmam trabalhar fora do
horário das aulas.
41%
Sim
Não
59%
Gráfico 5: Alunos entrevistados que exercem algum trabalho fora do horário das aulas
Já o gráfico 6 mostra a porcentagem de alunos que participam de estágios, sendo esse
remunerado ou não. Observou-se, 76% dos entrevistados não participam de nenhum tipo de
estagio, 13% afirmam que exercem estágio remunerado, e outros 11% participam de estágios
sem remuneração.
13%
11%
Remunerado
Não Remunerado
Nenhum
76%
Gráfico 6: Estágio dos alunos entrevistados
3.2. Assistência Estudantil
O questionário aplicado permite analisar a situação da distribuição de bolsas
alimentação e moradia distribuídas aos alunos entrevistados. No gráfico 7, observa-se que
95% dos alunos entrevistados não recebem bolsa alimentação e que apenas 5% dos
entrevistados (3 alunos) são beneficiados com esse tipo de auxílio. No questionário, dois
alunos entrevistados informaram que possuem bolsa alimentação do tipo C e um informou
que possui a bolsa do tipo A.
5%
Sim
Não
95%
Gráfico 7: Alunos entrevistados que possuem Bolsa-alimentação
O gráfico 8 mostra que apenas 2% dos alunos recebem o beneficio de bolsa moradia,
sendo que 98% afirmam não receber este tipo de auxilio.
2%
Sim
Não
98%
Gráfico 8: Alunos entrevistados que possuem Bolsa-moradia
4. CONCLUSÃO
Esse trabalho analisou a situação dos alunos do curso de Ciências Sociais da UFU em
relação ao recebimento de bolsas alimentação e moradia. Dos 63 estudantes do curso de
Ciências Sociais entrevistados, apenas 5% possuem bolsa alimentação e 2% bolsa moradia.
O resultado desta pesquisa é preocupante, pois, a dificuldades financeira associada ao
baixo índice de assistência estudantil, pode fazer com que muitos alunos de baixa renda
desistam do curso universitário.
A criação, manutenção e ampliação de programas que garantam a alimentação e a
moradia para os alunos de baixa renda, principalmente dos restaurantes universitários e
alojamentos estudantis, respectivamente, são formas de garantir a permanência dos estudantes
no campus; dando-lhes oportunidade para otimizar seu tempo de vida acadêmica e
contribuindo para o seu melhor desempenho e formação integral.
Como extensão deste trabalho, propõe-se estudar as políticas de assistência estudantil
na UFU e investigar a situação de recebimento de bolsas alimentação e moradia em todos os
cursos dessa Universidade.
ALVES, J. A. A assistência estudantil no âmbito da política de educação superior pública.
Disponível em http://www.ssrevista.uel.br/c_v5n1_Jo.htm. Acesso em 14/04/2008.
ARAUJO, J de O. O elo assistência e educação: o elo assistência/desempenho no programa
de residência universitária alagoana. Tese de doutorado. Universidade Federal de
Pernambuco, 2003.
SILVIA, M. G. Movimento Estudantil na Universidade Federal de Uberlândia – UFU: Um
estudo na Visão de seus Sujeitos. Dissertação de mestrado, PUC-São Paulo, 1994.
MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística Básica. Saraiva: São Paulo, 2002.
A INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA E A UTILIZAÇÃO DE JOGOS NO ENSINO DE
MATEMÁTICA
Sheila Maria Fernandes Carrijo
[email protected]
Fabiana Fiorezi de Marco Matos
[email protected]
INTRODUÇÃO
A situação da educação em nosso país tem demonstrado grande desinteresse de
crianças, jovens e adultos pela escola, pois os métodos tradicionais utilizados por muitos
professores não estimula os alunos para o aprendizado.
Algumas pesquisas 1 têm mostrado que o trabalho em sala de aula desenvolvido de
forma lúdica desperta o interesse dos alunos, promovendo um ensino e um aprendizado de
qualidade. Além disso, nos últimos anos, a preocupação com um trabalho pedagógico por
meio de jogos no ensino de Matemática tem atraído a atenção de pesquisadores, pois sendo
ele uma atividade fundamental para o desenvolvimento da criança (LANNER DE MOURA,
1995), essa, por meio do lúdico, é capaz de elaborar processos de pensamento relacionados à
resolução de problemas.
No contexto da Educação Matemática, encontramos pesquisas como a de Grando
(1995) e de Moura (1992) que se referem ao jogo como um gerador de situação-problema e
desencadeador da aprendizagem do aluno. Moura (1992) aborda o jogo como um problema
em movimento, pois solicita do jogador a elaboração de procedimentos pessoais eficazes na
resolução de uma situação-problema de jogo e que define jogo pedagógico “como aquele
adotado intencionalmente de modo a permitir tanto o desenvolvimento de um conceito
matemático novo como a aplicação de outro já dominado pela criança” (p.53) (grifo nosso).
Ressaltamos que o jogo na sala de aula não pode ser aplicado como um “passa
tempo”, onde os alunos jogam apenas por jogar e não desenvolvem sua capacidade de buscar
novas estratégias, soluções e questionamentos da situação apresentada pelo jogo. Nenhum
jogo é educativo por si só; para que se tenha essa conotação é preciso ser intencionalmente
planejado pelo professor para ser usado em um contexto educativo.
Os jogos têm suas vantagens no ensino da Matemática desde que o professor tenha
objetivos claros do que pretende atingir com a atividade proposta. Entendemos que as
1
Entre elas: Lanner de Moura (1995), Brenelli (1996), Grando (1995 e 2000), Marco (2004).
situações vivenciadas durante a partida podem levar o jogador a planejar as próximas jogadas
para que tenha um melhor aproveitamento. Ressaltamos que isso só ocorrerá se houver
intervenções pedagógicas por parte do professor (MARCO, 2004).
Sobre o papel do professor, Kamii e Housman (2002), destacam que este
é crucial para maximizar o valor dos jogos matemáticos. Por exemplo, se o professor
corrige papéis em sua própria mesa enquanto as crianças estão jogando, as crianças
rapidamente captam a mensagem de que os jogos não são suficientemente
importantes para o professor se incomodar com eles (p.237).
Manter sempre um diálogo com os alunos ajuda o professor a avaliar a forma que eles
estão aprendendo e qual a melhor maneira de se trabalhar um conteúdo de modo que possa
haver a participação de todos e o interesse em aprender.
Segundo Grando (2000), a inserção do jogo no contexto de ensino de Matemática
representa
uma atividade lúdica, que envolve o desejo e o interesse do jogador pela própria
ação do jogo, e mais, envolve a competição e o desafio que motivam o jogador a
conhecer seus limites e suas possibilidades de superação de tais limites, na busca da
vitória, adquirindo confiança e coragem para se arriscar (p.32).
Para o aluno, o jogo constitui-se como um elemento de diversão. O professor, ao levar
um jogo para a sala de aula, precisa ter objetivos e conteúdos claros a serem trabalhados,
problemas a serem propostos e questões a serem exploradas para alcançar resultados
esperados no trabalho a ser desenvolvido.
No Brasil, os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (PCN´s, 1998), do
Ministério de Educação e Cultura (MEC), em relação à inserção de jogos no ensino de
Matemática, pontuam que estes
constituem uma forma interessante de propor problemas, pois permitem que estes
sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a criatividade na elaboração de
estratégias de resolução de problemas e busca de soluções. Propiciam a simulação de
situações-problema que exigem soluções vivas e imediatas, o que estimula o
planejamento das ações (p. 46).
Apesar de os PCN´s orientarem para a utilização de jogos no ensino de Matemática,
não orientam em relação a como deve ser encaminhado o trabalho pedagógico após “o jogo
pelo jogo”. Fica a sensação de que o jogo por si mesmo estará trabalhando análises,
desencadeamentos ou formalizações de conceitos matemáticos.
Juntamente com Marco (2004) entendemos que
Ao jogar e discutir partidas, muitos conceitos são reavaliados bem como diferentes
aspectos do conhecimento são ampliados e aprofundados. Jogar favorece e enriquece
o processo de aprendizagem, na medida em que o sujeito é levado a refletir, fazer
previsões e inter-relacionar objetos e eventos (p.28).
Frente a estas considerações, é importante ressaltarmos que a intervenção pedagógica
intencional que deve ser feita é necessária para que haja a construção e formalização de
conceitos explorados no contexto educacional. Além disso, os jogos são recursos com os
quais a criança pode produzir e compreender textos, significados e situações escolares e
cotidianas, além de criar estratégias para resolver a situação-problema enfrentada para atingir
seu objetivo (ganhar o jogo).
É importante lembrarmos também que na prática pedagógica com jogos, a construção
e aquisição de conhecimentos por parte dos alunos acontecem de forma mais lenta, pois estes
necessitam de tempo para se familiarizar, aprofundar e analisar o jogo. Dos professores, exige
maior dedicação na preparação de materiais, atentando para as diferentes fases do jogo e suas
possibilidades, sendo ele o mediador da construção do conhecimento pelos alunos,
proporcionando a estes ambientes de aprendizagem nos quais possam criar, ousar, comprovar.
As intervenções pedagógicas do professor são de extrema importância para o
aprendizado dos alunos, pois permitem a exploração de conceitos matemáticos e a busca pelo
desenvolvimento da capacidade de pensar.
Em relação à intervenção pedagógica com jogos nas aulas de Matemática, Grando
(2000) propõe sete momentos distintos:
1. Familiarização com o material do jogo
Neste momento, os alunos entram em contato com o material, realizando construções
e experimentações com o mesmo através de simulações de possíveis jogadas.
2. Reconhecimento das regras
Este momento acontece mediante a explicação das regras pelo professor ou, pela
leitura das regras pelos alunos ou ainda, pela identificação das mesmas a partir de várias
jogadas entre o professor e um aluno que tenha aprendido o jogo anteriormente.
3. Jogar para garantir regras
Este é o momento do jogo pelo jogo, momento em que os alunos jogam
espontaneamente e podem perceber alguma relação com a Matemática.
4. Intervenção pedagógica verbal
Este momento caracteriza-se pelos questionamentos e observações realizadas pelo
professor a fim de provocar os alunos para análises de suas jogadas. Trata-se de atentar para
os procedimentos de resolução de problemas de jogo dos alunos, relacionando-os a
conceitualização matemática.
5. Registro do jogo
Este pode ocorrer dependendo de sua natureza e dos objetivos que se têm com o
registro, podendo ser considerado uma forma de sistematização e formalização de conceitos
por meio da linguagem matemática.
6. Intervenção escrita
O professor e/ou os alunos elaboram situações-problema sobre o jogo realizado para
que os próprios alunos as resolvam.
7. Jogar com competência
Após toda a intervenção feita, neste momento acontece o retorno à situação real do
jogo onde os alunos podem executar estratégias definidas e analisadas durante a resolução dos
problemas, tendo um novo olhar para cada jogada a ser realizada.
Pensando nestes sete momentos é que procuramos desenvolver nosso estudo que
passamos a apresentá-lo.
O TRABALHO......
Conforme discutido anteriormente, uma melhor relação com a Matemática pode
ocorrer mediante a utilização de jogos na sala de aula. Porém, é necessário haver a reflexão
sobre seu aspecto pedagógico. Uma forma de valorizar esse aspecto relaciona-se à perspicácia
do professor para, após uma jogada que não deu certo, incentivar o aluno a refletir sobre o
processo utilizado e o mesmo ao tomar consciência deste, busque novos processos e
investigue os conceitos envolvidos.
Com estas idéias, neste estudo, investigamos como os momentos de intervenção
pedagógica podem auxiliar no trabalho com jogos matemáticos em sala de aula. Acreditamos
que uma boa forma de estudar a Matemática, por muitos considerada uma disciplina sisuda e
abstrata é por meio da exploração de conceitos de maneira lúdica, de forma que o prazer, a
criatividade e a satisfação pessoal estejam presentes.
Para responder a este problema de investigação buscamos explorar as potencialidades
de alguns jogos no ensino de matemática, auxiliar na formação profissional quando se utiliza
jogos matemáticos em sala de aula e analisar o desempenho de alunos ao vivenciarem
situações de jogo com intervenções pedagógicas.
Para atender aos nossos objetivos e problema de pesquisa, realizamos um estudo
exploratório de vários jogos que podem ser utilizados no ensino de Matemática. O objetivo
desta ação era conhecer o jogo que selecionaríamos para podermos melhor realizar
intervenções pedagógicas no momento da aplicação em sala de aula.
Como seqüência de nossa pesquisa, procuramos estabelecer uma parceria com uma
professora da rede estadual de ensino na cidade de Araguari que pretendia aperfeiçoar sua
prática pedagógica e trabalhar com jogos no ensino de Matemática. Cabe destacarmos que
tanto a professora quanto seus alunos mostraram-se muito entusiasmados com a proposta e
houve uma participação total de toda a turma durante o desenvolver da atividade.
O interesse da professora em relação ao trabalho com jogos trouxe um grande auxilio
à realização de nossa pesquisa, pois vendo o interesse desta, os alunos também se envolveram
totalmente possibilitando que o aprender pudesse, de fato, acontecer de forma envolvente e
significativa.
Para esta pesquisa selecionamos o jogo Contig 60®1 . Este jogo propicia o
desenvolvimento de habilidades e procedimentos de cálculo mental com as quatro operações
básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) (GRANDO, 2004).
As intervenções pedagógicas com este jogo podem possibilitar nos alunos, o
desenvolvimento de habilidades como: antecipação e previsão de situações de jogo, análise de
possibilidades, reflexão sobre jogadas “erradas” e estímulo ao cálculo mental. Para procurar
desenvolver estas habilidades, o professor pode, no momento da intervenção verbal, lançar
questões como: que números você precisa tirar nos dados para obter o valor desejado? qual
outra forma de você conseguir esse valor? será que você fez uma boa jogada? qual o
maior/menor resultado que você consegue com esses números dos dados? (GRANDO, 2004).
Trabalhamos com alunos da 5ª, 6ª e 7ª séries pertencentes a uma escola pública da
cidade de Araguari durante o primeiro semestre de 2007, para auxiliá-los no aprendizado de
1
Jogo criado por Dr. John C. Del Regato – Copyright 1980, 1986; by Pentathlon Institute, Inc. e adaptado pela
Profª Drª Regina Célia Grando.
operar com as quatro operações básicas. Esta opção ocorreu devido a professora-parceira nos
relatar quais eram as reais dificuldades da maioria dos alunos destas turmas.
Em todas as turmas propusemos que os alunos formassem duplas para jogar dois
contra dois, pois dessa forma, há a necessidade de organização de pensamento e verbalização
deste para convencer o colega de dupla de que a sua estratégia é a melhor. Depois dos grupos
formados apresentamos o jogo para que eles pudessem reconhecer o material do qual este é
constituído, concretizando o primeiro momento de intervenção pedagógica proposto por
Grando (2000). Abaixo reproduzimos o tabuleiro do jogo para melhor compreensão do leitor
(figura 1).
0
1
2
3
4
5
6
7
27
28
29
30
31
32
33
8
26
54
55
60
64
66
34
9
25
50
120
125
144
72
35
10
24
48
108
180
150
75
36
11
23
45
100
96
90
80
37
12
22
44
42
41
40
39
38
13
21
20
19
18
17
16
15
14
Fig. 1 - Tabuleiro do jogo CONTIG 60®
Em todas as turmas, procurando atender ao segundo momento de intervenção
pedagógica (GRANDO, 2000), explicamos aos alunos que o jogo consiste em jogar três dados
e, a partir das quatro operações (adição, subtração, multiplicação e divisão), fazer operações
com os valores obtidos. Esclarecemos que só marcaria pontos a dupla que conseguisse colocar
uma ‘ficha’ perto da outra independente da cor. Se marcasse perto de uma peça que já estava
marcada ganhava-se 1 ponto, se encostasse em duas peças marcadas, obtinha-se 2 pontos, em
três peças marcadas, 3 pontos e assim sucessivamente.
Para nossa análise, selecionamos as informações obtidas nas turmas de 6ª séries, por
termos um maior tempo de contato com estes alunos. Realizamos o trabalho em três aulas,
para que pudéssemos obter um maior retorno dos alunos em relação à aprendizagem
utilizando jogos matemáticos.
AS AULAS....
Quando os alunos começaram a jogar foi necessário lançarmos mão do quarto
momento de intervenção pedagógica proposto por Grando (2000), o momento de intervenção
pedagógica verbal, auxiliando os grupos para que o jogo pudesse ser entendido pelos alunos
que até então estavam confusos em relação às operações a serem feitas e dos pontos.
Ao passar pelos grupos e pelo registro abaixo, percebíamos que os alunos só faziam
operações utilizando a soma. Porém, com o intuito de sempre marcar pontos eles perceberam
que apenas utilizando a operação de adição não conseguiriam obter grande quantidade de
pontos em cada jogada. Com nossa intervenção, os levamos a perceber tal fato e,
posteriormente, os alunos começaram a utilizar a multiplicação e depois as duas operações
juntas (adição e multiplicação) (figura 2).
Fig. 2 – Registro das operações realizadas inicialmente
A cada jogada os alunos buscavam obter mais e mais pontos e, com isso, sentiam a
necessidade de utilizar as quatro operações, mas percebíamos grandes dificuldades em usar a
operação de divisão em suas jogadas.
Como havíamos pedido que os alunos fizessem os registros de suas operações, o
quinto momento de intervenção, constatamos, ao passarmos pelos grupos, que praticamente
todos os alunos não representavam corretamente suas operações de acordo com a linguagem
matemática universalmente aceita. Precisávamos encontrar uma forma para que os alunos
sentissem necessidade de pensar na maneira correta de representar as divisões. Íamos de
grupo em grupo auxiliar e avaliar como os alunos estavam realizando os seus registros a partir
dos resultados obtidos nos dados.
No intuito de encontrarmos a melhor forma de levar os alunos a pensarem em uma
maneira correta matematicamente de efetuar seus registros, desenvolvemos o seguinte diálogo
com um dos grupos:
A1: Professora, o que eu faço agora? Tenho que 3x3+2=11 e o 11 já está marcado.
P: Vocês só podem realizar as operações com os números nessa ordem?
A1: Ah! Então eu posso trocar a ordem dos números?
P: Sim, você coloca os números de forma a realizar uma operação que te ajude a
obter mais pontos.
A1: Hum!... Então... Ah! Posso fazer 3+2x3=15 e ganhar 1 ponto.
P: Espere aí, repita para mim o cálculo que você fez.
