WS 11/12 Das Minimalpolynom - Die ganze Welt ist Mathematik
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WS 11/12 Das Minimalpolynom - Die ganze Welt ist Mathematik
'DV0LQLPDOSRO\QRP :6 Das Minimalpolynom In diesem kurzen Artikel wollen wir das Minimalpolynom definieren und einige Beispiele dazu durchrechnen und uns anschauen, wie man das Minimalpolynom eines Endomorphismus bzw. einer Matrix bestimmen kann. Definition: Sei A ∈ M n ,n ( K ) . Das Minimalpolynom mA ∈ K [ x] ist das normierte (höchster Koeffizient ist 1) Polynom kleinsten Grades mit mA ( A) = 0 . Sei f ∈ K [ x] ein weiteres Polynom mit f ( A) = 0 . Daraus folgt, dass das Minimalpolynom das Polynom f teilt, d.h. mA | f . Insbesondere: Für das charakteristische Polynom PA gilt nach dem Satz von Cayley-Hamilton PA ( A) = 0 . Daraus folgt nun, dass mA | PA . Weiter gilt PA | mA n , d.h. insbesondere, dass mA und PA dieselben irreduziblen Faktoren besitzen. Beispiele: Beispiel 1: −1 2 2 Gegeben sei die Matrix A = 2 −1 −2 . Wir wollen das Minimalpolynom bestimmen. −2 2 3 Dazu bestimmen wir zunächst das charakteristische Polynom: 2 2 −1 − x PA = det( A − xE3 ) = det 2 −1 − x −2 Die Regel von Sarrus [Alternative: Entwickeln −2 2 3 − x nach gewissen Zeilen oder Spalten] liefert: (−1 − x)²(3 − x) + 8 + 8 + 4(−1 − x) + 4(−1 − x) − 4(3 − x) = (−1 − x)²(3 − x) + 16 + 8(−1 − x) − 4(3 − x) = (−1 − x)²(3 − x) + 16 − 8 − 8 x − 12 + 4 x = (1 + x)²(3 − x) − 4( x + 1) = ( x + 1)((1 + x)(3 − x) − 4) = ( x + 1)(− x ² + 2 x + 3 − 4) = ( x + 1)(− x ² + 2 x − 1) = −( x + 1)( x − 1)² Es gibt jetzt zwei Möglichkeiten für das charakteristische Polynom. Zum einen ist mA = ( x + 1)( x − 1)² und zum anderen mA = ( x + 1)( x − 1) = x ² − 1 möglich. Hier hilft nichts, es einfach auszurechnen. Wir beginnen natürlich mit mA ( A) = ( A + 1)( A − 1) = A² − 1 , denn mA ( A) = ( A + 1)( A − 1)² = PA ( A) = 0 gilt nach CayleyHamilton sowieso. Wir berechnen zunächst −1 2 2 −1 2 2 1 0 0 A² = 2 −1 −2 2 −1 −2 = 0 1 0 . Es gilt also −2 2 3 −2 2 3 0 0 1 0 0 1 0 = 0 . Also ist das Minimalpolynom gegeben durch 0 1 1 0 0 1 A² − E = 0 1 0 − 0 0 0 1 0 mA = ( x + 1)( x − 1) = x ² − 1 . Beispiel 2: 0 1 0 0 0 0 1 0 Wir betrachten nun die Matrix B = . 0 0 0 1 0 0 0 0 Das charakteristische Polynom können wir direkt ablesen, da sich eine obere Dreiecksmatrix ergibt. Wir erhalten PB = det( B − x • E4 ) = x 4 . Für das Minimalpolynom gibt es nun vier Möglichkeiten mA = x, mA = x ², mA = x ³, mA = x 4 . Die erste Möglichkeit scheidet aber schon mal aus, da B ≠ 0 . Auch hier müssen wir wieder rechnen: 0 0 B² = B • B = 0 0 1 0 0 0 0 0 B³ = 0 0 1 0 ≠0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 10 00 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 = 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 Also ist mA = x 4 . Beispiel 3: 1 7 9 5 0 2 3 2 Betrachte wir nun noch C = . Hier lesen wir das charakteristische Polynom zu 0 0 3 1 0 0 0 4 Pc = (1 − x)(2 − x)(3 − x)(4 − x) direkt ab. Damit muss das Minimalpolynom durch mC = (1 − x)(2 − x)(3 − x)(4 − x) gegeben sein. Beispiel 4: Jetzt spielen wir das Spielchen mal anders rum. D.h. wir geben ein Minimalpolynom vor und wollen dazu eine Matrix angeben, die das erfüllt. Gib zum Minimalpolynom mD = x ³ ein Minimalpolynom an. 0 0 Hier orientieren wir uns an Beispiel 2 und erhalten sofort die Matrix D := 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 . 0 0 Beispiel 5: Gib zum Minimalpolynom mE = x ² eine Matrix an, die das erfüllt. 0 1 0 1 0 0 haben m = x ² als , E= Die beiden Matrizen E = E 0 1 0 0 0 Minimalpolynom. Beispiel 6: Sei P die Darstellungsmatrix bzgl. der Standardbasis der orthogonalen Projektion von V = ℝ n auf U , wobei 0 < u < V ein Untervektorraum ist. Wir wollen das Minimalpolynom dieser Matrix P bestimmen. Darstellungsmatrizen orthogonaler Projektionen sind insbesondere idempotent, d.h. P ² = P ⇔ P ² − P = 0 . Also ist das charakteristische Polynom gegeben durch mP = x ² − x = x( x − 1) . Es kann nicht x oder x − 1 sein, denn mP ≠ x , da P ≠ 0 ( U > 0 ) und mP ≠ x − 1 , da P ≠ E ( V > 0 ). Außerdem besitzt eine darstellende Matrix einer orthogonalen Projektion nur die Eigenwerte 0 und 1. Sei S eine Spiegelungsmatrix. Das Minimalpolynom ist gegeben durch mS = x ² − 1 = ( x + 1)( x − 1) , denn eine Spiegelungsmatrix ist selbstinvers, d.h. S ² = E ⇔ S ² − E = 0 . Außerdem muss mS = x ² − 1 = ( x + 1)( x − 1) das Minimalpolynom sein, da sowohl 1 als auch -1 Eigenwerte einer Spiegelung sind.