Capítulo I Séries Numéricas

Capítulo I
Séries Numéricas
2
Capitulo I – Séries
1. SÉRIES NÚMERICAS
DEFINIÇÃO 1
Sendo u1 , u2 ,..., un ,... uma sucessão numérica, chama-se série numérica de termo geral un à
expressão
u1  u2  ...  un  ...
que habitualmente se escreve

u
n 1

n
ou simplesmente
u
n 1
n
Para determinar a soma de uma série, usa-se a chamada sucessão de somas parciais.
DEFINIÇÃO 2
Associada a uma série, existe a sucessão de somas parciais definida por
s1  u1
s2  u1  u2
s3  u1  u2  u3
.
.
.
sn  u1  u2  u3  ...  un .
DEFINIÇÃO 3

Uma série
u
n 1
n
quanto à sua natureza, pode ser convergente ou divergente.
Será Convergente se a sucessão das somas parciais a ela associada for convergente, e isto
sucede quando lim Sn for um valor finito e determinado. Será Divergente se a sucessão das
n 
somas parciais a ela associada for divergente, e isto sucede quando lim Sn for um valor
n 
infinito ou indeterminado.
No caso da série ser convergente, o valor de lim Sn é a soma da série.
n 
No caso da série ser divergente, não existe soma da série, como é obvio.
Análise Matemática II
Curso de Engª Electromecânica
3
Capitulo I – Séries
₪ EXEMPLO 1

Dada a série
1
 n(n  1) , determine a sua natureza e, caso seja convergente, calcule a sua
n 1
soma.
RESOLUÇÃO:
A Sucessão associada à série é:
1
2
1 1
s2  
2 6
1 1 1
s3   
2 6 12
1 1 1 1
s4    
2 6 12 20
..................................
1 1 1 1
1
sn      ... 
2 6 12 20
n  n  1
s1 
Efectuando as operações acima indicadas, obtemos:
1
2
2
s2 
3
3
s3 
4
4
s4 
5
..................................
n
sn 
n 1
s1 
Vejamos então se existe e é finito o lim Sn .
n 
n
 1.
n  n  1
lim Sn  lim
n 
Como o lim Sn existe e é finito, podemos afirmar que a série é convergente e portanto é
n 
possível determinar a sua soma que será o valor do lim Sn , ou seja 1.
n 
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4
Capitulo I – Séries
₪ EXEMPLO 2

Dada a série
 n , determine a sua natureza e, caso seja possível, determine a sua soma.
n 1
RESOLUÇÃO:
A Sucessão associada à série é:
s1  1
s2  1  2
s3  1  2  3
s4  1  2  3  4
..................................
sn  1  2  3  4  ...  n
Efectuando as operações acima indicadas, obtemos:
s1  1
s2  3
s3  6
s4  10
..................................
 soma dos n primeiros termos de uma p. a. 
n 1

sn  n
u

u


1
n
2 
n


2

n2  n
  .
n 
2
Vejamos então se existe e é finito o lim Sn .Temos: lim Sn  lim
n 
n 
Então, podemos afirmar que a série é divergente e que não é possível determinar a sua soma .
₪ EXEMPLO 3

Dada a série
1
2
n 1
n
Análise Matemática II
, determine a sua natureza e, caso seja possível, determine a sua soma.
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5
Capitulo I – Séries
RESOLUÇÃO:
A Sucessão associada à série é:
1
2
1 1
s2   2
2 2
1 1 1
s3   2  3
2 2 2
1 1 1 1
s4   2  3  4
2 2 2 2
..................................
s1 


1 1 1  Soma dos n primeiros termos 
 n. 

1 1 1 1
1
sn   2  3  4  ...  n  2 2 2  de uma progressão geometrica 
1
2 2 2 2
2


1
2  de razão 1


2

1
1
 n 1
Vejamos então se existe e é finito o lim Sn .Temos: lim S n  lim 2 2  1 .
n 
n 
n 
1
2
Então, podemos afirmar que a série é convergente e que a sua soma é lim Sn , ou seja 1 .
n 
₪ EXEMPLO 4

Dada a série
2
n
, determine a sua natureza e, caso seja possível, determine a sua soma.
n 1
RESOLUÇÃO:
A Sucessão associada à série é:
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Capitulo I – Séries
s1  2
s2  2  22
s3  2  22  23
s4  2  22  23  24
..................................
 Soma dos n primeiros termos 

2  2n.2 
sn  2  2  2  2  ...  2 
de uma progressão geometrica 

1 2 

 de razão 2

2
3
4
n


Vejamos então se existe e é finito o lim Sn .Temos: lim Sn  lim 2n 1  2   .
n 
n 
n 
Então, podemos afirmar que a série é divergente e que por isso não é possível calcular a sua
soma.
1.1 ALGUMAS PROPRIEDADES DAS SÉRIES

Se duas séries
u
n 1

n
e
v
n
n 1

i)
convergem e têm somas respectivamente U e V, então:

  un  vn  , soma de  un
n 1

v
e
n 1
ii)   ,

 u
n 1
n
n 1
u
n 1
, converge e tem soma U+V.
, converge e tem soma  U.

Se a série
n

n
for convergente e a série
b
n 1
n

for divergente, a soma de
u
n 1
n
e
 

,
b

n    un  bn   , é divergente.
n 1
 n 1



Se duas séries
 an e
n 1

 bn divergem,
n 1



n 1
n 1
n 1
  an  bn  , soma de  an e  bn , pode não
divergir.
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7
Capitulo I – Séries
1.2 EXEMPLOS DE ALGUMAS SÉRIES
1.2.1 SÉRIE GEOMÉTRICA

u
Chama-se Série geométrica a
n 0
n
, onde un é uma progressão geométrica. A série
geométrica representa-se, habitualmente, por:

 ar
n
n 0
A Sucessão associada à série é:
s1  a
s2  a  ar
s3  a  ar  ar 2
s4  a  ar  ar 2  ar 3
..................................
sn  a  ar  ar 2  ar 3  ...  ar n
Vê-se facilmente que S n é a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de
a  ar n r a 1  r

1 r
1 r
n 1
razão r , que será portanto: Sn 
.
Para identificar a natureza da série, teremos que analisar o lim Sn , que depende de r.
n 
Vejamos:
i)
ii)
iii)
iv)
Se r  1, temos lim Sn  lim
n 
a 1  r n 1 
n 
r  1, temos lim Sn  lim
n 
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1 r
a 1  r n 1 
n 
r  1, temos lim Sn  lim
n 
1 r
n 
r  1, temos lim Sn  lim
n 
a 1  r n 1 
n 
1 r

a
1 r
 
a 1   1
2

 
n 1
  não existe.
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Capitulo I – Séries

 ar
Concluímos então que a série geométrica
n
é convergente se e só se r  1 e neste caso
n 0
a sua soma é S 
a
.
1 r
₪ EXEMPLO 5

a) Determine a natureza da série
2
3
n 1
n 1
.
b) Determine, caso seja possível a sua soma.
RESOLUÇÃO
Podemos usar dois métodos:
1º método:
a) Usando as propriedades das séries, temos:


2
1
2  1
=
2



 . Ora,
n 1
n
3 n 1 3n
n 1 3
n 1 3 3

1
3
n 1
n
é uma série geométrica de razão
1
 1 , logo
3
convergente.
b) A soma de uma série geométrica de razão r e cujo primeiro termo é a, é
a
. No nosso
1 r
1
1
1
caso, teremos então a soma da série  n igual a 3  . Como a série que nos é dada é
1 2
n 1 3
1
3
2 1 1
2  1
, a sua soma será   .

n
3 2 3
3 n 1 3

2º Método:
a) A Sucessão associada à série é:
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9
Capitulo I – Séries
2
32
2 2
s2  2  3
3 3
2 2 2
s3  2  3  4
3 3 3
..................................
2 2 2
2
sn  2  3  4  ...  n 1
3 3 3
3
s1 
Ora, S n nada mais é do que a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de
2
2 1
2
2 1
 n 1 
 n 1 
2
2
1
3
3 . Calculemos lim S : lim S  lim 3 3
3 1 (
razão . Então S n  3
n
n
n

n

n

1
1
3
3
1
1
3
3
valor finito) logo, a série é convergente.
2
2 1
 n 1 
2
3
3 1.
b) A sua soma será: lim Sn  lim 3
n 
n 
1
3
1
3
1.2.2 .SÉRIE DE DIRICHLET OU SÉRIE DE RIEMMAN
Chama-se série de Dirichlet à série

1
 n .
n 1
Esta série é uma série divergente, se   1 e convergente se   1 .
Se   1 , a série toma o nome de série harmónica.
₪ EXEMPLO 6

Determine a natureza da série
n 1
Análise Matemática II
1
n
3
.
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10
Capitulo I – Séries
RESOLUÇÃO
A série dada é convergente, pois é uma série de Dirichlet, com   3   1 .
1.2.3 SÉRIE DE MENGOLI OU SÉRIE TELESCÓPICA

Consideremos a série
a
n 1
n
.
Se for possível decompor o termo geral numa diferença tal que an  un  un p , à série

 u
n 1
n
 un  p  dá-se o nome de Série de Mengoli ou Série Telescópica.

A série de Mengoli
 u
n 1
n
 un  p  será convergente se a sucessão un  o for, ou seja se
lim un  k , sendo k um valor finito e determinado. Neste caso a soma da série será dada por:
n 
s  u1  u2  ...  u p  p lim un .
n
₪ EXEMPLO 7

Determine a soma da série
1
  n  1 n  2 .
n 1
RESOLUÇÃO
Vamos tentar decompor o termo geral numa subtracção de duas fracções, usando a seguinte
regra:
“Na primeira fracção colocamos todos os factores do denominador da fracção original menos o
último e na segunda colocamos todos os factores do denominador da fracção original menos o
primeiro”.
1
 n  1 n  2 
Análise Matemática II

A
B

 n  1  n  2 
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11
Capitulo I – Séries
Deste modo, vem:
1  A(n  2)  A(n  1) , logo A  1 e B  1 . Então:

1


1

1

1
  n  1 n  2 =    n  1   n  2 
1
Ora,


1

1
1


   n  1   n  2  nada mais é do que uma série de Mengolli, onde p=1.

Já sabemos que uma série de Mengolli é convergente se a sucessão un  for. Neste caso
1
=0, logo a sucessão un  é convergente e a soma da
n   n  1
concreto temos lim un = lim
n 
série dada será então:
u1  1. lim
n 
1
1
 .
n 1 2
₪ EXEMPLO 8

Caso seja possível, determine a soma da série
1
 n  n  3 n  6
, n  1.
n 1
RESOLUÇÃO
Vamos tentar decompor o termo geral numa subtracção de duas fracções, usando a seguinte
regra:
“Na primeira fracção colocamos todos os factores do denominador da fracção original menos o
último e na segunda colocamos todos os factores do denominador da fracção original menos o
primeiro”.
1
A
B


n  n  3 n  6  n  n  3  n  3 n  6 
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12
Capitulo I – Séries
Deste modo, vem:
1  A(n  6 )  Bn , logo A 
1
1
e B  . Temos então:
6
6
1
1




1
1  n  1 n  2 = 1  n  n6 3   n  36 n  6  






1
1




6
6

Ora,  
 nada mais é do que uma série de Mengolli, onde p=3.
 n  3 n  6  
1  n  n  3



Já sabemos que uma série de Mengolli é convergente se a sucessão un  for. Neste caso
1
6
concreto temos lim un = lim
=0, logo a sucessão un  é convergente e a soma da
n 
n  n  n  3 
série dada será então:
1
n  n  n  3
u1  u2  u3  3. lim
ou seja
1 
1 1
6 6
6 
 1  1  1 0


 4 10 18 
1.3. CONDIÇÃO NECESSÁRIA DE CONVERGÊNCIA DE UMA SÉRIE

A Condição necessária para que a série
u
n 1
n
seja convergente é que lim un  0 . Isto
n 
significa que:
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13
Capitulo I – Séries

u
Dada a série
n 1
n
, se:
lim un  0 , a série é divergente
n 
lim un  0 , a série poderá ser convergente ou divergente
n 
₪ EXEMPLO 9
5n 2  3
.

2
n 1 6n  1

Determine a natureza da série
RESOLUÇÃO
Calculemos lim un .
n 
5n2  3 5
  0.
n  6n 2  1
6
lim un  lim
n 
Uma vez que não obedece à condição necessária de convergência podemos afirmar que a série
é divergente.
₪ EXEMPLO 10

Determine a natureza da série
1
n.
n 1
RESOLUÇÃO
Calculemos lim un .
n 
lim un  lim
n 
n 
1
0.
n

Nada podemos concluir pela análise do termo geral. Mas,
1
n
é a série harmónica, de que já
n 1
se falou anteriormente e já se afirmou ser divergente.
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14
Capitulo I – Séries
1.4 SOMA OU SUBTRACÇÃO DE UM NÚMERO FINITO DE TERMOS A UMA
SÉRIE
Não se altera a natureza de uma série, somando-lhe ou subtraindo-lhe um número finito de
termos.
₪ EXEMPLO 11

Determinar a natureza da série 1+2+3+
1
2
n 1
n
.
RESOLUÇÃO

Consideremos apenas a série
1
2
n 1
n
. É uma série geométrica de razão r 
1
 1 , logo
2
convergente.
1
1
A soma da série  n é 2  1 .
1
n 1 2
1
2

Adicionando a este valor os restantes termos da série dada, ou seja 1, 2 e 3, vamos obter