A1: 3+2x3=15
P: Você está somando 3+2 e multiplicando o resultado por 3?
A1: Com isso eu consigo 15 e ganho 1 ponto.
P: Olhe bem para esta expressão. É assim que eu resolvo?
A1: Como assim professora? Não estou entendendo.
P: Quando você vai resolver uma expressão desse tipo é assim que você resolve?
A1: É... Ah sim! Primeiro devemos fazer a multiplicação.
P: Então se eu tenho 3+2x3, fazendo primeiro 2x3 e somando o resultado com 3
obtemos 15?
A1: Não professora temos 9. Então a minha conta está errada.
P: Desse jeito está errada sim, mas, para que eu possa realizar essa operação da
forma como você está planejando, o que eu devo fazer?
A1: Hum! Não sei professora
P: Pense só um pouquinho. O que eu devo fazer para poder realizar a soma
primeiro?
A1: É... É...
A2: Colocar parênteses.
P: Muito bem! Assim eu posso fazer (3+2)x3=15.
Em todos os grupos percebemos que ao registrar as operações, os alunos não
utilizavam o parêntese quando realizavam uma soma e depois uma multiplicação. Para eles,
fazer 3 + 2 x 3 era a mesma coisa que fazer (3 + 2) x 3. Não havia, nos alunos, a percepção da
utilização do parêntese para a realização correta de suas operações.
O diálogo a seguir mostra como os alunos perceberam a importância de utilizar o
parêntese.
P: Veja só esta operação: 6+6x4=48. Você está realizando primeiro a soma e depois
a multiplicação?
A1: Sim, professora, eu quero marcar o 48.
P: Mas tem certeza que esta operação esta correta?
A1: Claro que sim, pois, 6+6 é 12 e 12x4 é 48.
P: Bom, quando você tem uma expressão que operação se deve fazer primeiro?
A1: A multiplicação ou a divisão.
P: Então 6x4=24 e 24+6=30. Logo não dá 48. O que eu preciso fazer para tornar a
minha operação correta?
A1: Hum...
A2: Colocar parênteses.
P: Muito bem, mas onde?
A2: No 6+6.
Nesta primeira aula, constatamos uma participação dos alunos que até então não havia
acontecido em aulas “tradicionais”, segundo a professora da turma. A cada jogada realizada,
percebíamos que eles estavam mais envolvidos com o jogo, buscando realizar jogadas que
lhes proporcionassem mais pontos, o que os forçava a pensar em várias possibilidades de
cálculos.
A intervenção pedagógica verbal foi de fundamental importância no processo de
aprendizagem dos alunos, pois estes, além de se habituarem a realizar operações envolvendo
adição, subtração, multiplicação e divisão, aprenderam a escrita matemática de forma correta
(figura 3).
Fig. 3 – Registro de cálculos utilizando parêntese
Em jogadas seguintes, grande parte dos alunos representava corretamente suas
operações, colocando o parêntese onde fosse necessário. O diálogo abaixo nos mostra a
representação correta de uma operação com uso adequado do parêntese e o registro que
comprova nossa análise (figura 4).
P: Olhe para esta operação: (5+1)x2 = 12. Vocês podem me dizer por que usaram o
parêntese?
A4: Por que primeiro queremos somar 5 com 1 e depois multiplicar com 2.
P: E se eu não colocar o parêntese?
A4: Teria, então, que fazer primeiro a multiplicação e não a soma.
Fig. 4 – Registro de operações com parênteses
Para o momento de intervenção escrita, as questões escolhidas para trabalhar com os
alunos foram retiradas do livro O jogo e Matemática no Contexto da Sala de Aula
(GRANDO, 2004). Para este texto apresentaremos duas das questões propostas e suas
análises:
Situação 1: Temos a seguinte situação de jogo: Peças colocadas nas casas 29, 31, 54,
125, 66 e 72 (figura 5).
a) Quantas possibilidades o próximo jogador tem de ganhar 3 pontos?
b) E 2 pontos?
0
1
2
3
4
5
6
7
27
28
29
30
31
32
33
8
26
54
55
60
64
66
34
9
25
50
120
125
144
72
35
10
24
48
108
180
150
75
36
11
23
45
100
96
90
80
37
12
22
44
42
41
40
39
38
13
21
20
19
18
17
16
15
14
Fig. 5 – Distribuição depeças pelo tabuleiro
Os alunos se empenharam bastante resolver as questões propostas. No item a, a
maioria dos alunos estava encontrando 2 possibilidades de se ganhar 2 pontos. Um grupo de
alunos havia encontrado 6 possibilidades. Outro grupo próximo sentiu-se desafiado a
encontrar as outras possibilidades.
Logo na primeira situação, verificamos o empenho e o total envolvimento dos alunos
na busca pela solução correta do problema proposto. Ressaltamos, também, a importância do
trabalho em grupo, onde os alunos faziam suas análises e questionavam as respostas uns dos
outros, permitindo assim, se chegar ao resultado correto e, o diálogo dos alunos entre si e dos
alunos com o professor, que é de fundamental importância para que aconteça o aprendizado
da melhor maneira possível.
Situação 2: Um jogador tirou 5 em um dos dados. Quanto ele precisa tirar nos outros
dois dados e quais operações precisa fazer para que possa colocar sua peça na casa 28?
Indique uma solução possível (números e operações).
Na situação 2 os alunos não tiveram muita dificuldade de encontrar números que
juntamente ao número 5 dado, desse o resultado 28. A maioria optou por 5x5+3, e 5x6-2. Foi
possível verificar uma grande melhora dos mesmos (alunos) em resolver operações, pois,
demonstravam mais facilidade em não só resolver as operações, mas, em escrevê-las
matematicamente.
Apesar de apenas apresentarmos duas situações de intervenção escrita, pelas nossas
observações e análises pudemos constatar que os alunos empenharam-se bastante para
resolver as questões propostas. Segundo a professora da turma este fato não costuma ocorrer
em situações de resolução de problemas nas aulas do dia-a-dia. Acreditamos que o trabalho
diferenciado do que ocorre normalmente promoveu o desejo dos alunos em aprender
matemática.
CONCLUSÃO
Ao optar levar um jogo, uma brincadeira ou uma atividade lúdica para a sala de aula
seria importante que o professor tivesse como um de seus objetivos a promoção da
aprendizagem dos alunos e a interação dos mesmos nas aulas de Matemática despertando-os
para o aprendizado.
Sem as tradicionais aulas de giz e quadro, os alunos se mostram mais participativos e
acabam por estar totalmente envolvidos no conteúdo a ser trabalhado pelo professor. Dessa
forma, o aprendizado acontece sem mesmo que eles percebam e o desenvolvimento de suas
habilidades é trabalhado à medida que eles começam a buscar novas formas de resolução das
atividades propostas.
Em um jogo, a cada jogada realizada, o professor, por meio de intervenções, é capaz
de avaliar se o aprendizado de seus alunos em relação aos conceitos matemáticos ensinados
está acontecendo e, se eles são capazes de construir seu raciocínio buscando novas
alternativas e estratégias de jogo.
O trabalho com jogos interfere, positivamente, na relação aluno-professor
proporcionando mais diálogo e mais proximidade entre ambos. Assim, é importante o
professor planejar com clareza as atividades com jogos, combinar com os alunos as regras e
administrar o horário que tenha à sua disposição.
Este trabalho nos proporcionou uma visão renovada para a escola sobre a Matemática,
pois com os jogos confeccionados e aplicados, o tradicional não seria mais a única forma de
trabalho, visto que há outras maneiras de se ensinar e despertar o interesse dos alunos.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BRENELLI, R. P. O jogo como espaço para pensar: a construção de noções lógicas e
aritméticas. Campinas: Papirus, 1996.
GRANDO, R. C. O conhecimento matemático e o uso de jogos na sala de aula. Tese de
Doutorado. Campinas, SP. Faculdade de Educação, UNICAMP, 2000.
GRANDO, R. C. O Jogo e a Matemática no Contexto da Sala de Aula. São Paulo: Paulus,
2004.
______________. O jogo e suas possibilidades metodológicas no processo ensinoaprendizagem da matemática. Dissertação de Mestrado. Campinas, SP, Faculdade de
Educação, UNICAMP, 1995.
KAMII, C. HOUSMAN, L. B. Crianças pequenas reinventam a Aritmética: implicações da
teoria de Piaget. Porto Alegre: Artmed Editora, 2002.
LANNER DE MOURA, A. R. A criança e a medida pré-escolar. Tese de Doutorado.
Campinas, SP, Faculdade de Educação, UNICAMP, 1995.
MACEDO, L.; PETTY, A. L. S.; PASSOS, N. C. Aprender com jogos e situações problemas.
Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 2000.
MARCO, F. F. Estudo dos processos de resolução de problema mediante a construção de
jogos computacionais de matemática no ensino fundamental. Dissertação de Mestrado.
Faculdade de Educação, UNICAMP, Campinas, SP, 2004.
PCN’s: Parâmetros Curriculares Nacionais. MEC - Ministério da Educação - Secretaria de
Educação Fundamental - Brasília: MEC/SEF, 1998.
A CONSTRUÇÃO DE UMA MAQUETE: UMA FERRAMENTA PARA O
ENSINO DA MATEMÁTICA
Lóren Grace Kellen Maia Amorim -UFU - [email protected]
Mariana Martins Pereira –UFU - [email protected]
Maria Teresa Menezes Freitas - UFU – [email protected]
RESUMO:
Este artigo resultou de uma experiência realizada na Universidade Federal de
Uberlândia, no curso de Licenciatura Plena em Matemática. Enfatiza a importância do
uso dos materiais concretos e relata a construção de uma maquete explorando conteúdos
matemáticos. Conclui-se que este tipo de abordagem, quando cuidadosamente
preparada, se apresenta como um recurso pedagógico eficaz para a construção do
conhecimento matemático.
PALAVRAS-CHAVE: material concreto; maquete de uma casa; formação de
professores.
INTRODUÇÃO
Este trabalho vincula-se ao desenvolvimento de um projeto realizado na
disciplina intitulada “Instrumentação para o Ensino de Matemática”, que teve
repercussão e inter-relação com outras disciplinas no Curso de Licenciatura em
Matemática.
A preocupação inicial era compreender as dificuldades enfrentadas pelos
professores de Matemática quando estes decidem propor uma aula diferente, ou seja,
mais dinâmica e interativa. Conscientes de que uma proposta com um formato inovador
e que atente para a garantia da motivação do aluno exigiria uma preparação meticulosa,
partimos para enfrentar o desafio.
Assim, nos deixamos levar por uma experiência que se mostrou eminentemente
formativa, na perspectiva de Larrosa, citado por Freitas (2006), em que as aventuras
não planejadas e não traçadas antecipadamente propiciam a criação de uma força
suficiente para uma reflexão (p. 56). As dificuldades encontradas pelos alunos/futuros
professores no desenvolvimento da atividade requisitaram a revisão e a reflexão sobre
os objetivos e sobre os conteúdos Matemáticos possíveis de serem trabalhados e, nessa
perspectiva, vislumbrou-se o aproveitamento da mesma atividade para exploração de
diversos conceitos em diferentes contextos.
As primeiras autoras deste artigo, nesta época alunas do 8° período do Curso de
Licenciatura Plena em Matemática da Universidade Federal de Uberlândia, tiveram
como intenção, ao propor o projeto, proporcionar ao aluno um ambiente diferente para
que o mesmo desenvolvesse sua aprendizagem de uma forma compreensiva e
significativa. A disciplina em questão, ministrada pela professora Dra. Maria Teresa
Menezes Freitas, propiciou um espaço de aprendizagem para o desenvolvimento deste
projeto que fora intitulado A construção de uma maquete: uma ferramenta para o
ensino da matemática.
Nesse artigo trataremos do relato da experiência de elaboração do referido
projeto, bem como, da reflexão sobre os saberes movimentados e os desdobramentos
decorrente destes.
Para a realização do projeto o desafio era o de elaborar uma proposta de uma
atividade para alunos do ensino fundamental ou médio, envolvendo o ensino de
Matemática. Muito tempo foi necessário para se chegar à decisão de que havia no grupo
o desejo e a necessidade de desenvolver algo que pudesse ser trabalhado com o aluno,
deste nível de ensino, de uma maneira fácil, prática, prazerosa. O material concreto se
despontou como propício para explorar os conceitos de “Geometria Plana, Espacial e
Trigonometria” e, além disso, despertar o interesse dos alunos. Acreditava-se que este
conteúdo abriria um leque enorme de possibilidades para a realização de um trabalho
interessante e estimulador. Mas que material seria esse? Após a dedicação de várias
horas discutindo e realizando leituras e pesquisas, em diferentes textos e sites, optou-se
pela construção de uma maquete de uma casa, na tentativa de tornar real à proposta
imaginada.
Pensávamos que a construção da maquete seria fácil, porém quando começamos
a desenvolver o trabalho, tivemos algumas surpresas, pois não foi tão trivial a sua
construção. Durante a elaboração da mesma descobrimos o quanto é importante o
professor desenvolver uma atividade antes de propô-la a seus alunos, pois alguns
aspectos precisam ser levados em conta e que nem sempre recebem atenção antecipada.
Destacamos os seguintes itens: aprender a lidar com os tijolos nem sempre
confeccionado do mesmo tamanho; estabelecer a área da casa, calcular a quantidade de
tijolos a serem produzidos; calcular a altura da parede da casa; calcular o tamanho das
portas e janelas e, acima de tudo, identificar e reconhecer que conteúdo Matemático é
possível ser explorado.
A solicitação da professora da disciplina de que houvesse um registro escrito de
todo o processo de desenvolvimento do projeto e, que este não se ativesse apenas ao
mero relatório, mas apresentasse uma reflexão sobre os caminhos trilhados, nos
impulsionou a pensar e repensar sobre o que estávamos a planejar, identificando e
questionando os objetivos e apontando possíveis caminhos de solução para atender as
expectativas.
Outro ponto relevante na produção da maquete se relaciona a descoberta,
durante sua construção, sobre os vários conteúdos de Matemática possíveis de serem
explorados além daqueles pensados inicialmente. A idéia inicial proposta evidenciava
apenas a trigonometria e a geometria - plana e espacial. Entretanto, a experiência nos
levou a descobrir que outros conteúdos estavam relacionados e poderiam ser também
explorados, tais como: sistemas de medidas (linear, superfície, volume, capacidade e
massa); porcentagem, proporcionalidade e matemática financeira. Sistemas de medidas
e porcentagens podem ser abordados na construção da planta da casa, na discussão
sobre o tamanho e o modelo do terreno. Matemática financeira pode ser tratada no
cálculo da quantidade de material a ser gasto para a construção da maquete.
Neste texto destacaremos apenas os aspectos relacionados à geometria e a
trigonometria.
O USO DO MATERIAL CONCRETO
Diante da grande dificuldade dos alunos em compreender a Matemática e, além
disso, a concepção de muitos alunos de diferentes níveis como sendo esta área um
‘bicho-de-sete-cabeças’, consideramos interessante que o aluno tenha a oportunidade de
aprender interagindo e refletindo, evitando assim, um aprender mecânico, repetitivo e
aquele fazer sem saber o que faz e por que faz. Nesse sentido, optamos por desenvolver
um trabalho sobre o uso do material concreto, por acreditarmos que com essa
ferramenta as aulas de Matemática poderão ser mais interativas, despertando a
curiosidade e estimulando os alunos a fazerem perguntas, a descobrirem semelhanças e
diferenças, a criarem hipóteses e a chegarem às próprias soluções.
A experiência nos levou a acreditar e ressaltar a importância do professor
planejar suas aulas atentando para prática pedagógica e para os objetivos a serem
alcançados. O uso pelo o uso do material concreto, certamente não levará aprendizagem
significativa. Vale lembrar, conforme afirma Grando (2004) ao tratar do aspecto
mediador do professor na atividade jogo, que
o professor é o mediador da ação do aluno [...], objetivando
resgatar conceitos matemáticos do nível da ação para uma
posterior compreensão e sistematização (p.14).
Além disso, sem a mediação do professor, a experiência no campo de estágio
desenvolvida concomitantemente a essa disciplina nos evidenciava que os alunos, por si
só, não entendem o conteúdo que se pretende explorar e não compreendem o porquê de
se estar utilizando determinado material.
Em discussão com os colegas de turma - parceiros de diálogo deste trabalho destacou-se o papel fundamental da intervenção do professor quando se pretende
explorar conteúdos Matemáticos fazendo uso de material concreto, ou seja, o professor
mediando os diálogos entre e com os alunos, fazendo indagações aos mesmos, assume a
posição de um meio acessível que auxilia a esclarecer as dúvidas, motivando a
expressão (oral ou escrita) da compreensão a respeito do conteúdo de cada um.
O material concreto pode ser um grande aliado nas aulas de matemática, mas
pensamos que esse não vem para substituir o professor e sim para complementar as
aulas e, além disso, observamos a necessidade do professor encontrar um aporte teórico
para substanciar seu planejamento, além de buscar recursos como softwares, jogos entre
outros. Chegamos a essa conclusão porque vivenciamos, nas disciplinas pedagógicas,
situações que nos levaram a refletir e sentir tal necessidade. As atividades desenvolvidas
nessas disciplinas também eram acompanhadas por leituras de textos e por isso, cada
vez mais sentíamos que não poderíamos abrir mão das informações e dos diálogos com
diferentes autores, que acontecem por meio da leitura.
Concordamos com Magina e Spinillo (2004) quando dizem que
o material concreto não é o único e nem o mais importante
recurso na compreensão matemática, como usualmente se supõe.
Não se deseja dizer com isso que tal recurso deva ser abolido da
sala de aula, mas que seu uso seja analisado de forma crítica,
avaliando-se sua efetiva contribuição para a compreensão
matemática (p.11).
Percebemos que alguns professores consideram desvantagem trabalhar com o
material concreto, pois durante esse tipo de atividade os alunos ficam agitados e
conversam mais que o normal, mas seria aconselhável que o professor interpretasse essa
"bagunça saudável" como um momento de troca. Quando dizemos troca, queremos
enfatizar que em diversos momentos da elaboração da maquete tivemos que tomar
decisões e colocar em prática as decisões tomadas. Para se chegar a um denominador
comum das idéias movimentadas aconteceram várias discussões até que se chegasse a
um consenso decidindo os caminhos a seguir. Fundamentando nossas afirmações na
experiência vivida e refletida acreditamos que em uma sala de aula o diálogo entre
alunos e professor se apresenta como uma peça chave da aprendizagem. Nesse sentido,
evidencia-se uma vez mais o papel do planejamento para garantir uma mediação segura,
pois do estabelecimento de objetivos claros e do reconhecimento da importância dos
momentos de troca dependem a aprendizagem com significado e a construção do
conhecimento.
