Matemática − Álgebra

Matemática
Jacob Palis − Álgebra
1
Euclides Roxo
David Hilbert
George F. B. Riemann
George Boole
Niels Henrik Abel
Karl Friedrich Gauss
René Descartes
Gottfried Wilhelm von Leibniz
Nicolaus Bernoulli II
2
Matemática − Álgebra
Matemática − Álgebra
MATEMÁTICA
3
SUMÁRIO DO VOLUME
ÁLGEBRA
7
1. Sistemas Lineares
7
1.1 Introdução
1.2 Equação linear
1.3 Sistema de equações lineares
1.4 Classificação de um sistema linear
1.5 Sistema linear homogêneo
1.6 Sistema linear escalonado
1.7 Escalonamento de um sistema linear
2. Noções sobre matrizes
2.1 Introdução
2.2 Definição
2.3 Matriz transposta
2.4 Matrizes especiais
2.5 Operações com matrizes
2.6 Matrizes comutáveis
2.7 Matrizes associadas a um sistema linear
2.8 Matriz inversa
7
7
9
12
13
15
21
37
37
40
43
44
47
69
77
79
Matemática − Álgebra
4
SUMÁRIO DO VOLUME
TRIGONOMETRIA
91
1. Circunferência e arcos
91
1.1 Circunferência
1.2 Arcos de circunferência
1.3 Medida de um arco
1.4 Comprimento da circunferência
1.5 Comprimento de um arco de uma circunferência
1.6 Conversão de unidades
91
92
92
94
95
96
2. Circunferência trigonométrica
105
3. Funções trigonométricas
112
2.1 Introdução
2.2 Definições e elementos
2.3 Arcos trigonométricos
2.4 Extensão do conceito de arco trigonométrico
2.5 Arcos Côngruos
2.6 Arcos e Números
3.1 Introdução
3.2 A razão seno
3.3 A razão cosseno
3.4 A razão tangente
3.5 Função tangente
105
105
105
106
106
107
112
113
128
145
152
Matemática − Álgebra
MATEMÁTICA
SUMÁRIO COMPLETO
VOLUME 1
UNIDADE: ÁLGEBRA
1. Sistemas lineares
2. Noções sobre matrizes
UNIDADE: TRIGONOMETRIA
1. Circunferência e arcos
2. Circunferência trigonométrica
3. Funções Trigonométrica: Seno, Cosseno e Tangente
VOLUME 2
UNIDADE: ÁLGEBRA
3. Noções sobre determinantes
4. Análise combinatória
UNIDADE: TRIGONOMETRIA
4. Funções Trigonométrica: Cotangente, Secante e Cossecante
5. Equações trigonométricas
6. Inequações trigonométricas
7. Noções sobre áreas de figuras planas
UNIDADE: GEOMETRIA ESPACIAL
1. Noções sobre Geometria Espacial de Posição
2. Poliedros
3. Prismas
VOLUME 3
UNIDADE: ÁLGEBRA
5. Probabilidade
6. Somatório
7. Números binomiais
UNIDADE: GEOMETRIA ESPACIAL
4. Pirâmides
5. Cilindro
6. Cone
7. Esfera
5
6
Matemática − Álgebra
Matemática − Álgebra
Sistemas Lineares
ÁLGEBRA
1. SISTEMAS LINEARES
1.1 Introdução
Em Matemática, a palavra linear está intimamente ligada à ideia de expressão de primeiro grau.
Isso ocorre porque, quando uma variável é função linear de outra, existe uma sentença matemática de
primeiro grau que as relaciona.
Existem diversas situações cotidianas, físicas, dentre outras, que podem ser representadas por meio de
interessantes problemas matemáticos, os quais resolvemos utilizando equações e sistemas lineares.
Observe as seguintes situações-problema:
Situação-problema 1
Uma certa loja de materiais esportivos realiza uma promoção, na qual está vendendo, por um mesmo
preço, qualquer par de tênis; por um mesmo preço, qualquer par de meias, e por um mesmo preço,
qualquer tipo de camiseta. Luciana comprou 1 par de tênis, 2 camisetas e 2 pares de meias, gastando
R$ 340,00. Luís comprou 2 pares de tênis, 2 pares de meias e 1 camiseta, gastando R$ 420,00. Patrícia
comprou 3 camisetas, 3 pares de meias e 1 par de tênis, gastando R$ 435,00.