1+1+2+3=7 , um valor finito. Podemos então dizer que a série 1+2+3+
1
2
n 1
n
também é
convergente.
1.5 CONVERGÊNCIA DE SÉRIES DE TERMOS NÃO NEGATIVOS
Vamos em seguida estudar vários critérios de convergência de séries. Consideraremos apenas
séries de termos não negativos, ou seja séries de termos nulos ou positivos.
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15
Capitulo I – Séries
1.5.1.CRITÉRIO GERAL DE COMPARAÇÃO
(1º CRITÉRIO DE COMPARAÇÃO)
Se, para qualquer n  N , se tem 0  an  bn ,

i)
Se
 bn é convergente,
n 1

ii)
Se
a
n 1

a
n 1
n
também é convergente.

n
é divergente,
b
n 1
n
também é divergente
iii)
1.5.2 COROLÁRIO DO CRITÉRIO GERAL DE COMPARAÇÃO
( 2º CRITÉRIO DE COMPARAÇÃO)
Sejam as séries S1 

 an
n 1

e S2   bn
n 1
an
 k  0,  , as séries são da mesma natureza.
n  b
n
i)
Se lim
ii)
Se lim
iii)
Se lim
an
 0 , e se a série bn é convergente, também a série S1 é convergente.
n  b
n
an
  , e se a série bn é divergente, também a série S1 é divergente.
n  b
n
Para se aplicar o critério geral de comparação assim como o seu corolário, é necessário
relacionar a série dada com qualquer outra série da qual se conheça a natureza. As séries que
se utilizam habitualmente para fazer essa comparação são as Séries Geométricas, Séries de
Mengoli e Séries de Dirichlet, já anteriormente mencionadas.
₪ EXEMPLO 12

Estude a natureza da série
5
n.
n 1
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16
Capitulo I – Séries
RESOLUÇÃO
Sabemos que:
1 5
 e que a série
n n

1
n
(série harmónica) é divergente. Então, aplicando o
n 1
critério geral de comparação( 1º critério de comparação) , podemos imediatamente concluir

que
5
n
também é divergente.
n 1
₪ EXEMPLO 13

Estude a natureza da série
n
n 1
2
1
.
3
RESOLUÇÃO
Sabemos que
1
1
 2 . Conhecemos também a natureza da série
2
n 3 n
de Dirichlet com   2 , por isso convergente. Então,

n
n 1
2

1
n
n 1
2
que é uma série
1
convergente.
3
₪ EXEMPLO 14

Determine a natureza da série
n
n2
3
1
.
ln 2 n
RESOLUÇÃO

Sabemos que
1
n
n2
3
é convergente pois é uma série de Dirichlet com   3 .
1
2
Como lim n ln n  0 ,pelo corolário do critério geral de comparação concluimos que a
n 
1
n3

1
série  3 2 é também convergente.
n  2 n ln n
3
₪ EXEMPLO 15

Determine a natureza da série
Análise Matemática II
3un
, sabendo que a série

n 1 2  un

u
n 1
n
é convergente.
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17
Capitulo I – Séries
RESOLUÇÃO

Se a série
u
n 1
n
é convergente, então obrigatóriamente lim un  0 ( pela cond. nec. de
n 
convergência) .Usando o corolário do critério geral de comparação, temos que :
3un
2  un
3
3
lim
 lim
  0, 
n 
n

un
2  un 2
Sendo assim, as séries são da mesma natureza, logo convergentes.
1.5.3 CRITÉRIO DA RAZÃO OU CRITÉRIO DE D´ALEMBERT

Consideremos a série
u
n 1
lim
n 
un 1
un
n
, de termos não negativos. Se:



1,
un e´convergente


n 1




1,
un e´divergente


n 1





1
,
un e´divergente


n

1

 1 , nada se pode concluir

O critério de D´Alembert está especialmente indicado quando no termo geral da série
aparecem factoriais, potências ou produtos sucessivos.
₪ EXEMPLO 16

Determine a natureza da série
1.3.5...( 2n  3 )
 2.4.6...( 2n  2 ) .
n 1
Análise Matemática II
Curso de Engª Electromecânica
18
Capitulo I – Séries
RESOLUÇÃO
No termo geral da série estão presentes produtos sucessivos, estando portanto indicada a
utilização do critério de D´Alembert. Temos então:
1.3.5... 2n  5 
2.4.6... 2n  4 
u
2n  5
lim n 1  lim
 lim
 1
n  u
n  1.3.5... 2n  3 
n  2n  4
Logo, a série é Divergente.
n
2.4.6... 2n  2 
₪ EXEMPLO 17
Determine a natureza das séries dadas abaixo, aplicando o critério de D´Alembert.

3n
a) 
n 1 n!

b)
n2
  n  1 !
n 1
 3n  !
2
n 1  n! 

c)

RESOLUÇÃO
a) Aplicando o critério de D´Alembert temos:
un 1
3n 1
n!
3
 lim
 n  lim
 0  1.
n  u
n   n  1 !
n  n  1
3
n
lim
Logo, a série dada é convergente.
b) Aplicando o critério de D´Alembert temos:
n3
 n  2  !  lim n  3   n  1 !  lim n  3  0  1
u
lim n 1  lim
2
n  u
n 
n   n  2  !
n 
n2
n2
 n  2
n
 n  1 !
Logo, a série dada é convergente.
Análise Matemática II
Curso de Engª Electromecânica
19
Capitulo I – Séries
c) Aplicando o critério de D´Alembert temos:
3  n  1  !  n! 
 3n  1 3n  2  3n  3  
un 1
 lim 

 lim
2
n  u
n 
 n  1 n  1
 n  1 !   3n  ! n
n
2
lim
Logo, a série dada é divergente.
1.5.4. CRITÉRIO DA RAIZ

Consideremos a série
u
n 1
n
, de termos não negativos. Se:



1,
un e´convergente


n 1




1,
un e´divergente


n 1




 1 ,  un e´divergente
n 1


 1 , nada se pode concluir

lim n un
n 
O critério da raiz está especialmente indicado nos casos em que todos os factores do termo
geral estão elevados pelo menos ao expoente n.
₪ EXEMPLO 18

Determine a natureza da série

n 1
1
 n  1
n
.
RESOLUÇÃO
Aplicando o critério da raiz, temos:
lim n un  lim n
n 

Logo, a série

n 1
n 
1
 n  1
Análise Matemática II
n
1
 n  1
n
 1
 lim n 
n  
  n  1
n

1
 0 1
  lim
n  n  1


é convergente.
Curso de Engª Electromecânica
20
Capitulo I – Séries
₪ EXEMPLO 19
2n
 3n 2 
Determine a natureza da série   2
 .
n 1  8n  9 

RESOLUÇÃO
Aplicando o critério da raiz, temos:
 3n2 
lim un  lim n  2

n 
n 
 8n  9 
2n
n
2
 3n2 
9
3
 lim  2
  
1

n  8n  9
 8  64


2
Logo, a série é convergente.
₪ EXEMPLO 20
n2
 n 
Determine a natureza da série  
 .
n 1  n  3 

RESOLUÇÃO
Aplicando o critério da raiz, temos:
n
 n 
lim n un  lim n 

n 
n 
 n3
n2


 1  1
 n 
 lim 

  1
  nlim
n  n  3

e


 1 3 
 n
n
Logo, a série é convergente.
1.5.5.CRITÉRIO DO INTEGRAL
Seja f: 1,   uma função Contínua e Decrescente onde para cada n   ,
un  f  n  .

