Transformação de Coordenadas Celestes

Transcrição

Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 12
MATRIZES DE ROTAÇÃO
rotação de eixos em função de
co-senos diretores
Prof. Dr. Carlos Aurélio Nadal
TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS CELESTES
MATRIZES DE ROTAÇÃO
* dois ternos dextrógiros com mesma origem
* x1,x2,x3 novas coordenadas
* y1,y2,y3 antigas coordenadas
* lij = co-senos diretores
y3
x3
o
o
x1
y2
x2
y1
CAN
Fórmulas de Euler
• X=LY
• L = matriz dos
co-senos diretores
L=
l11 l12 l13
l21 l22 l23
l31 l32 l33
• os co-senos da matriz
L não são
independentes
• dos nove somente três
são independentes
• fórmulas de Euler
CAN
x3
y
y1
w
y
y1’= y1”
x1
y3”
y3 (y3’)
Ângulos de
Euler
e
o
e
w
y2” = x2
y2’
y2
CAN
y3”
y3=y3’
w
y1
w
e
o
y2’
w
y2
y3”
y1’
x3
o
e
x1
y2”
y2’
y
antigo
novo
o
y
e
y1”=y1’
y
y1”
y3’
y2”= x2
CAN
ângulo de rotação - convenções
• ângulo de rotação
positivo
• rotação anti-horária
• terno dextrógiro
x3
y3
e
x2
e
e
o
antigo
y2
novo
y1=x1
CAN
matrizes de rotação
Rotação em torno do eixo 1
1
R1 (a) = 0
0
cos a
0
cos a sen a
0 -sen a cos a
R2 (a)=
0
sen a
-sen a
0
1
0
0
cos a
cos a sen a 0
R3 (a) = -sen a cos a 0
0
CAN
0
1
Propriedades das matrizes de rotação
• Reflexão: é um caso
particular da transformação com a = 180o
• MT = M -1
• |M| = + ou - 1
• [R (a)] -1 = R (-a)
• R1[R2R3]=[R1R2]R3
• Ri(a) Ri(b)=Ri(a-b)
• mais importante no
cálculo computacional
R1[R2R3]=[R1R2]R3
pois economiza tempo
de computação
CAN
matrizes de reflexão
Reflexão do eixo 1
-1
R1 =
Reflexão do eixo 2
0
0
0
1
0
0
0
1
R2 =
Reflexão do eixo 3
R3 =
CAN
1
0
0
0
1
0
0
0
-1
1
0
0
0
-1
0
0
0
1
Utilizada para transformar
um sistema dextrógiro em
levógiro ou vice-versa
x3
y3
Exemplo de rotação em torno do
eixo x, do tipo 1.
e
x2
e
e
o
y2
1
y1=x1
R1 (e) = 0
0
0
cos e sen e
0 -sen e cos e
Exemplo de reflexão do eixo x, do tipo 1.
Transformação de sistema levógiro em dextrógiro
-1
y3
R1 =
o
y´1
y2
0
0
0
1
0
0
0
1
y1
Transformação de coordenadas
Astronômicas
horizontais -> horárias
horárias > equatoriais
equatoriais > eclipticas
CAN
Vetor posição do ponto P
Z
xp = r cos f cos l
yp = r cos f sen l
zp = r sen f
P
r
f
z
p
l
x
p
Y
Sistema de coordenadas cartesianas.
associado à Terra suposta esférica
yp
X
CAN
RESUMO DAS COORDENADAS CELESTES
sistema
plano
fundamental
Abcissa
símbolo
origem
sentido
variação
Ordenada
símbolo
variação
horizontal
horizonte
horário
equador
Azimute
ângulo
(A)
horário (H)
ponto sul
SMS
retrógrado retrógrado
(por oeste) (por oeste)
0o a 360o
0h a 24h
altura (h)
declinação
dist zenital(z) (d)
0o a +- 90o
0o a+- 90o
equatorial
equador
eclítico
eclíptica
ascensão
reta (a)
ponto vernal
direto
longitude
celeste (l)
ponto vernal
direto
0h a 24h
declinação
(d)
0o a +-90o
0h a 24h
latitude
celeste (b)
0o a +-90o
CAN
Coordenadas horizontais (X, h, A)
X3
Z
astro
Pn
altura
S
h
X1
Hn
S'
W
A
Hs
azimute
Ps
X2
N
CAN
Vetor posição da estrela no sistema de coordenadas
