Propriedade das cevianas e algumas consequências

Propriedade das cevianas e algumas consequências imediatas.
Professor: Isaac Pimentel.
Assunto: Teorema de Menelaus-Ceva.
Teorema de Menelaus.
Três pontos distintos, um cada reta suporte dos segmentos de um triângulo, serão colineares, se, e somente se:
       1 , onde a medida de um segmento AB é representada por: m AB .
 
m  BP  m  CP  m  AP 
P
m CP 3 m AP 2 m BP 1
3
2
1
1
A
P1
A
P2
P3
B
P2
B
C
C
Demonstração.
 .
(Se os três pontos distintos, um em cada reta suporte são colineares, então vale a relação.)
Trace por C, uma reta r paralela a AB .
P3
r
P1
A
r P1
A
P2
M
M
P3
B
P3
B
C
   m CM   m  MP  .
m  BP  m  BP  m  P P 
m  P P  m  AP  m  AP 


2) Dos triângulos semelhantes P AP e CP M:
.
m  MP  m  CM  m  CP 
m  CP  m  CM 
m  CP  .m  BP 

 m  CM  
3) Da proporção (1)
.
m  BP  m  BP 
m  BP 
m  AP  m  AP 
m  CP  .m  AP 

 m  CM  
4) Da proporção (2)
.
m  CM  m  CP 
m  AP 
m  CP  .m  AP  .m  BP 
 1.
5) Dividindo (1) por (2), membro a membro:
m  BP  .m  CP  .m  AP 
1) Dos triângulos semelhantes CMP3 e BP1P3:
m CP3
3
3
1
1
2
C
1
3
1
1
3
2
2
3
2
3
3
3
1
1
2
1
3
1
2
2
2
3
2
1
3
2
1
MATCONC – MATEMÁTICA E CONCURSOS
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P2
  .
(Se vale a relação, então os três pontos distintos nas retas suportes de cada segmento são colineares.)
       1.
m  BP  m  CP  m  AP 
m CP3 m AP2 m BP1
Três pontos distintos, um cada reta suporte, são tais que:
3
2
1
Vamos tomar, dois pontos, P2 ' e P2 , com P2 colinear com P1 e P3 , tais que a relação seja verdadeira, então:
             1 , cancelando os termos equivalentes de cada lado da
m  BP  m  CP '  m  AP  m  BP  m  CP  m  AP 
m  AP '  m  AP 

igualdade,
, como o P  AC e o ponto divisor de um segmento numa razão dada é único, então P '  P .
m  CP '  m  CP 
m CP3 m AP2 ' m BP1 m CP3 m AP2 m BP1
3
2
1
2
2
2
2
3
2
1
2
2
2
(cqd)
Teorema de Ceva.
Ceviana: Reta determinada pelo vértice e um ponto pertencente à reta suporte do lado oposto, num triângulo.
(Se as cevianas se encontram num único ponto, então vale a relação.)
As cevianas de um triângulo se encontram em um único ponto, se, e
A
somente se
       1.
m  CP  m  BP  m  AP 
m AP2 m CP1 m BP3
2
P3
1
3
Demonstração.
 .
P2
(Se as cevianas se encontram num único ponto, então vale a relação.)
O
  m  BO  m  AP   1 .
m  BP  m  OP  m  AC 
m  BP  m OP  m  AC 
 1.
2) Por Menelaus, no triângulo BAP :
C
P
m  AP  m  BO  m CP 
m  CP  m  BO  m  AP  m  BP  m  OP  m  AC 
 1 , resulta em:
Multiplicando, membro a membro, (1) e (2):
m  BP  m  OP  m  AC  m  AP  m  BO  m  CP 
m  AP  m  CP  m  BP 
 1.
3)
m  CP  m  BP  m  AP 
m CP1
1) Por Menelaus no triângulo BCP2:
B
2
1
2
3
2
2
1
3
1
2
1
2
1
3
2
1
3
3
2
2
2
3
2
  .
(Se vale a relação, então as cevianas se encontram num único ponto.)
Retomando (1), observa-se que a relação de Menelaus, para o triângulo BCP2, é feita com as cevianas BP2 e AP1 , valendo a
relação
    m  AC   1 .
m  CP  m  BO  m  AP 
m BP1 m OP2
1
2
Retomando (2), observa-se que a relação de Menelaus, para o triângulo BAP2, é feita com as cevianas BP2 e CP3 , valendo a
  m  BO'  m CP   1 , supondo que tenham um ponto comum O’.
m  BP  m  O' P  m  AC 
m  BP  m  OP  m  AC  m  AP  m  BO'  m  CP 
 1.
Multiplicando (1), (2) e cancelando m  AC  : 4)
m  CP  m  BO  m  AP  m  BP  m  O' P  m  AC 
m  AP  m  CP  m  BP  m  OP  m  BO' 
1
Reordenando (4):
m  BP  m  AP  m  CP  m  BO  m  O' P 
m  OP  m  BO'
m  OP  m  O' P 
1