A série de termo geral un e o integral
 f  x
dx são da mesma natureza.
1
Análise Matemática II
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21
Capitulo I – Séries
 OBSERVAÇÃO 1

Este critério permite concluir que a série de Dirichlet
1
1 n e o integral

1
 x
dx são da
1
mesma natureza.
₪ EXEMPLO 21
Estude a natureza das séries abaixo, recorrendo ao critério do integral.

a)

1
 4n
b)
2
1

1
1
2n  1
RESOLUÇÃO
a)
1
. Esta função é continua e decrescente em
4 x2
Consideremos a função f  x  

1, , então a série  1 2 é da mesma natureza que o integral
1 4n

1
 4x
2
dx . Vejamos então
1
qual é a natureza do integral:

1
1
 1  1
dx  lim   
1 4 x2 dx  lim
t   4 x 2
t  4 x
 1 4
1
t
t

O integral é convergente e então, pelo critério do integral, concluimos que a série
1
 4n
2
1
também é convergente.
b) Consideremos a função f  x  

então a série
1
. Esta função é contínua e decrescente em 1, ,
2x 1
1
é da mesma natureza que o integral
2n  1

1

Vejamos então qual é a natureza do integral

1


1
Análise Matemática II


1
1
dx .
2x 1
1
dx
2x 1
t
t
1
1
1
dx  lim 
dx  lim  2 x  1 2   

t 
t  
1
2x 1
2x 1
1
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22
Capitulo I – Séries

O integral é divergente e então, pelo critério do integral, concluímos que a série

1
1
2n  1
também é divergente.
1.6 SÉRIES ALTERNADAS
DEFINIÇÃO 4
Chama-se série alternada a toda a série cujos termos são alternadamente positivos e
negativos. A sua forma é

  1
n 1
Por exemplo, 
n
un , u n  0 .

1 2 3 4
n
n
, e
    ...    1
2 3 4 5
n 1
n 1

cos n 
 n  1n  3
são
séries
n 1
alternadas.
Para fazer o estudo da convergência deste tipo de séries é muito útil o critério de Leibniz, que
diz o seguinte:
1.6.1 CRITÉRIO DE LEIBNIZ
   1

Dada a série alternada
n
n 1

un , un  0 , se un for decrescente e se lim  un   0 ,
n
então a série é convergente.
₪ EXEMPLO 22

Determinar a natureza da série

n 1
 1
n
n 1
.
RESOLUÇÃO:

A série dada é uma série harmónica alternada

n 1
 1
n
n 1
. Pelo critério de Leibniz, podemos
afirmar que é convergente, pois :
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23
Capitulo I – Séries
1
1

n 1 n
1
b )lim  0
n  n
a)
₪ EXEMPLO 23

Verifique se a série

n 1
 1
n
3n
é convergentes ou divergente.
4n  1
RESOLUÇÃO
É uma série alternada, por isso, para estudar a sua natureza, vamos recorrer ao critério de
3n
3


  0 .
Leibniz. Verificamos que a 2ª condição deste não é satisfeita, ou seja  lim
n  4n  1
4


Então, por este critério, nada podemos concluir. Mas, se recorrermos à condição necessária de
convergência, vemos que
 1
lim
n 
n
3n
4n  1
não existe, logo a série é divergente.
1.6.2 CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA SIMPLES

Consideremos as séries
 un e
n 1

u
n 1
n
.
TEOREMA 1

Se
 un converge também
n 1

u
n 1
n
converge.
DEFINIÇÃO 5

Se uma série
 un e a série dos seus módulos,
n 1

u
n 1
n
, são ambas convergentes, a série

u
n 1
n
diz-se ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE.
Análise Matemática II
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24
Capitulo I – Séries
DEFINIÇÃO 6

u
Se a série dos módulos,
n 1

, é divergente e a série
n
u
n 1

n
é convergente, a série
u
n 1
n
diz-se SIMPLESMENTE CONVERGENTE.
₪ EXEMPLO 24
Verifique se as séries são absolutamente convergentes, ou simplesmente convergentes

a)

 1
n 1
n

b)
n

n 1
 1
n
n3
RESOLUÇÃO
a) Vamos analisar a série dos módulos:

Sabemos que

 1
Vamos ver se

1
e já vimos que esta série é divergente ( série harmónica).
n 1 n

n
n 1

n

 1
n 1
n
é convergente ou divergente, aplicando o critério de Leibniz. Ora,
n
1
1
1

,  un1  un  , então
lim  0 e un é decrescente pois
n  n
n 1 n

convergente. Podemos então concluir que

n 1

dos módulos diverge e

n 1
 1
n
 1
n


n 1
 1
n
n
é
n
é simplesmente convergente, pois a série
n
converge.
b) Vamos analisar a série dos módulos:

Sabemos que

 1
n 1
n
3
n

1
. Esta série é convergente (série de Dirichlet com   1 .
3
n 1 n

Como a série dos módulos é convergente, pelo teorema 1.7.2.1, podemos afirmar que a série
dada é convergente.
Análise Matemática II
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25
Capitulo I – Séries


Conclusão: A série
 1
n3
n 1
n
é absolutamente convergente, pois tanto a série dos módulos
como ela própria são convergentes.
 OBSERVAÇÃO 2
Série Absolutamente Convergente  Série Convergente.
MAS A RECÍPROCA NÃO É VERDADEIRA
1.7. CRITÉRIO DA RAIZ E CRITÉRIO DE D´ALEMBERT PARA SÉRIES DE
TERMOS POSITIVOS E NEGATIVOS
1.7.1CRITÉRIO DA RAIZ

Consideremos a série
u
n 1
n
, de termos positivos e negativos, mas não alternada. Se:

 1,


lim n un  1
n 


 


u
n 1
n
e´absolutamente convergente

u
n 1
e´divergente
n

u
n 1
n
e´divergente
1.7.2.CRITÉRIO DE D´ALEMBERT

Consideremos a série
u
n 1
Análise Matemática II
n
, de termos positivos e negativos, mas não alternada. Se:
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26
Capitulo I – Séries
lim
n 
un 1
un



