Capítulo 5 CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
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Capítulo 5 CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
Capítulo 5 CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE 5.1- Análise concentrada Gradientes de temperatura no sólido são desprezíveis Balanço de energia no sólido Exemplo: dE at = E! e − E! s + E! g dt Sem geração de calor. Não tem calor entrando E% a = − E% s t ≤ 0 T=Ti, t→∞ T=T∞ T=T(t) T∞< Ti dT dt $ !#! " ρc∀ taxa variação energia armazenada =− hAs (T − T∞ ) $!# ! !" ! Calor perdido por convecção 1 Definindo, θ ≡ T − T∞ ⇒ dθ dT = dt dt ρ cV dθ = −θ hAs dt Utilizando separação de variáveis e integrando de t=0 (θ =θ i ): ⇒ θ ∫ θi dθ hAs =− θ ρ c∀ t ∫ dt ⇒ lnθ − lnθ i =− 0 hAs ρ cV θ i t⇒ ln = t ρ c∀ hAs θ - ' hA * 0 θ T − T∞ ⇒ = = exp /− ) s , t 2 θ i Ti − T∞ . ( ρ cV + 1 !"# 1 τt φ ρ cV Def.: τ t ≡ = Rt ! hAs Resist. Capacidade térmica ! Ct θ ⎡ t ⎤ = Φ = exp⎢− ⎥ θi ⎣ τt ⎦ convecção Calor transferido num tempo t*: Q = ∫ qdt = hA ∫ θdt t* 0 θ/θi t* s 0 . ( −t +1 ⇒ Q = ρcVθ i 01− exp* -3 ) τ t ,2 / 0 t 2 - Validade do método - Vamos analisar um problema simples: parede plana, regime permanente balanço de calor na superfície: qcond=qconv qcond Ts1 kA (Ts1 − Ts2 ) = hA(Ts2 − T∞ ) L T −T L /kA Rcond hL ⇒ s1 s 2 = = = = Bi Ts 2 − T∞ 1/hA Rconv k ⇒ Rcond << Rconv → Bi << 1 qconv a Ts2 b c Ts2 Ts2 - Neste caso é razoável desprezar os gradientes de temperatura. € - A condição para a utilização do método é: Bi=hLc/k < 0,1, onde Lc é um comprimento característico (p.ex. V/A) - Indicar qualitativamente quais os valores de Bi das curvas da figura 3 -Adimensionalização da equação para a distribuição de temperaturas hAst ht hL k t hLc αt = = c = = BiFo ρcV ρcLc k ρc L2c k L2c Bi ⇒ Fo θ T − T∞ = = exp(−BiFo) θ i Ti − T∞ Significado físico dos adimensionais: € Bi → razão entre resistência térmica à condução e resistência térmica à convecção Fo → tempo adimensional. Fornece uma medida da eficiência relativa com a qual um sólido conduz e armazena energia térmica (qcond~kL2ΔT/L, Ea ~ρcL3∆T/t) 4 5.2 - Análise concentrada generalizada - Quando ocorrem outras fontes de transferência de calor, além da convecção. Por exemplo: radiação, geração de calor. Tviz Balanço de calor no sólido: q”rad q”s € A E˙ g , E˙ a dT q ''s + E˙ g − (q ''conv + q ''rad ) A = ρcV dt q”conv dT q ''s + E˙ g − ( h(T − T∞ ) + εσ (T 4 − Tviz4 )) A = ρcV dt € Esta eq. só tem solução exata em casos particulares 5 Exemplo: Uma junção de termopar esférica é usada para medir a temperatura numa corrente de gás. O coeficiente de convecção entre a junção e o gás é 400 W/m2K. A condutividade térmica é 20 W/mK, o calor específico 400 J/kgK e a densidade vale 8500 kg/m3. Calcule o diâmetro necessário para que o termopar tenha a constante de tempo de 1s. Se a junção está a 25 0C