UMA BREVE CONTEXTUALIZAÇÃO DO USO DE MATERIAIS
MANIPULÁVEIS NAS AULAS DE MATEMÁTICA
Segundo Nacarato (2005), “o uso de materiais manipuláveis no ensino foi
destacado pela primeira vez por Pestalozzi, no século XIX, ao defender que a Educação
deveria começar pela percepção de objetos concretos, com a realização de ações
concretas e experimentações. Essa autora destaca que no Brasil o discurso em defesa da
utilização de recursos didáticos nas aulas de Matemática surgiu na década de 1920. Esse
período foi marcado pelo surgimento de uma tendência no ensino da Matemática que
ficou conhecida como empírico-ativista decorrente dos ideais escolanovistas que se
contrapunham ao modelo tradicional de ensino, no qual o professor era tido como
elemento central do processo de ensino. Para Fiorentini (1995), na concepção empíricoativista o aluno passa a ser considerado o centro do processo e os métodos de ensino –
tendo como pressupostos a descoberta e o princípio de que “aprende-se a fazer fazendo”
– se pautavam em atividades, valorizando a ação, a manipulação e a experimentação. O
ensino seria baseado em atividades desencadeadas pelo uso de jogos, matérias
manipuláveis e situações lúdicas e experimentais”.
O artigo “Uma reflexão sobre o uso de materiais concretos e jogos no Ensino
da Matemática” de Dario Fiorentini e Maria Ângela Miorim, docentes da Faculdade de
Educação da UNICAMP, publicado no Boletim SBEM-SP, mostra que muitos
professores buscam encontrar nos materiais concretos a solução para os problemas que
enfrentam no dia-a-dia da sala de aula, mas nem sempre sabem o momento e como
devem introduzir estas ferramentas. Os alunos não compreendem a Matemática que é
ensinada na escola e não sabem aplicá-la no seu cotidiano. Esse é um fato que acontece
com freqüência no ensino da matemática nas escolas. Por isso, os materiais concretos
são utilizados, entre outras razões, para motivar os alunos a gostarem de Matemática.
Ao depararmos com a pergunta “Será que podemos afirmar que o material
concreto ou jogos pedagógicos são realmente indispensáveis para que ocorra uma
efetiva aprendizagem da matemática?”, nossa resposta seria que dependendo da maneira
de como o professor vai utilizar o material ou o jogo este pode ser dispensável, porque a
mediação do professor é que faz a diferença no processo ensino-aprendizagem. Por
exemplo, poderíamos simplesmente propor a construção da maquete, na qual conceitos
de Matemática poderiam ser explorados, sem especificá-los. Mas pensamos ser
importante destacar a Matemática presente em todo o processo de construção. Pensamos
que a construção pela construção pode ser dispensável, mas se aproveitarmos todas as
potencialidades que o material oferece e o planejamento escrito de mediações, bem
como das intervenções necessárias, poderemos aumentar o efeito da proposta e os
alunos poderão compreender e verificar que a Matemática está presente a sua volta.
Carraher & Schilemann (apud Fiorentini e Miorim, 1993) afirmam que
não precisamos de objetos na sala de aula, mas de objetivos na
sala de aula, mas de situações em que a resolução de um
problema implique a utilização dos princípios lógicomatemáticos a serem ensinados (p.179).
Respaldados por essa afirmação e pela nossa experiência na elaboração e
apresentação do referido projeto percebemos a necessidade de se ter clareza dos
objetivos no desenvolvimento da atividade e ser esta desenvolvida de modo a valorizar
a reflexão e discussão antes da tomada de decisões.
Segundo Fiorentini (1993), cada material pedagógico possui uma proposta
pedagógica que o justifica. Muitas transformações aconteceram com o passar dos anos
em relação aos objetivos da utilização de materiais concretos. Antigamente, os materiais
concretos eram utilizados de maneira puramente demonstrativa, servindo apenas para
auxiliar a exposição, a visualização e memorização do aluno. A partir do séc. XVII este
tipo de ensino passou a ser questionado. Uma didática ativa para a matemática passou a
ser defendida: A recomendação vigente assim expressava: “Nada deve ser dado a
criança, no campo da matemática, sem primeiro apresentar-se a ela uma situação
concreta que a leve a agir, a pensar, a experimentar, a descobrir, e daí, a mergulhar na
abstração” (AZEVEDO, p.27).
Segundo Castelnuovo (apud Fiorentini e Miorim, 1993) o concreto deve ter
uma dupla finalidade: “exercitar as faculdades sintéticas e analíticas da criança, sintética
no sentido de permitir ao aluno construir o conceito a partir do concreto; analítica
porque, nesse processo, a criança deve discernir no objeto aqueles elementos que
constituem a globalização”. (p.4). Sabemos que antes de optar por um material ou um
jogo, ao professor cabe refletir sobre que tipo de matemática que acredita ser importante
para o aluno. Nesse sentido, acreditamos que o material por si só não faz efeito nenhum,
não garante uma melhor aprendizagem da matemática, mas com a mediação do
professor essa aprendizagem pode se tornar possível. E foi com essa visão que optamos
por construir esse material concreto.
CONSTRUÇÃO DA MAQUETE
O nosso intuito ao realizar este trabalho foi o de utilizar o material concreto
como meio de auxiliar no processo de ensino-aprendizagem, mostrando a nós mesmos e
aos futuros professores - colegas de turma -, que a geometria pode ser trabalhada de
forma atrativa, construtiva, interessante e motivadora, ou seja, diferenciada do processo
atual de ensino que pudemos acompanhar na grande maioria dos nossos momentos de
estágio em escolas públicas. Também consideramos a oportunidade de discutir por meio
deste projeto a possibilidade real do professor deixar um pouco de lado o quadro negro
e as fórmulas, atuando como mediador para que o aluno construa o seu conhecimento a
partir das aplicações e manuseio do material.
Abaixo descrevemos e ilustramos os materiais utilizados, e os procedimentos em cada
etapa do trabalho.
MATERIAIS UTILIZADOS:
Papel cartão
Isopor
Palito de picolé
Espeto de churrasco
Cola de isopor
Cola
Tesoura
Silicone
Com o papel cartão de cor marrom, construímos paralelepípedos retangulares. A
construção destes sólidos não foi trivial, porque se cortássemos um milímetro a mais ou
a menos, faria diferença na montagem dos tijolos e isso influenciaria no tamanho dos
mesmos. Como o papel cartão é mais firme que uma folha sulfite, encontramos
dificuldade para fazer as dobraduras. A planificação deste sólido pode ser vista na
figura abaixo.
Com esta planificação montamos os paralelepípedos que seriam os tijolos da
maquete. (Obs.: Na construção dos paralelepípedos levamos em conta o que
desejávamos explorar, não dando ênfase a proporcionalidade, pois se assim fosse a
construção desse sólido mereceria um cuidado maior).
Após a construção dos paralelepípedos de papel cartão demarcamos no isopor a
área que pretendíamos construir a casinha. Logo, para que a parede possuísse uma altura
de mínimo três paralelepípedos retângulos, calculamos a quantidade de tijolinhos que
precisariam ser construídos (aqui também se encontra um cálculo Matemático que vale
a pena ser explorado e problematizado em sala de aula). Tomamos essa decisão, pois o
nosso intuito foi explorar a matemática envolvida na construção do paralelepípedo (área
lateral, planificação do sólido, volume, propriedade do retângulo e do paralelepípedo).
Logo padronizamos a medida para os tijolos e, em seguida, encontramos a altura da
casa. Estabelecemos a altura em função da praticidade para locomoção da casinha e,
também, pela quantidade de material que tínhamos disponível.
Em seguida, com a cola de isopor levantamos as paredes da casinha. A figura
abaixo ilustra o desenvolvimento.
A porta foi confeccionada de papel cartão e com palitinho de picolé.
Depois desta etapa, partimos para o telhado.
Primeiramente, com os palitos de picolé e o com os palitos de churrasco,
construímos dois triângulos isósceles de forma que a base do triângulo fosse do
comprimento da casa. Aqui registramos a possibilidade de explorar as especificidades
da escolha deste formato. A forma triangular aparece em diversas estruturas, como
portões, telhados, pontes, dentre outras. Em portões ou porteiras feitos de madeira,
costuma-se colocar uma tábua - travessa. Justifica-se esse procedimento por ser o
triângulo uma figura rígida, ao contrário de quadrados e retângulos que podem mudar
de forma, ou seja, os lados não se alteram com a variação do ângulo. Como o triângulo
possui rigidez geométrica, isto é, dados os três lados (sendo a medida de qualquer um
dos lados menor do que a medida da soma dos outros dois lados) está definido o
triângulo. Isto não acontece com os demais polígonos convexos. Por exemplo, com
quatro segmentos de mesmo comprimento é possível construir um quadrado
(eqüiângulo e eqüilátero) e muitos losangos (apenas eqüiláteros).
Desta forma, poderemos concluir e justificar que as estruturas triangulares
possuem maior resistência aos pesos nelas exercido e que se o telhado tiver a forma de
um triângulo isósceles, o suporte central dividirá o triângulo em outros dois triângulos
retângulos, fortalecendo a estrutura.
Em seguida, com os palitos de churrasco construímos as tesouras do
telhado. As tesouras são armações feitas para colocar o telhado e são construídas
dependendo do tamanho da casa e do tipo de telha que vai ser usado (Vide desenho).
E por fim, dobramos o papel cartão laranja, calculamos a área do telhado, cortamos
o papel e cobrimos a casa. (Obs.: O telhado foi construído apoiado ao isopor para
que pudéssemos fixar as tesouras e dar suporte à cobertura). Por fim, colocamos o
telhado construído, na folha de isopor, sobre a casinha. O tamanho das tesouras que
dão suporte ao telhado depende do tamanho da casa. Experimentalmente,
percebemos que o caimento das tesouras deveria ser de 20%, ou seja, a cada metro
na horizontal corresponderia 20 cm do suporte da vertical. Portanto, se a casa tiver
8m de largura, a metade tem 4m (aqui podemos explorar razão, proporções, regra de
três, porcentagem, dentre outros). Consequentemente, o suporte vertical deveria ter
80 cm.
Esta etapa seria ideal para a apresentação de algumas características dos
triângulos, tais como propriedades, semelhança, congruência e relações métricas do
triângulo retângulo.
Segue abaixo algumas questões que o professor poderá propor aos seus alunos com a
construção da maquete e que foi discutida com o grupo e com a turma na apresentação
do projeto.
x
Qual o perímetro da casa? Qual a área?
x
Comente e registre a respeito de algumas propriedades do paralelepípedo
retângulo. (tijolinhos da casa).
x
Por que os telhados têm a forma triangular?
x
Se o telhado tem a forma de um triângulo isósceles, em quantos triângulos
retângulos o suporte central dividirá o triângulo?
x
O que são as tesouras que dão suporte ao telhado? Como devem ser
confeccionadas?
x
Qual deve ser o caimento das tesouras, ou seja, cada metro da horizontal
corresponderá a quantos por cento do suporte vertical?
x
Qual o formato da casa? Qual o formato do telhado coberto?
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A experiência relatada neste texto nos mostrou evidências da possibilidade real
de oferecer aos alunos do ensino básico uma aula mais dinâmica, em que os mesmos
participam ativamente de todo o processo de construção do conhecimento. Além disso,
se sobressaíram nessa caminhada de aprendizagem e desenvolvimento profissional, a
possibilidade e a vantagem da utilização de material concreto para proporcionar aulas de
Matemáticas mais interativas, que despertam curiosidades e estimulam os alunos a
fazerem perguntas, descobrirem semelhanças / diferenças, criarem hipóteses e chegarem
às próprias soluções.
Pensamos que o projeto em si tem suas potencialidades, mas se não houver a
mediação do professor o material concreto, por si só, não contribuirá para o processo de
ensino-aprendizagem. Para finalizar, acreditamos que o professor, com a mediação
adequada, poderá explorar diversos conceitos de matemática na construção de uma
maquete.
BIBLIOGRAFIA
AZEVEDO, E. D. M. Apresentação do trabalho Montessoriano. In: Ver. de
Educação & Matemática nº. 3, 1979 (pp. 26 - 27);
BIEMBENGUT, M. S. Modelagem Matemática no ensino / Maria Sallet Biembengut,
Nelson Hein. – 3ª ed. – São Paulo: Contexto, 2003.
CARRAHER, T. N. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Cortez, 1988.
CASTELNUOVO, E. Didática de la Matemática Moderna. México: Ed. Trillas,
1970.
FIORENTINI, D.; MIORIM, M.A. Uma reflexão sobre o uso de materiais concretos
e jogos no ensino da matemática. Boletim SBEM, São Paulo, ano 4, n.7, 1993.
FREITAS, M. T. M. A escrita no processo de formação contínua do professor de
Matemática. 2006. 299f. Tese (Doutorado em Educação: Educação Matemática) – FE,
Unicamp, Campinas (SP).
GRANDO, R. C. O Jogo e a Matemática no contexto da sala de aula. São Paulo:
Paulus, 2004.
MAGINA, Sandra Maria Pinto ; SPINILLO, Alina Galvão . Alguns 'mitos' sobre a
Educação Matemática e suas consequências para o Ensino Fundamental. In:
Regina Maria Pavanello. (Org.). Matemática nas Séries Inicias do Ensino Fundamental:
A pesquisa e a sala de aula. 1 ed. São Paulo: Ed. SBEM, 2004, v. 2, p. 7-36.
NACARATO, A. M. Eu trabalho primeiro no concreto. Revista de Educação
Matemática Publicação da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, São Paulo, v.
9, n. 9 e 10, p. 1- 6, 2004-2005.
RIBEIRO, R. Material concreto: um bom aliado nas aulas de Matemática, edição 184,
Nova
escola,
2005.
Disponível
em:
<http://revistaescola.abril.ig.com.br/edicoes/0184/aberto/mt_82238.shtml> Acesso 23
mar. 2007.
WATANABE, R. M. Como construir um bom telhado.
Disponível em:
<http://www.ebanataw.com.br/roberto/telhado/tlhcur3.htm>Acesso 23 mar. 2007.
O Uso de Modelagem Matemática na Construção de uma Piscina
Stela Zumerle Soares
[email protected]
Karla Barbosa de Freitas
[email protected]
Rosana Sueli da Motta Jafelice
[email protected]
Introdução e Preliminares
O objetivo deste trabalho é analisar a construção de uma piscina de azulejos e obter
seu volume, área completa de azulejos, variação do nível da água quando a piscina está sendo
cheia, tempo necessário para ser cheia, tempo para limpar a água poluída por certo tipo de
sujeira e tempo de esgotamento considerando a vazão da piscina.
O estudo é baseado no conteúdo do livro “Modelagem Matemática”, de Rodney
Carlos Bassanezi nas páginas 191 a 199, conhecimentos de geometria, cálculo, álgebra e
equações diferenciais ordinárias [1].
Antes de iniciarmos o desenvolvimento de nossos objetivos, definimos alguns
conceitos utilizados para a resolução dos problemas. Primeiramente definimos integral dupla.
Seja uma função real z f ( x, y ) definida e contínua no retângulo
R [a, b] u [c, d ] {( x, y ) R 2 | a d x d b e c d y d d } . O gráfico de z é uma superfície
situada acima do retângulo R, se 0 d f x, y em R. Os quatros planos x=a, x=b, y=c e y=d , o
retângulo R e a superfície z, formam a fronteira de uma região W do espaço. Definimos então
a integral dupla de f sobre R como sendo o volume desta região W.
Propriedades Fundamentais da Integral Dupla:
Linearidade. Sejam f e g funções num retângulo R e c1 , c 2 constantes reais. Então
c1 f c 2 g é integrável sobre R e
³³ c f x, y c g x, y dx dy
1
2
R
c1 ³³ f x, y dx dy c 2 ³³ g ( x, y )dx dy
R
R
Monotonicidade. Se f e g são integráveis num retângulo R e f x, y t g x, y ,
x, y R , então
³³ g x, y dx dy d ³³ f x, y dx dy
R
R
Aditividade. Se o retângulo R é subdividido em retângulos R1 , , Rn , e se f é
integrável sobre cada Ri , i=1,..,n, então é integrável sobre R e
³³
R
f x, y dx dy
n
¦ ³³ f x, y dx dy
i 1 Ri
Introduziremos o conceito de integral tripla. Seja w f x, y, z uma função definida e
limitada na caixa retangular R. Definimos a integral tripla de f sobre R como sendo
³³³ f x, y, z dx dy dz
R
Fórmula para mudança de variáveis na integral dupla e tripla
1) Considere g uma aplicação definida por g(u,v) = (x(u,v),y(u,v)), onde x e y são
funções de classe C 1 num subconjunto aberto U R 2 . Seja Q um subconjunto limitado e
fechado contido em U tal que g é injetora e o determinante jacobiano da aplicação g,
ª wx wx º
« wu wv »
«
» , nunca se anula em Q. Se f é integrável em g(Q), então
« wy wy »
«¬ wu wv »¼
³³ f x, y dxdy ³³ f ( x(u, v), y(u, v))
g (Q )
jacobiano du dv ,
Q
ª wx
« wu
onde o jacobiano é o determinante de «
« wy
«¬ wu
wx º
wv »
».
wy »
wv »¼
2) Considere g uma aplicação definida por
g(u,v,s) = (x(u,v,s),y(u,v,s)),
onde x,y,z são funções com derivadas parciais contínuas no subconjunto aberto U R 3 . O
ª wx wx wx º
« wu wv ws »
»
«
wy wy wy »
«
, nunca se anula em
determinante jacobiano da aplicação g, determinante de
« wu wv ws »
»
«
« wz wz wz »
¬« wu wv ws ¼»
Q. Se f é integrável em g(Q), então ³³³ f x, y, z du dy dz é igual a
g (Q )
³³³ f ( x(u, v, s), y(u, v, s), z (u, v, s)) jacobiano du dv ds
Q
ª wx
« wu
«
wy
onde o jacobiano é igual ao determinante de «
« wu
«
« wz
¬« wu
wx
wv
wy
wv
wz
wv
wx º
ws »
»
wy »
[2].
ws »
»
wz »
ws »¼
História
Uma piscina (do latim piscina, derivado de piscis "peixe") é um tanque de água
próprio para natação, mergulhos, saltos ornamentais e outras práticas desportivas, como, por
exemplo, pólo aquático e hidroginástica, ou simplesmente para recreação.