1,
un e´ absolutamente convergente


n 1




1,
un e´divergente


n

1



 ,  un e´divergente
n 1

ESTRATÉGIAS NA ESCOLHA DO CRITÉRIO A EFECTUAR PARA DETERMINAR A NATUREZA DE
UMA SÉRIE
Foram expostos aqui vários critérios para determinar a natureza de uma série. A destreza em
escolher e aplicar os vários critérios, consegue-se apenas com a prática. A seguir serão
apresentados um conjunto de procedimentos para escolher um critério adequado.
A estratégia deverá ser a seguinte:
1) O n-ésimo termo da série tende a zero? Se não tende, a série é divergente
(Condição necessária de convergência)
2) A série é uma série conhecida? ( geométrica, Mengolli, Dirichlet)
3) É uma série alternada?
4) Pode-se comparar com uma das séries conhecidas?
5) Pode-se aplicar o critério de D´Alembert, da raiz ou do integral?
Aplicando as estratégias para determinar a natureza das séries, determine a convergência ou
divergência das séries abaixo:
n 1
a) 
n 1 5n  3


e)
  1
n
n 1
3
5n  3
 
b)   
n 1  5 


f)

c)
 nen

2
d)
n 1

n!
5
n 1
n
g)
n
 n 1 
  5n  3 
1
 5n  3
n 1
n
n 1
Solução
a) Condição nec. de Convergência:
lim
n
n 1 1
 0,
5n  3 5
logo a série é Divergente
b) Série geométrica: razão menor que 1, logo convergente.
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27
Capitulo I – Séries
c) Critério do Integral. Série convergente
d) Teste de Comparação: Comparar com a série harmónica:
 1 

 1
lim  5n  3    0,  ,
n
1
5


 n 
logo as
séries são da mesma natureza, por isso, divergentes.
e) Série alternada(analisar a série dos módulos, que é div. E em seguida aplicar o
critério de Leibniz), concluindo finalmente que é Convergente.
f)
Critério de D´Alembert (o termo geral tem factoriais). Divergente.
g) Critério da raiz ( o termo geral está elevado ao expoente n). Convergente.
 EXERCÍCIOS I
1 – Determine a sucessão das somas parciais e, caso seja possível, a soma de cada uma das
seguintes séries:

a)
 1
n 

n 1
  2

b)
2

n
c)
n 1

 n 
 ln  n  1 
d)
n 1

2 - Considere a série numérica
C
2
n2
n
4
5 n

e)
n 1
1
1 
  n  n  1 
n 1
.
a) Mostre que é convergente qualquer que seja o valor da constante C 
.
b) Determine o valor da constante C de modo que a série tenha por soma 1.

3 – a) Verifique se
  x3n  5 x n  
n2
x2  2 x
, para x  1
x2 1

b) Considere
u
n 1
n
uma série geométrica de razão
1
com a  \ 0 . Sabendo
1  a2
que a soma da série é 1, calcule o termo geral da série.

4 – Diga para que valores de a e b as séries

n 1

5n
 b  1
n
e
  a  1
n
são convergentes e
n 1
calcule a soma de cada uma das séries para os valores encontrados.
Análise Matemática II
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28
Capitulo I – Séries
5 – Usando as propriedades das séries, determine, caso seja possível, a natureza das séries
abaixo:
 1  3 n 
a)   n    

 2  
n 1  3

 1

2
 n 


 n  1 n  2  
n 1  2

b)
 1

1


n n  n  4  
n 1 

c)
 
6- Determine a natureza das séries de Mengoli:

a)

1
 n  n  1
b)


1



n 1  3n  3n  9  
f)
n 1
n 1

e)
n

2
2
 5n  4
n
c)
n2


1



n  2  2n  2n  4  

1
2
1
d)
n 1


2
 n  n  1 n  2
1
  4n  3 4n  1
g)
n 1
7 – Determine a natureza das séries, analisando o seu termo geral:
5n 2  3n  3
a)  2
n 1 7 n  2n  6


d)

n 1

n
e)
3n 2  2

n 1
b) 
n 1 2n  1

n2
c)  2
n 1 7 n  4
 1  2n 
1
n

 1
f)  1  
n
n 1 
n 1
4n
8 – Aplicando o 1º critério de comparação, classifique as séries abaixo

a)

1 
2 

 ln 1  n
n 1

c)
n
n 1

e)
n
2
1
12

 
n 1 n  5 

 comparar com


 comparar com

n


1 
2 

b)
1 


d)
n 1
 n 1
n 1

 comparar com


n

2

 
n 1  5 
n



1 
 comparar com

 n!
n 1

1
 ln n
n2

1 
2 

n
n 1

 comparar com


n 1
dn

, d  1  comparar com

n 1 n


f)
1


n

1
 n 
n 1
9 – Estude, aplicando o 2º critério de comparação, a natureza das séries abaixo:
n 2  5n  3
a) 
4
2
n 1 2n  3n

Análise Matemática II


1
b)  2
n 1 n  n  1
c)

n 1
2n 2  3n
5 n
5

d)
2
n 1
1
1
n
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29
Capitulo I – Séries


e)
1
n
3
n 3
n sen
n 1
1 n

2
n2 n  n

f)

n 1


i)

m)

n 1
n
n5  4
3

j)
g)
n2  3
n 1  n
n 1
n2  1  n
n 1


o)


1

3
n 1 n  5
l)
n
n2


2n

n
n 1 1  3
n 1
2
n 1 n

h)

k)

n)


4
1
sen  

n
n 1
p)

n 1
5
1
ln 2 n
n2  n  1
n6  n 2  1
2n  3
a n é convergente, sendo a n o termo geral de uma série
n 1 n  1

10- Mostre que a série

convergente.

11 – O que pode concluir quanto à natureza da série
a
n 1
a) lim
n 
an 1
7
an
b) lim
n 
an 1
1
an
c) lim
n 
n
?
an 1
 0.99
an
d) lim
n 
an
2
an 1
12 – Estude a natureza das seguintes séries:
3.2n  n  n  1
b)  n 1
n  n  1
n 1 2


2
a) 
n 1 n  n  1 n  2 
 1  3 n 
 n    

2 
n 1  3

c)

d)
 1

2
  2   n  1 n  2  


n 1
n
13 – Recorrendo ao critério de D´Alembert, determine a natureza das seguintes séries:
 2n  !
a) 
3
n 1  n !