Qual é o preço de cada um desses produtos?
Situação-problema 2
Sabe-se sobre a Física que, num circuito elétrico, a corrente que “entra” num nó (cruzamento de fios) é
igual à corrente que “sai” desse nó.
Observe esta figura que mostra parte de um circuito elétrico percorrido pelas correntes elétricas i1, i2,
i3, 2A, 3A, 4A e 8A indicadas e, depois, faça o que se pede.
i1
2A
i3
i2
8A
4A
3A
a) Obtenha as equações lineares que relacionam i1 e i2 bem como i2 e i3.
b) Obtenha os valores de i1, i2 e i3, sabendo que i3 = 6i1.
Logo, para resolvermos problemas como esses e outros que se permeiam por vários outros campos do
raciocínio matemático é que estudaremos, a seguir, as definições e os métodos de resolução de sistemas
lineares.
1.2 Equação linear
Suponha que, num certo mês, Gustavo receba seu salário de R$ 1.000,00 apenas em cédulas de
R$ 100,00. Porém, decide trocá-las apenas por cédulas de R$ 5,00, R$ 20,00 e/ou R$ 50,00. Sabendo-se
que ele deseja receber o maior número possível de notas de R$ 50,00 e que receberá notas dos três valores
considerados, determine o menor número possível de cédulas que Gustavo receberá.
7
Matemática − Álgebra
8
Sistemas Lineares
Nessas condições, podemos supor que Gustavo irá receber x notas de R$ 5,00, y notas de R$ 20,00 e
z notas de R$ 50,00. Desse modo, a relação existente entre as quantidades x, y e z pode ser expressa por
5x + 20y + 50z = 1 000. A essa expressão dá-se o nome de equação linear ou equação do 1o grau com três
incógnitas.
Uma equação linear é uma equação composta exclusivamente de adições e subtrações de termos que são
constantes ou o produto de uma constante e variáveis do primeiro grau, podendo apresentar mais de um
tipo de variável.
Formalmente, dizemos que uma equação linear é toda igualdade indicada por uma expressão do tipo
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b, sendo:
• x1, x2, x3, ..., xn as incógnitas, cujos expoentes devem ser, necessariamente, unitários (1o grau).
• a11, a12, a13, ..., a1n são constantes reais chamadas de coeficientes das incógnitas.
• b é o termo independente da equação.
São equações lineares:
• 2x1 – x2 = 4
• x1 + 3x2 – 2x3 + x4 = 0
• 3x + 2y = 12
• x + 2y + z – 3w = 5
Não são equações lineares:
• x13 – x22 = 7
• 2x1 + 3x1 x2 – 5x3 = 3
• 5x + 2 y = 12
Observações:
• Quando o termo independente da equação linear for nulo (igual a zero), dizemos que a equação linear
é homogênea;
• Equações lineares não apresentam termos mistos (xy, yz, ...).
1
A equação x + y2 + z = 2 é uma equação linear? E a equação
E a equação x . y = 6?
x + y + z = 3?
1.2.1 Solução de uma equação linear
Retomando o problema proposto por Gustavo, podemos atribuir valores a x e a y e, com eles, obter os
correspondentes valores de z, ou vice-versa, conforme exemplos a seguir:
• para x = 30 e y = 20; obtemos z = 9
• para x = 20 e y = 15; obtemos z = 12
• para x = 10 e y = 5; obtemos z = 17
• para x = 2 e y = 2; obtemos z = 19
De fato, essa equação admite várias outras soluções, pois x, y e z podem assumir outros valores que
tornam a igualdade verdadeira.
Neste, caso, cada uma dessas sequências pode ser indicada na forma de uma terna ou tripla ordenada
(x, y, z).
Dizemos, assim, que as ternas (30; 20, 9), (20, 15, 12), (10, 5, 17), (2, 2, 19), entre outras, representam
as possíveis trocas de notas feitas por Gustavo. Logo essas ternas são tidas como soluções da equação
linear 5x + 20y + 50z = 1 000.
Formalmente, dizemos que a solução de uma equação linear é qualquer sequência ordenada, de valores
das incógnitas, que torna verdadeira essa equação.