Remontando aos registros mais antigos podemos citar, a princípio, que foram
encontradas imagens de receptáculos semelhantes aos que seriam piscinas atuais em
hieróglifos dentro das pirâmides egípcias. Natação, como uma atividade organizada, remonta
a 2.500 A.C., no Egito antigo, e posteriormente na Grécia, Roma e Assíria antigas. Em Roma
e na Grécia, a natação era parte integrante da educação das crianças em idade escolar, e os
romanos foram os primeiros a construir piscina para natação, separada da piscina para banhos.
A primeira piscina aquecida foi construída em Roma por Gaius Maecenas, no século I D.C.
Gaius Maecenas era um rico senhor, e é considerado o primeiro patrono das artes - ele
patrocinou os famosos poetas Horácio, Virgílio e Propertius tornando possível para eles que
vivessem e escrevessem sem temer a pobreza. No Japão há evidências de piscinas para
natação e competições há mais de 2000 anos. Um dado curioso a respeito das piscinas é que a
princípio se utilizava este termo para designar os poços (aquários) de peixes de diferentes
tipos de água, e posteriormente, com o Cristianismo, para denominar a pia batismal.
Entretanto, as piscinas não se tornaram populares senão na metade do século XIX. Em
1837, seis piscinas cobertas com plataformas de mergulho foram construídas em Londres,
Inglaterra. Depois que principiaram os Jogos Olímpicos Modernos, e as competições de nado
fizeram parte dos eventos originais, a popularidade da natação começou a se espalhar. A
competição de nado fez parte dos Jogos Olímpicos Modernos desde Atenas, Grécia, em 1896.
Muitos atletas atualmente elegem a natação como meio de se exercitar e entrar em forma para
competir, inclusive em outras modalidades [3].
Na próxima seção calculamos o volume da piscina da Figura 1. Considere a planta da
piscina (Figura 2) e que a água entra numa velocidade de 20 l/min.
Figura 1 – Foto da piscina estudada [1].
Figura 2 – Planta da piscina estudada.
Cálculo do Volume da Piscina
O cálculo do Volume deve ser realizado em 5 etapas distintas, (as alturas da piscina
variam e seus contornos também) conforme as configurações do fundo e da borda da piscina
(vide Figura 2). A simetria da piscina em relação ao eixo-x permite trabalhar somente com
sua metade.
Calculamos inicialmente a equação da reta tangente que determina a configuração da
borda superior:
x
Raio da circunferência menor r:
6.3 3.6
r
1.35
2
x
Raio da circunferência maior: R = 1.8
x
Centro da circunferência menor:
6.3 3.6 4.95
OB 3.6 2
x
Coordenadas dos pontos P, Q e C:
Sejam P: x1 , y1 , Q: x 2 , y 2 e C: x3 ,0 ,o ponto onde a reta tangente às duas
circunferências corta o eixo-x. Temos que os triângulos OPC e BQC são semelhantes
segundo o critério AA (ângulo-ângulo), que diz que existe semelhança entre dois
triângulos se têm dois ângulos iguais, portanto,
OC
1.8 4.95 BC

1.8 BC
1.35
BC
BC
0.45BC 1.354.95 BC 14.84.
R
r
1.354.95 1.35BC
Assim,
OC OB BC 4.95 14.84 19.79 x3 .
Considerando o triângulo BQC podemos calcular o coeficiente angular da reta
tangente às circunferências:
BQ 1.35
senD
0.0909 .
BC 14.84
Então,
senD
0.0909
0.0909
0.0913 .
tan D
2
2
0.995860
1 sen D
1 0.0909
E daí, D 0.091 rd .
Como a reta tangente é decrescente, seu coeficiente angular é negativo, ou seja,
m = -0.0913, e sua equação é obtida considerando
y 0 0.0913x 19.79 ou seja,
y 0.0913x 1.807 .
Temos que:
2
2
2
2
2
2
2
2
14.778
388.404 PC
ˆ
pois como a reta y é tangente temos que os ângulos BQC e OPˆ C são retos.
19.707
PC
2
BC BQ QC
14.852 1.352 QC
2
19.792 1.82 PC
218.7 QC
QC
OC OP PC
Como os triângulos x1 PC e x 2 QC são semelhantes (pelo critério AA da Geometria
Plana), temos que (considerando G igual ao ângulo formado entre CB e BQ ).
§S ·
D ¨ ¸G
S
©2¹
S 0.091
G
G
1.48 rd .
Ou seja, CÔP = 1.48 rd também.
Daí, temos também que
Bx 2
Bx 2
cos G
0.091
Bx 2
1.35
BQ
x1 P
senCÔP
OP
Ox1
0.118 x 2
5.068
x1 P
x1 P 1.793 y1
1.8
0.996
1.793 .
Ox1
Ox1 0.158 x1 0.158
1.8
OP
Calculemos o volume da piscina que deverá ser calculado dividindo a piscina em
cinco partes pois as alturas variam.
cos CÔP
x
0.091
Cálculo de V1 (secção de um cilindro):
0.158 x1
V1
2
1.8 2 x 2 y x 2 y 2 1.8 2
³ 1 .8
³
1.8
0.158
dy dx
3 .6
³
1.8 2 x 2 dx.
1.8
0
Considerando a mudança de variável x 1.8 cos T , temos que
dx 1.8senT dT e, para
1 .8 1 .8
x
1.8 cos T T
S
e,
x 0.158 0.158 1.8 cos T 0.087778
assim obtemos que,
1.483
V1
3.6
³
S
1.483
1.82 1.82 cos2 T dT
1.483
3.6
³
S
3.6
para
cos T T
1.483
,
1.82 1.82 1 sen2T 1.8senT dT
³
S
1.483
1.8 sen T 1.8senT dT
2
2
3.6 ³1.8senT 1.8senT dT
S
Observe que,
2
³ sen T dT
³ senT senT dT
senT cosT ³ 1 sen T dT
2
11.664 ³ sen2T dT .
S
senT cosT ³ cosT cosT dT senT cosT ³ cos2 T dT
senT cosT ³T dT ³ sen2T dT
senT cosT T
c
2
sendo u senT , dv senT dT , v cosT , du cosT dT .
2³ sen2T dT senT cosT T ³ sen2T dT
Portanto,
1.483
1.483
§ senT cosT T 1.483 ·
|S ¸ 11.6640.697827 1.570796
11.664¨
2
¹
©
11.664 ³ sen2T dT
S
10.170
Portanto, V1 = 10.170 m3.
x
V2
Cálculo de V2 :
2
1.3
0.0913x1.807
³
³
0.158
1.3
0
§ 0.913x 2
3 ·
¸¸
1.807x |10...158
3.6¨¨
2
©
¹
3.61.987585 7.193.
³ 0.913x 1.807dx
1.8 dy dx 3.6
0.158
3.6> 0.077149 2.3491 0.001140 0.285506@
Portanto V2 = 7.193 m3.
Observe que 0.0913 x 1.807 é a equação da reta y obtida anteriormente.
x
Cálculo de V3 :
Para efetuar o cálculo devemos determinar a equação da rampa (plano do fundo da
piscina) – para isto, basta determinar z* (altura do plano) somente em função de x:
'h
x 1.3 , ou seja,
z*
4 1.3
1.8 1.2
x 1.3 0.222 x 0.288 .
z*
2.7
Portanto, a altura da piscina nesta secção será:
z x, y 1.8 z* 1.512 0.222 x . (diferença de alturas)
Assim,
0.0913x1.807
4
V3 2 ³
³
1..3
4
0
4
0.0913x1.807
³ 1.512 0.222xdydx
z(x, y) dydx 2 ³
1..3
0
4
2 ³ 1.512y 0.111xy |00.0913x1.807 dx 2 ³ 1.512 0.913x 1.807 0.111x 0.0913x 1.807dx
1..3
4
1..3
4
2
2 ³ 0.138x 2.732 0.010x 0.201x dx 2 ³ 0.010x2 0.339x 2.732dx
1..3
1..3
§ 0.010x3 0.339x2
·
2¨¨
2.732x¸¸ |14..3 2>0.213 0.007 2.712 0.286 10.928 3.552@
2
© 3
¹
13.118.
resultando V3 = 13.118 m3.
x
Cálculo de V4 (altura constante z = 1.2):
5.068 x2
0.0913x1.807
³
³
V4 2
4
0
5.068
1.2 dy dx 2.4
³ 0.0913x 1.807dx
4
2.4>1.173 0.730 9.158 7.228@ 3.571
trazendo V4 = 3.571 m3.
§ 0.0913x 2
·
1.807x¸¸ |54.068
2.4¨¨
2
©
¹
x
V5
Cálculo de V5 (secção cilíndrica de altura constante igual a 1.2):
2
6.3
1.35 2 x 4.95 2 y x 4.95 2 y 2 1.35 2
³
³
5.068
4
1.2 dy dx
0
2.4
§¨ 1.35 2 x 4.952 ·¸dx
©
¹
5.068
³
2.4(1.325) 3.179.
e assim, V5 = 3.179 m3.
Logo, o volume da piscina é dado por:
5
V
¦V
i
37.181 m 3 .
10.170 7.193 13.118 3.571 3.179
i 1
Quantidade de Azulejos
Da mesma forma que realizamos o cálculo do volume, a superfície a ser azulejada
é composta de cinco porções distintas (lateralmente) além da base (fundo) da piscina.
x
Cálculo de A1 : área da parede cilíndrica que compõe a parte mais funda
da piscina (vide Figura 3).
y
P
E
D
xi
x
Figura 3 – Planta referente à primeira parte da piscina.
As coordenadas do ponto P : x1 , y1 são x1 0.158 e y1 1.793 (descobertos no início
devido à semelhança dos triângulos), portanto
tgD
cateto oposto
cateto adjacente
§ 0.158 ·
¨
¸D
© 1.793 ¹
arctg 0.088 0.087 rd
logo,
E S 2D
3.1416 20.087 3.314 rd .
O comprimento do arco da circunferência de raio R e ângulo E é
l1 ER 3.314 1.8 5.965m.
Assim, a área da parede é
A1
hl1
1.85.965
10.937m 2 .
x
Cálculo de A2 (2 retângulos iguais):
Temos que, se x' 1.3 y ' 0.0913 u 1.3 1.807 1.688. A distância d entre os
pontos x1 , y1 e x' , y ' é o valor de um dos lados dos retângulos, o outro lado é igual a
1.8.
Como
1.3 0.1582 1.688 1.7932
d
1.146 .
Então,
A2
x
2 u 1.8 u d
4.125 m 2 .
Cálculo de A3 (2 trapézios iguais):
Figura 4 – Planta referente à parte central da piscina (parte 3).
Temos a partir da Figura 4 que:
S: (1.3;1.688), pois
y 0.0913x 1.807
y 0.0913(1.3) 1.807
y 1.608
e T: (4;1.441), pois
y 0.0913(4) 1.807
y 1.44
Então,
(4 1.3) 2 (1.441 1.688) 2
ST
2.723
Logo,
A3
2
(1.2 1.8) u 2.723
2
8.169m 2 .
x
Cálculo de A4 (2 retângulos iguais).
Temos que, se x 2 5.068 y 2 0.0913 u 5.068 1.807 1.344 e se
x 4 y '' 0.0913 u 4 1.807 y '' 1.441
A distância d ' entre os pontos x '' , y '' e x 2 , y 2 é o valor de um dos lados do
retângulo, o outro lado mede 1.2.
Como
''
d'
(5.068 4) 2 (1.344 1.441) 2
1.411 0.009
1.064m
Então,
A4
x
2 u 1.2 u d '
2.4 u 1.064
2.572m 2
Cálculo de A5 .
Figura 5 - Planta referente à última parte da piscina.
y2
De acordo com a Figura 5, as coordenadas do ponto Q : ( x 2 , y 2 ) são x 2
1.334 .
Portanto
0.118
tga
0.088rd
1.334
Logo,
b'
S 28 3.1416 0.176
2.966rd
O comprimento do arco da circunferência de raio R e ângulo b’ é:
l 2 b ' R 2 . 966 u 1 . 35 4 . 004
5.068 e
Então,
A5
h l2
1.2 u 4.004
4.873m 2
A área da parede lateral é
5
A
¦A
i
A1 A2 A3 A4 A5
10.937 4.125 8.169 2.572 4.873 30.676m 2
1
x
Área da base B:
A base também é formada por 5 partes distintas, e é obtida dividindo os
respectivos volumes pelas respectivas alturas:
V1
$ B1
5.65m 2
1.8
V2
$ B2
3.996m 2
1 .8
2.882 3.376 u 2.766 8.654m 2
$ B3
2
V4
$ B4
2.976m 2
1 .2
V5
$ B5
2.649m 2
1 .2
O que resulta em
5
B
¦B
i
B1 B2 B3 B4 B5
23.926m 2
1
x
Quantidade de azulejos:
A área total a ser azulejada tem A B 54.6m 2 . Considerando que um azulejo
mede 0.15m 2 , a quantidade mínima necessária para a construção da piscina é:
B A 23.926 30.676 54,6
O
#
364
0.15
0.15
0.15
Na construção de uma piscina irregular como esta supõe-se que a perda de material
seja, aproximadamente, de 10% , o que elevaria a quantidade acima para 400 azulejos ou
60m 2 .
A seguir calculamos o volume da piscina em função da altura.
Velocidade e Tempo Gasto para se Encher a Piscina
A altura considerada, em cada instante, é a medida do nível da água em relação à parte
mais funda da piscina. V(h) é o volume da piscina em função da altura do nível da água.
Com a altura h, da base à borda, é variável devemos resolver este problema dividindoo em duas partes:
x
Quando 0 d h d 0.6
Cálculo do volume em função da altura:
V (h) V1 (h) V2 (h) V3 (h)
Onde cada Vi , i 1,2,3 , tem o mesmo significado dos volumes calculados
anteriormente;
Na determinação de Vi (h) temos:
1,8 d x d 1.3;
1.8 2 x 2 d y d 1.8 2 x 2
e
0d zdh
Assim,
0.158 1.8 2 x 2 h
V1 (h)
2
³
³
1,8
0.158
³ dzdydx
0
2h
³
1.8 2 x 2 dx
5.65h
1,8
0
Para V2 (h) temos:
0.158 d x d 1.3 ;
y* d y d y*
e 0d z d h,
*
Onde y é a reta tangente determinada anteriormente, nos cálculos dos volumes exatos
da piscina, antes do cálculo do volume 1. Portanto,
1.3 0.0913 x 1.807
V2 ( h)
2
³
0.158
³ hdydx
3.974h
0
Para V3 (h) , temos:
1.3 d x d 1.3 4.5h ; y * d y d y * e 0.22 x 0.286 d z d h ,
Onde z 0.22 x 0.286 é a equação do plano inclinado da base da piscina. Logo,
1.3 4.5 h y
V3 (h)
2
*
³ ³
1.3
0
h
³ dzdydx
0.016h 7.68h 2 0.634h 4
0.22 x 0.286
x
Quando 0.6 d h d 1.8
Neste caso, V (h) pode ser determinado, considerando-se em cada uma das 5 partes da
piscina a fórmula:
Vi* (h) Vi (0.6) Bix (h 0.6)
Onde, Bix é a área da figura limitada pela borda da piscina em cada uma de suas partes,
isto é, Bix Bi se i 1,2,4,5 e B3x área da projeção vertical de B3 .
A equação do plano inclinado que compõe a base é dada por
z 0.22 x 0.286 .
2
Temos que B3 8.654m é a área da região deste plano limitada pelos planos
x 1.3, x 4, y 0.0913 x 1.807 e y 0.0913x 1.807 .
a b u 2.7 B3 u 2.7 1.688 1.441 u 2(2.7) 3.129 u 2.7 8.451
B3x
2
2.765
2
a b representa a média das larguras e 2.7 é o comprimento da piscina.
Onde,
2
Logo, a equação do volume em função do nível da água é dada por:
3
V (h)
¦V
i
5.65h 3.974h 0.016h 7.68h 2 0.634h 3
9.64h 7.68h 2 0.634h 3
1
,
se 0 d h d 0.6
5
V (h) V (0.6) ¦ Bix (h 0.6)
8.412 (5.65 3.956 8.451 2.976 2.649)(h 0.6)
1
8.412 23.722(h 0.6), se 0.6 d h d 1.8.
x
Cálculo da velocidade da altura h.
Usando a regra da cadeia, podemos escrever
dV dV dh
dt
dh dt
Como a vazão é constante e igual da 20l / min , temos que
dV
20l / min 20 u 10 3 m 3 / 60 1 hora 1.2m 3 / hora
dt
1.2(9.64 15.36h 1.9h 2 ) 1 m / h
se 0 d h d 0.6
dh
1 .2
dt
0.0168m / h
se 0.6 d h d 1.8
23.72
Tempo Gasto para Encher a Piscina.
O tempo gasto para encher a piscina é a divisão entre o volume total, obtido
anteriormente, e a vazão total.
volume 37.2
T
|
| 31 horas
vazão
1.2
Observemos que o volume da piscina poderia ser obtido diretamente da expressão de
V (h) , tomando h 1.8 .
Tempo Gasto para Diminuir a Sujeira com Entrada e Saída de Água Simultânea
Considere que uma piscina semelhante à estudada que esteja cheia com uma taxa de
0.09 g/litro de sujeira inerte, após temporada de chuvas. Se tivermos uma entrada de água
pura a uma taxa de 20 l/min e a saída a mesma vazão, sem considerar a ocorrência de chuvas
e evaporação. Quanto tempo levará para que a piscina esteja com uma concentração de sujeira
de 0.01 g/litro?
Observe que a piscina possui um volume de 37.181 m3, logo possui 37181 litros.
Seja Q(t) a quantidade de sujeira na piscina no instante t, Q(t+h) a quantidade de
sujeira na piscina no tempo (t+h) e (Q(t+h)-Q(t)) a variação da quantidade de sujeira na
piscina no intervalo de tempo h.
Quantidade de sujeira que entra em h minutos na piscina: 0 gramas.
Q(t )
A quantidade de sujeira que sai da piscina em um minuto:
u 20 gramas.