1.3.5...  2n  1
b) 
n 1 2.4.6...  2n 


d)
bn
, 0  b 1

n 1 n
Análise Matemática II
c)

e)
n!
, d 0

n
n 1 d
f)

 n n!
n 1
nn

 n n!
n 1
nn


Curso de Engª Electromecânica
30
Capitulo I – Séries
 n !
h) 
n 1  2n  !
2

n 2 2n 1
g)  n
3
n0

2.4...  2n  2 

i)

 1.5...  4n  1
j)
nn
 n!
n 1
n 1
14 – Aplicando o critério da raiz, determine a natureza das séries abaixo
 n 1 
a)  

n 1  3n 


 n 
d)  

n 1  n  1 
n
 3n  1  2
b)  

n 1  5n  1 

n
n2


e)
n 1
 4n 
f)  

n 1  n  1 
n
n
n3
n

15 – Discuta a natureza da série

1
 1n  5


 4n  1 



n 1  4n  3 

c)
 1
 1  n  k , k   .
n
n 1
16 – Recorrendo ao critério do integral, mostre que a série abaixo é divergente.

n
  4n  3 4n  1
n 1
17 – Recorrendo ao critério de Leibniz determine a natureza das séries abaixo:

a)

n 1
 1
n

b)
n

n 1

18 -. Utilize a série
 1
n

n
c)
n3

n 1
 1
n
n
n
3n  1
  1 n  n  1 para mostrar que uma série pode ser simplesmente
n
n 0
convergente e não ser absolutamente convergente.
19 - Estude quanto à convergência simples e absoluta as séries

a)
 (1)n
n 1

d)
  1
n 1
n
 3n  1
n
2n  1
n  n  1
Análise Matemática II
 n 1 
(1) n 


 2n 
n 1

b)

e)
  1
n 1
n
n2
n2  4
n

c)
 (1)
n
n 1

f)
  1
n 1
n
n 1
2
n
6n  1
n
Curso de Engª Electromecânica
31
Capitulo I – Séries
20- Determine a natureza das séries abaixo indicadas:

sen 3 ( )
5
a) 
2
n
n 1


f)
(1) n n

2
n2 n  2
m)

e3 n

n
n 1 n
n)
n2
 3n  2 
u)   1 

 4n  3 
n 0

n

z)
 1 1 

1   2 
n n 
n 1 
nn
d3)   1
n!
n2
n
3n
g1)  n
n 1 5  n

n 1
s)
log n

n
x)

 1
n 1

a1)

n 1
n 1
 1
q) 
n 1 ln  n  1
n

e2n
m1)  n
n 1 n
Análise Matemática II
n 1
( 1 )n 2n
n 1 4n  1

  n  1 !

t)

n
n 1

n 5n
2
 n  n  1 n  3
y)
n4
n 1
cos n
n
n!
2
n 1
n 1

b1)
4
3
 1
  2
n 1
3n  2


4 

22 n 
dn
, d 1
d1) 
n 1 n
d2)
3.2n  n  n  1
e1)  n 1
n  n  1
n 1 2
f1)
 1 n5  n 2  3 

h1)  

2n 5  7 
n
n 1 
 2n  n !2  2 n 
  
i1)  
 n2n
 3  
n 1

 n7 
k1)   1  7

n 1
 4n  3 

n
e2 n
n1)   1 n
n
n 1
n
  1
n
n 1


1
 1
1  
 n
n2


1
n
 1
2

  2   n  1 n  2  


n 1


j1)
 1n1
k)

1
c1)  2
n 1 n  2n



n



2 3n

n
n 1 n
n!
p) 
n 1 2n !
1
1

n 1
n 1

 

1 
 1
o)   1 
 2

 n3 n 5
n 1
r)

3n

2
n 1 n
 tan( 2n )  sen  3n 

j)
n

d)
n 1
5n

n 1 n!
i)

g)

1

2
n 1 n(1  ln n)
3n

3
n 1 2n  3

 n n

l)
c)
n 1

h)


2

5 n n!

n
n 1 n
e)
 
n sen  n 

2 
n 1

b)
n

3n

l1)

n 1
10
2
3
n
n5  1
n 2 2n 1
o1) 
3n
n 0

Curso de Engª Electromecânica
32
Capitulo I – Séries
 n ! convergente.
21- Determine os valores inteiros positivos de K que tornam a série 
n 1  kn  !


22- Considere a série numérica
 k3
n
2
.
n 1
a) Mostre que a série é convergente para todo o valor da constante k.
b) Determine o valor da constante k de modo que a série tenha soma 1.
Análise Matemática II
Curso de Engª Electromecânica
Capítulo II
Séries de Potências
Capitulo II – Séries de potências
34
2. SÉRIES DE POTÊNCIAS
DEFINIÇÃO 7
Uma série de potências de (x-a) é uma série da forma:

 a x  a 
n 0
n
n
= a0  a1 ( x  a)  a2 x  a   ...  an ( x  a) n  ...
2
DEFINIÇÃO 8
Uma série de potências de x , é uma série da forma:

a
n 0
n
x n = a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n  ...
( É o caso particular das série de potências de (x-a) onde se considera a = 0)
2.1 SÉRIE DE POTÊNCIAS DE X
Já vimos que uma série de potências de x é uma série da forma

a
n 0
n
x n = a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n  ...

Para que valores de x será a série de potências
a
n 0
n
x n convergente?
Não há qualquer dúvida que para x = 0 a série é convergente, vejamos:

a
n 0
n
x n = a0  a1  0  a2  0  ...  an  0  a0 ,
reduzindo-se ao primeiro termo.
Análise Matemática II
Curso de Engª Electromecânica
Capitulo II – Séries de potências
35
Para determinar para que outros valores de x a série convergirá, pode aplicar-se o critério de
D´Alembert ou o Critério da Raiz à série dos módulos. Vejamos o exemplo abaixo:
₪ EXEMPLOS 25
x n 1
1Determinar a natureza da série de potências 
n 0 n  1

RESOLUÇÃO

Vamos considerar a série dos módulos:

n 0
x n 1
. Aplicando o critério de D´Alembert, temos:
n 1
x n2
 x  n  1 
 xn2 n  1 
 n 1 
n

2
lim n 1  lim 
 n 1   lim 
  x lim

 x
n  x
n 
n

n

n2
n2 x 
 n2 
n 1


Se x  1 x  1,1 , a série
Se x  1 a série


n 0


n 0
x n 1
é absolutamente convergente .
n 1
x n 1
é divergente.
n 1
Se x=  1 teremos que fazer uma análise pontual.

Se x=1 temos
1
1
 n  1 que é uma série divergente (compara-se com  n ) .
n 0
(1) n 1
Se x=-1 temos 
que é uma série alternada simplesmente convergente pelo critério
n 0 n  1

de Leibniz.
Conclusão: A série é convergente para
Análise Matemática II
x   1,1 


Curso de Engª Electromecânica
Capitulo II – Séries de potências
36
₪ EXEMPLO 26

xn
Determinar a natureza da série de potências 
.
n 0 n!
RESOLUÇÃO

Vamos considerar a série dos módulos:

n 0
xn
. Aplicando o critério de D´Alembert, temos
n!
x n 1
 x n 1
n! 
(n  1)!
 x 
 1 
lim

lim
 n   lim 
 x lim 


0
n
n 
n  ( n  1)!
n  n  1
x
x  n  n  1 



n!
Conclusão: x   , a série é convergente, pois 0<1.
₪ EXEMPLO 27

Determinar a natureza da série de potências
n!
2
n 0
n
xn .
RESOLUÇÃO

Vamos considerar a série dos módulos:
n!
2
n 0
n
x n . Aplicando o critério de D´Alembert, temos
(n  1)! n 1
x
n 1
  n  1 !
2n 
x
 x
2
lim
 lim  n 1 x n 1 
 lim   n  1   lim  n  1  
n 
n 
n

n

n! n
n! x 
2
 2 n
 2
x
n
2
Conclusão: A série é divergente . Só é convergente quando x=0 (neste caso, reduz-se ao
primeiro termo).
Análise Matemática II
Curso de Engª Electromecânica
Capitulo II – Séries de potências
37
TEOREMA 2
Para toda a série de potências

a
n 0
n
xn
existe um número real r , chamado raio de convergência (que pode ser zero, qualquer outro
número finito, ou infinito), tal que:
- A série é absolutamente convergente se x  r
- A série é divergente se x  r
- Em x   r a série pode ser convergente ou divergente.
 OBSERVAÇÃO 3
O raio de convergência pode ser determinado da seguinte forma:
r  lim
n 
an
an 1
r  lim
ou ainda
n 
n
1
an
₪ EXEMPLO 28