Matemática − Álgebra
Sistemas Lineares
Assim, uma sequência ordenada ou ênupla de números reais (α1, α2, ..., αn) é solução da equação
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b se, e somente se, a expressão a11α1 + a12α2 + a13α3 + ... + a1nαn = b
for verdadeira.
Desse modo, é importante observarmos que:
• em uma equação linear de n incógnitas, se atribuirmos valores para (n – 1) delas, podemos obter o valor da
restante.
• equações do tipo 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = 0 admitem qualquer solução e são chamadas de equações
indeterminadas.
• equações do tipo 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = b, com b ≠ 0, não admitem solução alguma e são chamadas de
equações impossíveis.
Observe alguns exemplos:
• Seja a equação linear 3x1 + x2 + 2x3 – 3x4 = 7.
É fácil notar que a sequência (–1, 3, 2, –1) é solução da equação, pois 3(–1) + 1(3) + 2(2) –3(–1) = 7
é uma sentença verdadeira. No entanto, se considerarmos a sequência (2, –1, 3, 1), ela não será solução,
pois 3(2) + 1(–1) + 2(3) –3(1) = 7 é falso.
• Seja a equação linear 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0.
Também é fácil notar que qualquer tripla ordenada (α1, α2, α3) é solução desta equação indeterminada.
• Já a equação linear 0x1 + 0x2 + 0x3 = 4 não tem solução, pois nenhuma tripla ordenada (α1, α2, α3) irá
satisfazer a esta equação, o que torna sua solução impossível.
2
3
a)
b)
c)
d)
Considerando a equação linear 3x + 2y = 16, faça o que se pede nos itens a seguir.
Verifique se (2,5) é solução da equação.
Determine a solução da equação para x = –2.
Determine a solução da equação para y = –1.
Indique outra solução para a equação dada, que seja diferente das encontras nos itens b e c.
As soluções da equação linear 20x + 10y = 150 são as mesmas soluções da equação 2x + y = 15? Justifique
sua resposta.
1.3 Sistema de equações lineares
Veremos, a partir de agora que, em muitos casos, as variáveis de um problema obedecerão a mais de uma
condição (equação). Assim, se todas essas equações forem lineares, dizemos, então, que elas constituem
um sistema de equações lineares.
Retornemos à situação-problema 1 com a qual iniciamos este capítulo.
Uma certa loja de materiais esportivos realiza uma promoção, na qual está vendendo, por um mesmo
preço, qualquer par de tênis; por um mesmo preço, qualquer par de meias, e por um mesmo preço,
qualquer tipo de camiseta. Luciana comprou 1 par de tênis, 2 camisetas e 2 pares de meias, gastando
R$ 340,00. Luís comprou 2 pares de tênis, 2 pares de meias e 1 camiseta, gastando R$ 420,00. Patrícia
comprou 3 camisetas, 3 pares de meias e 1 par de tênis, gastando R$ 435,00.
Qual é o preço de cada um desses produtos?
Inicialmente, o problema diz que em sua promoção a loja está vendendo tênis, cujo preço indicaremos
por x, meias, cujo preço indicaremos por y, e camiseta, cujo preço indicaremos por z.
Assim, podemos montar, de acordo com as quantias indicadas no problema, as seguintes equações
lineares:
• Luciana: x + 2y + 2z = 340
• Luís: 2x + y + 2z = 420
• Patrícia: x + 3y + 3z = 435
9
Matemática − Álgebra
10
Sistemas Lineares
Desse modo, podemos observar que neste problema, temos três equações lineares e que, em cada uma
delas, existem três incógnitas distintas. E a este conjunto de três equações com três incógnitas iremos
denominar de sistema linear 3 x 3, o qual podemos indicar por:
 x + 2y + 2z = 340

2x + y + 2z = 420
 x + 3y + 3z = 435






Outros exemplos:
• Considere as funções y = 10 – 3x e y = 2x + 5. Existe um ponto comum aos seus gráficos, representado
pelo par ordenado P(x, y).
