1 Segunda Prova: EDO - Mecânica /Integral em 20/10/2015 C. A.

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Segunda Prova: EDO - Mecânica /Integral em 20/10/2015
C. A. Raposo - DEMAT / UFSJ
Gabarito
00
0
01. - Encontre a solução da EDO homogênea y − 2y + y = 0.
Solução: A equação caracterı́stica é λ2 − 2 λ + 1 = 0 cujas raı́zes são λ1 = λ2 = 1 e portanto a
solução é
y(x) = c1 ex + c2 x ex .
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0
02. - Encontre uma solução particular da EDO y − 2y + y = e−x pelo método dos coeficientes a
determinar.
0
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Solução: Vamos procurar yp (x) = A e−x , temos então yp (x) = −A e−x e yp (x) = A e−x . Levando
estas derivadas na EDO obtemos ex = 4A ex de onde obtemos A = 1/4 e portanto a solução particular
da EDO é
1
yp (x) = e−x .
4
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0
03. - Encontre uma solução particular da EDO y − 2y + y = ex pelo método da variação dos
parâmetros.
Solução: Vamos procurar yp (x) = v1 ex + v2 x ex de tal forma que
v10 ex + v20 x ex = 0,
v10 (ex )0 + v20 (x ex )0 = ex ,
isto é,
v10 ex + v20 x ex = 0,
v10 (ex ) + v20 (ex + x ex ) = ex .
0
0
Resolvendo este sistema, encontramos v1 = −x e v2 = 1 de onde segue que
v1
v2
x2
= − ,
2
= x,
e portanto a solução particular da EDO é
yp (x) = −
x2 x
e + x x ex ,
2
que simplificando resulta, ( não é necessário simplificar )
yp (x) =
x2 x
e .
2
2
Uma massa de 10 quilos é presa na extremidade inferior de uma mola que está fixa pela sua extremidade superior. A mola sofre devido ao peso da massa uma pequena distensão além de sua
posição de equilı́bio de modo que podemos considerar x(0) = 0, com velocidade inicial ẋ(0) = 1 para
baixo. Considere que não há força externa, isto é, o movimento se inicia apenas devido ao peso da
massa e leve em conta que o sistema está sugeito a segunda lei de Newton FR = m ẍ, a lei de Hooke
Fs = −140 x e a resistência do ar dada por Fa = −90 ẋ
04. - Supondo o sentido positivo para baixo e que a aceleração da gravidade não interfere no
movimento, isto é g = 0, deduza a equação deste modelo massa-mola.
Solução: Forças atuando no sistema,
Fa = −90 ẋ (Resistência do ar)
Fs = −140 x (Força restauradora: Lei de Hooke)
F (t) = 0 (Força externa)
g = 0 (Gravidade)
Pela Segunda Lei de Newton, FR = 10 ẍ, logo temos 10 ẍ = −90 ẋ − 140 x, o que resulta em
ẍ + 9 ẋ + 14 x = 0.
(1)
05. - Utilize os dados iniciais e encontre a solução do modelo deduzido no item anterior.
Solução: A equação caracterı́stica da EDO (1) é λ2 + 9 λ + 14 = 0 cujas raı́zes são λ1 = −2 e
λ2 = −7 e portanto a solução é
y(x) = c1 e−2 x + c2 e−7 x .
Derivando a solução obtemos
y(x) = −2c1 e−2 x − 7c2 e−7 x .
Utlizando os dados iniciais, x(0) = 0 e ẋ = 1 obtemos o seguinte sistema
c1 + c2 = 0,
−2c1 − 7c2 = 1.
Resolvendo este sistema encontramos c1 = 1/5 e c2 = −1/5 e portanto a solução do modelo é
y(x) =
1 −2 x 1 −7 x
e
− e .
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