Determinar o raio de convergência da série de potências
4
n
xn .
n 0
RESOLUÇÃO
Segundo a definição anterior, r  lim
n  n
raio de convergência será então
Análise Matemática II
1
an
. No caso presente temos r  lim
n 
1
n
4n

1
.O
4
1
.
4
Curso de Engª Electromecânica
Capitulo II – Séries de potências
38
DEFINIÇÃO 9

Chama-se Intervalo de Convergência da série
a
n 0
n
x n ao conjunto de pontos x para os quais a
série de potências converge. Habitualmente é representado por I(r).
O Intervalo de convergência pode ser:

 se r  

0 se r = 0

 r, r  ou  r, r ou  r, r  ou  r, r , se r  0,
₪ EXEMPLO 29

Determinar o intervalo de convergência da série de potências
4
n
xn .
n 0
RESOLUÇÃO
Já vimos no exemplo anterior que o raio de convergência é
série será convergente para x   : x 
1
Vejamos quando x = , temos
4
1
.Então pelo teorema anterior a
4
1
. Analisemos agora os extremos do intervalo:
4
n


n
1
4


   1 que é uma série divergente uma vez
 4  n 0
n 0
n
que o limite do termo geral é diferente de zero.
1
Vejamos quando x = - , temos
4

 1
4

 1n que é uma série divergente uma




4
 
n 0
n 0
n

n
 
vez que o limite do termo geral não existe.
Análise Matemática II
Curso de Engª Electromecânica
Capitulo II – Séries de potências
39

CONCLUSÃO: O INTERVALO DE CONVERGÊNCIA DA SÉRIE
4
n
xn
É
n 0

 1 1
 4 , 4  .


EXERCÍCIOS II
1. a) Defina série de potências de x.
b) Defina raio e intervalo de convergência de uma série de potências de x e diga como se
calculam.
2. Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de
potências:


 3n x n
a)
b)
n 0

  1n
e)
n 0

 3n  2 
n 1

m)
n 1
  1
n2

p) 
n 1
c)
2n x n

n 1 n  1!
2
2.4.6... 2n 
4.7.10... 3n  1
k)
  1n
n 0

n)
d)
n
n
  1
n 1
x 2n
2n !
  n  1! xn
n 0
xn
xn

n 2 log n

l)
3n !
 2n!x
n
n 0

o)
xn

n
n 0 3
r)


q)
n

h)
1.2.3...n
x 2 n 1
1.3.5...2n  1
xn
n!
2
n 0
nn n
 x
n 2 n !

3n x n

3
n 0 n  2
xn
n log 2 n

xn

g)

j)
  1n1
n 1

f)
2n x 2 n 1

i)
x n 1
n 1

n
5
xn

2
n 1 n
2n x n 1
n0 n  1


3 - Provar que se a série de potências
c
n 0
n
x n tem raio de convergência r, então a série

c
n 0
n
x 2 n tem raio de convergência
r.

4 – Se
c 4
n 0
n
n
for convergente, as séries que se seguem são convergentes?

a)
 c  2
n 0
n
Análise Matemática II
n

b)
 c  4
n 0
n
n
Curso de Engª Electromecânica
Capitulo II – Séries de potências

5 - Prove que a série
40
sen  nx 
 n  n  3
é absolutamente convergente para x   .
n 1
 n!  n .
x

n  0  kn  !

6- Se k for um inteiro positivo, encontre o raio de convergência da série
2.2.
k
SÉRIES DE POTÊNCIAS DE (x-a)
Já vimos que uma série de potências de (x-a) é uma série da forma:

 a x  a 
n 0
n
n
n
= a0  a1 ( x  a)  a2 x  a   ...  an ( x  a)  ...
2

n
 , os teoremas e propriedades anteriormente


a
x

a

n




Para séries de potências de (x-a) 
apresentados para as séries de potências de x são adaptados substituindo x por (x-a). Assim:
TEOREMA 3
Para toda a série de potências

 a x  a 
n 0
n
n
existe um número real r (que pode ser zero, qualquer outro número finito, ou infinito), tal que:
- A série é absolutamente convergente se x  a  r
- A série é divergente se x  a  r
- Em x  a  r a série pode ser convergente ou divergente.
Análise Matemática II
Curso de Engª Electromecânica
Capitulo II – Séries de potências
41
 OBSERVAÇÃO 4:

Chama-se Intervalo de Convergência da série
a
n 0
n
( x  a) n ao conjunto de pontos x para os
quais a série converge. Habitualmente é representado por I(r) .
O intervalo de convergência pode ser:

 se r  

a se r = 0

a  r, a  r  ou a  r, a  r ou a  r, a  r  ou a  r, a  r , se r  0,
₪ EXEMPLO 30
Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências

x  1n
 2n  4
n 0
RESOLUÇÃO
an
, temos:
n  a
n 1
Partindo da definição de r  lim
1
1
2n  6
r  lim 2n  4  lim

 1.
n 
n  2n  4
1
1
2n  6
CONCLUSÃO: O RAIO DE CONVERGÊNCIA É 1.
Análise Matemática II
Curso de Engª Electromecânica
Capitulo II – Séries de potências
42
Vejamos agora qual é o intervalo de convergência. Pelo teorema 2.3.1, a série será
absolutamente convergente para x  1  1 , então temos :
–1< x-1<1 e portanto 0 < x <2.
Podemos então afirmar que a série é absolutamente convergente no intervalo 0,2 .
Temos que analisar agora a natureza da série nos extremos do intervalo:

Se x = 2 a série ficará
1
 2n  4
que é uma série divergente (comparação com a série
n 0

divergente
1
n
).
n 1

Se x = 0 a série ficará
 1n
 2n  4 que é uma série alternada. Para estudar a sua natureza
n 0
teremos que recorrer ao critério de Leibniz uma vez que a série dos módulos diverge .
Aplicando o critério de Leibniz, concluímos que a série é simplesmente convergente em x= 0,
pois
1
0
n  2 n  4
i) lim
ii) a n  é decrescente pois,
1
1

0
2n  4 2 n  6
( an  an1  0 ).
Estando satisfeitas estas duas condições, podemos afirmar que a série é simplesmente
convergente quando x=0.
Conclusão: o intervalo de convergência é 0,2 .
Análise Matemática II
Curso de Engª Electromecânica
Capitulo II – Séries de potências
43
₪ EXEMPLO 31
Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de

potências
n
 nx  3
.
n 0
RESOLUÇÃO
Partindo da definição de r temos: r  lim
n 
an
.
a n 1
n
 1.
n   n  1
Como a n  n , temos r  lim
CONCLUSÃO: O RAIO DE CONVERGÊNCIA É 1.
Passemos à determinação do intervalo de convergência:
Pelo teorema 2.3.1 a série será absolutamente convergente para x  3  1 , portanto, –1< x-3
<1 , logo 2< x <4.