Esse ponto comum é a solução do sistema linear 2 x 2, constituído pelas leis de formação destas
funções, mostradas a seguir:
y = 10 – 3x
y = 2x + 5
⇒
3x + y = 10
–2x + y = 5
• Consideremos que num mercado competitivo, o preço p de um produto, a quantidade consumida qc , a
quantidade vendida qv e a renda da população (total) R. Suponhamos que qc = 200 – 2p + 0,05R e que
qv = 30 + p e que ocorre equilíbrio nesse mercado quando qv = qc. Esse equilíbrio pode ser indicado pelo
sistema:
qc = 200 – 2p + 0,05R
qc + 2p – 0,05R = 200
qv = 30 + p
=
30
⇒ qv – p
qv = qc
=
0
qc – qv
o que representa um sistema linear 3 x 4.
Definimos sistema linear como qualquer conjunto “simultâneo” de m equações lineares a n incógnitas
(sistema m x n), como indicado a seguir:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2





am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
De modo particular, se um sistema linear tem quantidade de equações igual à quantidade de incógnitas
(m = n), ele será dito normal.
Observe que, nesta notação, os coeficientes das incógnitas possuem dois índices: o primeiro representa
a equação, e o segundo, a incógnita à qual o coeficiente pertence. Por exemplo:
• a22 representa, na segunda equação, o coeficiente de x2;
• a13 representa, na primeira equação, o coeficiente de x3;
• amn representa, na e-nésima equação, o coeficiente de xn.
Vejamos outros exemplos:
•
2x1 – x2 + 2x3 = 5
⇒ Sistema 2 x 3
x1 + 2x2 + x3 = 15
5x + 2y + 3z = 18
• 2x + y + z = 11
x + y + z = 6
⇒ Sistema normal 3 x 3
Matemática − Álgebra
Sistemas Lineares
x + y + z = 2
3x + y – z = 6
⇒ Sistema 4 x 3
•
x – 2y + z = 11
–x + 2y + 3z = 1
Em nosso estudo, daremos maior ênfase ao casos nos quais o número de equações seja menor ou igual
ao número de incógnitas.
Exemplo 1
Um caminhão de três eixos pode transportar, segundo as normas do CONTRAN, no máximo, 41 500 kg
de carga.
Uma grande empresa do setor atacadista decide enviar, para uma de suas filiais, algumas caixas de um
produto A, embaladas em caixas de 300 kg, e algumas de um produto B, embaladas em caixas de 200 kg,
num total de 150 caixas. De acordo com os dados apresentados, construa o sistema linear que forneça a
quantidade de caixas de cada tipo.
Resolução:
Consideremos que x representa o número de caixas do produto A, e y indica o número de caixas do
produto B.
Além disso, sabemos que a cada caixa do tipo A corresponde a 300 kg, e cada do tipo B, 200 kg. Desse
modo, temos:
x . 300 + y . 200 = 41500 ⇒ 3x + 2y = 415
3x + 2y = 415
∴ O sistema é
x + y = 150
1.3.1 Solução de um sistema linear
Voltando ao exemplo introdutório da unidade (situação-problema 1), podemos notar que a tripla
ordenada (150, 70, 25) é solução do sistema. Além disso, nos outros dois exemplos introdutórios do item
1.3, podemos perceber que P(x, y) = (1, 7) é solução das duas equações do primeiro, e (qc , P, qv, R) =
(230, 10, 230, 1 000) é solução das três equações do segundo.
Podemos, então, formalmente, dizer que uma solução de um sistema linear é toda sequência ordenada
de valores das incógnitas que torna verdadeiras todas as equações do sistema.
Veja alguns exemplos:
x + 2y – z = 2
• A sequência (1, 2, 3) é solução do sistema linear 2x – y + 3z = 9 , pois verifica suas três equações
3x + 3y – 2z = 3
• Já a sequência (–1, 1, 2) não é solução do sistema linear 3x + 2y + 4z = 7 , pois, apesar de verificar a
x + 3z = 2
primeira equação, não verifica a segunda.
Exemplo 2
O sistema
ax + y = 8
x – by = –2 tem por solução a sequência (2, 4). Calcule o valor de E = loga b.
Resolução:
Fazendo as substituições (x = 2 e y = 4), temos:
a(2) + 4 = 8 ⇒ a = 2
2 – b(4) = –2 ⇒ b = 1
E = loga b ⇒ E = log2 1
∴E=0
11
Matemática − Álgebra
12
Sistemas Lineares
1.3.2 Sistemas lineares equivalentes
Se dois sistemas lineares são tais que todas as soluções de um são soluções do outro e vice-versa, eles
serão chamados de sistemas equivalentes (fato indicado por ∼).
