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Mathe-Treff: Lösungen zu den Knobelaufgaben
für die Klassen 5 und 6
Juni-August 2009
(nach Jonas H. aus Rahden)
Aufgabe 1
2009 im Baumhaus
Ich habe mir als erstes alle Quadratzahlen bis 2009 aufgeschrieben und die Primzahlen bis 2009 aus
dem Internet gesucht. Durch ein bisschen Probieren konnte ich dann zu jeder Aufgabe eine oder
sogar mehrere Lösungen finden:
Ruben: 2009 = 1600 + 400 + 9
Wenn die Quadratzahlen nicht verschieden sein müssen, gibt es ziemlich viele Lösungen, weil z.B.
2009 = 4 + 9 + 25 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 (1971 mal die 1 als Summand schreiben) gilt.
Sarah: z.B.: 2009 = 2025 – 16
Hier gibt es auf jeden Fall unendlich viele Möglichkeiten, auch wenn die Quadratzahlen alle
verschieden sein sollen. Man kann das durch Rückwärtsrechnen herausfinden:
452 = 2025 ist die kleinste Quadratzahl, die größer als 2009 ist; die Differenz beträgt gerade 18.
Zu 2009 kann ich einfach jede Quadratzahl oder auch mehrere Quadratzahlen addieren, um die
Ausgangszahl (selbst Quadratzahl) zu bekommen, von der ich dann subtrahiere: z.B.
2009 + 16 = 2025
also 2009 = 2025 - 16
2009 +1+9+16+81 = 2116
also 2009 = 2116 - 16 - 81 - 9 – 1
Tobias: Ich schreibe erst einmal die 2009 als Produkt mit Primzahlen. 2009 = 7 ⋅ 7 ⋅ 41
Jetzt kann ich zwei verschiedene Kombinationen finden: 2009 = 41 ⋅ 49 = 287 ⋅ 7
Ulrike: Hier habe ich verschiedene Sachen probiert. Erst einmal habe ich von der 2009 kleine
Primzahlen abgezogen, bis ich auf eine Primzahl gestoßen bin. Dann konnte ich die Summe
aufschreiben: z.B.
2009 - 3 - 7 = 1999
also 1999 + 3 + 7 = 2009
2009 - 2 - 3 - 7 = 1997
also 1997 + 2 + 3 + 7 = 2009
Wenn die Primzahlen nicht verschieden sein müssen, kann man auch schreiben:
1999 + 5 + 5 = 2009 oder 1999 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2009
Dann habe ich immer zwei Primzahlen gesucht, die zusammen eine Zahl ergeben, die hinten eine 0
hat und geguckt, ob es noch eine dritte Primzahl mit einer 9 hinten gibt, die dazu passt; z.B.
997 + 3 + 1009 = 2009 oder 1867 + 3 + 139 = 2009 oder 127 + 5 + 1877 = 2009 oder auch
1907 + 97 + 2 + 3 = 2009
Die erste Strategie mit dem Subtrahieren von Primzahlen funktioniert am leichtesten.
Aufgabe 2
Uhr-Ideen
Als erstes habe ich die Zahlen der analogen Uhr addiert:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 78
Dann habe ich das Ergebnis durch 2 geteilt: 78 : 2 = 39
Als nächstes habe ich mir eine Uhr gezeichnet und so geteilt, dass in
jedem der beiden Teile 39 als Summe entsteht:
Dabei habe ich festgestellt, dass es nur diese eine Möglichkeit gibt,
die Uhr in zwei Teile zu zerlegen. Ich habe dann probiert, die Uhr in
drei Teile zu zerlegen: 78 : 3 = 26. Jeder Teil muss also die Summe
26 haben.
Jetzt teile ich die Uhr in sechs Teile:
78 : 6 = 13
Die Teiler der 78 sind 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78. Eine Zerlegung in
andere Teile ist nicht möglich.
Teilung des Ziffernblattes, bei der die Summen der Ziffern gleich groß
sind:
Die Summe der Ziffern ist 51. Teiler von 51 sind 3 und 17. Also teilt
man in drei Teile. Der eine Strich geht mitten durch die 12.
Nun zur Teilung der Uhrzeitanzeige mit römischen Zahlzeichen:
Jetzt ergibt die Summe der Zahlzeichen:
I+(I+I)+(I+I+I)+(I+V)+V+(V+I)+(V+I+I)+(V+I+I+I)+(I+X)+X+(X+I)+(X+I+I) =
1 + 2 + 3 + 6 + 5 + 6 + 7 + 8 + 11 + 10 + 11 + 12 = 82 Die Teiler von 82
sind 41 und 2. Also kann man nur probieren, das Ziffernblatt in zwei Teile
zu teilen.
Aufgabe 3
Muffins
Personenzahl
1,5
3
3
1
1
Minuten
1,5
1,5
3
3
1
7
1
7
10
In 10 Minuten essen 7 Kinder also 46
Anzahl der Muffins
1,5
3
6
2
2
3
2
4
3
2
46
3
2
Muffins, also muss die Mutter 47 Muffins backen.
3
Für 40 Muffins braucht die Mutter 60 Minuten. Die Zeitangabe ist aber nicht eindeutig zu ermitteln,
weil nach dem Bilde mehr als 10 Muffins in den Backofen geschoben werden können. Für die
restlichen 7 Muffins ist dies auch ein Problem, weil man ausrechnen könnte, wie viel Zeit sie für einen
Muffin braucht und dann das Ergebnis mit 7 multiplizieren. Aber das macht meiner Meinung nach
wenig Sinn, denn die Mutter backt die Muffins ja nicht einzeln. Sie wird den Teig für die 7 Muffins
gleichzeitig rühren und die Muffins kommen auch gleichzeitig in den Ofen. Deshalb wird sie für die 7
Muffins auch etwa 15 Minuten brauchen. Dann kommt man auf eine Gesamtzeit von 75 Minuten, also
1 Stunde und 15 Minuten.
Die Mutter kann in dieser Zeit auch einfach 50 Muffins backen und 3 selbst essen.
(Anmerkung der Redaktion: Eine akzeptable Lösung! Babettes Mutter wird wahrscheinlich in
kürzerer Zeit fertig, wenn sie mehr als zehn Muffins gleichzeitig in den Ofen schiebt. Der Zeitbedarf
ist hier nicht eindeutig zu ermitteln; die Begründung des Rechenweges ist das Wesentliche.)