e o gás a 200 0C, quanto tempo levará para que a junção chegue a 199 0C? Efeito de Seebeck: junção de 2 metais gera tensão elétrica, que é função da temperatura gás Ti=25 0C 6 5.3 - Efeitos de espaço § quando os gradientes de temperatura não são desprezíveis Balanço de energia dE at = E! e − E! s + E! g dt ∂T = ∇ • (k ∇ T ) + q! ∂t -Parede plana sem geração de calor: ρ cp ∂T ∂ ⎛ ∂T⎞ ∂ ⎛ ∂T⎞ ∂ ⎛ ∂T⎞ ⎜⎜ k ⎟⎟ + ⎜⎜ k ⎟⎟ + ⎜⎜ k ⎟⎟ + qq!" ρ cp = ! ∂ t ∂ x⎝ ∂ x⎠ ∂ y⎝ ∂ y⎠ ∂ z⎝ ∂ z⎠ &#% # #$ # zero -condutividade térmica constante: -disfusivade térmica: α = k ρ cp &#% # #$ # zero zero 1 ∂T ∂2T = α ∂t ∂ x2 7 Exemplo: Parede plana Parede isolada ρ, cp, k x L h T∞ 1 ∂T ∂2T = α ∂t ∂ x2 Condição inicial: placa com temperatura uniforme Ti CI : T ( x ,0) = Ti Condição de contorno: ⎧ ∂T =0 ⎪ ∂x x=0 ⎪ CC : ⎨ ⎪ ∂T = h (T ( L , t ) − T∞ ) ⎪− k ∂x x = L ⎩ solução analítica ou numérica ⇒ T = T (x, t , Ti , T∞ , L, k , α , h ) 8 -Adimensionalização do problema: limita os valores das variáveis, generaliza o problema e reduz o número de parâmetros θ* ≡ θ T − T∞ = θ i Ti − T∞ x* ≡ x L t* ≡ αt = Fo 2 L ∂ 2θ * ∂θ * ⇒ *2 = ∂x ∂Fo CI : θ * (x * ,0) = 1 ) ∂θ * =0 + * + ∂x x * = 0 CC : * + ∂θ * * * = − Bi θ (1,t ) + ∂x * * = hL / k , x =1 ⇒ θ * = θ * ( x * ,Fo,Bi ) 9 Ø Parede plana com convecção § Tipicamente a solução da equação é na forma de séries infinitas. L x T(x,0)=Ti T∞≠Ti ∂ 2θ * ∂θ * = * 2 ∂Fo ∂x CI : θ * ( x * ,0 ) = 1 ⎧ ∂θ * =0 ⎪ * ⎪ ∂x x* = 0 ⎪ CC : ⎨ ⎪ ∂θ * ⎪ = − Biθ * (1, t * ) ⎪⎩ ∂x * x* =1 T∞,h - Solução exata: separação de variáveis ∂ τ ∂ 2X τ = X ∂Fo ∂x * 2 dividindo por Xτ θ * = X ( x * )τ ( Fo ) 1 ∂ 2X 1∂ τ = = − λ2 X ∂x * 2 τ ∂Fo 10 dτ τ = − λ2 d Fo ⇒ τ = A exp(− λ2 L Fo ) T(x,0)=Ti T∞≠Ti d2X + λ2 X = 0 ⇒ X = B1 cos( λx * ) + B2 sin( λx * ) d x* 2 ( θ * = exp(− λ2 t ) C1 cos( λx * ) + C 2 sin( λx * ) d θ* ( = exp( − λ2 t )λ − C1 sin( λx * ) + C 2 cos( λx * ) d x* C.C (1) C.C (2) ∂θ * ∂x * x* = 0 ∂θ * ∂x * λ tan( λ ) = Bi x ) T∞,h ) = 0 ⇒ C2 = 0 x* =1 = − Biθ * (1, t * ) ⇒ − λC1 sin( λ ) = − Bi C1 cos( λ ) λn= autovalor λn tan( λn ) = Bi 11 ∞ Solução exata C.I. θ * ( x * ,0 ) θ * = ∑ C n cos( λn x * ) exp(− λ2n Fo ) n =0 =1 ∞ θ * = ∑ C n cos( λn x * ) = 1 n=0 1 Usando a propriedade de autofunções ortogonais * ∫ cos( λn x ) dx Cn = 0 1 2 * ∫ cos ( λn x ) dx Cn = 4 sin λn 2λn + sin( 2λn ) 0 λn= autovalor λn tan( λn ) = Bi 12 Solução aproximada (válida para Fo>0,2): somente primeiro termo da série θ * = C1 cos( λ1 x * ) exp(− λ12 Fo ) Calor total transferido para/da parede Ee - Es = ! ! =0 =Q ΔE a ! = E(t) - E(0) ⇒ Q = − (E ( t ) − E ( 0 ) ) = − ∫ ρc (T ( x , t ) − Ti )d∀ Def : Q0 = ρc∀(Ti − T∞ ) Para propriedades constantes (T ( x , t ) − Ti ) d∀ 1 Q = ∫− = ∫ 1 − θ * d∀ Q0 Ti − T∞ ∀ ∀ ( sin λ1 * Q ⇒ =1− θ0 Q0 λ1 ) 13 -Sistemas radiais - Solução exata: Cilindro infinito R 1 ∂ 2 r*θ * ∂θ * = * *2 r ∂r ∂Fo CI : θ * (r* ,0) = 