Observe:
• Os sistemas
4
3x + 2y = 9
x+y=4
são equivalentes, pois admitem, ambos, a mesma solução (1, 3).
e
x – 2y = –5
3x – y = 0
É possível que dois sistemas sejam equivalentes sem que tenham o mesmo número de
equações?
Em séries anteriores, já estudamos alguns métodos de resolução de sistemas lineares (adição, substituição
e comparação). Porém, neste capítulo, apresentaremos, a seu tempo, um outro método de resolução,
chamado de escalonamento. Até lá, quando necessário, usaremos os métodos já conhecidos.
5
Se dois sistemas são equivalentes, é preciso que cada equação do primeiro seja equivalente
a uma equação do segundo?
1.4 Classificação de um sistema linear
U
m sistema linear m x n pode ser classificado, quanto à sua quantidade de soluções, como:
• sistema possível e determinado (S.P.D.), se ele apresentar solução única;
• sistema possível e indeterminado (S.P.I.), se ele admitir mais de uma solução. Nesse caso, ele apresentará
infinitas soluções;
• sistema impossível (S.I.), se ele não admitir solução.
É importante destacarmos que:
• um sistema que admite alguma solução será dito sistema compatível;
• um sistema que não admite solução será dito sistema incompatível.
Você se lembra...
Nas séries finais do Ensino Fundamental, em algumas oportunidades, trabalhamos com a interpretação
geométrica e classificação de sistemas lineares do tipo 2 x 2.
Num referencial cartesiano, as equações do tipo ax + by = c, com a e b não simultaneamente nulos,
representam retas. Assim, em termos gráficos, resolver um sistema linear de duas equações e duas variáveis
equivale a encontrar as posições relativas às retas que representam essas equações.
Neste tipo de resolução, devemos considerar que uma equação linear com duas incógnitas também pode
corresponder com a lei de formação de uma função de primeiro grau, cujo gráfico é uma reta.
a11 . x1 + a12 . x 2 = b1
Considerando o sistema S = a . x + a . x = b , sob esse ponto de vista, ao representarmos as retas
2
 21 1 22 2
destas equações no plano, teremos três casos a considerar ao classificarmos os sistemas:
1) As retas das equações são concorrentes, ou seja, há um único ponto comum às retas, o par ordenado
(x1, x2). Logo existirá uma única solução para o sistema linear e o classificamos como sistema possível e
determinado (S.P.D.);
Matemática − Álgebra
Sistemas Lineares
2) As retas das equações são paralelas distintas, ou seja, não há nenhum ponto comum às retas e, assim,
não existirá uma solução simultânea para as equações do sistema. Logo, ele será classificado como sistema
impossível (S.I.);
3) As retas das equações são paralelas coincidentes, ou seja, as retas terão infinitos pontos em comum.
Assim, existirão infinitas soluções, e o sistema será classificado como sistema possível e indeterminado
(S.P.I.).
1.5 Sistema linear homogêneo
Denomina-se sistema linear homogêneo a todo sistema linear em que todos os termos independentes são
nulos.
Exemplos de sistemas homogêneos:
x + y + 2z = 0
2x – y = 0
•
• x – y – 3z = 0
x + 3y = 0
x + 4y = 0
6
O sistema linear
x +y–a=0
, nas incógnitas x e y, pode ser homogêneo? Em caso
x – 2y – b = 0
afirmativo, quando isso ocorrerá?
É também importante notarmos que a sequência (0, 0, 0, ..., 0) é, sempre, solução para um sistema
linear homogêneo. A essa solução dá-se o nome de solução trivial ou solução imprópria do referido
sistema.
Observe os exemplos:
•
3x – 4y = 0
– 6x + 8y = 0
O par (0, 0) é solução do sistema.
x + y = 0
• 2x + 2y + 4z = 0
x + y + 3z = 0
A terna (0, 0, 0) é solução do sistema.
Logo todo sistema linear homogêneo é compatível.
13
Matemática − Álgebra
14
Sistemas Lineares
Além da solução trivial, um sistema linear homogêneo pode admitir outras soluções, chamadas soluções
próprias.