horizontais
X3
X3
Z
S
Pn
S
h
s2
o
Hn
s1 S'
W
A Hs
X1
o
s2
h
A
X1
s1
Ps
X2
N
X2
x1 = cos h cos A
x2 = cos h sen A
x3 = sen h
VETOR POSIÇÃO DE UM ASTRO
a) no sistema de coordenadas horizontais
x1 = cos h cos A
x2 = cos h sen A
x3 = sen h
b) no sistema de coordenadas horárias
y1 = cos d cos H
y2 = cos d sen H
y3 = sen d
c) no sistema de coordenadas equatoriais
z1 = cos d cos a
z2 = cos d sen a
z3 = sen d
d) no sistema de coordenadas eclipticas
e1 = cos b cos l
e2 = cos b sen l
e3 = sen b
CAN
Coordenadas horárias (Y, H, d)
Y3
Pn
Z
Astro
declinação
S
E
d
Y1
Q'
H
W
Q
ângulo
horário
S'
SMS
N
Ps
Y2
CAN
TRANSFORMAÇÃO
DE COORDENADAS
HORIZONTAIS EM
HORÁRIAS
X3
Y3
Y1
Z
Pn
Q
S
f
d
Pn
H
h
Hn
S'
Hs
A
S''
W
a
Q'
X1
SMS
g
Ps
N
X2 = Y2
CAN
Y = R2[-(90O-F)] X
TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS
HORIZONTAIS EM HORÁRIAS
Y = R2 [-(90O - F)] X
a) Vetor posiçao geocêntrico da estrela
X1 = cos h cos A
Y1 = cos d cos H
X2 = cos h sen A
Y2 = cos d sen H
X3 = senh
Y3 = sen d
R2 [- (90O - F)] =
tg H = Y2/Y1 tg A = X2/X1
sen d = Y3
sen h = X3
sen f 0 cos f
0
1
0
-cos f 0 sen f
HORÁRIAS EM HORIZONTAIS
X = R2 [(90O - F)] Y
CAN
Discução sobre o quadrante das soluções
. Quanto ao azimute do astro
A = arc tg (X2/X1)
Se X2/X1 < 0 então A é do 2ºQ ou 4ºQ
Se X2/X1 > 0 então A é do 1ºQ ou 3ºQ
Escolha: azimute e ângulo horário são de mesma espécie
A e H são simultaneamente menores que 180º
ou,
A e H são simultaneamente maiores que 180º
Discução sobre o quadrante das soluções
. Quanto a altura do astro
h = arc sen (X3)
Se X3 < 0 então h é do 4ºQ (astro invisivel)
Se X3 > 0 então h é do 1ºQ (astro visível)
Similarmente discute-se o quadrante das Coordenadas
Horárias H e δ
Y3=Z3
TRANSFORMAÇÃO DE
COORDENADAS
HORÁRIAS (Y,d,H)
EM EQUATORIAIS
(Z,d,a)
Pn
Z
Astro
declinação
S
E
d
Y1
Q'
Q
g
W
Z2
H
S'
ângulo
horário
SMS
Z1
N
S=Qg
Ps
Y2
CAN
HORÁRIAS EM EQUATORIAIS
Z = R3 [(180O - S)R1] Y
Z1 = cos d cos a
Y1 = cos d cos H
Z2 = cos d sen a
Y2 = cos d sen H
Z3 = sen d
Y3 = sen d
- cos S sen S 0
R3 [180O - S] = - sen S - cos S 0
0
0 1
tg H = Y2/Y1 tg a = Z2/Z1
sen d = Y3
sen d = Z3
-1 0 0
R1 (180O ) = 0 1 0
0 0 1
EQUATORIAIS EM HORÁRIAS
Y = R3 [-S] R2] Z
CAN
Z3
Pn
E3
E
obliquidade
W
w
equinócios
Q'
Z2
Q
equador
ecliptica
g
E'
E2
Z1=E1
Ps
CAN
EQUATORIAIS EM ECLIPTICAS
E = R1(w )] Z
Z1 = cos d cos a
E1 = cos b cos l
Z2 = cos d sen a
E2 = cos b sen l
Z3 = sen d
E3 = sen b
R1 [w] =
tg l = E2/E1
sen b = E3
tg a = Z2/Z1
sen d = Z3
1
0
0
0 cos w sen w
0 - sen w cos w
ECLIPTICAS EM EQUATORIAIS
Z = R1 [-w ] E
CAN
HORIZONTAIS EM ECLIPTICAS
E = R1[w] R3[180O-S]R1 R2[-(90O-F)] X
X1 = cos h cos A
E1 = cos b cos l
X2 = cos h sen A
E2 = cos b sen l
X3 = sen h
E3 = sen b
tg l = E2/E1
sen B = E3
tg A= X2/X1
sen h = X3
ECLIPTICAS EM HORIZ0NTAIS
X = R2[(90O-F)] R3[-S]R2 R1 [-w ] E
CAN

Transformação de Coordenadas Celestes

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