37181
Q (t )
Q (t )
Em h minutos sai:
gramas.
h u 20
1859,05
37181
Daí, temos que
Q(t )
Q(t h) Q(t )
Q(t )
Q(t h) Q(t ) 0 h
1859,05
h
1859,05
Assim, obtemos:
Q(t h) Q(t )
Q(t )
dQ
Q(t )
dQ
Q(t )

0.
lim
1859,05
1859,05
h
dt
dt 1859,05
h o0
Resolvendo,
dQ
dQ
Q(t )
dQ
Q(t )
1
d (ln | Q(t ) |)
1
dt

0
dt 1859,05
dt
1859,05
Q(t )
1859,05
dt
1859,05
1
1
ln | Q(t ) | ³
dt ln | Q(t ) | t c1 Q(t )
1859,05
1859,05
e
1
t
1895, 05
k,
Em t = 0, temos que a sujeira é igual a 0.09 u 37181 3346,29 gramas de sujeira.
Assim,
Q(0) 3346,29 e 0 k k 3346,29 .
Portanto,
1
t
1895 , 05
Q(t ) 3346,29e
.
Logo, para que Q(t) seja igual a 371,81 gramas , que é uma concentração de 0,01 g/l ,
teremos que
1
t
1895, 05
t
t 4163,42
1895,05
Logo, gastaria aproximadamente 4163 minutos para diminuir a concentração de
poluição para 0.01 g/l na piscina, ou seja, aproximadamente 69,4 horas. Portanto, será
necessário, aproximadamente 2,89 dias, para diminuir a sujeira de 0,09 g/l para 0,01 g/l.
Q(t )
371,81 3346,29e
2,197
Tempo de Esgotamento Considerando a vazão de 20 l/min
Como temos que o volume é de 37181 litros e a vazão é de 20 l/min, temos que
37181
T
1859,05 min utos 1,29 dias .
20
Portanto, gastaríamos aproximadamente 1,29 dias para esvaziar a piscina. Assim, para
esvaziar e encher a piscina, com a taxa de 20 l/min, levaria 2,58 dias.
Conclusão
Neste trabalho, detalhamos os cálculos para obter o volume de uma piscina irregular,
vale ressaltar que na realidade, o calculo é feito, quase sempre, de maneira simplificada com
uma aproximação superdimensionada.
Além disso, é conveniente mencionar que buscamos apoio teórico em definições
matemáticas preliminares e situações históricas, curiosas e motivadoras, para que haja um
complemento em relação ao assunto.
A entrada e saída simultânea de água para limpar uma piscina traz desperdício; e
levaria mais tempo para diminuir a sujeira para 0,01 g/l do que esgotar e encher a piscina
tornando-a totalmente limpa, caso tenha sido varrida antes de ser esgotada.
Bibliografia.
[1] Bassanezi, R. C.. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemática. Editora
Contexto, 2004.
[2] Simmons, G. F..Cálculo com geometria analítica : volume 1. Editora McGrawHill, Ltda,1987.
[3] www.pt.wikipedia.org
Modelagem Matemática das Pistas de Skate
Danilo A. Marques1
Rafael H. A. de Oliveira2
Rosana S. M. Jafelice3
Universidade Federal de Uberlândia - UFU
38408-100, Uberlândia - MG
Dezembro 2007
Introdução
O objetivo deste trabalho é encontrar uma curva, para se construir uma pista
de skate, que possua o menor tempo de descida, fazendo com que o skatista tenha
mais tempo para realizar mais manobras durante a competição.
A modalidade vertical (vert) é praticada em uma pista com curvas (transições),
com 3,40m ou mais de altura, três metros de raio e quarenta centímetros de
verticalização, geralmente possuem extensões [1]. Existem várias modalidades de
skate vertical:
Skate Vertical Half Pipe - É praticado em rampas de 4 metros de altura em
formato de "U" (Figura 1). As manobras podem ser de aéreos, onde o skatista realiza
um vôo e retorna na própria pista, ou pode ser de borda, onde se desliza por cima de
uma borda metálica.
Skate Vertical Mini Ramp - O skate vertical mini ramp é praticado em rampas
de até 2 metros de altura. Nessa versão menor do skate half pipe, as manobras
podem ser de aéreos, onde o skatista realiza vôos mais baixos do que no half. Vale
lembrar que a maioria das manobras são de borda.
Skate Vertical Bowl - O Skate Vertical Bowl consiste em uma pista em
formato de piscina, geralmente acima de 3 metros de profundidade e termina em
parede de 90º, onde o skatista concentra velocidade aliado às manobras.
1
E-mail: [email protected]
E-mail: [email protected]
3
Professora da disciplina Modelagem Matemática – E-mail: [email protected]
2
Skate Vertical Banks - Tem formato de piscina, com o fundo mais raso do que
o bowl e não chega a ter 90º nas bordas. O skatista se concentra em linhas de
velocidade e de manobras corridas de borda. Se a pista tiver cotovelo, também se
aplicam manobras de skate aéreo.
Figura 1: Pista de Skate Vertical Half Pipe.
Nas competições de vertical, os skatistas são avaliados segundo critérios de
criatividade e grau de dificuldade das manobras, que devem ser executadas em um
intervalo de tempo pré-estabelecido. Dessa forma, quanto menos tempo o skatista
gasta percorrendo a extensão da rampa de um lado para o outro, mais tempo lhe
sobrará para executar as manobras aéreas verticais que contam pontos.
Dada a importância em fazer o percurso da rampa no menor tempo possível,
poderíamos nos perguntar se a circunferência que compõe a lateral da rampa
(Figura 2) é, de fato, a curva de tempo mínimo de descida. Em outro contexto
semelhante, poderíamos nos perguntar: qual deve ser a forma do escorregador de
um parque infantil para que o tempo de descida seja o menor possível?
Descobrir qual é a curva que possui o tempo de descida mais curto é o mesmo
que resolver o problema da braquistócrona.
Figura 2: Esboço da Pista Half Pipe.
Abordagem Histórica
Johann Bernoulli em 1696 propôs o “Problema da Braquistócrona”, [5], que
consiste em encontrar uma curva que una dois pontos A e B situados num mesmo
plano vertical com a propriedade de que uma partícula inicialmente em repouso
deslize sobre essa curva levando o menor tempo possível para ir, sob a ação da
gravidade, de A até B. O ponto A é suposto estar acima do ponto B mas não na
mesma vertical (Figura 3).
Figura 3: Problema da Braquistócrona.
A origem da palavra vem do grego brakhisto (o mais curto) e chronos (tempo).
O problema começou por ser publicado Acta Eruditorum uma revista
matemática fundada por Leipzig, de Junho de 1696, onde Johann Bernoulli anunciava
possuir uma solução e desafiava os cientistas para, num prazo de seis meses
fazerem o mesmo.
“Que aquele que consiga solucionar este problema conquiste o prêmio que
prometemos. Este prêmio não é ouro nem prata (...) mas antes as honras, os elogios
e os aplausos; (...) exaltaremos, pública e privadamente, por palavra e por carta, a
perspicácia do nosso grande Apollo.”
Johann Bernoulli - proclamação de 1697
Em Janeiro de 1697 publica uma nova proclamação anunciando que apenas
Leibniz lhe comunicara ter chegado à solução, mas pedia um adiamento do prazo até
à Páscoa para uma maior divulgação da questão junto do meio científico, o que terá
sido aceite.
Acabariam por ser apresentadas cinco soluções nas Actas de 1697, [2]: a do
próprio Johann Bernoulli, a do seu irmão mais velho Jacob Bernoulli, a de Leibniz, a
de L’Hôpital e uma sob anonimato (que seria a de Newton, como este veio a
reconhecer mais tarde).
Ao contrário do que nossa intuição possa sugerir, o percurso mais rápido de
uma esfera (por exemplo) ao longo de uma calha que una dois pontos a diferentes
alturas, não é uma linha reta. A curva que resolve o problema da braquistócrona é
chamada Ciclóide, nome dado por Galileu, que havia se interessado por outras de
suas propriedades no início de 1600.
Essa é, a relação desse problema com o nosso problema.
A resolução: Apresentamos duas resoluções para o problema. A primeira é
simples [6], a segunda (um pouco mais engenhosa) é a resolução do criador do
problema (Johann) [5].
Primeira Resolução
Admitamos que os pontos P0 e P1 estão, respectivamente na origem e em
(x1,y1) do primeiro quadrante, como na Figura 4:
Figura 4: Formulação Geométrica do Problema.
Usando a lei da conservação da energia, teremos que, no ponto P, a energia
potencial será igual à energia cinética. Assim, denotando por v o módulo da
velocidade (velocidade escalar) da partícula no ponto P, por y o seu deslocamento
vertical, por g a força da gravidade e por m a sua massa, temos
mv ²
2
mgy e,
portanto:
v
ds
dt
2 gy
Essa expressão pode ser escrita como
dt
ds
dx 2 dy 2
1 (dy / dx) 2 dx
2 gy
2 gy
2 gy
.
O tempo total T exigido para a massa deslizar pelo fio de P0 a P1 dependerá da
forma do fio, especificada por sua equação y = f(x), esse tempo é dado por:
x1
T
³ ³
dt
1 ( y' ) 2
dx .
2 gy
(1)
0
O problema da braquistócrona é, então, o seguinte: determinar a curva
particular y = f(x) que passa por P0 e P1 e minimiza o valor da integral (1).
Testando curvas arbitrárias, concluímos que o menor valor da integral será
quando a curva escolhida for a ciclóide.
Segunda Resolução
A seguir, apresentamos como Johann Bernoulli resolveu o problema [5]:
Consideremos inicialmente um problema de ótica. A Figura 5 mostra uma
situação em que um raio de luz vai de A a P com velocidade constante v1 e depois,
entrando num meio mais denso, vai de P a B com uma velocidade menor v2.
Figura 5: Lei de Refração de Snell.
Pela lei da Refração de Snell, segue que:
senD 1
v1
senD 2
v2
Se começarmos a aumentar as camadas por onde a luz passa, temos uma
situação como na Figura 6:
Figura 6: Luz atravessando inúmeras camadas.
Quando o raio de luz descendente passa de camada a camada, é refratado
mais e mais em direção à vertical. Aplicando a Lei de Snell nas fronteiras entre as
camadas, obtemos:
senD 1
v1
senD 2
v2
senD 3
v3
senD 4
v4
Considerando, agora, que as camadas se tornam mais finas e mais
numerosas, então no limite a velocidade da luz decresce continuamente quando o
raio de luz desce, concluímos assim, que:
senD
= constante.
v
Deixando a ótica de lado, e voltando ao nosso problema, podemos construir
uma situação parecida com a que trabalhamos acima.
Dessa forma, na Figura 7, podemos usar a lei de Snell e concluir que:
senD
= constante.
v
(2)
Figura 7: Construção geométrica do problema.
Usando a lei da conservação da energia, analogamente à primeira resolução,
temos que:
v
2 gy
(3)
Finalmente, pela geometria da Figura 7, temos também:
senD
cos E
1
sec E
1
1
2
1 ( y' ) 2
1 tg E
(4)
Assim, combinando as equações (2), (3) e (4), obtemos:
y[1 ( y ' ) 2 ]
c,
(5)
que é a equação diferencial da braquistócrona, onde c é uma constante.
Agora, substituindo-se y’ por dy/dx e separando as variáveis na equação (5),
chegamos à seguinte equação:
y
dy ,
c y
dx
logo,
x
³
y
dy .
c y
Calculamos a integral usando a substituição algébrica u² = y/(c-y):
y
cu 2
1 u2
e
dy
2cu
du .
(1 u 2 ) 2
Então, a nova integral é:
x
³
2cu 2
du .
(1 u 2 ) 2
Agora utilizando a substituição trigonométrica u
³
x
2c
c
³
³
tgI , du
sec 2 I dI , obtemos:
2ctg 2I sec 2 I
dI
(1 tg 2I ) 2
tg 2I
dI
sec 2 I
(1 cos 2I )dI
2c
³
sen 2IdI
1
c(2I sen2I ) .
2
Dessa forma, o valor de y é:
y
Escrevendo, agora, a
x
ctg 2I
sec 2 I
1
c eT
2
csen 2I
1
c(1 cos 2I ) .
2
2I , chegamos finalmente a:
a(T senT ) ,
y
a(1 cos T ) ,
são as equações paramétricas da ciclóide.
A Ciclóide
A ciclóide [4], é a trajetória descrita por um ponto de uma circunferência de raio
R quando essa “roda”, sem deslizar, sobre uma reta (Figura 8).
Figura 8: Construção da Ciclóide.
Em uma circunferência de Raio R, que rola sem escorregar sobre o eixo das
abscissas, marcamos um ponto P, cuja trajetória será uma ciclóide. A Figura 9 indica
a situação descrita, sendo (OA, OE) as coordenadas do ponto P.
Figura 9: Parametrização da Ciclóide.
Admitindo que, na situação inicial, P coincide com a origem do sistema de
eixos, a medida do arco PB é igual a TR e coincide com a medida do segmento OB.
Do triângulo retângulo CDP, temos que
OA TR RsenT e OE
PC
RsenT
e
DC
R cos T . Sendo
R R cos T , as coordenadas de P(x,y), em função do
parâmetro T , são:
x
®
¯y
RT senT R1 cos T Um ciclo completo da trajetória de P inicia com as coordenadas (0,0), atinge
ordenada máxima em SR,2 R e termina com coordenadas 2SR,0 .
Voltando à rampa de skate da Figura 2, se substituirmos os arcos de
circunferência por arcos de ciclóide, teremos uma rampa de tempo mínimo ligando
um ponto de altura 1,6 metro e outro a zero metro, melhorando a eficiência da rampa
para as competições de vertical [4].
Equacionando a nova planta de rampa em um sistema de coordenadas, com T
(em radianos) no eixo das abscissas, temos:
Figura 10: Os arcos nos intervalos >0 ; 0,8S @ e >0,8S 4 ;1,6S 4@ representam semiarcos de uma ciclóide.
Partindo de uma ciclóide, obtemos a curva de Figura 10 da seguinte forma:
a. adotando R = 0.8 , a equação paramétrica da ciclóide será:
x
0.8T senT e
y
0.81 cos T b. fazendo uma reflexão dessa curva pelo eixo das abscissas, obtemos uma nova
curva de equação:
x 0.8T senT e
y 0.81 cosT c. transladando a nova curva 1.6 unidades para cima, obtemos uma curva de
equação:
x 0.8T senT y 1.6 0.81 cosT e
d. pelo eixo vertical de simetria da nova curva, translada-se apenas o semi-arco
do lado direito 4 unidades para a direita.
Em resumo, a rampa indicada na Figura 10 é modelada pela equação
paramétrica:
x 0.8T senT Para T no intervalo >0 ; 0.8S @ ®
¯ y 1.6 0.81 cos T Para T no intervalo >0.8S ; 0.8S 4@ ^y
0
x 4 0.8T senT Para T no intervalo >0.8S 4 ;1.6S 4@ ®
¯ y 1.6 0.81 cos T Curiosidades sobre a Ciclóide
9
Interessado em investigar a área compreendida entre um arco de ciclóide e a
reta sobre a qual roda a circunferência, Galileu calculou a razão entre a massa
de um molde no formato de uma ciclóide e a de um molde do círculo gerador. O
resultado encontrado foi de aproximadamente 3, o que o fez conjecturar que a
razão entre essas áreas talvez pudesse ser igual a S .
9
Em 1634, o matemático francês Roberval prova que a área da região limitada
pela ciclóide e pelo eixo horizontal é exatamente o triplo da área do círculo
gerador. A publicação de uma demonstração desse resultado só foi feita em
1644 por Torricelli, discípulo de Galileu.
9
Em 1658, o astrônomo, matemático e arquiteto inglês Cristopher Wren
(construtor da catedral de Saint Paul em 1666) publica a demonstração de que o
comprimento de um arco de ciclóide é 8 vezes o raio do círculo gerador.
9
A ciclóide é também a solução de um outro problema interessante, o “Problema
da Tautócrona”, ou “Tempo Igual”. Se soltarmos duas esferas simultaneamente
de duas alturas distintas em uma rampa cicloidal, ambas chegarão no ponto
mais baixo da rampa ao mesmo tempo.
Abordagens Tecnológicas e Experimentais
Tendo modelado o problema da rampa de skate através de equações,
utilizamos um programa de computador para construir o gráfico da curva e, com isso,
gerar uma planta para a construção de modelos experimentais da rampa [3].
Alguns programas que podem ser usados com essa finalidade são: Winplot
Graphmatica (ambos com distribuição gratuita), Cabri-Géomètre (distribuição
comercial).
Utilizando o Winplot, vamos modelar curvas no formato de circunferência, reta,
parábola e ciclóide para a construção de rampas, em modelos de madeira
(Figura 11), que permitam a investigação experimental da braquistócrona e da
tautócrona na ciclóide.
Figura 11: Modelos de Rampas de Madeiras.
A proposta é modelar rampas de altura 2 unidades, a proposta é modelar, em
um sistema de coordenadas, curvas com as seguintes características:
a. Ciclóide: gerada pela circunferência de raio 1, com máximo em (0,2) e mínimo
em S ,0 ;
b. Reta: passando pelos pontos (0,2) e S ,0 ;
c. Parábola: com vértice em S ,0 e passando por (0,2);
d. Circunferência: com centro C
S , y 0 e passando pelos pontos P
Q = (0,2).
Assim, temos:
x
Ciclóide: ®
¯y
T senT 2 1 cos T ªx
Reta: det «« 0
«¬S
y
zº
2 1»»
0 1»¼
0 2 x Sy 2S
0
S ,0
e
y
Parábola: Seja,
ax 2 bx c
,
a z 0,
a parábola procurada. Como a
parábola passa pelo ponto (0,2), temos que c=2 e como o vértice da parábola é o
ponto S ,0 , temos:
PV
b
S b 2 aS
§ b ' · °° 2a
,
¸® 2
¨
© 2 a 4 a ¹ ° b 8a
0
°¯ 4a
§b '·
,
¸ S ,0 ¨
© 2 a 4a ¹
5
6
Substituindo (5) em (6), temos:
2aS 8a
2
Como
0 4a 2S 2 8a a 4Sa 2 8
0a
0 ou a
2
S2
a z 0 , temos que:
a
E, portanto y
2
S
2
x2 4
S
2
S
2
eb
4
S
x 2 é a parábola procurada.
Circunferência: Seja x x0 y y 0 2
2
r 2 , onde c ( x 0 , y 0 ) é o centro e r o
raio desta circunferência.
