Transformações Geométricas

Transcrição

Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06
Transformações geométricas nos
espaços bidimensional e
tridimensional
Prof. Dr. Carlos A. Nadal
TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS
CALIBRAÇÃO DA MESA DIGITALIZADORA
pontos
homólogos
Mesa digitalizadora
mapa
coordenadas x,y
coordenadas N,E
afinidade
Primitivas básicas na transformação geométrica no plano
Representação geral da afinidade no plano
y
x’
x’
x
o’
y
o
x
Novo sistema - oxy é ortogonal
Antigo sistema - o’x’y’ não é ortogonal
Forma Geral (afinidade)
Fórmula para transfomação:
x = kx . x’ . cos
+ ky . y’ . sen
+ x
y = - kx . x’ . sen ( + ) + ky . y’ . cos ( + ) + x
2 parâmetros de escala: kx , ky .
1 parâmetro de rotação:
1 parâmetro de não ortogonalidade:
2 parâmetros de translação: x, y
Não mantém a forma nem a escala (tamanho) na
Transformação
usada na calibração de mesas digitalizadoras
Transformação ortogonal (de corpo rígido)–
ambos os sistemas são ortogonais
x = kx . x’ . cos
y = - kx . x’ . sen
+ ky . y’ . sen
+ ky . y’ . cos
+ x
+ y
As escalas variam de eixo para eixo tem-se 5 parâmetros.
Não mantém o tamanho, nem a escala, mantém os ângulos
usada na verificação de escala em direções perpendiculares
Transformação Isogonal (similaridade)
eixos ortogonais e coeficientes de escalas iguais
x = k . x’ . cos
y = - k . x’ . sen
+ k . y’ . sen + x
+ k . y’ . cos + y
Tem-se quatro parâmetros.
Preserva a forma e não preserva o tamanho
usada na qualidade geométrica de dados vetoriais ou
matriciais
Transformação de corpo rígido (ortogonal)
x = x’ . cos
y = - x’ . sen
+ y’ . sen
+ y’ . cos
+ x
+ y
Três parâmetros
Preserva a forma e os tamanhos
usada na qualidade geométrica de dados vetoriais
TRANSFORMAÇÃO DE HELMERT
Aplicação: mais de dois pontos cujas coordenadas são
conhecidas em dois sistemas
Caso ideal: pontos fazem parte das margens da área na
Qual deseja-se transformar coordenadas
Sejam os pontos: P1, P2, Pn com coordenadas nos
sistemas p,q (sistema antigo)
e x, y (novo sistema)
Cálculo do centro de gravidade dos pontos
x s = x/n
ys=
y/n
ps = p/n
qs = q/n
De acordo com Wolf (1975) tem-se que:
dy = y - ys , dx = x - xs
dp = p - ps , dq = q - qs
como checagem:
dy =
dx =
dp =
dq = 0
Com:
2
2
a = f cos
=(
dq.dy +
dp.dx ) /
( dp + dq )
b = f sen
= (
dq.dx -
dp.dy ) /
( dp2 + dq2)
f é o fator de escala:
f = (a2 + b2 )1/2
ângulo de rotação de um sistema em relação a outro:
= arctg b/a = arc cos a/f = arcsen b/f
As coordenadas do centro de rotação serão dadas por:
xo = xs - a ps - b qs
yo = ys + b ps - a qs
Para um ponto j do qual se conhece as coordenadas no
sistema p,q tem-se:
xj = xo + a pj - b qj
yj = yo - bpj + a qj
Dadas as coordenadas de três pontos situados no
Estado do Paraná, referidas ao sistema geodésico que se
utiliza do elipsóide de Hayford e tem origem no vértice
Córrego Alegre (sistema anteriormente utilizado no
Brasil):
1 = 25 00 00 S
1 = 49 00 00 W
2 = 23 00 00 S
2 = 50 00 00 W
3 = 24 00 00 S
3 = 53 00 00 W
Calcular as coordenadas UTM destes pontos
neste sistema geodésico:
E1 = 701854.408m N1 = 7233525.719m
E2 = 602489.421m N2 = 7456097.476m
E3 = 296541.529m N3 = 7344293.513m
Transformar as coordenadas geodésicas dadas acima para
o sistema geodésico brasileiro SAD69:
= 24 59 59.686 S
2 = 22 59 59.585 S
3 = 24 59 59.630 S
1
= 48 59 59.887 W
2 = 50 00 00.020 W
3 = 53 00 00.419 W
1
Calcular as coordenadas UTM destes pontos no
respectivo sistema geodésico:
E1 = 701849.996m
E2 = 602485.055m
E3 = 296537.271m
N1 = 7233563.065m
N2 = 7456134.737m
N3 = 7344330.830m
Aplicar a transformação de Helmert
as coordenadas UTM nos dois sistemas geodésicos,
calculando os parâmetros de transformação:
Solução:
xj = xo + a pj - b qj
yj = yo - bpj + a qj
com
a = 0.999999625
b = 3.55334E-08
xo = -4.405969878
yo = 40.08440661
Transformações por Similaridade