Ou seja:
, mas B, O, O’ e P , são colineares, e o ponto que divide um
m  BO  m  O' P 
m  BO
m  BO'
relação
m AP3
2
3
2
1
2
1
3
2
1
3
2
1
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
segmento numa razão dada é único, portanto, O  O' .
(cqd).
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O Baricentro, o incentro e o ortocentro.
O Baricentro é o ponto comum às três medianas do triângulo.
 Mediana é o segmento que vai do vértice ao ponto médio do lado oposto, no triângulo.
 Baricentro é o ponto comum às medianas do triângulo.
A
Considerações.



 


 

M2
Prova.
Por ceva e pelas considerações acima:
O
       1.
m  CM  m  BM  m  AM 
m AM2 m CM1 m BM3
2
1
3
(cqp)
B
M1
C
O incentro é o ponto comum às três bissetrizes do triângulo.
 Bissetriz é o segmento que vai do vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo do vértice de origem ao meio.
 Incentro é o ponto comum às bissetrizes do triângulo.
Considerações.
Pela propriedade da bissetriz:
A
   m  BA  .
m  CP  m  AC 
m  CP  m  CB 

2)
.
m  AP  m  BA 
m  AP  m  AC 

3)
.
m  BP  m  CB 
1)
m BP1
1
P3
P2
2
O
2
3
3
B
P1
C
Prova.
Multiplicando (1), (2) e (3), membro a membro:
       m  BA  m CB  m  AC  .
m  CP  m  AP  m  BP  m  AC  m  BA  m  CB 
m BP1 m CP 2 m AP3
1
2
3
Observe que é possível cancelar todos os termos do 2º membro da igualdade, então:
       1.
m  CP  m  AP  m  BP 
m BP1 m CP 2 m AP3
1


m AM3  m BM3 ;m AM2  m CM2 ;m BM1  m CM1 .
M3
2
3
(cqp).
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O ortocentro é o ponto comum às três alturas do triângulo.
 Altura é o segmento que vai do vértice ao lado oposto formando um ângulo reto com o lado oposto.
 Ortocentro é o ponto comum às alturas do triângulo.
A
Considerações.
1) Os triângulos AOP2 e BOP1 são semelhantes, ou seja:
   m  AO  .
m  BP  m  BO 
m AP2
P3
1
2) Os triângulos AOP3 e COP1 são semelhantes, ou seja:
P2
O
   m  AO  .
m  CP  m  CO 
m AP3
1
3) Os triângulos BOP3 e COP1 são semelhantes, ou seja:
B
P1
   m  BO  .
m  CP  m  CO 
m BP3
C
2
Prova.
Multiplicando (1), o inverso de (2) e (3), membro a membro:
  m CP  m  BP   m  AO  m CO  m  BO   m  AP  m CP  m  BP   1 .
m  BP  m  AP  m  CP  m  BO  m  AO  m  CO 
m  CP  m  BP  m  AP 
m AP2
1
3
2
1
3
1
3
2
2
1
3
(cqp).
Razão de divisão do baricentro.
O baricentro divide cada mediana na razão de 1 para 2.
A
Considerações.
Pelo conceito de mediana.
M3
 
 
 
2) m  AC   2m  AM   2m  CM  ;
3) m  BC   2m  BM   2m  CM  .
M2
1) m AB  2m AM3  2m BM3 ;
O
B
M1
2
2
1
1
C
Prova.
  m  AO  m BM   1  m AO   1  m AO  2m OM .
 
 
m  AM  m OM  m BC 
2m OM 
m  CM  m  BO  m  AM 
m  BO 
1
 1  m  BO   2m  OM  .
Para o triângulo BCM , por (2) e (3):
m  BM  m  OM  m  AC 
2m  OM 
m  BM  m  CO  m  AM 
m  CO 
1
 1  m  CO   2m  OM  .
Para o triângulo BCM , por (1) e (3):
m  CM  m  OM  m  AB 
2m  OM 
Para o triângulo ACM1, por (2) e (3):
m CM 2
1
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
3
3
3
1
3
3
(cqp).
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