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MOVIMENTO
OSCILATÓRIO E CAOS
Do mais simples para o mais
complicado ...
•  MHS
•  Ü
•  Amortecimento
•  Ü
•  Não linearidade
•  Ü
•  Caos
Movimento Harmônico Simples
θ

T
Mais cedo:
Pêndulo simples

P
Movimento Harmônico Simples

T
θ
Agora: pêndulo
•  não-linear a sen(θ) ≠ θ
•  forçado aFDsen(ΩDt)
•  amortecido a-b dθ/dt

P
Decompondo
PR=T
ΣFR=0
ΣFθ = Pθ+Fext +Famort
2
d s Mas s = lθ
Fθ = m 2
dt
2
dθ
Fθ = ml 2
dt
Ao longo de θ
Pθ =-mg sen(θ)
Fext= FDsen(ΩDt)
ΣFθ = Pθ+Fext +Famort
2
d θ Fθ
=
2
dt
ml
Famort= -b dθ/dt
Definindo α ≡ FD/ml e q ≡ b/ml
Juntando
d 2θ
g
dθ
= − sen(θ ) − q
+ α sen(Ω Dt )
2
dt
l
dt
1 equação diferencial não-linear
não-homogênea de 2a ordem
Solução desconhecida!
Aplicar o Método de Euler-Cromer
Transformar
1 equação diferencial de 2a ordem
em
2 equações diferenciais de 1a ordem
Como aplicar o Método de Euler-Cromer?
dθ
ω (t ) =
dt
2 equações
de 1a ordem
dω
g
dθ
= − sen(θ ) − q
+ α sen(Ω Dt )
dt
l
dt
Iterando θ
dθ
ω (t ) =
dt
dθ θ (t + Δt ) − θ (t )
=
dt
Δt
dθ
θ (t + Δt) ≅ θ (t) + Δt = θ (t) + ω (t)Δt
dt
θi+Δt= θi + ωi+1Δt
Igual a aula
anterior
Iterando ω
dω
g
dθ
= − sen(θ ) − q
+ α sen(Ω Dt )
dt
l
dt
dω ω (t + Δt ) − ω (t )
=
dt
Δt
dω
ω (t + Δt ) ≅ ω (t ) +
Δt
dt
gsen(θ (t ))
dθ
ω (t + Δt ) ≅ ω (t ) −
Δt − q
Δt + αsen(Ω Dt )Δt
l
dt
Iterando ω
gsen(θ (t ))
dθ
ω (t + Δt ) ≅ ω (t ) −
Δt − q
Δt + αsen(Ω Dt )Δt
l
dt
ωi+Δt= ωi – (g/l)senθiΔtqωiΔt + αsen(ΩDti) Δt
diferente do
caso anterior
O programa
Inicializa
Itera
(até nτ)
Imprime
ω0=... e θ0=...
ωi+Δt= ωi - (g/l)senθiΔt
-qωiΔt+αsen(ΩDti) Δt
θi+Δt= θi + ωi+1Δt
Print, write ...
Testando o programa
l =1m g = 9,8 m/s2
Δt= 0,04 s
ω0= 0
α= 0
l
τ = 2π
≈ 2s
g
q= 0
θ0=0,2 rad sen(θ0)=0,199 ⇒ sen(θ0)≅ θ0
Rodando o programa
0.3
0.2
θ(rad)
θ0=0,2 rad
sen(θ0)= 0,199
⇒ sen(θ0)≅ θ0
θ
senθ
0.1
0.0
Ok !
-0.1
-0.2
0
2
4
6
t(s)
8
10
Amortecimento
q=3.125
q=6.25
q=12.5
q=0
q=1.5625
0.3
Sub-crítico
θ(rad)
0.2
0.1
0.0
crítico
-0.1
-0.2
0
2
4
t(s)
6
8
Amortecimento
Energia
0,20
0,15
q=0
q=1.5625
q=12.5
0,10
0,05
0,00
0
2
4
t(s)
6
Força externa
l =9,8 m g = 9,8 m/s2
0,2
q=0.625
0,1
θ
τ = 2π
Δt = 0,04 s
0,0
-0,1
0
10
20
t(s)
transiente
ω0= 0
θ0= 0,2
q= 0,625
α= 0,0
30
Força externa
5
α=0
α=0.5
α=1.2
q=0.625
4
3
q= 0.625
2
α= 0
α= 0.5
α= 1.2
θ
1
0
-1
-2
-3
0
10
transiente
20
t(s)
30
40
Força externa
l = 9.8 m g = 9,8 m/
s2
Δt = 0,04
4
q=0.02
2
s
q = 0.02
θ(rad)
0
-2
θ0= 0.2
ω0= 0
-4
-6
α=0
α=0.5
α=1.2
-8
-10
0
10
20
30
t(s)
40
50
α = 1.2
60
CAOS!
Força externa
l = 9.8 m g = 9,8 m/
s2
Δt = 0,04 s
3
q=0.5
2
q = 0.5
ω(rad/s)
1
0
θ0= 0.2
-1
-2
α=0
α=0.5
α=1.2
-3
-4
0
10
20
ω0 = 0
α = 1.2
30
t(s)
40
50
60
CAOS!
Caos
Um sistema pode obedecer às
leis determinísticas da física e ainda
assim ter seu comportamento não
predizível devido a uma extrema
sensibilidade às condições iniciais
Esse sistema é dito caótico
Trajetória no espaço de fase
0.8
θ0= 0.2
0.6
0.4
q= 0.5
ω(rad/s)
0.2
0.0
α= 0.5
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
θ(rad)
0.4
0.6
0.8
1.0
Sem caos
Trajetória no espaço de fase
3
θ0= 0.2
2
q= 0.5
ω(rad/s)
1
0
α= 1.2
-1
-2
-3
-10
-8
Tf=60s
-6
-4
-2
θ(rad)
0
2
4
Caos
Caos
3
Tf = 360s
2
Força externa
intensa: |θ| > π
ω(rad/s)
1
0
-1
θ è θ ± 2π
-2
-3
-20
-15
-10
-5
θ(rad)
0
5
Sensibilidade às condições iniciais
1E-3
α= 0.5
1E-4
|Δθ|
1E-5
Δθ(t =0) = 0.001
1E-6
1E-7
Δθ ~ eλt
λ ~ -0.25 < 0
1E-8
1E-9
1E-10
0
10
20
t(s)
30
40