Dados: x,y,z (antigo sistema)
X,Y,Z (novo sistema)
Transformação geral linear afim no espaço (Leick and van
Gelder,1975):
X = Ax + Ao
três parâmetros de translação
três parâmetros de rotação
três parâmetros de escalas para os três eixos
três parâmetros descrevendo orientação dos eixos
Modelo de transformação BURSA-WOLF
X = S RZ( Z)RY( Y)RX( X)x +T
Modelo
R
R1 ( x ) R 2 ( y ) R 3 ( z )
R1 (
R2(
R3(
R
sen
cos
x
x
cos y cos z
sen y cos z cos
sen y cos z sen
x
y
z
)
1
0
0
)
cos( y ) 0
0
1
sen( y ) 0
x
sen( y )
0
cos( y )
cos( z ) sen( z ) 0
sen( z ) cos( z ) 0
0
0
1
)
x
0
0
cos( x ) sen( x )
sen( x ) cos( x )
sen
sen
z
z
sen
cos
x
x
cos y sen z
sen y sen z cos
sen y sen z sen
x
x
cos
cos
z
z
sen y
sen x cos
cos x cos
y
y
Modelo
1
R
z
y
1
z
y
x
1
x
1
i
Xi
Yi
Zi
x0
y0
z0
r0
(1
). R . ri
1
1
z
z
y
y
1
x
x
1
xi
yi
zi
Sistemas de equações com as coordenadas de três
pontos
AX=L X=(ATPA)-1 ATPL P=I
X1
Y1
Z1
X2
Y2
Z2
X3
Y3
Z3
0 -Z1
Z1 0
-Y1 X1
0 -Z2
Z2 0
-Y2 X2
0 -Z3
Z3 0
-Y3 X3
Y1
X1
0
Y2
X2
0
Y3
X3
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
k
εx
εY
εz
X0
Y0
Z0
U1 - X1
V1 - Y1
W1 - Z1
U2 – X2
= V2 – Y2
W2 – Z2
U3 – X3
V3 – Y3
W3 – Z3
Exercício Prático
Ponto
Latitude (S)
SAD69
Longitude (W)
SAD69
Altitude
Ortométrica
(m)
Ondulação
Geoidal
(m)
Curitiba
25º 25’ 58,53740”
49º 20’ 24,61849”
953
2,54
Iretama
24º25’ 12,64874”
52º 07’ 19,12354”
577
3,03
Londrina
23º 19’ 20,05643”
51º 12’ 05,98103”
583
3,44
Ponto
Latitude (S)
WGS84
Longitude (W)
WGS84
Altitude
Elipsoidal (m)
Curitiba
25º 26’ 00,307198”
49º 20’ 26,331982”
952,6312
Iretama
24º25’ 14,372154”
52º 07’ 20,901858”
578,3287
Londrina
23º 19’ 21,775229”
51º 12’ 07,719026”
582,9934
Ponto
X SAD-69 (m)
Y SAD-69 (m)
Z SAD-69 (m)
Curitiba
3755934,03765507
-4372874,06730675
-2722881,94320635
Iretama
3568104,61755603
-4587061,24412689
-2620978,61374355
Londrina
3672162,00198784
-4567519,61846058
-2509770,52075258
Ponto
X WGS84 (m)
Y WGS84 (m)
Z WGS84 (m)
Curitiba
3755867,16008169
-4372869,69888951
-2722920,46934841
Iretama
3568037,74291102
-4587056,87493790
-2621017,13692018
-4567515,24943912
-2509809,04402409
Londrina
3672095,12742608
Vetor L
Matrix A
3755934,038
0,000 2722881,943 -4372874,067
1,000
0,000
0,000
0,000
1,000
0,000
0,000
0,000
0,000
1,000
0,000 2620978,614 -4587061,244
1,000
0,000
0,000
0,000
1,000
0,000
0,000
0,000
0,000
1,000
0,000 2509770,521 -4567519,618
1,000
0,000
0,000
0,000
1,000
0,000
0,000
0,000
1,000
-4372874,067 -2722881,943
0,000 -3755934,038
-2722881,943 4372874,067 3755934,038
3568104,618
-4587061,244 -2620978,614
0,000 -3568104,618
-2620978,614 4587061,244 3568104,618
3672162,002
-4567519,618 -2509770,521
0,000 -3672162,002
-2509770,521 4567519,618 3672162,002
0,000
X= (ATA)-1ATL
-66,878
4,368
-38,526
-66,875
4,369
-38,523
-66,875
4,369
-38,523
Parâmetro
Fator de escala ( )
Rotação em torno do eixo X ( )
Rotação em torno do eixo Y ( )
Rotação em torno do eixo Z ( )
Translação do eixo X ( x)
Translação do eixo Y ( y)
Translação do eixo Z ( z)
Valor
0,999999999
0,0000000062 rad
-0,0000000093 rad
-0,0000000043 rad
-66,867m
4,366m
-38,520m
EXEMPLO DE GEORREFERENCIAMENTO
DE UMA IMAGEM
Y
ponto
x(m)
y(m)
X(m)
Y(m)
1
182
306
0,000
0,000
2
1947
320
0,477
0,000
3
1983
2725
0,477
0,669
X = -0,04765+0,00027x-0,000004y
Y = -0,08473-0,000002x+0,00028y
1
2
3
X
MONTAGEM DO SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
X = a + bx +cy
ponto x(m)
y(m)
X(m)
Y = d + ex +fy
1
182
306
0,000
0,000 = a + 182b + 306c
0,000 =
d + 182e +306f
0,477 = a + 1947b +320c
0,000 =
d + 1947e + 320f
0,477 = a + 1983b + 2725c
0,669 =
d + 1983e + 2725f
0,000
0,000
0,477
0,000
0,477
0,669
=
=
=
=
=
=
1 182 306 0 0 0
0 0 0 1 182 306
1 1947 320 0 0 0
0 0 0 1 1947 320
1 1983 2725 0 0 0
0 0
0 1 1983 2725
a
b
c
d
e
f
Y(m)
0,000
2
1947
320
0,477
0,000
3
1983
2725
0,477
0,669

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