1 % ∂θ * ' * ' ∂r CC : & * ' ∂θ ' ∂r * ( T(r,0)=Ti T∞≠Ti =0 r* = 0 * * = − Bi θ (1,t ) x * =1 = hR / k Solução exata : ∞ θ * = ∑ Cn exp(−ξ n2 Fo) J 0 (ξ n r* ) r n=1 T∞,h Cn = J0 e J1 = funções de Bessel J1 (ξ n ) 1 2ξ n J 02 (ξ n ) + J12 (ξ n ) ξ n são os autovalores de ξn J1 (ξ n ) = Bi J 0 (ξ n ) 14 Solução aproximada (válida para Fo>0,2): θ * = C1 exp(−ξ12 Fo) J 0 (ξ1r* ) = θ 0* J 0 (ξ1r* ) θ 0* = C1 exp(−ξ12 Fo) € 15 -Sistemas radiais 1 ∂ 2 r *2θ * ∂θ * = r *2 ∂ r *2 ∂ Fo CI : θ * (r *, 0) = 1 "∂θ * $ * $ ∂r CC : # $∂θ * $ ∂ r* % - Solução exata: Esferas =0 r* =0 r* =1 * * = − Bi ! θ (1, t ) =hR/k Solução exata: ∞ θ = ∑ Cn exp (−ξ n2 Fo) * n=1 1 * sin ξ r ( ) n ξnr* ()sin (ξ n ) − ξ n cos (ξ n )*+ Cn = 2ξ n − sin ( 2ξ n ) Solução aproximada (Fo>0,2): θ * = θ 0* ξ n são os autovalores de 1-ξ n cot (ξ n ) =Bi 1 sin(ξ1r* ) * ξ1r θ 0* = C1 exp(−ξ12 Fo) 16 17 - Gráficos da temperatura adimensional para paredes planas 18 - Gráficos da temperatura adimensional para paredes planas 19 - Gráfico do fluxo de calor adimensional para paredes planas 20 - Gráficos da temperatura adimensional para cilindro infinito 21 - Gráficos da temperatura adimensional para cilindro infinito 22 - Gráfico do fluxo de calor adimensional para cilindro infinito 23 5.4 - Sólido semi-infinito T(x,0)=Ti Superfície a TS T∞,h q”s Ts Ts t Ti x T∞ Ts t t Ti Ti x x 24 -Equação de condução de calor: Três tipos de condições de contorno ∂ 2T 1 ∂T = 2 ∂x α ∂t CI : T(x,0) = Ti CC : T(x → ∞,t) = Ti ' )T(0,t) = T0 )) ∂T x = 0(−k = q "0 ) ∂x ) ∂T )*−k ∂x = h(T∞ − T) 25 € -Solução para o caso com CC de temperatura constante: • método da similaridade • transforma a eq. diferencial parcial em 1 eq. diferencial ordinária. • Assumindo que T=T(x,t)=T(η), onde a seguinte transformação existe para η≡x/(4α t)1/2 ∂T ∂T ∂η ∂T ∂ t 1 dT = + = ∂ x ∂η ∂ x ∂ t ! ∂ x (4α t )1 / 2 dη =0 ∂ 2T ∂ ⎛∂ T ⎞ ∂ η 1 d 2T ⎜⎜ ⎟⎟ = = 2 (4α t ) dη 2 ∂η ∂ x ∂ x ∂ x ⎝ ⎠ ∂ T ∂T ∂ η ∂T ∂ t x dT = + =− 1/2 ∂ t ∂η ∂ t ! ∂t ∂ t 2 t ( 4α t ) dη =0 substituindo na eq. de condução de calor, e usando separação de variáveis chega-se a: d 2T ∂T = −2η ∂η dη 2 T ( 0 ) = T0 T (η → ∞ ) = Ti 26 -Solução para o caso com CC de temperatura constante: • método da similaridade • transforma a eq. diferencial parcial em 1 eq. diferencial ordinária. • Assumindo que T=T(x,t)=T(η), onde a seguinte transformação existe para η≡x/ (4α t)1/2 ∂T ∂T ∂η ∂T ∂ t 1 dT ∂η 1 = = + = ∂ x (4α t )1 / 2 ∂ x ∂η ∂ x ∂ t ! ∂ x (4α t )1 / 2 dη =0 2T ∂ ∂ ⎛∂ T ⎞ ∂ η 1 d 2T ⎜⎜ ⎟⎟ = = 2 ∂η ⎝ ∂ x ⎠ ∂ x (4α t ) dη 2 ∂ x ∂ T ∂T ∂ η = ∂t ∂η ∂ t =− η 2 d 2T = x 2 dη 2 ∂η η x =− =− ∂t 2t 2 t (4α t )1 / 2 η dT 2 t dη 2 d 2T 2T η ∂ 1 ∂ T 1 ⎛ η dT ⎞ substituindo na ⎟⎟ = ⇒ = ⎜⎜ − 2 α ∂t x 2 dη 2 α ⎝ 2 t dη ⎠ equação de condução ∂x de calor d 2T dT = −2 η dη dη 2 27 d 2T ∂T = −2η ∂η dη 2 T ( 0 ) = T0 Podemos resolver a equação pelo método de