3x + y – z = 0
No sistema 6x + y – 2z = 0 , as ternas (0, 0, 0) e (2, 0, 6), dentre outras, são soluções do sistema.
7
Dois sistemas não equivalentes podem admitir alguma solução comum a ambos?
Práxis
Utilizando o software GeoGebra, podemos, através de gráficos, fazer uma análise de um sistema linear.
Vejamos o exemplo a seguir.
 x+y = 7
Resolver o sistema 
.
2x + y = 12
Para construirmos os gráficos e, assim, determinarmos o tipo de classificação do sistema linear utilizando
o GeoGebra, devemos seguir o roteiro a seguir.
• Clicar em exibir Janela de Álgebra e habilitar malha.
• Fixar a escala dos eixos:
– Clicar na região quadriculada com o botão direito do mouse;
– Clicar em janela de visualização;
– Em eixo x, habilitar a caixa de distância (1);
– Em eixo y, habilitar a caixa de distância (1);
– Fechar.
• Digitar na caixa entrada (embaixo na tela) uma das equações do sistema, nas variáveis x e y;
• Uma reta será traçada;
– Clicar no botão inserir texto (1o);
– Digitar a equação referente à reta traçada;
– Se necessário, clicar no botão mover (1o) e arrastar a equação até próximo à reta;
– Repetir os procedimentos para a segunda equação do sistema;
– Clicar no botão interseção de dois objetos (2o);
– Marcar o ponto de interseção das duas retas;
Portanto, o sistema apresenta como solução um único par ordenado (5, 2); logo, é sistema possível e
determinado.
Seguindo o roteiro apresentado no exemplo anterior, faça a atividade para os seguintes itens:
 x + y = 10
a) 
x − y = 4
3x + y = 15
b) 
6x + 2y = 30
2x + y = 8
c) 
2x + y = 5
Matemática − Álgebra
Sistemas Lineares
1.6 Sistema linear escalonado
Dizemos que um sistema linear está na forma escalonada quando, em cada uma de suas linhas, seu
primeiro elemento não nulo estiver situado à esquerda do primeiro elemento não nulo da linha abaixo,
ou seja,
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
0 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2
0 + 0 + a33x3 + ... + a3nxn = b3
 
0 +

0

+

0

  
+ ... + amnxn = bm
Note que, nesse formato, a primeira equação inicia-se pela primeira incógnita, a segunda equação, pela
segunda incógnita, e assim por diante.
O sistema escalonado pode ser visualmente reconhecido pela presença de uma “escada” de zeros à esquerda.
Além disso, num sistema linear escalonado, observamos que:
• em todas as equações, as incógnitas se apresentam numa mesma ordem;
• cada equação apresenta pelo menos um coeficiente, de alguma incógnita, diferente de zero, ou seja, não
nulo;
• de uma equação para outra há um aumento do número de coeficientes nulos antecedendo o primeiro
termo não nulo.
Exemplos de sistemas escalonados:
•
x + 2y – z = 5
3y + z = 2
z = –1
•
3x1 + x2 + 2x3 = 7
x2 – 2x3 = 0
Se, num sistema linear escalonado, a quantidade de equações for menor que a quantidade de incógnitas,
chamaremos de variável livre toda incógnita que não iniciar alguma equação.
Observe os exemplos:
x1 + x2 + x3 = 1
•
3x2 – x3 = 0 ⇒ x3 é variável livre
x+y+z+w=1
z – w = 6 ⇒ y é variável livre
•
3w = 4
•
x+y+z + w=4
3y – z + 2w = 0 ⇒ z e w são variáveis livres
Quando o sistema linear escalonado apresenta mais incógnitas do que equações, é do tipo possível e
indeterminado, pois possui infinitas soluções. O número de variáveis livres de um sistema linear possível
e indeterminado indica o grau de indeterminação do sistema.
Exemplo 3
Verifique quais dos sistemas lineares a seguir estão na forma escalonada e, caso haja, indique as variáveis
livres.
x–y+z+w=4
y+z = 2
c)
a) x + y = 8
3y = 9
y–z+w=1
b) 3x + 2y – z = 3
y + 4z = – 3
d) x + 2z – w = 1
y–w=0
15
Prezado leitor,
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