Como a distância do centro (c) a qualquer ponto da circunferência é igual,
temos:
d C ,P
y0
d C ,Q
S S 2 y 0 02
S 02 y 0 22
2
S 2 y0 4 y0 4
S2 4
4
Calculando o raio:
r
S S 2 y 0 02
r
y0 r
S2 4
y0
4
Portanto, temos a seguinte circunferência:
x S 2
ª
§ S 2 4 ·º
¸¸»
« y ¨¨
4
©
¹¼
¬
2
§S 2 4·
¨¨
¸¸
4
©
¹
2
2
y0
O gráfico dessas curvas feitas no Winplot, mostra que a ciclóide é a curva de
maior comprimento entre as quatro comparadas, o que reforça ainda mais a
curiosidade por uma verificação experimental de que ela, ainda assim, seja a curva
do “tempo mínimo”.
A ciclóide, representada pela cor azul na Figura 12, é de fato a curva com
maior comprimento, entre as seguintes curvas: reta, parábola e circunferência.
Figura 12: Esboço do gráfico das curvas estudadas.
Apresentamos nas Figuras 13, 14, 15 e 16 uma seqüência de gráficos que
mostra experimentalmente a descida de uma bola, podemos observar que a ciclóide é
uma curva que tem tempo mínimo de descida em relação às outras curvas dadas. É
interessante destacar que a reta apesar de ser a curva de menor comprimento é a de
maior tempo de descida.
Figura 13
Figura 14
Figura 15
Figura 16
Conclusão
Neste
trabalho,
verificamos
analiticamente,
geometricamente
e
experimentalmente que a ciclóide mesmo sendo a curva de maior comprimento
dentre as estudadas (reta, parábola, circunferência) é a curva de menor tempo de
descida possível, ou seja, a rampa de skate ideal para as competições deveria ser
construída no formato de uma ciclóide.
Bibliografia
[1] http://oradical.uol.com.br/skate/modalidades_skate_vertical.asp.
[2] http://pt.wikipedia.org/wiki/Braquist%C3%B3crona.
[3] http://www.icmc.sc.usp.br/~szani/bra/node6.html.
[4] Revista do Professor de Matemática nº 59, 2006.
[5] Simmons, G. F. Cálculo com Geometria Analítica, Volume 1, Editora McGrawHill, 1987.
[6] Simmons, G. F. Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, Editora McGrawHill,1987.
FAMAT em Revista
£
%
³
Iniciação Científica
em Números
www.famat.ufu.br
Iniciação Científica em Números
Maria Luisa Maes (coordenador da seção)
Projetos de Iniciação Científica Que Se Realizam Durante o Período de Abril
de 2008 a Fevereiro de 2009
Orientador: Antonio Carlos Nogueira
Orientando: Izabela Rodrigues de Sousa
Título: Estudo de progressões
Início: Setembro de 2007
Fim: Agosto de 2008
Orientando: Rafael Afonso Barbosa
Título: Números especiais: um estudo sobre alguns tópicos da teoria de números
Inicio: Março de 2008
Fim: Fevereiro de 2009
Orientando: Luis Armando dos Santos Junior
Título: Introdução à criptografia
Inicio: Abril de 2008
Fim: Março de 2009
Orientador: Arlindo José de Souza Junior
Orientando: Diogo Antônio Cardoso
Título: Integração de Mídias na Educação Matemática: WebQuest e Sistemas de
Gerenciamento de Cursos
Inicio: Agosto de 2007
Fim: Julho de 2008
Orientador: Aurélia Aparecida de Araújo Rodrigues
Orientado: Giácomo Grandi Bombonato e Vinícius Teixeira Martins Vilela de
Carvalho
Título: Análise estatística de escores para estimação da área atingida por infarto
agudo do miocárdio
Início: Março de 2008
Orientado: Guilherme Barros Ameloti
Título: A construção de gráficos de controle utilizando o Software Minitab
Orientado: Edimar de Freitas Costa
Título: Medidas de desempenho do gráfico de controle CUSUM para tempo
Entre eventos
Orientador: César Guilherme de Almeida
Orientado: Ernani Magno de Freitas Júnior
Título: Técnica de Decomposição de Domínio e de Pré-Condicionamento de
Matriz no Cálculo da Velocidade de Darcy em Escoamentos em Meios
Porosos/Matemática Aplicada
Início: Outubro de 2006
Orientadores: César Guilherme de Almeida e Rosana Sueli da Motta Jafelice
Orientado: Mariana (PETMAT)
Título: O Estudo de Modelos Biológicos p-Fuzzy
Início: Fevereiro de 2008
Orientadores: César Guilherme de Almeida e Qu Fanyao (prof. Física)
Orientado: Rene Felipe Keidel Spada
Título: Aumento de Coerência do spin em computação quântica através da
redução de interação hiperfina
Fim: Março de 2009
Orientado: Sarah Arvelos
Título: Estudo de Meios Porosos Heterogêneos, com ênfase no tensor de
permeabilidade e na equação de Darcy.
Início: Outubro de 2007
Fim: Outubro de 2008
Orientado: Warlisson Inácio de Miranda
Título: Aperfeiçoamento das técnicas de ensino-aprendizagem da disciplina
Cálculo
Numérico
Fim: Setembro de 2008
Orientador: Edmilson Rodrigues Pinto
Orientado: Matheus Bartolo Guerrero
Título: Estudo de Modelos Lineares Generalizados
Fim: Dezembro de 2008
Orientador: Edmilson Rodrigues Pinto
Orientado: Denise Nunes Melo
Título: Um estudo sobre o nível de conhecimento em probabilidade e
Estatística dos alunos concluintes do ensino médio
Início: Abril de 2007
Fim: Março de 2008
Orientador: Ednaldo Carvalho Guimarães
Orientado: Katia Alessandra de Souza Caetano
Título: Análise Quantitativa do Desempenho do PAIES/UFU
Início: Agosto de 2007
Fim: Julho de 2008
Orientador: Ednaldo Carvalho Guimarães
Orientado: Renata Carvalho Macedo Leite
Título: Estimativas de Probabilidade de Qualidade do Ar Atmosférico de
Uberlândia-MG por Meio de Modelo de Regressão Logística
Orientador: Fabiana Fiorezi de Marco Matos
Orientado: Sheila Maria Fernandes Carrijo
Título: A utilização de jogos no ensino de matemática: a intervenção
pedagógica
Final: Março de 2008
Orientador: Luiz Alberto Duran Salomão
Orientado: Daniel Augusto Alves de Oliveira
Título: Cálculo de Probabilidades
Final: Março de 2008
Orientador: Marcelo Tavares
Orientado: Maria Luiza Maes
Título: Avaliação do Comportamento de Aspectos Gerenciais de Micro e
Pequenas Empresas de Uberlândia por Meio de Técnicas Uni e Multivariadas.
Fim: Julho de 2008
Orientador: Márcio José H. Dantas
Orientado: Rafael Alves de Figueiredo
Título: Uma Introdução à Mecânica Analítica e à Dinâmica Não Linear e o
Problema do Vibrador Centrífugo
Fim: Julho de 2008
Orientador: Marcos Antônio da Câmara
Orientado: Maksuel Andrade Costa
Título: Programação Inteira
Fim: Agosto de 2008
Orientado: Otoniel Nogueira da Silva
Título: Somas de Quadrados de Inteiros
Orientado: Gustavo F. M. Domingues e Claiton José Santos
Título: Teoria dos Jogos
Orientador: Maria Teresa Menezes Freitas
Orientado: Igor Alberto de Melo Souza
Título: A utilização de um ambiente virtual como recurso didático-pedagógico
complementar em disciplina presencial no Curso de Matemática
Início: Agosto de 2007 (?)
Fim: Julho de 2008 (?)
Orientador: Rogério de Melo Costa Pinto
Orientado: Rafael de Oliveira
Título: Avaliação da Qualidade de Vida em Estudantes do Curso de Medicina da
Faculdade de Medicina da Universidade Federal de Uberlândia
Fim: Julho de 2008
Orientador: Rogério de Melo Costa Pinto
Orientado: Mariana Montiel Coelho
Título: Avaliação da Qualidade de Vida de Cuidadores de Crianças e
Adolescentes Portadores de Síndrome de Down
Fim: Março de 2009
Orientador: Rosana Sueli da Motta Jafelice
Orientado: Karla Barbosa de Freitas
Título: O Estudo de Modelos Biológicos p-Fuzzy
Orientador: Sezimária F. P. Saramago
Orientado: Lúcio Aurélio Purcina (doutorado)
Título: Técnicas de Otimização Aplicadas à Solução de Grandes Sistemas
Lineares
Fim: Agosto de 2009
Orientado: Giovana Trindade S. Oliveira (doutorado)
Título: Estudo da Topologia do Espaço de Trabalho de Robôs Manipuladores 3R
Fim: Março de 2011
Orientado: Camilla Carrara (doutorado)
Título: Aplicação de Modelos De Simulação em Problemas do Sistema de
Transportes
Fim: Março de 2012
Orientado: Thiago Alves de Queiroz (mestrado)
Título: Projeto ótimo de uma coluna parcialmente enterrada
Fim: Agosto de 2010
Orientado: Alencar Soares Bravo
Título: Técnicas de Realidade Virtual aplicadas à Robótica
Fim: Julho de 2008
Orientado: Kuang Hongyu
Título: Curvas de Singularidades de Robôs Manipuladores 3R Ortogonais
Orientado: Karla Barbosa de Freitas
Título: Estudo dos Métodos Clássicos de Otimização Não-Linear
Fim: Dezembro de 2008
FAMAT em Revista
¹
Ï
Ë
E o Meu Futuro Profissional?
www.famat.ufu.br
E o Meu Futuro Profissional?
Maria Luisa Maes
O MERCADO DA ESTATÍSTICA EMPRESARIAL
Entrevista com José Eduardo Ferreira Lopes.
José Eduardo foi acadêmico do I Curso de Especialização em Estatística
Aplicada da FAMAT/UFU e tem grande experiência no mercado de trabalho de
Uberlândia. Ele atuou como Professor Convidado no I Curso de Especialização
em Estatística Empresarial que está sendo oferecido pela FAMAT/UFU. Ele irá
nos falar sobre a demanda de profissionais especializados na análise de dados
em empresas.
1. Nos fale sobre a sua formação e a sua atuação profissional.
Sou graduado em Informática pela UFV (1990-1994), graduado em
Administração pela UFU (1995-2000), especialista em Estatística pela
UFU (2003), MBA em Marketing pela UFU (2004) e Mestre em
Administração pela UFU (2005-2007).
Quanto à atuação profissional, quando terminei o curso de Informática,
vim para Uberlândia trabalhar como Analista de Sistemas em uma rede
de lojas de varejo. Após um ano, fui trabalhar no Grupo Martins, também
como Analista de Sistemas. Mais três anos, tive uma passagem muito
rápida pela Rezende Alimentos e me transferi para a CTBC Telecom.
Trabalhei lá por oito anos, dois como analista de sistemas e seis como
analista de Marketing. Há um ano estou trabalhando no Tribanco. Em
2006 dei início também à carreira de docente. Sou professor da Uniube,
ministrando disciplinas relacionadas a Marketing e Estratégia. Ministro
também alguns módulos em cursos de Pós Graduação na UFU, na
UNIUBE e na UNIMINAS.
Nos últimos oito anos venho trabalhando com a estatística aplicada a
bases de dados para subsidiar a tomada de decisões. Na CTBC,
usávamos a estatística aplicada principalmente a marketing, na
formação de preços, desenvolvimento de novos produtos, segmentação
de mercado, estimativa de demanda, desenho de ofertas, detecção de
fraudes, entre outras aplicações. Já, no Tribanco, trabalhamos com a
estatística e a inteligência artificial aplicados, principalmente, à análise e
concessão de crédito para clientes – desenvolvemos os modelos
conhecidos por credit score e behavior score.
2. Como você analisa o atual cenário empresarial? Como está o nível
de competição? Como a estatística se insere neste contexto?
Nos últimos anos a competição entre as empresas se tornou muito
acirrada. No Brasil especialmente, desde o governo Collor e com a
contribuição efetiva do governo Fernando Henrique, houve uma
significativa abertura da economia, um volume enorme de privatizações,
fusões e aquisições. Vivemos em um ambiente efetivamente global. Os
competidores são globais, as empresas, cada vez mais, se
profissionalizam e, como conseqüência, precisam de profissionais
qualificados. Citamos como exemplo o setor de Telecom, que viveu um
boom, especialmente em função da privatização do segmento. Na área
de telefonia fixa, novas operadoras surgiram, além de novas regras que
beneficiaram o usuário. Por outro lado, a telefonia móvel cresceu
exponencialmente, passando de 8 milhões de aparelhos comercializados
em 2003 para mais de 120 milhões em janeiro de 2008, segundo dados
da Agência Nacional de Telecomunicações (Anatel). Esse cenário
ampliou a concorrência e a briga por fatias de mercado entre as
operadoras.
É neste contexto que a estatística empresarial ganha fundamental
importância. As empresas precisam manter-se competitivas, as margens
de lucro diminuem, os concorrentes manobram para conseguir maior
participação de mercado. Assim, os decisores não podem mais acreditar
apenas no feeling. É necessário tomar decisões acertadas, com o menor
risco possível, e com a maior rentabilidade. A estatística pode contribuir
de forma ímpar neste processo de decisão.
Normalmente, as empresas armazenam grandes volumes de dados
sobre as suas operações. Estas grandes bases de dados e a aplicação
de técnicas estatísticas e de mineração de dados geram informações
relevantes para a tomada de decisão. Continuando o exemplo em
Telecom, um dos problemas crônicos, recorrente e preocupante é o
churn. Trata-se de um termo emprestado do inglês e que significa
abandono do serviço pelo cliente. O esforço das operadoras é sempre
no sentido de reduzir ou eliminar o churn. A grande questão é evitar que
o usuário tome essa decisão e não apenas tentar retê-lo quando já não
há mais volta. Para tanto, as operadoras armazenam consideráveis
volumes de dados sobre o uso e o cancelamento dos seus serviços
pelos clientes. Logo, o trabalho é processar estes dados e utilizar
alguma técnica estatística, como regressão logística, por exemplo, e
encontrar o padrão dos clientes que cancelam a assinatura. Identificado
o padrão, a operadora verifica na sua base de clientes ativos aqueles
clientes que tem o padrão dos clientes que cancelam e, então, elaboram
ofertas para retê-los ativamente.
3. Qual é o perfil do profissional para trabalhar com a estatística
empresarial? Quais são as características essenciais? Como está o
mercado de trabalho?
O mercado de trabalho para este profissional está totalmente aquecido.
A demanda é muito grande e não se encontra profissionais disponíveis.
Aqui em Uberlândia, por exemplo, as empresas estão buscando por
estes profissionais em São Paulo ou Belo Horizonte. Mesmo assim, levase tempo. Os bons profissionais estão todos colocados em grandes
empresas e trazê-los para Uberlândia é muito difícil.
O perfil de profissional que as empresas estão buscando é de um
profissional que seja dinâmico, proativo, que tenha noções gerais de
gestão, de finanças, de marketing e, principalmente, que tenha uma boa
dose de raciocínio lógico e analítico. É fundamental que este profissional
seja capaz de traduzir os problemas empresariais em problemas
matemáticos e, depois, transformar as soluções matemáticas em
soluções empresariais. O dilema que as empresas têm vivido é que,
quando encontram bons analistas de negócio, eles são deficientes na
dimensão quantitativa. Quando encontram bons profissionais
quantitativos, eles são deficientes na análise de negócio. O segredo é
encontrar o equilíbrio entre as dimensões quantitativa e analítica. Aqui,
quero ressaltar um ponto: O matemático tem uma enorme vantagem que
é a formação quantitativa. Basta a ele procurar pela formação em gestão
de negócios. É mais fácil formar um matemático em negócios do que
formar um administrador em métodos quantitativos.
Porém, alguns requisitos básicos são exigidos de quem se pretenda
enveredar pela estatística empresarial: 1) é fundamental que se tenha
domínio sobre o conceito de bancos de dados e SQL. Extração, e
transformação de dados. Conforme já falamos anteriormente, grandes
bases de dados são os insumos básicos que as empresas têm. Porém,
até chegar ao ponto de aplicar a estatística nestas bases de dados, um
árduo caminho de extração e tratamento dos dados deve ser percorrido.
Espera-se que o estatístico empresarial realize este trabalho; 2) também
relacionado ao item anterior, é imprescindível que este profissional
domine uma ferramenta estatística de grande porte, normalmente o
SPSS ou SAS. Todas as grandes empresas estão utilizando uma destas
duas ferramentas.
4. Alguma outra consideração?
O uso da estatística empresarial é um caminho sem volta. Tanto as
empresas que ainda não a utilizam, deverão começar a pensar e
planejar o seu uso rapidamente, assim como os profissionais deverão se
preparar para ocupar esta enorme lacuna existente no mercado.
FAMAT em Revista
Ç
Ñ
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Merece Registro
www.famat.ufu.br
Merece Registro
Marcos Antônio da Câmara (coordenador da seção)
MERECE REGISTRO
A) MESTRADO EM MATEMÁTICA NA UFU
De 07 de janeiro de 2008 a 26 de fevereiro de 2008 aconteceu o curso de
Análise na Reta, que faz parte do processo de seleção de alunos para o curso
de Mestrado. Vinte e oito alunos estavam inscritos e após o curso foram
selecionados oito alunos para comporem a turma de 2008. Os alunos
selecionados foram:
Alessandra Ribeiro da Silva
Carolina Fernandes Molina Sanches
Danilo Adrian Marques
Laís Bássame Rodrigues
Marcelo Ferreira
Marcelo Lopes Vieira
Marta Helena de Oliveira
Milena Almeida Leite Brandão
A aluna melhor colocada, Laís Bássame Rodrigues, obteve uma bolsa do
projeto REUNI e o programa ainda aguarda uma decisão final da Capes a
respeito de novas bolsas.
Dia 15 de janeiro de 2008 teve início a primeira Escola de Verão do Programa
de Pós-graduação em Matemática. Esse é um evento no qual pesquisadores
visitantes, bem como o Prof. Geraldo Botelho, apresentaram diversas palestras
e minicursos, mostrando resultados de diversas áreas de pesquisa em
Matemática.
O evento foi aberto a todos os professores e alunos da UFU, bem como à
comunidade científica local.