separação de variáveis: d (dT / dη ) = −2ηdη dT / dη T (η → ∞ ) = Ti integrando ln (dT / dη ) = −η 2 + C1' dT = C1 exp − η 2 ⇒ T = C1 ∫0η exp − u 2 du + C 2 dη ( Usando as CC: ) ( ) C 2 = T0 C1 = T − T0 ⇒ = Ti − T0 Ti − T0 T − T0 = 2 i ∞ 2 π ∫0 exp − u du 2 π ( ) ( ) η 2 ∫0 exp − u du ≡ erf (η ) #"! função erro 28 Fluxo calor na superfície q "s = − k ∂T ∂x = − k (Ti − T0 ) x =0 k (Ti − T0 ) 2 π ( ) d (erf (η ) ) dη dη dx η = 0 exp − η 2 (4αt )−1 / 2 η =0 k (Ti − T0 ) ⇒ q "s = (παt )1 / 2 29 Exemplo Na instalação de uma tubulação em regiões frias, deve-se observar a possibilidade de congelamento. Obtenha uma estimativa para a profundidade mínima xm para evitar o congelamento, considerando que inicialmente o solo está a 20 0C e a temperatura da superfície é -15 0C por 60 dias. Ts=-150C Ti=200C xm Propriedades do solo (a 300K): ρ=2050kg/m3, α=0,138x10-6 m2/s k=0,52 W/mK, c=1840 J/kgK T(xm,60dias)=00C 30 Influência de α: 20 20 α=10-7 1,38x10-7 3x10-7 T(0C) 10 5 dias T(0C) 20 dias 30 dias 10 60 dias 0 -15 0 0 20 40 t(dias) 60 -15 x 31 5.5 - Efeitos multi-dimensionais: - Princípio da superposição Exemplo: cilindro curto t = 0 : T = Ti $ % ⇒ T = T(r,x,t) T∞ ≠ Ti & 1 ∂ ) ∂T , ∂ 2T 1 ∂T ⇒ +r . + 2 = r ∂r * ∂ r - ∂x α ∂t T(r,x,t) − T∞ T(x,t) − T∞ T(r,t) − T∞ = • Ti − T∞ Ti − T∞ parede Ti − T∞ cilindro plana infinito solução 1 -D solução 1 -D € 32 Outros exemplos: 33 5.6-Método de diferenças finitas para problemas multi-dimensionais transientes 1 ∂T ∂ 2T ∂ 2T = 2+ 2 α ∂t ∂ x ∂y 1. Método explícito - usar diferenças centrais para o espaço, e no tempo: t = p Δt € n. passos passo tempo tempo p+1 p Tm,n − Tm,n ∂T ≈ ∂t m,n Δt p+1 p p p p p p p − Tm,n Tm+1,n + Tm−1,n − 2Tm,n Tm,n 1 Tm,n +1 + Tm,n−1 − 2Tm,n = + 2 2 α Δt Δx ( ) (Δy ) Para Δx = Δy, p+1 p p p p p Tm,n = Fo (Tm+1,n + Tm−1,n + Tm,n +1 + Tm,n−1 ) + (1− 4Fo )Tm,n Fo = αΔt 2 (Δx) 34 • Observa-se que Tpm,n é função apenas das temperaturas vizinhasnos tempos anteriores • A precisão da solução aumenta para menores ∆x e ∆t • A escolha de ∆t depende de condições de estabilidade de solução. • A estabilidade requer a escolha de valores de ∆t abaixo de um • valor crítico, relacionado ao coeficiente associado ao termo Tpm,n. • Para o exemplo anterior, a condição de estabilidade requer que (1-4Fo)≥0⇒Fo≤1/4 • As equações discretizadas também podem ser obtidas a partir de um balanço de calor 35 2. Método implícito -Tp+1m,n depende dos valores de temperatura conhecidos -O método é sempre estável⇒não tem restrições para ∆t ou ∆x -A equação discretizada fica: p+1 p p* p* p+1 p* p* p+1 − Tm,n Tm+1,n + Tm−1,n − 2Tm,n Tm,n 1 Tm,n +1 + Tm,n−1 − 2Tm,n = + 2 2 α Δt (Δx) (Δy ) p * = p ou p + 1 Para Δx = Δy, p+1 p* p* p* p* p = Fo (Tm+1,n + Tm−1,n + Tm,n (1+ 4Fo)Tm,n +1 + Tm,n−1 ) + Tm,n Fo = αΔt 2 (Δx) - As equações são resolvidas simultaneamente usando o Método 36 € iterativo de Gauss Seidel