Se x = 2 a série ficará
n
 n  1 que é uma série alternada divergente.
n 0

.Se x = 4 a série ficará
 n que é uma série divergente(cond. nec. conv)
n 0
Podemos então afirmar que a série é absolutamente convergente no intervalo 2,4 .
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44
 EXERCÍCIOS III
1.a) Defina série de potências de (x-a).
b) Defina raio e intervalo de convergência de uma série de potências de (x-a) e diga como se
calculam.
2 . Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de
potências:
n!x  2
a) 
n 1
n2

n 1
n


j)
  1
n
 x  2
n2
n 0


m)


k)
n


n 0

 x  2
q)
n
3
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
l)
n

t)

n 1
 3x  2 
n
n3
 n!  2 x  1
2n
n
n 1

o)

 x  3
n

r)

 4 x  1

u)
 n  x  5
3
n
n2
n 1
n
n
n
n 1
 x  1

n 1 n  n  1

n
n 1
n
n
n

10n
n  x  2
10 n
n

x  k 
n)  n
n  0 7  6n  3 
n
n  x  1
n 0

n 0
s)
2n  x  1
i) 
1  3n
n 1
n 1
n  1 !  x  4
n 0
p)
n
2n
n  1!x  5n

h)
n 0

3
n
f)     x  5
n 0  4 

n 1
x  3n

n 0
n

 n x  12 n
 2n  1!
e)
 n x  2 
g)
c)
2n  4
n 0
 1n1 x  1n


b)


d)
2 x  3n

n
n
n 0
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45
2.3 REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES POR MEIO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS
Há funções que podem ser representadas por séries de potências, como por exemplo
f(x)

1
1
representa a soma da série de
 1  x  x 2  x3  ...   x n , para x  1 (
1 x
1 x
n 0

potências
x
n
, para x  1 ).
n 0
Se uma determinada função admitir representação em série de potências, em torno de um
ponto a, então ela será da forma

f  n  a 
n 0
n!
f(x)
 x  a
n
, para x  a  r ( raio de convergência da série )
A esta série chama-se Série de Taylor da função f centrada em a .
 OBSERVAÇÃO 5:

f  n  a 
n0
n!

 x  a
n
representa f(x) por uma série de potências de (x-a), cujo domínio é o
intervalo de convergência ,I(r), da série.

f  n  a 
n0
n!

 x  a
n
diz-se desenvolvimento de f segundo as potências de (x-a) em I(r).
Para o caso especial de a=0, a série de Taylor ficará:

f  n  0
n 0
n!
f(x)
x n , para x  r ( raio de convergência da série )
que tem o nome de Série de Mac-Laurin.
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
OBSERVAÇÃO 6

f  n  0 
n 0
n!

46
x n representa f(x) por uma série de potências de x, cujo domínio é o intervalo de
convergência, I(r), da série .

f  n  0 
n 0
n!

x n diz-se desenvolvimento de f segundo as potências de x em I(r).
TEOREMA 4
Uma função que admite representação em série de potências no intervalo  r, r  é contínua
nesse intervalo, assim como uma função que admite representação em série de potências em
a  r, a  r é também contínua nesse intervalo.
₪ EXEMPLO 32
Considere a função f  x  
1
. Represente-a através de uma série de potências de x e diga
1 x
em que intervalo é válido esse desenvolvimento.
RESOLUÇÂO
Vamos achar a derivada de ordem n da função f  x  

f  n  0 
n 0
n!
f(x)= 
1
, pois já sabemos que
1 x
x n , para x  r .
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1
1 x
1
f  x 
2
1  x 
f  x 
f   x  
f   x  
2
1  x 
3
6
1  x 
4
.
.
.
f  n  x  
n!
1  x 
n 1
agora facilmente calculamos f  n   0  : f  n  0   n! .

f  n  0 
n 0
n!
Então temos f(x)= 
f  x 

x n , ou seja f  x    x n , que será o desenvolvimento de
n 0
1
em série de potências de x. Falta saber agora qual é o intervalo em que este
1 x
desenvolvimento é válido. Vejamos:

O intervalo de convergência da série
x
n
n 0
é 1,1 , logo o intervalo em que o
desenvolvimento acima é válido é 1,1 .
CONCLUSÃO: O DESENVOLVIMENTO DE f  x  
VÁLIDO PARA

1
, EM SÉRIE DE POTÊNCIAS DE X É: f  x    x n ,
1 x
n 0
x  1,1 .
TEOREMA 5

i) Se a série
 an x n tem raio de convergência r, então as séries
n 0
 x
 a t
n 0 0
n
n

 na
n 1
n
x n 1 e
dt terão raio de convergência r.
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
ii) Se a série
 an ( x  b) n tem raio de convergência r, então as séries
n 0


 na
n 1
n
( x  b) n 1 e
x
a
n
( t  b) n dt terão raio de convergência r.
0 n 0
Ou seja:
Se derivarmos ou primitivarmos todos os membros de uma série de potências de intervalo I(r),
obtemos uma série de potências cujo interior do intervalo é o mesmo.
₪ EXEMPLO 33
Desenvolver em série de potências de x a função f ( x )  ln( 1  x ) .
RESOLUÇÃO
Sabemos de um exemplo anterior que
f x   
1

1 x


x n , para x  1 , e sabemos também que
n 0

1
, então f x    x n (válido para x  1 ). Pelo teorema 2.4.2 temos que
1 x
n 0
x n 1
f ( x )  ln(1  x )   
( integraram-se todos os termos da série
n 0 n  1


x
n
),válido para
n 0
x  1.

EXERCÍCIOS IV
1 . Desenvolva em série de potências de x as funções de expressões analíticas indicadas e
determine os intervalos de convergência das séries obtidas.
a)
1
1 x
b)
1
1 x
c)
1
1 x2
d)
1
1 x2
e)
1
3 x
f)
1
(1  x) 2
g)
1
(1  x) 2
h)
1
1  4x
i)
x
2  3x
j) e x
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k) 3  x
2
l) ln 3  x 
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2. Desenvolva
a) ln(x) segundo potências de (x-1)
b) e x segundo potências de x
c) e x segundo potências de (x+2)
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