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Proposta de Resolução do Exame de Matemática Aplicada às Ciências Sociais – 11º ano – 2015 (2ª Fase) 1. Divisor padrão =
Filiais
Quota
Padrão
𝐿 𝐿 + 1 Distribuição
dos
convites
!""!!"#!!"#!!"# !""
= 9,65
A
B
C
D
300 ∶ 9,65 = 31,088
560 ∶ 9,65 = 58,031
830 ∶ 9,65 = 86,010
240 ∶ 9,65 = 24,870
58 58 + 1 = 58,498
86 86 + 1 = 86,499
24 24 + 1 = 24,495
31 31 + 1 = 31,496
31
58
86
25
De acordo com o método descrito, a filial A recebe 31 convites, a filial B 58 convites, a filial C 86
convites e a filial D 25 convites.
2.
2.1. O grafo seguinte modela a situação:
Para a alternativa 1, passar pela cidade A e só depois pela
cidade E:
Para a alternativa 2, passar pela cidade D antes de passar pela cidade B:
Assim, para a alternativa 1 temos dois percursos, CBAEDC e CDAEBC, e para a alternativa 2 temos
dois percursos, CDAEBC e CDEABC. O Sr. Pereira não tem razão pois ambas as alternativas
permitem definir dois percursos.
2.2. Em 12 dias do mês de abril a quantia gasta em portagens foi inferior a 10 euros.
A frequência relativa acumulada da classe [5, 10[ é de 30%. Como novembro tem 30 dias resulta
que em 9 dias de novembro (30 x 0,3) a quantia gasta em portagens foi inferior a 10 euros.
O Sr. Pereira não tem razão pois em abril são 12 dias e em novembro são 9 dias.
2.3. Considerando a distribuição normal 𝑁(𝜇, 𝜎) e observando o gráfico, resulta:
𝑃(𝑋 > 𝜇 + 2𝜎) = 1 − 𝑃(𝜇 − 2𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 2𝜎) : 2 = 1 − 0,9545 : 2 = 0,02275 ≈ 2,28%
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1 3.
Sócios
Distribuição
temporária dos
bens
David
Frota de automóveis
45 pontos
Sócio B
Tomás
Frota de motos
Avião
25 + 50 = 75 pontos
Sócio A
Como o total de pontos da distribuição temporária dos bens não é igual, utilizamos a frota de motos
pois é o bem que apresenta a menor diferença de pontos atribuídos.
Sócios
Total final de
pontos
David (Sócio B)
Tomás (Sócio A)
45 + 20x
75 – 25x
Como os pontos deverão ser iguais nos dois sócios, temos:
45 + 20𝑥 = 75 − 25𝑥 ⇔ 20𝑥 + 25𝑥 = 75 − 45 ⇔ 45𝑥 = 30 ⇔ 𝑥 =
30
2
⇔𝑥=
45
3
!
Pontos atribuídos ao David: 45 + 20 × ≈ 58,33 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠
!
!
Pontos atribuídos ao Tomás: 75 − 25 × ≈ 58,33 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠
!
!
David fica com a frota de automóveis e da frota de motos enquanto que o Tomás deverá ficar com o
!
! avião e da frota de motos.
!
4.
4.1. Para t = 1 resulta
Para t = 7 resulta
𝐶 1 = 5,1 − 3 log!" 1 + 0,1 ≈ 4,98 euros
𝐶 7 = 5,1 − 3 log!" 7 + 0,1 ≈ 2,55 euros
Como C(7) – C(1) = 2,55 – 4,98 = –2,43 tem-se que a desvalorização de cada ação foi
de 2,43 euros.
4.2. Para t = 2 resulta
!
!
𝐶 2 = 5,1 − 3 log!" 2 + 0,1 ≈ 4,13 euros
𝐶 2 ≈ 1,38
Considerando na calculadora gráfica 𝑦! = 5,1 − 3 log!" 𝑥 + 0,1 e consultando a tabela de valores
seguinte,
𝑥
16
17
18
𝑦!
1,4795
1,401
1,327
1,38
verifica-se que foi durante 17 dias de negociações que a cotação de cada ação foi superior ao valor
indicado.
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2 5.
5.1.
Representando por
R – o serviço inclui transporte rodoviário;
A – o serviço inclui transporte aéreo.
P (R) = 87%
P (A) = 45%
87 + 45 = 132%
P (R∩A) = 32%
P (R∩𝐴) = 87 – 32 = 55%
P (A∩𝑅) = 45 – 32 = 13%
P (R∩𝐴) + P(A∩𝑅) = 55 + 13 = 68%
A probabilidade de, escolhido um serviço ao acaso, este ter sido efetuado recorrendo apenas a
um dos tipos de transporte é de 68%.
5.2.
Seja R – a mercadoria foi transportada por meio rodoviário;
C – a mercadoria chega ao destino no prazo estabelecido.
Considerando a probabilidade total P(C) = 0,778 resulta
0,78×0,80 + 0,22×𝑥 = 0,778
⇔ 0,624 + 0,22𝑥 = 0,778
⇔ 0,22𝑥 = 0,778 − 0,624
⇔ 0,22𝑥 = 0,154
⇔ 𝑥 = 0,154: 0,22
⇔ 𝑥 = 0,7
A probabilidade pedida será 𝑃 𝑅 𝐶 ) = © Edições ASA, Testes e Exame MACS, 2015
! (!∩!)
!(!)
=
!,!!×!,!"
!,!!"
≈ 0,20 = 20%
3 5.3.
Seja R – nos serviços marcados, é utilizado o transporte rodoviário
P(R) = 0,8
P(𝑅) = 1 – 0,8 = 0,2
A marcação dos três serviços em que exatamente dois deles utilizam o transporte rodoviário
poderá ser:
R
R
𝑅
ou
R
R
𝑅
ou
Assim, a probabilidade será 3 × 0,8 × 0,8 × 0,2 = 0,384 = 38,4%
5.4.
Para 𝑛 = 40 , 𝑥 = 6 , 𝑠 = 0,5 e ainda para um nível de confiança de 95% resulta Z = 1,960
A margem de erro de um intervalo de confiança a 95% para o atraso médio, em horas, da entrega
de todas as mercadorias transportadas pela empresa é de:
𝐸 = 𝑥 + 𝑧 © Edições ASA, Testes e Exame MACS, 2015
𝑠
𝑛
= 1,960 0,5
40
≈ 0,155
4