PROGRAMAÇÃO
Todas as atividades foram no Anfiteatro da Biblioteca do Campus Santa
Mônica
15 de janeiro
9:00 às 10:00h
Palestra "Controle de Feedback para Sistemas Impulsivos"
Prof. Dr. Geraldo Nunes Silva
Departamento de Ciências da Computação e Estatística
UNESP - Universidade Estadual Paulista
São José do Rio Preto, SP.
10:30 às 12:00h
Minicurso "A Mágica das Inversões"
Prof. Dr. Ruy Tojeiro de Figueiredo Júnior
Departamento de Matemática
UFSCar - Universidade Federal de São Carlos
São Carlos,SP
-----------------------------------------------------16 de janeiro
9:00 às 10:00h
Palestra "Polinômios Ortogonais e Similares: Algumas Propriedades e
Aplicações"
Prof. Dr. Alagacone Sri Ranga
Departamento de Ciências da Computação e Estatística
UNESP - Universidade Estadual Paulista
São José do Rio Preto, SP.
10:30 às 12:00h
Minicurso "A Mágica das Inversões"
Prof. Dr. Ruy Tojeiro de Figueiredo Júnior
UFSCar - Universidade Federal de São Carlos
São Carlos,SP
------------------------------------------------------
17 de janeiro
9:00 às 10:00h
Palestra "Pesquisas e desenvolvimentos recentes do LCAD
(Laboratório de Computação de Alto Desempenho)".
Prof. Dr. Antônio Castelo Filho
Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação
USP - Universidade de São Paulo
São Carlos, SP.
10:30 às 12:00h
Minicurso "Formas quadráticas e teoria de Galois"
Prof. Dr. Michel Spira
Departamento de Matemática - Instituto de Ciências Exatas
UFMG - Universidade Federal de Minas Gerais
Belo Horizonte, MG.
****CONFERÊNCIA EXTRA VOLTADA PARA ALUNOS DE GRADUAÇÃO E
PÚBLICO EM GERAL: ****
15:00 às 16:30h
Palestra "O Número de Ouro".
Belo Horizonte, MG.
-----------------------------------------------------18 de janeiro
9:00 às 10:00h
Palestra "O Axioma da Escolha: Por que e para que?"
Prof. Dr. Geraldo Márcio de Azevedo Botelho
UFU - Universidade Federal de Uberlândia
Uberlândia, MG.
10:30 às 12:00h
Minicurso "Formas quadráticas e teoria de Galois"
Belo Horizonte, MG.
-----------------------------------------------------23 de janeiro
10:30 às 12:00h
Minicurso "Equações Diferenciais Elípticas: uma introdução ao método
variacional"
Prof. Dr. Olimpio Hiroshi Miyagaki
UFV Universidade Federal de Viçosa, MG.
-----------------------------------------------------24 de janeiro
10:30 às 12:00h
Minicurso "Equações Diferenciais Elípticas: uma introdução ao método
variacional"
Prof. Dr. Olimpio Hiroshi Miyagaki
UFV Universidade Federal de Viçosa, MG.
Foram programadas duas palestras para o mês de fevereiro,
uma do professor Dimitar Kolev Dimitrov da UNESP, Campus de São José do
Rio Preto, e outra do professor Marcio Gomes Soares, representante da área
de Matemática/Estatística na Capes.
O título da palestra do prof. Dimitar foi "Pesquisa matemática: rigor ou
intuição e imaginação?" e foi voltada para o público em geral. Ela foi realizada
no dia 15/02/2008, na sala 1F 119 das 11:00 às 12:00h.
Além de falar de pesquisa matemática, ele falou também de olimpíadas de
matemática. Vale ressaltar que ele é líder da equipe brasileira em
competições matemáticas no exterior. A palestra do prof. Marcio Soares foi
realizada no dia 20/02/2008, das 9:00 às 10:00h.
B) OBMEP
A OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA DAS ESCOLAS
PÚBLICAS – OBMEP – acontece desde 2005 e podem participar todas as
escolas públicas do país. Seus principais objetivos são estimular e promover o
estudo da Matemática entre alunos das escolas públicas, contribuir para a
melhoria da qualidade da Educação Básica, identificar jovens talentos e
incentivar seu ingresso nas áreas científicas e tecnológicas, incentivar o
aperfeiçoamento dos professores das escolas públicas, contribuindo para a sua
valorização profissional, contribuir para a integração das escolas públicas com
as universidades públicas, os institutos de pesquisa e sociedades científicas e
promover a inclusão social por meio da difusão do conhecimento.
A Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas de 2007
recebeu inscrições de mais de 17 milhões de alunos. O número preciso é
17.341.732 alunos de 38450 escolas federais, estaduais e municipais em
98,13% dos municípios brasileiros. Pudemos notar nestes três anos um
considerável aumento do número de inscritos (veja a tabela abaixo).
OBMEP
2005
OBMEP 2006 OBMEP 2007
Escolas
31.030
32.655
38.450
Inscrições
10.520.830
14.181.705
17.341.732
Municípios
93,50%
94.50%
98.13%
Com estes números a OBMEP já é a maior Olimpíada de Matemática do
planeta.
Em Minas Gerais participaram da 1ª fase 1.916.170 alunos que
corresponde a pouco mais de 11% do total de alunos inscritos. Na regional
MG-02 (coordenada pela FAMAT) participaram 250300 alunos de 513 escolas
dos 86 municípios compreendidos pela regional.
Minas Gerais também tem se destacado não só pelo número de
inscrições mas, principalmente, pelas premiações que tem recebido. Cerca de
24% dos alunos premiados são mineiros. Em 2007 Minas foi o estado com
maior número de medalhas de ouro. Na MG-02 foram premiados no total 77
alunos: 8 com medalhas de ouro, 12 com medalhas de prata e 57 com
medalhas de bronze. Todos os alunos premiados ainda receberão, durante um
ano, uma bolsa de Iniciação Científica Jr. do CNPq e participarão, durante este
período, de um treinamento ministrado por professores da FAMAT.
Destacamos ainda o desempenho do aluno ISLAM ELOIRRANO CARVALHO,
da ESCOLA ESTADUAL DE UBERLÂNDIA (Museu), que ficou em PRIMEIRO
LUGAR NACIONAL no nível 2 (que compreende a alunos de 7ª e 8ª série do
Ensino Fundamental).
C) VII SEMANA DA MATEMÁTICA
A Comissão Organizadora da VII SEMAT da FAMAT/UFU - VII Semana
da Matemática da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de
Uberlândia, realizada de 27 a 30 de novembro de 2007 (veja programação),
considera que o evento cumpriu plenamente com os objetivos propostos:
divulgar e difundir a matemática como ciência, promovendo uma reflexão
acerca de atividades de ensino, pesquisa e enriquecimento curricular
realizadas no âmbito da Universidade Federal de Uberlândia e propiciando
interação entre os discentes dos cursos de Matemática e áreas afins da região
de Uberlândia e docentes de Instituições de Ensino Superior no país.
Durante aquela semana, tivemos a honrosa oportunidade de
participarmos de palestras e mini-cursos desenvolvidos por professores
altamente qualificados, muitos deles representantes internacionais da boa
matemática feita no Brasil. Alguns deles com formação acadêmica obtida em
Universidades renomadas, tais como: University of Oxford, New York
University, University of Michigan, University of California – Berkeley e
Université Joseph Fourier. Dois deles, Prof. Geraldo Severo de Souza Ávila e
Prof. Vincenzo Bongiovanni, autores de livros didáticos agraciados com o
Prêmio Jabuti da Câmara Brasileira do Livro.
A presença do convidado ilustre, Prof. Geraldo Ávila, membro titular da
Academia Brasileira de Ciências, abrilhantou o evento. Sua palestra de
abertura intitulada “Euler, sua obra e seu tempo”, proferida em homenagem aos
300 anos do nascimento desse importante matemático nascido na Suíça, nos
proporcionou um momento de indescritível emoção.
E para fazer jus ao alto nível acadêmico-científico das palestras
proferidas no evento, não podemos deixar de mencionar a magnífica palestra
de encerramento “Possibilidades do software CABRI 3D”, proferida pelo Prof.
Vincenzo Bongiovanni, nascido em Alexandria, na Grécia; um matemático
altamente credenciado a abordar esse tema, visto que, doutorou-se sobre esse
assunto na Université Joseph Fourier em Grenoble na França, berço da
tecnologia Cabri.
Igual brilhantismo pode ser atribuído à paletra “A gloriosa história da
geometria”, proferida pelo Prof. Claudio Gorodski, com Ph. D. em Geometria
Diferencial pela University of California - Berkeley, que nos brindou com uma
incursão histórica pelos alicerces dessa maravilhosa Ciência, começando com
Euclides de Alexandria por volta de 300 a.C., passando pelo surgimento da
Geometria Diferencial, prosseguindo com as descobertas das Geometrias nãoEuclidianas por Gauss, Lobachevski e Bolyai, continuando com a unificação da
Geometria Euclidiana e das Gometrias não-Euclidianas realizada por Riemann
e a influência desse trabalho sobre as Ciências Físicas resultando na celebrada
Teoria da Relatividade de Einstein e, finalizando com a vasta extensão da
geometria em diversas direções.
Não sem menos importância, a palestra com temática em Estatística,
“Introdução à modelagem de risco em finanças”, proferida com muito
entusiasmo, eloqüência e jovialidade pela Profª Sabrina Luzia Caetano, que
atendeu prontamente nosso convite de última hora, em substituição à
desistência, por motivos de força maior, do seu orientador de doutorado Prof.
Francisco Louzada Neto, muito nos impressionou e deixou-nos a certeza de
que o acaso nos favoreceu e enviou-nos uma substituta a altura do seu mestre.
Os quatro mini-cursos técnicos ministrados durante o evento, versaram sobre
os seguintes temas:
Triangulações regulares: aspectos teóricos e computacionais, mini-curso da
área de Computação Gráfica, ministrado pelo Prof. Luis Gustavo Nonato;
Introdução à Mecânica Quântica, uma mistura de Física e Probabilidade,
ministrado pelo Prof. Mauro F. S. Ribeiro Jr.;
Polinômios sobre corpos p-ádicos: uma breve introdução, mini-curso da área
de Álgebra, ministrado pelo Prof. Hemar Teixeira Godinho;
Episódios recentes da geometria Euclidiana, mini-curso de Geometria Plana,
ministrado pelo Prof. Sergio Alves, que abordou diversos elementos notáveis
associados a um triângulo, descobertos principalmente a partir do século XIX, e
que são, via de regra, totalmente desconhecidos dos estudantes.
Temas que embora não elementares, foram trabalhados por mãos
hábeis e competentes com uma maestria tal que superaram as expectativas
dessa Comissão Organizadora e nos proporcionaram a grata satisfação do
dever impecavelmente cumprido.
É importante citar também a contribuição dos alunos do Grupo PETMAT,
representados pelas alunas Patrícia Borges dos Santos e Flávia Cristina
Martins Queiroz, sob a coordenação do tutor do grupo, Prof. Marcos Antônio da
Câmara, através do mini-curso “Introdução à teoria dos jogos”. Assim como, a
realização de atividades de divulgação de trabalhos de Iniciação Científica, nas
modalidades: comunicação oral e pôster.
A mesa redonda “FAMAT em ações extracurriculares”, uma novidade
nesta edição do evento, contou com a participação dos professores: Antônio
Carlos Nogueira (Coordenador Regional da OBMEP e da OBM), Arlindo José
de Souza Jr. (Representante do Programa de Formação Continuada - Proext),
Cícero Fernandes de Carvalho (Coordenador Regional do Programa de
Aperfeiçoamento para Professores de Matemática do Ensino Médio - via
videoconferência), Jocelino Sato (Sub-coordenador do Centro Virtual de
Desenvolvimento - Milênio - AGIMB), Rosana Sueli da Motta Jafelice
(Coordenadora da Regional 07 da SBMAC) e Sezimária de Fátima Pereira
Saramago (Diretora da FAMAT e coordenadora da mesa), os quais puderam,
dentro de um espaço específico na programação do evento, divulgar as
atividades acima citadas.
A programação cultural do evento, realizada na abertura por integrantes
do Grupo de Choro: Brincando de Chorar, alunos do Departamento de Música
e Artes Cênicas da UFU, e no encerramento pelo pianista Beto Machado,
propiciou aos participantes do evento momentos de prazeroso deleite.
A Comissão Organizadora da VII SEMAT da FAMAT-UFU gostaria de
enfatizar que, o resultado do trabalho realizado durante os dez meses de
organização e aqui apresentado, é apenas uma contribuição simbólica, um
simples tijolinho na construção da história das Semanas da Matemática da
FAMAT-UFU, a qual vem ganhando solidez a cada ano.
COMISSÃO ORGANIZADORA
Dulce Mary de Almeida (coordenadora) – FAMAT / UFU
Cícero Fernandes de Carvalho – FAMAT/UFU
Luís Antônio Benedetti – FAMAT/UFU
Marcos Antônio da Câmara – FAMAT/UFU
Maria Teresa Menezes Freitas – FAMAT/UFU
Rogério de Melo Costa Pinto – FAMAT/UFU
Walter dos Santos Motta Junior – FAMAT/UFU
Mariana Fernandes dos Santos Villela - discente do PETMAT
Virgínia Helena Ribeiro Miranda - discente do DAMAT
Aproveitando este espaço de registro, a Equipe de Organizadores
agradece aos palestrantes convidados, aos docentes e aos discentes pela
participação no evento; a FAMAT pelo apoio e confiança na realização da VII
SEMAT; aos alunos do DAMAT, do PETMAT e ao tutor do PETMAT pelo apoio
nas atividades de organização da VII SEMAT; aos funcionários da FAMAT pela
dedicação na organização deste encontro e a todos os patrocinadores do
evento.
D) EXTENSÃO
A Faculdade de Matemática, representada pelos professores do Núcleo
de Educação Matemática – NUCEM –, dando continuidade às ações
desenvolvidas no âmbito da extensão universitária em 2007, estará novamente
participando, em 2008, do Programa de Formação Continuada para Docentes
do Ensino Básico, contemplado pelo edital PROEXT–2007 - Programa de
Apóio a Extensão Universitária MEC-SESu/DEPEM. A professora Maria Teresa
Menezes Freitas atua no referido programa como membro da coordenação
colegiada do Eixo 1 – Linguagens e Culturas.
E) REGIONAL DA SBMAC
Algumas atividades realizadas pela 7ª Regional da SBMAC:
Mini-Curso intitulado "Resolução de Problemas de Matemática Aplicada
com Auxílio do Matlab" ministrado pelo Prof. César Guilherme de Almeida na
VII Semana do Curso de Matemática na FEIT/UEMG em Ituiutaba, nos dias 16
e 17 de Outubro de 2007.
Palestras proferidas no dia 27/10/07 na UNITRI em Uberlândia.
Modelagem Matemática Aplicada em Biologia
proferida pela Profa. Rosana Sueli da Motta Jafelice.
O Número de Ouro na Natureza
proferido pela Profa. Dulce Mary de Almeida.
O mandato da professora Rosana Sueli da Mota Jafelice como
coordenadora da VII Regional da SBMAC terminou no dia 31/12/2007. A
SBMAC nomeou o Prof. César Guilherme de Almeida como novo coordenador
da VII Regional.
A FAMAT agradece a professora Rosana Sueli da Mota Jafelice pelo
brilhante trabalho efetuado como coordenadora da VII Regional da SBMAC em
seu mandato e parabeniza o professor César Guilherme de Almeida.
F) PIBEG
Novo Projeto PIBEG da Faculdade de Matemática.
Título: Aperfeiçoamento do ensino de probabilidade e estatística para os
cursos do ciclo comum de exatas na UFU
Início: 01/10/2007
Término:30/09/2008
Membros da equipe executora do Projeto:
Prof. Dr. Edmilson Rodrigues Pinto – Coordenador e Orientador - FAMAT
Profa. Dra. Aurélia Aparecida de Araújo Rodrigue – Orientadora - FAMAT
William Henrique Pereira Guimarães – Bolsista – Engenharia Mecânica
Cursos beneficiados:
Ciclo Comum de Exatas (Básico): Engenharia Mecânica, Engenharia
Mecatrônica, Engenharia Civil, Ciência da computação, Física dos materiais e
Química.
Outros: Engenharia Química, Engenharia Elétrica e Engenharia Biomédica.
G) PIBIC
A FAMAT teve 9 projetos aprovados no PBIIC/Fapemig, conforme abaixo:
Orientador
Bolsista
Curso do bolsista
César Guilherme de Almeida
Rene Felipe Keidel Spada
Física
Renata Carvalho Macedo leite
Ciências Biológicas
Edson Agustini
Adriele Giaretta Biase
Matemática
Marcelo Tavares
Eloar Correia de Lima
Matemática
Maria Teresa Menezes Freitas
Igor Alberto de Melo Souza
Matemática
Rogério de Melo Costa Pinto
Mariana Montiel Coelho
Medicina
Sezimária Fátima
Saramago
Pereira Kuang Hongyu
Victor
Gonzalo
Neumann
Matemática
Lopez Cristian Cirronis Paiva
Weber Flávio Pereira
Lívia Silva Rosa
Matemática
Matemática
Parabéns aos professores e alunos selecionados.
H) FAPEMIG
Parabéns aos professores que tiveram seus projetos aprovados no Edital
Universal da Fapemig.
•
Célia Aparecida Zorzo Barcelos, Recuperação De Imagens Via
•
Análise De Conteúdo - Redes Neurais, Algoritmos Genéticos E Seleção
De Características;
Victor Gonzalo Lopez Neumann, Classes E Divisores Racionais Em
•
Curvas Hiperelípticas;
Weber Flávio Pereira,
Perturbações Singulares.
I) PARTICIPAÇÃO EM BANCAS
Campos
De
Vetores
Descontínuos
E
O professor Cícero Fernandes de Carvalho participou, no dia
21/02/2008, da banca de defesa de tese de doutoramento de Alonso
Sepúlveda Castellanos, intitulada “Sobre códigos Hermitianos generalizados”,
do Programa de Pós-Graduação em Matemática da UNICAMP, Campinas.
O professor Cícero Fernandes de Carvalho participou, no dia
03/04/2008, da banca de defesa de tese de doutoramento de Olímpio Ribeiro
Gomes, intitulada “Problemas Diretos em Teoria Aditiva via Método Polinomial:
generalização do teorema de Cauchy-Davenport e da Conjectura de ErdosHeilbronn”, do Programa de Pós-Graduação em Matemática da UnB, Brasília.
O professor Cícero Fernandes de Carvalho participou dos seguintes
exames de qualificação de doutorado em abril de 2008:
1. CARVALHO, C. F.; GODINHO, H. T.; SANTOS, J. P. O.. Participação em
banca de Abílio Lemos Cardoso. Algebra e Teoria de Números. 2008. Exame
de qualificação (Doutorando em Matemática) - Universidade de Brasília.
2. CARVALHO, C. F.; GODINHO, H. T.; SANTOS, J. P. O.. Participação em
banca de Tertuliano Carneiro de Souza Neto. Algebra. 2008. Exame de
qualificação (Doutorando em Matemática) - Universidade de Brasília.
O Prof. César G de Almeida e a Profa. Sezimária F P Saramago
participaram, no dia 13/02/08, banca de Dissertação de Mestrado do Prof.
Carlos Alberto S Júnior, do Programa de Pós-Graduação em Eng. Mecânica da
UFU.
O Prof. César G de Almeida e a Profa. Sezimária F P Saramago
participaram, no dia 17/01/08, da banca de qualificação de doutorado de Lúcio
A. Purcina, do Programa de Pós-Graduação em Eng. Mecânica da UFU.
A Profa. Célia A Z Barcelos participou, no dia 07/04/08, da banca de doutorado
de Vanessa Avancini Botta no ICMC-USP em São Carlos.
O professor Edmílson Rodrigues Pinto participou, no dia 14/12/07, do
Exame de Qualificação de Doutorado do aluno Afrânio Márcio Corrêa Vieira do
Programa de Pós-Graduação em Estatística e Experimentação Agronômica
Título: Modelagem Simultânea da Média e da Dispersão na Pesquisa
Agronômica
Local: Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz - ESDALQ/USP
Membros da Banca: Edmilson Rodrigues Pinto (UFU), Vitor Augusto Ozaki
(ESALQ/USP) e Sílvio Sandoval Zocchi (ESALQ/USP)
O Prof. Ednaldo C. Guimarães participou, no dia 24/01/08, de duas
bancas de Dissertação de Mestrado do Programa de Mestrado em Estatística e
Experimentação Agropecuária na UFLA . Uma das bancas é de uma ex-aluna e
ex-orientada de Iniciação Científica (Gabriella de Freitas Alves).
O prof. Ednaldo C. Guimarães participou, no dia 22/11/07, da banca de
Dissertação de Mestrado "Gestão de custos da produção agrícola- um sistema
para a tomada de decisão utilizando geoestatística", UNIOESTE - Cascavel –
PR.
O Prof. Edson Agustini esteve na Unicamp participando de três bancas:
dia 14 /04 às 9:00h - defesa de dissertação de Mestrado Profissional em
Matemática de Inédio Arcari; dia 14 /04 às 14:00h - defesa de dissertação de
Mestrado Profissional em Matemática de José Ribamar de Viana Coimbra e
dia 15/04 às 9:00h - defesa de dissertação de Mestrado Profissional em
Matemática de Félix Silva Costa.
O Prof. Geraldo M. A. Botelho participou de comissão julgadora de
concurso público, para provimento de cargo de professor-doutor, nos dias 12,
13 e 14 de março de 2008, no Departamento de Matemática do IME-USP, São
Paulo-SP.
O Prof. Márcio José Horta Dantas participou, nos dias 7, 8 e 9 de abril de
uma banca de concurso para professor Livre Docente, na UNESP de São José
do Rio Preto.
O Prof. Rogério M. C. Pinto participou, no dia 25/10/07, da banca de
Dissertação de Mestrado de Wanessa R. Ferreira intitulada "Variabilidade de
cinco espécies arbóreas da região de cerrado do planalto central para medidas
de germinação e emergência", do Programa de Pós-Graduação em Agronomia
da UFU.
Dissertação de Mestrado de Marcelino Alves Rosa de Páscoa (ex-aluno da
FAMAT) na Universidade Federal de Lavras.
Dissertação de Mestrado de Tiago Almeida de Oliveira intitulada “Avaliação de
Métodos de Estimação de Parâmetros em Modelo Linear com Erro na
Covariável” na Universidade Federal de Lavras.
A Profa. Rosana S. M. Jafelice participou como membro da banca da
dissertação de mestrado intitulada "Modelo de von Bertalanffy generalizado
aplicado à curvas de crescimento animal" da candidata Juliana Scapim, no dia
25/03/2008 no IMECC-UNICAMP.
A Profa. Sezimária F. P. Saramago, participou, no dia 22/04, da banca
de defesa de tese de doutoramento de Felipe A Chegury Filho, intitulada
"Surrogate Modeling Techniques and Heuristic Optimization Methods Applied
to Design and Identification Problems", do Programa de Pós-Graduação em
Eng. Mecãnica - UFU.
J) PRODUÇÃO CIENTÍFICA
PERIÓDICOS
Dois artigos do Prof. Geraldo M. A. Botelho foram publicados em Revista
Qualis A Internacional:
1. Spaces of absolutely summing polynomials, Mathematica Scandinavica 101
(2007), 219-237.
2. On compositon ideals of multilinear mappings and homogeneous
polynomials, Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences
43 (2007), 1139-1155.
O artigo do Prof. Marcelo Tavares, "Clinical and hematological signs
associated with dogs naturally infected by Hepatozoon sp. and with other
hematozoa. A retrospective study in Uberlândia, Minas Gerais, Brazil", foi
aceito para publicação na revista Veterinary Parasitology e se encontra na lista
de espera para publicação (Articles in Press), podendo ser acessado na página
da revista.
Artigo do Prof. Márcio José Horta Dantas foi publicado em periódico
internacional:
On the existence and stability of
problems: General results
Z. Angew. Math. Phys. 58 (2007) 940–958
periodic
orbits
in
non
ideal
Artigos do Prof. Rogério de Melo Costa Pinto foram publicados em
periódicos nacionais e internacionais:
MORALES, Nívea de Macedo Oliveira ; SILVA, Carlos Henrique Martins da ;
FRONTAROLLI, Ana Cláudia ; ARAÚJO, Renata R Hoffmann de ; RANGEL,
Viviane Oliveira ; PINTO, R. M. C. ; MORALES, Rogério Rizo ; GOMES,
Débora Cristiane . Psychometric properties of the initial Brazilian version of the
CHQ-PF50 applied to the caregivers of children and adolescents with cerebral
palsy. Quality of Life Research : an International Journal of Quality of Life
Aspects of Treatment, Care and Rehabilitation, v. 16, p. 437-444, 2007.
LIMONGI, Jean e ; Costa, F.C. ; PAULA, Márcia Beatriz Cardoso de ; PINTO,
R. M. C. ; Oliveira, M.L.A. ; P NETO, Adalberto A ; Borges, A.S. ; Ferreira,
M.S. . Síndrome cardiopulmonar por hantavírus no Triângulo Mineiro e Alto
Paranaíba, Minas Gerais, 1998-2005: aspectos clínico-epidemiológicos de 23
casos. Revista da Sociedade Brasileira de Medicina Tropical, v. 40, p. 295-299,
2007.
MORALES, Rogério Rizo ; MORALES, Nívea de Macedo Oliveira ; Rocha,
F.C.G. ; Fenelon, S.B. ; PINTO, R. M. C. ; SILVA, Carlos H M . Qualidade de
Vida em Portadores de Esclerose Múltipla. Arquivos de Neuro-Psiquiatria, v.
65, p. 454-460, 2007.
Artigos da Profa. Sezimária F. P. Saramago publicados em periódicos
internacionais:
SARAMAGO, S. F. P., OLIVEIRA, P.J., CARBONE, G., CARVALHO, J. C. M.,
CECCARELLI, M.
An optimum path planning for Cassino Parallel Manipulator by using inverse
dynamics. Robotica (Cambridge). , v.26, p.229 - 239, março, 2008.
SANTOS, R R, STEFFEN JR, V, SARAMAGO, S. F. P.
Robot Path Planning in a Constrained Workspace by using Optimal Control
Techniques. Multibody System Dynamics, Vol. 19, p.159-177, fev, 2008.
EVENTOS
INTERNACIONAIS
Participação da Profa. Célia A. Z. Barcelos em eventos:
1- Planck's Law Simulation using Particle Systems , (Douglas Cordeiro, Marcos
Batista, Celia) European Computing Conference, publicaçao Springer Atenas – Grecia - Setembro
2- Adaptive Image Retrieval through the use of a Genetic Algorithm - IEEE
International Conference on Tools with Artificial Intelligence, publicaçao IEEE Patras- Grecia,
Celia Barcelos, Sergio Silva, Marcos Batista http://ictai07.ceid.upatras.gr/ Outubro
3- High Leval Semantic based Image Characterization using artificial neural
network, ISDA- International Conference on Intelligent Systems Design and
Applications (ISDA) , Eduardo Ribeiro, Marcos Batista, Celia, Rio de Janeiro.
Outubro http://www.isda07.eng.uerj.br/program/
4-Segmentaçao de Lesões de Pele viaEquações Diferenciais Parciais, Vinicius
Pires e Celia, Clei - Costa Rica - http://www.clei2007.org/index.php?id=53,
Outubro
O Prof. Rogério Sales Gonçalves, participou do 19th International
Congress of Mechanical Engineering, 05 a 09/11/07, Brasília,
com apresentação do artigo "Optimum Workspace For Parallel Manipulators".
A Profa. Rosana S. M. Jafelice , participou do XIV Congresso LatinoAmericano de Biomatemática, realizado de 13 a 16 de novembro de 2007, no
IMECC-UNICAMP, apresentando o trabalho "Curvas Padrões de Tratamento
do HIV".
A Profa. Sezimária F. P. Saramago e Profa. Giovana T. S.
Oliviera, participaram do 19th International Congress of Mechanical
Engineering, 05 a 09/11/07, Brasília, com o apresentação do artigo
"Optimization of the Workspace volume of 3R Manipulators Using a Hybrid
Methodology".
NACIONAIS
O Prof. Arlindo J. S. Júnior participou da V Conferência Nacional sobre
Modelagem na Educação Matemática, de 08 a 10/11/07, em Ouro Preto,
com apresentação do artigo "Água, o seu Papel Mor no Ensino".
A Profa. Aurélia Aparecida de Araújo Rodrigues participou do III
Seminário Racismo e Educação: desafios para a formação docente & II
Seminário Gênero, Raça e Etnia de 22 a 25/11/2007, na Universidade Federal
de Uberlândia, onde apresentou o trabalho “Ações afirmativas e classificação
étnico-racial”
O Prof. César G. Almeida participou do X Encontro de
Modelagem Computacional de 21 a 23/11/07 em Nova Friburgo,
com apresentação do artigo "Cálculo da Velocidade de Darcy utilizando o
Método dos Elementos Finitos Mistos e Hibridos".
O Prof. Edmílson Rodrigues Pinto participou do XXXIX Simpósio
Brasileiro de Pesquisa Operacional – SBPO de 28 a 31 de agosto de 2007 em
Fortaleza – CE, onde apresentou o trabalho “Avanços recentes em
planejamento ótimo de experimentos para modelos lineares generalizados”
Os professores Ednaldo Carvalho Guimarães, Marcelo Tavares e
Rogério de Melo Costa Pinto participaram da 52ª Reunião Anual da Região
Brasileira da Sociedade Internacional de Biometria onde apresentaram os
seguintes trabalhos:
PINTO, R. M. C. ; GUIMARÃES, Ednaldo Carvalho ; TAVARES, Marcelo ;
Silva, A. A. ; Carvalho, S. N. R. ; Fernandes, A. R. . MODELO DE PREVISÃO
PARA A PRECIPITAÇÃO DECENDIAL DO MUNICÍPIO DE CORUMBAÍBA GO. In: 52 Reunião Anual da Região Brasileira da Sociedade Internacional de
Biometria, 2007, Santa Maria - RS. CD-room 52 Reunião Anual da Região
Brasileira da Sociedade Internacional de Biometria, 2007.
TAVARES, Marcelo ; GUIMARÃES, Ednaldo Carvalho ; PINTO, R. M. C. ;
Carvalho, C. J. . Sazonalidade se tendências de índices de preços: um estudo
comparativo. In: 52 Reunião Anual da Região Brasileira da Sociedade
Internacional de Biometria, 2007, Santa Maria - RS. CD-room 52 Reunião
Anual da Região Brasileira da Sociedade Internacional de Biometria, 2007.
Silva, R. T. ; TAVARES, Marcelo ; GUIMARÃES, Ednaldo Carvalho ; PINTO, R.
M. C. ; Carvalho, C. J. . Modelo de previsão para produção de sucos de caju
em uma indústria na região de uberlândia. In: 52 Reunião anual da região
brasileira da sociedade internacional de biometria, 2007, Santa Maria - RS. CDroom 52 Reunião anual da região brasileira da sociedade internacional de
biometria, 2007.
A Profa. Fabiana F. M. Matos participou do XIV ENDIPE de 27 a
30/04/08, em Porto Alegre-RS , com apresentação do artigo "Produzindo
atividades de ensino em ambientes computacionais na formação de
professores de Matemática".
O Prof. Geraldo M. A. Botelho participou do Encontro Nacional de
Análise Matemática e Aplicações de 07 a 09/11/07 no Rio de Janeiro,
com apresentação dos artigos "The Schur Property on Preduals of Spaces of
Holomorphic Functions" e "When every Multilinear Mapping in Multiple
Summing".
A Profa. Maria T. M. Freitas participou do XIV ENDIPE de 27 a 30/04/08,
em Porto Alegre-RS, com apresentação do artigo "Ambiente virtual de
aprendizagem no ensino presencial de formação de professores de
Matemática".
L) PALESTRAS E EVENTOS
A Profa. Fabiana F. M. Matos proferiu a palestra “Jogos matemáticos:
estratégia de ação pedagógica na Educação Matemática” para o Programa
Formação Continuada para Docentes – CEMEPE, em 15/10/07.
O Prof. Luiz A. D. Salomão ministrou, nos dias 25 e 26 de outubro de
2007, um minicurso na XXII Semana do IME, na Universidade Federal de
Goiás.
M) NOVO DOUTOR
O Prof. Alessandro Alves Santana teve sua tese de doutoramento
intitulada “Identificação de parâmetros em problemas de advecção-difusão
combinando a técnica do operador adjunto e métodos de volumes finitos de
alta ordem” aprovada, no dia 01/11/2007, no IME-USP - Instituto de Matemática
e Estatística - Universidade de São Paulo.
A Banca examinadora foi composta pelos seguintes professores:
Prof. Dr. Luis Carlos de Castro Santos (orientador) IME-USP
Prof. Dr. Nelson Mugayar Kuhl - IME-USP
Prof. Dr. Ernani Vitíllo Volpe - EP-USP
Prof. Dr. José Alberto Cuminato - ICMC-USP
Prof. Dr. Hélcio Rangel Barreto Orlande - UFRJ
A FAMAT cumprimenta o Dr. Alessandro, desejando que esta etapa vencida
sirva de estímulo para novas conquistas.
Agora, nosso corpo docente passa a contar com 27 doutores. Além disso,
alcançamos a meta de 90% do corpo docente composto por doutores e
mestres!
Dulce Mary de Almeida (Coordenadora)
Cícero Fernandes de Carvalho
Luís Antônio Benedetti
Maria Teresa Menezes Freitas
Rogério de Melo Costa Pinto
Walter dos Santos Motta Junior
Mariana Fernandes dos Santos Villela - PETMAT
Virgínia Helena Ribeiro Miranda - DAMAT
8:00 às 9:20 - Mini-curso
Episódios recentes da geometria euclidiana
Prof. Ms. Sérgio Alves
IME/USP - São Paulo - SP
9:20 às 9:50 - Café
9:50 às 11:20 - Sessão de Comunicações
Introdução à teoria dos jogos
Prof. Dr. Marcos Antônio da Câmara
e grupo PETMAT
FAMAT/UFU - Uberlândia - MG
Triangulações regulares: aspectos teóricos
e computacionais
Prof. Dr. Luis Gustavo Nonato
ICMC/USP - São Carlos - SP
27 a 30 de novembro de 2007
Av. João Naves de Ávila, 2121
Campus Santa Mônica - Bloco 1F
Uberlândia - MG
CEP: 38408-100
Fones: (34) 3239-4235
(34) 3239-4126
Organização:
16:20 às 16:50 - Café
16:50 às 18:00 - Encerramento
Momento Musical
Matemática
da Universidade Federal de Uberlândia
UNIVERSIDADE FEDERAL
DE UBERLÂNDIA
12:00 às 14:00 - Almoço
15:20 às 16:20 - Palestra
Possibilidades do software CABRI 3D
Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni
CCE/PUC - São Paulo - SP
Semana da
Comissão Organizadora:
Matemática Pura
Estatística
Imprensa Universitária /Gráfica UFU
Sexta-Feira 30/11
FAMAT
Apoio:
Matemática Aplicada
Educação Matemática
PROEX
UFU
www.famat.ufu.br/semat
Terça-Feira 27/11
Quarta-Feira 28/11
Quinta-Feira 29/11
7:30 - Entrega de Material
9:20 às 9:50 - Café
9:20 às 9:50 - Café
Introdução à Mecânica Quântica
Prof. Ms. Mauro F. S. Ribeiro Júnior
C.P.A. Wernher Von Braun - Campinas - SP
12:00 às 14:00 - Almoço
12:00 às 14:00 - Almoço
e computacionais
e computacionais
Introdução a modelagem de risco em finanças
Prof. Dr. Francisco Louzada Neto
CCET/UFSCar - SP
A gloriosa história da geometria
Prof. Dr. Claudio Gorodski
16:20 às 16:50 - Café
16:20 às 16:50 - Café
Polinômios sobre corpos p-ádicos: uma breve
introdução
Prof. Dr. Hemar Teixeira Godinho
IE/UnB - Brasília - DF
Polinômios sobre corpos p-ádicos: uma breve
introdução
8:30 - Abertura da VII SEMAT
9:00 às 9:30 - Café
Euler, sua obra e seu tempo
Prof. Dr. Geraldo Severo de Souza Ávila
Membro da Academia Brasileira de Ciências
12:00 às 14:00 - Almoço
14:00 às 15:00 - Mesa Redonda
FAMAT em ações extra-curriculares
Profa. Dra. Sezimária de Fátima Pereira Saramago
FAMAT/UFU - Uberlândia - UFU
Introdução à teoria dos jogos
Prof. Dr. Marcos Antônio da Câmara
e grupo PETMAT
FAMAT/UFU - Uberlândia - MG
16:20 às 16:50 - Café
Polinômios sobre corpos p-ádicos: uma
breve introdução